Ryža. 3.2Relatívna poloha čiar

Čiary v priestore môžu voči sebe zaberať jednu z troch pozícií:

1) byť paralelné;

2) pretínajú sa;

3) krížiť sa.

Paralelnésa nazývajú priame čiary, ktoré ležia v rovnakej rovine a nemajú žiadne spoločné body.

Ak sú čiary navzájom rovnobežné, potom na KN sú rovnobežné aj ich výbežky s rovnakým názvom (pozri časť 1.2).

.

Pretínajúce sasa nazývajú priame čiary, ktoré ležia v rovnakej rovine a majú jeden spoločný bod.

Pri pretínajúcich sa čiarach na KN sa výbežky rovnakého mena pretínajú v výbežkoch bodu A. Okrem toho čelné () a horizontálne () projekcie tohto bodu musia byť na rovnakej komunikačnej línii.

.

Kríženiesa nazývajú čiary, ktoré ležia v rovnobežných rovinách a nemajú spoločné body.

Ak sa priamky pretínajú, tak na KN sa ich výbežky rovnakého mena môžu pretínať, ale priesečníky výbežkov rovnakého mena nebudú ležať na tej istej spojovacej línii.

Na obr. 3,4 bodu S patrí do línie b a bod D- rovný A. Tieto body sú v rovnakej vzdialenosti od čelnej roviny projekcií. Podobne ako bod E A F patria k rôznym čiaram, ale sú v rovnakej vzdialenosti od horizontálnej roviny projekcií. Preto sa na KN ich čelné projekcie zhodujú.

Existujú dva možné prípady umiestnenia bodu vzhľadom na rovinu: bod môže do roviny patriť alebo do nej nepatriť (obr. 3.5).

Znak príslušnosti bodu a priamej roviny:

Bod patrí rovine, ak patrí k priamke ležiacej v tejto rovine.

Priamka patrí k rovine, ak má s ňou dva spoločné body alebo má s ňou jeden spoločný bod a je rovnobežná s inou priamkou ležiacou v tejto rovine.

Na obr. 3.5 znázorňuje rovinu a body D A E. Bodka D patrí do roviny, pretože patrí k čiare l, ktorá má s touto rovinou dva spoločné body - 1 A A. Bodka E nepatrí do lietadla, lebo nie je možné cez ňu nakresliť priamku ležiacu v danej rovine.

Jedným z problémov, na ktorý sa používajú nivelačné čiary, je problém konštrukcie priemetov bodu patriaceho do roviny. Nech existuje nárysný priemet D 2 bodu D, ktorý patrí do roviny definovanej stopami k X l (obr. 111, a). Je potrebné nájsť vodorovný priemet D 1 bodu D.

Bod patrí do roviny, ak patrí k priamke patriacej do roviny. Úlohu riešime pomocou horizontály h roviny k X l. Cez bod D 2 nakreslíme nárysný priemet h 2 tejto vodorovnej čiary, ktorá, ako je známe, by mala byť rovnobežná s osou x 12 (obr. 111 b). Bude pretínať čelný priemet k 2 čelnej stopy k do bodu N 2 ; Po nakreslení zvislej spojnice nájdeme na osi priemetu x 12 vodorovný priemet čelnej stopy N horizontály (pozri obr. 108).

TBegin-->TEnd-->

Vodorovný priemet h 1 horizontály musí byť rovnobežný s l 1. Vodorovný priemet D 1 bodu D nájdeme na vodorovnom priemete h 1 horizontály v bode jej priesečníka so zvislou spojnicou vedenou bodom D. 2.

Tento problém by sa dal vyriešiť aj pomocou predného. V tomto prípade by bolo potrebné nakresliť čelný priemet f 2 ||k 2 cez bod D 2. Študentom radíme, aby si stavbu dokončili sami. Výsledok by mal byť rovnaký ako pri prvej konštrukcii.

Zmeňme trochu podmienky problému. Nech je daný vodorovný priemet E 1 bodu E a roviny ABC, definovanej priemetmi trojuholníka (obr. 112, a), V tejto úlohe nemôžete použiť horizontálu roviny, keďže neexistuje čelný priemet bodu E. Používame čelné f; cez bod E 1 nakreslíme vodorovný priemet (x čelný), nájdeme jeho čelný priemet l2 a na ňom bod E 1.

