§1. C ťažisko homogénneho telesa.

Zvážte pevné teleso váženie P a objem V v súradnicovom systéme Oxyz, kde sú osi X A r spojené s povrchom zeme, a os z namierené za zenit.

Ak telo rozbijeme na elementárne časti s objemom∆ V i , potom bude na každú jeho časť pôsobiť sila príťažlivosti∆ P i, smerujúce do stredu Zeme. Predpokladajme, že rozmery telesa sú podstatne menšie ako rozmery Zeme, potom sústavu síl pôsobiacich na elementárne časti telesa možno považovať nie za zbiehavú, ale rovnobežnú (obr. 1), a všetky závery predchádzajúcej kapitoly.

Obr.1. Systém paralelnej sily

Ťažisko pevného telesa sa nazýva stred rovnobežných gravitačných síl elementárnych častí tohto telesa.

Pri určovaní ťažiska je užitočných niekoľko teorémov.

1) Ak má homogénne teleso rovinu symetrie, potom je jeho ťažisko v tejto

lietadlo.

2) Ak má homogénne teleso os súmernosti, potom je ťažisko telesa na tejto osi.

3) Ak má homogénne teleso stred symetrie, potom je ťažisko telesa v tomto bode.

§2. Metódy určenia súradníc ťažiska.

1. Symetria. Ak má homogénne teleso rovinu, os alebo stred súmernosti (obr. 2), potom jeho ťažisko leží v rovine súmernosti, osi súmernosti alebo v strede súmernosti.

Obr.2.Ťažisko telies s osou symetrie

2. Rozdelenie. Teleso je rozdelené na konečný počet častí (obr. 3), pre každú z nich je známa poloha ťažiska a plocha.

Obr.3.Ťažisko pevné

zložitý geometrický útvar

Ťažisko a plocha prvého obrázku;

Súradnica ťažiska pevného zložitého geometrického útvaru pozdĺž osi X;

Súradnica ťažiska pevného zložitého geometrického útvaru pozdĺž osir;

3. Metóda negatívnej oblasti.Špeciálny prípad deliacej metódy (obr. 4). Platí pre telesá, ktoré majú výrezy, ak sú známe ťažiska tela bez výrezu a výrezu. Teleso v tvare platne s výrezom predstavuje kombinácia masívneho plátu (bez výrezu) s plochou S 1 a oblasť rezanej časti S2.

Obr.4.Ťažisko zložitý geometrický útvar,

Mať dieru

- ťažisko a plocha prvého obrázku;

- ťažisko a plocha druhého obrázku;

X;

Súradnica ťažiska zložitého geometrického útvaru pozdĺž osir;

§3.Súradnice ťažiska niektorých jednoduchých útvarov.

1. Ťažisko trojuholníka. Cťažisko trojuholníka leží v priesečníku jeho stredníc(obr. 5). TO súradnice ťažiska trojuholníka sú aritmetickým priemerom súradníc jeho vrcholov:X c =1/3 (x 1 + x 2 + x 3) ; r c =1/3 (y 1 + y 2 + y 3).

Obr.5. Trojuholníkové ťažisko

2. Ťažisko obdĺžnika. CŤažisko obdĺžnika leží v priesečníku jeho uhlopriečok(obr. 6). TO Súradnice ťažiska obdĺžnika sa vypočítajú pomocou vzorcov:X c =b/2 ; r c =h/2.

Ryža. 6. Trojuholníkové ťažisko

3. Ťažisko polkruhu. Cťažisko polkruhu leží na osi súmernosti(obr. 7). TO Súradnice ťažiska polkruhu sa vypočítajú pomocou vzorcov:X c =D/2 ; r c = 4R/3n.

Ryža. 7.Ťažisko polkruhu

4. Ťažisko kruhu. Cťažisko kruhu leží v strede(obr. 8). TO Súradnice ťažiska kruhu sa vypočítajú pomocou vzorcov:X c =R ; r c =R.

Ryža. 8.Kruhové ťažisko

Otázky na autotest:

Ako sa nazýva stred rovnobežných síl?

