Nech existuje technický systém s diskrétnymi stavmi, v ktorom sa Markovove náhodné procesy vyskytujú v nepretržitom čase. Predpokladajme, že všetky intenzity tokov udalostí, ktoré prenášajú systém zo stavu do stavu trvalé, t.j. všetky toky udalostí sú najjednoduchšie (stacionárny Poisson).

Sformulujme nasledujúci problém: čo sa stane so systémom, ako má t ® ¥ tendenciu? Ak funkcie P i (t) inklinujú k nejakým limitám, potom ich budeme nazývať obmedzujúce pravdepodobnosti stavov.

Dá sa dokázať nasledujúci všeobecný návrh.

Ak je počet stavov sústavy konečný a z každého stavu v konečnom počte krokov sa dá prejsť do akéhokoľvek iného (uzavretá sústava, obr. 2.8a), tak limitné pravdepodobnosti stavov existujú a nezávisia od buď čas alebo počiatočný stav systému.

V tomto prípade samozrejme platí podmienka:

Ryža. 2.7.8 a) – graf uzavretého systému

Ryža. 2.7.8 b) – graf systému s otvorenou slučkou

Teda pri t ® ¥ istý limitný stacionárny režim, ktorý spočíva v tom, že systém náhodne mení svoje stavy, ale pravdepodobnosť každého z nich už nezávisí od času: každý zo stavov sa realizuje s nejakou konštantnou pravdepodobnosťou Pi.

V tomto prípade limitná pravdepodobnosť P i predstavuje priemerný relatívny čas zotrvania systému v danom i-tom stave, t.j. potom, čo systém prejde do ustáleného prevádzkového stavu, bude v stave Si po dobu úmernú Pi.

Napríklad, ak má systém stavy S 0, S 1, S 2 a obmedzujúce pravdepodobnosti sú 0,4, 0,1, 0,5, potom po prechode do ustáleného stavu bude 40 % času systém v stave S 0, 10 % – v stave S 1 a 50 % – v stave S 2.

Na výpočet limitných pravdepodobností v Kolmogorovovom systéme diferenciálnych rovníc je potrebné nastaviť ľavé strany rovníc na nulu (ako derivácie konštánt, keďže pravdepodobnosti stavov teraz nezávisia od času). Potom sa pôvodný systém diferenciálnych rovníc transformuje na systém lineárnych algebraických rovníc, ktorých riešenie spolu s (2.85) umožňuje určiť limitné pravdepodobnosti Pi.

Označený graf systému s uzavretou slučkou má nasledujúci tvar.

Ryža. 2.7.9. Označený graf systému s uzavretou slučkou.

Kolmogorovov systém diferenciálnych rovníc:

Zodpovedajúci lineárny systém algebraických rovníc je:

Riešením tohto systému budú hodnoty limitných pravdepodobností.

„Nehody nie sú náhodné“... Znie to ako niečo, čo povedal filozof, ale v skutočnosti je štúdium náhodnosti osudom veľkej vedy matematiky. V matematike sa náhodou zaoberá teória pravdepodobnosti. V článku budú uvedené vzorce a príklady úloh, ako aj základné definície tejto vedy.

Čo je teória pravdepodobnosti?

Teória pravdepodobnosti je jednou z matematických disciplín, ktorá študuje náhodné udalosti.

Aby to bolo trochu jasnejšie, uveďme malý príklad: ak hodíte mincu, môže pristáť na hlavách alebo chvostoch. Kým je minca vo vzduchu, obe tieto pravdepodobnosti sú možné. To znamená, že pravdepodobnosť možných následkov je 1:1. Ak je jedna vytiahnutá z balíčka 36 kariet, pravdepodobnosť bude označená ako 1:36. Zdalo by sa, že tu nie je čo skúmať a predpovedať, najmä pomocou matematických vzorcov. Ak však určitú akciu zopakujete mnohokrát, môžete identifikovať určitý vzorec a na základe neho predpovedať výsledok udalostí v iných podmienkach.

Aby sme zhrnuli všetky vyššie uvedené skutočnosti, teória pravdepodobnosti v klasickom zmysle študuje možnosť výskytu jednej z možných udalostí v číselnej hodnote.

Zo stránok histórie

Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady prvých úloh sa objavili v ďalekom stredoveku, keď sa prvýkrát objavili pokusy predpovedať výsledok kartových hier.

Spočiatku teória pravdepodobnosti nemala nič spoločné s matematikou. Bolo to odôvodnené empirickými faktami alebo vlastnosťami udalosti, ktoré bolo možné reprodukovať v praxi. Prvé práce v tejto oblasti ako matematickej disciplíne sa objavili v 17. storočí. Zakladateľmi boli Blaise Pascal a Pierre Fermat. Dlho študovali hazard a videli určité vzorce, o ktorých sa rozhodli povedať verejnosti.

Rovnakú techniku vynašiel Christiaan Huygens, aj keď nepoznal výsledky výskumu Pascala a Fermata. Zaviedol pojem „teória pravdepodobnosti“, vzorce a príklady, ktoré sa považujú za prvé v histórii disciplíny.

Nemalý význam majú aj diela Jacoba Bernoulliho, Laplaceove a Poissonove vety. Z teórie pravdepodobnosti urobili skôr matematickú disciplínu. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady základných úloh dostali súčasnú podobu vďaka Kolmogorovovým axiómam. V dôsledku všetkých zmien sa teória pravdepodobnosti stala jedným z matematických odvetví.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Diania

Hlavným konceptom tejto disciplíny je „udalosť“. Existujú tri typy udalostí:

Spoľahlivý. Tie, ktoré sa aj tak stanú (minca padne).
nemožné. Udalosti, ktoré sa za žiadnych okolností nestanú (minca zostane visieť vo vzduchu).
Náhodný. Tie, ktoré sa stanú alebo nestanú. Môžu byť ovplyvnené rôznymi faktormi, ktoré je veľmi ťažké predvídať. Ak hovoríme o minci, potom existujú náhodné faktory, ktoré môžu ovplyvniť výsledok: fyzikálne vlastnosti mince, jej tvar, pôvodná poloha, sila hodu atď.

