У цьому уроці ми розглянемо, як за допомогою визначника скласти рівняння площини. Якщо ви не знаєте, що таке визначник, зайдіть у першу частину уроку – «Матриці та визначники». Інакше ви ризикуєте нічого не зрозуміти у сьогоднішньому матеріалі.
Рівняння площини за трьома точками
Навіщо взагалі потрібне рівняння площини? Все просто: знаючи його, ми легко вирахуємо кути, відстані та іншу хрень у задачі C2. Загалом без цього рівняння не обійтися. Тому сформулюємо завдання:
Завдання. У просторі дано три точки, що не лежать на одній прямій. Їхні координати:
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);Потрібно скласти рівняння площини, що проходить через ці три точки. Причому рівняння повинно мати вигляд:
Ax + By + Cz + D = 0
де числа A, B, C і D - коефіцієнти, які, власне, і потрібно знайти.
Ну і як отримати рівняння площини, якщо відомі лише координати точок? Найпростіший спосіб - підставити координати в рівняння Ax + By + Cz + D = 0. Вийде система із трьох рівнянь, яка легко вирішується.
Багато учнів вважають таке рішення вкрай стомливим та ненадійним. Минулорічний ЄДІ з математики показав, що ймовірність припустити обчислювальну помилку справді велика.
Тому найбільш просунуті вчителі стали шукати більш прості та витончені рішення. І знайшли! Щоправда, отриманий прийом скоріш належить до вищої математики. Особисто мені довелося перерити весь Федеральний перелік підручників, щоб переконатися, що ми маємо право застосовувати цей прийом без жодних обґрунтувань та доказів.
Рівняння площини через визначник
Досить лірики, приступаємо до справи. Для початку - теорема про те, як пов'язані визначник матриці та рівняння площини.
Теорема. Нехай дані координати трьох точок, через які треба провести площину: M = (x 1 , y 1 , z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x3, y3, z3). Тоді рівняння цієї площини можна записати через визначник:
Наприклад спробуємо визначити пару площин, які реально зустрічаються у завданнях С2. Погляньте, як швидко все вважається:
A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);
Складаємо визначник і прирівнюємо його до нуля:
Розкриваємо визначник:
a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;
Як бачите, при розрахунку числа d я трохи «зачесал» рівняння, щоб змінні x , y та z йшли у правильній послідовності. От і все! Рівняння площини готове!
Завдання. Складіть рівняння площини через крапки:
A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);
Відразу підставляємо координати точок у визначник:
Знову розкриваємо визначник:
a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a - b = z - (x + y) = z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;
Отже, рівняння площини знову одержано! Знову ж таки, на останньому кроці довелося поміняти в ньому знаки, щоб отримати більш «гарну» формулу. Робити це в цьому рішенні зовсім не обов'язково, але все-таки рекомендується - щоб спростити подальше вирішення завдання.
Як бачите, складати рівняння площини тепер набагато простіше. Підставляємо крапки в матрицю, вважаємо визначник – і все, рівняння готове.
На цьому можна було б закінчити урок. Однак багато учнів постійно забувають, що стоїть усередині визначника. Наприклад, у якому рядку стоїть x 2 чи x 3 , а якому - просто x . Щоб остаточно розібратися з цим, простежимо, звідки береться кожне число.
Звідки береться формула із визначником?
Отже, знаємо, звідки виникає таке суворе рівняння з визначником. Це допоможе вам запам'ятати його та успішно застосовувати.
Усі площини, які зустрічаються у задачі C2, задаються трьома точками. Ці точки завжди зазначені на кресленні, і навіть вказані у тексті завдання. У будь-якому випадку, для складання рівняння нам потрібно виписати їх координати:
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x3, y3, z3).
Розглянемо ще одну точку нашої площині з довільними координатами:
T = (x, y, z)
Беремо будь-яку точку з першої трійки (наприклад, точку M ) і проведемо з неї вектори в кожну з трьох точок, що залишилися. Отримаємо три вектори:
MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1);
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1);
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1).
