Témou tohto čísla je priraďovanie afinných transformácií v maticovom tvare. Táto téma je v podstate zhrnutím všetkého, čo bolo povedané skôr.

Definícia.Rovinná transformácia sa nazýva afinný, Ak

• je to jedna k jednej;
• obraz akejkoľvek priamky je priamka.

Transformácia sa nazýva jeden na jedného, Ak

• rôzne body smerujú k rôznym;
• ku každému bodu patrí nejaký bod.

Homogénne súradnice

Ak vezmeme do úvahy paralelný prenos, ukáže sa, že matica 2x2 už na jeho definovanie nestačí. Dá sa to však špecifikovať pomocou matice 3x3. Vzniká otázka, kde získať tretiu súradnicu dvojrozmerného bodu?

Definícia.Homogénne súradnice - súradnice, ktoré majú vlastnosť, že objekt, ktorý definujú, sa nemení, keď sú všetky súradnice vynásobené rovnakým číslom.

Súradnice homogénneho vektora(x, y) je trojica čísel(x", y", h), kde x = x"/h, y = y"/h, ah - nejaké skutočné číslo (prípad, keď h = 0 je špeciálny).

PoznámkaTieto súradnice vám neumožňujú jednoznačne určiť bod v rovine. Napríklad,(1, 1, 1) a (2, 2, 2) nastaviť rovnaký bod(1, 1) . Odporúča sa vziať súpravu(x, y, 1) , ktorý bude popisovať všetky body roviny.

Transformačná matica pre homogénne súradnice má veľkosť 3x3. Uvažujme o niektorých transformáciách v homogénnych súradniciach.

Kompresia/napnutie

Táto transformácia vynásobí zodpovedajúce bodové súradnice axiálnymi faktormi mierky:(x, y) -> (a x * x, a y * y) . Transformačná matica bude napísaná takto:

[a x 0 0]

Kde x - axiálne roztiahnutie X,

a y - axiálne roztiahnutie r.

PoznámkaJe možné poznamenať, že pri záporných hodnotách koeficientov kompresie / predĺženia dochádza k odrazu vzhľadom na zodpovedajúce osi. Tento prípad môže byť zahrnutý do tejto transformácie, alebo môže byť vyňatý ako samostatný s tým, že škálovacie faktory nadobúdajú iba kladné hodnoty.

Otočte sa

Rotačná matica 2x2 bola podrobne diskutovaná skôr. Teraz je doplnený riadkom a stĺpcom:

[-sin(phi)cos(phi) 0]

Poznámka Pri uhle phi = n táto matica definuje stredovú symetriu okolo počiatku, čo je špeciálny prípad rotácie. Všimnite si, že túto symetriu možno definovať pomocou transformácie squash/stretch (s prihliadnutím na negatívne faktory škálovania).

Paralelný prenos

Pôvodný vektor (x, y) prechádza do (x + t x, y + t y) . Transformačná matica bude napísaná takto:

[ 1 0 0]

[t x t y 1]

Reflexia

Ako je uvedené v poznámke o transformácii squash/streč, odrazy sa získajú takto:

[-10 0]

odraz okolo osi x

odraz okolo osi r

Všeobecný pohľad na afinnú transformáciu

Matica 3x3, ktorej posledný stĺpec je (0 0 1) T definuje afinnú transformáciu roviny:

[ * * 0]

[ * * 0]

[ * * 1]

Podľa jednej z vlastností možno afinnú transformáciu zapísať ako:

f (x) = x * R + t,

kde R – invertibilná matica 2 x2 a t – ľubovoľný vektor. V homogénnych súradniciach to bude zapísané takto:

[R 1,1 R 1,2 0]

[R 2,1 R 2,2 0]

[ t x t y 1 ]

Ak vynásobíme riadkový vektor touto maticou, dostaneme výsledok transformácie:

[ xy1 ] *[ R 1,1 R 1,2 0 ]

[R 2,1 R 2,2 0]

[ t x t y 1 ]

[ x’y’1 ]+[ t x t y 1 ]

V tomto prípade [ x ’ y ’ ] = R ** [ x y ]

PoznámkaZvedavý čitateľ si už položil otázku: aký význam má determinant matice R? Pri afinnej transformácii sa plochy všetkých obrazcov zmenia na | R |. (Môžete to striktne dokázať z matematického hľadiska, ale táto skutočnosť je tu uvedená bez dôkazu.)

To. afinná transformácia je reprezentovaná ako zloženie nejakej transformácie špecifikovanej maticou R a paralelný prenos. Pozrime sa podrobnejšie na povahu tejto matrice a príležitosti, ktoré nám dáva.

Matrix R definuje nový základ roviny. Tie. vektor(1, 0) prejde na (R 1,1, R 1,2), vektor (0, 1) prejde na (R 2,1, R 2,2 ). Novým základom sú riadky matice R.

Príklad.

Pri odraze okolo osi y , základný vektor pozdĺž osi y sa zachová a pozdĺž osi x sa stane(-10). To. matica R bude vyzerať takto:

Teraz je zrejmé, že okrem vyššie uvedených transformácií môžete pomocou afinnej transformácie získať skosenie:

Vyššie uvedené poskytuje základné informácie o takom mocnom nástroji, akým je afinná transformácia. Zostáva veľa otázok: ktorá podtrieda afinných transformácií zachováva uhly medzi priamymi čiarami? Ako môžeme reprezentovať afinnú transformáciu ako zloženie niekoľkých podtried? Ako nastaviť zložitejšie transformácie, napríklad osovú súmernosť vzhľadom na ľubovoľnú priamku?

Odpovede na tieto otázky a podrobnejšia diskusia o afinnej transformácii budú uvedené samostatne ako časť kurzu teoretickej geometrie.

Zastavme sa pri praktickej realizácii afinnej transformácie vo forme demonštračného programu. Možnosti aplikácie, ktorá demonštruje otáčanie roviny pomocou myši, sú pridané k funkciám paralelného prekladu po stlačení klávesu CTRL .

Pretože Tento článok je posledný v tejto časti, kód ukážkovej aplikácie musí byť vhodný. Pokúsme sa zistiť, aké bloky sú potrebné v grafickej aplikácii, a zároveň sa pozrieť na to, ako sú implementované v tomto programe:

• blok, v ktorom sa vytvára okno a spracovávajú správy operačného systému, je implementovaný do súboru emain. cpp
• grafický engine, ktorý vykresľuje obrázky, trieda Motor
• vrstva potrebná na prevod logických súradníc na súradnice okna a naopak, trieda Výrez
• objekt zodpovedný za reakciu na akcie používateľa, trieda Akcia

Nižšie uvedený príklad implementuje tieto funkčné bloky s podrobnými komentármi.

UDC 004,932

Kudrina M.A., Murzin A.V.

Federálna štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania "Samara State Aerospace University pomenovaná po Ak. S. P. Korolev (národná výskumná univerzita)", Samara, Rusko

AFINNÉ TRANSFORMÁCIE OBJEKTOV V POČÍTAČOVEJ GRAFII

Jednou z typických úloh, ktoré je potrebné riešiť pomocou rastrovej grafiky, je transformácia celého obrazu ako celku aj jeho jednotlivých častí, ako je pohyb, rotácia okolo daného stredu, zmena lineárnych rozmerov atď.

Tento problém je vyriešený pomocou afinných transformácií.

Afinné transformácie môžu byť veľmi užitočné v nasledujúcich situáciách:

1. Komponovať plochý obraz alebo trojrozmernú scénu usporiadaním prvkov rovnakého typu, ich kopírovaním, transformovaním a presúvaním na rôzne miesta v obraze. Napríklad na vytvorenie symetrických objektov, ako je snehová vločka. Môžete vyvolať jeden motív a následne vytvoriť obraz celého objektu odrazom, otáčaním a posúvaním tohto motívu.

2. Prezerať si trojrozmerné predmety z rôznych uhlov pohľadu. V takom prípade môžete fixovať polohu kamery a otáčať scénu, alebo naopak, nechať scénu bez pohybu a pohybovať kamerou okolo nej. Takéto manipulácie sa môžu uskutočňovať pomocou trojrozmerných afinných transformácií.