Všetky udalosti v príkladoch sú označené veľkými latinskými písmenami, s výnimkou P, ktoré má inú úlohu. Napríklad:

A = „študenti prišli prednášať“.
Ā = „študenti neprišli na prednášku“.

V praktických úlohách sa udalosti zvyčajne zapisujú slovami.

Jednou z najdôležitejších charakteristík udalostí je ich rovnaká možnosť. To znamená, že ak si hodíte mincou, sú možné všetky varianty počiatočného pádu, kým nepadne. Ale udalosti tiež nie sú rovnako možné. Stáva sa to vtedy, keď niekto úmyselne ovplyvňuje výsledok. Napríklad „označené“ hracie karty alebo kocky, v ktorých je posunuté ťažisko.

Udalosti môžu byť tiež kompatibilné a nekompatibilné. Kompatibilné udalosti nevylučujú vzájomný výskyt. Napríklad:

A = „študent prišiel na prednášku“.
B = „študent prišiel na prednášku“.

Tieto udalosti sú na sebe nezávislé a výskyt jednej z nich neovplyvňuje výskyt druhej. Nezlučiteľné udalosti sú definované skutočnosťou, že výskyt jedného vylučuje výskyt iného. Ak hovoríme o tej istej minci, potom strata „chvostov“ znemožňuje objavenie sa „hláv“ v tom istom experimente.

Akcie na udalostiach

Udalosti je možné podľa toho násobiť a pridávať, v disciplíne sú zavedené logické spojky „AND“ a „ALEBO“.

Množstvo je určené skutočnosťou, že buď udalosť A alebo B, alebo dve, môžu nastať súčasne. Ak sú nekompatibilné, posledná možnosť nie je možná.

Násobenie udalostí spočíva v objavení sa A a B súčasne.

Teraz môžeme uviesť niekoľko príkladov, aby sme si lepšie zapamätali základy, teóriu pravdepodobnosti a vzorce. Príklady riešenia problémov nižšie.

Cvičenie 1: Spoločnosť sa zúčastňuje súťaže o zákazky na tri druhy prác. Možné udalosti, ktoré môžu nastať:

A = „firma dostane prvú zmluvu“.
A 1 = „firma nedostane prvú zákazku“.
B = „firma dostane druhú zmluvu“.
B 1 = „firma nedostane druhú zákazku“
C = „firma dostane tretiu zmluvu“.
C 1 = „firma nedostane tretiu zákazku“.

Pomocou akcií na udalostiach sa pokúsime vyjadriť nasledujúce situácie:

K = „spoločnosť dostane všetky zmluvy“.

V matematickom tvare bude mať rovnica nasledujúci tvar: K = ABC.

M = „spoločnosť nedostane ani jednu zmluvu“.

M = A1B1C1.

Skomplikujme si úlohu: H = „spoločnosť dostane jednu zákazku“. Keďže nie je známe, akú zákazku spoločnosť dostane (prvú, druhú alebo tretiu), je potrebné evidovať celý rozsah možných udalostí:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je séria udalostí, kde firma nedostane prvú a tretiu zmluvu, ale dostane druhú. Ďalšie možné udalosti boli zaznamenané pomocou vhodnej metódy. Symbol υ v disciplíne označuje spojku „ALEBO“. Ak uvedený príklad preložíme do ľudskej reči, firma dostane buď tretiu zmluvu, alebo druhú, alebo prvú. Podobným spôsobom si môžete zapísať ďalšie podmienky v disciplíne „Teória pravdepodobnosti“. Vzorce a príklady riešenia problémov uvedené vyššie vám pomôžu urobiť to sami.

Vlastne pravdepodobnosť

Možno je v tejto matematickej disciplíne ústredným pojmom pravdepodobnosť udalosti. Existujú 3 definície pravdepodobnosti:

klasický;
štatistické;
geometrický.

Každý má svoje miesto v štúdiu pravdepodobnosti. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady (9. ročník) používajú hlavne klasickú definíciu, ktorá znie takto:

Pravdepodobnosť situácie A sa rovná pomeru počtu výsledkov, ktoré podporujú jej výskyt, k počtu všetkých možných výsledkov.

Vzorec vyzerá takto: P(A)=m/n.

A je vlastne udalosť. Ak sa objaví prípad opačný ako A, možno ho zapísať ako Ā alebo A 1 .

m je počet možných priaznivých prípadov.

n - všetky udalosti, ktoré sa môžu stať.

Napríklad A = „vytiahnite kartu farby srdca“. V štandardnom balíčku je 36 kariet, z toho 9 sŕdc. V súlade s tým bude vzorec na riešenie problému vyzerať takto:

P(A) = 9/36 = 0,25.

V dôsledku toho bude pravdepodobnosť, že sa z balíčka vyberie karta srdcovej farby, 0,25.

Smerom k vyššej matematike

Teraz je už trochu známe, čo je to teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ktoré sa vyskytujú v školských osnovách. Teóriu pravdepodobnosti však nájdeme aj vo vyššej matematike, ktorá sa vyučuje na univerzitách. Najčastejšie pracujú s geometrickými a štatistickými definíciami teórie a zložitými vzorcami.

Teória pravdepodobnosti je veľmi zaujímavá. Je lepšie začať študovať vzorce a príklady (vyššia matematika) v malom - so štatistickou (alebo frekvenčnou) definíciou pravdepodobnosti.

Štatistický prístup nie je v rozpore s klasickým, ale mierne ho rozširuje. Ak bolo v prvom prípade potrebné určiť, s akou pravdepodobnosťou dôjde k udalosti, potom je potrebné pri tejto metóde uviesť, ako často sa bude vyskytovať. Tu sa zavádza nový pojem „relatívnej frekvencie“, ktorý možno označiť ako W n (A). Vzorec sa nelíši od klasického:

Ak sa na predikciu počíta klasický vzorec, potom sa podľa výsledkov experimentu vypočíta štatistický. Zoberme si napríklad malú úlohu.

Oddelenie technologickej kontroly kontroluje kvalitu výrobkov. Spomedzi 100 produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Ako zistiť frekvenčnú pravdepodobnosť kvalitného produktu?

A = „vzhľad kvalitného produktu“.

Wn(A)=97/100=0,97

Frekvencia kvalitného produktu je teda 0,97. Odkiaľ máš 97? Zo 100 kontrolovaných produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Odpočítame 3 od 100 a dostaneme 97, to je množstvo kvalitného tovaru.

