Uvažujme operačnú metódu riešenia diferenciálnych rovníc na príklade rovnice tretieho rádu.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť konkrétne riešenie pre lineárnu diferenciálnu rovnicu tretieho rádu s konštantnými koeficientmi

spĺňajúce počiatočné podmienky:

c 0, c 1, c 2 - dané čísla.

Pomocou vlastnosti diferenciácie originálu píšeme:

V rovnici (6.4.1) prejdime od originálov k obrázkom

Výsledná rovnica sa nazýva operátor alebo rovnica v obrázkoch. Vyriešte to relatívne k Y.

Algebraické polynómy v premennej R.

Rovnosť sa nazýva operátorové riešenie diferenciálnej rovnice (6.4.1).

Nájdenie originálu y(t), zodpovedajúcemu nájdenému obrázku, získame konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice.

Príklad: Pomocou metódy operačného počtu nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa dané počiatočné podmienky

Prejdime od originálov k obrázkom

Napíšme pôvodnú rovnicu do obrázkov a vyriešme ju Y

Aby sme našli originál výsledného obrázku, rozložíme menovateľa zlomku na faktor a výsledný zlomok zapíšeme ako súčet jednoduchých zlomkov.

Poďme nájsť koeficienty A, B, A S.

Pomocou tabuľky zaznamenáme originál výsledného obrázku

Konkrétne riešenie pôvodnej rovnice.

Operačná metóda sa podobne aplikuje na riešenie sústav lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi

Neznáme funkcie.

Prejdime k obrázkom

Získame systém reprezentujúcich rovníc

Systém riešime Cramerovou metódou. Nájdeme determinanty:

Hľadanie riešenia pre zobrazovací systém X(p), Y(p), Z(p).

Získali sme požadované riešenie systému

Pomocou operačného počtu môžete nájsť riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc s premenlivými koeficientmi a parciálnych diferenciálnych rovníc; počítať integrály. Zároveň sa výrazne zjednodušuje riešenie problémov. Používa sa pri riešení úloh rovníc matematickej fyziky.

Otázky na sebaovládanie.

1. Ktorá funkcia sa nazýva originál?

2. Aká funkcia sa nazýva obraz originálu?

3. Heaviside funkcia a jej obraz.

4. Získajte obrázok pre funkcie originálov pomocou definície obrázka: f(t) = t , .

5. Získajte obrázky funkcií pomocou vlastností Laplaceových transformácií.

6. Nájdite funkcie originálov pomocou tabuľky obrázkov: ;

7. Nájdite konkrétne riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice pomocou metód operačného počtu.

Literatúra: s. 411-439, s. 572-594.

Príklady: s. 305-316.

LITERATÚRA

1. Danko P.E. Vyššia matematika v cvičeniach a úlohách. V 2 častiach.I.časť: Učebnica. manuál pre vysoké školy/P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Koževniková - M.: Vyššie. škola, 1997.– 304 s.

2. Danko P.E. Vyššia matematika v cvičeniach a úlohách. V 2 častiach.II.časť: Učebnica. manuál pre vysoké školy./ P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Koževniková - M.: Vyššie. škola, 1997.– 416 s.

3. Kaplan I.A. Praktické hodiny vyššej matematiky. Časť 4./ I.A. Kaplan - Vydavateľstvo Charkovskej štátnej univerzity, 1966, 236 s.

4. Piskunov N.S. Diferenciálny a integrálny počet. V 2 zväzkoch, zväzok 1: učebnica. manuál pre vysoké školy./ N.S. Piskunov - M.: vyd. „Veda“, 1972. – 456 s.

5. Piskunov N.S. Diferenciálny a integrálny počet pre vysoké školy. V 2 zväzkoch, zväzok 2: učebnica. Manuál pre vysoké školy../ N.S. Piskunov – M.: vyd. „Veda“, 1972. – 456 s.

6. Napísané D.T. Poznámky k prednáške z vyššej matematiky: kompletný kurz.–4. vyd./ D.T. Napísané – M.: Iris-press, 2006.–608 s. - (Vyššie vzdelanie).