3. Premietať trojrozmerné objekty na rovinu a zobrazovať scénu v okne. Takže napríklad pre axonometrickú projekciu sa používa postupnosť dvoch otočení projekčnej roviny a pre zobrazenie v okne sa používa kombinácia mierky a translácie.

Afinné transformácie v rovine sú všeobecne opísané nasledujúcimi vzorcami:

J X = Ax + By + C, . Program umožňuje automatizovať proces zostavovania testovacích úloh.

LITERATÚRA

1. Porev V. N. Počítačová grafika. - Petrohrad: BHV-Petersburg, 2002. - 432 s. : chorý.

2. Kopec F. Otvorená GL. Programovanie počítačovej grafiky. Pre profesionálov. - Petrohrad: Peter,

2002. - 1088 s.: ill. ISBN 5-318-00219-6

3. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Vytyagov A.A., Ionov D.O. Vývoj systému dištančného vzdelávania pre kurz „Počítačová grafika“ s využitím Moodle: Zborník príspevkov z medzinárodného sympózia Spoľahlivosť a kvalita. 2010. T. I. P. 165.

4. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Degtyareva O.A. Certifikačný pedagogický merací materiál pre kurz "Počítačová grafika" // Spoľahlivosť a kvalita 2008. Zborník medzinár. sympóziu. Penza, 2008, s. 162-163.

5. Kudrina M.A. Využitie certifikačných a pedagogických meracích materiálov pre kurz

"Počítačová grafika" vo vzdelávacom procese"//Vzdelávanie - investície do úspechu: Vedecké materiály -

Vlastnosti afinnej transformácie

1. Obraz rovnobežných čiar sú rovnobežné čiary.

Dôkaz protirečením. Predpokladajme, že obrazom rovnobežiek l a m sú priamky l" a m" pretínajúce sa v bode A" (obr. 8). V dôsledku transformácie jedna ku jednej má bod inverzný obraz, ktorý označujeme A. Ale keďže A"єl", potom Aєl . Podobne ako Аєm. To odporuje rovnobežnosti priamok l a m.

2. Počas afinnej transformácie sa zachová vzťah medzi dvoma segmentmi umiestnenými na tej istej čiare: (obr. 9)

Podľa definície afinnej transformácie:

3. Pri afinnej transformácii sa zachová vzťah paralelných segmentov.

Dané: AB||CD. Podľa vlastnosti 2 bude tiež A"B"||C"D" (obr. 10)

Potrebujeme dokázať:

Aby sme to dokázali, urobme AC, potom DL||AC. Zostrojme tiež A"C" a D"L"||A"C". Vlastnosťou 2, priamka DL prechádza do D"L" a teda . Teraz podľa definície: . Ale AL=CD, A"L"=C"L", takže odtiaľto okamžite dostaneme to, čo potrebujeme.

4. Počas afinnej transformácie sa uhol a pomer ľubovoľných úsečiek vo všeobecnosti nezachová, pretože akýkoľvek trojuholník môže byť transformovaný na akýkoľvek iný. Preto sa výška a stred trojuholníka zvyčajne transformujú na iné čiary a stred sa zmení na stred, pretože stred segmentu sa zmení na stred.

5. Afinnou transformáciou prechádza rovnobežník do rovnobežníka, lichobežník do lichobežníka.

Ekvivalentné čísla

Podobne ako pri koncepte rovnosti a podobnosti obrazcov sa zavádza koncept ich afinnej ekvivalencie.

O obrázku F1 sa hovorí, že je afinne ekvivalentný k obrázku F2, ak sa F1 môže transformovať na F2 afinnou transformáciou.

Správnosť tejto definície vyplýva zo skutočnosti, že afinné transformácie tvoria grupu, a preto tu zavedená afinná ekvivalencia má tranzitivitu, reflexivitu a symetriu.

Všimnime si niektoré triedy afinne ekvivalentných obrazcov.

1). Všetky trojuholníky sú afinne ekvivalentné (vyplýva z hlavnej vety).

2). Všetky rovnobežníky sú afinne ekvivalentné.

3). Pre afinnú ekvivalenciu lichobežníkov je potrebné a postačujúce, aby ich základne boli proporcionálne.

Perspektívne-afinná korešpondencia dvoch rovín

Predpokladajme, že dve roviny w a w" sa pretínajú pozdĺž priamky xx (obr. 1). Definujme nejakú priamku l pretínajúcu obe roviny. Označme ľubovoľný bod A na rovine w a premietnime ho na rovinu w “, nakreslením priamky cez A rovnobežnú s l. Nech premietajúca priamka pretína rovinu w" v bode A". Bod A" možno považovať za priemet bodu A do roviny w". Takéto premietanie sa nazýva rovnobežné a určuje sa zadaním priamky l.

Zo samotnej konštrukcie priemetu A" bodu A je zrejmé, že bod A možno považovať za priemet bodu A" do roviny w. Paralelné premietanie je teda prístroj, ktorý má presne rovnaký význam vo vzťahu k obom rovinám w a w." Každému bodu (A) prvej roviny priraďuje úplne špecifický bod (A") druhej roviny a naopak. . Získame párovú korešpondenciu bodov rovín w a w." Táto korešpondencia je jedna k jednej, t.j. každý bod jednej roviny zodpovedá jedinečnému bodu druhej roviny a naopak.

Korešpondencia medzi rovinami w a w, stanovená pomocou paralelnej projekcie, sa nazýva perspektívne afinné alebo súvisiace.

Ak vezmeme do úvahy proces prechodu z jednej z týchto rovín (napríklad w) do inej roviny (w"), v ktorej každý bod (A) jednej roviny (w) prechádza do zodpovedajúceho bodu (A") inej roviny rovina (w"), ako jednostranná, sa potom nazýva premena roviny (w) na rovinu (w") - V tomto prípade sa bod A nazýva inverzný obraz a bod A" je jeho obrazom. .

Premietnutím rovnobežnej roviny w na rovinu w" vykonáme perspektívno-afinnú transformáciu roviny w na rovinu w" .

Súbor všetkých bodov roviny w môžeme nazvať aj poľom bodov w a hovoríme o premene poľa bodov w na pole bodov w."

Dajme si za úlohu študovať vlastnosti perspektívno-afinnej korešpondencie rovín.

Zaoberme sa najskôr otázkou dvojitých alebo pevných bodov našej korešpondencie, teda takých bodov, ktoré sa zhodujú s ich zodpovedajúcimi bodmi. Keďže každý dvojitý bod musí patriť do jednej aj druhej roviny, musia ležať na priesečníku xx rovín w a w." Na druhej strane je zrejmé, že každý bod na priamke xx je dvojitým bodom, pretože zodpovedá sebe samej. Priamka sa nazýva os korešpondencie.Podľa predchádzajúcej os korešpondencie možno definovať ako miesto dvojitých bodov.

Priamka v jednej rovine teda zodpovedá priamke v druhej rovine. Táto vlastnosť perspektívne afinnej korešpondencie sa nazýva kolinearita. Na základe samotnej definície rovnobežného priemetu obrazca ako geometrického miesta priemetov všetkých bodov tohto obrazca, každý bod ležiaci na priamke vždy zodpovedá bodu ležiacemu na príslušnej priamke. Preto vzájomná príslušnosť bodu a priamky na jednej rovine znamená vzájomnú príslušnosť zodpovedajúcich prvkov na druhej.

2. Ďalšia vlastnosť perspektívno-afinnej korešpondencie sa týka takzvaného jednoduchého pomeru troch bodov na priamke.

