Pyramída- toto je mnohosten, v ktorom jedna strana je základňou pyramídy - ľubovoľný mnohouholník a zvyšok sú bočné steny - trojuholníky so spoločným vrcholom, nazývané vrchol pyramídy. Kolmica spadnutá z vrcholu pyramídy na jej základňu sa nazýva výška pyramídy. Pyramída sa nazýva trojuholníková, štvoruholníková atď., ak základňou pyramídy je trojuholník, štvoruholník atď. Trojuholníková pyramída je štvorsten - štvorsten. Štvoruholník - päťuholník atď.
Pyramída, Skrátená pyramída
Správna pyramída
Ak je základňa pyramídy pravidelným mnohouholníkom a výška padá do stredu základne, potom je pyramída pravidelná. V pravidelnej pyramíde sú všetky bočné hrany rovnaké, všetky bočné steny sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Výška trojuholníka bočnej steny pravidelnej pyramídy sa nazýva - apotém pravidelnej pyramídy.
Skrátená pyramída
Časť rovnobežná so základňou pyramídy rozdeľuje pyramídu na dve časti. Časť pyramídy medzi jej základňou a touto časťou je zrezaná pyramída . Táto časť pre zrezanú pyramídu je jednou z jej základov. Vzdialenosť medzi základňami zrezaného ihlana sa nazýva výška zrezaného ihlana. Zrezaná pyramída sa nazýva pravidelná, ak pyramída, z ktorej bola odvodená, bola pravidelná. Všetky bočné strany pravidelnej zrezanej pyramídy sú rovnaké rovnoramenné lichobežníky. Výška lichobežníka bočnej steny pravidelného zrezaného ihlana sa nazýva - apotém pravidelnej zrezanej pyramídy.
Polyhedra. Podstatné prvky. Konvexné a nekonvexné mnohosteny.
Mnohosten je ohraničené teleso, ktorého povrch pozostáva z konečného počtu mnohouholníkov. Polygóny, ktoré tvoria polyedrický povrch, sa nazývajú jeho okraje, ich strany sú jej rebrá, a ich vrcholy sú vrcholov mnohostranný povrch. Segmenty spájajúce vrcholy mnohostenu, ktoré nepatria k tej istej ploche, sa nazývajú uhlopriečky. Jednoduchý mnohosten (dvojrozmerný alebo trojrozmerný) sa nazýva konvexné, ak sa nachádza na jednej strane akejkoľvek roviny obsahujúcej jej plochu (napríklad: kocka, hranol, ihlany, zrezané ihlany atď.). Descartes-Eulerova veta o mnohostenoch. T1: Súčet počtu vrcholov a počtu plôch konvexného mnohostenu je o 2 jednotky väčší ako počet jeho hrán (B+G=P+2). T2: Eulerova charakteristika konvexného mnohostenu sa rovná dvom. Konvexné pravidelné mnohosteny. Mnohosten je tzv správne ak sú všetky jeho steny pravidelné mnohouholníky a všetky polyedrické uhly vo vrcholoch sú rovnaké a pravidelné. Mnohostenný uhol sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho uhly vodorovnej polohy rovnaké a všetky rovinné uhly sú si navzájom rovné. Poznámka: 1. Hovoria, že 2 pravidelné mnohosteny sú rovnakého typu, ak majú rovnaké nasledujúce charakteristiky: počet vrcholov - B, počet plôch - G, počet hrán - P, počet vrcholov na každej ploche - n, počet plôch v každom vrchole s. 2. Konvexné pravidelné mnohosteny by sa nemali zamieňať s pravidelným hranolom, pravidelnou pyramídou alebo pravou zrezanou pyramídou, pretože pri menovaných obrazcoch sú rovnaké iba okraje podstav a bočné hrany sa nemusia rovnať okrajom podstavy a navyše nie všetky ich plochy sú rovnaké mnohouholníky. Existuje 5 typov pravidelných konvexných mnohostenov: štvorsten, šesťsten, osemsten, dvanásťsten, dvadsaťsten. Nekonvexný mnohosten– mnohosten umiestnený na opačných stranách roviny jednej z jeho plôch. Existujú 4 typy (alebo Kepler-Poinsotove telesá): väčší dvadsaťsten, malý hviezdicový dvanásťsten, väčší dvadsaťsten hviezdicový.
Hranol. Podstatné prvky. Priame a šikmé hranoly. Správny hranol. Zostrojenie obrazu hranola.