Trochu o kombinatorike

Ďalšia metóda teórie pravdepodobnosti sa nazýva kombinatorika. Jeho základným princípom je, že ak sa určitá voľba A dá urobiť m rôznymi spôsobmi a voľba B sa dá urobiť n rôznymi spôsobmi, potom sa voľba A a B dá urobiť násobením.

Napríklad z mesta A do mesta B vedie 5 ciest. Z mesta B do mesta C vedú 4 cesty. Koľkými spôsobmi sa môžete dostať z mesta A do mesta C?

Je to jednoduché: 5x4=20, čiže z bodu A do bodu C sa môžete dostať dvadsiatimi rôznymi spôsobmi.

Skomplikujme si úlohu. Koľko spôsobov je možné rozložiť karty v solitaire? V balíčku je 36 kariet - to je východiskový bod. Ak chcete zistiť počet spôsobov, musíte „odčítať“ jednu kartu naraz od počiatočného bodu a vynásobiť.

To znamená, že 36x35x34x33x32...x2x1= výsledok sa nezmestí na obrazovku kalkulačky, takže ho možno jednoducho označiť ako 36!. Podpíšte "!" vedľa čísla znamená, že celý rad čísel je vynásobený.

V kombinatorike existujú také pojmy ako permutácia, umiestnenie a kombinácia. Každý z nich má svoj vlastný vzorec.

Usporiadaná množina prvkov množiny sa nazýva usporiadanie. Umiestnenia sa môžu opakovať, to znamená, že jeden prvok možno použiť niekoľkokrát. A to bez opakovania, keď sa prvky neopakujú. n sú všetky prvky, m sú prvky, ktoré sa podieľajú na umiestnení. Vzorec pre umiestnenie bez opakovania bude vyzerať takto:

A n m = n!/(n-m)!

Spojenia n prvkov, ktoré sa líšia iba poradím umiestnenia, sa nazývajú permutácie. V matematike to vyzerá takto: P n = n!

Kombinácie n prvkov z m sú tie zlúčeniny, pri ktorých je dôležité, o aké prvky išlo a aký je ich celkový počet. Vzorec bude vyzerať takto:

A n m = n!/m! (n-m)!

Bernoulliho vzorec

V teórii pravdepodobnosti, ako v každej disciplíne, existujú práce vynikajúcich výskumníkov vo svojom odbore, ktorí ju posunuli na novú úroveň. Jednou z týchto prác je Bernoulliho vzorec, ktorý vám umožňuje určiť pravdepodobnosť výskytu určitej udalosti za nezávislých podmienok. To naznačuje, že výskyt A v experimente nezávisí od výskytu alebo neprítomnosti rovnakej udalosti v skorších alebo nasledujúcich pokusoch.

Bernoulliho rovnica:

Pn (m) = Cnm xpm xqn-m.

Pravdepodobnosť (p) výskytu udalosti (A) je konštantná pre každý pokus. Pravdepodobnosť, že situácia nastane presne m-krát v n počte experimentov, sa vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca. V súlade s tým vzniká otázka, ako zistiť číslo q.

Ak sa udalosť A vyskytne p toľkokrát, nemusí nastať. Jednotka je číslo, ktoré sa používa na označenie všetkých výsledkov situácie v disciplíne. Preto q je číslo, ktoré označuje možnosť, že udalosť nenastane.

Teraz poznáte Bernoulliho vzorec (teóriu pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov (prvá úroveň) zvážime nižšie.

Úloha 2: Návštevník obchodu uskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2. Do predajne samostatne vstúpilo 6 návštevníkov. Aká je pravdepodobnosť, že návštevník uskutoční nákup?

Riešenie: Keďže nie je známe, koľko návštevníkov by malo uskutočniť nákup, jeden alebo všetkých šesť, je potrebné vypočítať všetky možné pravdepodobnosti pomocou Bernoulliho vzorca.

A = „návštevník uskutoční nákup.“

V tomto prípade: p = 0,2 (ako je uvedené v úlohe). V súlade s tým q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (keďže v predajni je 6 zákazníkov). Číslo m sa bude meniť od 0 (ani jeden zákazník nenakúpi) do 6 (všetci návštevníci obchodu niečo kúpia). V dôsledku toho dostaneme riešenie:

P6 (0) = Co6 xp0 xq6 = q6 = (0,8)6 = 0,2621.

Žiadny z kupujúcich neuskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2621.

Ako inak sa používa Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti)? Príklady riešenia problémov (druhá úroveň) nižšie.

Po vyššie uvedenom príklade vyvstávajú otázky, kam sa podeli C a r. Vo vzťahu k p sa číslo s mocninou 0 rovná jednej. Pokiaľ ide o C, možno ho nájsť podľa vzorca:

C n m = n! /m!(n-m)!

Keďže v prvom príklade m = 0, C = 1, čo v zásade neovplyvňuje výsledok. Pomocou nového vzorca sa pokúsme zistiť, aká je pravdepodobnosť nákupu tovaru dvoma návštevníkmi.

P6 (2) = C6 2 ×p 2 ×q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teória pravdepodobnosti nie je až taká zložitá. Bernoulliho vzorec, ktorého príklady sú uvedené vyššie, je toho priamym dôkazom.

Poissonov vzorec

Poissonova rovnica sa používa na výpočet náhodných situácií s nízkou pravdepodobnosťou.

Základný vzorec:

Pn(m)=Am/m! x e (-λ).

V tomto prípade λ = n x p. Tu je jednoduchý Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Nižšie zvážime príklady riešenia problémov.

Úloha 3: Továreň vyrobila 100 000 dielov. Výskyt chybnej časti = 0,0001. Aká je pravdepodobnosť, že v dávke bude 5 chybných dielov?

Ako vidíte, manželstvo je nepravdepodobná udalosť, a preto sa na výpočet používa Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia úloh tohto druhu sa nelíšia od iných úloh v disciplíne dosadíme potrebné údaje do daného vzorca:

A = “náhodne vybraný diel bude chybný.”

p = 0,0001 (podľa podmienok úlohy).

n = 100 000 (počet dielov).

m = 5 (chybné časti). Údaje dosadíme do vzorca a získame:

R 100 000 (5) = 105/5! Xe-io = 0,0375.