Aké je ťažisko telesa?

Prečo možno gravitačné sily Zeme pôsobiace na bod na telese brať ako sústavu paralelných síl?

Napíšte vzorec na určenie polohy ťažiska nehomogénnych a homogénnych telies, vzorec na určenie polohy ťažiska plochých úsekov?

Napíšte vzorec na určenie polohy ťažiska jednoduchých geometrických útvarov: obdĺžnik, štvorec, lichobežník a polkruh?

Ako sa využívajú vlastnosti symetrie pri určovaní ťažísk telies?

Čo je podstatou metódy negatívnej oblasti?

Akú grafickú konštrukciu možno použiť na nájdenie ťažiska trojuholníka?

Napíšte vzorec, ktorý určuje ťažisko trojuholníka.

Nakreslite schému systému a vyznačte na ňom ťažisko. Ak je nájdené ťažisko mimo objektového systému, dostali ste nesprávnu odpoveď. Možno ste merali vzdialenosti z rôznych referenčných bodov. Opakujte merania.

• Napríklad, ak deti sedia na hojdačke, ťažisko bude niekde medzi deťmi, a nie vpravo alebo vľavo od hojdačky. Taktiež sa ťažisko nikdy nebude zhodovať s bodom, kde dieťa sedí.
• Tieto argumenty platia v dvojrozmernom priestore. Nakreslite štvorec, ktorý bude obsahovať všetky objekty systému. Ťažisko by malo byť vo vnútri tohto štvorca.

Ak dostanete malý výsledok, skontrolujte svoje matematické výpočty. Ak je referenčný bod na jednom konci systému, malý výsledok umiestni ťažisko blízko konca systému. Toto môže byť správna odpoveď, ale vo veľkej väčšine prípadov tento výsledok naznačuje chybu. Keď ste vypočítali momenty, vynásobili ste zodpovedajúce hmotnosti a vzdialenosti? Ak by ste namiesto násobenia sčítali hmotnosti a vzdialenosti, dostali by ste oveľa menší výsledok.

Opravte chybu, ak ste našli viacero ťažísk. Každý systém má len jedno ťažisko. Ak ste našli viacero ťažísk, s najväčšou pravdepodobnosťou ste nezrátali všetky momenty. Ťažisko sa rovná pomeru „celkového“ momentu k „celkovej“ hmotnosti. Nie je potrebné deliť „každý“ moment „každým“ závažím: takto zistíte polohu každého objektu.

Skontrolujte referenčný bod, ak sa odpoveď líši o nejaké celé číslo. V našom príklade je odpoveď 3,4 m Povedzme, že ste dostali odpoveď 0,4 m alebo 1,4 m, alebo iné číslo končiace na „.4“. Je to preto, že ste si ako východiskový bod nezvolili ľavý koniec hracej dosky, ale bod, ktorý sa nachádza o celú časť vpravo. V skutočnosti je vaša odpoveď správna bez ohľadu na to, ktorý referenčný bod si vyberiete! Nezabudnite: referenčný bod je vždy na pozícii x = 0. Tu je príklad:

• V našom príklade bol referenčný bod na ľavom konci dosky a zistili sme, že ťažisko bolo 3,4 m od tohto referenčného bodu.
• Ak si ako referenčný bod zvolíte bod, ktorý sa nachádza 1 m vpravo od ľavého konca dosky, dostanete odpoveď 2,4 m To znamená, že ťažisko je 2,4 m od nového referenčného bodu, ktorý , sa zase nachádza 1 m od ľavého konca dosky. Ťažisko je teda vo vzdialenosti 2,4 + 1 = 3,4 m od ľavého konca dosky. Ukázalo sa, že je to stará odpoveď!
• Poznámka: Pri meraní vzdialeností pamätajte, že vzdialenosti k „ľavému“ referenčnému bodu sú záporné a k „pravému“ referenčnému bodu kladné.