Hranol – mnohosten, v ktorom sú 2 strany, nazývané základne hranola, rovnaké a ich zodpovedajúce strany sú rovnobežné a zvyšné strany sú rovnobežníky, z ktorých každá 2 strany sú zodpovedajúce strany základne. Strany bočných plôch sú tzv základné rebrá, strany podstavcov sa nazývajú základné rebrá, vrcholy podstav sa nazývajú vrcholy hranola. Všetky sú si navzájom rovné, rovnaké a rovnobežné s príslušnými stranami základne. Výška hranola je vzdialenosť medzi rovinami a jeho základňami. Hranol je tzv rovno, ak sú jeho bočné okraje kolmé na základňu. V tomto prípade sú bočné rebrá vo výške rovného hranolu. Priamy hranol má pravouhlé bočné steny. Šikmý hranol- hranol, ktorého bočné hrany nie sú kolmé na podložku. Priamy hranol sa nazýva správne, ak je jeho základňou pravidelný mnohosten . Stavebníctvo: Najprv je postavený jeden zo základov. Toto bude nejaký plochý polygón. Potom sa bočné hrany hranola vytiahnu z vrcholov mnohouholníka vo forme rovnobežných segmentov rovnakej dĺžky. Konce týchto segmentov sú spojené a získa sa ďalšia základňa hranola. Neviditeľné okraje sú nakreslené prerušovanými čiarami.
Rovnobežníkovité. Podstatné prvky. Vlastnosti rovnobežnostenu. Rovný a pravouhlý rovnobežnosten. Kocka Zostrojenie obrazu rovnobežky a kocky.
Rovnobežník je hranol, ktorého základňou je rovnobežník. Rovnobežník má 8 vrcholov, 12 hrán, 6 plôch. Prvky: 2 strany rovnobežnostena, ktoré nemajú spoločnú hranu, sa nazývajú protiľahlé a tie, ktoré majú spoločnú hranu, sa nazývajú susedné. Dva vrcholy rovnobežky, ktoré nepatria k tej istej ploche, sa nazývajú opačné. Segment spájajúci protiľahlé vrcholy sa nazýva paralelná diagonála. Dĺžky troch hrán pravouhlej rovnobežky so spoločným vrcholom sa nazývajú jej rozmery. Vlastnosti: 1. V rovnobežnostene sa všetky jeho uhlopriečky pretínajú v jednom bode a sú týmto bodom rozpolené. 2. Protiľahlé strany rovnobežky sú rovnaké a rovnobežné v pároch. 3. Bočné strany pravého rovnobežnostena sú obdĺžniky. 4. Druhá mocnina dĺžky uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sa rovná súčtu štvorcov jeho troch rozmerov. Obdĺžnikový rovnobežnosten - rovný rovnobežnosten, ktorého základňou sú obdĺžniky rovnobežné a navzájom rovnaké . Rovno Rovnobežník je rovnobežnosten, ktorého bočné okraje sú kolmé na základňu. Vo všeobecnom prípade je však základňou pravého rovnobežnostena rovnobežník. Ale na základni pravouhlého rovnobežnostena musí byť obdĺžnik. Kocka je pravouhlý rovnobežnosten, ktorého všetky hrany sú rovnaké, t.j. ktorých všetky plochy sú štvorce. Druhá mocnina uhlopriečky kocky = 3*A (druhá mocnina), A je rozmer kocky. Konštrukcia: Rovnobežnosten môžete postaviť pomocou bežného a trojuholníkového pravítka. Podstatou konštrukcií je paralelné kreslenie všetkých čiar geometrického útvaru; Na zostavenie kocky vo všetkých týchto polohách stačí zostrojiť prednú plochu, nakresliť čiary od štyroch rohov po úbežník, na tieto čiary rozložiť hornú a spodnú hranu a spojiť ich.
Pyramída. Podstatné prvky. Správna pyramída, jej vlastnosti. Zostrojenie obrazu pyramídy.
Pyramída- mnohosten, ktorého jedna strana je plochý mnohouholník (základňa pyramídy) a zvyšné strany (bočné strany) sú trojuholníky so spoločným vrcholom a ich spoločným vrcholom - vrchol pyramídy.
Výška- kolmica znížená z vrcholu pyramídy na rovinu jej podstavy, ako aj dĺžka tejto kolmice.
Pyramída je tzv správne, ak jeho základňa je pravidelný mnohouholník a jeho výška prechádza stredom tohto mnohouholníka.