Rovnako ako Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešení, ktoré sú napísané vyššie, Poissonova rovnica má neznáme e. V skutočnosti ju možno nájsť podľa vzorca:

e-λ = limn ->∞ (1-λ/n)n.

Existujú však špeciálne tabuľky, ktoré obsahujú takmer všetky hodnoty napr.

De Moivre-Laplaceova veta

Ak je počet pokusov v Bernoulliho schéme dostatočne veľký a pravdepodobnosť výskytu udalosti A vo všetkých schémach rovnaká, potom pravdepodobnosť výskytu udalosti A v určitom počte opakovaní v sérii testov možno nájsť pomocou Laplaceov vzorec:

Р n (m) = 1/√npq x ϕ (X m).

Xm = m-np/√npq.

Aby ste si lepšie zapamätali Laplaceov vzorec (teória pravdepodobnosti), nižšie sú uvedené príklady problémov.

Najprv nájdime X m, dosadíme údaje (všetky sú uvedené vyššie) do vzorca a dostaneme 0,025. Pomocou tabuliek nájdeme číslo ϕ(0,025), ktorého hodnota je 0,3988. Teraz môžete nahradiť všetky údaje do vzorca:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Pravdepodobnosť, že leták bude fungovať presne 267-krát, je teda 0,03.

Bayesov vzorec

Bayesov vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešenia problémov, pomocou ktorých budú uvedené nižšie, je rovnica, ktorá popisuje pravdepodobnosť udalosti na základe okolností, ktoré by s ňou mohli byť spojené. Základný vzorec je nasledujúci:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A a B sú určité udalosti.

P(A|B) je podmienená pravdepodobnosť, to znamená, že udalosť A môže nastať za predpokladu, že udalosť B je pravdivá.

P (B|A) - podmienená pravdepodobnosť udalosti B.

Takže poslednou časťou krátkeho kurzu „Teória pravdepodobnosti“ je Bayesov vzorec, príklady riešení problémov, s ktorými sú uvedené nižšie.

Úloha 5: Do skladu boli privezené telefóny od troch firiem. Zároveň je podiel telefónov vyrobených v prvom závode 25%, v druhom - 60%, v treťom - 15%. Je tiež známe, že priemerné percento chybných výrobkov v prvom závode je 2%, v druhom - 4% a v treťom - 1%. Musíte nájsť pravdepodobnosť, že náhodne vybraný telefón bude chybný.

A = „náhodne vybraný telefón“.

B 1 - telefón, ktorý vyrobila prvá továreň. Podľa toho sa objavia úvodné B 2 a B 3 (pre druhú a tretiu továreň).

V dôsledku toho dostaneme:

P(B1) = 25 %/100 % = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - teda sme zistili pravdepodobnosť každej možnosti.

Teraz musíte nájsť podmienené pravdepodobnosti požadovanej udalosti, to znamená pravdepodobnosť chybných produktov v spoločnostiach:

P (A/B1) = 2 %/100 % = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B3) = 0,01.

Teraz nahraďme údaje do Bayesovho vzorca a získame:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Článok predstavuje teóriu pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ale toto je len špička ľadovca obrovskej disciplíny. A po všetkom, čo bolo napísané, bude logické položiť si otázku, či je v živote potrebná teória pravdepodobnosti. Pre bežného človeka je ťažké odpovedať; je lepšie opýtať sa niekoho, kto to použil na výhru jackpotu viac ako raz.

Zostrojte stavový graf nasledujúceho náhodného procesu: systém pozostáva z dvoch automatov na predaj lístkov, z ktorých každý môže byť v náhodnom čase zaneprázdnený alebo voľný.

Riešenie:

Systém môže byť v štyroch stavoch, keďže každý automat na lístky má dva stavy (zaneprázdnený alebo voľný). Nech S 0 - obe zariadenia sú obsadené; S 1 - 1. je obsadená, 2. je voľná; S 2 - 1. je voľný, 2. je obsadený; S 3 - obe zariadenia sú zadarmo. Zostavme stavový graf, na ktorom označíme všetky možné stavy krúžkami a šípkami označíme možné prechody zo stavu do stavu. Zistili sme, že prechod z S 0 na S 3 je možný buď cez S 1, alebo cez S 2, alebo priamo, ako je znázornené na obrázku 4.

Obrázok 4 - Stavový graf automatov na lístky

Nájdite limitné pravdepodobnosti pre systém S, ktorého graf je na obrázku.

Riešenie:

V teórii náhodných procesov je dokázané, že ak je počet stavov systému konečný a z každého z nich je možné (v konečnom počte krokov) prejsť do akéhokoľvek iného stavu, potom existujú limitujúce pravdepodobnosti. Možno ich nájsť z Kolmogorovových rovníc zostavením systému na základe daného označeného stavového grafu podľa nasledujúceho pravidla:

Na ľavej strane rovnice je maximálna pravdepodobnosť daného stavu p i , vynásobený celkovou intenzitou všetkých tokov vedúcich z daného stavu a vpravo - súčtom súčinov intenzít všetkých tokov vstupujúcich do daného stavu a pravdepodobnosti tých stavov, z ktorých tieto stavy vychádzajú.

Okrem toho musíme vziať do úvahy, že súčet všetkých pravdepodobností daného konečného systému sa rovná jednej. Vytvorme rovnice pre stavy S 1 a S 2 (rovnica pre stav S 0 je „navyše“):

odpoveď: Systém je približne 66,67 % času v stave S 0, 25 % v stave S 1 a 8,33 % času v stave S 2 .

Nájdite hrubý výstup pre vyváženú diverzifikovanú ekonomiku v Leontiefovom modeli, ak je daná matica priamych nákladov A a vektor konečnej spotreby Y:

Riešenie:

Pre vyváženú diverzifikovanú ekonomiku platí nasledujúci vzťah:

Vyjadrime hrubý výkon prostredníctvom konečnej spotreby a matice nákladov:

Nájdite maticu inverznú k (E - A):

Poďme nájsť hrubý výstup:

odpoveď: Hrubý výkon sa rovná (811,3; 660,4).