Merajte vzdialenosti v priamych čiarach. Predpokladajme, že na hojdačke sú dve deti, ale jedno dieťa je oveľa vyššie ako druhé, alebo jedno dieťa visí pod doskou, namiesto toho, aby na nej sedelo. Ignorujte tento rozdiel a zmerajte vzdialenosti pozdĺž priamky dosky. Meranie vzdialeností pod uhlom poskytne blízke, ale nie úplne presné výsledky.

• Pri probléme s hojdacou doskou si pamätajte, že ťažisko je medzi pravým a ľavým koncom dosky. Neskôr sa naučíte vypočítať ťažisko zložitejších dvojrozmerných systémov.

Poznámka.Ťažisko symetrickej postavy je na osi súmernosti.

Ťažisko tyče je v strede výšky. Na riešenie problémov sa používajú tieto metódy:

1. metóda symetrie: ťažisko symetrických obrazcov je na osi súmernosti;

2. separačná metóda: zložité úseky sú rozdelené na niekoľko jednoduchých častí, ktorých polohu ťažísk je možné ľahko určiť;

3. metóda negatívnej oblasti: dutiny (diery) sa považujú za súčasť rezu s negatívnou plochou.

Príklady riešenia problémov

Príklad 1 Určte polohu ťažiska obrázku znázorneného na obr. 8.4.

Riešenie

Obrázok rozdelíme na tri časti:

Definované podobne pri C = 4,5 cm.

Príklad 2 Nájdite polohu ťažiska symetrického tyčového nosníka ADBE(obr. 116), ktorého rozmery sú nasledovné: AB = 6 m, DE = 3 m a EF = 1 m.

Riešenie

Keďže krov je symetrický, jeho ťažisko leží na osi symetrie D.F. Pri zvolenom (obr. 116) sústave súradnicových osí je úsečka ťažiska krovu.

V dôsledku toho nie je známa iba súradnica v Cťažisko farmy. Na jej určenie rozdeľujeme krov na samostatné časti (prúty). Ich dĺžky sú určené zo zodpovedajúcich trojuholníkov.

Od ΔAEF máme

Od ΔADF máme

Ťažisko každej tyče leží v jej strede súradnice týchto stredov sa dajú ľahko určiť z výkresu (obr. 116).

Zistené dĺžky a ordináty ťažísk jednotlivých častí krovu sa zapíšu do tabuľky a podľa vzorca

určiť súradnicu y sťažisko daného plochého krovu.

Preto ťažisko S celý krov leží na osi DF symetria krovu vo vzdialenosti 1,59 m od bodu F.

Príklad 3 Určte súradnice ťažiska zloženého úseku. Sekcia pozostáva z plechu a valcovaných profilov (obr. 8.5).

Poznámka. Rámy sú často zvárané z rôznych profilov, aby sa vytvorila požadovaná štruktúra. Tým sa zníži spotreba kovu a vytvorí sa vysoko pevná štruktúra.

Pre štandardné valcované profily sú známe ich vlastné geometrické charakteristiky. Sú uvedené v príslušných normách.

Riešenie

1. Označme čísla číslami a vypíšme potrebné údaje z tabuliek:

1 - kanál č. 10 (GOST 8240-89); výška h = 100 mm; šírka police b= 46 mm; prierezová plocha A 1= 10,9 cm2;

2 - I-nosník č. 16 (GOST 8239-89); výška 160 mm; šírka police 81 mm; plocha prierezu A 2 - 20,2 cm 2;

3 - list 5x100; hrúbka 5 mm; šírka 100 mm; plocha prierezu A 3 = 0,5 10 = 5 cm 2.

2. Súradnice ťažísk každého obrazca možno určiť z výkresu.

Kompozitná časť je symetrická, takže ťažisko je na osi symetrie a súradnice X C = 0.

3. Určenie ťažiska zloženého profilu:

Príklad 4. Určte súradnice ťažiska rezu znázorneného na obr. 8, A. Sekcia pozostáva z dvoch uhlov 56x4 a kanála č. 18. Skontrolujte správnosť určenia polohy ťažiska. Označte jeho polohu v sekcii.