Uvažujme tri body A, B, C ležiace na tej istej priamke (obrázok 1). Jednoduchý pomer bodov A, B, C je určený vzorcom:

geometrická transformácia afinná korešpondencia

V tomto vzorci sa body A a B považujú za hlavné (alebo základné) a bod C sa považuje za deliaci. Jednoduchý pomer (ABC) je pomer dĺžok tých segmentov, ktoré tvorí deliaci bod s hlavnými. Ak bod C leží mimo segmentu A B, potom oba segmenty AC a BC smerujú rovnako, a preto je v tomto prípade jednoduchý pomer (ABC) kladný. V prípade, že deliaci bod C je medzi A a B, jednoduchý pomer (ABC) je záporný.

Na obrázku 1 môžete vidieť, že body A, B, C roviny w zodpovedajú bodom A, B, C roviny w. Keďže premietané priamky AA, BB, SS sú rovnobežné, budeme mať:

alebo (ABC) = (A"B"C").

Prichádzame k záveru, že v perspektívno-afinnej korešpondencii je jednoduchý pomer troch bodov na priamke jednej roviny vždy rovný jednoduchému pomeru troch zodpovedajúcich bodov druhej roviny.

3. Skôr ako prejdeme k úvahám o ďalších vlastnostiach perspektívno-afinnej korešpondencie, zastavme sa pri otázke možného umiestnenia zodpovedajúcich rovín w a w" v priestore.

Doteraz sme predpokladali, že tieto roviny sa nezhodujú a pretínajú sa pozdĺž priamky xx, aby sme vytvorili perspektívne afinitnú korešpondenciu diskutovanú vyššie prostredníctvom paralelnej projekcie. Po vytvorení takejto zhody by bolo možné uviesť obe roviny do zhody otočením ktorejkoľvek z nich okolo osi xx. V tomto prípade všetky geometrické obrázky umiestnené v jednej a druhej rovine neprechádzajú žiadnou zmenou. V dôsledku toho, ako v akomkoľvek momente rotácie roviny, tak aj keď je kombinovaná s druhou rovinou, nie je porušená predtým stanovená perspektívne afinitná korešpondencia.

Priame čiary spájajúce zodpovedajúce body, ako AA, BB, SS“,..., zostávajú rovnobežné v akejkoľvek polohe rotačnej roviny, ako aj po jej zarovnaní so stacionárnou rovinou. že každé dve zo spomínaných priamych čiar (napríklad AA" a BB") ležia vždy v tej istej rovine, ktorá je definovaná dvojicou pretínajúcich sa priamok (AB a A"B") a po stranách sú odrezané proporcionálne segmenty uhla, pretože (ABX) = (A"B"X). Pri spojení rovín w a w" sa ukáže, že premietajúce priame čiary (AA, BB",...) ležia v rovine vytvorenej z dvoch zhodných roviny w a w“ (obr. 2).

Obzvlášť zaujímavý je pre nás prípad kombinovanej polohy rovín, pretože v tomto prípade môžeme použiť plochý výkres zobrazujúci zistenú korešpondenciu bez skreslenia.

V prípade kombinácie možno každý bod (dvojitej) roviny považovať za patriaci do roviny w alebo w" a v závislosti od toho označiť veľkým písmenom bez prvočísla alebo s prvočíslom. Máme teda transformáciu rovinu do seba a jej počiatočný stav (rovinu pred transformáciou) označujeme písmenom w a nový stav (rovinu po transformácii) označujeme písmenom w“.

Všimnite si, že po spojení rovín os korešpondencie xx prestáva byť priesečníkom týchto rovín, ale zachováva si druhú definíciu ako geometrické umiestnenie dvojitých alebo pevných bodov.

4. Teraz by sme mohli opustiť priestorový aparát (paralelná projekcia), ktorý nám slúžil na vytvorenie perspektívno-afinnej korešpondencie medzi dvoma rovinami, a určiť tú druhú pre dvojitú rovinu bez prechodu do priestoru. Za týmto účelom dokážeme nasledujúci predpoklad: Perspektívna afinná transformácia roviny do seba je úplne určená osou (xx) a dvojicou zodpovedajúcich bodov (A, A“).

Dôkaz. Nech je uvedená os xx a dvojica zodpovedajúcich bodov (AA) perspektívno-afinnej transformácie (obr. 3) Dokážme, že pre akýkoľvek bod v rovine je možné zostrojiť presne definovaný a jedinečný zodpovedajúci bod B“.

Nakreslíme priamku AB. Nech X je bod jeho priesečníka s osou xx. Keďže bod X zodpovedá sám sebe (ako leží na osi), potom priamka AX zodpovedá priamke A"X. Napokon bod B" musí ležať na priamke A"X a premietajúcej priamke BB", rovnobežnej s A A To nám umožňuje zostaviť požadovaný bod B." Dát bolo teda dosť a príslušný bod B“ predstavuje jediné riešenie.

Všimnite si, že perspektívne afinná korešpondencia bude skutočne realizovaná, pretože naznačená konštrukcia nemôže viesť k rozporu. To sa dá ľahko overiť zmenšením konštrukcie na paralelné premietacie zariadenie.

V skutočnosti, ak ohneme kresbu 3 pozdĺž priamky xx tak, že roviny w a w" zvierajú dvojstenný uhol, potom sa všetky vyčnievajúce priamky (priame čiary spájajúce zodpovedajúce body, napríklad BB") ukážu ako rovnobežné. k priamke AA" (kvôli proporcionalite segmentov). V dôsledku toho možno korešpondenciu, ktorú sme skonštruovali, považovať za výsledok rovnobežnej projekcie.

Poznámka. Ak by sme na obrázku 3 priradili bod B k rovine w a označili sme ho C, potom by nás zostrojenie zodpovedajúceho bodu priviedlo k bodu C, ktorý, ako je zrejmé z obrázku 3, sa nie vždy zhoduje s B." preukázať, že nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou takejto zhody, t. j. nezávislosti perspektívne afinnej korešpondencie od toho, či je bod priradený k tej či onej rovine, je rozdeliť úsečku A A" na polovicu v priesečníku os xx.

Preto je v tomto prípade korešpondencia šikmá alebo priama symetria (vzhľadom na os xx).

5. Pri ďalšom štúdiu perspektívno-afinnej korešpondencie sa budeme opierať o vlastnosti stanovené vyššie: 1) kolinearita a 2) rovnosť jednoduchých vzťahov trojíc zodpovedajúcich bodov.

Všimnite si, že v perspektívno-afinných transformáciách tieto vlastnosti vyjadrujú nemennosť alebo nemennosť pojmu priamka a koncepcie jednoduchého vzťahu troch bodov priamky.

Z týchto vlastností možno odvodiť celý rad ďalších „invariantov“ perspektívno-afinnej transformácie, ktoré teda už nie sú nezávislé. Najprv dokážme nemennosť rovnobežnosti priamok. Predpokladajme, že v rovine w máme dve priamky a a b, ktoré v rovine w" zodpovedajú priamkam a" a b". Predpokladajme, že priamky a a b sú rovnobežné (a || b). Dokážme že "|| b". Aplikujme dôkaz kontradikciou. Predpokladajme, že sa priamky a" a b" pretínajú a priesečník označme písmenom M" (obr. 4). Potom, v dôsledku vzájomnej zhody rovín w a w, bod M zodpovedá rovine w. Bod M na rovine w zodpovedá bodu M na rovine w. Bod M musí patriť ako priamke a, tak aj priamka b. V dôsledku toho je M priesečník priamok a a b. Dostávame sa teda k rozporu. Predpoklad, že sa priamky a" a b" pretínajú, je nemožný. Preto a" || b".

Paralelnosť čiar je teda invariantnou vlastnosťou perspektívno-afinnej transformácie.

Spojme B s D a narysujme priamku CF || cez C. DВ. V rovine w" bude priamka СF zodpovedať priamke С"F" D"В" (v dôsledku nemennosti rovnobežnosti), a preto bude bod F zodpovedať bodu F". Keď vieme, že jednoduchý vzťah troch bodov je invariantný, môžeme napísať:

Dostávame sa teda k rovnosti:

Ten ukazuje, že vzťah dvoch paralelných segmentov je invariantom perspektívne afinitnej korešpondencie.