Výška bočnej steny pravidelnej pyramídy je apotéma.
Rez pyramídy rovinou prechádzajúcou vrcholom pyramídy a uhlopriečkou základne - diagonálny rez pyramídy.
Vlastnosti pravidelnej pyramídy:
1. Apotémy sú si rovné.
2. Výška prechádza stredom základne.
3. Bočné rebrá sú rovnaké medzi sebou
4. všetky bočné strany sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky
5. plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne a apotému
6. všetky bočné strany zvierajú rovnaké uhly s rovinou podstavy pravidelného ihlana
7. všetky výšky bočných plôch sú navzájom rovnaké
Na zobrazenie správnej pyramídy, najprv nakreslite pravidelný mnohouholník ležiaci na základni a jeho stredom je bod O. Potom nakreslite vertikálny segment OS, znázorňujúci výšku pyramídy. Bod S je spojený so všetkými vrcholmi základne.
Vzorec pre bočnú plochu pre pravidelnú pyramídu: ½ h * P základňa
Definícia
Pyramída je mnohosten zložený z mnohouholníka \(A_1A_2...A_n\) a \(n\) trojuholníkov so spoločným vrcholom \(P\) (neležiacim v rovine mnohouholníka) a protiľahlých strán, ktoré sa zhodujú s strany mnohouholníka.
Označenie: \(PA_1A_2...A_n\) .
Príklad: päťuholníková pyramída \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Trojuholníky \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) atď. sa volajú bočné steny pyramídy, segmenty \(PA_1, PA_2\) atď. – bočné rebrá, mnohouholník \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – základ, bod \(P\) – top.
Výška pyramídy sú kolmicou zostupujúcou z vrcholu pyramídy k rovine základne.
Pyramída s trojuholníkom na základni sa nazýva štvorsten.
Pyramída je tzv správne, ak je jeho základňou pravidelný mnohouholník a je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:
\((a)\) bočné okraje pyramídy sú rovnaké;
\((b)\) výška pyramídy prechádza stredom kružnice opísanej blízko základne;
\((c)\) bočné rebrá sú sklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom.
\((d)\) bočné plochy sú naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom.
Pravidelný štvorsten je trojuholníková pyramída, ktorej všetky strany sú rovnaké rovnostranné trojuholníky.
Veta
Podmienky \((a), (b), (c), (d)\) sú ekvivalentné.
Dôkaz
Zistime výšku pyramídy \(PH\) . Nech \(\alpha\) je rovina podstavy pyramídy.
1) Dokážme, že z \((a)\) vyplýva \((b)\) . Nech \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Pretože \(PH\perp \alpha\), potom je \(PH\) kolmé na akúkoľvek priamku ležiacu v tejto rovine, čo znamená, že trojuholníky sú pravouhlé. To znamená, že tieto trojuholníky sú rovnaké v spoločnej vetve \(PH\) a prepone \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . To znamená \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . To znamená, že body \(A_1, A_2, ..., A_n\) sú v rovnakej vzdialenosti od bodu \(H\), teda ležia na rovnakej kružnici s polomerom \(A_1H\) . Tento kruh je podľa definície opísaný okolo mnohouholníka \(A_1A_2...A_n\) .
2) Dokážme, že \((b)\) implikuje \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) obdĺžnikové a rovnaké na dvoch nohách. To znamená, že ich uhly sú tiež rovnaké, \(\uhol PA_1H=\uhol PA_2H=...=\uhol PA_nH\).
3) Dokážme, že \((c)\) implikuje \((a)\) .
Podobne ako v prvom bode, trojuholníky \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravouhlé pozdĺž nohy a ostrého uhla. To znamená, že aj ich prepony sú rovnaké, teda \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Dokážme, že \((b)\) implikuje \((d)\) .
Pretože v pravidelnom mnohouholníku sa stredy opísanej a vpísanej kružnice zhodujú (všeobecne povedané, tento bod sa nazýva stred pravidelného mnohouholníka), potom \(H\) je stred opísanej kružnice. Nakreslíme kolmice z bodu \(H\) do strán podstavy: \(HK_1, HK_2\) atď. Toto sú polomery vpísanej kružnice (podľa definície). Potom podľa TTP (\(PH\) je kolmica na rovinu, \(HK_1, HK_2\) atď. sú projekcie kolmé na strany) naklonené \(PK_1, PK_2\) atď. kolmo na strany \(A_1A_2, A_2A_3\) atď. resp. Takže podľa definície \(\uhol PK_1H, \uhol PK_2H\) rovné uhlom medzi bočnými plochami a základňou. Pretože trojuholníky \(PK_1H, PK_2H, ...\) sú rovnaké (ako pravouhlé na dvoch stranách), potom uhly \(\uhol PK_1H, \uhol PK_2H, ...\) sú si rovné.