Riešenie

1. : dva rohy 56 x 4 a kanál č. 18. Označme ich 1, 2, 3 (pozri obr. 8, A).

2. Naznačíme ťažiská každý profil, pomocou tabuľky 1 a 4 príd. Ja a označujem ich C 1, C 2, C 3.

3. Vyberte systém súradnicových osí. Os pri kompatibilné s osou symetrie a osou X kresliť cez ťažisko rohov.

4. Určte súradnice ťažiska celého úseku. Od os pri sa zhoduje s osou symetrie, potom prechádza ťažiskom rezu, preto x s= 0. Súradnica y s určíme podľa vzorca

Pomocou tabuliek v prílohe určíme plochy každého profilu a súradnice ťažísk:

Súradnice o 1 A o 2 sa rovnajú nule, keďže os X prechádza ťažiskami rohov. Nahraďte získané hodnoty do vzorca na určenie y s:

5. Označme ťažisko rezu na obr. 8 a označte ho písmenom C. Ukážme vzdialenosť y C = 2,43 cm od osi X do bodu C.

Keďže rohy sú symetricky umiestnené a majú rovnakú plochu a súradnice A1 = A2, y1 = y2. Preto vzorec na určenie v C možno zjednodušiť:

6. Skontrolujme to. Na tento účel os X Nakreslíme pozdĺž spodného okraja rohovej police (obr. 8, b). Os pri Nechajme to ako v prvom riešení. Vzorce na určenie x C A v C nemeň:

Plochy profilov zostanú rovnaké, ale zmenia sa súradnice ťažísk uhlov a kanálov. Zapíšme si ich:

Nájdite súradnicu ťažiska:

Podľa nájdených súradníc x s A y s nakreslite bod C na výkrese Poloha ťažiska zistená dvoma spôsobmi je v tom istom bode. Poďme si to overiť. Rozdiel medzi súradnicami y s, zistený v prvom a druhom riešení je: 6,51 - 2,43 = 4,08 cm.

To sa rovná vzdialenosti medzi osou x v prvom a druhom riešení: 5,6 - 1,52 = 4,08 cm.

odpoveď: s= 2,43 cm ak os x prechádza ťažiskami rohov, príp y c = 6,51 cm, ak os x prebieha pozdĺž spodného okraja rohovej príruby.

Príklad 5. Určte súradnice ťažiska rezu znázorneného na obr. 9, A.Úsek pozostáva z I-nosníka č. 24 a kanála č. 24a. Ukážte polohu ťažiska na reze.

Riešenie

1.Rozdeľme rez na valcované profily: I-lúč a kanál. Označme ich číslami 1 a 2.

3. Označujeme ťažisko každého profilu C 1 a C 2 pomocou aplikačných tabuliek.

4. Vyberte systém súradnicových osí. Os x je kompatibilná s osou symetrie a os y je vedená cez ťažisko I-lúča.

5. Určte súradnice ťažiska rezu. Súradnica y c = 0, keďže os X sa zhoduje s osou symetrie. Vzorcom určíme súradnicu x

Podľa tabuľky 3 a 4 príd. I a prierezový diagram, ktorý určíme

Nahraďte číselné hodnoty do vzorca a získajte

5. Nakreslite bod C (ťažisko rezu) pomocou zistených hodnôt x c a y c (pozri obr. 9, a).

Riešenie je potrebné skontrolovať nezávisle s osami umiestnenými tak, ako je znázornené na obr. 9, b. Výsledkom riešenia je x c ​​= 11,86 cm Rozdiel medzi hodnotami x c pre prvé a druhé riešenie je 11,86 - 6,11 = 5,75 cm, čo sa rovná vzdialenosti medzi osami y pre to isté. roztoky b dv /2 = 5,75 cm.

Odpoveď: x c = 6,11 cm, ak os y prechádza ťažiskom I-nosníka; x c = 11,86 cm, ak os y prechádza ľavými krajnými bodmi I-lúča.