Ak segmenty AB a CD ležia na rovnakej priamke (obr. 6), potom je ich vzťah invariantný aj v perspektívno-afinnej korešpondencii. Nech je PQ ľubovoľný segment rovnobežný s priamkou AB. Potom máme:

6. Prejdime k zváženiu oblastí zodpovedajúcich obrázkov. Dokážme nasledujúcu lemu: Vzdialenosti dvoch zodpovedajúcich bodov (A, A") k osi korešpondencie (xx) sú v konštantnom pomere, nezávisle od výberu dvojice zodpovedajúcich bodov. Dôkaz. Predpokladajme, že body A a B zodpovedajú bodom A" a B" (obr. 7) Sklopením kolmic z týchto bodov na os xx získame ich vzdialenosti od osi. Vzdialenosti budú vždy považované za kladné, bez ohľadu na smer kolmíc.

Môžeme napísať:

Ale ako vidno z nákresu:

Výsledná rovnosť dokazuje vyššie sformulovanú lemu.

Označme konštantný pomer vzdialeností zodpovedajúcich bodov k. Dokážme nasledujúcu vetu.

Pomer plôch dvoch zodpovedajúcich trojuholníkov je konštantný a rovný.

Dôkaz vety sa delí na tieto prípady:

1. Trojuholníky majú spoločnú stranu na osi xx.

Takéto trojuholníky sú znázornené na obrázku 8. Pomer ich plôch bude vyjadrený takto:

2. Trojuholníky majú spoločný vrchol na osi xx.

Toto sú dva trojuholníky na obrázku 9. Zodpovedajúce strany BC a BC týchto trojuholníkov sa musia pretínať na osi xx (v bode X). Posudzovaný prípad sa redukuje na predchádzajúci. V skutočnosti, na základe predchádzajúceho, môžeme napísať:

Preto budeme mať:

3. Všeobecný prípad dvoch zodpovedajúcich trojuholníkov.

Majme dva zodpovedajúce trojuholníky ABC a A"B"C na výkrese 10. Uvažujme jeden z týchto trojuholníkov, napríklad ABC. Oblasť tohto trojuholníka môže byť znázornená nasledovne:

Všetky trojuholníky na pravej strane tejto rovnosti sa týkajú dvoch už uvažovaných prípadov, a preto, ak na ne použijeme osvedčenú vetu, môžeme prepísať rovnosť zistenú vyššie takto:

teda

7. Vlastnosť, ktorú sme odvodili z plôch dvoch zodpovedajúcich trojuholníkov, možno jednoducho rozšíriť na prípad zodpovedajúcich mnohouholníkov. V skutočnosti môže byť každý mnohouholník rozdelený na niekoľko trojuholníkov a plocha mnohouholníka je vyjadrená súčtom plôch trojuholníkov, z ktorých sa skladá.

Pre zodpovedajúci mnohouholník získame podobné rozdelenie na trojuholníky. Ak označíme plochy dvoch zodpovedajúcich mnohouholníkov písmenami S a S“ a plochy dvoch zodpovedajúcich zložkových trojuholníkov písmenami, potom môžeme písať:

Pretože okrem toho pre oblasti zodpovedajúcich trojuholníkov máme:

Tak dostaneme:

Nakoniec môžeme zovšeobecniť vetu o plošnom vzťahu na prípad dvoch oblastí ohraničených zodpovedajúcimi krivkami ľubovoľného tvaru.

Označme oblasti ohraničené dvoma zodpovedajúcimi krivkami a. Vpíšme mnohouholník do krivky ohraničujúcej oblasť a označme oblasť tohto mnohouholníka písmenom S. Zväčšíme počet strán vpísaného mnohouholníka do nekonečna, za predpokladu, že každá strana smeruje k nule, potom získať:

Pre oblasť budeme mať podobný proces: ,

kde S“ označuje oblasť mnohouholníka zodpovedajúcu mnohouholníku S. Keďže počas celého procesu (zmeny mnohouholníkov), podľa vyššie dokázanej vety, musia mať:

potom prechod na limit dáva =k.

teda

Výsledná vlastnosť môže byť reprezentovaná ako invariant perspektívno-afinnej korešpondencie.

V skutočnosti označme a oblasti ohraničené dvoma krivkami ľubovoľného tvaru a " a " - oblasti ohraničené zodpovedajúcimi krivkami, potom, podľa toho, čo bolo dokázané, budeme mať:

alebo preskupením stredných členov podielu:

ktoré možno vyjadriť slovami: pomer ľubovoľných dvoch oblastí sa v perspektívno-afinnej korešpondencii nemení (je invariantný).

Všeobecná afinná zhoda

Perspektívne afinný vzťah medzi dvoma rovinami možno získať pomocou paralelnej projekcie.

Uvažujme teraz o zhode dvoch rovín vytvorených opakovaným použitím rovnobežného premietania. Takže na obrázku 11 je rovina w premietnutá rovnobežne s priamkou l na rovinu w." Táto rovina je premietnutá rovnobežne s priamkou l" na rovinu w. Nakoniec je táto rovina premietnutá rovnobežne s priamkou l" na rovinu w. " Takto sa vytvorí zhoda medzi rovinami w a w"", v ktorej body A, B, C prvej roviny zodpovedajú bodom A", B", C" druhej roviny. Je ľahké overiť, že korešpondencia nemusí byť rovnobežnou projekciou, ale zároveň má invariantné vlastnosti perspektívno-afinnej korešpondencie. V skutočnosti je korešpondencia rovín w a w"" reťazou po sebe nasledujúcich rovnobežných projekcií. Pretože každá takáto projekcia zachováva kolinearita a jednoduchý vzťah troch bodov, potom musia rovnaké vlastnosti. Je zrejmé, že výsledná zhoda medzi rovinami w a w""" tiež existuje.

To isté možno povedať o ostatných invariantných vlastnostiach uvažovaných v prípade perspektívno-afinnej korešpondencie, ktorá sa teda ukáže ako špeciálny prípad, keď sú čiary spájajúce zodpovedajúce body navzájom rovnobežné:

Práve z tohto dôvodu sa takáto korešpondencia nazýva perspektívne afinná.

Korešpondencia rovín w a w""" sa nazýva afinná. K tomuto konceptu sme dospeli pomocou reťazca perspektívno-afinných transformácií (alebo rovnobežných projekcií). Ak každú z nich označíme písmenami P, P, P" a výslednú transformáciu písmenom A môžeme znázorniť afinnú transformáciu A nasledujúcim symbolickým vzorcom:

A = P * P" * P",

v ktorých je pravá strana „produktom“ perspektívno-afinných transformácií, teda výsledkom ich sekvenčnej aplikácie.

Rovnaké uvažovanie by sa dalo uskutočniť bez opustenia jednej roviny, na čo stačí uvažovať o reťazci perspektívne afinných premien roviny do seba. Každá z transformácií môže byť špecifikovaná osou a dvojicou zodpovedajúcich bodov. Takže napríklad na výkrese 12 je prvá transformácia P špecifikovaná osou xx a dvojicou (A, A"); druhá P" - osou a dvojicou (A", A"); tretie P" - os x "x" a dvojica (A" "A""). Vo výslednej transformácii A zodpovedá bodu A bodu A". Rovnaký výkres znázorňuje konštrukciu bodu B"" , čo zodpovedá bodu B.

Vyššie uvedené ukazuje, že transformácie získané pomocou reťazca paralelných projekcií (alebo perspektívne afinných transformácií) majú vlastnosti kolinearity a zachovania jednoduchého vzťahu troch bodov.

