Zvyčajne je druhý pozoruhodný limit napísaný v tejto forme:

\začiatok(rovnica) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(rovnica)

Číslo $e$ uvedené na pravej strane rovnosti (1) je iracionálne. Približná hodnota tohto čísla je: $e\approx(2(,)718281828459045)$. Ak nahradíme $t=\frac(1)(x)$, potom vzorec (1) možno prepísať takto:

\začiatok(rovnica) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(rovnica)

Pokiaľ ide o prvú pozoruhodnú hranicu, nezáleží na tom, ktorý výraz stojí namiesto premennej $x$ vo vzorci (1) alebo namiesto premennej $t$ vo vzorci (2). Hlavná vec je splniť dve podmienky:

1. Základ stupňa (t. j. výraz v zátvorkách vzorcov (1) a (2)) by mal smerovať k jednote;
2. Exponent (t.j. $x$ vo vzorci (1) alebo $\frac(1)(t)$ vo vzorci (2)) musí smerovať k nekonečnu.

Druhá pozoruhodná hranica vraj odhaľuje neistotu $1^\infty$. Upozorňujeme, že vo vzorci (1) nešpecifikujeme, o ktorom nekonečne ($+\infty$ alebo $-\infty$) hovoríme. V každom z týchto prípadov je vzorec (1) správny. Vo vzorci (2) môže mať premenná $t$ tendenciu k nule vľavo aj vpravo.

Poznamenávam, že z druhého pozoruhodného limitu vyplýva aj niekoľko užitočných dôsledkov. Príklady použitia druhej pozoruhodnej limity, ako aj jej dôsledkov, sú medzi zostavovateľmi štandardných štandardných výpočtov a testov veľmi obľúbené.

Príklad č.1

Vypočítajte hranicu $\lim_(x\to\infty)\vľavo(\frac(3x+1)(3x-5)\vpravo)^(4x+7)$.

Okamžite si všimnime, že základ stupňa (t.j. $\frac(3x+1)(3x-5)$) má tendenciu k jednote:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\vľavo|\frac(\infty)(\infty)\vpravo| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

V tomto prípade má exponent (výraz $4x+7$) tendenciu k nekonečnu, t.j. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Základ stupňa smeruje k jednote, exponent k nekonečnu, t.j. máme do činenia s neistotou $1^\infty$. Aplikujme vzorec na odhalenie tejto neistoty. Základom mocniny vzorca je výraz $1+\frac(1)(x)$ a v príklade, ktorý uvažujeme, je základ mocniny: $\frac(3x+1)(3x- 5) $. Prvou akciou teda bude formálna úprava výrazu $\frac(3x+1)(3x-5)$ do tvaru $1+\frac(1)(x)$. Najprv pridajte a odčítajte jednu:

$$ \lim_(x\to\infty)\vľavo(\frac(3x+1)(3x-5)\vpravo)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

Upozorňujeme, že jednotku nemôžete jednoducho pridať. Ak sme nútení jednu pridať, tak ju musíme aj odčítať, aby sme nezmenili hodnotu celého výrazu. Aby sme mohli pokračovať v riešení, berieme to do úvahy

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

Pretože $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, potom:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ vľavo(1+\frac(6)(3x-5)\vpravo)^(4x+7) $$

Pokračujme v úprave. Vo výraze $1+\frac(1)(x)$ vzorca je čitateľ zlomku 1 a v našom výraze $1+\frac(6)(3x-5)$ je čitateľ $6$. Ak chcete v čitateli získať 1 $, vložte 6 $ do menovateľa pomocou nasledujúcej konverzie:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

teda

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\vpravo)^(4x+7) $$

Čiže základ titulu, t.j. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, upravené na požadovaný tvar $1+\frac(1)(x)$ vo vzorci. Teraz začnime pracovať s exponentom. Všimnite si, že vo vzorci sú výrazy v exponentoch a v menovateli rovnaké:

To znamená, že v našom príklade musia byť exponent a menovateľ uvedený do rovnakého tvaru. Aby sme dostali výraz $\frac(3x-5)(6)$ v exponente, jednoducho vynásobíme exponent týmto zlomkom. Prirodzene, aby ste kompenzovali takéto násobenie, budete musieť okamžite vynásobiť recipročným zlomkom, t.j. podľa $\frac(6)(3x-5)$. Takže máme:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\vpravo)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Uvažujme samostatne limit zlomku $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ nachádzajúceho sa v mocnine:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\vľavo|\frac(\infty)(\infty)\vpravo| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) = 8. $$

Odpoveď: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9)) $.