* Používa sa pri riešení problémov

Nech existuje fyzický systém S s diskrétnymi stavmi:

S1,S2,...,Sn,

v ktorom dochádza k Markovovmu náhodnému procesu so spojitým časom (nepretržitý Markovov reťazec). Stavový graf je znázornený na obr. 23.

Predpokladajme, že všetky intenzity tokov udalostí, ktoré prenášajú systém zo stavu do stavu, sú konštantné:

inými slovami, všetky toky udalostí sú najjednoduchšie (stacionárne, Poissonove) toky.

Zapísaním Kolmogorovovej sústavy diferenciálnych rovníc pre pravdepodobnosti stavov a integráciou týchto rovníc za daných počiatočných podmienok získame pravdepodobnosti stavov ako funkciu času, teda n funkcií:

p 1 (t), p 2 (t),…, p n (t),

pre akékoľvek t dáva celkom jeden: .

Položme si teraz nasledujúcu otázku: čo sa stane so systémom S v t®¥? Budú funkcie p 1 (t), p 2 (t),...,p n (t) inklinovať k nejakým limitom? Tieto limity, ak existujú, sa nazývajú pravdepodobnosti limitného (alebo „konečného“) stavu.

Dá sa dokázať nasledujúci všeobecný návrh. Ak je počet stavov systému S konečný a z každého stavu možno prejsť (v určitom počte krokov) k sebe, potom limitné pravdepodobnosti stavov existujú a nezávisia od počiatočného stavu systému. .

Na obr. Obrázok 24 ukazuje stavový graf, ktorý spĺňa uvedenú podmienku: z akéhokoľvek stavu môže systém skôr či neskôr prejsť do akéhokoľvek iného. Naopak, pre systém, ktorého stavový graf je znázornený na obr. 25, podmienka nie je splnená. Je zrejmé, že ak je počiatočný stav takéhoto systému S 1, potom je možné dosiahnuť napríklad stav S 6 pri t®¥, ale ak je počiatočný stav S 2, nie.

Predpokladajme, že uvedená podmienka je splnená a existujú obmedzujúce pravdepodobnosti:

(i = 1, 2,..., n). (6.1)

Limitné pravdepodobnosti budeme označovať rovnakými písmenami p 1, p 2, ... p n ako samotné pravdepodobnosti stavov, čiže tentokrát nezvyšujeme premenné veličiny (funkcie času), ale konštantné čísla.

Je zrejmé, že obmedzujúce pravdepodobnosti stavu, ako aj predlimitujúce, by sa mali dať dokopy:

Teda pri t®¥ v systéme S je nastolený istý limitujúci stacionárny režim: spočíva v tom, že systém náhodne mení svoje stavy, ale pravdepodobnosť každého z nich už nezávisí od času: každý zo stavov nastáva s určitou konštantnou pravdepodobnosťou. Aký je význam tejto pravdepodobnosti? Nie je to nič iné ako priemerný relatívny čas, počas ktorého systém zostáva v danom stave. Napríklad, ak systém S tri možné stavy: S 1, S 2 a S 3 a ich limitné pravdepodobnosti sú 0,2, 0,3 a 0,5, to znamená, že po prechode do rovnovážneho stavu systém S v priemere dve desatiny času budú v stave S 1, tri desatiny budú v stave S 2 a polovica času bude v stave S 3. Vzniká otázka: ako vypočítať limitné pravdepodobnosti stavov p 1, p 2, ... p n?

Ukazuje sa, že na to musíte v systéme Kolmogorovových rovníc popisujúcich pravdepodobnosti stavov nastaviť všetky ľavé strany (deriváty) na nulu.

V obmedzujúcom (ustálenom) režime sú totiž všetky pravdepodobnosti stavu konštantné, čo znamená, že ich derivácie sú rovné nule.

Ak sú všetky ľavé strany Kolmogorovových rovníc pre stavové pravdepodobnosti nastavené na rôzne nuly, potom sa systém diferenciálnych rovníc zmení na systém lineárnych algebraických rovníc. Spolu s podmienkou

(tzv. „normalizačná podmienka“) tieto rovnice umožňujú vypočítať všetky limitné pravdepodobnosti

р 1, р 2, … р n

Príklad 1. Fyzikálny systém S má možné stavy: S l, S 2, S 3, S 4, ktorého vyznačený graf je uvedený na obr. 26 (každá šípka má číselnú hodnotu zodpovedajúcej intenzity). Vypočítajte limitné pravdepodobnosti stavov: p 1, p 2, p 3, p 4.

Riešenie. Napíšeme Kolmogorovove rovnice pre pravdepodobnosti stavov:

(6.3)

Ak sa ľavé strany rovnajú nule, dostaneme systém algebraických rovníc pre limitné pravdepodobnosti stavov:

(6.4)

Rovnice (6.4) sú takzvané homogénne rovnice (bez voľného člena). Ako je známe z algebry, tieto rovnice určujú veličiny p 1, p 2, p 3, p 4 len do konštantného činiteľa. Našťastie máme normalizačný stav:

p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = 1, (6.5)

čo spolu s rovnicami (64) umožňuje nájsť všetky neznáme pravdepodobnosti.

Vskutku, vyjadrime z (6.4) všetky neznáme pravdepodobnosti cez jednu z nich, napríklad cez p 1. Z prvej rovnice:

p 3 = 5 p 1

Dosadením do druhej rovnice dostaneme:

p 2 = 2 p 1 + 2 p 3 = 12 p 1.

Štvrtá rovnica dáva:

p4 = 1/2p2 = 6 p1.

Dosadením všetkých týchto výrazov namiesto р 2 , р 3 , р 4 do podmienky normalizácie (6.5) dostaneme

p 1 + 12 p 1 + 5 p 1 + 6 p 1 = 1.

24 p 1 = 1, p 1 = 1/24, p 2 = 12 p 1 = 1/2.

p3 = 5p1 = 5/24. p4 = 6 p1 = 1/4.

Takto sa získajú limitné pravdepodobnosti stavov, sú rovnaké;

p 1 = 1/24, p 2 = 1/2, p 3 = 5/24, p 4 = 1/4 (6.6)

To znamená, že v limitnom, ustálenom stave, systém S strávi v priemere jednu dvadsaťštvrtinu času v stave S 1, polovicu času v stave S 2, päť dvadsaťštvrtín v stave S 3 a jednu štvrtinu času v stave S 4.