Nižšie \(f\) označuje afinnú transformáciu zapísanú v karteziánskom súradnicovom systéme \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\) pomocou vzorcov
$$
x^(*)=a_(1)x+b_(1)y+c_(1),\ y^(*)=a_(2)x+b_(2)y+c_(2).\label( ref1)
$$
vzhľadom na to
$$
\begin(vmatrix)
a_(1)& b_(1)\\
a_(2) & b_(2)
\end(vmatrix) \neq 0.\label(ref2)
$$

Uvažujme priamku v rovine s rovnicou \(\boldsymbol(r)=\boldsymbol(r)_(0)+\boldsymbol(a)t\) a nájdime jej obraz pod transformáciou \(f\). (Obrazom priamky sa rozumie množina obrazov jej bodov.) Vektor polomeru obrazu \(M^(*)\) ľubovoľného bodu \(M\) možno vypočítať takto:
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\overrightarrow(Of(O))+f\overrightarrow((O)M^(*))=\boldsymbol(c)+f(\boldsymbol(r)).\nonumber
$$

Tu \(\boldsymbol(c)\) je konštantný vektor \(\overrightarrow(Of)(O)\) a \(\boldsymbol(r)\) je vektor polomeru bodu \(M\). Podľa (11) §2 dostaneme
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\boldsymbol(c)+f(\boldsymbol(r)_(0))+f(\boldsymbol(a))t.\label(ref3)
$$
Keďže \(f\) je afinná transformácia a \(\boldsymbol(a) \neq \boldsymbol(0)\), potom \(\boldsymbol(a)\) prejde do vektora \(f(\boldsymbol( a) ) \neq 0\) a rovnica \eqref(ref3) je rovnica priamky. Takže obrazy všetkých bodov priamky \(\boldsymbol(r)=\boldsymbol(r)_(0)+\boldsymbol(a)t\) ležia na priamke \eqref(ref3).

Okrem toho transformácia \(f\) určuje mapovanie jednej priamky na druhú, pretože s výberom počiatočných bodov a smerových vektorov tu vykonaným má bod \(M^(*)\) rovnaké hodnota na riadku \eqref(ref3) parameter \(t\), rovnaký ako bod \(M\) na pôvodnom riadku. Odtiaľ dostávame prvé vyhlásenie.

Vyhlásenie 1.

S afinnou transformáciou:

• priamka sa zmení na priamku;
• segment prechádza do segmentu;
• rovnobežné čiary sa stávajú rovnobežnými.

Dôkaz.

Na dôkaz druhého tvrdenia stačí poznamenať, že úsečka sa skladá z bodov, pre ktoré hodnoty parametrov spĺňajú nerovnosť tvaru \(t_(1) \leq t \leq t_(2)\) tretie tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že pri afinnej transformácii sa kolineárne -té vektory stanú kolineárnymi.

Vyhlásenie 2.

Počas afinnej transformácie sa pomer dĺžok paralelných segmentov nemení.

Dôkaz.

Nech sú segmenty \(AB\) a \(CD\) rovnobežné. To znamená, že existuje číslo \(\lambda\) také, že \(\overrightarrow(AB)=\lambda \overrightarrow(CD)\). Obrázky vektorov \(\overrightarrow(AB)\) a \(\overrightarrow(CD)\) sú spojené rovnakou závislosťou \(\overrightarrow(A^(*)B^(*))=\lambda \ overrightarrow(C^( *)D^(*))\). Z toho vyplýva, že
$$
\frac(|\overrightarrow(AB)|)(|\overrightarrow(CD)|)=\frac(|\overrightarrow(A^(*)B^(*))|)(|\overrightarrow(C^(*) )D^(*))|)=|\lambda|.\nočíslo
$$

Dôsledok.

Ak bod \(C\) rozdeľuje segment \(AB\) v nejakom vzťahu \(\lambda\), potom jeho obraz \(C^(*)\) rozdeľuje obraz \(A^(*)B^ (*) \) segment \(AB\) v rovnakom vzťahu \(\lambda\).

Zmena oblastí počas afinnej transformácie.

Najprv sa na to poďme pozrieť. Vyberme si všeobecný karteziánsky súradnicový systém \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\) a označme ho \((p_(1), p_(2)) \) a \ ((q_(1), q_(2))\) zložky vektorov \(\boldsymbol(p)\) a \(\boldsymbol(q)\), na ktorých je postavená. Plochu rovnobežníka môžeme vypočítať pomocou:
$$
S_(\pm)=S_(\pm) (\boldsymbol(p), \boldsymbol(q))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1)) S_(\pm) ( \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)).\nonumber
$$

Nechajte afinnú transformáciu \(f\) zapísať vo zvolenom súradnicovom systéme pomocou vzorcov \eqref(ref1). Z toho, čo bolo predtým dokázané, vyplýva, že vektory \(f(\boldsymbol(p))\) a \(f(\boldsymbol(q))\) majú \(f(\boldsymbol(e)_(1)) vo svojom základe f(\boldsymbol(e)_(2))\) rovnaké zložky \((p_(1), p_(2))\) a \((q_(1), q_(2)) \) to a vektory \(\boldsymbol(p)\) a \(\boldsymbol(q)\) v základe \(\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\ ). Obraz rovnobežníka je postavený na vektoroch \(f(\boldsymbol(p))\) a \(f(\boldsymbol(q))\ a jeho plocha sa rovná
$$
S_(\pm)^(*)=S_(\pm) (f(\boldsymbol(p)), f(\boldsymbol(q)))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_ (1)) S_(\pm) (f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))).\nočíslo
$$

Vypočítajme posledný faktor. Ako vieme z toho, čo už bolo dokázané, súradnice vektorov \(f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))\) sú rovnaké, resp. ((a_(1), a_( 2))\) a \((b_(1), b_(2))\). Preto \(S_(\pm) (f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2)))=(a_(1)b_(2)-a_(2) b_(1)) S_(\pm) (\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2))\) a
$$
S_(\pm)^(*)=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1))(a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)) S_( \pm) (\boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)).\nonumber
$$
Odtiaľ to vidíme
$$
\frac(S_(\pm)^(*))(S_(\pm))=\begin(vmatrix)
a_(1)& b_(1)\\
a_(2) & b_(2)
\end(vmatrix).\label(ref4)
$$

Pomer plochy obrazu orientovaného rovnobežníka k ploche tohto rovnobežníka je teda rovnaký pre všetky rovnobežníky a rovná sa \(a_(1)b_(2)-a_(2)b_ (1)\).

Z toho vyplýva, že tento determinant nezávisí od výberu súradnicového systému, v ktorom je transformácia zapísaná, hoci sa vypočítava z koeficientov, ktoré závisia od súradnicového systému. Táto veličina je invariantom vyjadrujúcim geometrickú vlastnosť transformácie.

Zo vzorca \eqref(ref4) je zrejmé, že pomer plochy obrazu neorientovaného rovnobežníka k jeho ploche sa rovná
$$
S^(*)/S=|a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)|.\label(ref5)
$$

Ak \(a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1) > 0\), potom sa pri transformácii zachovajú orientácie všetkých orientovaných rovnobežníkov a ak \(a_(1)b_(2) -a_(2)b_(1)< 0\), то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации.

Poďme sa teraz zaoberať oblasťami iných postáv. Každý trojuholník je možné rozšíriť tak, aby vytvoril rovnobežník, ktorého plocha je dvojnásobkom plochy trojuholníka. Preto pomer plochy obrazu trojuholníka k ploche tohto trojuholníka spĺňa rovnosť \eqref(ref5).

Každý mnohouholník možno rozdeliť na trojuholníky. Preto vzorec \eqref(ref5) platí aj pre ľubovoľné polygóny.

Nebudeme sa tu dotýkať určenia oblasti ľubovoľného krivočiareho útvaru. Povieme len, že v tých prípadoch, keď je táto oblasť definovaná, rovná sa limitu oblastí určitej postupnosti polygónov zapísaných na uvažovanom obrázku. Z teórie limitov je známy nasledujúci predpoklad: ak postupnosť \(S_(n)\) smeruje k limite \(S\), potom postupnosť \(\delta S_(n)\), kde \(\ delta\) je konštantná, má tendenciu obmedzovať \(\delta S\). Na základe tohto návrhu sme dospeli k záveru, že vzorec \eqref(ref5) platí v najvšeobecnejšom prípade.