Príklad č.4

Nájdite limit $\lim_(x\to+\infty)x\vľavo(\ln(x+1)-\ln(x)\vpravo)$.

Keďže pre $x>0$ máme $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, potom:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\vľavo(\ln(x+1)-\ln(x)\vpravo) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ vľavo(\frac(x+1)(x)\vpravo)\vpravo) $$

Rozbalením zlomku $\frac(x+1)(x)$ na súčet zlomkov $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ dostaneme:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left (\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\vľavo (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\vpravo)^x\vpravo) =\ln(e) =1. $$

Odpoveď: $\lim_(x\to+\infty)x\vľavo(\ln(x+1)-\ln(x)\vpravo)=1$.

Príklad č.5

Nájdite limit $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Pretože $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ a $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, potom máme do činenia s neurčitosťou tvaru $1^\infty$. Podrobné vysvetlenia sú uvedené v príklade č.2, ale tu sa obmedzíme na stručné riešenie. Nahradením $t=x-2$ dostaneme:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\vľavo|\začiatok(zarovnané)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\do(0)\koniec(zarovnané)\vpravo| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Tento príklad môžete vyriešiť iným spôsobom pomocou náhrady: $t=\frac(1)(x-2)$. Samozrejme, odpoveď bude rovnaká:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\vľavo|\začiatok(zarovnané)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(zarovnané)\vpravo| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\vľavo(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\vpravo)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\vpravo)^(\frac(t)(3))\vpravo)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Odpoveď: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Príklad č.6

Nájdite limit $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

Poďme zistiť, k čomu má výraz $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ tendenciu pod podmienkou $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\vpravo| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0) = 1. $$

V danej limite teda máme do činenia s neurčitosťou tvaru $1^\infty$, ktorú odhalíme pomocou druhej pozoruhodnej limity:

$$ \lim_(x\to\infty)\vľavo(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\vpravo)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\vpravo)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4 )(7))\vpravo)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Odpoveď: $\lim_(x\to\infty)\vľavo(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\vpravo)^(3x)=1$.

LEKCIA 20

20.1 ZVEREJNENIE DRUHOVEJ NEISTOTY

Príklad 1

Vyriešiť limit Najprv skúsme nahradiť -1 do zlomku: V tomto prípade sa získa takzvaná neistota.

Všeobecné pravidlo: ak čitateľ a menovateľ obsahujú polynómy a forma je neurčitá, potom to odhaliť musíte rozpočítať čitateľa a menovateľa.

Na to je najčastejšie potrebné vyriešiť kvadratickú rovnicu a/alebo použiť skrátené vzorce na násobenie.

Rozložme čitateľa na faktor.

Príklad 2

Vypočítajte limit

Rozložme čitateľa a menovateľa.

Menovateľ čitateľa: ,

Metóda násobenia čitateľa a menovateľa konjugovaným výrazom

Naďalej zvažujeme neistotu formy

Ďalší typ limitov je podobný predchádzajúcemu typu. Jediná vec, okrem polynómov, pridáme korene.

Príklad 3

Nájdite hranicu

Vynásobte čitateľa a menovateľa konjugovaným výrazom.

20.2 ZVEREJNENIE DRUHOVEJ NEISTOTY

Teraz budeme uvažovať o skupine limity when a funkciou je zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ obsahuje polynómy

Príklad 4

Vypočítajte limit

Podľa nášho pravidla sa pokúsime do funkcie dosadiť nekonečno. Čo získame na vrchole? Nekonečno. A čo sa deje nižšie? Tiež nekonečno. Máme teda to, čo sa nazýva druhová neistota. Niekto by si mohol myslieť, že odpoveď je hotová, ale vo všeobecnom prípade to tak vôbec nie je a je potrebné použiť nejakú techniku ​​riešenia, ktorú teraz zvážime.

Ako riešiť limity tohto typu?

Najprv sa pozrieme na čitateľa a nájdeme najvyššiu mocnosť: Vedúca mocnina v čitateli je dvojka.