7. Slobodskaja V.A. Krátky kurz vyššej matematiky. Ed. 2., prepracovaný a dodatočné Učebnica manuál pre vysoké školy/V.A. Slobodskaja - M.: Vyššie. škola, 1969.– 544 s.

Poznámky z prednášky Vyššia matematika

pre študentov smeru 6.070104 „Námorná a riečna doprava“

odbor "Prevádzka lodných elektrární"

denné a externé kurzy 2. roč

Náklad______ kópií Podpísané na zverejnenie _______________

Číslo objednávky.__________. Objem__2,78__p.l.

Vydavateľstvo "Kerch State Marine Technological University"

98309 Kerč, Ordžonikidze, 82

Ako vyriešiť diferenciálnu rovnicu
metóda operačného počtu?

V tejto lekcii sa podrobne rozoberie typická a rozšírená úloha komplexnej analýzy - nájdenie konkrétneho riešenia DE 2. rádu s konštantnými koeficientmi pomocou metódy operačného počtu. Znovu a znovu vás zbavujem predsudku, že materiál je nepredstaviteľne zložitý a neprístupný. Je to smiešne, ale na zvládnutie príkladov možno nebudete schopní rozlišovať, integrovať a dokonca ani neviete, čo to je komplexné čísla. Vyžaduje sa aplikačná zručnosť metóda neurčitých koeficientov, o ktorej sa podrobne hovorí v článku Integrácia zlomkovo-racionálnych funkcií. Základným kameňom zadania sú v skutočnosti jednoduché algebraické operácie a som si istý, že materiál je dostupný aj stredoškolákom.

Najprv stručné teoretické informácie o uvažovanej časti matematickej analýzy. Hlavný bod operačný počet je nasledovná: funkcia platné premenná pomocou tzv Laplaceova transformácia zobrazené v funkciu obsiahly premenlivý :

Terminológia a označenia:
funkcia sa volá originálny;
funkcia sa volá obrázok;
veľké písmeno označuje Laplaceova transformácia.

Zjednodušene povedané, reálna funkcia (originál) sa podľa určitých pravidiel musí previesť na komplexnú funkciu (obraz). Šípka presne ukazuje túto transformáciu. A samotné „určité pravidlá“ sú Laplaceova transformácia, ktorý budeme uvažovať len formálne, čo bude na riešenie problémov úplne postačovať.

Inverzná Laplaceova transformácia je tiež uskutočniteľná, keď sa obraz transformuje na originál:

Prečo je toto všetko potrebné? V rade vyšších matematických úloh môže byť veľmi výhodné prejsť od originálov k obrázkom, keďže v tomto prípade je riešenie úlohy výrazne zjednodušené (srandujem). A budeme sa zaoberať len jedným z týchto problémov. Ak ste sa dožili operačného počtu, potom by vám formulácia mala byť veľmi známa:

Nájdite konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi pre dané počiatočné podmienky.

Poznámka: niekedy môže byť diferenciálna rovnica homogénna: , pre ňu je v uvedenej formulácii tiež použiteľná metóda operatívneho počtu. Avšak v praktických príkladoch homogénna DE 2. rádu je extrémne zriedkavé a ďalej budeme hovoriť o nehomogénnych rovniciach.

A teraz bude diskutovaná tretia metóda - riešenie diferenciálnych rovníc pomocou operačného počtu. Ešte raz zdôrazňujem skutočnosť, že hovoríme o hľadaní konkrétneho riešenia, okrem toho, počiatočné podmienky majú striktne formu(„X“ sa rovnajú nule).

Mimochodom, o „X“. Rovnicu je možné prepísať takto:
, kde „x“ je nezávislá premenná a „y“ je funkcia. Nie je náhoda, že o tom hovorím, pretože v uvažovanom probléme sa najčastejšie používajú iné písmená:

To znamená, že úlohu nezávislej premennej hrá premenná „te“ (namiesto „x“) a úlohu funkcie zohráva premenná „x“ (namiesto „y“).