Тепер складемо із цих векторів квадратну матрицю і прирівняємо її визначник до нуля. Координати векторів стануть рядками матриці - і ми отримаємо той самий визначник, який зазначений у теоремі:
Ця формула означає, що обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах MN , MK і MT дорівнює нулю. Отже, всі три вектори лежать у одній площині. Зокрема, і довільна точка T = (x, y, z) - саме те, що ми шукали.
Заміна точок та рядків визначника
У визначників є кілька чудових властивостей, які ще спрощують розв'язання задачі C2. Наприклад, нам не важливо, з якої точки проводити вектори. Тому такі визначники дають таке ж рівняння площини, як і наведений вище:
Також можна міняти місцями рядки визначника. Рівняння у своїй залишиться незмінним. Наприклад, багато хто любить записувати рядок з координатами точки T = (x; y; z) в самому верху. Будь ласка, якщо вам так зручно:
Деяких бентежить, що в одній із рядків присутні змінні x, y і z, які не зникають при підстановці крапок. Але вони й не мають зникати! Підставивши числа в визначник, ви повинні отримати таку конструкцію:
Потім визначник розкривається за схемою, наведеною на початку уроку, і виходить стандартне рівняння площини:
Ax + By + Cz + D = 0
Погляньте на приклад. Він останній у сьогоднішньому уроці. Я спеціально поміняю рядки місцями, щоб переконатися, що у відповіді вийде одне й те саме рівняння площини.
Завдання. Складіть рівняння площини через крапки:
B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).
Отже, розглядаємо 4 крапки:
B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).
Для початку складемо стандартний визначник і прирівнюємо його до нуля:
Розкриваємо визначник:
a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
Всі ми отримали відповідь: x + y + z − 2 = 0 .
Тепер переставимо пару рядків у визначнику і подивимося, що станеться. Наприклад, запишемо рядок зі змінними x, y, z не внизу, а вгорі:
Знову розкриваємо отриманий визначник:
a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
Ми отримали таке саме рівняння площини: x + y + z − 2 = 0. Отже, воно дійсно не залежить від порядку рядків. Залишилось записати відповідь.
Отже, ми переконалися, що рівняння площини залежить від послідовності рядків. Можна провести аналогічні обчислення та довести, що рівняння площини не залежить і від точки, координати якої ми віднімаємо з решти точок.
У розглянутій вище задачі ми використовували точку B 1 = (1, 0, 1), але можна було взяти C = (1, 1, 0) або D 1 = (0, 1, 1). Загалом, будь-яку точку з відомими координатами, що лежить на площині, що шукається.
Щоб отримати загальне рівняння площини, розберемо площину через задану точку.
Нехай у просторі є три вже відомі нам осі координат - Ox, Ойі Oz. Потримаємо аркуш паперу так, щоб він залишався пласким. Площиною буде сам лист та його продовження у всіх напрямках.
Нехай Pдовільна площина у просторі. Кожен перпендикулярний їй вектор називається вектором нормалі до цієї поверхні. Звичайно, йдеться про ненульовий вектор.
Якщо відома якась точка площини Pі якийсь вектор нормалі до неї, то цими двома умовами площину у просторі цілком визначено(через задану точку можна провести єдину площину перпендикулярну даному вектору). Загальне рівняння площини матиме вигляд:
Отже, умови, якими задається рівняння площини, є. Щоб отримати саме рівняння площини, що має наведений вище вигляд, візьмемо на площині Pдовільну точку M зі змінними координатами x, y, z. Ця точка належить площині лише у тому випадку, коли вектор перпендикулярний вектор(Рис. 1). Для цього, згідно з умовою перпендикулярності векторів, необхідно і достатньо, щоб скалярний добуток цих векторів дорівнював нулю, тобто
Вектор задано за умовою. Координати вектора знайдемо за формулою 
:
.
Тепер, використовуючи формулу скалярного твору векторів 
, Виразимо скалярне твір в координатній формі:
Бо точка M(x; y; z)обрана на площині довільно, то останньому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки, що лежить на площині P. Для точки N, що не лежить на заданій площині, тобто. рівність (1) порушується.
приклад 1.Скласти рівняння площини, яка проходить через точку та перпендикулярна вектору .