5) Dokážme, že \((d)\) implikuje \((b)\) .
Podobne ako vo štvrtom bode sú trojuholníky \(PK_1H, PK_2H, ...\) rovnaké (ako pravouhlé pozdĺž nohy a ostrý uhol), čo znamená, že segmenty \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sú rovnaké rovný. To podľa definície znamená, že \(H\) je stred kruhu vpísaného do základne. Ale pretože V prípade pravidelných mnohouholníkov sa stredy vpísanej a opísanej kružnice zhodujú, potom je \(H\) stredom kružnice opísanej. Chtd.
Dôsledok
Bočné steny pravidelnej pyramídy sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky.
Definícia
Výška bočnej steny pravidelnej pyramídy vytiahnutej z jej vrcholu sa nazýva apotéma.
Apotémy všetkých bočných stien pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovné a sú to tiež stredy a stredy.
Dôležité poznámky
1. Výška pravidelnej trojuholníkovej pyramídy spadá do priesečníka výšok (alebo polôh alebo stredníc) základne (základňa je pravidelný trojuholník).
2. Výška pravidelného štvorbokého ihlanu spadá do priesečníka uhlopriečok podstavy (podstavou je štvorec).
3. Výška pravidelného šesťhranného ihlanu spadá do priesečníka uhlopriečok podstavy (podstavou je pravidelný šesťuholník).
4. Výška pyramídy je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu na základni.
Definícia
Pyramída je tzv pravouhlý, ak je jedna z jeho bočných hrán kolmá na rovinu podstavy.
Dôležité poznámky
1. V pravouhlej pyramíde je hrana kolmá na základňu výškou pyramídy. To znamená, že \(SR\) je výška.
2. Pretože \(SR\) je teda kolmá na akúkoľvek čiaru od základne \(\trojuholník SRM, \trojuholník SRP\)– pravouhlé trojuholníky.
3. Trojuholníky \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- tiež pravouhlý.
To znamená, že akýkoľvek trojuholník tvorený touto hranou a uhlopriečkou vychádzajúca z vrcholu tejto hrany ležiacej na základni bude pravouhlý.
\[(\Veľký(\text(Objem a povrch pyramídy)))\]
Veta
Objem pyramídy sa rovná jednej tretine súčinu plochy základne a výšky pyramídy: \
Dôsledky
Nech \(a\) je strana základne, \(h\) je výška pyramídy.
1. Objem pravidelného trojuholníkového ihlana je \(V_(\text(pravý trojuholník.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Objem pravidelného štvorbokého ihlana je \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Objem pravidelného šesťhranného ihlana je \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Objem pravidelného štvorstenu je \(V_(\text(pravé tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Veta
Plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy sa rovná polovičnému súčinu obvodu základne a apotému.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Definícia
Uvažujme ľubovoľnú pyramídu \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Narysujme rovinu rovnobežnú so základňou pyramídy cez určitý bod ležiaci na bočnej hrane pyramídy. Táto rovina rozdelí pyramídu na dva mnohosteny, z ktorých jeden je pyramída (\(PB_1B_2...B_n\)) a druhý je tzv. zrezaná pyramída(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Zrezaná pyramída má dve základne - mnohouholníky \(A_1A_2...A_n\) a \(B_1B_2...B_n\), ktoré sú si navzájom podobné.
Výška zrezaného ihlana je kolmica vedená z niektorého bodu hornej základne k rovine spodnej základne.
Dôležité poznámky
1. Všetky bočné strany zrezaného ihlana sú lichobežníky.
2. Úsečka spájajúca stredy podstav pravidelného zrezaného ihlana (teda pyramídy získanej prierezom pravidelného ihlana) je výška.
Úvod
Keď sme začali študovať stereometrické obrazce, dotkli sme sa témy „Pyramída“. Táto téma sa nám páčila, pretože pyramída je veľmi často využívaná v architektúre. A keďže naša budúca profesia architektúry je inšpirovaná touto postavou, myslíme si, že nás môže posunúť k vynikajúcim projektom.
