Часто звучить як частина площини, яка обмежена колом. Коло кола є плоскою замкненою кривою. Всі точки, розташовані на кривій, віддалені від центру кола на однакову відстань. У колі його довжина та периметр однакові. Співвідношення довжини будь-якого кола та його діаметра постійне і позначається числом π = 3,1415.

Визначення периметра кола

Периметр кола радіусу r дорівнює подвоєному добутку радіусу r на число π(~3.1415)

Формула периметра кола

Периметр кола радіусу \(r\) :

\[ \LARGE(P) = 2 \cdot \pi \cdot r \]

\[ \LARGE(P) = \pi \cdot d \]

(P) - периметр (довжина кола).

(r) - радіус.

(d) - діаметр.

Окружністю називатимемо таку геометричну фігуру, яка складатиметься з усіх таких точок, що знаходяться на однаковій відстані від будь-якої заданої точки.

Центром коланазиватимемо точку, яка задається в рамках визначення 1.

Радіусом коланазиватимемо відстань від центру цього кола до будь-якої її точки.

У декартовій системі координат (xOy) ми також можемо ввести рівняння будь-якого кола. Позначимо центр кола точкою \(X \), яка матиме координати \((x_0, y_0) \). Нехай радіус цього кола дорівнює \(τ \). Візьмемо довільну точку \(Y \), координати якої позначимо через \((x, y) \) (рис. 2).

За формулою відстані між двома точками в заданій нами системі координат отримаємо:

\(|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \)

З іншого боку, \(|XY|\) - це відстань від будь-якої точки кола до обраного центру. Тобто, за визначенням 3, отримаємо, що \(|XY|=τ\), отже

\(\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ \)

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)

Таким чином, ми отримуємо, що рівняння (1) є рівнянням кола в декартовій системі координат.

Довжина кола (периметр кола)

Виводитимемо довжину довільного кола \(C \) за допомогою її радіусу, рівного \(τ \) .

Розглянемо два довільні кола. Позначимо їх довжини через \(C\) і \(C"\), у яких радіуси дорівнюють \(τ\) і \(τ"\). Вписуватимемо в ці кола правильні \(n \) -кутники, периметри яких дорівнюють \(ρ \) і \(ρ" \) , довжини сторін яких дорівнюють \(α \) і \(α" \), відповідно. Як ми знаємо, сторона вписаного в коло правильного \(n \) - косинця дорівнює

\(α=2τsin\frac(180^0)(n) \)

Тоді, отримуватимемо, що

\(ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n) \)

\(ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n) \)

\(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ" ) \)

Отримуємо, що ставлення \(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ") \)буде вірним незалежно від значення числа сторін правильних вписаних багатокутників. Тобто

\(\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ") \)

З іншого боку, якщо нескінченно збільшувати кількість сторін вписаних правильних багатокутників (тобто \(n→∞ \) ), будемо отримувати рівність:

\(lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C") \)

З останніх двох рівностей отримаємо, що

\(\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ") \)

\(\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ") \)

Бачимо, що відношення довжини кола до його подвоєного радіусу завжди одне і те ж число, незалежно від вибору кола та його параметрів, тобто

\(\frac(C)(2τ)=const \)

Цю постійну прийняти називати числом "пі" і позначати \(π \). Приблизно, це число дорівнюватиме (3,14) (точного значення цього числа немає, оскільки воно є ірраціональним числом). Таким чином

\(\frac(C)(2τ)=π \)

Остаточно, отримаємо, що довжина кола (периметр кола) визначається формулою

\ (C = 2πτ \)

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!

Окружність складається з безлічі точок, які знаходяться на рівній відстані від центру. Це плоска геометрична фігура, і знайти її довжину не складе труднощів. З колом та колом людина стикається щодня незалежно від того, в якій сфері вона працює. Багато овочів та фруктів, пристрої та механізми, посуд та меблі мають круглу форму. Навколо називають те безліч точок, що знаходиться в межах кола. Тому довжина фігури дорівнює периметру кола.

Характеристики фігури

Крім того, що опис поняття кола досить просте, його характеристики також нескладні для розуміння. З їхньою допомогою можна обчислити її довжину. Внутрішня частина кола складається з множини точок, серед яких дві - А і В - можна побачити під прямим кутом. Цей відрізок називають діаметром, він складається із двох радіусів.