Teraz sa pozrieme na menovateľa a tiež ho nájdeme na najvyššiu moc: Najvyšší stupeň menovateľa je dva.

Potom zvolíme najvyššiu mocninu čitateľa a menovateľa: v tomto príklade sú rovnaké a rovnajú sa dvom.

Metóda riešenia je teda nasledovná: odhaliť neistotumusíte deliť čitateľa a menovateľav seniorskom stupni.

Vydeľte čitateľa a menovateľa podľa

Tu je odpoveď a už vôbec nie nekonečno.

Čo je zásadne dôležité pri návrhu rozhodnutia?

Najprv uvedieme neistotu, ak existuje.

Po druhé, je vhodné prerušiť riešenie na prechodné vysvetlenia. Zvyčajne používam znak, ktorý nemá žiadny matematický význam, ale znamená, že riešenie je prerušené na prechodné vysvetlenie.

Po tretie, v limite je vhodné vyznačiť, čo kam ide. Keď je práca vypracovaná ručne, je pohodlnejšie to urobiť takto: Na poznámky je lepšie použiť jednoduchú ceruzku.

Samozrejme, nemusíte nič z toho robiť, ale potom možno učiteľ upozorní na nedostatky v riešení alebo začne klásť doplňujúce otázky o zadaní. Potrebujete to?

Príklad 5

Nájdite hranicu Opäť v čitateli a menovateli nájdeme v najvyššom stupni: Maximálny stupeň v čitateli: 3 Maximálny stupeň v menovateli: 4 Vyberte najväčší hodnotu, v tomto prípade štyri. Podľa nášho algoritmu, aby sme odhalili neistotu, delíme čitateľa a menovateľa o. Kompletné zadanie môže vyzerať takto:

Príklad 6

Nájdite hranicu Maximálny stupeň „X“ v čitateli: 2 Maximálny stupeň „X“ v menovateli: 1 (možno zapísať ako) Pre odhalenie neistoty je potrebné vydeliť čitateľa a menovateľa. Konečné riešenie môže vyzerať takto:

Vydeľte čitateľa a menovateľa podľa

Zápis neznamená delenie nulou (nulou sa deliť nedá), ale delenie nekonečne malým číslom.

Odhalením druhovej neistoty sa nám to možno podarí konečné číslo, nula alebo nekonečno.

WORKSHOP 20

ÚLOHA N 1

Riešenie: Ak namiesto premennej dáme hodnotu 7, ku ktorej smeruje, dostaneme neurčitosť tvaru

ÚLOHA N 2Téma: Zverejnenie neistoty typu „nula k nule“.

Riešenie: Ak namiesto premennej dáme hodnotu 0, ku ktorej smeruje, dostaneme neurčitosť tvaru

ÚLOHA N 3Téma: Zverejnenie neistoty typu „nula k nule“.

Riešenie: Ak namiesto premennej dáme hodnotu 6, ku ktorej smeruje, dostaneme neurčitosť tvaru

ÚLOHA N 4

Riešenie: Pretože A

ÚLOHA N 5Téma: Odhalenie neurčitosti tvaru "nekonečno do nekonečna"

Riešenie: Pretože A potom je tu neurčitosť tvaru Aby ste to odhalili, musíte vydeliť každý člen čitateľa a menovateľa. Potom, keď vieme, čo dostaneme:

NEZÁVISLÁ PRÁCA 20

ÚLOHA N 1Téma: Zverejnenie neistoty typu „nula k nule“.

ÚLOHA N 2Téma: Zverejnenie neistoty typu „nula k nule“.

ÚLOHA N 3Téma: Zverejnenie neistoty typu „nula k nule“.

ÚLOHA N 4Téma: Odhalenie neurčitosti tvaru "nekonečno do nekonečna"

ÚLOHA N 5Téma: Odhalenie neurčitosti tvaru "nekonečno do nekonečna" Funkčný limit rovný...

ÚLOHA N 6Téma: Odhalenie neurčitosti tvaru "nekonečno do nekonečna"

Limity dávajú všetkým študentom matematiky veľa problémov. Na vyriešenie limitu musíte niekedy použiť množstvo trikov a vybrať si z množstva spôsobov riešenia presne ten, ktorý je vhodný pre konkrétny príklad.