Príklad 6.Železničný žeriav spočíva na koľajniciach, ktorých vzdialenosť je AB = 1,5 m (obr. 1.102). Tiažová sila žeriavového vozíka je G r = 30 kN, ťažisko vozíka je v bode C, ležiacom na priamke KL priesečníka roviny súmernosti vozíka s rovinou výkresu. V bode pôsobí tiažová sila žeriavového navijaka Q l = 10 kN D. V bode E pôsobí tiažová sila protizávažia G„=20 kN. V bode H pôsobí tiažová sila výložníka G c = 5 kN. Dosah žeriavu voči priamke KL je 2 m koeficient stability žeriavu v nezaťaženom stave a aké zaťaženie F možno zdvihnúť týmto žeriavom za predpokladu, že koeficient stability musí byť aspoň dva.

Riešenie

1. Pri vyložení hrozí prevrátenie žeriavu pri otáčaní okolo koľajnice A. Preto relatívne k bodu A moment stability

2. Moment prevrátenia vzhľadom na bod A vzniká gravitačnou silou protizávažia, t.j.

3. Z toho vyplýva koeficient stability žeriavu v nezaťaženom stave

4. Pri nakladaní výložníka žeriavu nákladom F hrozí nebezpečenstvo prevrátenia žeriavu pri otáčaní v blízkosti koľajnice B. Preto vzhľadom na bod IN moment stability

5. Moment prevrátenia vzhľadom na koľajnicu IN

6. Podľa podmienok problému je povolená prevádzka žeriavu s koeficientom stability k B ≥ 2, t.j.

Testovacie otázky a úlohy

1. Prečo možno brať sily príťažlivosti k Zemi pôsobiace na body telesa ako sústavu paralelných síl?

2. Napíšte vzorce na určenie polohy ťažiska nehomogénnych a homogénnych telies, vzorce na určenie polohy ťažiska rovinných úsekov.

3. Zopakujte vzorce na určenie polohy ťažiska jednoduchých geometrických útvarov: obdĺžnik, trojuholník, lichobežník a polkruh.

4.
Aký je statický moment plochy?

5. Vypočítajte statický moment tohto útvaru okolo osi Vôl. h= 30 cm; b= 120 cm; s= 10 cm (obr. 8.6).

6. Určte súradnice ťažiska vytieňovaného obrazca (obr. 8.7). Rozmery sú uvedené v mm.

7. Určte súradnicu pri obrázok 1 kompozitného rezu (obr. 8.8).

Pri rozhodovaní použite referenčné údaje z tabuliek GOST „Oceľ valcovaná za tepla“ (pozri prílohu 1).

Obdĺžnik. Keďže obdĺžnik má dve osi súmernosti, jeho ťažisko je v priesečníku osí súmernosti, t.j. v priesečníku uhlopriečok obdĺžnika.

Trojuholník. Ťažisko leží v priesečníku jeho mediánov. Z geometrie je známe, že stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode a delia sa v pomere 1:2 od základne.

Kruh. Keďže kruh má dve osi súmernosti, jeho ťažisko je v priesečníku osí súmernosti.

Polkruh. Polkruh má jednu os symetrie, potom ťažisko leží na tejto osi. Ďalšia súradnica ťažiska sa vypočíta podľa vzorca: .

Mnohé konštrukčné prvky sú vyrobené zo štandardných valcovaných výrobkov - uholníky, I-nosníky, kanály a iné. Všetky rozmery, ako aj geometrické charakteristiky valcovaných profilov sú tabuľkové údaje, ktoré možno nájsť v referenčnej literatúre v tabuľkách bežného sortimentu (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

Príklad 1 Určte polohu ťažiska postavy znázornenej na obrázku.

Riešenie:

Vyberieme súradnicové osi tak, aby os Ox prebiehala pozdĺž najspodnejšieho celkového rozmeru a os Oy pozdĺž celkového rozmeru úplne vľavo.

Zložitú figúrku rozdelíme na minimálny počet jednoduchých figúrok:

obdĺžnik 20x10;

trojuholník 15x10;

kruh R=3 cm.