У межах кола є точки Х такі, Що не змінюється і не дорівнює одиниці відношення АХ/ВХ. У колі ця умова обов'язково дотримується, інакше ця постать немає форму кола. На кожну точку, з яких складається фігура, поширюється правило: сума квадратів відстаней від цих точок до двох завжди перевищує половину довжини відрізка між ними.

Основні терміни кола

Щоб вміти знаходити довжину фігури, необхідно знати основні терміни, що стосуються її. Основні параметри фігури - це діаметр, радіус та хорда. Радіусом називають відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якою точкою на її кривій. Величина хорди дорівнює відстані між двома точками на кривій постаті. Діаметр – відстань між точками, що проходить через центр фігури.

Основні формули для обчислень

Параметри використовуються у формулах обчислень величин кола:

Діаметр у формулах обчислення

В економіці та математиці нерідко виникає необхідність пошуку довжини кола. Але і в повсякденному житті можна зіткнутися з цією потребою, наприклад, під час будівництва огорожі навколо басейну круглої форми. Як розрахувати довжину кола діаметром? У цьому випадку використовують формулу C = π*D, де С - це потрібна величина, D - діаметр.

Наприклад, ширина басейну дорівнює 30 метрам, а стовпчики паркану планують поставити на відстані 10 метрів від нього. І тут формула розрахунку діаметра: 30+10*2 = 50 метрів. Шукана величина (у цьому прикладі - довжина огорожі): 3,14 * 50 = 157 метрів. Якщо стовпчики паркану стоятимуть на відстані трьох метрів один від одного, то всього їх знадобиться 52.

Розрахунки з радіусу

Як обчислити довжину кола за відомим радіусом? Для цього використовується формула C = 2*π*r, де С – довжина, r – радіус. Радіус у колі менше діаметра вдвічі, і це правило може стати в нагоді у повсякденному житті. Наприклад, у разі приготування пирога у розсувній формі.

Для того щоб кулінарний виріб не забруднився, необхідно використовувати декоративну обгортку. А як вирізати паперове коло відповідного розміру?

Ті, хто трохи знайомий з математикою, розуміють, що в цьому випадку потрібно помножити число π на подвійний радіус форми, що використовується. Наприклад, діаметр форми дорівнює 20 сантиметрів, відповідно її радіус становить 10 сантиметрів. За цими параметрами є необхідний розмір кола: 2*10*3, 14 = 62,8 сантиметра.

Підручні способи обчислення

Якщо знайти довжину кола за формулою немає можливості, варто скористатися підручними методами розрахунку цієї величини:

• При невеликих розмірах круглого предмета його довжину можна знайти за допомогою мотузки, обгорнутої навколо один раз.
• Величину великого предмета вимірюють так: на рівній площині розкладають мотузку, і нею прокочують коло один раз.
• Сучасні студенти та школярі для розрахунків використовують калькулятори. У режимі онлайн за відомими параметрами можна пізнавати невідомі величини.

Круглі предмети в історії людського життя

Перший виріб круглої форми, який винайшов чоловік – це колесо. Перші конструкції являли собою невеликі округлі колоди, насаджені на осі. Потім з'явилися колеса, зроблені з дерев'яних спиць та обода. Поступово у виріб додавали металеві деталі зменшення зносу. Саме для того, щоб дізнатися про довжину металевих смуг для оббивки колеса, вчені минулих століть шукали формулу розрахунку цієї величини.

Форму колеса має гончарне коло, більшість деталей у складних механізмах, конструкціях водяних млинів та прядок. Нерідко зустрічаються круглі предмети у будівництві – рамки круглих вікон у романському архітектурному стилі, ілюмінатори у суднах. Архітектори, інженери, вчені, механіки та проектувальники щодня у сфері своєї професійної діяльності стикаються з необхідністю розрахунку розмірів кола.

Коло зустрічається у повсякденному житті не рідше, ніж прямокутник. А у багатьох людей завдання про те, як розрахувати довжину кола, викликає утруднення. І все тому, що вона не має кутів. За їх наявності все стало набагато простіше.

Що таке коло і де воно зустрічається?

Ця плоска фігура є деякою кількістю точок, які розташовані на однаковій відстані від ще однієї, яка є центром. Ця відстань називається радіусом.

У повсякденному житті нечасто доводиться обчислювати довжину кола, крім людей, які є інженерами та конструкторами. Вони створюють проекти механізмів, у яких використовуються, наприклад, шестерні, ілюмінатори та колеса. Архітектори створюють будинки, що мають круглі або арочні вікна.