Bod v rovine môže byť skonštruovaný nielen pomocou horizontálnej a čelnej, ale aj pomocou priamej čiary vo všeobecnej polohe. V niektorých prípadoch je to dokonca pohodlnejšie.

TBegin-->
Tend-->

Konštrukcia všeobecnej línie patriacej do všeobecnej roviny sa zásadne nelíši od konštrukcie horizontál a čel patriacich do roviny. Konštrukcia vychádza z polohy známej z geometrie: priamka patrí rovine, ak má s touto rovinou dva spoločné body. Ak teda jeden z priemetov roviny pretneme ľubovoľnou priamkou a použijeme dva priesečníky tejto priamky s priamkami patriacimi k rovine na zostrojenie druhého priemetu priamky, potom môžeme problém vyriešiť. Napríklad vyriešme predchádzajúci problém pomocou priamky vo všeobecnej polohe (obr. 112, b). Cez bod E 1 nakreslíme priamku D 1 F 1 ľubovoľného sklonu; pomocou priesečníkov D 1 a F 1 nájdeme čelný priemet D 2 F 2 priamky DF. V priesečníku nárysu D 2 F 2 s vertikálnou komunikačnou čiarou nájdeme nárys E 1 bodu E.

program na dnes: Animal Planet, Bloomberg, Channel 3, CNN, Ajara TV, Classic Sport, Amazing Life, AB Moteurs Luxe HD, Jetix, Jetix Play, Mezzo, HD Cinema, Discovery Channel, MCM, MGM, HD Life, Discovery Veda.

Bod patrí k priamke, ak jeho priemetne ležia na rovnomenných priemetoch na tejto priamke (obr. 21a).

Bod patrí do roviny, ak leží na priamke ležiacej v tejto rovine (obr. 21b).

Priamka patrí rovine, ak prechádza dvoma bodmi ležiacimi v tejto rovine (obr. 21c).

Čiara je rovnobežná s rovinou, ak je rovnobežná s akoukoľvek priamkou ležiacou v tejto rovine. Obrázok 22 znázorňuje priamku t rovnobežnú s priamkou b patriacou k rovine Σ: t // b О Σ (aÇ b).

Obrázok 22

Cez akýkoľvek bod v priestore môžete nakresliť nekonečný počet čiar rovnobežných s danou rovinou.

Toto je úloha na určenie spoločného bodu priamky a roviny. Nazýva sa aj miesto stretnutia. Uvažujme priesečník priamky s rovinou konkrétnej polohy.

Rovina Σ je definovaná trojuholníkom ABC a je horizontálne premietanou rovinou. Bod stretnutia priamky k s rovinou Σ je určený vodorovným priemetom. Čelná projekcia bodu K je dokončená pomocou komunikačnej línie. Symbolický zápis bude vyzerať takto: k Ç Σ (ABC) = K.

Viditeľnosť priamky vzhľadom na rovinu sa určuje pomocou čelne konkurujúcich bodov 1 a 2.

Obrázok 23

Priesečník priamky s všeobecnou rovinou je znázornený na obrázku 24. V tomto prípade je potrebné uzavrieť priamku v premietacej rovine.

tО Σ ^ П 2 - priamka t patrí do roviny Σ, ktorá je kolmá na vodorovnú rovinu priemetov. Priesečník tejto roviny s touto je priamka (1, 2). Potom sa nájde priesečník tejto priamky s priamkou t, ktorý bude bodom stretnutia priamky a roviny. Viditeľnosť čiary vzhľadom na rovinu sa určuje pomocou konkurenčných bodov. Zoberme si horizontálne súperiace body 3 a 4. Keďže bod 3, ktorý patrí priamke, sa ukázal byť nižšie ako bod 4, preto je priamka v horizontálnej rovine napravo od priesečníka neviditeľná. Potom vezmeme čelne súperiace body 1 a 5. Bod 1, ktorý patrí rovine, leží bližšie, teda priamka je za rovinou a pri čelnom priemete z bodu 1 do bodu K je neviditeľná.

