Štvorrozmerná rotácia vesmíru.

Ak je vesmír uzavretý, musí sa otáčať. Všetky jeho body sa musia pohybovať rovnakou 4 rýchlosťou a rovnakou uhlovou rýchlosťou.

Nemôžete tak roztočiť obyčajnú loptičku. Body gule v blízkosti osi rotácie sa pohybujú nižšou lineárnou rýchlosťou ako rovníkové body.

Ale uzavretý vesmír sa ukazuje ako ideálny z hľadiska rotácie. Ukazuje sa, že je priestorovo homogénny a izotropný. Ako to môže byť? Na obrázku vľavo je skutočne zreteľná anizotropia - vidíme dve osi rotácie.

Táto kresba nám skutočne pomáha pochopiť štvorrozmernú rotáciu trojrozmernej neeuklidovskej hypersféry x2+y2+z2+q2=r2 ponorený do euklidovského štvorrozmerného priestoru. Ale táto rovnica zahŕňa priestorové súradnice q, ktorý sme na obrázku identifikovali farbou.

Nahraďme ju časovou súradnicou t, vynásobenou rýchlosťou svetla, aby sme dostali metre, a imaginárnou jednotkou i, pretože časopriestor je pseudoeuklidovský. To znamená, že dostaneme rovnicu: x 2 + y 2 + z 2 + (ict) 2 = r 2, pseudoeuklidovská hypersféra.

Môžete sa pozrieť na túto rotáciu v (x,ict) rovine otvorením môjho programu, ale v súčasnosti sa súbory .exe na stránku nenahrávajú. Čoskoro sa pokúsim urobiť kreslený animovaný gif.

Všimnite si, že elektrón sa tam otáča a prechádza pravou a ľavou hyperbolou vo svojom klasickom čase. Tam vidíte, ako „tieň“ elektrónu kreslí kruh. Tento kruh dostaneme, ak každý prvok hyperboly vydelíme príslušným relativistickým faktorom a spočítame ich. V dôsledku toho dostaneme 2p ri. To naznačuje, že pseudokruh v uzavretom vesmíre sa mení na kvázi uzavretý kruh nielen pre elektrón, ale pre všetky častice vo vesmíre vrátane galaxií.

Kam teda smeruje asymetria? Aby ste to dosiahli, nezabudnite, že štvorec 4-rýchlostných (v g, icg) v špeciálnej teórii relativity je invariant a rovná sa - c 2. Pre akékoľvek telo! Priestorová časť štvorrýchlostnej pre teleso v pokoji je nulová a časová časť nám udáva rýchlosť svetla.

Zoberieme akýkoľvek bod v uzavretom rotujúcom vesmíre. Každý bod má dve osi-roviny. Nachádza sa na jednej osi a druhá os je kolmá. Oba sú kruhy. Os, na ktorej sa daná častica nachádza, obsahuje časovú súradnicu a akúkoľvek inú priestorovú súradnicu. Nech je to tak (z,ict). Táto os sa pohybuje rýchlosťou c. Pre našu skúmanú časticu bude táto rýchlosť čisto dočasná, pretože sa pohybuje pozdĺž tejto osi, a preto je vzhľadom na túto os v pokoji. Ostatné body na osi dostanú väčšiu priestorovú časť, čím ďalej sú od skúmaného bodu. A podľa časovej zložky 4-ky sa tempo času znižuje, čím viac, tým je ďalej od skúmaného bodu. Takže sme dospeli k záveru: galaxie v dvoch opačných smeroch, v ktorých spočíva táto rovina osi, budú mať priečny červený posun v dôsledku časopriestorovej rotácie pozdĺž súradnice z.

Keďže druhá rovina osi sa otáča v kolmom smere, bude tam tiež pozorovaný priečny červený posun, ale tam je to spôsobené priečnym pohybom v rovine (x, y).

Táto rotácia vysvetľuje veľa vecí:
prítomnosť rotácie v každej častici;
prítomnosť kvantovej ψ-funkcie;
pravo-ľavá asymetria v helicitách galaxií;
Prečo je podmienený vek vesmíru vždy 13,34 miliardy rokov!
abnormálne rýchla rotácia okrajových častí galaxií;
Kritická hustota vesmíru môže byť menšia...

Ak sú rýchlosti rotácie pozdĺž osí mierne odlišné, potom môžeme vidieť viacpólovú štruktúru v reliktnom pozadí a miernu anizotropiu v červených posunoch galaxií.

Svetové čiary.

V animovanom gife vidíme pohyb loptičiek. V skutočnosti je potrebné imaginárny obraz trochu skomplikovať predstavou svetových radov galaxií. Pre galaxie rotujúce v (z,ict) rovine stotožňujeme čas s farbou. Ak čas na tejto strane obrazu ide jedným smerom, potom na opačnej strane obrazu ide čas dozadu. To by nemalo byť prekvapujúce. Ako viete, vo fyzike sme sa s tým už stretli – pozitrón je elektrón žijúci spätne v čase. A na stránkach o kvantovanej rýchlosti sme túto myšlienku rozvinuli a videli sme, že každá elementárna častica žije v čase „tam a späť“. Kompozitná častica „vzplanie“ v momentoch spájania kvázi uzavretých kruhov. A ak po dokončení kola jedna z elementárnych častíc mešká alebo je pred ostatnými časticami, potom v momente časopriestorovej synchronizácie dostane elementárnu zmenu rýchlosti, alebo inými slovami, urobí elementárny obrat. v časopriestore.

Rovnaké elementárne rotácie v časopriestore uvidíme, ak budeme sledovať pohyb guľôčok na našom rotujúcom obrázku, doplnenom o ďalší obrázok.

Urobme elementárny prechod zo stredu tohto obrázku do ľubovoľného smeru. Zároveň sa ocitneme bližšie k nejakej konvenčnej hranici. Ale keďže je vesmír izotropný a homogénny, musíme vykonávať transformácie s inými galaxiami – posúvať ich tak, aby skúmaná častica bola opäť v strede.

Pri mentálnom vykonávaní tohto postupu si všimneme, že galaxie, ktoré boli za na vzdialenej hranici, po transformácii budú na prednej hranici.

Ak k pohybu dôjde pozdĺž časovej zložky, potom galaxie, ktoré boli v minulosti blízko horizontu udalostí, zmiznú a objavia sa vo vzdialenej budúcnosti „nad svetelným kužeľom“.

Galaxie, ktoré sú vo svetelnom kuželi v strednej polohe medzi skúmanou pohyblivou galaxiou a horizontom udalostí, v dôsledku série po sebe nasledujúcich transformácií dosahujú rýchlosť recesie podobnú tej, ktorá je „pozorovaná“ v rozpínavom modeli vesmíru.

Okrem uvoľňovania hmoty za horizontom udalostí v dávnej minulosti, a teda procesu znižovania koncentrácie častíc v dôsledku zrýchlenia odstraňovania galaxií, existuje proces, ktorý kompenzuje počet galaxií vo svetle. kužeľ.

Počet galaxií je relatívny pojem. V blízkosti našej Galaxie sú satelity LMC a MMC. Je dosť možné, že sa teraz rodia ďalšie satelity – od Galaxie sa oddeľujú nejaké zhluky hviezd. Postupom času to budú nezávislé galaxie s veľkým počtom hviezd. Otázkou je, odkiaľ pochádza hmota?

Po prvé, látka vstupuje do svetelného kužeľa zhora. Po druhé, gama záblesky. Tento proces je opísaný na stránke Hoyle Model a 4d Rotation. Ukazuje sa, že štvorrozmerná rotácia vesmíru v dvoch na seba kolmých rovinách nielen zodpovedá pozorovaniam, ale oživuje aj stacionárny model vesmíru, ktorý vytvorili Fred Hoyle, Herman Bondi a Thomas Gold.

Niektoré užitočné aplikácie z iných zdrojov.

Bozkávacie číslo

Problémy s usporiadaním loptičiek sa často vyskytujú v mnohých situáciách, najmä v teórii kódovania (guličky sú tvorené súbormi vstupov, ktoré by oprava chýb mapovala do jedného kódového slova).
Najdôležitejšou otázkou v tejto oblasti je Keplerov problém: aké je najhustejšie balenie gúľ vo vesmíre? že zvyčajný grapefruitový obal je najhustejší obal, v ktorom guľové stredy tvoria mriežku.)

Farebne pomenovaný „problém s bozkávaním čísel“ odkazuje na miestnu hustotu obalov: koľko loptičiek sa môže dotknúť inej loptičky? To samo o sebe možno považovať za verziu Keplerovho problému pre sférickú, a nie euklidovskú geometriu.

V matematike sa problémy s balením gúľ týkajú usporiadania neprekrývajúcich sa identických gúľ, ktoré vypĺňajú priestor. Zvyčajne ide o trojrozmerný euklidovský priestor. Problémy s balením gúľ však možno zovšeobecniť na dvojrozmerný priestor (kde "gule" sú kruhy), na n-rozmerný priestor (kde "gule" sú hypersféry) a na neeuklidovské priestory, ako je hyperbolický priestor.
Pravidelné usporiadanie (tiež nazývané periodické alebo mriežkové usporiadanie) je také usporiadanie, v ktorom stredy gúľ tvoria veľmi symetrický vzor nazývaný mriežka. Usporiadania, v ktorých gule nie sú usporiadané v mriežke, sa nazývajú nepravidelné alebo aperiodické usporiadania. S bežnými usporiadaniami sa manipuluje ľahšie ako s nepravidelnými – ich vysoký stupeň symetrie uľahčuje ich klasifikáciu a meranie ich hustoty.

Počet ekvivalentných hypersfér v rozmeroch n ktorá sa môže dotýkať ekvivalentnej hypersféry bez akýchkoľvek priesečníkov, niekedy nazývaná aj Newtonovo číslo, kontaktné číslo, koordinačné číslo alebo ligancia.

Presné hodnoty pre mriežkové tesnenia sú známe pre n=1 až 9 a n=24 (Conway a Sloane 1993, Sloane a Nebe). Odlyzko a Sloane (1979) našli presnú hodnotu pre 24-D.

Presné hodnoty pre všeobecné balenia sú známe pre n=1, 2, 3, 4, 8 a 24. Musin vyvinul v roku 2003 metódu ohraničenia na preukázanie 24-rozmerného prípadu a jeho metóda tiež poskytuje dôkazy pre tri a štyri rozmery ( Pfender a Ziegler 2004).

SO(4)

V matematike je SO(4) štvorrozmerná rotačná grupa; teda skupina rotácií okolo pevného bodu v štvorrozmernom euklidovskom priestore. Názov pochádza zo skutočnosti, že ide o (izomorfnú) špeciálnu ortogonálnu skupinu rádu 4.

Jednoduché rotácie
Jednoduchá rotácia R okolo stredu rotácie O zanecháva celú rovinu A až O (rovinu osi) bodovo invariantnú...

Polpriamky od O v rovine osi A nie sú posunuté; polčiary od O ortogonálne k A sú posunuté cez a; všetky ostatné polpriamky sú posunuté o určitý uhol< α.

Dvojité rotácie
Dvojitá rotácia R okolo stredu rotácie O ponecháva iba O invariantné. Každá dvojitá rotácia má aspoň jeden pár úplne ortogonálnych rovín A a B až O, ktoré sú ako celok invariantné, t.j. rotovali v sebe. Vo všeobecnosti sú uhly rotácie α v rovine A a β v rovine B rôzne. V takom prípade sú A a B jediným párom invariantných rovín a polpriamky z O v A, B sú posunuté cez α, β a polpriamky z O nie v A alebo B sú posunuté cez uhly striktne medzi α a β.

Izoklinické rotácie
Ak sú uhly rotácie dvojitej rotácie rovnaké, potom existuje nekonečne veľa invariantných rovín namiesto iba dvoch a všetky polpriamky z O sú posunuté o rovnaký uhol. Takéto rotácie sa nazývajú izoklinické alebo rovnouholníkové rotácie alebo Cliffordove posuny. Pozor: nie všetky roviny cez O sú pri izoklinických rotáciách invariantné; iba roviny, ktoré sú preklenuté polpriamkou a zodpovedajúcou posunutou polpriamkou, sú invariantné.

GEOMETRICKÝ OBRAZ ŠTVORROZMERNEJ GULE.

Egorov Nester Alexandrovič

Študent 4. ročníka, Katedra algebry a geometrie IMI NEFU, Ruská federácia, Jakutsk

E- pošty: egrvnester@ pošty. ru

Popov Oleg Nikolajevič

vedecký školiteľ, Ph.D. tech. vedy, docent IMI NEFU, Ruská federácia, Jakutsk

Tento článok poskytuje reprezentáciu štvorrozmernej gule v štvorrozmernom priestore pomocou jej trojrozmerných rezov. Na vysvetlenie ťažkostí spojených s vnímaním predmetov v štvorrozmernom priestore sa používa metóda, ktorá je založená na zvažovaní priestorov s nižšími rozmermi. Význam tohto prístupu spočíva v tom, že nám umožňuje pochopiť štruktúru geometrických obrazov štvorrozmerného priestoru a tiež prispieva k rozvoju priestorového a abstraktného myslenia. Táto práca je zaujímavá pre študentov stredných škôl, študentov matematických a prírodovedných fakúlt, ale aj učiteľov matematiky. Prezentuje sa vizuálnou metódou, bez použitia vzorcov, len na základe školského kurzu geometrie.