Chápem, že je to samozrejme nepohodlné, ale je lepšie držať sa zápisov, ktoré sa nachádzajú vo väčšine problémových kníh a školiacich príručiek.

Takže náš problém s inými písmenami je napísaný takto:

Nájdite konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi pre dané počiatočné podmienky .

Význam úlohy sa vôbec nezmenil, zmenili sa len písmená.

Ako vyriešiť tento problém pomocou metódy operačného počtu?

V prvom rade budete potrebovať tabuľka originálov a obrázkov. Toto je kľúčový nástroj riešenia a bez neho sa nezaobídete. Preto, ak je to možné, skúste si vytlačiť poskytnutý referenčný materiál. Dovoľte mi okamžite vysvetliť, čo znamená písmeno „pe“: komplexná premenná (namiesto obvyklého „z“). Hoci táto skutočnosť nie je pre riešenie problémov obzvlášť dôležitá, „pe“ je „pe“.

Pomocou tabuľky je potrebné originály premeniť na nejaké obrázky. Nasleduje séria typických akcií a používa sa inverzná Laplaceova transformácia (tiež v tabuľke). Takto sa nájde požadované konkrétne riešenie.

Všetky problémy, čo je pekné, sa riešia podľa pomerne prísneho algoritmu.

Príklad 1

, ,

Riešenie: V prvom kroku prejdeme od originálov k zodpovedajúcim obrázkom. Používame ľavú stranu.

Najprv sa pozrime na ľavú stranu pôvodnej rovnice. Pre Laplaceovu transformáciu máme pravidlá linearity, takže ignorujeme všetky konštanty a pracujeme oddelene s funkciou a jej deriváciami.

Pomocou tabuľkového vzorca č. 1 transformujeme funkciu:

Podľa vzorca č.2 , berúc do úvahy počiatočnú podmienku, transformujeme deriváciu:

Pomocou vzorca č. 3, berúc do úvahy počiatočné podmienky, transformujeme druhú deriváciu:

Nenechajte sa zmiasť znameniami!

Uznávam, že je správnejšie povedať „premeny“ ako „vzorce“, ale pre jednoduchosť z času na čas nazvem obsah tabuľky vzorcami.

Teraz sa pozrime na pravú stranu, ktorá obsahuje polynóm. Kvôli tomu istému pravidlá linearity Laplaceova transformácia, pracujeme s každým pojmom samostatne.

Pozrime sa na prvý člen: - toto je nezávislá premenná „te“ vynásobená konštantou. Konštantu ignorujeme a pomocou bodu č.4 tabuľky vykonáme transformáciu:

Pozrime sa na druhý termín: –5. Keď sa konštanta nájde sama, už ju nemožno preskočiť. S jedinou konštantou to robia: pre prehľadnosť to môže byť reprezentované ako súčin: a transformácia môže byť aplikovaná na jednotu:

Pre všetky prvky (originály) diferenciálnej rovnice sa teda pomocou tabuľky našli zodpovedajúce obrázky:

Nahraďte nájdené obrázky do pôvodnej rovnice:

Ďalšou úlohou je vyjadriť sa operátorské riešenie cez všetko ostatné, totiž cez jeden zlomok. V tomto prípade je vhodné dodržať nasledujúci postup:

Najprv otvorte zátvorky na ľavej strane:

Podobné výrazy uvádzame na ľavej strane (ak existujú). V tomto prípade sčítame čísla –2 a –3. Dôrazne odporúčam, aby čajníky nepreskočili tento krok:

Vľavo necháme výrazy, ktoré obsahujú , a zvyšné výrazy presunieme doprava so zmenou znamienka:

Na ľavej strane dáme riešenie operátora zo zátvoriek, na pravej strane zredukujeme výraz na spoločného menovateľa:

Polynóm vľavo by mal byť faktorizovaný (ak je to možné). Riešenie kvadratickej rovnice:

Takto:

Obnovili sme menovateľa pravej strany:

Cieľ bol dosiahnutý - operátorské riešenie je vyjadrené v jednotkách zlomku.