Vypočítame plochu každej jednoduchej postavy a jej súradnice ťažiska. Výsledky výpočtu sa zapíšu do tabuľky

Obrázok č.	Oblasť obrázku A,	Súradnice ťažiska

odpoveď: C(14,5; 4,5)

Príklad 2 . Určte súradnice ťažiska kompozitného profilu pozostávajúceho z plechu a valcovaných profilov.

Riešenie.

Vyberieme súradnicové osi, ako je znázornené na obrázku.

Označme čísla číslami a vypíšme potrebné údaje z tabuľky:

Obrázok č.	Oblasť obrázku A,	Súradnice ťažiska

Súradnice ťažiska obrázku vypočítame pomocou vzorcov:

odpoveď: C(0; 10)

Laboratórna práca č. 1 „Určenie ťažiska kompozitných plochých figúrok“

Cieľ: Určte ťažisko daného plochého komplexného útvaru pomocou experimentálnych a analytických metód a porovnajte ich výsledky.

Zákazka

Nakreslite svoju plochú postavu do svojich zošitov vo veľkosti s uvedením súradnicových osí.

Analyticky určte ťažisko.

1. Rozdeľte figúrku na minimálny počet figúrok, ktorých ťažisko vieme určiť.

   Uveďte čísla oblastí a súradnice ťažiska každého obrázku.

   Vypočítajte súradnice ťažiska každého obrazca.

   Vypočítajte plochu každého obrázku.

   Vypočítajte súradnice ťažiska celého obrazca pomocou vzorcov (poloha ťažiska je zakreslená na výkrese obrazca):

Inštaláciu na experimentálne určenie súradníc ťažiska pomocou závesnej metódy tvorí zvislý stojan 1 (pozri obrázok), ku ktorému je pripevnená ihla 2 . Plochá postava 3 Vyrobené z kartónu, do ktorého sa dajú ľahko dierovať. Diery A A IN prepichnuté v náhodne umiestnených bodoch (najlepšie v najväčšej vzdialenosti od seba). Plochá figúrka je zavesená na ihle, najskôr na hrote A a potom v bode IN . Pomocou olovnice 4 , pripevnený k tej istej ihle, nakreslite zvislú čiaru na obrázku ceruzkou zodpovedajúcou závitu olovnice. Ťažisko S obrázok bude umiestnený v priesečníku zvislých čiar nakreslených pri zavesení obrázku na body A A IN .

V inžinierskej praxi sa stáva, že je potrebné vypočítať súradnice ťažiska zložitého plochého útvaru pozostávajúceho z jednoduchých prvkov, pre ktoré je známa poloha ťažiska. Táto úloha je súčasťou úlohy určovania...

Geometrické charakteristiky kompozitných prierezov nosníkov a prútov. Podobným otázkam musia často čeliť aj konštruktéri rezacích nástrojov pri určovaní súradníc stredu tlaku, vývojári schém nakladania pre rôzne vozidlá pri ukladaní nákladu, dizajnéri stavebných kovových konštrukcií pri výbere prierezov prvkov a samozrejme, študentov pri štúdiu odborov „Teoretická mechanika“ a „Sila materiálov“.

Knižnica základných postáv.

Pri symetrických rovinných útvaroch sa ťažisko zhoduje so stredom symetrie. Do symetrickej skupiny elementárnych objektov patria: kruh, obdĺžnik (vrátane štvorca), rovnobežník (vrátane kosoštvorca), pravidelný mnohouholník.

Z desiatich čísel uvedených na obrázku vyššie sú iba dve základné. To znamená, že pomocou trojuholníkov a sektorov kruhov môžete kombinovať takmer akúkoľvek postavu praktického záujmu. Akékoľvek ľubovoľné krivky je možné rozdeliť na časti a nahradiť kruhovými oblúkmi.

Zvyšných osem figúrok je najbežnejších, a preto boli zaradené do tejto unikátnej knižnice. V našej klasifikácii tieto prvky nie sú základné. Z dvoch trojuholníkov možno vytvoriť obdĺžnik, rovnobežník a lichobežník. Šesťuholník je súčtom štyroch trojuholníkov. Kruhový segment je rozdiel medzi sektorom kruhu a trojuholníka. Prstencový sektor kruhu je rozdiel medzi dvoma sektormi. Kruh je výsek kruhu s uhlom α=2*π=360˚. Polkruh je teda výseč kruhu s uhlom α=π=180˚.