У кожному з цих та інших випадках потрібна своя точність. Причому вирахувати довжину кола точно виявляється неможливо. Пов'язано це з нескінченністю основного числа, що є у формулі. «Пі» досі уточнюється. І використовується найчастіше округлене значення. Ступінь точності вибирається такий, щоб дати максимально правильну відповідь.

Позначення величин та формули

Тепер легко відповісти на питання про те, як розрахувати довжину кола по радіусу, для цього буде потрібно така формула:

Оскільки радіус і діаметр пов'язані один з одним, тобто інша формула для розрахунків. Так як радіус вдвічі менший, то вираз трохи видозміниться. І формула того, як розрахувати довжину кола, знаючи діаметр, буде такою:

l = π * d.

Як бути, якщо потрібно визначити периметр кола?

Просто згадати, що коло включає всі точки всередині кола. Отже, його периметр збігається з її довжиною. І після того, як розрахувати довжину кола, встановити знак рівності з периметром кола.

До речі, і позначення у них такі самі. Це стосується радіусу та діаметру, а периметром є латинська буква P.

Приклади завдань

Завдання перше

Умови.Дізнатися довжину кола, радіус якого дорівнює 5 см.

Рішення.Тут неважко зрозуміти, як розрахувати довжину кола. Потрібно лише скористатися першою формулою. Оскільки радіус відомий, то потрібно лише підставити значення та порахувати. 2 помножене на радіус, що дорівнює 5 см, дасть 10. Залишилося ще помножити його на значення π. 3,14*10 = 31,4 (см).

Відповідь: l = 31,4 див.

Завдання друге

Умови.Є колесо, довжина кола якого відома і дорівнює 1256 мм. Необхідно вирахувати його радіус.

Рішення.У цьому завданні потрібно скористатися тією самою формулою. Але тільки відому довжину потрібно буде розділити на твір 2 та π. Виходить, що твір дасть результат: 6,28. Після розподілу залишається число: 200. Це потрібна величина.

Відповідь: r = 200 мм.

Завдання третє

Умови.Обчислити діаметр, якщо відома довжина кола, яка дорівнює 56,52 см.

Рішення.Аналогічно попередньому завданню потрібно розділити відому довжину значення π, округлене до сотих. Внаслідок такої дії виходить число 18. Результат отримано.

Відповідь: d = 18 див.

Завдання четверте

Умови.Стрілки годинника мають довжину 3 і 5 см. Потрібно обчислити довжини кіл, які описують їх кінці.

Рішення.Оскільки стрілки збігаються з радіусами кіл, то знадобиться перша формула. Нею потрібно скористатися двічі.

Для першої довжини твір складатиметься з множників: 2; 3,14 і 3. Підсумком буде число 18,84 див.

Для другої відповіді потрібно перемножити 2, π та 5. Добуток дасть число: 31,4 см.

Відповідь: l 1 = 18,84 см, l 2 = 31,4 см.

Завдання п'яте

Умови.Білка бігає у колесі діаметром 2 м. Яку відстань вона пробігає за один повний оберт колеса?

Рішення.Ця відстань дорівнює довжині кола. Тому потрібно скористатися відповідною формулою. А саме перемножити значення π та 2 м. Підрахунки дають результат: 6,28 м.

Відповідь:Білка пробігає 6,28 м-коду.

Дуже часто при вирішенні шкільних завдань з або фізики виникає питання – як знайти довжину кола, знаючи діаметр? Насправді ніяких складнощів у вирішенні цієї проблеми немає, потрібно лише чітко уявляти, які формули, поняття та визначення потрібні для цього.

Основні поняття та визначення

1. Радіус – це лінія, що з'єднує центр кола та її довільну точку. Він позначається латинською літерою r.
2. Хордою називається лінія, що з'єднує дві довільні крапки, що лежать на колі.
3. Діаметр – це лінія, що з'єднує два пункти кола і проходить через її центр. Він позначається латинською літерою d.
4. - це лінія, що складається з усіх точок, що знаходяться на рівній відстані від однієї обраної точки, що її називається центром. Її довжину позначатимемо латинською літерою l.

Площа кола - це вся територія, ув'язнена всередині кола. Вона вимірюється у квадратних одиницяхі позначається латинською літерою s.

