Формули за съкратено умножение.

Разучаване на формулите за съкратено умножение: квадрат на сбора и квадрат на разликата на два израза; разлика на квадратите на два израза; кубът на сбора и кубът на разликата на два израза; сбор и разлика на кубове на два израза.

Приложение на формули за съкратено умножение при решаване на примери.

За опростяване на изрази, разлагане на полиноми и намаляване на полиномите до стандартна форма се използват съкратени формули за умножение. Формулите за съкратено умножение трябва да знаете наизуст.

Нека a, b R. Тогава:

1. Квадратът на сумата от два израза еквадратът на първия израз плюс два пъти произведението на първия израз и втория плюс квадратът на втория израз.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадратът на разликата на два израза еквадратът на първия израз минус два пъти произведението на първия израз и втория плюс квадратът на втория израз.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Разлика на квадратитедва израза е равно на произведението от разликата на тези изрази и тяхната сума.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. сборен кубот два израза е равно на куба на първия израз плюс три по квадрата на първия израз по втория плюс три по произведението на първия израз по квадрата на втория плюс куба на втория израз.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. куб на разликатаот два израза е равно на куба на първия израз минус три пъти произведението на квадрата на първия израз и втория плюс три пъти произведението на първия израз и квадрата на втория минус куба на втория израз.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Сбор от кубоведва израза е равно на произведението на сбора от първия и втория израз по непълния квадрат на разликата на тези изрази.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Разлика на кубчетана два израза е равно на произведението на разликата на първия и втория израз по непълния квадрат на сумата от тези изрази.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Приложение на формули за съкратено умножение при решаване на примери.

Пример 1

Изчисли

а) Използвайки формулата за квадрат на сумата от два израза, имаме

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Използвайки формулата за квадратна разлика на два израза, получаваме

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

Пример 2

Изчисли

Използвайки формулата за разликата на квадратите на два израза, получаваме

Пример 3

Опростяване на израза

(x - y) 2 + (x + y) 2

Използваме формулите за квадрат на сбора и квадрат на разликата на два израза

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Формули за съкратено умножение в една таблица:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Формули или правила за намалено умножение се използват в аритметиката и по-специално в алгебрата за по-бърз процес на изчисляване на големи алгебрични изрази. Самите формули са извлечени от съществуващите правила в алгебрата за умножение на няколко полинома.

Използването на тези формули осигурява доста бързо решение на различни математически проблеми и също така помага за опростяване на изрази. Правилата на алгебричните трансформации ви позволяват да извършвате някои манипулации с изрази, следвайки които можете да получите израза от лявата страна на равенството, което е от дясната страна, или да трансформирате дясната страна на равенството (за да получите израза на лявата страна след знака за равенство).

Удобно е да знаете формулите, използвани за съкратено умножение по памет, тъй като те често се използват при решаване на задачи и уравнения. Основните формули, включени в този списък, и техните имена са изброени по-долу.

сума квадрат

За да изчислите квадрата на сумата, трябва да намерите сумата, състояща се от квадрата на първия член, два пъти произведението на първия член и втория и квадрата на втория. Под формата на израз това правило се записва по следния начин: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Квадрат на разликата

За да изчислите квадрата на разликата, трябва да изчислите сумата, състояща се от квадрата на първото число, два пъти произведението на първото число по второто (взето с противоположния знак) и квадрата на второто число. Под формата на израз това правило изглежда така: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Разлика на квадратите

Формулата за разликата на две числа на квадрат е равна на произведението от сбора на тези числа и тяхната разлика. Под формата на израз това правило изглежда така: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

сборен куб

За да изчислите куба на сумата от два члена, трябва да изчислите сумата, състояща се от куба на първия член, утроения продукт на квадрата на първия член и втория, тройния продукт на първия член и втория на квадрат и кубът на втория член. Под формата на израз това правило изглежда така: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Сбор от кубове

Според формулата тя е равна на произведението на сумата от тези членове и техния непълен квадрат на разликата. Под формата на израз това правило изглежда така: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, която се образува чрез добавяне на два куба. Известни са само величините на техните страни.

Ако стойностите на страните са малки, тогава е лесно да се извършат изчисления.

Ако дължините на страните са изразени в тромави числа, тогава в този случай е по-лесно да се приложи формулата "Сума от кубове", което значително ще опрости изчисленията.

куб на разликата

Изразът за кубичната разлика звучи така: като сбор от третата степен на първия член, утроете отрицателния продукт на квадрат на първия член по втория, утройте произведението на първия член на квадрата на втория , и отрицателния куб на втория член. Под формата на математически израз кубът на разликата изглежда така: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Разлика на кубчета

Формулата за разликата на кубовете се различава от сумата на кубовете само с един знак. По този начин разликата на кубовете е формула, равна на произведението на разликата на тези числа с техния непълен квадрат на сбора. Във формата разликата на кубчетата изглежда така: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, който ще остане след изваждане на жълтата обемна фигура, която също е куб, от обема на синия куб. Известен е само размерът на страната на малък и голям куб.