Vo vedeckej a populárnej literatúre, v médiách sa často spomínajú multidimenzionálne priestory a objekty. Existujú rôzne teórie o mnohorozmernosti nášho vesmíru. Je ľudskou prirodzenosťou reprezentovať geometrické objekty vo vizuálnej forme. Preto sa mnohí, ktorí počuli frázu „štvorrozmerná guľa“, okamžite pokúsili predstaviť si ju vo svojej fantázii. Dobre si predstavíme dvojrozmernú guľu (toto je kruh ležiaci na rovine), trojrozmerná guľa je objekt, s ktorým sa v našich životoch často stretávame. Ale v štvorrozmernom prípade nemôžeme v našej predstavivosti žiadnym spôsobom zostrojiť geometrický obraz štvorrozmernej gule. Je to spôsobené vznikom štvrtej dimenzie, pre nás nedostupnej.

Cieľom našej práce je vytvoriť pre čitateľa intuitívne zrozumiteľnú predstavu o geometrickom obraze štvorrozmernej gule. Nepoužíva striktné definície ani matematické vzorce. Všetky použité pojmy a pojmy sú chápané len intuitívne. Všetok materiál je prezentovaný v populárnej forme.

Relevantnosť práce spočíva v tom, že nám umožňuje pochopiť štruktúru geometrických obrazov štvorrozmerného priestoru, prispieva aj k rozvoju priestorového a abstraktného myslenia a zaujíma študentov stredných škôl, študentov fakúlt. matematiky a prírodných vied, ako aj učiteľov matematiky.

Obrázok 1. a) Priama čiara v štvorrozmernom priestore pretína trojrozmernú guľu len v jednom vnútornom bode; b) Priamka na rovine pretína dvojrozmernú guľu pozdĺž segmentu; c) Priamka umiestnená v priestore pretína dvojrozmernú guľu len v jednom bode

Štvorrozmerný priestor je do istej miery neobvyklý priestor. Vieme, že v trojrozmernom priestore priama čiara pretína obmedzený trojrozmerný konvexný objem (napríklad guľu) pozdĺž segmentu. Výnimkou je, keď sa rovná čiara dotýka daného objektu. V štvorrozmernom priestore sa môže všetko diať inak. Priamka môže „prepichnúť“ trojrozmernú guľu, pričom zasiahne iba jeden vnútorný bod bez narušenia okolia (obr. 1, a)). To umožňuje 4D človeku (ak existoval) vziať všetky naše veci z tašky bez toho, aby ju otvoril alebo rozrezal, čo sa zdá byť veľmi nezvyčajné a nevysvetliteľné. Aby sme to pochopili, uvažujme o dvojrozmernom priestore (dvojrozmerný priestor je rovina vložená do trojrozmerného priestoru). Priamka v rovine bude pretínať kružnicu umiestnenú v rovine pozdĺž segmentu a priamka v priestore ležiaca mimo roviny bude pretínať kružnicu iba v jednom bode (obr. 1, b), c)).

Aby bola epizóda vecí, ktoré chýbajú v taške, zrozumiteľnejšia, nakreslíme na tabuľu dvojrozmernú osobu, nakreslíme jej obličky, obličkový kameň. Potom vezmeme do rúk handru a opatrne, bez toho, aby sme sa dotkli obličiek dvojrozmerného človeka, kameň zotrieme (obr. 2). Teraz si môžeme gratulovať k tomu, že sme práve úspešne vykonali operáciu na odstránenie obličkového kameňa bez použitia rezov a že náš pacient je zdravý. To, čo je mimo kontroly dvojrozmerného chirurga, sa pre bežného trojrozmerného človeka ukazuje ako jednoduchá záležitosť.

Obrázok 2. Odstránenie kameňa z dvojrozmernej obličky trojrozmerným lekárom bez rezerv

Ďalej použijeme túto techniku ​​spojenú s prechodom do nižšej dimenzie na vysvetlenie ťažkostí spojených s vnímaním objektov nachádzajúcich sa v štvorrozmernom priestore. Ťažkosti vnímania dvojrozmerného človeka, keď sa snaží pochopiť trojrozmerný svet, sú podobné ako pri vnímaní štvorrozmerného priestoru, keďže ich v oboch prípadoch spája objavenie sa novej neprístupnej dimenzie.

Dva trojrozmerné priestory sa môžu pretínať alebo byť rovnobežné v štvorrozmernom priestore. Zoberme si prípad, keď sa pretínajú.

Obrázok 3. Dva trojrozmerné priestory sa pretínajú v štvorrozmernom priestore pozdĺž roviny.

Ak sa dve roviny x a y pretínajú pozdĺž priamky l (obr. 4), potom sa trojrozmerné priestory P a Q pretínajú pozdĺž roviny α (obr. 3). Pre dvojrozmerného človeka bude priamka l (ak je nepriehľadná) stenou rozdeľujúcou jeho svet na dve časti. A polroviny y 1 a y 2 pre neho neexistujú, keďže sú v tretej dimenzii, pre neho neprístupné. Pre trojrozmerného človeka bude takouto stenou, rozdeľujúcou celý priestor na dve časti, rovina α (obr. 3).

Ďalej uvažujme dve pretínajúce sa roviny x a y, pozdĺž jednej z nich sa kotúľa dvojrozmerná guľa (obr. 4). Všimnite si, že dvojrozmerný človek vidí iba priamku l z roviny y, pretože je v jeho x priestore. Polroviny y 1 a y 2 sú pre neho neviditeľné, takže dvojrozmerná osoba nachádzajúca sa v rovine x uvidí bod (plochá guľa sa dotkla čiary), ktorý sa potom rozdelí (guľa preťala čiaru). Ďalej, keď sa loptička pohybuje, body sa budú rozchádzať, až kým sa priamka priesečníka rovín nezhoduje s priemerom gule, potom sa všetko stane v opačnom poradí.

Obrázok 4. Dvojrozmerný človek vidí iba bod dotyku kruhu s jeho rovinou

Teraz nie je ťažké pochopiť, čo uvidíme v trojrozmernom priestore P v prípade, keď lopta vystrelená nohou futbalistu nachádzajúceho sa v Q prekročí náš priestor. Najprv v rovine α. objaví sa bod, ktorý sa okamžite premení na postupne sa zväčšujúcu kružnicu, ktorá je priesečníkom roviny α a gule. Po dosiahnutí maxima, s polomerom rovným polomeru futbalovej lopty, sa začne postupne zmenšovať, až sa zvrhne späť do bodu a zmizne z dohľadu (obr. 5). Čo uvidíme, keď sa za loptou rozbehne samotný futbalista, necháme na čitateľovi, aby si domyslel. Pre zaujímavosť si predstavme, čo sa stane, ak sa futbalista nejakým neuveriteľným spôsobom v priestore Q náhodne zmení na náš priestor P (pozri obr. 6).

Obrázok 5. Pohľad na loptičku prechádzajúcu priestorom pozorovateľa v dynamike

Obrázok 6. Vzhľad futbalistu vo vesmíre P z vesmíru Q

V dvojrozmernej verzii je ľahké si predstaviť dve rovnobežné roviny. Trojrozmerný priestor môže byť reprezentovaný ako nekonečná zbierka paralelných „zlepených“ rovín. Túto myšlienku možno získať pohľadom na balíček kariet, kde každá karta je spojená s lietadlom alebo knihou, kde úlohu lietadiel zohrávajú listy tejto knihy.

Štvorrozmerný priestor tiež predstavuje súbor „zlepených“, ale už trojrozmerných paralelných priestorov. Skúste si vo svojej predstave predstaviť dva paralelné (zlepené), t. j. umiestnené veľmi blízko seba, trojrozmerné priestory. Nepodarí sa ti to. Priestory, ktoré si chceme v predstavách predstaviť, sa buď začnú pretínať, alebo sa nechcú priblížiť, odtláčajú sa od seba. Poďme zistiť príčinu nášho zlyhania. Aby sme to urobili, analyzujme, ako sa dvojrozmerný človek žijúci v rovine x pokúsi predstaviť si dve rovnobežné roviny y a z ležiace veľmi blízko seba. Keďže pre dvojrozmerného človeka neexistuje tretí rozmer h (obr. 7a)), bude nútený ich umiestniť do svojho priestoru, hoci v skutočnosti budú umiestnené kolmo (alebo pod určitým uhlom) pretínajúcim rovinu x ( Obr. 7b)). Teraz je okamžite zrejmé, aký je dôvod nášho zlyhania. Snažíme sa dať dva trojrozmerné priestory do jedného trojrozmerného priestoru, v ktorom sa nachádzame (obr. 7c)), pričom by sa mali rozprestierať pozdĺž štvrtého, pre nás neprístupného rozmeru. Je jasné, že nedokážu držať spolu.

Všimnite si, že trojrozmerný priestor možno znázorniť ako stopu, ktorú rovina zanechá v dôsledku jej pohybu v danom smere (obr. 8).

Obrázok 7. a) Dvojrozmerný človek sa snaží predstaviť si dve rovnobežné roviny; b) skutočné umiestnenie rovnobežných rovín; c) Snažíme sa dať dva trojrozmerné priestory do jedného trojrozmerného priestoru

Obrázok 8. Trojrozmerný priestor získaný pohybom roviny

Teraz, ako predtým, zvážte priestory P a Q pretínajúce sa pozdĺž roviny α (obr. 9a)). Každý z priestorov možno získať posunutím roviny α podľa smerov súradnicových osí x a t. Ďalej nakreslíme rovinu β v priestore P vo veľmi tesnej vzdialenosti rovnobežnej s rovinou α. Je zrejmé, že β nebude v priestore Q. Začnime pohybovať týmito rovinami v smere t tak, aby v každom okamihu t boli pohybujúce sa roviny rovnobežné a blízko seba. Potom priestor Q a priestor Q β získaný pohybom rovín α a β, v tomto poradí, sú rovnobežné a budú vo veľmi blízkej vzdialenosti od seba (vo vzdialenosti rovnajúcej sa vzdialenosti medzi rovinami α a β pozdĺž rozmeru x). Potom sa dve trojrozmerné telesá, napríklad dve gule, ktoré sa nachádzajú v úplne odlišných, ale paralelných priestoroch Q a Q β blízko seba, môžu ukázať ako veľmi blízko („prilepené k sebe“) (obr. 9b)).

Obrázok 9. a) Rovina β z lesku P je blízko a rovnobežne s rovinou α a nie je v priestore Q ; b) Množiny rovín získané pohybom rovín α a β v smere t , tvoria paralelné priestory blízko seba Q A Qp Vyobrazené loptičky nachádzajúce sa v týchto priestoroch sú vo všetkých bodoch blízko seba („lepkavé“ loptičky)

Všetok štvorrozmerný priestor možno považovať za zbierku paralelných, veľmi blízko umiestnených („prilepených spolu“) trojrozmerných priestorov. Ak zoberieme čas ako štvrtý rozmer, tak pohyb človeka v stroji času bude zodpovedať prechodu z jedného paralelného priestoru do druhého. V tomto prípade, na rozdiel od pretínajúcich sa priestorov, keď vidíme len prierez objektu, ktorý sa pohybuje druhým priestorom, križuje ten náš, zrazu sa pred nami objaví stroj času s osobou sediacou v ňom, ktorá sa rozpustí v minulosť alebo budúcnosť v závislosti od smeru jej pohybu.

Teda: pochopili sme, že trojrozmerné priestory sa pretínajú pozdĺž roviny; štvorrozmerný priestor môže byť reprezentovaný ako súbor „zlepených“ paralelných trojrozmerných priestorov; dostal nápad „zlepiť sa“ trojrozmerné telá umiestnené v paralelných priestoroch.

Čo je štvorrozmerná guľa? Aby sme odpovedali na túto otázku, analyzujme, ako je naša obyčajná trojrozmerná guľa štruktúrovaná z pohľadu dvojrozmernej osoby. Samozrejme, nevidí celú guľu, v jeho zornom poli je len dvojrozmerná guľa – kruh, ktorý ohraničuje dvojrozmerný kruh a je priesečníkom sveta dvojrozmerného človeka s loptou; (to, čo je vo vnútri kruhu, mu nie je vidieť. Obr. 10 a)). Pri pohybe do rovnobežných priestorov sa kružnica bude zužovať, až sa zvrhne do bodu (obr. 10 b)).