Sila architektonických štruktúr je ich najdôležitejšou kvalitou. Spojenie pevnosti, po prvé, s materiálmi, z ktorých sú vytvorené, a po druhé, s vlastnosťami dizajnových riešení sa ukazuje, že pevnosť konštrukcie priamo súvisí s geometrickým tvarom, ktorý je pre ňu základ.
Inými slovami, hovoríme o geometrickom útvare, ktorý možno považovať za model zodpovedajúcej architektonickej formy. Ukazuje sa, že geometrický tvar určuje aj silu architektonickej štruktúry.
Od staroveku boli egyptské pyramídy považované za najodolnejšie architektonické stavby. Ako viete, majú tvar pravidelných štvoruholníkových pyramíd.
Práve tento geometrický tvar poskytuje najväčšiu stabilitu vďaka veľkej základnej ploche. Na druhej strane pyramídový tvar zaisťuje, že hmotnosť klesá so zvyšujúcou sa výškou nad zemou. Práve tieto dve vlastnosti robia pyramídu stabilnou, a teda pevnou v podmienkach gravitácie.
Cieľ projektu: naučte sa niečo nové o pyramídach, prehĺbte si vedomosti a nájdite praktické uplatnenie.
Na dosiahnutie tohto cieľa bolo potrebné vyriešiť nasledujúce úlohy:
· Naučte sa historické informácie o pyramíde
· Zvážte pyramídu ako geometrický útvar
· Nájsť uplatnenie v živote a architektúre
· Nájdite podobnosti a rozdiely medzi pyramídami nachádzajúcimi sa v rôznych častiach sveta
Teoretická časť
Historické informácie
Geometria pyramíd začala v starovekom Egypte a Babylone, ale aktívne sa rozvíjala v starovekom Grécku. Prvý, kto určil objem pyramídy, bol Democritus a Eudoxus z Cnidu to dokázal. Staroveký grécky matematik Euclid systematizoval poznatky o pyramíde v XII zväzku svojich „Elementov“ a odvodil aj prvú definíciu pyramídy: pevná postava ohraničená rovinami, ktoré sa zbiehajú z jednej roviny do jedného bodu.
Hrobky egyptských faraónov. Najväčšie z nich – Cheopsove, Khafre a Mikerinove pyramídy v El Gíze – boli v staroveku považované za jeden zo siedmich divov sveta. Stavba pyramídy, v ktorej už Gréci a Rimania videli pomník bezprecedentnej pýchy kráľov a krutosti, ktorá odsúdila celý Egypt na nezmyselné stavanie, bola najdôležitejším kultovým činom a mala zjavne vyjadrovať mystickú identitu krajiny a jej vládcu. Obyvateľstvo krajiny pracovalo na stavbe hrobky počas časti roka bez poľnohospodárskych prác. Množstvo textov svedčí o pozornosti a starostlivosti, ktorú stavbe svojej hrobky a jej staviteľom venovali samotní králi (hoci neskoršej doby). Je známe aj o špeciálnych kultových poctách, ktoré boli udelené samotnej pyramíde.
Základné pojmy
Pyramída sa nazýva mnohosten, ktorého základňou je mnohouholník a zvyšné plochy sú trojuholníky, ktoré majú spoločný vrchol.
Apothem- výška bočnej steny pravidelnej pyramídy vedená z jej vrcholu;
Bočné plochy- trojuholníky stretávajúce sa vo vrchole;
Bočné rebrá- spoločné strany bočných plôch;
Vrchol pyramídy- bod spájajúci bočné rebrá a neležiaci v rovine základne;
Výška- kolmý segment pretiahnutý cez vrchol pyramídy k rovine jeho základne (konce tohto segmentu sú vrchol pyramídy a základňa kolmice);
Diagonálny rez pyramídy- rez pyramídy prechádzajúci vrcholom a uhlopriečkou podstavy;
Základňa- mnohouholník, ktorý nepatrí k vrcholu pyramídy.
Základné vlastnosti pravidelnej pyramídy
Bočné okraje, bočné steny a apotémy sú v tomto poradí rovnaké.
Dihedrálne uhly na základni sú rovnaké.
Dihedrálne uhly na bočných okrajoch sú rovnaké.
Každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov základne.
Každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých bočných plôch.
Základné pyramídové vzorce
Plocha bočného a celkového povrchu pyramídy.