V tomto článku vám nepomôžeme pochopiť hranice vašich možností alebo pochopiť hranice kontroly, ale pokúsime sa odpovedať na otázku: ako porozumieť limitom vo vyššej matematike? Pochopenie prichádza so skúsenosťami, preto zároveň uvedieme niekoľko podrobných príkladov riešenia limity s vysvetleniami.

Pojem limita v matematike

Prvá otázka znie: aká je táto hranica a hranica čoho? Môžeme hovoriť o limitoch číselných postupností a funkcií. Nás zaujíma pojem limita funkcie, keďže s tým sa študenti najčastejšie stretávajú. Najprv však najvšeobecnejšia definícia limitu:

Povedzme, že existuje nejaká premenná hodnota. Ak sa táto hodnota v procese zmeny neobmedzene blíži k určitému číslu a , To a – hranica tejto hodnoty.

Pre funkciu definovanú v určitom intervale f(x)=y takéto číslo sa nazýva limit A , ku ktorej funkcia inklinuje, keď X , smerujúce k určitému bodu A . Bodka A patrí do intervalu, na ktorom je funkcia definovaná.

Znie to ťažkopádne, ale je to napísané veľmi jednoducho:

Lim- z angličtiny limit- limit.

Existuje aj geometrické vysvetlenie na určenie limity, ale tu sa nebudeme vŕtať v teórii, pretože nás viac zaujíma praktická ako teoretická stránka problému. Keď to hovoríme X inklinuje k nejakej hodnote, to znamená, že premenná nenaberá hodnotu čísla, ale približuje sa k nej nekonečne blízko.

Uveďme konkrétny príklad. Úlohou je nájsť hranicu.

Na vyriešenie tohto príkladu dosadíme hodnotu x=3 do funkcie. Dostaneme:

Mimochodom, ak vás zaujímajú základné operácie s maticami, prečítajte si na túto tému samostatný článok.

V príkladoch X môže smerovať k akejkoľvek hodnote. Môže to byť ľubovoľné číslo alebo nekonečno. Tu je príklad, kedy X má tendenciu k nekonečnu:

Intuitívne, čím väčšie číslo v menovateli, tým menšiu hodnotu funkcia nadobudne. Takže s neobmedzeným rastom X význam 1/x bude klesať a blížiť sa k nule.

Ako vidíte, na vyriešenie limitu stačí do funkcie nahradiť hodnotu, o ktorú sa chcete snažiť X . Toto je však najjednoduchší prípad. Nájdenie limitu často nie je také zrejmé. V rámci limitov sú neistoty typu 0/0 alebo nekonečno/nekonečno . Čo robiť v takýchto prípadoch? Uchýlite sa k trikom!

Neistoty vo vnútri

Neistota tvaru nekonečno/nekonečno

Nech existuje limit:

Ak sa pokúsime do funkcie dosadiť nekonečno, dostaneme nekonečno v čitateli aj v menovateli. Vo všeobecnosti stojí za to povedať, že v riešení takýchto neistôt je určitý prvok umenia: musíte si všimnúť, ako môžete transformovať funkciu takým spôsobom, že neistota zmizne. V našom prípade delíme čitateľa a menovateľa o X v seniorskom stupni. Čo sa bude diať?

Z vyššie uvedeného príkladu vieme, že členy obsahujúce x v menovateli budú mať tendenciu k nule. Potom je riešením limitu:

Na vyriešenie typových neistôt nekonečno/nekonečno vydeľte čitateľa a menovateľa o X do najvyššej miery.

Mimochodom! Pre našich čitateľov je teraz zľava 10%. akýkoľvek druh práce

Iný typ neistoty: 0/0

Ako vždy, nahradenie hodnôt do funkcie x = -1 dáva 0 v čitateli a menovateli. Pozrite sa trochu bližšie a všimnete si, že v čitateli máme kvadratickú rovnicu. Nájdite korene a napíšme:

Zredukujeme a získame:

Ak teda čelíte typovej neistote 0/0 – faktor čitateľa a menovateľa.

Aby sme vám uľahčili riešenie príkladov, uvádzame tabuľku s limitmi niektorých funkcií:

L'Hopitalovo pravidlo vo vnútri

Ďalší účinný spôsob, ako odstrániť oba typy neistoty. Čo je podstatou metódy?

Ak je v limite neistota, berte deriváciu čitateľa a menovateľa, kým neistota nezmizne.