Obrázok 10. a) Dvojrozmerná osoba vidí iba časť kruhu ohraničenú priesečníkom roviny a lopty; b) Keď sa človek presunie do rovnobežných rovín, kruh sa postupne zvrhne na bod

V prípade štvorrozmernej lopty je zorné pole človeka obmedzené priestorom, v ktorom sa nachádza. Analogicky môžeme predpokladať, že vidí guľu ohraničujúcu guľu, ktorá je priesečníkom tohto trojrozmerného priestoru so štvorrozmernou guľou. Pri pohybe do rovnobežných priestorov bude guľa tiež zmenšovať polomer, až kým sa nezvrhne do bodu (obr. 11 a)). Teraz sa pokúsime podrobnejšie pochopiť, aké gule vidíme a ako tvoria štvorrozmernú guľu.

Uvažujme trojrozmernú guľu 2 (obr. 11 b)) a jej rezy rovnobežnými rovinami. Súhrn týchto rovnobežných rovín tvorí trojrozmerný priestor s rozmermi y, z, t, v ktorom sa každá z týchto rovín nachádza svojim pohybom v smere x „zlepené“ trojrozmerné priestory. Práve v týchto priestoroch sa nachádzajú trojrozmerné guľôčky (viď guľôčka 1), ktoré pozorujeme pri (vyššie popísaných) prechodoch do rovnobežných priestorov (obr. 11a)). Spojením týchto guličiek vznikne štvorrozmerná guľa. Štvorrozmerná guľa je teda súborom guľôčok zlepených vo všetkých bodoch, ktoré sa zmenšujú, čo vytvára geometrický obraz štvorrozmernej gule. Nevidíme však celkový ucelený obraz lopty, keďže nevidíme mimo náš priestor.

Obrázok 11. a) Guľôčky viditeľné pre ľudí počas prechodov do paralelných priestorov, zmenšujúce sa; b) Štvorrozmerná guľa je súbor zmenšujúcich sa „zlúčených“ guľôčok, čo sú časti štvorrozmernej gule trojrozmernými priestormi rovnobežnými s priestorom. P

Pozrime sa na štvorrozmernú guľu z rôznych strán. Pozorovateľ, ktorý sa nachádza v trojrozmernom priestore P s rozmermi y, z, t a pozerá sa v smere t, uvidí guľu (obr. 12), ktorá pozostáva z úsekov guľôčok tvoriacich štvorrozmernú guľu (na obr. 11 táto je lopta 2).

Pozorovateľ, ktorý sa nachádza v priestore Q a pozerá sa v smere x, uvidí aj trojrozmernú guľu (obr. 12). Pozorovatelia umiestnení v priestoroch P a Q teda vidia rovnaký obrázok – trojrozmernú guľu. Gule, ktoré pozorujú, sú však rôzne geometrické objekty umiestnené v rôznych priestoroch a pretínajúce sa pozdĺž dvojrozmerného kruhu.

Obrázok 12. Pozorovatelia umiestnení v pretínajúcich sa priestoroch P A Q vidieť trojrozmernú guľu. V skutočnosti však pozorujú rôzne gule pretínajúce sa pozdĺž cesty

Bohužiaľ, ako je uvedené vyššie, naše zorné pole je obmedzené na trojrozmerný priestor, takže nemôžeme vidieť štvorrozmerné obrazy ako celok. Britský matematik C. Hinton (1853-1907) však vyvinul špeciálnu metódu na zostavovanie modelov geometrických útvarov v štvorrozmernom priestore z ich trojrozmerných rezov. Táto metóda je podrobne opísaná v dvoch jeho monografiách. Hinton tvrdil, že v dôsledku dlhoročnej práce, ktorá bola založená na tejto špeciálnej metóde, sa naučil mentálne reprezentovať geometrické obrazy v štvorrozmernom priestore. Veril tiež, že človek, ktorý túto metódu dostatočne ovláda, získa intuitívne pochopenie štvorrozmerného priestoru.

Bibliografia:

1.Hinton Charles H. Nová éra myslenia, orig. 1888, dotlač 1900, spoločnosťou Swan Sonnenschein & Co. Ltd., Londýn - p. 240.

Keď som bol študentom prvého ročníka, prudko som sa pohádal s jedným zo spolužiakov. Povedal, že štvorrozmerná kocka nemôže byť reprezentovaná v žiadnej forme, ale ja som uistil, že môže byť reprezentovaná celkom jasne. Potom som si dokonca zo spiniek urobil projekciu hyperkocky do nášho trojrozmerného priestoru... Ale povedzme si všetko pekne po poriadku.

Čo je to hyperkocka a štvorrozmerný priestor

Náš obvyklý priestor má tri rozmery. Z geometrického hľadiska to znamená, že v ňom možno naznačiť tri navzájom kolmé čiary. To znamená, že pre akúkoľvek čiaru môžete nájsť druhú čiaru kolmú na prvú a pre pár môžete nájsť tretiu čiaru kolmú na prvé dve. Už nebude možné nájsť štvrtý riadok kolmý na doterajšie tri.

Štvorrozmerný priestor sa od nášho líši len tým, že má ešte jeden smer navyše. Ak už máte tri navzájom kolmé čiary, môžete nájsť štvrtú takú, že bude kolmá na všetky tri.

Hyperkocka je to len kocka v štvorrozmernom priestore.

Je možné si predstaviť štvorrozmerný priestor a hyperkocku?

Táto otázka je podobná otázke: „Je možné si predstaviť poslednú večeru pri pohľade na rovnomenný obraz (1495-1498) od Leonarda da Vinciho (1452-1519)?

Na jednej strane si, samozrejme, nebudete predstavovať, čo Ježiš videl (sedí tvárou k divákovi), najmä preto, že nebudete cítiť vôňu záhrady za oknom a ochutnávať jedlo na stole, nebudete počuť vtáky spev... Neurobíte si úplný obraz o tom, čo sa vtedy večer udialo, ale nedá sa povedať, že sa nič nové nedozviete a že vás obraz nezaujíma.

Podobne je to aj s otázkou hyperkocky. Je nemožné si to úplne predstaviť, ale môžete sa priblížiť k pochopeniu toho, aké to je.

Konštrukcia hyperkocky

0-rozmerná kocka

Začnime od začiatku – s 0-rozmernou kockou. Táto kocka obsahuje 0 vzájomne kolmých plôch, to znamená, že je to len bod.

1-rozmerná kocka

V jednorozmernom priestore máme len jeden smer. Bod posunieme týmto smerom a získame segment.

Toto je jednorozmerná kocka.

2 rozmerná kocka

Máme druhý rozmer, posunieme našu jednorozmernú kocku (segment) v smere druhého rozmeru a dostaneme štvorec.

Je to kocka v dvojrozmernom priestore.

3 rozmerná kocka

S príchodom tretej dimenzie urobíme to isté: posunieme štvorec a získame pravidelnú trojrozmernú kocku.

4-rozmerná kocka (hyperkocka)

Teraz máme štvrtý rozmer. To znamená, že máme k dispozícii smer kolmý na všetky tri predchádzajúce. Využime to úplne rovnako. Štvorrozmerná kocka bude vyzerať takto.

Prirodzene, trojrozmerné a štvorrozmerné kocky nemožno zobraziť na dvojrozmernej obrazovke. To, čo som nakreslil, sú projekcie. O projekciách si povieme trochu neskôr, no zatiaľ pár holých faktov a čísel.

Počet vrcholov, hrán, plôch

Upozorňujeme, že tvár hyperkocky je naša obyčajná trojrozmerná kocka. Ak sa pozorne pozriete na kresbu hyperkocky, v skutočnosti môžete nájsť osem kociek.

Projekcie a vízie obyvateľa štvorrozmerného priestoru

Pár slov o vízii

Žijeme v trojrozmernom svete, no vidíme ho ako dvojrozmerný. Je to spôsobené tým, že sietnica našich očí sa nachádza v rovine, ktorá má len dva rozmery. To je dôvod, prečo sme schopní vnímať dvojrozmerné obrázky a nájsť ich podobné realite.

(Samozrejme, vďaka akomodácii môže oko odhadnúť vzdialenosť k objektu, ale to je vedľajší efekt spojený s optikou zabudovanou v našich očiach.)

Oči obyvateľa štvorrozmerného priestoru musia mať trojrozmernú sietnicu. Takéto stvorenie môže okamžite vidieť celú trojrozmernú postavu: všetky jej tváre a interiéry. (Rovnakým spôsobom môžeme vidieť dvojrozmernú postavu, všetky jej tváre a vnútro.)

S pomocou našich zrakových orgánov teda nie sme schopní vnímať štvorrozmernú kocku tak, ako by ju vnímal obyvateľ štvorrozmerného priestoru. žiaľ. Ostáva už len spoľahnúť sa na rozum a predstavivosť, ktoré, našťastie, nemajú žiadne fyzické obmedzenia.

Pri zobrazovaní hyperkocky v rovine som však jednoducho nútený urobiť jej projekciu do dvojrozmerného priestoru. Berte túto skutočnosť do úvahy pri štúdiu výkresov.

Okrajové križovatky

Prirodzene, hrany hyperkocky sa nepretínajú. Križovatky sa objavujú iba na výkresoch. To by však nemalo byť prekvapujúce, pretože hrany pravidelnej kocky na obrázkoch sa tiež pretínajú.

Dĺžky okrajov

Stojí za zmienku, že všetky steny a hrany štvorrozmernej kocky sú rovnaké. Na obrázku nie sú rovnaké len preto, že sú umiestnené v rôznych uhloch k smeru pohľadu. Je však možné otočiť hyperkocku tak, aby všetky projekcie mali rovnakú dĺžku.

Mimochodom, na tomto obrázku je jasne viditeľných osem kociek, ktoré sú plochami hyperkocky.

Hyperkocka je vo vnútri prázdna

Je ťažké uveriť, ale medzi kockami, ktoré spájajú hyperkocku, je nejaký priestor (úlomok štvorrozmerného priestoru).

Aby sme tomu lepšie porozumeli, pozrime sa na dvojrozmernú projekciu obyčajnej trojrozmernej kocky (naschvál som to urobil trochu schematicky).

Dokážete z nej uhádnuť, že vo vnútri kocky je nejaký priestor? Áno, ale len s použitím fantázie. Oko tento priestor nevidí.

Stáva sa to preto, že okraje nachádzajúce sa v treťom rozmere (ktoré nemožno znázorniť na plochom výkrese) sa teraz zmenili na segmenty ležiace v rovine výkresu. Už neposkytujú objem.

Štvorce uzatvárajúce priestor kocky sa navzájom prekrývali. Možno si však predstaviť, že na pôvodnom obrázku (trojrozmernej kocke) boli tieto štvorce umiestnené v rôznych rovinách a nie jeden na druhom v tej istej rovine, ako sa to stalo na obrázku.

S hyperkockou je situácia úplne rovnaká. Kocky-tváre hyperkocky sa v skutočnosti neprekrývajú, ako sa nám zdá na projekcii, ale sú umiestnené v štvorrozmernom priestore.

Sweeps

Takže obyvateľ štvorrozmerného priestoru môže vidieť trojrozmerný objekt zo všetkých strán súčasne. Môžeme vidieť trojrozmernú kocku zo všetkých strán súčasne? S okom - nie. Ľudia však prišli na spôsob, ako zobraziť všetky tváre trojrozmernej kocky súčasne na plochom výkrese. Takýto obrázok sa nazýva skenovanie.

Vývoj trojrozmernej kocky

Každý asi vie, ako vzniká vývoj trojrozmernej kocky. Tento proces je znázornený na animácii.

Kvôli prehľadnosti sú okraje plôch kocky priesvitné.

Treba poznamenať, že tento dvojrozmerný obraz sme schopní vnímať len vďaka našej predstavivosti. Ak vezmeme do úvahy fázy vývoja z čisto dvojrozmerného hľadiska, proces sa bude zdať zvláštny a vôbec nie jasný.

Vyzerá to tak, že sa postupne objavia najprv obrysy zdeformovaných štvorcov a potom ich dotvarovanie, pričom súčasne nadobúdajú požadovaný tvar.

Ak sa pozriete na rozkladaciu kocku v smere jednej z jej plôch (z tohto pohľadu kocka vyzerá ako štvorec), potom je proces vzniku rozkladu ešte menej jasný. Všetko vyzerá ako štvorce vystupujúce z počiatočného štvorca (nie rozloženej kocky).

ale nie vizuálne skenovať iba pre oko.

Ako porozumieť 4-rozmernému priestoru?

Práve vďaka svojej fantázii z nej môžete vyčítať množstvo informácií.

Vývoj štvorrozmernej kocky

Urobiť animovaný proces rozkladu hyperkocky aspoň trochu vizuálny je jednoducho nemožné. Ale tento proces si možno predstaviť. (Aby ste to urobili, musíte sa na to pozrieť očami štvorrozmernej bytosti.)

Skenovanie vyzerá takto.

Je tu viditeľných všetkých osem kociek ohraničujúcich hyperkocku.

Okraje, ktoré by sa mali pri zložení vyrovnať, sú natreté rovnakými farbami. Tváre, ktorých páry nie sú viditeľné, zostanú sivé. Po zložení by mala horná strana hornej kocky zarovnať so spodným okrajom spodnej kocky. (Rozvíjanie trojrozmernej kocky sa zrúti podobným spôsobom.)