Рішення. Використовуємо формулу (1), ще раз подивимося на неї:
У цій формулі числа A , Bі Cкоординати вектора , а числа x0 , y0 і z0 - координати точки.
Обчислення дуже прості: підставляємо ці числа у формулу та отримуємо
Множимо все, що потрібно помножити і складаємо просто числа (які без літер). Результат:
.
Необхідне рівняння площини у цьому прикладі виявилося загальним рівнянням першого ступеня щодо змінних координат x, y, zдовільної точки площини.
Отже, рівняння виду
називається загальним рівнянням площини .
приклад 2.Побудувати у прямокутній декартовій системі координат площину, задану рівнянням 
.
Рішення. Для побудови площини необхідно і достатньо знати якісь три її точки, що не лежать на одній прямій, наприклад, точки перетину площини з осями координат.
Як знайти ці точки? Щоб знайти точку перетину з віссю Oz, потрібно в рівняння, дане за умови завдання, замість ікс і грека підставити нулі: x = y= 0. Тому отримуємо z= 6 . Таким чином, задана площина перетинає вісь Ozу точці A(0; 0; 6) .
Так само знаходимо точку перетину площини з віссю Ой. При x = z= 0 отримуємо y= −3 , тобто точку B(0; −3; 0) .
І, нарешті, знаходимо точку перетину нашої площини з віссю Ox. При y = z= 0 отримаємо x= 2 , тобто точку C(2; 0; 0) . За трьома отриманими в нашому рішенні точками A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) та C(2; 0; 0) будуємо задану площину.
Розглянемо тепер окремі випадки загального рівняння площини. Це випадки, коли ті чи інші коефіцієнти рівняння (2) перетворюються на нуль.
1. При D = 0 рівняння 
визначає площину, що проходить через початок координат, оскільки координати точки 0
(0; 0; 0) задовольняють цього рівняння.
2. При A = 0 рівняння 
визначає площину, паралельну осі Ox, оскільки вектор нормалі цієї площини перпендикулярний до осі. Ox(його проекція на вісь Oxдорівнює нулю). Аналогічно, при B = 0 площина 
паралельна осі Ой, а при C = 0 площина 
паралельна осі Oz.
3. При A = D = 0 рівняння визначає площину, що проходить через вісь Oxоскільки вона паралельна осі Ox (A =D = 0). Аналогічно, площина проходить через вісь Ой, а площина через вісь Oz.
4. При A = B = 0 рівняння визначає площину, паралельну координатній площині xOyоскільки вона паралельна осям Ox (A= 0) та Ой (B= 0). Аналогічно, площина паралельна площині yOz, а площина - площині xOz.
5. При A = B = D = 0 рівняння (або z = 0) визначає координатну площину xOyоскільки вона паралельна площині xOy (A = B = 0) і проходить через початок координат ( D = 0). Аналогічно, рівняння y = 0 у просторі визначає координатну площину xOz, а рівняння x = 0 - координатну площину yOz.
приклад 3.Скласти рівняння площини P, що проходить через вісь Ойі точку.
Рішення. Отже, площина проходить через вісь Ой. Тому в її рівнянні y= 0 і це рівняння має вигляд. Для визначення коефіцієнтів Aі Cскористаємося тим, що точка належить площині P .
Тому серед її координат є такі, які можна підставити в рівнянні площини, що ми вже вивели (). Дивимося ще раз на координати точки:
M0 (2; −4; 3) .
Серед них x = 2 , z= 3. Підставляємо їх у рівняння загального виду та отримуємо рівняння для нашого окремого випадку:
2A + 3C = 0 .
Залишаємо 2 Aу лівій частині рівняння, переносимо 3 Cу праву частину та отримуємо
A = −1,5C .
Підставивши знайдене значення Aв рівняння, отримаємо
або .
Це і є рівняння, необхідне за умови прикладу.
Вирішити завдання на рівняння площини самостійно, а потім переглянути рішення
приклад 4.Визначити площину (або площини, якщо більше однієї) щодо координатних осей або координатних площин, якщо площина задана рівнянням .