L'Hopitalovo pravidlo vyzerá takto:

Dôležitý bod : musí existovať limita, v ktorej sú derivácie čitateľa a menovateľa namiesto čitateľa a menovateľa.

A teraz - skutočný príklad:

Je tu typická neistota 0/0 . Zoberme si deriváty čitateľa a menovateľa:

Voilá, neistota sa vyrieši rýchlo a elegantne.

Dúfame, že tieto informácie dokážete užitočne aplikovať v praxi a nájdete odpoveď na otázku „ako riešiť limity vo vyššej matematike“. Ak potrebujete vypočítať limitu postupnosti alebo limitu funkcie v bode a na túto prácu nie je absolútne čas, obráťte sa na profesionálny študentský servis, ktorý vám poskytne rýchle a podrobné riešenie.

V predchádzajúcom článku sme hovorili o tom, ako správne vypočítať limity elementárnych funkcií. Ak vezmeme zložitejšie funkcie, potom budeme mať vo výpočtoch výrazy s nedefinovanou hodnotou. Nazývajú sa neistoty.

Rozlišujú sa tieto hlavné typy neistôt:

1. Deliť 0 0 0 0 ;
2. Delenie jedného nekonečna druhým ∞ ∞;

0 zvýšená na nulovú mocninu 0 0 ;

3. nekonečno zvýšené na nulovú mocninu ∞ 0 .

Uviedli sme všetky hlavné neistoty. Iné výrazy môžu nadobudnúť konečné alebo nekonečné hodnoty za rôznych podmienok, a preto ich nemožno považovať za neistoty.

Odhaľovanie neistôt

Neistotu možno vyriešiť:

1. Zjednodušením typu funkcie (použitím skrátených vzorcov na násobenie, goniometrických vzorcov, dodatočného násobenia konjugovanými výrazmi a následnou redukciou atď.);

S pomocou úžasných limitov;

Použitie L'Hopitalovho pravidla;

Nahradením jedného infinitezimálneho výrazu jeho ekvivalentným výrazom (tento úkon sa spravidla vykonáva pomocou tabuľky nekonečne malých výrazov).

Všetky vyššie uvedené informácie môžu byť prehľadne prezentované vo forme tabuľky. Na ľavej strane ukazuje typ neistoty, na pravej - vhodný spôsob na jej odhalenie (nájdenie limitu). Táto tabuľka je veľmi vhodná na použitie pri výpočtoch súvisiacich s hľadaním limitov.

Neistota	Metóda zverejnenia neistoty
1. Vydeľte 0 číslom 0	Transformácia a následné zjednodušenie výrazu. Ak má výraz tvar sin (k x) k x alebo k x sin (k x), potom musíte použiť prvú pozoruhodnú hranicu. Ak takéto riešenie nie je vhodné, použijeme L'Hopitalovo pravidlo alebo tabuľku ekvivalentných infinitezimálnych výrazov
2. Delenie nekonečna nekonečnom	Transformujte a zjednodušte výraz alebo použite L'Hopitalovo pravidlo
3. Násobenie nuly nekonečnom alebo nájdenie rozdielu medzi dvoma nekonečnami	Preveďte na 0 0 alebo ∞ ∞ a potom použite L'Hopitalovo pravidlo
4. Jednotka na mocninu nekonečna	Použitie druhej veľkej hranice
5. Zvýšenie nuly alebo nekonečna na nulový výkon	Logaritmovanie výrazu pomocou rovnosti lim x → x 0 ln (f (x)) = ln lim x → x 0 f (x)

Pozrime sa na pár problémov. Tieto príklady sú pomerne jednoduché: v nich sa odpoveď získa ihneď po nahradení hodnôt a neexistuje žiadna neistota.

Príklad 1

Vypočítajte limit lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .

Riešenie

Vykonáme substitúciu hodnoty a dostaneme odpoveď.

lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2

odpoveď: lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .

Príklad 2

Vypočítajte limit lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 .

Riešenie

Máme exponenciálnu mocninnú funkciu, do základu ktorej musíme dosadiť x = 0.

(x 2 + 2, 5) x = 0 = 0 2 + 2, 5 = 2, 5

To znamená, že limit môžeme transformovať na nasledujúci výraz:

lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2

Teraz sa pozrime na indikátor - výkonovú funkciu 1 x 2 = x - 2. Pozrime sa na tabuľku limitov mocninových funkcií s exponentom menším ako nula a získame nasledovné: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ a lim x → 0 + 0 1 x 2 = limit x → 0 + 0 x - 2 = + ∞

Môžeme teda napísať, že lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞.