Dejstvo druhé. Použitím metóda neurčitých koeficientov, operátorové riešenie rovnice by sa malo rozšíriť na súčet elementárnych zlomkov:

Dajme rovnítko medzi koeficienty pri príslušných mocninách a vyriešme sústavu:

Ak máte nejaké problémy s sledujte prosím články Integrácia zlomkovo-racionálnej funkcie A Ako vyriešiť sústavu rovníc? Je to veľmi dôležité, pretože zlomky sú v podstate najdôležitejšou časťou problému.

Takže koeficienty sa nájdu: a riešenie operátora sa pred nami objaví v rozloženom stave:

Upozorňujeme, že konštanty sa nepíšu v čitateloch zlomkov. Táto forma nahrávania je výnosnejšia ako . A je to ziskovejšie, pretože posledná akcia prebehne bez zmätku a chýb:

Poslednou fázou problému je použitie inverznej Laplaceovej transformácie na prechod od obrázkov k zodpovedajúcim originálom. Pomocou pravého stĺpca tabuľky originálov a obrázkov.

Možno nie každý rozumie konverzii. Použije sa tu vzorec bodu č.5 tabuľky: . Podrobnejšie: . V skutočnosti možno pre podobné prípady vzorec upraviť: . A všetky tabuľkové vzorce bodu č.5 sa dajú veľmi ľahko prepísať podobným spôsobom.

Po spätnom prechode sa požadovaný čiastočný roztok DE získa na striebornom tanieri:

bol:

Sa stal:

odpoveď: súkromné riešenie:

Ak máte čas, vždy je vhodné vykonať kontrolu. Kontrola sa vykonáva podľa štandardnej schémy, ktorá už bola prediskutovaná v triede. Nehomogénne diferenciálne rovnice 2. rádu. Zopakujme si:

Skontrolujeme splnenie počiatočnej podmienky:
- hotový.

Poďme nájsť prvú deriváciu:

Skontrolujeme splnenie druhej počiatočnej podmienky:
- hotový.

Poďme nájsť druhú deriváciu:

Poďme nahradiť , a na ľavú stranu pôvodnej rovnice:

Získa sa pravá strana pôvodnej rovnice.

Záver: úloha bola splnená správne.

Malý príklad vlastného riešenia:

Príklad 2

Pomocou operačného počtu nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice za daných počiatočných podmienok.

Približná ukážka záverečného zadania na konci hodiny.

Najbežnejším hosťom v diferenciálnych rovniciach, ako si mnohí už dávno všimli, sú exponenciály, a tak sa pozrime na niekoľko príkladov s nimi, ich príbuznými:

Príklad 3

, ,

Riešenie: Pomocou Laplaceovej transformačnej tabuľky (ľavá strana tabuľky) prejdeme od originálov k zodpovedajúcim obrázkom.

Najprv sa pozrime na ľavú stranu rovnice. Neexistuje tam žiadna prvá derivácia. No a čo? Skvelé. Menej práce. Ak vezmeme do úvahy počiatočné podmienky, pomocou tabuľkových vzorcov č. 1, 3 nájdeme obrázky:

Teraz sa pozrite na pravú stranu: – súčin dvoch funkcií. S cieľom využiť vlastnosti linearity Laplaceova transformácia, musíte otvoriť zátvorky: . Keďže konštanty sú v produktoch, zabudneme na ne a pomocou skupiny č.5 tabuľkových vzorcov nájdeme obrázky:

Nahraďte nájdené obrázky do pôvodnej rovnice:

Dovoľte mi pripomenúť, že ďalšou úlohou je vyjadriť operátorské riešenie pomocou jediného zlomku.

Na ľavej strane necháme výrazy, ktoré obsahujú , a zvyšné výrazy presunieme na pravú stranu. Zároveň na pravej strane začneme pomaly zmenšovať zlomky na spoločného menovateľa:

Vľavo ho vyjmeme zo zátvoriek, vpravo privedieme výraz do spoločného menovateľa:

Na ľavej strane získame polynóm, ktorý nemožno faktorizovať. Ak sa polynóm nedá rozložiť na faktor, potom treba úbožiaka okamžite hodiť na dno pravej strany a nohy mu zabetónovať v panve. A v čitateli otvárame zátvorky a uvádzame podobné výrazy:

Prišla najnáročnejšia fáza: metóda neurčených koeficientov Rozšírme operátorové riešenie rovnice na súčet elementárnych zlomkov:

Takto:

Všimnite si, ako sa zlomok rozkladá: , čoskoro vysvetlím, prečo je to tak.