Ako príklad nájdime výraz pre oblasť elipsy z hľadiska jej poloosí. Už skôr sme si všimli, že elipsu s poloosami \(a\) a \(b\) možno získať stlačením kružnice s polomerom \(a\) na priamku prechádzajúcu jej stredom. Kompresný pomer je \(b/a\). V jednom z nich sme dostali súradnicový záznam kompresie na priamku \(x^(*)=x\), \(y^(*)=\lambda y\). Determinant koeficientov v týchto vzorcoch sa rovná \(\lambda\), teda v našom prípade \(b/a\). Pomer plochy elipsy k ploche kruhu je teda \(b/a\) a táto plocha je \(S=(b/a)\pi a^(2)\ ). Nakoniec máme
$$
S=\pi ab.\nočíslo
$$

Obrázky liniek druhého rádu.

Videli sme, že priamka sa mení na priamku. Toto je špeciálny prípad nasledujúceho vyhlásenia.

Vyhlásenie 3.

Afinná transformácia transformuje algebraickú čiaru na algebraickú čiaru rovnakého rádu.

Dôkaz.

V skutočnosti nech čiara \(L\) v karteziánskom súradnicovom systéme \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2)\) má algebraickú rovnicu poriadku \(p \). Už vieme, že obrazy všetkých bodov priamky \(L\) pod afinnou transformáciou \(f\) majú v súradnicovom systéme \(f(O), f(\boldsymbol(e)_(1)) , f(\boldsymbol( e)_(2))\) sú rovnaké súradnice ako ich inverzné obrázky v súradnicovom systéme \(O, \boldsymbol(e)_(1), \boldsymbol(e)_(2) \). V dôsledku toho sú súradnice obrázkov v systéme \(f(O), f(\boldsymbol(e)_(1)), f(\boldsymbol(e)_(2))\) spojené rovnakou algebraikou rovnica poriadku \(p\ ). To stačí na vyvodenie záveru, ktorý potrebujeme.

Z vyššie dokázaného tvrdenia predovšetkým vyplýva, že línia druhého rádu sa pri afinnej transformácii zmení na líniu druhého rádu. Preukážeme silnejšie tvrdenie. Ako už vieme, rady druhého rádu možno rozdeliť na . Uvidíme, že trieda čiary je pri afinnej transformácii zachovaná. Na tomto základe sa triedy priamok uvedené v uvedenej vete nazývajú afinné triedy. Poďme teda dokázať nové tvrdenie.

Vyhlásenie 4.

Čiara druhého rádu patriaca do jednej z afinných tried sa môže transformovať na líniu rovnakej triedy len pri akejkoľvek afinnej transformácii. Každá línia druhého rádu môže byť transformovaná vhodnou afinnou transformáciou na akúkoľvek inú líniu rovnakej afinnej triedy.

Dôkaz.

Čiaru budeme nazývať ohraničenou, ak leží vo vnútri nejakého rovnobežníka. Je ľahké vidieť, že pri afinnej transformácii sa musí ohraničená čiara stať ohraničenou a neohraničená čiara sa musí stať neohraničenou.

1. Elipsa je ohraničená čiara druhého rádu. Okrem elipsy sú obmedzené iba čiary pozostávajúce z jedného bodu, teda dvojice pomyselných pretínajúcich sa čiar. Keďže elipsa je obmedzená a pozostáva z viac ako jedného bodu, môže sa transformovať iba na elipsu.
2. Hyperbola má dve samostatné vetvy. Táto vlastnosť môže byť formulovaná tak, že jej invariantnosť pri afinných transformáciách bude jasná. Ide totiž o priamku, ktorá nepretína hyperbolu, ale pretína niektoré jej tetivy.Zo všetkých úsečiek druhého rádu majú túto vlastnosť len hyperboly a dvojice rovnobežných priamok. Vetvy hyperboly nie sú priame čiary, a preto sa pri afinnej transformácii môže transformovať iba na hyperbolu.
3. Parabola je neobmedzená čiara druhého rádu, pozostávajúca z jedného nepriameho kusu. Žiadne iné vedenia druhého rádu túto vlastnosť nemajú, a preto sa parabola môže premeniť iba na parabolu.
4. Ak priamka druhého rádu predstavuje bod (dvojicu imaginárnych pretínajúcich sa priamok), priamku (dvojicu zhodných priamok), dvojicu pretínajúcich sa alebo dvojicu rovnobežných priamok, potom z predtým overených vlastností afinných transformácií vyplýva že táto línia sa nemôže premeniť na líniu žiadnej inej triedy.

Dokážme druhú časť tvrdenia. V tom, čo sme už dokázali, kanonické rovnice čiar druhého rádu sú zapísané v karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme a obsahujú parametre \(a, b, ...\) Ak opustíme ortonormalitu bázy, môžeme urobiť ďalšie zjednodušenia kanonických rovníc a priviesť ich do tvaru, ktorý neobsahuje parametre. Napríklad nahradením súradníc \(x'=x/a\), \(y'=y/b\) sa transformuje rovnica elipsy \(x^(2)a^(2)+y^(2) )b^(2 )=1\) do rovnice \(x'^(2)+y'^(2)=1\), nech už sú \(a\) a \(b\). (Posledná rovnica nie je rovnicou kruhu, pretože nový súradnicový systém nie je karteziánsky pravouhlý.)

Čitateľ môže ľahko ukázať, že kanonické rovnice riadkov druhého rádu môžu byť transformované na nasledujúce rovnice prechodom do vhodného súradnicového systému:

1. \(x^(2)+y^(2)=1\);
2. \(x^(2)+y^(2)=0\);
3. \(x^(2)-y^(2)=1\);
4. \(x^(2)-y^(2)=0\);
5. \(y^(2)=2x\);
6. \(y^(2)-1=0\);
7. \(y^(2)=0\).

Takýto súradnicový systém nazveme afinný kanonický súradnicový systém.

Z vyššie uvedeného vyplýva, že afinná transformácia, ktorá kombinuje afinné kanonické súradnicové systémy dvoch línií tej istej afinnej triedy, tiež kombinuje tieto čiary. Tým je dôkaz hotový.

Ortogonálny transformačný rozklad.

Veta 1.

Každá ortogonálna transformácia sa rozloží na súčin paralelnej translácie, rotácie a prípadne osovej súmernosti.

Dôkaz.

Nech \(f\) je ortogonálna transformácia a \(\vartriangle ABC\) je rovnoramenný pravouhlý trojuholník s pravým uhlom \(A\). Pri transformácii \(f\) sa zmení na rovnaký trojuholník \(\vartriangle A^(*)B^(*)C^(*)\) s pravým uhlom vo vrchole \(A^(*) \). Veta bude dokázaná, ak vykonaním sekvenčného paralelného posunu \(p\), rotácie \(q\) a (ak je to potrebné) osovej súmernosti \(r\) môžeme spojiť trojuholníky \(ABC\) a \( A^ (*)B^(*)C^(*)\). V skutočnosti je súčin \(rqp\) afinnou transformáciou rovnako ako \(f\) a afinná transformácia je jednoznačne určená obrazmi troch bodov, ktoré neležia na tej istej priamke. Preto sa \(rqp\) zhoduje s \(f\).

Preložme teda \(A\) a \(A^(*)\) paralelným prenosom \(p\) do vektora \(\overrightarrow(AA^(*))\) (ak \(A=A ^(* )\), potom \(p\) je transformácia identity). Potom otáčaním \(q\) okolo bodu \(A^(*)\) je \(p(B)\) kompatibilné s \(B^(*)\) (možno aj táto transformácia bude identická ). Bod \(q(p(C))\) sa buď zhoduje s bodom \(C^(*)\), alebo je s ním symetrický vzhľadom na priamku \(A^(*)B^(*)\ ). V prvom prípade už bol cieľ dosiahnutý a v druhom bude potrebná osová symetria vzhľadom na zadanú priamku. Veta bola dokázaná.

Treba mať na pamäti, že výsledné rozšírenie ortogonálnej transformácie nie je jedinečné. Okrem toho, rotácia alebo rovnobežný posun možno rozložiť na súčin osových symetrií, súčin rovnobežného posunu a rotácie možno znázorniť ako jednu rotáciu atď. Nebudeme špecifikovať, ako to urobiť, ale objasníme nasledujúcu všeobecnú vlastnosť všetkých takýchto rozšírení.