Вирішення типових завдань, які бувають на контрольних роботах - у посібнику "Завдання на площину: паралельність, перпендикулярність, перетин трьох площин в одній точці".
Рівняння площини, що проходить через три точки
Як уже згадувалося, необхідною і достатньою умовою для побудови площини, крім однієї точки та вектора нормалі, є також три точки, що не лежать на одній прямій.
Нехай дані три різні точки , і , що не лежать на одній прямій. Так як зазначені три точки не лежать на одній прямій, вектори і не колінеарні, а тому будь-яка точка площини лежить в одній площині з точками , і тоді і тільки тоді, коли вектори , і 
компланарні, тобто. тоді і лише тоді, коли змішаний твір цих векторіводно нулю.
Використовуючи вираз змішаного твору в координатах, отримаємо рівняння площини
(3)
Після розкриття визначника це рівняння стає рівнянням виду (2), тобто. загальним рівнянням площини.
Приклад 5.Скласти рівняння площини, що проходить через три дані точки, що не лежать на одній прямій:
і визначити окремий випадок загального рівняння прямої, якщо така має місце.
Рішення. За формулою (3) маємо:
Нормальне рівняння площини. Відстань від точки до площини
Нормальним рівнянням площини називається її рівняння, записане як
Для того, щоб через три якісь точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій.
Розглянемо точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) у загальній декартовій системі координат.
Для того щоб довільна точка М(x, y, z) лежала в одній площині з точками М 1 , М 2 , М 3 необхідно, щоб вектори були компланарні.
(
)
= 0
Таким чином, 
Рівняння площини, що проходить через три точки:
Рівняння площини за двома точками та вектором, колінеарною площиною.
Нехай задані точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) і вектор 
.
Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М 1 і М 2 і довільну точку М(х, у, z) паралельно вектору 
.
Вектори 
та вектор 
мають бути компланарні, тобто.
(
)
= 0
Рівняння площини:
Рівняння площини по одній точці та двох векторів,
колінеарні площині.
Нехай задані два вектори 
і 
, колінеарні площини. Тоді для довільної точки М(х, у,z), що належить площині, вектори 
мають бути компланарними.
Рівняння площини:
Рівняння площини за точкою та вектором нормалі .
Теорема.
Якщо у просторі задана точка М 0
(х 0
, у 0
,
z 0
), то рівняння площини, що проходить через точку М 0
перпендикулярно вектору нормалі
(A,
B,
C) має вигляд:
A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Доведення.
Для довільної точки М(х, у, z), що належить площині, складемо вектор. Т.к. вектор
- вектор нормалі, то він перпендикулярний площині, а, отже, перпендикулярний і вектору 
. Тоді скалярний твір
=
0
Таким чином, отримуємо рівняння площини
Теорему доведено.
Рівняння площини у відрізках.
Якщо у загальному рівнянні Ах + Ву + Сz + D = 0 поділити обидві частини на (-D)
,
замінивши 
, Отримаємо рівняння площини у відрізках:
Числа a, b, c є точками перетину площини відповідно до осей х, у, z.
Рівняння плоскості у векторній формі.
де
- радіус- вектор поточної точки М(х, у, z),
Одиничний вектор, що має напрямок, перпендикуляра, опущеного на площину початку координат.
, та - кути, утворені цим вектором з осями х, у, z.
p - Довжина цього перпендикуляра.
У координатах це рівняння має вигляд:
xcos + ycos + zcos - p = 0.
Відстань від точки до площини.
Відстань від довільної точки М 0 (х 0, у 0, z 0) до площини Ах + Ву + Сz + D = 0 дорівнює:
приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4; -3; 12) - основа перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.
Таким чином, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, скористаємося формулою:
A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через дві точки P(2; 0; -1) та
Q(1; -1; 3) перпендикулярно до площини 3х + 2у – z + 5 = 0.
Вектор нормалі до площини 3х + 2у – z + 5 = 0 
паралельний шуканій площині.
Отримуємо:
приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через точки А(2, -1, 4) та
В(3, 2, -1) перпендикулярно до площини х + у + 2z – 3 = 0.