Výpočet súradníc ťažiska zloženého útvaru v Exceli.

Vždy je jednoduchšie sprostredkovať a vnímať informácie na príklade, ako študovať problematiku čisto teoretickými výpočtami. Pozrime sa na riešenie problému „Ako nájsť ťažisko? pomocou príkladu zloženého obrazca znázorneného na obrázku pod týmto textom.

Zložená časť je obdĺžnik (s rozmermi a1 = 80 mm, b1 =40 mm), ku ktorému bol vľavo hore pridaný rovnoramenný trojuholník (s veľkosťou základne a2 = 24 mm a výška h2 =42 mm) a z ktorého bol vyrezaný polkruh vpravo hore (so stredom v bode so súradnicami X03 = 50 mm a r03 = 40 mm, polomer r3 = 26 mm).

Pri výpočtoch vám pomôžeme programom MS Excel alebo program OOo Výpočet . Ktorýkoľvek z nich sa s našou úlohou ľahko vyrovná!

V bunkách s žltá naplníme ju pomocný predbežný výpočty .

Výsledky vypočítame v bunkách so svetložltou výplňou.

Modrá font je počiatočné údaje .

čierna font je medziprodukt výsledky výpočtu .

Červená font je Konečný výsledky výpočtu .

Začneme riešiť problém - začneme hľadať súradnice ťažiska úseku.

Počiatočné údaje:

1. Podľa toho napíšeme názvy elementárnych útvarov tvoriacich zložený úsek

do bunky D3: Obdĺžnik

do bunky E3: Trojuholník

do bunky F3: Polkruh

2. Pomocou „Knižnice elementárnych obrázkov“ uvedenej v tomto článku určíme súradnice ťažísk prvkov zloženej časti. xci A yci v mm vzhľadom na ľubovoľne zvolené osi 0x a 0y a zapíšte

do bunky D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

do bunky D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

do bunky E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

do bunky E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

do bunky F4: =50 =50,000

xc 3 = X03

do bunky F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = r 03 -4* r3 /3/ π

3. Vypočítajme plochy prvkov F 1 , F 2 , F3 v mm2, opäť pomocou vzorcov z časti „Knižnica elementárnych obrázkov“

v bunke D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

v bunke E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

v bunke F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Oblasť tretieho prvku - polkruhu - je negatívna, pretože je to výrez - prázdny priestor!

Výpočet súradníc ťažiska:

4. Určite celkovú plochu konečného obrázku F0 v mm2

v zlúčenej bunke D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Vypočítajme statické momenty zloženého útvaru Sx A Sy v mm3 vzhľadom na zvolené osi 0x a 0y

v zlúčenej bunke D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

v zlúčenej bunke D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. A nakoniec vypočítajme súradnice ťažiska zloženej časti Xc A Yc v mm vo zvolenom súradnicovom systéme 0x - 0y

v zlúčenej bunke D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

v zlúčenej bunke D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc = Sx /F0

Problém je vyriešený, výpočet v Exceli dokončený - súradnice ťažiska rezu zostavené pomocou troch jednoduchých prvkov boli nájdené!

Záver.

Príklad v článku bol vybraný ako veľmi jednoduchý, aby bolo možné ľahšie pochopiť metodiku výpočtu ťažiska zložitého úseku. Metóda spočíva v tom, že akýkoľvek zložitý obrazec by sa mal rozdeliť na jednoduché prvky so známym umiestnením ťažísk a konečné výpočty by sa mali urobiť pre celý úsek.