Plocha bočnej plochy pyramídy (plná a zrezaná) je súčtom plôch všetkých jej bočných plôch, celková plocha je súčtom plôch všetkých jej plôch.
Veta: Plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne a apotému pyramídy.
p- obvod základne;
h- apotéma.
Plocha bočných a plných plôch zrezanej pyramídy.
p 1, s 2 - obvody základne;
h- apotéma.
R- celková plocha pravidelnej zrezanej pyramídy;
S strana- plocha bočného povrchu pravidelnej zrezanej pyramídy;
S1 + S2- základná plocha
Objem pyramídy
Formulár objem ula sa používa pre pyramídy akéhokoľvek druhu.
H- výška pyramídy.
Rohy pyramídy
Uhly tvorené bočnou stenou a základňou pyramídy sa nazývajú dihedrálne uhly v základni pyramídy.
Dihedrálny uhol tvoria dve kolmice.
Na určenie tohto uhla musíte často použiť vetu o troch kolmých.
Nazývajú sa uhly, ktoré zviera bočná hrana a jej priemet na základnú rovinu uhly medzi bočnou hranou a rovinou základne.
Uhol, ktorý zvierajú dve bočné hrany, sa nazýva dihedrálny uhol na bočnom okraji pyramídy.
Uhol, ktorý tvoria dve bočné hrany jednej strany pyramídy, sa nazýva uhol na vrchole pyramídy.
Úseky pyramídy
Povrch pyramídy je povrchom mnohostenu. Každá z jej plôch je rovina, preto je rez pyramídy definovaný rovinou rezu prerušovanou čiarou pozostávajúcou z jednotlivých priamok.
Diagonálny rez
Rez pyramídy rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré neležia na rovnakej ploche, sa nazýva diagonálny rez pyramídy.
Paralelné úseky
Veta:
Ak pyramídu pretína rovina rovnobežná so základňou, potom sú bočné hrany a výšky pyramídy rozdelené touto rovinou na proporcionálne časti;
Rez tejto roviny je mnohouholník podobný základni;
Plochy rezu a základne sú vo vzájomnom vzťahu ako druhé mocniny ich vzdialeností od vrcholu.
Druhy pyramíd
Správna pyramída– pyramída, ktorej základňa je pravidelný mnohouholník a vrchol pyramídy sa premieta do stredu základne.
Pre bežnú pyramídu:
1. bočné rebrá sú rovnaké
2. bočné plochy sú rovnaké
3. apotémy sú si rovné
4. Dihedrálne uhly na základni sú rovnaké
5. dihedrálne uhly na bočných okrajoch sú rovnaké
6. každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov základne
7. každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých bočných hrán
Skrátená pyramída- časť pyramídy uzavretá medzi jej základňou a rovinou rezu rovnobežnou so základňou.
Základňa a zodpovedajúca časť zrezanej pyramídy sa nazývajú základne zrezanej pyramídy.
Nazýva sa kolmica vedená z akéhokoľvek bodu jednej základne k rovine druhej výška zrezanej pyramídy.
Úlohy
č. 1. V pravidelnom štvorhrannom ihlane je bod O stred podstavy, SO=8 cm, BD=30 cm Nájdite bočnú hranu SA.
Riešenie problémov
č. 1. V pravidelnej pyramíde sú všetky plochy a hrany rovnaké.
Zvážte OSB: OSB je obdĺžnikový obdĺžnik, pretože.
SB2=S02+OB2
SB2 = 64 + 225 = 289
Pyramída v architektúre
Pyramída je monumentálna stavba vo forme obyčajnej pravidelnej geometrickej pyramídy, v ktorej sa strany zbiehajú v jednom bode. Podľa svojho funkčného účelu boli pyramídy v dávnych dobách miestami pochovávania alebo kultového kultu. Základňa pyramídy môže byť trojuholníková, štvoruholníková alebo v tvare mnohouholníka s ľubovoľným počtom vrcholov, ale najbežnejšou verziou je štvoruholníková základňa.
Existuje značné množstvo pyramíd, ktoré postavili rôzne kultúry starovekého sveta, najmä ako chrámy alebo pamiatky. Medzi veľké pyramídy patria egyptské pyramídy.
Po celej Zemi môžete vidieť architektonické štruktúry v podobe pyramíd. Budovy pyramíd pripomínajú dávne časy a vyzerajú veľmi krásne.