Upozorňujeme, že po konvolúcii sa všetky strany ôsmich kociek dostanú do kontaktu, čím sa hyperkocka uzavrie. A na záver pri predstave procesu skladania nezabúdajte, že pri skladaní nedochádza k prekrývaniu kociek, ale k ich ovíjaniu okolo určitej (hyperkubickej) štvorrozmernej plochy.

Salvador Dalí (1904-1989) mnohokrát zobrazil ukrižovanie a na mnohých jeho obrazoch sa objavujú kríže. Obraz „Ukrižovanie“ (1954) využíva skenovanie hyperkocky.

Časopriestor a euklidovský štvorrozmerný priestor

Dúfam, že ste si dokázali predstaviť hyperkocku. Podarilo sa vám však priblížiť k pochopeniu toho, ako funguje štvorrozmerný časopriestor, v ktorom žijeme? Bohužiaľ, nie tak celkom.

Tu sme hovorili o euklidovskom štvorrozmernom priestore, ale časopriestor má úplne iné vlastnosti. Najmä počas akýchkoľvek rotácií zostávajú segmenty vždy naklonené k časovej osi, buď pod uhlom menším ako 45 stupňov, alebo pod uhlom väčším ako 45 stupňov.

Sériu poznámok som venoval vlastnostiam časopriestoru.

Trojrozmernosť obrazu

Svet je trojrozmerný. Jeho obraz je dvojrozmerný. Dôležitou úlohou maľby a teraz aj fotografie je sprostredkovať trojrozmernosť priestoru. Už Rimania ovládali niektoré techniky, potom sa na ne zabudlo a s renesanciou sa začali vracať ku klasickej maľbe.

Hlavnou technikou vytvárania trojrozmerného priestoru v maľbe je perspektíva. Železničné koľajnice, ktoré sa vzďaľujú od diváka, sa vizuálne zužujú. Pri lakovaní môžu byť koľajnice fyzicky zúžené. Pri fotografovaní sa perspektíva vyskytuje automaticky: fotoaparát vyfotografuje koľajnice tak zúžené, ako ich oko vidí. Nedovoľte však, aby sa takmer zatvoril: už nebude vyzerať ako perspektíva, ale ako zvláštna postava; Medzi koľajnicami, stranami ulice a brehmi rieky musí byť viditeľná medzera.

Je dôležité pochopiť, že lineárna perspektíva je najprimitívnejším a najrealistickejším spôsobom sprostredkovania sveta.

Navigácia príspevku

Nie je náhoda, že jeho vzhľad je spojený s divadelnou scenériou (Florensky, „Reverse Perspective“). Konvenčnosť a jednoduchosť sprostredkovania divadelnej scény malej hĺbky je veľmi vhodná pre fotografiu, ktorej chýba rôznorodosť techník dostupných v maľbe.

Existujú perspektívy, ktoré sú oveľa zaujímavejšie ako lineárne. V dielach čínskych majstrov existuje plávajúca perspektíva, keď sú predmety zobrazené súčasne zdola, zhora a spredu. Nebola to technická chyba nekompetentných umelcov: legendárny autor tejto techniky Guo Xi napísal, že takéto zobrazenie umožňuje realizovať svet v jeho celistvosti. Technika ruskej maľby ikon je podobná, v ktorej divák vidí tvár a chrbát postavy súčasne. Zaujímavou technikou ikonomaľby, ktorá sa nachádza aj medzi západoeurópskymi umelcami, bola reverzná perspektíva, v ktorej sú vzdialené predmety, naopak, väčšie ako blízke, čo zdôrazňuje dôležitosť. Až v našich dňoch sa zistilo, že takáto perspektíva je správna: na rozdiel od vzdialených objektov je blízkosť skutočne vnímaná v obrátenej perspektíve (Rauschenbach). Pomocou Photoshopu môžete dosiahnuť obrátenú perspektívu zväčšením objektov na pozadí. Pre diváka zvyknutého na zákonitosti fotografie bude takýto záber pôsobiť zvláštne.

Zavedenie rohu budovy do rámu, z ktorého sa steny rozchádzajú v oboch smeroch, vytvára zdanie izometrickej perspektívy. Mozog chápe, že steny zvierajú pravý uhol a podľa toho usporiada zvyšok obrazu. Táto perspektíva je dynamickejšia ako čelná a prirodzenejšia pre detail. Jednoducho vložte koncové uhly objektov a blízkych budov do rámu.

Vzhľadom na rozšírenie je hlavná izometrická perspektíva, ktorá je pre klasický portrét málokedy vhodná. Lineárna perspektíva vďaka zúženiu lepšie vyjadruje menšie emócie.

Vo fáze snímania má fotograf k dispozícii množstvo nástrojov na zdôraznenie perspektívy. Do diaľky sa rozprestierajúce predmety rovnakej šírky (koľaje, ulice, stĺpy, brázdy) svojim zužovaním a dokonca aj jednoduchým vzďaľovaním naznačujú divákovi trojrozmernosť priestoru. Efekt je silnejší, ak snímate z nízkeho uhla, aby ste zvýšili skreslenie perspektívy. Na fotografovanie krajiny to stačí, ale pri malej hĺbke obrazu pri fotografovaní interiéru je efekt sotva badateľný. Dá sa to trochu vylepšiť v postprocese zúžením hornej časti obrázka (Transform Perspective). V krajine však môže prehnaná perspektíva vyzerať zaujímavo.

Hĺbka môže byť zrejmá vo význame obrazu: budovy sú oddelené ulicou alebo riekou. Uhlopriečka zdôrazňuje trojrozmernosť; napríklad most cez rieku.

Objekty veľkosti známej divákovi v pozadí nastavujú mierku a podľa toho tvoria perspektívu. Pri krajinárskej fotografii by týmto objektom mohlo byť auto, ale pri portrétnej fotografii skúste zohnúť nohu (smerom od fotoaparátu) pod stoličku tak, aby vyzerala menšia a zostala viditeľná. Túto nohu môžete dokonca o niečo zmenšiť v následnom spracovaní.

Ornament sprostredkúva perspektívu vizuálnym zmenšením prvkov. Príkladom môžu byť veľké dlaždice na podlahe, označujúce čiary na ceste.

Existuje technika nazývaná hypertrofované popredie. Neúmerne veľký vytvára hĺbku obrazu. Porovnaním mierky popredia a modelu oko dospeje k záveru, že model je oveľa ďalej, ako sa zdá. Preháňanie by malo zostať jemné, aby obraz nebol vnímaný ako chyba. Táto technika funguje nielen pri postprocese, ale aj pri fotografovaní: deformujte proporcie fotografovaním s 35 alebo 50 mm objektívom. Fotografovanie so širokouhlým objektívom rozťahuje priestor a zvyšuje jeho trojrozmernosť porušením proporcií. Efekt je silnejší, ak model nasnímate zblízka, ale pozor na groteskné proporcie: iba autori náboženských obrázkov dokážu zobraziť osobu väčšiu ako budova.

Križovatka funguje výborne. Ak jablko čiastočne zakrýva hrušku, potom sa mozog nebude mýliť: jablko je pred hruškou. Model čiastočne zakrýva nábytok, čím vytvára hĺbku v interiéri.

Hĺbku obrazu dodáva aj striedanie svetlých a tmavých škvŕn. Mozog zo skúsenosti vie, že blízke objekty sú osvetlené približne rovnako, takže rôzne osvetlené objekty interpretuje tak, že sa nachádzajú v rôznych vzdialenostiach. Pre tento efekt sa škvrny striedajú v smere osi perspektívy – hlboko do obrazu, a nie cez neho. Napríklad pri snímaní modelky ležiacej mimo fotoaparátu v tmavom ráme umiestnite svetlá do blízkosti zadku a nôh. V postprocese môžete zosvetliť/stmaviť oblasti.

Postupnosť čoraz tmavších objektov sa vníma ako klesajúca. Postupným tieňovaním objektov pozdĺž aktívnej línie môžete získať jemný zmysel pre perspektívu. Podobne, hĺbka sa prenáša oslabením svetla: vrhnite pás svetla cez nábytok alebo na podlahu.

Trojrozmerný obraz je možné získať nielen vďaka svetlu, ale aj farebnému kontrastu. Túto techniku ​​poznali flámski maliari, ktorí si na svoje zátišia umiestňovali svetlé farebné škvrny. Červené granátové jablko a žltý citrón vedľa seba budú vyzerať trojrozmerne aj pri plochom čelnom osvetlení. Obzvlášť dobre vyniknú na pozadí fialového hrozna: teplá farba na studenom pozadí. Jasné farebné plochy dobre vystupujú z tmy aj pri slabom svetle, typické pre zátišie. Farebný kontrast funguje lepšie so základnými farbami: červená, žltá, modrá, a nie s odtieňmi.

Na čiernom pozadí žltá vystupuje dopredu, modrá sa schováva späť. Na bielom pozadí je to naopak. Sýtosť farieb tento efekt zosilňuje. Prečo sa to deje? Žltá farba nie je nikdy tmavá, takže mozog odmieta uveriť, že žltý predmet môže byť ponorený do tmavého pozadia, nie osvetlený. Modrá je naopak tmavá.

Zlepšenie perspektívy v postprocese spočíva v simulácii vnímania atmosféry: vzdialené objekty sa zdajú svetlejšie, rozmazanejšie, so zníženým kontrastom jasu, sýtosti a tónu.

Okrem veľkých vzdialeností pôsobia atmosférické efekty prirodzene v rannom opare, hmle alebo zadymenom bare. Zvážte počasie: počas zamračeného dňa alebo za súmraku nemusí byť medzi popredím a pozadím výrazný rozdiel.

Najsilnejším faktorom je kontrast jasu. V nastaveniach ide o obvyklý kontrast. Znížte kontrast vzdialených objektov, zvýšte kontrast popredia – a obraz bude konvexný. Nehovoríme o kontraste medzi popredím a pozadím, ale o kontraste pozadia, ktorý by mal byť nižší ako kontrast popredia. Táto metóda je vhodná nielen pre krajinársku a žánrovú fotografiu, ale aj pre štúdiové portréty: zvýšte kontrast prednej časti tváre, znížte kontrast na vlasoch, lícnych kostiach a oblečení. Portrétne filtre robia niečo podobné, rozmazávajú pokožku modelky a oči a pery zanechávajú drsné.

Úprava kontrastu je najjednoduchší spôsob následného spracovania 3D obrazu. Na rozdiel od iných procesov si divák takmer nevšimne žiadne zmeny, čo umožní zachovať maximálnu prirodzenosť.

Rozmazanie je podobné redukcii kontrastu, ale ide o odlišné procesy. Obraz môže mať nízky kontrast, pričom zostáva ostrý. Kvôli obmedzenej hĺbke ostrosti zostáva rozmazanie vzdialených objektov najobľúbenejším spôsobom sprostredkovania trojrozmernosti vo fotografii a možno ho jednoducho vylepšiť rozmazaním vzdialených objektov v postprodukcii. Menej detailov by preto malo byť umiestnené v pozadí – mozog neočakáva odlíšiteľné objekty v diaľke. Zníženie kontrastu lepšie zodpovedá prirodzenému vnímaniu: vzdialené hory sú viditeľné s nízkym kontrastom a nie sú rozmazané, pretože pri skenovaní krajiny sa oko neustále preostruje a problém hĺbky ostrosti je mu cudzí. Rozmazaním pozadia môžete zároveň doostriť popredie. Okrem toho v popredí môžete vylepšiť čiary obrazu (High Pass Filter alebo Clarity). Práve vysoká ostrosť popredia vysvetľuje charakteristický hrbolček v obraze kvalitných objektívov. Pozor: z dôvodu mierneho zvýšenia trojrozmernosti môže byť obrázok príliš tuhý.

Svetlejšie predmety sa objavia ďalej. Je to spôsobené tým, že v prírode vidíme vzdialené predmety cez hrúbku vzduchu rozptyľujúceho svetlo; vzdialené hory sa zdajú ľahké. Pri krajinárskej fotografii by ste si preto mali dávať pozor na umiestnenie svetlých objektov do popredia.

Rozjasnite vzdialené predmety. Čím sú ďalej, tým viac splývajú s jasom a tónom oblohy. Upozorňujeme, že horizontálne objekty (zem, more) sú lepšie osvetlené ako vertikálne (steny, stromy), takže to nepreháňajte s ich zosvetlením. V každom prípade by objekty mali zostať zreteľne svetlejšie ako obloha.

No, ak si všimnete, že uhýbanie je ďalší spôsob, ako znížiť kontrast v jase pozadia. Mierne stmavte popredie, aby ste zvýšili efekt hrbole.

Zdalo by sa, že v interiéri je všetko naopak. Ak je na ulici oko zvyknuté na to, že vzdialenosť je jasná, potom sa v miestnosti svetlo často sústreďuje na osobu a interiér je ponorený do tmy; mozog je zvyknutý na osvetlenie v popredí, nie na osvetlenie pozadia.