Všimnite si, že pri riešení tejto úlohy sme jednu z rovníc (6.4) vôbec nepoužili – tretiu. Je ľahké vidieť, že je to dôsledok ostatných troch: sčítaním všetkých štyroch rovníc dostaneme rovnakú nulu. S rovnakým úspechom by sme pri riešení sústavy mohli zahodiť ktorúkoľvek zo štyroch rovníc (6.4).

Metóda, ktorú sme použili na zostavovanie algebraických rovníc na obmedzenie pravdepodobností stavov, sa zúžila na nasledovné: najprv napíšte diferenciálne rovnice a potom do nich vložte ľavú stranu rovnú nule. Algebraické rovnice na obmedzenie pravdepodobností však môžete písať priamo. bez prechodu cez diferenciálnu fázu. Ilustrujme si to na príklade.

Príklad 2. Graf stavu systému je znázornený na obr. 27. Napíšte algebraické rovnice pre limitné pravdepodobnosti stavov.

Riešenie. Bez písania diferenciálnych rovníc priamo napíšeme zodpovedajúce pravé strany a prirovnáme ich k nule; aby sme sa nezaoberali negatívnymi pojmami, okamžite ich prenesieme do inej časti a zmeníme znamienko:

(6.7)

Aby bolo možné okamžite napísať takéto rovnice v budúcnosti, je užitočné zapamätať si nasledujúce mnemotechnické pravidlo: „čo prúdi dovnútra, vyteká“, to znamená, že pre každý stav sa súčet výrazov zodpovedajúcich prichádzajúcim šípkam rovná súčet termínov zodpovedajúcich odchádzajúcim; každý člen sa rovná intenzite toku udalostí, ktoré posúvajú systém pozdĺž danej šípky, vynásobenej pravdepodobnosťou stavu, z ktorého šípka vychádza.

V nasledujúcom texte vo všetkých prípadoch použijeme práve tento najkratší spôsob zápisu rovníc na obmedzenie pravdepodobností.

Príklad 3. Napíšte algebraické rovnice pre limitné pravdepodobnosti stavov systému S, ktorého graf stavu je znázornený na obr. 28. Vyriešte tieto rovnice.

Riešenie. Píšeme algebraické rovnice pre limitné pravdepodobnosti stavov;

Stav normalizácie;

p 1 + p 2 + p 3 = 1. (6.9)

Pomocou prvých dvoch rovníc (6.8) vyjadríme p 2 a p 3 až p 1:

Dosadíme ich do podmienky normalizácie (6.9):

kde .

; .

Uvažujme matematický popis Markovovho procesu s diskrétnymi stavmi a spojitým časom na príklade náhodného procesu z úlohy 1, ktorého graf je znázornený na obr. 1. Predpokladáme, že všetky prechody systému zo stavu S i v S j sa vyskytujú pod vplyvom jednoduchých prúdov dejov s intenzitami l ij (ja, j=0,1,2,3); Prechod systému zo stavu S 0 do S 1 teda nastane pod vplyvom toku porúch prvého uzla a spätný prechod zo stavu S 1 do S 0 nastane pod vplyvom toku „ dokončenie opráv“ prvého uzla atď.
Graf stavov systému s intenzitami vyznačenými pri šípkach bude hovor označený (viď ryža. 1). Uvažovaný systém S má štyri možné stavy: S0, S1, S2, S3.
Pravdepodobnosť i-tého stavu nazývaná pravdepodobnosť p i (t)čo momentálne t systém bude v stave Si. Samozrejme, na každú chvíľu t súčet pravdepodobností všetkých stavov sa rovná jednej:
. (8)
Zvážte systém v súčasnosti t a nastavenie malého intervalu D t, nájdime pravdepodobnosť p 0 (t+Dt)že systém v súčasnosti t+Dt bude v stave S 0 . To sa dosahuje rôznymi spôsobmi.
1. Systém v súčasnosti t s pravdepodobnosťou p 0 (t) bol v stave S0 a počas času D t sa z toho nedostal.
Vyveďte systém z tohto stavu (cm. graf na obr. 1) môže byť totálne najjednoduchšie prúdenie s intenzitou (l 01 +l 02), t.j. v súlade s (15.7), s pravdepodobnosťou približne rovnou (l 01 + l 02)D t. A pravdepodobnosť, že systém neopustí stav S 0 sa rovná . Pravdepodobnosť, že systém bude v stave S 0 podľa prvej metódy (t. j. že bol v stave S 0 a neopustí ho včas Dt), sa rovná podľa vety o násobení pravdepodobnosti:
p 0 (t)·.
2. Systém v súčasnosti t s pravdepodobnosťami p 1 (t) ( alebo p2(t)) bol v stave S1 alebo S2 a počas času D t prešli do stavu S 0 .
Intenzita prietoku l 10 (alebo l 20 - cm. ryža. 1) systém prejde do stavu S 0 s pravdepodobnosťou približne rovnou l 10 D t(alebo l 20 D t). Pravdepodobnosť, že systém bude v stave S 0 podľa tejto metódy sa rovná р 1 (t) × l 10 D t(alebo p 2 (t)× l 20 D t).
Aplikovaním pravdepodobnostnej vety o sčítaní dostaneme
p0(t+Δt)=p1λ10Δt+p2(t) λ20Δt+p0(t),
kde
,
Prekročenie limitu v D t®0 (približné rovnosti spojené s aplikáciou vzorca (7) sa zmenia na presné), dostaneme na ľavej strane rovnice deriváciu p’ 0 ( t) (pre jednoduchosť to označme p' 0):
p′0 = λ 10 · p 1 +λ 20 · p 2 + (λ 10 + λ 20) · p 0,
Získali sme diferenciálnu rovnicu prvého rádu, t.j. rovnica obsahujúca ako samotnú neznámu funkciu, tak aj jej deriváciu prvého rádu.
Ak uvažujeme podobne pre ostatné stavy systému S, môžeme získať systém Kolmogorovových diferenciálnych rovníc pre pravdepodobnosti stavov:
(9)
Sformulujme pravidlo na zostavovanie Kolmogorovových rovníc. Na ľavej strane každého z nich je derivácia pravdepodobnosti i-tého stavu. Na pravej strane je súčet súčinov pravdepodobností všetkých stavov (z ktorých šípky smerujú k danému stavu) intenzitou zodpovedajúcich tokov udalostí mínus celková intenzita všetkých tokov, ktoré vedú systém z a daný stav, vynásobený pravdepodobnosťou daného (i-tého stavu).
V systéme (9) je o jednu nezávislých rovníc menej ako je celkový počet rovníc. Preto na vyriešenie systému je potrebné pridať rovnicu (8).
Zvláštnosťou riešenia diferenciálnych rovníc vo všeobecnosti je, že je potrebné nastaviť takzvané počiatočné podmienky, t.j. v tomto prípade pravdepodobnosť stavov systému v počiatočnom momente t= 0. Je teda napríklad prirodzené riešiť sústavu rovníc (9) za predpokladu, že v počiatočnom momente sú oba uzly funkčné a systém bol v stave S 0, t.j. za počiatočných podmienok p0(0)=1, p1(0)=p2(0)=p3(0)=0.
Kolmogorovove rovnice umožňujú nájsť všetky pravdepodobnosti stavov ako funkcie času. Obzvlášť zaujímavé sú systémové pravdepodobnosti p i ( t) V extrémny stacionárny režim, tie. ako t→∞, ktoré sú tzv extrémna(alebo Konečný) pravdepodobnosti stavu.
V teórii náhodných procesov je dokázané, že ak je počet stavov systému konečný a z každého z nich je možné (v konečnom počte krokov) prejsť do akéhokoľvek iného stavu, potom existujú limitujúce pravdepodobnosti.
Hraničná pravdepodobnosť stavu S i má jasný význam: ukazuje priemerný relatívny čas, počas ktorého systém zostáva v tomto stave. Ak je napríklad hraničná pravdepodobnosť stavu S 0, t.j. p 0 = 0,5, to znamená, že v priemere polovicu času je systém v stave S 0 .
Keďže limitné pravdepodobnosti sú konštantné a ich derivácie v Kolmogorovových rovniciach sa nahradia nulovými hodnotami, získame sústavu lineárnych algebraických rovníc popisujúcich stacionárny režim. Pre systém S so stavovým grafom znázorneným na obr. 1 má takýto systém rovníc tvar:
(10)
Sústavu (10) je možné zostaviť priamo z vyznačeného grafu stavu, ak sa riadime pravidlom, podľa ktorého na ľavej strane rovníc je maximálna pravdepodobnosť daného stavu p i vynásobená celkovou intenzitou všetkých tokov vedúcich z daného stavu a na pravej strane- súčet súčinov intenzít všetkých tokov vstupujúcich do i-tého stavu a pravdepodobnosti tých stavov, z ktorých tieto toky pochádzajú.