Шукане рівняння площини має вигляд: A x+ B y+ C z+ D = 0, вектор нормалі до цієї площини 
(A, B, C). Вектор 
(1, 3, -5) належить площині. Задана нам площина, перпендикулярна до шуканої має вектор нормалі. 
(1, 1, 2). Т.к. точки А і В належать обом площинам, а площини взаємно перпендикулярні, то
Таким чином, вектор нормалі 
(11, -7, -2). Т.к. точка А належить шуканої площині, її координати повинні задовольняти рівнянню цієї площині, тобто. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.
Отже, отримуємо рівняння площини: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.
приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4, -3, 12) - основа перпендикуляра, опущеного початку координат на цю площину.
Знаходимо координати вектора нормалі 
= (4, -3, 12). Шукане рівняння площини має вигляд: 4 x
– 3y
+ 12z+ D = 0. Для знаходження коефіцієнта D підставимо в рівняння координати точки Р:
16+9+144+D=0
Отже, отримуємо шукане рівняння: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0
приклад.Дано координати вершин піраміди А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),
Знайти довжину ребра А1А2.
Знайти кут між ребрами А1А2 і А1А4.
Знайти кут між ребром А1А4 і гранню А1А2А3.
Спочатку знайдемо вектор нормалі до грані А1А2А3 
як векторний добуток векторів 
і 
.
=
(2-1;
1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
Знайдемо кут між вектором нормалі та вектором 
.
-4
– 4 = -8.
Шуканий кут між вектором і площиною дорівнюватиме = 90 0 - .
Знайти площу грані А 1 А 2 А 3 .
Знайти обсяг піраміди.
Знайти рівняння площини А1А2А3.
Скористаємося формулою рівняння площини, що проходить через три точки.
2x + 2y + 2z - 8 = 0
x + y + z - 4 = 0;
При використанні комп'ютерної версії “ Курс вищої математики” можна запустити програму, яка вирішить розглянутий вище приклад для будь-яких координат вершин піраміди.
Для запуску програми двічі клацніть на значку:
У вікні програми, що відкрилося, введіть координати вершин піраміди і, натисніть Enter. Таким чином, по черзі можуть бути отримані усі пункти рішення.
Примітка: Для запуску програми необхідно, щоб на комп'ютері була встановлена програма Maple (Waterloo Maple Inc.) будь-якої версії, починаючи з MapleV Release 4.
Для визначення паралельності та перпендикулярності площин, а також для розрахунку відстаней між цими геометричними об'єктами, зручно користуватися тим чи іншим видом числових функцій. Для яких завдань зручно використати рівняння площини у відрізках? У цій статті розглянемо, що це та як використовувати у практичних завданнях.
Що являє собою рівняння у відрізках?
Площину можна задати у тривимірному просторі кількома способами. У цій статті деякі з них будуть наведені під час розв'язання задач різного типу. Тут же дамо докладну характеристику рівняння у відрізках площини. Воно у випадку має такий вид:
Де символами p, q, r позначені деякі конкретні числа. Це рівняння можна легко перевести у вираз загального вигляду та інші форми числових функцій для площини.
Зручність запису рівняння у відрізках полягає в тому, що воно містить очевидні координати перетину площини з перпендикулярними осями координат. На осі x щодо початку координат площина відсікає відрізок довжиною p, осі y - рівну q, на z - довжиною r.
Якщо якийсь із трьох змінних не міститься в рівнянні, то це означає, що через відповідну вісь площина не проходить (математики кажуть, що перетинає в нескінченності).
Зв'язок загального та у відрізках рівнянь
Відомо, що площина задана такою рівністю:
2 * x - 3 * y + z - 6 = 0.
Необхідно це загальне рівняння площини у відрізках записати.
Коли виникає подібне завдання, потрібно слідувати такій методиці: переносимо вільний член у праву частину рівності. Потім ділимо цей член все рівняння, прагнучи його висловити як, наведеному у попередньому пункті. Маємо:
2 * x - 3 * y + z = 6 =>
2*x/6 - 3*y/6 + z/6 = 1 =>
x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.