Na snímkach interiéru s malou hĺbkou scény, na rozdiel od snímok krajiny, osvetlený model vyčnieva z tmavého pozadia. Je tu však aj opačný faktor: počas 99 % svojho vývoja človek pozoroval perspektívu v otvorených priestoroch a s príchodom miestností mozog ešte nemal čas na reštrukturalizáciu. Vermeer preferoval svetlé pozadie pre svoje portréty a jeho portréty sú naozaj výrazné. Osvetlenie vertikálneho pozadia, odporúčané vo fotografii, nielenže oddeľuje model od neho, ale zosvetlením pozadia dodáva obrázku miernu trojrozmernosť. Tu sa stretávame s tým, že mozog analyzuje umiestnenie objektov podľa viacerých faktorov a tie môžu byť protichodné.

Zaujímavo vyzerá štúdiové osvetlenie, v ktorom svetlé body ležia na oblastiach modelu vzdialených od fotoaparátu. Zvýrazní sa napríklad prsník, ktorý je od fotoaparátu najďalej.

Znížte sýtosť farieb na vzdialených objektoch: kvôli hrúbke vzduchu, ktorý nás oddeľuje, sú vzdialené hory desaturované takmer na úroveň monochrómu a pokryté modrým oparom. Sýtosť popredia možno zvýšiť.

Keďže žltá je svetlá a modrá a červená sú tmavé, farebný kontrast je tiež kontrastom jasu.

Pri desaturácii vzdialeného pozadia ho nenechajte zmiznúť z dohľadu. Často naopak potrebujete zvýšiť sýtosť pozadia, aby ste ho odhalili. To je dôležitejšie ako trojrozmernosť.

Veľa rád pre 3D fotografiu sa zameriava na teplotný kontrast. V skutočnosti je tento efekt veľmi slabý a ľahko ho preruší kontrast jasu. Okrem toho je teplotný kontrast nepríjemný a citeľný.

Veľmi vzdialené predmety vyzerajú chladnejšie, pretože vzduch pohlcuje teplé oranžové svetlo. Pri fotografovaní modelky na pláži s loďami na obzore v pozadí znížte v postprocese teplotu farieb vzdialeného mora a lodí. Z modrého mora sa vynára modelka v červených plavkách a z modrastého súmraku modelka v žltom svetle pouličnej lampy.

Toto je podstata oddeleného tónovania: robíme model teplejším, pozadie chladnejším. Mozog pochopí, že v tej istej rovine nie sú rozdielne teploty farieb a vníma taký trojrozmerný obraz, na ktorom model vyčnieva z pozadia. Rozdelené tónovanie dodáva krajinám hĺbku: urobte popredie teplejšie a pozadie chladnejšie.

Dôležitá výnimka zo samostatného tónovania: pri východe a západe slnka nie je vzdialené pozadie vôbec studené, ale teplé, so žltými a červeno-oranžovými tónmi. Samozrejmé riešenie - použitie bielej modelky vo fialových plavkách - nefunguje, pretože svetlo západu slnka vrhá teplý odtieň aj na telo modelky.

Zhrňme si to: aby bola fotografia trojrozmerná na základe atmosférických efektov, je potrebné kontrastovať popredie a pozadie. Hlavný kontrast je založený na obvyklom kontraste: popredie je vysoko kontrastné, pozadie je málo kontrastné. Druhý kontrast je z hľadiska ostrosti: popredie je ostré, pozadie je rozmazané. Tretí kontrast je z hľadiska svetlosti: popredie je tmavé, pozadie svetlé. Štvrtý kontrast je z hľadiska sýtosti: farby popredia sú nasýtené, farby pozadia sú desaturované. Piaty kontrast je v teplote: popredie je teplé, pozadie studené.

Uvedené faktory sú často viacsmerné. Žltá je jasnejšia ako modrá a svetlé objekty sa javia ďalej od tmavých. Bolo by prirodzené očakávať, že žltá ustúpi a k ​​divákovi sa priblíži modrá. V skutočnosti je to naopak: zo studeného pozadia vystupuje teplá farba. To znamená, že farba sa ukazuje ako silnejší faktor ako jas. Čo pri zamyslení nie je prekvapujúce: žltá a červená sú jasne rozlíšiteľné len na blízko a divák neočakáva, že sa s nimi stretne na veľkú vzdialenosť.

Zrátané a podčiarknuté: udržujte pozadie nízky kontrast, vyblednuté, svetlé, desaturované, modrasté. A pripravte sa na to, že divákovi, zvyknutému na hypertrofované 3D filmy, príde vami vytvorená trojrozmernosť sotva viditeľná alebo absentujúca.

Pri portrétnej fotografii je lepšie staviť na osvedčený šerosvitný efekt – hru svetla a tieňa na tvári modelky, vďaka čomu bude záber poriadne výrazný. V žánrovej fotografii poskytuje perspektíva najvýraznejší trojrozmerný efekt. V zátiší bude hlavným faktorom priesečník (prekrývanie) objektov.

Nenechajte sa uniesť vyhliadkou; je to len pozadie pre čelnú rovinu, na ktorej sa váš obraz chveje. V modernej maľbe, ktorá má ďaleko od realizmu, sa perspektíva príliš neváži.

Stiahnite si celú knihu: pdfepubazw3mobifb2litContents

Živly a počasie

Veda a technika

Nezvyčajné javy

Monitorovanie prírody

Autorské sekcie

Objavovanie príbehu

Extrémny svet

Info referencia

Archív súborov

Diskusie

Služby

Infofront

Informácie z NF OKO

RSS export

užitočné odkazy

Dôležité témy

V roku 1904 Henri Poincaré navrhol, že akýkoľvek trojrozmerný objekt, ktorý má určité vlastnosti 3-gule, môže byť premenený na 3-guľu. Potvrdenie tejto hypotézy trvalo 99 rokov. (Upozornenie: Trojrozmerná guľa nie je taká, ako si myslíte.) Ruský matematik Grigory Perelman dokázal Poincarého sto rokov starý dohad a dokončil katalóg tvarov v trojrozmerných priestoroch.

Poincaré navrhol, že 3-guľa je jedinečná a žiadne iné kompaktné 3-rozdeľovacie potrubie (nekompaktné rozvody sú nekonečné alebo majú hrany. Nižšie sú uvažované iba kompaktné rozvody) nemá vlastnosti, vďaka ktorým je to také jednoduché. Zložitejšie 3-rozdeľovače majú hranice, ktoré stoja ako tehlová stena, alebo viaceré prepojenia medzi určitými oblasťami, ako napríklad lesná cesta, ktorá sa vetví a potom sa opäť spája. Akýkoľvek trojrozmerný objekt s vlastnosťami 3-sféry môže byť premenený na ňu sám, takže topológom sa javí ako jednoducho jej kópia. Perelmanov dôkaz nám tiež umožňuje odpovedať na tretiu otázku a klasifikovať všetky existujúce 3-manifoldy.
Na predstavenie 3-gule budete potrebovať poriadnu dávku fantázie. Našťastie má veľa spoločného s 2-guľou, ktorej typickým príkladom je guma okrúhleho balóna: je dvojrozmerný, keďže každý bod na ňom je definovaný len dvomi súradnicami – zemepisnou šírkou a dĺžkou. Ak preskúmate jeho pomerne malú oblasť pod silnou lupou, bude to vyzerať ako kus plochého listu. Drobnému hmyzu lezúcemu po balóne sa bude zdať, že ide o plochý povrch. Ale ak sa booger pohybuje v priamom smere dostatočne dlho, nakoniec sa vráti do svojho východiskového bodu. Rovnakým spôsobom by sme 3-sféru veľkosti nášho Vesmíru vnímali ako „obyčajný“ trojrozmerný priestor. Ak by sme leteli dostatočne ďaleko akýmkoľvek smerom, nakoniec by sme ho „obišli“ a skončili by sme späť v našom východiskovom bode.
Ako ste možno uhádli, n-rozmerná guľa sa nazýva n-guľa. Napríklad 1-guľa je každému známa: je to len kruh.

Matematici, ktorí dokazujú teorémy o viacrozmerných priestoroch, si nemusia predstavovať predmet štúdia: zaoberajú sa abstraktnými vlastnosťami, riadia sa intuíciou založenou na analógiách s menším počtom dimenzií (s takýmito analógiami treba zaobchádzať opatrne a nebrať ich doslovne). Budeme tiež uvažovať o 3-sfére na základe vlastností objektov s menšími rozmermi.
1. Začnime pohľadom na kruh a kruh, ktorý ho obklopuje. Pre matematikov je kruh dvojrozmerná guľa a kruh je jednorozmerná guľa. Ďalej, guľa akéhokoľvek rozmeru je naplnený objekt, pripomínajúci melón, a guľa je jej povrch, skôr ako balón. Kruh je jednorozmerný, pretože polohu bodu na ňom možno určiť jedným číslom.

2. Z dvoch kruhov môžeme postaviť dvojrozmernú guľu, pričom jeden z nich sa zmení na severnú pologuľu a druhý na južnú pologuľu. Zostáva ich len zlepiť a 2-guľa je hotová.

3. Predstavte si mravca, ktorý sa plazí zo severného pólu po veľkom kruhu tvorenom nultým a 180. poludníkom (vľavo). Ak namapujeme jeho cestu na dva pôvodné kruhy (vpravo), vidíme, že hmyz sa pohybuje po priamke (1) k okraju severného kruhu (a), potom prekročí hranicu a zasiahne zodpovedajúci bod na južný kruh a pokračuje po priamke (2 a 3). Potom mravec opäť dosiahne okraj (b), prekročí ho a opäť sa ocitne na severnom kruhu a rúti sa smerom k východiskovému bodu - severnému pólu (4). Všimnite si, že pri cestovaní okolo sveta na 2-guli sa smer pohybu pri pohybe z jedného kruhu do druhého obráti.

4. Teraz zvážte našu 2-guľu a objem v nej obsiahnutý (trojrozmernú guľu) a urobte s nimi to isté ako s kruhom a kruhom: vezmite dve kópie lopty a zlepte ich hranice dohromady. Nie je možné a nie je potrebné jasne ukázať, ako sa lopty deformujú v štyroch rozmeroch a menia sa na analógy hemisfér. Stačí vedieť, že zodpovedajúce body na plochách, t.j. 2-gule sú navzájom spojené rovnakým spôsobom ako v prípade kruhov. Výsledkom spojenia dvoch guľôčok je 3-guľa - povrch štvorrozmernej gule. (V štyroch dimenziách, kde existuje 3-guľa a 4-guľa, je povrch objektu trojrozmerný.) Jednu guľu nazvime severná a druhú južnú. Analogicky s kruhmi sú žrde teraz umiestnené v strede loptičiek.

5. Predstavte si, že príslušné gule sú veľké prázdne plochy priestoru. Povedzme, že kozmonaut vyrazí zo severného pólu na rakete. Postupom času sa dostane k rovníku (1), čo je teraz guľa obklopujúca severnú guľu. Po jeho prekročení sa raketa dostane na južnú pologuľu a pohybuje sa priamočiaro cez jej stred – južný pól – na opačnú stranu rovníka (2 a 3). Tam opäť nastáva prechod na severnú pologuľu a cestovateľ sa vracia na severný pól, t.j. do východiskového bodu (4). Toto je scenár pre cestu okolo sveta na povrchu 4-rozmernej lopty! Uvažovaná trojrozmerná guľa je priestor, o ktorom hovorí Poincarého domnienka. Možno je náš vesmír presne 3-sféra.

Úvahu možno rozšíriť na päť dimenzií a skonštruovať 4-guľu, ale je to mimoriadne ťažké predstaviť si. Ak prilepíte dve n-gule pozdĺž (n-1)-gulí, ktoré ich obklopujú, dostanete n-guľu ohraničujúcu (n+1)-guľu.

Uplynulo pol storočia, kým sa záležitosť Poincarého dohadu dostala na povrch. V 60. rokoch XX storočia Matematici dokázali podobné tvrdenia ako ona pre gule s piatimi alebo viacerými rozmermi. V každom prípade je n-guľa skutočne jediným a najjednoduchším n-varioutom. Napodiv sa ukázalo, že je jednoduchšie získať výsledky pre viacrozmerné gule ako pre 3- a 4-sféry. Dôkaz pre štyri rozmery sa objavil v roku 1982. A len pôvodný Poincarého domnienka o 3-guli zostala nepotvrdená.
Rozhodujúci krok sa podaril v novembri 2002, keď Grigorij Perelman, matematik z petrohradskej pobočky Matematického inštitútu. Steklov, poslal článok na webovú stránku www.arxiv.org, kde o výsledkoch svojej vedeckej činnosti diskutujú fyzici a matematici z celého sveta. Topológovia okamžite pochopili súvislosť medzi prácou ruského vedca a Poincarého domnienkou, hoci to autor priamo nespomenul.