Teraz vezmeme tabuľku limitov exponenciálnych funkcií so základňami väčšími ako 0 a dostaneme:

lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞ = + ∞

odpoveď: lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = + ∞ .

Príklad 3

Vypočítajte limit lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 .

Riešenie

Vykonávame zámenu hodnoty.

limit x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0

V dôsledku toho sme skončili s neistotou. Pomocou tabuľky vyššie vyberte metódu riešenia. Znamená to, že musíte zjednodušiť výraz.

lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) x - 1 = = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) · ( x + 1) x - 1 = limit x → 1 (x + 1) · x - 1 = = 1 + 1 · 1 - 1 = 2 · 0 = 0

Ako vidíme, zjednodušenie viedlo k odhaleniu neistoty.

odpoveď: limit x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0

Príklad 4

Vypočítajte limit lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x .

Riešenie

Dosadíme hodnotu a získame nasledujúci záznam.

limit x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0

Dospeli sme k potrebe deliť nulu nulou, čo je neistota. Pozrime sa na požadovaný spôsob riešenia v tabuľke - ide o zjednodušenie a transformáciu výrazu. Vynásobme navyše čitateľa a menovateľa konjugovaným výrazom 12 - x + 6 + x:

limit x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = limit x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x

Menovateľ sa vynásobí, takže potom môžete použiť skrátený vzorec násobenia (rozdiel štvorcov) na vykonanie redukcie.

lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = limit x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = limit x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = limit x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = limit x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3

Ako vidíme, v dôsledku týchto akcií sme sa mohli zbaviť neistoty.

odpoveď: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .

Je dôležité poznamenať, že pri riešení takýchto problémov sa veľmi často používa prístup násobenia, preto vám odporúčame, aby ste si presne zapamätali, ako sa to robí.

Príklad 5

Vypočítajte limit lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 .

Riešenie

Vykonávame striedanie.

limit x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 1 - 3 3 1 2 - 5 1 + 2 = 0 0

V dôsledku toho sme skončili s neistotou. Odporúčaný spôsob riešenia problému v tomto prípade je zjednodušenie výrazu. Pretože keď sa x rovná jednej, čitateľ a menovateľ sa obrátia na 0, môžeme ich vynásobiť a potom zmenšiť o x - 1, a potom neistota zmizne.

Čitateľa rozkladáme na faktor:

x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 1

Teraz urobíme to isté s menovateľom:

3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 3 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1

Dostali sme limit v nasledujúcom tvare:

lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 x - 1 3 x - 2 3 x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 x - 2 3 = 1 + 3 3 1 - 2 3 = 4

Ako vidíme, pri premene sa nám podarilo zbaviť neistoty.

odpoveď: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .

Ďalej musíme zvážiť prípady limity v nekonečne z mocninných výrazov. Ak sú exponenty týchto výrazov väčšie ako 0, potom bude aj limita v nekonečne nekonečná. V tomto prípade je najdôležitejší najväčší stupeň a zvyšok možno ignorovať.

Napríklad lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ alebo lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞.

Ak máme pod medzným znamienkom zlomok s mocninnými výrazmi v čitateli a menovateli, tak ako x → ∞ máme neurčitosť tvaru ∞ ∞. Aby sme sa zbavili tejto neistoty, musíme vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku x m a x (m, n). Uveďme príklad riešenia takéhoto problému.

Príklad 6

Vypočítajte limit lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 .

Riešenie

limit x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞

Mocniny čitateľa a menovateľa sú rovné 7. Vydeľte ich x 7 a získajte:

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3

odpoveď: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .

Príklad 7

Vypočítajte limit lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .

Riešenie

limit x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞

Čitateľ má mocninu 8 3 a menovateľ má mocninu 2. Rozdeľme čitateľa a menovateľa x 8 3:

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞

odpoveď: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .

Príklad 8

Vypočítajte limit lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .

Riešenie

limit x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞

Máme čitateľa na mocninu 3 a menovateľa na mocninu 10 3 . To znamená, že musíme rozdeliť čitateľa a menovateľa x 10 3:

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = limit x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 = 12 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0

odpoveď: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0.

závery

V prípade limitu pomeru existujú tri hlavné možnosti:

Ak sa stupeň čitateľa rovná stupňu menovateľa, potom sa limit bude rovnať pomeru koeficientov vyšších mocnín.

Ak je stupeň čitateľa väčší ako stupeň menovateľa, potom sa limit bude rovnať nekonečnu.

Ak je stupeň čitateľa menší ako stupeň menovateľa, potom bude limit nula.

Iným metódam zverejňovania neistôt sa budeme venovať v samostatných článkoch.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Neistota typu a druhu sú najbežnejšie neistoty, ktoré je potrebné zverejniť pri riešení limitov.

Väčšina limitných problémov, s ktorými sa študenti stretávajú, obsahuje práve takéto neistoty. Na ich odhalenie, alebo presnejšie, aby sa predišlo neistotám, existuje niekoľko umelých techník na transformáciu typu výrazu pod medzným znakom. Ide o tieto techniky: členenie čitateľa a menovateľa po členoch najvyššou mocninou premennej, násobenie konjugovaným výrazom a faktorizácia na následnú redukciu pomocou riešení kvadratických rovníc a skrátených vzorcov na násobenie.

Neistota druhov

Príklad 1

n sa rovná 2. Preto člen čitateľa a menovateľa člen podľa členu:

.

Komentár na pravej strane výrazu. Šípky a čísla označujú, aké majú zlomky tendenciu po nahradení n znamená nekonečno. Tu, ako v príklade 2, stupeň n V menovateli je viac ako v čitateli, v dôsledku čoho má celý zlomok tendenciu byť nekonečne malý alebo „supermalý“.

Dostávame odpoveď: limita tejto funkcie s premennou smerujúcou do nekonečna sa rovná .

Príklad 2 .

Riešenie. Tu je najvyšší výkon premennej X sa rovná 1. Čitateľ a menovateľ teda člen po člen delíme o X:

.

Komentár k priebehu rozhodovania. V čitateli zaradíme „x“ pod koreň tretieho stupňa a tak, aby jeho pôvodný stupeň (1) zostal nezmenený, priradíme mu rovnaký stupeň ako koreň, teda 3. Nie sú tam žiadne šípky ani ďalšie čísla v tomto zadaní si to skúste v duchu, ale analogicky s predchádzajúcim príkladom určite, k čomu smerujú výrazy v čitateli a menovateli po dosadení nekonečna namiesto „x“.

Dostali sme odpoveď: limita tejto funkcie s premennou smerujúcou do nekonečna sa rovná nule.

Neistota druhov

Príklad 3 Odhaľte neistotu a nájdite hranicu.

Riešenie. Čitateľ je rozdiel kociek. Rozložme to pomocou skráteného vzorca násobenia zo školského kurzu matematiky:

Menovateľ obsahuje kvadratický trinom, ktorý rozdelíme na faktor riešením kvadratickej rovnice (ešte raz odkaz na riešenie kvadratických rovníc):

Zapíšme si výraz získaný ako výsledok transformácií a nájdeme limitu funkcie:

Príklad 4. Odomknite neistotu a nájdite hranicu

Riešenie. Kvocientová limitná veta tu neplatí, pretože

Preto zlomok transformujeme identicky: vynásobením čitateľa a menovateľa binomickým konjugátom do menovateľa a znížením o X+1. Podľa následku vety 1 dostaneme výraz, ktorého riešením nájdeme požadovanú limitu:

Príklad 5. Odomknite neistotu a nájdite hranicu

Riešenie. Priama náhrada hodnoty X= 0 do danej funkcie vedie k neurčitosti tvaru 0/0. Aby sme to odhalili, vykonáme identické transformácie a nakoniec získame požadovaný limit:

Príklad 6. Vypočítajte

Riešenie: Využime vety o limitách

odpoveď: 11

Príklad 7. Vypočítajte

Riešenie: v tomto príklade sú limity čitateľa a menovateľa at rovné 0:

; . Dostali sme teda, že vetu o limite kvocientu nemožno použiť.

Rozložme čitateľa a menovateľa na faktor, aby sme zlomok zmenšili o spoločný faktor smerujúci k nule, a umožnili tak aplikovať vetu 3.