Obrázok 24

Medzi špeciálne priamky patriace k rovine patria horizontálne, čelné a profilové priamky. Konštrukcia týchto čiar sa používa pri riešení mnohých problémov v deskriptívnej geometrii. Ich obraz je znázornený na obrázku 25. Okrem toho v horizontálnej rovine má horizontála prirodzenú veľkosť, v čelnej rovine - frontálna a v rovine profilu - profilová priamka.

Obrázok 25

1. Formulujte podmienky, aby bod patril rovine a priamka rovine.

2. Ako zostrojiť priamku rovnobežnú s danou rovinou?

3. Spomeňte si na etapy riešenia úlohy určenia priesečníka priamky a roviny.

4. Aké body sa nazývajú súťažné?

5. Ako nakresliť vodorovné a čelné čiary v rovine?

6. Aké ďalšie špeciálne rovné roviny poznáte?

Definícia.Čiara a rovina sa nazývajú rovnobežné, ak nemajú spoločné body (a ||)

Znak rovnobežnosti medzi priamkou a rovinou.

Veta. Ak je priamka, ktorá neleží v danej rovine, rovnobežná s nejakou priamkou, ktorá leží v tejto rovine, potom je rovnobežná so samotnou rovinou.

Závery.

Prípady vzájomnej polohy priamky a roviny:

A) priamka leží v rovine;
b) priamka a rovina majú len jeden spoločný bod;
c) priamka a rovina nemajú jeden spoločný bod.

Prípady vzájomného usporiadania lietadiel:

Vlastnosti rovnobežných rovín:

Úlohy a testy na tému "Téma 3." Rovnobežnosť priamky a roviny; rovnobežnosť rovín“.

• Paralelnosť rovín

  Lekcie: 1 Zadania: 8 Testy: 1

• Rovnobežnosť priamok, priamky a roviny - Rovnobežnosť čiar a rovín, stupeň 10
• Znaky rovnobežnosti dvoch čiar. Axióma rovnobežných čiar - Rovnobežné čiary stupeň 7

  Lekcie: 2 Zadania: 11 Testy: 1

• Relatívna poloha čiar v priestore. Uhol medzi rovnými čiarami - Rovnobežnosť čiar a rovín, stupeň 10

  Lekcie: 1 Zadania: 9 Testy: 1

• Kolmosť priamky a roviny - Kolmosť čiar a rovín, stupeň 10

  Lekcie: 1 Zadania: 10 Testy: 1

Téma „Axiómy stereometrie“ hrá dôležitú úlohu vo vývoji priestorových konceptov, preto sa snažte zapojiť viac modelov (kartóny a pletacie ihlice) a výkresov.

Téma „Paralelizmus vo vesmíre“ poskytuje poznatky o rovnobežnosti línií a rovín v priestore. Tento materiál sumarizuje informácie známe z planimetrie o rovnobežnosti priamok. Na príklade vety o existencii a jedinečnosti priamky rovnobežnej s danou, získate predstavu o potrebe znovu dokázať skutočnosti známe z planimetrie v prípadoch, keď hovoríme o bodoch a čiarach v priestore. a nie o konkrétnej rovine.

Problémy dokazovania sa v mnohých prípadoch riešia analogicky s dokazovacími vetami. Na vyriešenie problémov s výpočtom dĺžok úsečiek je potrebné zopakovať kurz planimetrie: rovnosť a podobnosť trojuholníkov, definície, vlastnosti a charakteristiky obdĺžnika, rovnobežníka, kosoštvorca, štvorca, lichobežníka.

Známky spolupatričnosti sú dobre známe z kurzu planimetrie. Našou úlohou je uvažovať ich vo vzťahu k projekciám geometrických objektov.

Bod patrí do roviny, ak patrí do priamky ležiacej v tejto rovine.

Príslušnosť k priamej rovine je určená jedným z dvoch kritérií:

a) dvoma bodmi ležiacimi v tejto rovine prechádza priamka;

b) bodom prechádza priamka a je rovnobežná s priamkami ležiacimi v tejto rovine.

Pomocou týchto vlastností vyriešme problém ako príklad. Nech je rovina definovaná trojuholníkom ABC. Je potrebné vytvoriť chýbajúcu projekciu D 1 bod D patriace do tejto roviny. Postupnosť konštrukcií je nasledovná (obr. 2.5).