Користуючись нашими визначеннями, приходимо до висновку, що діаметр кола дорівнює його найбільшій хорді.

Увага!З визначення, що таке радіус кола, можна дізнатися, що таке діаметр кола. Це два радіуси відкладені у протилежних напрямках!

Діаметр кола.

Знаходження довжини кола та її площі

Якщо нам дано радіус кола, то діаметр кола описує формула d = 2*r. Таким чином, для відповіді на питання, як знайти діаметр кола, знаючи його радіус, досить останній помножити на два.

Формула довжини кола, виражена через її радіус, має вигляд l = 2*П*r.

Увага!Латинською літерою П (Пі) позначається відношення довжини кола до її діаметра, і це є неперіодична десяткова дріб. У шкільній математиці вона вважається заздалегідь відомою табличною величиною, що дорівнює 3,14!

Тепер перепишемо попередню формулу, щоб знайти довжину кола через її діаметр, пам'ятаючи, в чому полягає його різниця по відношенню до радіусу. Вийде: l = 2 * П * r = 2 * r * П = П * d.

З курсу математики відомо, що формула, що описує площу кола, має вигляд: s = П*r^2.

Тепер перепишемо попередню формулу, щоб знайти площу кола через її діаметр. Отримаємо,

s = П*r^2 = П*d^2/4.

Одним із найскладніших завдань у цій темі є визначення площі кола через довжину кола та навпаки. Скористаємося тим, що s = П*r^2 та l = 2*П*r. Звідси отримаємо r = l/(2*П). Підставимо отриманий вираз для радіусу у формулу для площі, вийде: s = l^2/(4П). Абсолютно аналогічним способом визначається і довжина кола через площу кола.

Визначення довжини радіуса та діаметра

Важливо!Насамперед дізнаємося, як виміряти діаметр. Це дуже просто – проводимо будь-який радіус, продовжуємо його в протилежний бік до перетину з дугою. Циркулем відміряємо отриману відстань і за допомогою будь-якого метричного інструменту дізнаємось шукане!

Відповімо на питання, як дізнатися діаметр кола, знаючи його довжину. І тому висловимо його з формули l = П*d. Отримаємо d = l/П.

Ми вже знаємо як з довжини кола можна знайти її діаметр, так само знайдемо і радіус.

l = 2*П*r, звідси r = l/2*П. Загалом, щоб дізнатися радіус, його потрібно виражати через діаметр і навпаки.

Нехай тепер потрібно визначити діаметр, знаючи площу кола. Використовуємо, що s = П*d^2/4. Висловимо звідси d. Вийде d^2 = 4*s/П. Для визначення самого діаметра потрібно витягти корінь квадратний із правої частини. Вийде d = 2*sqrt(s/П).

Вирішення типових завдань

1. Дізнаємося, як знайти діаметр, якщо дана довжина кола. Нехай вона дорівнює 778,72 кілометрів. Потрібно знайти d. d = 778,72/3,14 = 248 км. Згадаймо, що таке діаметр і відразу визначимо радіус, для цього певне значення d розділимо навпіл. Вийде r = 248/2 = 124кілометра.
2. Розглянемо, як знайти довжину цього кола, знаючи її радіус. Нехай r має значення 8 дм 7 см. Переведемо це все сантиметри, тоді r дорівнюватиме 87 сантиметрів. Скористайтеся формулою, як знайти невідому довжину кола. Тоді наше шукане дорівнюватиме l = 2 * 3,14 * 87 = 546,36 см. Переведемо наше отримане значення у цілі числа метричних величин l = 546,36 см = 5 м 4 дм 6 см 3,6 мм.
3. Нехай нам потрібно визначити площу цього кола за формулою через її відомий діаметр. Нехай d = 815 метрів. Згадаймо формулу, як знайти площу кола. Підставимо сюди дані нам значення, отримаємо s = 3,14 * 815 ^ 2/4 = 521416,625 кв. м.
4. Тепер дізнаємося, як знайти площу кола, знаючи довжину його радіусу. Нехай радіус дорівнює 38 см. Використовуємо відому нам формулу. Підставимо сюди це нам за умовою значення. Вийде таке: s = 3,14 * 38 ^ 2 = 4534,16 кв. див.
5. Останнім завданням визначимо площу кола за відомою довжиною кола. Нехай l = 47 метрів. s = 47 ^ 2/(4П) = 2209/12,56 = 175,87 кв. м.

Довжина кола