Úloha 2. Nájdite limitné pravdepodobnosti pre systém S úlohy 1, ktorej stavový graf je na obr. 1, pričom 101 = 1, 102 = 2, 110 = 2, 113 = 2, 120 = 3, 123 = 1, 131 = 3, 132 = 2.
Riešenie . Sústava algebraických rovníc popisujúcich stacionárny režim pre daný systém má tvar (10) resp.
3p 0 = 2p 1 +3p 2 (11)
4p 1 = p 0 + 3p 3
4p 2 = 2p 0 +2p 3
p0+p1+p2+p3=1
(Tu sme namiesto jednej „extra“ rovnice systému (10) zapísali podmienku normalizácie (8)).
Po vyriešení sústavy (11) dostaneme p 0 = 0,40, p 1 = 0,20, p 2 = 0,27, p 3 = 0,13, t.j. v obmedzujúcom, stacionárnom režime bude systém S priemerne 40% času v stave S 0 (oba uzly sú funkčné), 20% - v stave S 1 (prvý uzol sa opravuje, druhý je pracuje), 27 % - v stave S 2 (druhý uzol sa opravuje, prvý funguje) a 13 % času - v stave S 3 (oba bloky sa opravujú).

Úloha 3. Nájdite priemerný čistý príjem z prevádzky v stacionárnom režime systému S za podmienok úloh 1 a 2, ak je známe, že za jednotku času správna prevádzka prvého a druhého uzla prináša príjem 10 a 6 peňažných jednotiek, a ich oprava vyžaduje náklady 4 resp. 2 denné jednotky Posúdiť ekonomickú efektívnosť SOT existujúcej možnosti zníženia priemerného času opravy na polovicu pre každú z dvoch jednotiek, ak je zároveň potrebné zdvojnásobiť náklady na opravu každej jednotky (za jednotku času).
Riešenie. Z úlohy 2 vyplýva, že v priemere prvý uzol funguje správne na zlomok času rovnajúci sa p 0 +p 3 =0,40+0,27=0,67 a druhý uzol - p 0 +p 1 =0,40+0, 20 = 0,60. Súčasne je prvý uzol v oprave v priemere zlomok času rovnajúci sa p 1 + p 3 = 0,20 + 0,13 = 0,33 a druhý uzol - p 2 + p 3 = 0,27 + 0,13 = 0,40. Preto priemerný čistý príjem za jednotku času z prevádzky systému, t.j. rozdiel medzi príjmami a nákladmi sa rovná
D = 0,67 × 10 + 0,60 × 6 – 0,33 × 4 – 0,40 × 2 = 8,18 peňažných jednotiek.
Zníženie priemerného času opravy pre každý uzol na polovicu v súlade s (6) bude znamenať zdvojnásobenie intenzity toku „dokončení opráv“ pre každý uzol, t.j. teraz l 10 =4, l 20 =6, l 31 =6, l 32 =4 a sústava lineárnych algebraických rovníc (10), popisujúca stacionárny režim sústavy spolu s normalizačnou podmienkou (8) bude mať tvar :
3p 0 = 4p 1 +6p 2
6p 1 = p 0 +6p 3
7p 2 = 2p 0 +4p 3
p0+p1+p2+p3=1
Po vyriešení systému dostaneme p 0 = 0,60, p 1 = 0,15, p 2 = 0,20, p 3 = 0,05.
Berúc do úvahy, že p0+p2=0,60+0,20=0,80, p0+p1=0,60+0,15=0,75, p1+p3=0,15+0,05=0,20, p2+p3=0,20+0,05= 0,25 a náklady na opravu prvého a druhého bloku sú teraz 8 a 4 dni. jednotiek, vypočítame priemerný čistý príjem za jednotku času: D 1 =0,80 ×10+0,75×6-0,20 ×8-0,25×4=9,9 peňažných jednotiek.
Keďže D 1 je väčšie ako D (asi o 20 %), ekonomická realizovateľnosť urýchlenia opráv jednotiek je zrejmá.