Ryža. 2.5. Zostrojiť projekcie bodu patriaceho do roviny

Cez bod D 2 vykonáme priamkové premietanie d, ležiaci v lietadle  ABC, ktorá pretína jednu zo strán trojuholníka a bod A 2. Potom bod 1 2 patrí čiaram A 2 D 2 a C 2 IN 2. Preto môžeme získať jeho horizontálny priemet 1 1 na C 1 IN 1 cez komunikačnú linku. Spojovacie body 1 1 a A 1, dostaneme vodorovnú projekciu d 1. Je jasné, že pointa D 1 patrí k nej a leží na línii projekčného spojenia s bodom D 2 .

Problémy určenia, či patrí bod alebo priama rovina, sa riešia pomerne jednoducho. Na obr. Na obrázku 2.6 je znázornený priebeh riešenia takýchto problémov. Pre názornosť prezentácie úlohy definujeme rovinu trojuholníkom.

Ryža. 2.6. Úlohy na určenie, či bod patrí do priamej roviny.

Aby bolo možné určiť, či bod patrí E lietadlo  ABC, nakreslite priamku cez jej čelný priemet E 2 A 2. Za predpokladu, že priamka a patrí do roviny  ABC, zostrojme jeho vodorovný priemet A 1 v priesečníkoch 1 a 2. Ako vidíme (obr. 2.6, a), rovno A 1 neprechádza cez bod E 1. Preto pointa E ABC.

V probléme príslušnosti k línii V trojuholníkové roviny ABC(obr. 2.6, b), stačí použiť jednu z priamkových projekcií V 2 postaviť ďalší V 1 * vzhľadom na to V ABC. Ako vidíme, V 1* a V 1 sa nezhodujú. Preto rovno V   ABC.

2.4. Vyrovnané čiary v rovine

Definícia úrovňových čiar bola uvedená skôr. Úrovňové čiary patriace do danej roviny sa nazývajú Hlavná . Tieto čiary (priamky) zohrávajú významnú úlohu pri riešení množstva problémov deskriptívnej geometrie.

Uvažujme zostrojenie nivelačných čiar v rovine definovanej trojuholníkom (obr. 2.7).

Ryža. 2.7. Zostrojenie hlavných čiar roviny definovanej trojuholníkom

Horizontálna rovina  ABC začneme nakreslením jeho čelnej projekcie h 2, o ktorom je známe, že je rovnobežný s osou OH. Keďže táto vodorovná čiara patrí do tejto roviny, prechádza dvoma bodmi roviny  ABC, konkrétne body A a 1. majú ich čelné projekcie A 2 a 1 2, cez komunikačnú líniu získame horizontálne projekcie ( A 1 už existuje) 1 1 . Spájanie bodiek A 1 a 11 máme vodorovnú projekciu h 1 horizontálna rovina  ABC. Projekcia profilu h 3 horizontálne roviny  ABC bude rovnobežná s osou OH a-priorstvo.

Predná rovina  ABC je konštruovaný podobným spôsobom (obr. 2.7) len s tým rozdielom, že jeho kresba začína vodorovným priemetom f 1, pretože je známe, že je rovnobežná s osou OX. Projekcia profilu f 3 čelá musia byť rovnobežné s osou OZ a prechádzať cez výstupky S 3, 2 3 tých istých bodov S a 2.

Profilová čiara roviny  ABC má horizontálu R 1 a spredu R 2 výstupky rovnobežné s osami OY A OZ a projekcia profilu R 3 možno získať spredu pomocou priesečníkov IN a 3 s  ABC.

Pri konštrukcii hlavných línií roviny si musíte pamätať iba na jedno pravidlo: na vyriešenie problému musíte vždy získať dva priesečníky s danou rovinou. Konštrukcia hlavných línií ležiacich v rovine definovanej iným spôsobom nie je o nič zložitejšia, ako je uvedené vyššie. Na obr. Obrázok 2.8 znázorňuje konštrukciu vodorovnej a čelnej roviny vymedzenej dvoma pretínajúcimi sa priamkami A A V.

Ryža. 2.8. Konštrukcia hlavných čiar roviny definovanej pretínajúcimi sa priamkami.