V skutočnosti Perelmanov dôkaz, ktorého správnosť zatiaľ nikto nedokázal spochybniť, rieši oveľa širší okruh problémov ako samotná Poincarého domnienka. Procedúra geometrizácie navrhnutá Williamom P. Thurstonom z Cornell University umožňuje kompletnú klasifikáciu 3-variet na základe 3-sféry, ktorá je jedinečná svojou vznešenou jednoduchosťou. Ak by bola Poincarého domnienka nepravdivá, t.j. Ak by bolo veľa priestorov tak jednoduchých ako guľa, potom by sa klasifikácia 3-variet zmenila na niečo nekonečne zložitejšie. Vďaka Perelmanovi a Thurstonovi máme kompletný katalóg všetkých matematicky možných foriem trojrozmerného priestoru, ktorý by náš Vesmír mohol zaujať (ak vezmeme do úvahy iba priestor bez času).

Aby ste lepšie pochopili Poincarého domnienku a Perelmanov dôkaz, mali by ste sa bližšie pozrieť na topológiu. V tomto odvetví matematiky nezáleží na tvare predmetu, ako keby bol vyrobený z cesta, ktoré sa dá akokoľvek natiahnuť, stlačiť a ohnúť. Prečo by sme mali premýšľať o veciach alebo priestoroch vyrobených z imaginárneho cesta? Faktom je, že presný tvar objektu - vzdialenosť medzi všetkými jeho bodmi - sa vzťahuje na štrukturálnu úroveň nazývanú geometria. Skúmaním objektu z testu topológovia identifikujú jeho základné vlastnosti, ktoré nezávisia od geometrickej štruktúry. Štúdium topológie je ako hľadanie najbežnejších čŕt, ktoré ľudia majú pri pohľade na „plastelínového muža“, ktorý sa môže zmeniť na akéhokoľvek konkrétneho jednotlivca.
V populárnej literatúre sa často vyskytuje otrepané tvrdenie, že z topologického hľadiska sa pohár nelíši od šišky. Z hrnčeka cesta sa totiž dá urobiť šiška jednoduchým rozdrvením hmoty, t.j. bez toho, aby ste čokoľvek zaslepovali alebo robili diery. Na druhej strane, ak chcete vyrobiť donut z gule, určite do nej musíte urobiť dieru alebo ju zrolovať do valca a formovať konce, takže guľa vôbec nie je donut.
Topológov najviac zaujíma povrch gule a donutu. Namiesto pevných telies si preto treba predstaviť balóny. Ich topológia je stále iná, pretože guľový balón sa nedá premeniť na prstencový, ktorý sa nazýva torus. Najprv sa vedci rozhodli zistiť, koľko objektov s rôznymi topológiami existuje a ako ich možno charakterizovať. Pre 2-rozdeľovače, ktoré sme zvykli nazývať povrchy, je odpoveď elegantná a jednoduchá: všetko je určené počtom „dier“ alebo, čo je rovnaké, počtom rukovätí. Do konca 19. stor. Matematici prišli na to, ako klasifikovať povrchy a zistili, že najjednoduchším z nich je guľa. Prirodzene, topológovia začali uvažovať o 3-manifoldoch: je 3-guľa jedinečná svojou jednoduchosťou? Storočná história hľadania odpovede je plná omylov a chybných dôkazov.
Henri Poincaré sa tejto problematike podrobne venoval. Bol jedným z dvoch najmocnejších matematikov začiatku 20. storočia. (druhý bol David Gilbert). Bol označovaný za posledného univerzalistu – úspešne pracoval vo všetkých oblastiach čistej aj aplikovanej matematiky. Okrem toho Poincaré výrazne prispel k rozvoju nebeskej mechaniky, teórie elektromagnetizmu, ako aj filozofie vedy, o ktorej napísal niekoľko populárnych kníh.
Poincaré sa stal zakladateľom algebraickej topológie a pomocou jej metód v roku 1900 sformuloval topologickú charakteristiku objektu, nazývanú homotopia. Ak chcete určiť homotopiu rozdeľovača, musíte do neho mentálne ponoriť uzavretú slučku. Potom by ste mali zistiť, či je vždy možné stiahnuť slučku do bodu pohybom vo vnútri potrubia. V prípade torusu bude odpoveď záporná: ak umiestnite slučku okolo obvodu torusu, nebudete ju môcť dotiahnuť do bodu, pretože „diera“ na šišku bude prekážať. Homotopia je počet rôznych ciest, ktoré môžu zabrániť kontrakcii slučky.

Na n-guli sa dá každá slučka, dokonca aj zložito skrútená, vždy rozmotať a pritiahnuť k sebe. (Slučka môže prejsť cez seba.) Poincaré predpokladal, že 3-guľa je jediné 3-rozdeľovacie potrubie, na ktorom môže byť akákoľvek slučka stiahnutá do bodu. Žiaľ, nikdy nedokázal dokázať svoju domnienku, ktorá sa neskôr stala známou ako Poincarého domnienka.

Perelmanova analýza 3-roztokov úzko súvisí s postupom geometrizácie. Geometria sa zaoberá skutočným tvarom predmetov a rozdeľovačov, už nie z cesta, ale z keramiky. Napríklad pohár a šiška sú geometricky odlišné, pretože ich povrchy sú inak zakrivené. Hovorí sa, že pohár a šiška sú dva príklady topologického torusu, ktorý má rôzne geometrické tvary.
Aby ste pochopili, prečo Perelman použil geometrizáciu, zvážte klasifikáciu 2-variet. Každému topologickému povrchu je priradená jedinečná geometria, ktorej zakrivenie je rovnomerne rozložené po celom potrubí. Napríklad pre guľu je to dokonale guľový povrch. Ďalšou možnou geometriou pre topologickú sféru je vajce, ale jeho zakrivenie nie je všade rovnomerne rozložené: ostrý koniec je zakrivenejší ako tupý koniec.
2-rozdeľovače tvoria tri geometrické typy. Guľa sa vyznačuje pozitívnym zakrivením. Geometrizovaný torus je plochý a má nulové zakrivenie. Všetky ostatné 2-rozdeľovacie potrubia s dvoma alebo viacerými "otvormi" majú záporné zakrivenie. Zodpovedajú povrchu podobnému sedlu, ktoré sa spredu a zozadu zatáča nahor a zľava a sprava dole. Poincaré vyvinul túto geometrickú klasifikáciu (geometrizáciu) 2-roztokov spolu s Paulom Koebem a Felixom Kleinom, po ktorých je fľaša Klein pomenovaná.

Existuje prirodzená túžba použiť podobnú metódu na 3-rozdeľovače. Je možné nájsť pre každý z nich jedinečnú konfiguráciu, v ktorej by bolo zakrivenie rovnomerne rozložené v celej odrode?
Ukázalo sa, že 3-roztoky sú oveľa zložitejšie ako ich dvojrozmerné náprotivky a väčšine z nich nemožno priradiť homogénnu geometriu. Mali by byť rozdelené na časti, ktoré zodpovedajú jednej z ôsmich kanonických geometrií. Tento postup pripomína rozklad čísla na prvočísla.

Ako možno geometrizovať rozdeľovač a dať mu všade rovnomerné zakrivenie? Musíte si vziať ľubovoľnú geometriu s rôznymi výčnelkami a vybraniami a potom vyhladiť všetky nepravidelnosti. Začiatkom 90. rokov. XX storočia Hamilton začal analyzovať 3-manifoldy pomocou Ricciho rovnice toku, pomenovanej po matematikovi Gregorio Ricci-Curbastro. Je to trochu podobné rovnici vedenia tepla, ktorá popisuje tepelné toky prúdiace v nerovnomerne zohriatom tele, kým sa jeho teplota nestane všade rovnaká. Rovnakým spôsobom Ricciho prietoková rovnica špecifikuje zmenu zakrivenia rozdeľovača, ktorá vedie k zarovnaniu všetkých výstupkov a vybraní. Napríklad, ak začnete s vajíčkom, postupne sa zmení na sférický.

Perelman pridal do Ricciho rovnice toku nový pojem. Táto zmena neodstránila problém zvláštnosti, umožnila však oveľa hlbšiu analýzu. Ruský vedec ukázal, že na rozdeľovači v tvare činky možno vykonať „chirurgickú“ operáciu: odrežte tenkú hadičku na oboch stranách vznikajúceho zúženia a uzavrite otvorené hadičky vyčnievajúce z guľôčok guľovitými uzávermi. Potom by sa malo pokračovať vo výmene „prevádzkovaného“ potrubia v súlade s Ricciho prietokovou rovnicou a použiť vyššie uvedený postup na všetky vznikajúce zúženia. Perelman tiež ukázal, že rysy v tvare cigary sa nemôžu objaviť. Akékoľvek 3-rozdeľovacie potrubie tak možno zredukovať na sadu dielov s homogénnou geometriou.
Keď sa Ricciho tok a „chirurgia“ aplikujú na všetky možné 3-manifoldy, ktorýkoľvek z nich, ak je taký jednoduchý ako 3-guľa (inými slovami, charakterizovaný rovnakou homotopiou), nevyhnutne redukuje na rovnakú homogénnu geometriu. as a 3-sféra. To znamená, že z topologického hľadiska je predmetný rozvod 3-sférický. 3-sféra je teda jedinečná.

Hodnota Perelmanových článkov nespočíva len v dôkaze Poincarého domnienky, ale aj v nových metódach analýzy. Výsledky, ktoré ruský matematik získal, už vedci na celom svete využívajú pri svojej práci a metódy, ktoré vyvinul, aplikujú aj v iných oblastiach. Ukázalo sa, že Ricciho tok je spojený s takzvanou renormalizačnou skupinou, ktorá určuje, ako sa mení sila interakcií v závislosti od energie zrážky častíc. Napríklad pri nízkych energiách je sila elektromagnetickej interakcie charakterizovaná číslom 0,0073 (približne 1/137). Keď sa však dva elektróny čelne zrazia rýchlosťou takmer svetla, sila sa blíži k 0,0078. Matematika, ktorá popisuje zmenu fyzikálnych síl, je veľmi podobná matematike, ktorá popisuje geometrizáciu rozvetvení.
Zvýšenie energie zrážky je ekvivalentné štúdiu sily na menšie vzdialenosti. Preto je renormalizačná skupina podobná mikroskopu s variabilným faktorom zväčšenia, čo umožňuje študovať proces na rôznych úrovniach detailov. Podobne, Ricciho tok je mikroskop na pozorovanie rozdeľovačov. Výčnelky a priehlbiny viditeľné pri jednom zväčšení miznú pri inom. Je pravdepodobné, že na Planckovej dĺžkovej škále (asi 10 -35 m) vyzerá priestor, v ktorom žijeme, ako pena so zložitou topologickou štruktúrou. Okrem toho rovnice všeobecnej relativity, ktoré opisujú charakteristiky gravitácie a veľkorozmernú štruktúru vesmíru, úzko súvisia s rovnicou Ricciho toku. Paradoxne, výraz Perelman pridaný k výrazu, ktorý použil Hamilton, pochádza z teórie strún, ktorá sa vydáva za kvantovú teóriu gravitácie. Je možné, že v článkoch ruského matematika vedci nájdu oveľa viac užitočných informácií nielen o abstraktných 3-varietách, ale aj o priestore, v ktorom žijeme.

Pred časom sa na predtlačovej stránke arXiv.org objavili dva príspevky venované problematike najhustejšieho balenia loptičiek v priestoroch s rozmermi 8 a 24. Doteraz boli podobné výsledky známe len pre rozmery 1, 2 a 3 (a nie je tu všetko také jednoduché, ale o tom nižšie). Prelom – a hovoríme o skutočnom revolučnom prielomu – sa stal možným vďaka práci Mariny Vjazovskej, matematičky ukrajinského pôvodu, ktorá dnes pôsobí v Nemecku. Príbeh tohto úspechu rozpovieme v desiatich poviedkach.

1.

V 16. storočí žil v Anglicku známy dvorný predstaviteľ a básnik Sir Walter Raleigh. Preslávil sa predovšetkým tým, že raz pred kráľovnou hodil svoj drahý plášť do mláky, aby si Jej Veličenstvo nezašpinilo nohy. Ale to nie je dôvod, prečo je pre nás zaujímavý.

Sir Walter Raleigh mal vášeň – naozaj rád lúpil španielske lode a hľadal Eldorádo. A potom jedného dňa Raleigh uvidel na lodi veľa naukladaných delových gúľ. A pomyslel som si (toto sa stalo britským dvoranom), hovoria, že by bolo pekné, keby bolo možné zistiť, koľko jadier je v hromade bez ich počítania. Výhoda takéhoto poznania, najmä ak radi drancujete španielsku flotilu, je zrejmá.

Walter Raleigh

Raleigh sám nebol veľmi dobrý v matematike, a tak zadal tento problém svojmu asistentovi Thomasovi Herriotovi. Ten bol zase silný v matematike (Harriott, mimochodom, je vynálezcom znakov „>“ a „<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.

S pripomienkami sa obrátil na slávneho matematika svojej doby Johannesa Keplera – v tom čase asistenta Tycha Braheho. Kepler neodpovedal, ale na problém si spomenul. V roku 1611 vydal malú brožúru, v ktorej sa zaoberal štyrmi otázkami: prečo majú včely šesťhranné plásty, prečo sú okvetné lístky najčastejšie zoskupené do piatich ( Kepler asi myslel lenRosaceae - cca. N+1), prečo majú zrnká granátu tvar dvanásťstenov (hoci nepravidelných) a prečo napokon snehové vločky majú tvar šesťuholníkov.