Vyhlásenie 5.

Pre akúkoľvek expanziu ortogonálnej transformácie na súčin ľubovoľného počtu paralelných posunov, rotácií a osových symetrií je parita počtu osových symetrií zahrnutých v expanzii rovnaká.

Dôkaz.

Aby sme to dokázali, zvážme ľubovoľnú základňu na rovine a sledujme zmenu jej orientácie (smer najkratšej rotácie z \(\boldsymbol(e)_(1)\) na \(\boldsymbol(e)_ (2)\)) počas vykonávaných premien. Všimnite si, že rotácia a paralelný posun nemenia orientáciu žiadnej základne, ale osová symetria mení orientáciu akejkoľvek základne. Preto, ak daná ortogonálna transformácia zmení orientáciu základne, potom akékoľvek jej rozšírenie musí zahŕňať nepárny počet osových symetrií. Ak sa orientácia základne nemení, potom počet osových symetrií zahrnutých do rozšírenia môže byť iba párny.

Definícia.

Ortogonálne transformácie, ktoré sa dajú rozložiť na súčin paralelnej translácie a rotácie, sa nazývajú ortogonálne transformácie prvého druhu , a zvyšok - ortogonálne transformácie druhého druhu .

Ortogonálna transformácia v kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme je napísaná:
$$
\begin(pole)(cc)


\end(pole).\nočíslo
$$
Pri horných znamienkach koeficientov \(y\) v týchto vzorcoch sa determinant zložený z koeficientov rovná +1 a pri dolných znamienkach sa rovná -1. Odtiaľto a zo vzorca \eqref(ref4) vyplýva nasledujúci výrok.

Vyhlásenie 6.

Ortogonálna transformácia prvého druhu je zapísaná v karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme pomocou vzorcov
$$
\begin(pole)(cc)
& x^(*)=x \cos \varphi \mp y \sin \varphi+c_(1),\\
& y^(*)=x \sin \varphi \pm y \cos \varphi+c_(2).
\end(pole).\nočíslo
$$
s hornými znamienkami pre koeficienty \(y\) a ortogonálnou transformáciou druhého druhu - s dolnými znamienkami.

Rozklad afinnej transformácie.

Videli sme, ako veľmi môže afinná transformácia zmeniť rovinu: kruh sa môže zmeniť na elipsu, pravidelný trojuholník na úplne ľubovoľnú. Zdalo by sa, že sa nedajú zachovať žiadne uhly. Platí však nasledujúce tvrdenie

Vyhlásenie 7.

Pre každú afinnú transformáciu existujú dve navzájom kolmé čiary, ktoré sa transformujú na navzájom kolmé čiary.

Dôkaz.

Aby ste to dokázali, zvážte kruh. Touto afinnou transformáciou sa zmení na elipsu. Každá os elipsy je množinou stredových bodov tetiv rovnobežných s druhou osou. Pri afinnej transformácii sa tetiva premení na tetivu, pričom musí byť zachovaná rovnobežnosť a stred segmentu sa premení na stred jeho obrazu. Preto prototypy osí elipsy sú segmenty, ktoré majú rovnakú vlastnosť: každý z nich je množinou stredových bodov tetiv kruhu rovnobežných s iným segmentom. Takéto segmenty sú určite dva navzájom kolmé priemery kruhu. To je to, čo sme potrebovali: existujú dva navzájom kolmé priemery kruhu, ktoré sa transformujú na navzájom kolmé segmenty - osi elipsy.

Za zmienku stojí jeden špeciálny prípad: kruh pod afinnou transformáciou sa môže zmeniť na kruh. V tomto prípade platí rovnaká úvaha pre akékoľvek dva navzájom kolmé priemery kruhového obrazu. Je zrejmé, že v tomto prípade zostávajú akékoľvek dva navzájom kolmé smery kolmé.

Definícia.

Dva vzájomne kolmé smery sa nazývajú hlavné alebo singulárne smery afinnej transformácie \(f\), ak sa transformujú na vzájomne kolmé smery.

Veta 2.

Každá afinná transformácia sa rozloží na súčin ortogonálnej transformácie a dvoch stlačení na dve navzájom kolmé čiary.

Dôkaz.

Dôkaz je podobný dôkazu. Zvážte afinnú transformáciu \(f\) a vyberte rovnoramenný pravouhlý trojuholník \(ABC\) tak, aby jeho ramená \(AB\) a \(AC\) smerovali pozdĺž hlavných smerov transformácie \(f\). Označme \(A^(*)\), \(B^(*)\) a \(C^(*)\) obrazy jej vrcholov. Urobme ortogonálnu transformáciu \(g\) tak, že \(g(A)=A^(*)\) a body \(g(B)\) a \(g(C)\) ležia v tomto poradí na lúčoch \(A^(*)B^(*)\) a \(A^(*)C^(*)\). (To sa dá ľahko dosiahnuť, ako vo vete 1, paralelným posunom, rotáciou a osovou symetriou.)

Nech \(\lambda=|A^(*)B^(*)|/|A^(*)g(B)|\), a \(\mu=|A^(*)C^(*) |/|A^(*)g(C)|\). Potom kontrakcia \(p_(1)\) na čiaru \(A^(*)C^(*)\) vo vzťahu \(\lambda\) premení \(g(B)\) na \ (p_(1) g(B)=B^(*)\) a neposunie body \(A^(*)\) a \(g(C)\). Podobne stiahnutie \(p_(2)\) na čiaru \(A^(*)B^(*)\) premení \(g(C)\) na \(p_(2)g(C)= C^ (*)\) a neposunie body priamky \(A^(*)B^(*)\).

To znamená, že súčin \(p_(2)p_(1)g\) preberá body \(A\), \(B\) a \(C\) do bodov \(A^(*)\) , \ (B^(*)\) a \(C^(*)\), ako aj transformáciu \(f\), ktorá nám bola daná. Podľa toho, čo bolo predtým dokázané, máme podľa potreby \(p_(2)p_(1)g=f\).

V tomto článku budem hovoriť o jednom nezvyčajnom vzorci, ktorý vám umožňuje pozrieť sa na afinné transformácie z nového uhla pohľadu a najmä na inverzné problémy, ktoré v súvislosti s týmito transformáciami vznikajú. Inverzné úlohy budem nazývať tie, ktoré vyžadujú výpočet inverznej matice: nájdenie transformácie podľa bodov, riešenie sústavy lineárnych rovníc, transformácia súradníc pri zmene základu atď. Dovoľte mi hneď urobiť výhradu, že článok nebude obsahovať zásadné objavy ani zníženie algoritmickej zložitosti - jednoducho ukážem symetrický a ľahko zapamätateľný vzorec, pomocou ktorého môžete vyriešiť neočakávane veľké množstvo bežných problémov. Pre milovníkov matematickej prísnosti je tu viac formalizovaná prezentácia (určená pre študentov) a malá problémová kniha tu.

Afinná transformácia je zvyčajne špecifikovaná maticou a translačným vektorom a pôsobí na vektorový argument podľa vzorca

Môžete sa však zaobísť bez toho, ak pre argument použijete rozšírenú maticu a homogénne súradnice (ako používatelia OpenGL dobre vedia). Ukazuje sa však, že okrem týchto foriem zápisu môžete použiť aj determinant špeciálnej matice, ktorá obsahuje súradnice argumentu aj parametre, ktoré špecifikujú transformáciu. Faktom je, že determinant má vlastnosť linearity nad prvkami ktoréhokoľvek z jeho riadkov alebo stĺpcov, čo umožňuje jeho použitie na reprezentáciu afinných transformácií. Tu je v skutočnosti, ako môžete vyjadriť pôsobenie afinnej transformácie na ľubovoľný vektor:

Neponáhľajte sa s hrôzou utiecť - po prvé, tu je napísaná transformácia, ktorá funguje v priestoroch ľubovoľnej dimenzie (preto je toľko vecí), a po druhé, hoci vzorec vyzerá ťažkopádne, je ľahko zapamätateľný a použiteľný. Na začiatok zvýrazním logicky súvisiace prvky rámami a farbou.