Egyptské pyramídy sú najväčšími architektonickými pamiatkami starovekého Egypta, vrátane jedného zo „siedmich divov sveta“, Cheopsovej pyramídy. Od úpätia po vrchol dosahuje 137,3 m, a kým nestratil vrchol, jeho výška bola 146,7 m.
Budova rozhlasu v hlavnom meste Slovenska, pripomínajúca obrátenú pyramídu, bola postavená v roku 1983. Okrem kancelárií a obslužných priestorov sa vo vnútri zväzku nachádza pomerne priestranná koncertná sieň, ktorá má jeden z najväčších organov na Slovensku.
Louvre, ktorý je „tichý, nemenný a majestátny ako pyramída“, prešiel v priebehu storočí mnohými zmenami, kým sa stal najväčším múzeom na svete. Zrodila sa ako pevnosť, ktorú dal postaviť Filip Augustus v roku 1190 a ktorá sa čoskoro stala kráľovskou rezidenciou. V roku 1793 sa palác stal múzeom. Zbierky sa obohacujú prostredníctvom odkazov alebo nákupov.
Študenti sa stretávajú s pojmom pyramída dávno pred štúdiom geometrie. Na vine sú slávne veľké egyptské divy sveta. Preto, keď sa začína študovať tento nádherný mnohosten, väčšina študentov si to už jasne predstavuje. Všetky vyššie spomenuté atrakcie majú správny tvar. Čo sa stalo pravidelná pyramída, a aké vlastnosti má, bude diskutované ďalej.
V kontakte s
Definícia
Existuje pomerne veľa definícií pyramídy. Od dávnych čias bol veľmi populárny.
Napríklad Euklides ho definoval ako telesnú postavu pozostávajúcu z rovín, ktoré sa od jednej zbiehajú v určitom bode.
Heron poskytol presnejšiu formuláciu. Trval na tom, že toto bola postava má základňu a roviny v tvare trojuholníkov, zbiehajúce sa v jednom bode.
Na základe modernej interpretácie je pyramída reprezentovaná ako priestorový mnohosten, pozostávajúci z určitého k-uholníka a k plochých trojuholníkových útvarov, ktoré majú jeden spoločný bod.
Pozrime sa na to podrobnejšie, z akých prvkov pozostáva:
- K-uholník sa považuje za základ obrázku;
- 3-uholníkové tvary vyčnievajú ako okraje bočnej časti;
- horná časť, z ktorej pochádzajú bočné prvky, sa nazýva vrchol;
- všetky segmenty spájajúce vrchol sa nazývajú hrany;
- ak je priamka spustená z vrcholu do roviny obrázku pod uhlom 90 stupňov, potom jej časť obsiahnutá vo vnútornom priestore je výškou pyramídy;
- v ktoromkoľvek bočnom prvku môže byť na stranu nášho mnohostena nakreslená kolmica, nazývaná apotém.
Počet hrán sa vypočíta pomocou vzorca 2*k, kde k je počet strán k-uholníka. Koľko stien má mnohosten, napríklad pyramída, možno určiť pomocou výrazu k+1.
Dôležité! Pyramída pravidelného tvaru je stereometrický útvar, ktorého základná rovina je k-uholník s rovnakými stranami.
Základné vlastnosti
Správna pyramída má veľa vlastností, ktoré sú pre ňu jedinečné. Poďme si ich vymenovať:
- Základom je figúrka správneho tvaru.
- Okraje pyramídy, ktoré obmedzujú bočné prvky, majú rovnaké číselné hodnoty.
- Bočné prvky sú rovnoramenné trojuholníky.
- Základňa výšky obrazca spadá do stredu mnohouholníka, pričom je súčasne stredovým bodom vpísaného a opísaného.
- Všetky bočné rebrá sú naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom.
- Všetky bočné plochy majú rovnaký uhol sklonu vzhľadom na základňu.
Vďaka všetkým uvedeným vlastnostiam je vykonávanie výpočtov prvkov oveľa jednoduchšie. Na základe vyššie uvedených vlastností venujeme pozornosť dva znaky:
- V prípade, že mnohouholník zapadá do kruhu, bočné strany budú mať rovnaké uhly so základňou.
- Pri opise kruhu okolo mnohouholníka budú mať všetky hrany pyramídy vychádzajúce z vrcholu rovnakú dĺžku a rovnaké uhly so základňou.
Základom je štvorec
Pravidelná štvorhranná pyramída - mnohosten, ktorého základňa je štvorec.
Má štyri bočné plochy, ktoré majú rovnoramenný vzhľad.