Johannes Kepler

Brožúra bola určená ako darček, takže išlo skôr o filozofické a zábavné čítanie ako o skutočné vedecké dielo. Kepler spojil odpoveď na prvú otázku s dvomi podmienkami – medzi bunkami by nemali byť žiadne medzery a súčet plôch buniek by mal byť minimálny. Autor spojil druhú otázku s Fibonacciho číslami a rozhovor o snehových vločkách podnietil Keplera, aby hovoril o atómových symetriách.

Tretia otázka viedla k hypotéze, že šesťhranné uzavreté balenie(je na obrázku nižšie) je najhustejšia (čo znamená, že v matematickom zmysle je aj nižšie). Samozrejme, Kepler nepovažoval za potrebné odvolávať sa na Harriota. Preto sa toto tvrdenie nazýva Keplerova hypotéza. Stiglerov zákon – známy aj ako Arnoldov princíp – platí.

Áno, 7 rokov po vydaní tejto brožúry bola Sirovi Walterovi Raleighovi odrezaná hlava. To však nemalo nič spoločné s problémom hustého balenia.

2.

Podľa moderných štandardov nebol problém, ktorý Harriot vyriešil, ťažký. Poďme si to preto podrobnejšie rozobrať. A zároveň lepšie pochopíme, ako funguje šesťhranné tesnenie.

Hlavnou podmienkou teda je, aby sa hromada jadierok pri rolovaní nevykotúľala. Takže jadrá rozložíme v rade na palubu. Jadierka ukladáme do ďalšieho radu tak, aby guličky boli umiestnené v medzerách medzi guľami prvého radu. Ak je v prvom rade n loptičiek, potom v druhom rade je n - 1 (pretože medzi loptičkami je o jednu menej medzier ako loptičky samotné). Ďalší riadok bude mať o jedno jadro menej. A tak ďalej, kým nedostaneme takýto trojuholník (ak sa pozriete na rozloženie zhora):

Tí, ktorí si pamätajú, čo je to aritmetický postup, si ľahko spočítajú, že ak bolo v prvom rade n guľôčok, tak v takomto trojuholníku je celkovo n(n + 1)/2 guľôčok. Ak sa pozriete zhora, medzi guličkami sú vhodné drážky. Tu dáme druhú vrstvu guľôčok. Výsledkom je trojuholník usporiadaný ako prvý, len s jednou guľôčkami na strane menej. To znamená, že sme do kôpky pridali n(n - 1)/2 loptičiek.

Pokračujeme v pridávaní vrstiev, kým nezískame vrstvu jednej gule. Máme trojuholníkovú pyramídu jadier. Ak chcete zistiť, koľko jadier je celkovo, musíte spočítať počet jadier v každej vrstve. Ak mala prvá vrstva stranu n, dostaneme n vrstiev, čo celkovo dá n(n + 1)(n + 2)/6. Zvedavý čitateľ si všimne, že ide presne o binomický koeficient C 3 n + 2. Táto kombinatorická zhoda nie je bezdôvodná, ale nebudeme sa jej ďalej venovať.

Mimochodom, okrem tejto úlohy dokázal Herriot približne určiť, aký podiel zaberajú jadrá v dostatočne veľkej nádobe, ak vezmeme tvar kocky. Ukázalo sa, že zlomok je π/(3√2) ≈ 0,74048.

3.

Čo to slovo znamená najhustejšie vo vyhlásení o probléme? Raleigh, Harriot a ani samotný Kepler na to neposkytli presnú odpoveď. Znamenalo to najhustejšie v nejakom rozumnom zmysle. Táto formulácia však nie je vhodná pre matematiku. Treba si to ujasniť.

Poďme najprv o jednu dimenziu dole a uvidíme, ako všetko v lietadle funguje. Pre dvojrozmerný prípad sa problém mení na toto: rovine nech je daná nekonečná množina kružníc, ktoré sa vo vnútri nepretínajú (ale možno sa dotýkajú – teda majú spoločný bod na hranici). Nakreslíme štvorec. Vypočítajme súčet plôch častí kruhov, ktoré spadajú do štvorca. Zoberme si pomer tohto súčtu k ploche štvorca a zväčšíme stranu štvorca pri pohľade na zmenu pomeru.

Dostaneme funkciu f(a), Kde a- strana štvorca. Ak máme šťastie, potom táto funkcia s rastom argument sa približuje asymptoticky k určitému číslu. Toto číslo sa nazýva hustota daného obalu. Je dôležité, aby samotná funkcia v určitom bode mohla poskytnúť hodnotu väčšiu ako je hustota. V skutočnosti, ak je štvorec malý, potom sa úplne zmestí do kruhu a určitý pomer je rovný 1. Nás však zaujíma priemerná hustota, teda neformálne povedané „pre štvorec s dostatočne veľkou stranou“.

Medzi všetkými týmito hustotami možno nájsť maximum. Práve tento, ako aj obal, ktorý ho implementuje, bude nazývaný najhustejší.

„Najbližšie balenie nie je nevyhnutne jediné (v asymptotickom zmysle). V trojrozmernom priestore je nekonečné množstvo hustých obalov a Kepler to vedel,“ hovorí Oleg Musin z Texaskej univerzity v Brownsville.

Potom, čo sme definovali pojem najbližšieho balenia, je ľahké pochopiť, že takáto definícia môže byť ľahko rozšírená na priestor ľubovoľnej dimenzie n. Nahradme kruhy guľôčkami zodpovedajúceho rozmeru, teda množinou bodov, ktorých vzdialenosť k pevnému bodu (nazývanému stred) nepresahuje určitú hodnotu nazývanú polomer gule. Usporiadajme ich opäť tak, aby sa ktorékoľvek dve v lepšom prípade dotýkali a v horšom prípade nemali vôbec žiadne spoločné body. Definujme rovnakú funkciu ako v predchádzajúcom prípade, pričom vezmeme objem n-rozmernej kocky a súčet objemov zodpovedajúcich n-rozmerných guľôčok.

4.

Takže sme pochopili, že Keplerova hypotéza je problémom o najhustejšom balení trojrozmerných guľôčok v trojrozmernom priestore. A čo lietadlo (keďže sme s ním začali)? Alebo dokonca z priamky? S priamkou je všetko jednoduché: guľa na priamke je segment. Rovná čiara môže byť úplne pokrytá rovnakými segmentmi, ktoré sa na koncoch pretínajú. Pri takomto pokrytí je funkcia f(a) je konštantná a rovná sa 1.

V lietadle sa všetko ukázalo byť trochu komplikovanejšie. Začnime teda súborom bodov v rovine. Hovoríme, že táto množina bodov tvorí mriežku, ak dokážeme nájsť pár vektorov v a w tak, že všetky body získame ako N*v + M*w, kde N a M sú celé čísla. Podobným spôsobom sa dá mriežka definovať v priestore ľubovoľne veľkých rozmerov – len si to vyžaduje viac vektorov.

Mriežky sú dôležité z mnohých dôvodov (napríklad mriežkové miesta sú miesta, kde sa atómy uprednostňujú, pokiaľ ide o pevné materiály), ale pre matematikov sú dobré, pretože sa s nimi veľmi pohodlne pracuje. Preto sa od všetkých obalov oddelene rozlišuje trieda, v ktorej sú stredy guľôčok umiestnené v mriežkových uzloch. Ak sa obmedzíme na tento prípad, tak v rovine je len päť typov mriežok. Najhustejšie balenie z nich je vytvorené tým, v ktorom sú body usporiadané vo vrcholoch pravidelných šesťuholníkov - ako plásty včiel alebo atómy v graféne. Túto skutočnosť dokázal Lagrange v roku 1773. Presnejšie: Lagrangea nezaujímali husté obaly, ale zaujímali ho kvadratické formy. Už v XX sa ukázalo, že z jeho výsledkov na formách vyplýva výsledok o hustote balenia pre dvojrozmerné mriežky.

„V roku 1831 napísal Ludwig Sieber knihu o ternárnych kvadratických formách. Táto kniha predložila domnienku, ktorá je ekvivalentná Keplerovmu dohadu o mriežkových obaloch. Samotný Sieber dokázal dokázať len slabú formu svojej hypotézy a otestovať ju na veľkom množstve príkladov. Túto knihu recenzoval skvelý Carl Friedrich Gauss. V tejto recenzii Gauss poskytuje skutočne úžasný dôkaz, ktorý sa zmestí do 40 riadkov. Tento, ako teraz hovoríme, „olympiádový“ dôkaz je pre stredoškolákov pochopiteľný. Mnohí matematici sa pokúšali nájsť skrytý význam v Gaussovom dôkaze, no zatiaľ sa to nikomu nepodarilo,“ hovorí Oleg Musin.

Čo sa však stane, ak opustíme stav siete? Tu sa všetko ukáže byť trochu komplikovanejšie. Prvý plnohodnotný pokus vysporiadať sa s týmto prípadom urobil nórsky matematik Axel Thue. Ak sa pozriete na stránku venovanú Thue na Wikipédii, nenájdete tam nič o tesnom balení. Je to pochopiteľné – Thue publikoval dve práce, ktoré viac než normálne matematické práce pripomínali eseje, v ktorých, ako sa mu zdalo, úplne vyriešil problém hustého balenia. Jediným problémom bolo, že nikto okrem samotného Thuea nepresvedčil jeho úvahy.

Lászlo Fejes Tóth

Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons

Problém nakoniec vyriešil maďarský matematik Laszlo Fejes Toth v roku 1940. Mimochodom, ukázalo sa, že usporiadanie kruhov v rovine, ktoré realizuje najhustejšie balenie, je jediné.

5.

S problémom tesného balenia úzko súvisí problém s kontaktným číslom. Pozrime sa znova na kruh v rovine. Koľko kruhov s rovnakým polomerom je možné umiestniť okolo neho, aby sa všetky dotýkali toho stredného? Odpoveď je šesť. Skutočne, pozrime sa na dva susedné kruhy, ktoré sa dotýkajú nášho centrálneho. Pozrime sa na vzdialenosť od stredu centrálneho kruhu k stredom týchto dvoch. Je to rovné 2R, Kde R- polomer kruhu. Vzdialenosť medzi stredmi susedných kruhov nepresahuje 2R. Pri výpočte uhla v strede stredového kruhu pomocou kosínusovej vety zistíme, že nie je menší ako 60 stupňov. Súčet všetkých stredových uhlov by mal dať 360 stupňov, čo znamená, že takýchto uhlov nemôže byť viac ako 6 a poznáme umiestnenie kruhov so šiestimi uhlami.

Výsledné číslo sa nazýva kontaktné číslo roviny. Podobná otázka môže byť položená pre priestory akejkoľvek dimenzie. Nech jednoduchosť riešenia v lietadle nezavádza čitateľa - problém kontaktných čísel, ak je jednoduchší ako problém úzkeho balenia, nie je oveľa jednoduchší. V tomto smere sa však v skutočnosti dosiahlo viac výsledkov.

Pre trojrozmerný priestor sa kontaktné číslo stalo v roku 1694 predmetom verejného sporu medzi samotným Isaacom Newtonom a Jamesom Gregorym. Prvý veril, že kontaktné číslo by malo byť 12, a druhý - že 13. Ide o to, že nie je ťažké umiestniť 12 guľôčok okolo centrálnej - stredy takýchto guľôčok ležia vo vrcholoch pravidelného dvadsaťstena (on má ich presne 12). Ale tieto lopty sa nedotýkajú! Na prvý pohľad sa zdá, že sa dajú posunúť tak, aby sa cez ne zmestila ešte jedna, 13. loptička. To je takmer pravda: ak sa loptičky trochu od seba oddialia, vzdialenosť medzi ich stredmi a stredom toho stredu nie je 2R, ale celkovo 2,06 R, potom sa už zmestí 13 loptičiek. Ale pre dotýkanie sa loptičiek sa Gregory mýlil - túto skutočnosť dokázali van der Waarden a Schutte v roku 1953.

Pre dimenziu 4 tento problém vyriešil Oleg Musin v roku 2003. Tam sa ukázalo, že kontaktné číslo je 24.

6.

Okrem týchto rozmerov 1, 2, 3 a 4 sú kontaktné čísla známe aj v rozmeroch 8 a 24. Prečo práve tieto rozmery? Faktom je, že pre nich existujú veľmi zaujímavé mriežky, nazývané E8 a mriežka Leach.

Takže sme už zistili, čo je mriežka. Dôležitou charakteristikou mriežky pre matematiku je jej symetria. Pod symetriou rozumieme, samozrejme, nie subjektívne vnemy (a kto by si túto mriežku predstavoval v rozmeroch napríklad štyri?), ale množstvo rôznych druhov pohybov priestoru, ktoré túto mriežku prekladajú do seba. Vysvetlíme si to na príklade.