Ak je sekcia vytvorená z valcovaných profilov - uholníkov a kanálov, nie je potrebné ich deliť na obdĺžniky a štvorce s vyrezanými kruhovými „π/2“ sektormi. Súradnice ťažísk týchto profilov sú uvedené v tabuľkách GOST, to znamená, že uhol aj kanál budú základnými elementárnymi prvkami vo vašich výpočtoch kompozitných profilov (nemá zmysel hovoriť o I-nosníkoch, rúry, tyče a šesťuholníky – ide o stredovo symetrické rezy).

Umiestnenie súradnicových osí samozrejme neovplyvňuje polohu ťažiska postavy! Vyberte si preto súradnicový systém, ktorý vám zjednoduší výpočty. Ak by som napríklad v našom príklade otočil súradnicový systém o 45˚ v smere hodinových ručičiek, potom by sa výpočet súradníc ťažísk obdĺžnika, trojuholníka a polkruhu zmenil na ďalšiu samostatnú a ťažkopádnu fázu výpočtov, ktorú nemožno vykonať. v hlave“.

Nižšie uvedený výpočtový súbor programu Excel nie je v tomto prípade programom. Je to skôr náčrt kalkulačky, algoritmu, šablóny, ktorá nasleduje v každom konkrétnom prípade vytvorte si vlastnú postupnosť vzorcov pre bunky s jasnožltou výplňou.

Takže teraz viete, ako nájsť ťažisko akejkoľvek sekcie! Úplný výpočet všetkých geometrických charakteristík ľubovoľných zložitých kompozitných rezov bude zvážený v jednom z nadchádzajúcich článkov v časti „“. Sledujte novinky na blogu.

Pre prijímanie informácie o vydaní nových článkov a pre sťahovanie pracovných programových súborov Žiadam vás, aby ste sa prihlásili na odber oznamov v okne umiestnenom na konci článku alebo v okne v hornej časti stránky.

Po zadaní e-mailovej adresy a kliknutí na tlačidlo „Prijímať oznámenia o článku“. NEZABUDNI POTVRDZTE ODBER kliknutím na odkaz v liste, ktorý vám okamžite príde na zadanú e-mailovú adresu (niekedy v priečinku « Nevyžiadaná pošta » )!

Niekoľko slov o pohári, minci a dvoch vidliciach, ktoré sú znázornené na ikone „ilustrácie“ na samom začiatku článku. Mnohí z vás určite poznajú túto „vychytávku“, ktorá vyvoláva obdivné pohľady detí i nezasvätených dospelých. Témou tohto článku je ťažisko. Je to on a opora, ktorá sa hrá s naším vedomím a skúsenosťami, čo jednoducho oklame našu myseľ!

Ťažisko systému „vidlička + minca“ je vždy umiestnené na pevné vzdialenosť vertikálne nadol od okraja mince, ktorý je zase oporným bodom. Toto je pozícia stabilnej rovnováhy! Ak zatrasiete vidlicami, okamžite je zrejmé, že systém sa snaží zaujať svoju predchádzajúcu stabilnú polohu! Predstavte si kyvadlo - upevňovací bod (= bod opory mince o okraj pohára), os tyče kyvadla (= v našom prípade je os virtuálna, keďže hmotnosť dvoch vidlíc je rozložené v rôznych smeroch priestoru) a náklad v spodnej časti osi (= ťažisko celého „vidlicového“ systému + minca“). Ak začnete kyvadlo vychyľovať z vertikály v akomkoľvek smere (dopredu, dozadu, doľava, doprava), potom sa nevyhnutne vráti do pôvodnej polohy pod vplyvom gravitácie. rovnovážny stav(to isté sa deje s našimi vidličkami a mincami)!

Ak nerozumiete, ale chcete pochopiť, príďte na to sami. Je veľmi zaujímavé „dostať sa tam“! Doplním, že rovnaký princíp používania stabilnej rovnováhy je implementovaný aj v hračke Vanka-Get-Up. Iba ťažisko tejto hračky sa nachádza nad oporným bodom, ale pod stredom pologule nosnej plochy.

Vždy sa teším na vaše komentáre, milí čitatelia!!!

Opýtať sa, REŠPEKTOVAŤ autorské dielo, súbor na stiahnutie PO ODBERE pre oznámenia článkov.