Rozšírme štvorcovú trojčlenku v čitateli pomocou vzorca , kde x 1 a x 2 sú korene trojčlenky. Po faktorizácii a menovateli znížte zlomok o (x-2) a potom použite vetu 3.

odpoveď:

Príklad 8. Vypočítajte

Riešenie: Keď má čitateľ a menovateľ tendenciu k nekonečnu, pri priamom použití vety 3 dostaneme výraz , ktorý predstavuje neistotu. Aby ste sa zbavili neistoty tohto typu, mali by ste vydeliť čitateľa a menovateľa najvyššou silou argumentu. V tomto príklade musíte deliť podľa X:

odpoveď:

Príklad 9. Vypočítajte

Riešenie: x 3:

odpoveď: 2

Príklad 10. Vypočítajte

Riešenie: Keď čitateľ a menovateľ inklinujú k nekonečnu. Vydeľme čitateľa a menovateľa najvyššou mocninou argumentu, t.j. x 5:

=

Čitateľ zlomku má tendenciu k 1, menovateľ má tendenciu k 0, takže zlomok smeruje k nekonečnu.

odpoveď:

Príklad 11. Vypočítajte

Riešenie: Keď čitateľ a menovateľ inklinujú k nekonečnu. Vydeľme čitateľa a menovateľa najvyššou mocninou argumentu, t.j. x 7:

odpoveď: 0

Derivát.

Derivácia funkcie y = f(x) vzhľadom na argument x sa nazýva limita pomeru jeho prírastku y k prírastku x argumentu x, keď prírastok argumentu smeruje k nule: . Ak je táto limita konečná, potom funkcia y = f(x) sa hovorí, že je diferencovateľný v x. Ak táto hranica existuje, potom hovoria, že funkcia y = f(x) má v bode x nekonečnú deriváciu.

Deriváty základných elementárnych funkcií:

1. (konšt.) = 0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Pravidlá rozlišovania:

a)

V)

Príklad 1 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie: Ak sa derivácia druhého členu nájde podľa pravidla diferenciácie zlomkov, potom prvý člen je komplexná funkcia, ktorej derivácia sa nachádza podľa vzorca:

, Kde , Potom

Pri riešení boli použité nasledujúce vzorce: 1,2,10,a,c,d.

odpoveď:

Príklad 21. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie: oba pojmy sú komplexné funkcie, kde pre prvý , , a pre druhý , , potom

odpoveď:

Aplikácie derivátov.

1. Rýchlosť a zrýchlenie

Nech funkcia s(t) opisuje pozíciu objekt v nejakom súradnicovom systéme v čase t. Potom je prvá derivácia funkcie s(t) okamžitá rýchlosť objekt:
v=s′=f′(t)
Druhá derivácia funkcie s(t) predstavuje okamžitú zrýchlenie objekt:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Tangentová rovnica
y–y0=f′(x0)(x–x0),
kde (x0,y0) sú súradnice bodu dotyčnice, f′(x0) je hodnota derivácie funkcie f(x) v bode dotyčnice.

3. Normálna rovnica
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

kde (x0,y0) sú súradnice bodu, v ktorom je normála nakreslená, f′(x0) je hodnota derivácie funkcie f(x) v tomto bode.

4. Zvyšovanie a znižovanie funkcií
Ak f′(x0)>0, potom funkcia rastie v bode x0. Na obrázku nižšie funkcia rastie ako x x2.
Ak f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Ak f′(x0)=0 alebo derivácia neexistuje, potom toto kritérium neumožňuje určiť povahu monotónnosti funkcie v bode x0.

5. Lokálne extrémy funkcie
Funkcia f(x) má miestne maximum v bode x1, ak existuje okolie bodu x1 také, že pre všetky x z tohto okolia platí nerovnosť f(x1)≥f(x).
Podobne má funkcia f(x). miestne minimum v bode x2, ak existuje okolie bodu x2 také, že pre všetky x z tohto okolia platí nerovnosť f(x2)≤f(x).

6. Kritické body
Bod x0 je kritický bod funkcia f(x), ak derivácia f′(x0) v nej je rovná nule alebo neexistuje.

7. Prvý dostatočný znak existencie extrému
Ak funkcia f(x) rastie (f′(x)>0) pre všetky x v nejakom intervale (a,x1] a klesá (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) pre všetky x z intervalu )