Príklad. Technické zariadenie môže byť v jednom z troch stavov S 0, S 1, S 2. Intenzita prietokov, ktoré prenášajú zariadenie zo stavu, sú uvedené v tabuľke.

Je potrebné zostrojiť označený stavový graf, zapísať Kolmogorovovu sústavu rovníc, nájsť konečné pravdepodobnosti a analyzovať výsledné riešenia.
Označený graf stavu vyzerá takto:

p0 (t) + p1 (t) + p2 (t) = 1

2p 0 -3p 1 = 0
2p 0 +2p 1 -3p 2 =0
p0 + p1 + p2 = 1
Vyriešme SLAE pomocou Gaussovej metódy.
Záver: Pri dostatočne dlhej dobe prevádzky bude technické zariadenie v stave S 0 s pravdepodobnosťou p 0 = 0,36, s pravdepodobnosťou p 1 = 0,24 v stave S 1 as pravdepodobnosťou p 2 = 0,4 v stave S 2.

Príklad.
Technické zariadenie môže byť v jednom z troch stavov S 0, S 1, S 2. Intenzita tokov, ktoré prenášajú zariadenia z jedného stavu do druhého, je známa λ 01 =2, λ 10 =4, λ 21 =2, λ 12 =3, λ 20 =4.
Je potrebné zostrojiť označený stavový graf, zapísať Kolmogorovovu sústavu rovníc, nájsť konečné pravdepodobnosti a analyzovať výsledné riešenia.
Označený graf stavu vyzerá takto:

Pomocou grafu napíšeme Kolmogorovov systém rovníc vo všeobecnom tvare:

Namiesto intenzity prúdenia λ ij zapíšeme ich špecifické hodnoty a získame požadovaný systém:

Aby sme našli konečné pravdepodobnosti stavov, v Kolmogorovových rovniciach zahodíme prvú rovnicu a pomocou zvyšku zostavíme systém algebraických rovníc:
2p 0 -7p 1 +2p 2 =0
3p 1 - 6p 2 = 0
p°+p1+p2=1
Vydelíme prvú rovnicu 2 a druhú 3 a dostaneme systém
p0-7p1+2p2=0
3p 1 - 6p 2 = 0
p°+p1+p2=1
Odčítajte prvú z tretej rovnice
p0-3,5p1+p2=0
p1-2p2=0
4,5 p 1 = 1
Odtiaľ dostaneme p 1 = 0,22, p 2 = 0,11 a p 0 = 0,67.
Záver: Pri dostatočne dlhej dobe prevádzky bude technické zariadenie v stave S 0 s pravdepodobnosťou p 0 = 0,67, s pravdepodobnosťou p 1 = 0,22 v stave S 1 as pravdepodobnosťou p 2 = 0,11 v stave S 2.

Proces smrti a reprodukcie

V teórii radenia sa špeciálna trieda náhodných procesov – tzv proces smrti a reprodukcie. S názvom tohto procesu sa spája množstvo biologických problémov, kde ide o matematický model zmien počtu biologických populácií.
Stavový graf procesu smrti a rozmnožovania má podobu znázornenú na obr. 4.

Ryža. 4
Uvažujme usporiadanú množinu stavov sústavy S 0, S 1, S 2, …, S k. Prechody je možné vykonávať z akéhokoľvek stavu len do stavov so susednými číslami, t.j. Zo stavu Sk sú prechody možné len do stavu Sk-1 alebo do stavu Sk+1. (Pri analýze veľkosti populácie sa uvažuje, že stav Sk zodpovedá veľkosti populácie rovnajúcej sa k a prechod systému zo stavu Sk do stavu Sk+1 nastáva pri narodení jedného člena obyvateľov a prechod do stavu S k-1 nastáva pri úmrtí jedného člena populácie).
Predpokladajme, že všetky toky udalostí, ktoré pohybujú systémom po šípkach grafu, sú najjednoduchšie so zodpovedajúcimi intenzitami l k, k+1 alebo l k+1, k .
Podľa grafu na obr. 4 budeme zostavovať a riešiť algebraické rovnice pre limitné pravdepodobnosti stavov (ich existencia vyplýva z možnosti prechodu z každého stavu do druhého a konečnosti počtu stavov).
V súlade s pravidlom pre zostavovanie takýchto rovníc (pozri 13) dostaneme: pre stav S 0
λ 01 p 0 = λ 10 p 1 (12)
pre stav S 1 – (l 12 +l 10)p 1 =l 01 p 0 +l 21 p 2, ktorý sa s prihliadnutím na (12) redukuje na tvar
λ 12 p 1 = λ 21 p 2 (13)
Podobne písaním rovníc pre limitné pravdepodobnosti iných stavov môžeme získať nasledujúcu sústavu rovníc:

(14)
ku ktorému sa pridáva normalizačná podmienka
p 0 +p 1 +p 2 +...+p n = 1 (15)
Riešenie systému (14), (15), možno získať

(16)
(17)
Je ľahké si všimnúť, že vo vzorcoch (17) pre p 1, p 2, …, p n sú koeficienty pre p 0 vo vzorci (16) sú za jednotkou výrazy. Čitatelia týchto koeficientov predstavujú súčin všetkých intenzít pri šípkach vedúcich zľava doprava k danému stavu S k (k=1, 2, ..., n) a menovatele sú súčinom všetkých intenzít na šípky vedúce sprava doľava do stavu S k .

Úloha 4. Proces smrti a rozmnožovania je znázornený grafom (obr. 5). Nájdite limitujúce pravdepodobnosti stavov.

Ryža. 5

Riešenie. Pomocou vzorca (16) nájdeme

podľa (17) – t.j. v ustálenom, stacionárnom režime bude systém v priemere 70,6 % času v stave S 0, 17,6 % v stave S 1 a 11,8 % v stave S 2.