Štvorec je znázornený na rovine, ale je založený na všetkých vlastnostiach pravidelného štvoruholníka.
Napríklad, ak je potrebné spojiť stranu štvorca s jeho uhlopriečkou, potom použite nasledujúci vzorec: uhlopriečka sa rovná súčinu strany štvorca a druhej odmocniny z dvoch.
Je založená na pravidelnom trojuholníku
Pravidelný trojuholníkový ihlan je mnohosten, ktorého základňa je pravidelný 3-uholník.
Ak je základňa pravidelný trojuholník a bočné okraje sa rovnajú okrajom základne, potom takýto obrázok nazývaný štvorsten.
Všetky strany štvorstenu sú rovnostranné 3-uholníky. V tomto prípade musíte poznať niektoré body a nestrácať čas pri výpočte:
- uhol sklonu rebier k akejkoľvek základni je 60 stupňov;
- veľkosť všetkých vnútorných plôch je tiež 60 stupňov;
- ako základ môže pôsobiť akákoľvek tvár;
- , nakreslené vo vnútri obrázku, sú to rovnaké prvky.
Úseky mnohostenu
V každom mnohostene sú niekoľko typov sekcií plochý. Na kurze školskej geometrie často pracujú s dvoma:
- axiálne;
- paralelne so základom.
Osový rez sa získa pretínaním mnohostenu s rovinou, ktorá prechádza cez vrchol, bočné hrany a os. V tomto prípade je osou výška nakreslená od vrcholu. Rovina rezu je obmedzená priesečníkmi so všetkými plochami, výsledkom čoho je trojuholník.
Pozor! V pravidelnej pyramíde je osový rez rovnoramenný trojuholník.
Ak rovina rezu prebieha rovnobežne so základňou, výsledkom je druhá možnosť. V tomto prípade máme prierez podobný základni.
Napríklad, ak je na základni štvorec, potom rez rovnobežný so základňou bude tiež štvorec, len menších rozmerov.
Pri riešení úloh za tejto podmienky používajú znaky a vlastnosti podobnosti obrázkov, na základe Thalesovej vety. V prvom rade je potrebné určiť koeficient podobnosti.
Ak je rovina nakreslená rovnobežne so základňou a odreže hornú časť mnohostenu, potom v spodnej časti vznikne pravidelná zrezaná pyramída. Potom sa hovorí, že základne skráteného mnohostenu sú podobné mnohouholníky. V tomto prípade sú bočné steny rovnoramenné lichobežníky. Axiálny rez je tiež rovnoramenný.
Na určenie výšky zrezaného mnohostenu je potrebné nakresliť výšku v osovom reze, to znamená v lichobežníku.
Plochy povrchu
Hlavné geometrické problémy, ktoré je potrebné vyriešiť v školskom kurze geometrie, sú zistenie povrchu a objemu pyramídy.
Existujú dva typy hodnôt povrchovej plochy:
- plocha bočných prvkov;
- plocha celého povrchu.
Už z názvu je jasné, o čom hovoríme. Bočný povrch obsahuje iba bočné prvky. Z toho vyplýva, že na jeho nájdenie stačí sčítať plochy bočných rovín, teda plochy rovnoramenných 3-uholníkov. Pokúsme sa odvodiť vzorec pre oblasť bočných prvkov:
- Plocha rovnoramenného 3-uholníka je Str=1/2(aL), kde a je strana základne, L je apotém.
- Počet bočných rovín závisí od typu k-uholníka na základni. Napríklad pravidelná štvorhranná pyramída má štyri bočné roviny. Preto je potrebné sčítať plochy štyroch číslic Sstrana=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Výraz je takto zjednodušený, pretože hodnota je 4a = Rosn, kde Rosn je obvod základne. A výraz 1/2*Rosn je jeho polobvod.
- Dospeli sme teda k záveru, že plocha bočných prvkov pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu polobvodu základne a apotému: Sside = Rosn * L.
Plocha celkového povrchu pyramídy pozostáva zo súčtu plôch bočných rovín a základne: Sp.p. = Sside + Sbas.
Pokiaľ ide o oblasť základne, tu sa vzorec používa podľa typu polygónu.
Objem pravidelnej pyramídy rovná súčinu plochy základnej roviny a výšky delenej tromi: V=1/3*Sbas*H, kde H je výška mnohostenu.
Čo je pravidelná pyramída v geometrii
Vlastnosti pravidelnej štvorhrannej pyramídy