Takže vidíme, že pôsobenie akejkoľvek afinnej transformácie na vektor môže byť reprezentované ako pomer dvoch determinantov, pričom vektorový argument je zahrnutý iba v hornom a spodný je jednoducho konštanta, ktorá závisí iba od parametrov.

Vektor zvýraznený modrou farbou je argument, vektor, na ktorý sa aplikuje afinná transformácia. Tu a nižšie dolné indexy označujú vektorovú zložku. V hornej matici zaberajú zložky takmer celý prvý stĺpec, okrem nich je v tomto stĺpci iba nula (hore) a jedna (dole). Všetky ostatné prvky v matici sú vektory parametrov (číslované s horným indexom umiestneným v zátvorkách, aby nedošlo k zámene so stupňom) a jednotky v poslednom riadku. Parametre vyberú spomedzi všetkých afinných transformácií tú, ktorú potrebujeme. Pohodlie a krása vzorca spočíva v tom, že význam týchto parametrov je veľmi jednoduchý: definujú afinnú transformáciu, ktorá transformuje vektory na . Preto budeme vektory nazývať „vstup“ (v matici sú načrtnuté v obdĺžnikoch) – každý z nich je zapísaný po komponentoch vo vlastnom stĺpci s jednotkou pridanou nižšie. Parametre „Výstup“ sú napísané navrchu (zvýraznené červenou farbou), ale teraz nie komponent po komponente, ale ako celok.

Ak niekoho prekvapí takýto zápis, tak si spomeňte na vektorový súčin

Kde bola veľmi podobná štruktúra a prvý riadok bol obsadený vektormi rovnakým spôsobom. V tomto prípade nie je potrebné, aby sa rozmery vektorov a zhodovali. Všetky determinanty sú vypočítané ako zvyčajne a umožňujú obvyklé „triky“, napríklad do ľubovoľného stĺpca je možné pridať ďalší stĺpec.

So spodnou maticou je všetko mimoriadne jednoduché – z hornej sa získa vymazaním prvého riadku a prvého stĺpca. Nevýhodou je, že musíte počítať determinanty, no ak sa táto rutinná úloha prenesie do počítača, ukáže sa, že človek bude musieť len správne vyplniť matice číslami zo svojej úlohy. Zároveň pomocou jedného vzorca môžete v praxi vyriešiť pomerne veľa bežných problémov:

Afinná transformácia založená na troch bodoch v rovine

Pôsobením neznámej afinnej transformácie sa tri body na rovine premenili na ďalšie tri body. Poďme nájsť túto afinnú transformáciu.
Aby sme boli konkrétni, nechajme naše vstupné body

a výsledkom transformačnej akcie boli body

Poďme nájsť afinnú transformáciu.

V skutočnosti sa tento problém dá vyriešiť rôznymi spôsobmi: pomocou sústavy lineárnych rovníc, barycentrických súradníc... ale pôjdeme vlastnou cestou. Myslím, že z použitej notácie môžete uhádnuť, na čo narážam: vezmeme rovnicu pre dimenziu a nahradíme ju ako vstupné parametre a ako výstupné parametre

a potom už zostáva len vypočítať determinanty
Cvičené oko ľahko zistí odbočenie a vysielanie.

Kedy je vzorec použiteľný?

Vstupné a výstupné vektory môžu mať rôzne rozmery – vzorec je použiteľný pre afinné transformácie pôsobiace na priestory ľubovoľnej dimenzie. Vstupných bodov by však malo byť dosť a nemali by sa „zlepovať“: ak afinná transformácia pôsobí z -rozmerného priestoru, body by mali z bodu tvoriť nedegenerovaný simplex. Ak táto podmienka nie je splnená, potom nie je možné jednoznačne obnoviť transformáciu (akýmkoľvek spôsobom, nielen týmto) - vzorec na to upozorní nulou v menovateli.

Prečo by mal programátor obnovovať afinné transformácie?

Často potrebujete nájsť transformáciu medzi dvoma obrázkami (napríklad na výpočet polohy kamery). Ak na týchto obrázkoch nájdeme niekoľko spoľahlivých špeciálnych bodov (funkcií), alebo jednoducho nechceme hneď začať s vykrádaním a bojom proti presile, potom môžeme použiť tento vzorec.

Vzorec teda skrýva inverznú maticu a násobenie ďalšou maticou navyše. Tento výraz je štandardným riešením problému hľadania lineárnej transformácie z bodov. Všimnite si, že ak z druhej matice v produkte urobíme maticu identity, jednoducho dostaneme inverznú maticu. S jeho pomocou sa rieši systém lineárnych rovníc a problémy, ktoré sú naň redukované: hľadanie barycentrických súradníc, interpolácia pomocou Lagrangeových polynómov atď. Reprezentácia vo forme súčinu dvoch matíc nám však neumožňuje získať tie „dva pohľady“ spojené s rozkladom v prvom riadku a v prvom stĺpci.

Lagrangeova interpolácia a jej vlastnosti

Dovoľte mi pripomenúť, že Lagrangeova interpolácia je hľadanie polynómu najmenšieho stupňa prechádzajúceho bodmi , , , . Nie že by to bola bežná úloha v programátorskej praxi, no pozrime sa na to aj tak.

Ako súvisia polynómy a lineárne transformácie?

Ide o to, že polynóm
možno si predstaviť ako lineárnu transformáciu, ktorá mapuje vektor na . To znamená, že problém interpolácie bodov , , , sa redukuje na nájdenie lineárnej transformácie tak, že

a vieme ako na to. Nahraďte správne písmená do správnych buniek a získajte vzorec

Dôkaz, že to bude Lagrangeov polynóm (a nie niekoho iného), nájdete v. Mimochodom, výraz v menovateli je Vandermondov determinant. Keď to poznáme a rozšírime determinant v čitateli pozdĺž prvého riadku, dospejeme k známejšiemu vzorcu pre Lagrangeov polynóm.

Problém Lagrangeovho polynómu

Je to náročné na používanie? Pokúsme sa vyriešiť problém: nájdite Lagrangeov polynóm prechádzajúci bodmi , a .

Dosadíme tieto body do vzorca

Na grafe bude všetko vyzerať takto.

Vlastnosti Lagrangeovho polynómu

Rozšírením horného determinantu pozdĺž prvého riadku a prvého stĺpca sa pozrieme na Lagrangeov polynóm z dvoch rôznych uhlov. V prvom prípade dostaneme klasický vzorec z Wikipédie a v druhom prípade dostaneme polynóm zapísaný vo forme súčtu monočlenov, kde

A teraz pomerne komplikované tvrdenia dokážeme pomerne jednoduchým spôsobom. Napríklad v jednom riadku je dokázané, že súčet základných Lagrangeových polynómov je rovný jednej a že Lagrangeov polynóm interpolujúci , , , má hodnotu , nulu. No, nie Lagrange sám - podobný prístup sa dá aplikovať na interpoláciu pomocou sínusových kosínusov alebo niektorých iných funkcií.

Záver

Ďakujem všetkým, ktorí dočítali až do konca. V tomto článku sme riešili štandardné problémy pomocou jedného neštandardného vzorca. Páčilo sa mi to, pretože po prvé ukazuje, že afinné (lineárne) transformácie, barycentrické súradnice, interpolácia a dokonca aj Lagrangeove polynómy spolu úzko súvisia. Koniec koncov, keď sú riešenia problémov napísané jednotne, myšlienka ich podobnosti vzniká sama osebe. Po druhé, väčšinou sme jednoducho umiestnili vstupné údaje do správnych buniek bez dodatočných transformácií.

Problémy, o ktorých sme uvažovali, možno vyriešiť pomocou celkom známych metód. Pri problémoch malého rozsahu alebo vzdelávacích úlohách však môže byť vzorec užitočný. Okrem toho si myslím, že je krásna.