Zoberme si rovnakú šesťhrannú mriežku, ktorá realizuje najbližšie balenie v rovine. Je ľahké pochopiť, že mriežka sa zmení na seba, ak ju posuniete o vektory v a w, ktoré boli v definícii. Okrem toho sa však mriežka môže otáčať okolo stredu šesťuholníka. A takýchto rotácií je 6: 0, 60, 120, 180, 240, 300 stupňov. Okrem toho môže byť mriežka zobrazená symetricky okolo akejkoľvek osi symetrie zloženého šesťuholníka. Malé cvičenie ukazuje, že ak nepočítame posuny, dostaneme 12 transformácií. Iné mriežky majú menej takýchto transformácií, preto hovoríme, že sú menej symetrické.

Takže E8 a Leachova mriežka sú neuveriteľne symetrické mriežky. E8 sa nachádza v 8-rozmernom priestore. Túto mriežku vynašli v roku 1877 ruskí matematici Korkin a Zolotarev. Pozostáva z vektorov, ktorých všetky súradnice sú celé čísla a ich súčet je párny. Takáto mriežka, mínus posuny, má 696 729 600 transformácií. Lich Grid existuje v dvadsaťštyri dimenzionálnom priestore. Pozostáva z vektorov s celočíselnými súradnicami a podmienkou - súčet súradníc mínus ľubovoľná súradnica vynásobený 4 sa delí 8. Má jednoducho kolosálny počet symetrií - 8 315 553 613 086 720 000 kusov.

Takže v 8-rozmernom a 24-rozmernom priestore sa gule umiestnené vo vrcholoch tých istých mriežok dotýkajú 240 a 19650 guľôčok. Prekvapivo sú to práve kontaktné čísla (pozri bod 5) pre priestory zodpovedajúceho rozmeru.

7.

Teraz sa vráťme k trojrozmernému prípadu a Keplerovej hypotéze (tej, o ktorej sme hovorili úplne na začiatku). Táto úloha sa ukázala byť mnohonásobne ťažšia ako jej predchodcovia.

Začnime tým, že existuje nekonečne veľa obalov s rovnakou hustotou ako šesťuholníkový hustý. Začali sme to rozkladať, počnúc loptičkami rozmiestnenými v uzloch šesťhrannej mriežky. Môžete to však urobiť inak: napríklad na prvej úrovni zložte gule do štvorca, to znamená tak, že vrcholy guľôčok sa nachádzajú v uzloch už štvorcovej mriežky. V tomto prípade sa každá lopta dotkne štyroch susedov. Druhá vrstva, ako v prípade šesťhrannej, bude umiestnená na vrchu v medzerách medzi guľôčkami prvej vrstvy. Tento obal sa nazýva kubické balenie zamerané na tvár. Toto je mimochodom jediný najhustejší mriežkový obal vo vesmíre.

Na prvý pohľad sa zdá, že toto balenie by malo byť horšie, pretože medzery medzi štyrmi guľôčkami v prvej vrstve sú oveľa väčšie (na pocit), ako medzery v šesťhrannom hustom balení. Ale keď položíme druhý rad, guľôčky – práve preto, že sú medzery väčšie – sa ponoria hlbšie. V dôsledku toho, ako sa ukázalo, hustota je rovnaká ako predtým. V skutočnosti je, samozrejme, trik v tom, že takýto balík získate, ak sa na šesťuholníkový pozriete z iného uhla.

Ukazuje sa, že v trojrozmernom priestore neexistujú také krásne jedinečné mriežky, ako sú napríklad šesťuholníkové v rovine alebo E8 v 8-rozmernom priestore. Na prvý pohľad je úplne nejasné, ako hľadať najbližšie balenie v trojrozmernom priestore.

8.

Riešenie Keplerovej hypotézy sa zrodilo v niekoľkých etapách.

Po prvé, Fejes Tóth, ten istý Maďar, ktorý riešil problém tesného balenia v nerovine, predložil nasledujúcu hypotézu: aby sme pochopili, či je balenie tesné alebo nie, stačí zvážiť konečné zhluky guľôčok. Ako sme zistili, na rozdiel od lietadla, ak sa centrálna guľa dotkne 12 susedov, potom sú medzi nimi medzery. Preto Fejes Toth navrhol študovať zhluky pozostávajúce z centrálnej gule, jej susedov a susedov susedov.

Ide o to, že tento predpoklad vznikol v 60. rokoch minulého storočia. A problém minimalizácie objemu takéhoto zhluku je v podstate nelineárny optimalizačný problém pre funkciu približne 150 premenných (každá gulička má stred, je špecifikovaný tromi súradnicami). Zhruba povedané, takáto funkcia musí nájsť minimum za určitých dodatočných podmienok. Na jednej strane sa úloha stala konečnou, no na druhej strane je pre človeka z výpočtového hľadiska úplne neprekonateľná. Ale Fejes Toth nebol naštvaný a povedal, že už čoskoro budú mať počítače potrebný výpočtový výkon. Pomôžu.

Matematikom sa hypotéza Fejesa Thotha veľmi páčila a začali v tomto smere aktívne pracovať. Začiatkom 90. rokov sa odhady maximálnej hustoty zloženia gúľ v trojrozmernom priestore postupne znižovali. Myšlienka bola, že v určitom bode by sa odhad rovnal hustote plošne centrovaného kubického obalu, a preto by sa Keplerova hypotéza potvrdila. Počas tejto doby matematik Thomas Hales publikoval svoje prvé články o obaloch. Pre svoju prácu si vybral objekt s názvom Delaunayove hviezdy (podľa sovietskeho matematika Borisa Delaunaya). Bol to odvážny krok - v tom momente bola účinnosť takýchto predmetov na štúdium problému balenia otázna.

Po iba 8 rokoch tvrdej práce, v roku 1998, Hales dokončil dôkaz Keplerovej hypotézy. Dôkaz zredukoval na konečné kombinatorické hľadanie rôznych štruktúr, ako sú Delaunayove hviezdy. Pre každú takúto kombinatorickú štruktúru bolo potrebné maximalizovať hustotu. Keďže počítač normálne pracuje iba s celými číslami (jednoducho preto, že v matematike sú čísla najčastejšie nekonečnými zlomkami), tak pre každý prípad Delaunay automaticky zostavil aproximáciu zhora pomocou symbolických racionálnych výpočtov (koniec koncov, racionálne čísla, ak ich neprevediete na desatinné zlomky, len pár celých čísel). S touto aproximáciou získal odhad maximálnej hustoty zhora. V dôsledku toho sa ukázalo, že všetky odhady sú nižšie ako tie, ktoré uvádza kubický obal zameraný na tvár.

Mnohí matematici však boli zmätení situáciou, v ktorej bol na zostrojenie aproximácie zostrojený počítač. Aby Hales dokázal, že v počítačovej časti dôkazu nemá chyby, začal s formalizáciou a overovaním, aj keď aj s pomocou počítača. Táto práca, ktorú vykonal pomerne veľký medzinárodný tím, bola dokončená v auguste 2014. V dôkaze sa nenašli žiadne chyby.

9.

Nátlačky pre rozmery 8 a 24 nevyžadujú počítač a sú o niečo jednoduchšie. Pred časom boli získané veľmi dobré odhady na odhad maximálnej hustoty balenia v týchto rozmeroch. Urobili to matematici Kohn a Elkies v roku 2003. Mimochodom, tento odhad (nazývaný aj hranica Kohn-Elkies) našiel ruský matematik Dmitrij Gorbačov z Tuly pár rokov pred samotnými Kohnom a Elkiesom. Toto dielo však publikoval v ruštine a v časopise Tula. Kon a Elkies o tejto práci nevedeli, a keď im to bolo povedané, mimochodom sa na ňu odvolali.

„Hranica Kohn-Elkies sa objavila na základe práce Jeana-Frederica Delsarteho a našich úžasných matematikov Grigorija Kabatjanského a Vladimíra Levenshteina. Asymptotický (v zmysle priestorovej dimenzie) odhad hustoty zloženia guľôčok v n-rozmernom priestore, ktorý získali Kabatyansky a Levenshtein, „stál“ od roku 1978. Mimochodom, problém kontaktných čísel v rozmeroch 8 a 24 vyriešili v roku 1979 Levenshtein a nezávisle od seba Američania Odlyzhko a Sloan. Priamo použili metódu Delsarte-Kabatyansky-Levenshtein,“ hovorí Oleg Musin.

Kohnove a Elkiesove odhady sú v skutočnosti správne pre všetky balenia, ale v rozmeroch 8 a 24 poskytujú veľmi dobrú aproximáciu. Napríklad odhad matematikov je len asi o 0,0001 percent väčší ako hustota E8 v osemrozmernom priestore. Preto vyvstala úloha zlepšiť toto hodnotenie - napokon, zdá sa, že riešenie je už blízko. Navyše v roku 2012 ten istý Dmitrij Gorbačov požiadal (a získal) grant od Dynasty Foundation. V žiadosti výslovne uviedol, že plánuje preukázať hustotu balenia E8 v osemrozmernom priestore.

Hovorí sa, že Gorbačova priviedol k takému odvážnemu tvrdeniu iný matematik, Andrej Bondarenko, v podstate mentor, jeden z vedeckých supervízorov Mariny Vjazovskej, ktorá vyriešila problém pre 8-rozmerný priestor (a spoluautorka napr. 24-rozmerný priestor). Práve Bondarenkovej ďakuje na konci svojej prelomovej práce. Takže Bondarenko a Gorbačov neuspeli, ale Vyazovskaja áno. prečo?

Marina Vjazovskaja

Humboldtova univerzita v Berlíne

Kohn-Elkiesov odhad spája hustotu zloženia s vlastnosťou nejakej funkcie z vhodnej množiny. Zhruba povedané, pre každú takúto funkciu sa vytvorí odhad. To znamená, že hlavnou úlohou je nájsť vhodnú funkciu, aby sa výsledný odhad ukázal ako ten, ktorý potrebujeme. Kľúčovou zložkou pri výstavbe Vyazovskej sú teda modulárne formy. Už sme ich spomenuli v súvislosti s dôkazom Fermatovej poslednej vety, pre ktorú. Ide o pomerne symetrický objekt, ktorý sa neustále objavuje v rôznych odvetviach matematiky. Práve táto súprava nástrojov nám umožnila nájsť požadovanú funkciu.

V 24-rozmernom priestore bol odhad získaný rovnakým spôsobom. Táto práca má viac autorov, ale vychádza z rovnakého úspechu Vyazovskej (aj keď, samozrejme, mierne prispôsobeného). Mimochodom, v práci bola dokázaná ďalšia pozoruhodná skutočnosť: mriežka Leach realizuje jediné periodické najbližšie balenie. To znamená, že všetky ostatné pravidelné balenia majú hustotu menšiu ako táto. Podľa Olega Musina podobný výsledok pre periodické balenia môže platiť v rozmeroch 4 a 8.

10.

Z aplikačného hľadiska je problém hustého balenia vo vysokorozmerných priestoroch predovšetkým problémom optimálneho kódovania korigujúceho chyby.

Predstavme si, že Alice a Bob sa pokúšajú komunikovať pomocou rádiových signálov. Alice hovorí, že pošle Bobovi signál pozostávajúci z 24 rôznych frekvencií. Bob zmeria amplitúdu každej frekvencie. V dôsledku toho bude mať súbor 24 amplitúd. Tie, samozrejme, definujú bod v 24-rozmernom priestore – napokon, je ich 24. Bob a Alice zoberú povedzme Dahlov slovník a každému slovu priradia vlastný súbor 24 amplitúd. Ukázalo sa, že slová z Dahlovho slovníka sme zakódovali bodmi 24-rozmerného priestoru.

V ideálnom svete nie je potrebné nič iné. Skutočné dátové kanály však pridávajú šum, čo znamená, že počas dekódovania môže Bob prijať sadu amplitúd, ktoré nezodpovedajú jedinému slovu. Potom sa však môže pozrieť na slovo najbližšie k dešifrovanej verzii. Ak existuje, znamená to s najväčšou pravdepodobnosťou toto. Aby sa to vždy podarilo, je potrebné, aby boli body priestoru umiestnené čo najďalej od seba. To znamená, že ak je napríklad hladina šumu taká, že sa zavedie skreslenie, ktoré posunie výsledok o vektor dĺžky nie viac ako jeden, potom dva kódové body musia byť presne vo vzdialenosti najmenej dva. Potom bude Bobov výsledok aj pri skresleniach vždy blízko k jedinému slovu – k tomu, ktoré je potrebné.

Zároveň tiež nechcem nafúknuť veľa slov - máme dosť obmedzený rozsah, v ktorom môžeme prenášať informácie. Napríklad bude zvláštne (a nie veľmi efektívne), ak Alice a Bob začnú komunikovať v dosahu röntgenového žiarenia. Preto by v ideálnom prípade mala byť vzdialenosť medzi susednými kódovými slovami presne dve. A to znamená, že slová sú umiestnené vo vrcholoch guľôčok s polomerom 1, tesne zabalené v 24-rozmernom priestore.