Ми отримали у відрізках рівняння площини, задане спочатку у загальному вигляді. Помітно, що площина відсікає відрізки з довжинами 3, 2 та 6 для осей x, y та z відповідно. Вісь площина перетинає в негативній області координат.
При складанні рівняння у відрізках важливо, щоб перед усіма змінними стояв знак "+". Тільки в цьому випадку число, на яке ця змінна ділиться, покаже координату, що відсікається на осі.
Нормальний вектор і точки на площині
Відомо, що деяка площина має (3; 0; -1). Також відомо, що вона проходить через точку (1; 1; 1). Слід для цієї площини написати рівняння у відрізках.
Щоб вирішити це завдання, слід спочатку скористатися загальної формою цього двовимірного геометричного об'єкта. Загальна форма записується у вигляді:
A * x + B * y + C * z + D = 0.
Три перші коефіцієнти тут координатами вектора направляючого, який заданий за умови завдання, тобто:
Залишається знайти вільний член D. Його визначити можна за такою формулою:
D = -1 * (A * x 1 + B * y 1 + C * z 1).
Де значення координат з індексом 1 відповідають координатам точки, що належить площині. Підставляємо їх значення з умови завдання, одержуємо:
D = -1 * (3 * 1 + 0 * 1 + (-1) * 1) = -2.
Тепер можна записати повністю рівняння:
Вище вже була продемонстрована методика перетворення цього виразу на рівняння у відрізках площини. Застосуємо її:
3 * x - z = 2 =>
x/(2/3) + z/(-2) = 1.
Відповідь завдання отримано. Зауважимо, що дана площина перетинає лише x та z осі. Для y вона паралельна.
Дві прямі, що задають площину
З курсу просторової геометрії кожен школяр знає, що дві довільні прямі однозначно задають площину в просторі тривимірному. Вирішимо подібне завдання.
Відомі два рівняння прямих:
(x; y; z) = (1; 0; 0) + α * (2; -1; 0);
(x; y; z) = (1; -1; 0) + β * (-1; 0; 1).
Потрібно записати у відрізках рівняння площини, через ці прямі проходить.
Так як обидві прямі повинні лежати в площині, це означає, що їх вектора (напрямні) повинні бути перпендикулярні вектору (напрямному) для площині. У той самий час відомо, що вектор добуток довільних двох спрямованих відрізків дає результат як координат третього, перпендикулярного двом вихідним. Враховуючи цю властивість, отримуємо координати нормального до площини вектора:
[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).
Оскільки його можна множити на довільне число, при цьому утворюється новий спрямований відрізок, паралельний вихідному, можна знак отриманих координат замінити на протилежний (помножити на -1), отримаємо:
Нам відомий напрямний вектор. Залишається взяти довільну точку однієї з прямих і скласти загальне рівняння площини:
D = -1 * (1 * 1 + 2 * 0 + 3 * 0) = -1;
x + 2 * y + z -1 = 0.
Перекладаємо цю рівність у вираз у відрізках, отримуємо:
x + 2*y + z = 1 =>
x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.
Таким чином, площина перетинає всі три осі позитивної області координатної системи.
Так само як дві прямі, три точки задають площину однозначно тривимірному просторі. Запишемо відповідне рівняння у відрізках, якщо відомі наступні координати точок, що лежать у площині:
Поступимо наступним чином: обчислимо координати двох довільних векторів, що з'єднують ці точки, потім знайдемо нормальний до площини вектор n, розрахувавши добуток знайдених спрямованих відрізків. Отримуємо:
QP = P - Q = (1; -1; 0);
QM = M - Q = (2; 4; 0);
n = = [(1; -1; 0) * (2; 4; 0)] = (0; 0; 6).
Візьмемо для прикладу точку P, складемо рівняння площини:
D = -1 * (0 * 2 + 0 * (-3) + 6 * 0) = 0;
6*z = 0 чи z = 0.
Ми отримали простий вираз, який відповідає площині xy у цій прямокутній системі координат. Записати його у відрізках не можна, оскільки осі x і y належать площині, а довжина відрізу, що відсікається на осі z, відрізка дорівнює нулю (точка (0; 0; 0) належить площині).