Ако стойностите на страните са малки, тогава изчисленията са доста прости. И ако дължините на страните са изразени в значителни числа, тогава си струва да използвате формула, озаглавена "Разлика на кубовете" (или "Разлика на куба"), което значително ще опрости изчисленията.

Разлика на квадратите

Извеждаме формулата за разликата на квадратите $a^2-b^2$.

За да направите това, запомнете следното правило:

Ако някакъв моном се добави към израза и същият моном се извади, тогава получаваме правилната идентичност.

Нека добавим към нашия израз и извадим от него монома $ab$:

Общо получаваме:

Тоест разликата на квадратите на два монома е равна на произведението на разликата и сбора им.

Пример 1

Изразете като произведение на $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\наляво(2x-y\надясно)(2x+y)\]

Сбор от кубове

Извеждаме формулата за сбора на кубовете $a^3+b^3$.

Нека извадим общите фактори извън скобите:

Нека извадим $\left(a+b\right)$ извън скобите:

Общо получаваме:

Тоест сумата от кубовете на два монома е равна на произведението на сбора им по непълния квадрат на разликата им.

Пример 2

Изразете като продукт $(8x)^3+y^3$

Този израз може да бъде пренаписан в следната форма:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Използвайки формулата за разликата на квадратите, получаваме:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

Разлика на кубчета

Извеждаме формулата за разликата на кубчета $a^3-b^3$.

За да направим това, ще използваме същото правило като по-горе.

Нека добавим към нашия израз и извадим от него мономите $a^2b\ и\ (ab)^2$:

Нека извадим общите фактори извън скобите:

Нека извадим $\left(a-b\right)$ извън скобите:

Общо получаваме:

Тоест разликата на кубовете на два монома е равна на произведението на разликата им по непълния квадрат на техния сбор.

Пример 3

Изразете като произведение на $(8x)^3-y^3$

Този израз може да бъде пренаписан в следната форма:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Използвайки формулата за разликата на квадратите, получаваме:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Примерни задачи за използване на формулите за разлика на квадрати и сбор и разлика на кубове

Пример 4

Умножете.

а) $((a+5))^2-9$

в) $-x^3+\frac(1)(27)$

Решение:

а) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Прилагайки формулата за разликата на квадратите, получаваме:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

Нека запишем този израз във формата:

Нека приложим формулата на кубчета на кубчета:

в) $-x^3+\frac(1)(27)$

Нека запишем този израз във формата:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

Нека приложим формулата на кубчета на кубчета:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]

В предишните уроци разгледахме два начина за разлагане на полином на множители: изваждане на общия множител извън скоби и метода на групиране.

В този урок ще разгледаме друг начин за разлагане на полином на множители използване на формули за съкратено умножение.

Препоръчваме ви да пишете всяка формула поне 12 пъти. За по-добро запаметяване запишете всички съкратени формули за умножение за себе си на малък лист за измама.

Припомнете си как изглежда формулата за разликата на кубчетата.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Формулата за разликата на кубчетата не е много лесна за запомняне, затова препоръчваме да използвате специален начин за запомняне.

Важно е да се разбере, че всяка формула за съкратено умножение също работи обратна страна.

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Помислете за пример. Необходимо е да се факторизира разликата на кубовете.

Обърнете внимание, че „27a 3“ е „(3a) 3“, което означава, че за формулата за разликата на кубчетата вместо „a“ използваме „3a“.

Използваме формулата за разликата на кубчетата. На мястото на „a 3“ имаме „27a 3“, а на мястото на „b 3“, както във формулата, има „b 3“.

Прилагане на кубична разлика в обратен ред

Нека разгледаме друг пример. Необходимо е произведението на полиномите да се преобразува в разликата на кубовете, като се използва формулата за съкратено умножение.

Моля, обърнете внимание, че произведението на полиноми "(x − 1) (x 2 + x + 1)" Наподобява дясната страна на формулата за разликата на кубчета "", само че вместо " a" е " x", И в мястото на "b" е "1".

За „(x − 1)(x 2 + x + 1)“ използваме формулата за разликата на кубовете в обратната посока.

Нека разгледаме един по-сложен пример. Необходимо е да се опрости произведението на полиномите.

Ако сравним "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" с дясната страна на формулата за разликата на кубовете
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)”, тогава можем да разберем, че на мястото на “ a” от първата скоба е “ y 2, а на мястото на “ b” е “ 1”.