Dokončiť: prejdime od obrázkov k zodpovedajúcim originálom, použite pravý stĺpec tabuľky:

V dvoch nižších transformáciách boli použité vzorce č. 6 a 7 tabuľky a zlomok bol predexpandovaný len tak, aby sa „hodil“ do tabuľkových transformácií.

Výsledkom je konkrétne riešenie:

odpoveď: požadované konkrétne riešenie:

Podobný príklad pre DIY riešenie:

Príklad 4

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice pomocou metódy operačného počtu.

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny.

V príklade 4 je jedna z počiatočných podmienok nula. To určite zjednodušuje riešenie a najideálnejšia možnosť je, keď sú obe počiatočné podmienky nulové: . V tomto prípade sa deriváty skonvertujú na obrázky bez chvostov:

Ako už bolo uvedené, najťažším technickým aspektom problému je expanzia frakcie metóda neurčených koeficientov, a mám k dispozícii dosť prácne príklady. Nikoho však nebudem zastrašovať príšerami; zvážme niekoľko typických variácií rovnice:

Príklad 5

Pomocou metódy operačného počtu nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa dané počiatočné podmienky.
, ,

Riešenie: Pomocou Laplaceovej transformačnej tabuľky prechádzame od originálov k zodpovedajúcim obrázkom. Vzhľadom na počiatočné podmienky :

Ani s pravou stranou nie sú žiadne problémy:

(Pamätajte, že násobiace konštanty sa ignorujú)

Nahraďte výsledné obrázky do pôvodnej rovnice a vykonajte štandardné akcie, ktoré, dúfam, už dobre fungujú:

Konštantu v menovateli berieme mimo zlomku, hlavnou vecou je nezabudnúť na to neskôr:

Rozmýšľal som, či z čitateľa vyškrtnúť ďalšie dve, avšak po bilancovaní som dospel k záveru, že tento krok ďalšie rozhodovanie prakticky nezjednoduší.

Zvláštnosťou úlohy je výsledný zlomok. Zdá sa, že jeho rozklad bude dlhý a náročný, no zdanie klame. Prirodzene, existujú ťažké veci, ale v každom prípade - vpred, bez strachu a pochybností:

Skutočnosť, že niektoré kurzy sa ukázali ako zlomkové, by nemala byť mätúca; táto situácia nie je nezvyčajná. Len keby nezlyhala výpočtová technika. Okrem toho je vždy možnosť skontrolovať odpoveď.

Výsledkom je, že riešenie operátora:

Prejdime od obrázkov k zodpovedajúcim originálom:

Takže konkrétne riešenie:

Veľkosť: px

Začnite zobrazovať zo stránky:

Prepis

1 Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie (operačná metóda) Operačný počet je jednou z najhospodárnejších metód integrácie lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi a je medzi inžiniermi veľmi obľúbený. Metódu navrhol slávny americký elektrotechnik a fyzik O. Heaviside (892). Navrhol formálne pravidlá pre obsluhu operátora d dx a niektorých funkcií z tohto operátora, pomocou ktorých vyriešil množstvo dôležitých problémov v elektrodynamike. Operačný kalkul však v prácach O. Heavisidea nedostal matematické opodstatnenie („jeho matematika vznikla vo fyzikálnom kontexte, od ktorého sa nedalo ľahko izolovať“ [, s. 8]), mnohé jeho výsledky zostali nepreukázané. Až v 2. rokoch 20. storočia dostala metóda opodstatnenie v prácach Bromwicha (T. J. I A. Bromwich) a Carsona (J. R. Carson) 2.. Pojem originálu a obrazu podľa Laplace Definition. Pôvodná funkcia je akákoľvek komplexná funkcia f(x) reálneho argumentu x, ktorá spĺňa nasledujúce podmienky:) f(x) je spojitá pre x, možno s výnimkou konečného počtu bodov nespojitosti -tého milý; 2) pre všetky x< f(x) = ; 3) существуют такие постоянные M >a a >, pre ktoré f(x) M e ax pre x. () Diferenciálne a integrálne rovnice: učebnica pre študentov Fyzikálnej a technickej fakulty v rozsahu 3 hod.. 2. časť / komp. : N. Yu Svetová, E. E. Semjonová. Petrozavodsk: Vydavateľstvo PetrSU, Pokusy o dôsledné zdôvodnenie a „matematicky prijateľnú“ prezentáciu kalkulu pripomínali „všeobecný útok“: anglický matematik Bromwich (96), americký inžinier Carson (925), holandský elektrotechnik Van der Pol ( ) zaujali výsledky rôznych teórií, spájajúcich Heavisideov kalkul s Laplaceovou transformáciou, s teóriou funkcií komplexnej premennej.

2 2 Infimum a všetkých čísel a, pre ktoré platí nerovnosť (), sa nazýva rastový exponent funkcie f(x). Všimnite si, že pre akúkoľvek obmedzenú funkciu je index rastu a =. Najjednoduchším originálom je Heavisideova funkcia (, x ; χ(x) =, x<. Очевидно, для любой функции ϕ(x) { ϕ(x), x, ϕ(x) χ(x) =, x <. Если при x функция ϕ(x) удовлетворяет условиям и 3 определения, то функция ϕ(x)χ(x) является оригиналом. В дальнейшем для сокращения записи будем, как правило, записывать ϕ(x) вместо ϕ(x)χ(x), считая, что рассматриваемые нами функции продолжены нулем для отрицательных значений аргумента x. Определение 2. Функция F (p) комплексного переменного p (p C), определяемая интегралом F (p) = e px f(x) dx, () называется преобразованием Лапласа, или изображением по Лапласу 3, функции f(x). Для указания соответствия между оригиналом и изображением будем использовать следующую запись 4: f(x) F (p). 3 В мемуарах П. Лапласа (782 82) современные оригинал и изображение именуются fonction determinant и fonction generatrice «определяющая функция» и «производящая». Эти названия, хотя и признанные неудачными, сохранились до XX в. Хевисайд употреблял названия «подоператорная функция» (892). Оператор он обозначал буквой p, которая употребляется в современном исчислении . 4 Названия original и image и знак предложил Ван дер Поль в статьях гг. В русской литературе термин изображение и символ, по-видимому, впервые появились в книге харьковских математиков А. М. Эфроса и А. М. Данилевского «Операционное исчисление и контурные интегралы» (937), а термин оригинал только в 953 г. . Используются и другие варианты записи соответствия между оригиналами и изображениями. Например, f(x) F (p) или L{f(x)} = F (p).

3 Pre ľubovoľnú pôvodnú f(x) je jej obraz F (p) definovaný v polrovine Re p > a (a je index rastu funkcie f(x)), kde nevlastný integrál () konverguje. Príklad. Pomocou definície nájdite obraz funkcie f(x) = sin 3x. Riešenie. Pre funkciu f(x) = sin 3x máme a =. Preto bude obraz F (p) definovaný v polrovine Re p >. Aplikujme na danú funkciu vzorec () s použitím pravidla integrácie po častiach a obmedzenia na množinu hodnôt premennej p, zabezpečujúce konvergenciu integrálu: F (p) = + e px sin 3x dx = = p e px sin 3x x= = 3 p p e px cos 3x = 3 p 2 9 p 2 Dostaneme rovnosť: Kde nájdeme + x=+ + 3 p x=+ x= + 3 p e px cos 3x dx = + e px sin 3x dx = 3 p 2 9 p 2 F (p ). F (p) = 3 p 2 9 p 2 F (p). F (p) = 3 p Platí teda nasledujúca zhoda: sin 3x 3 p 2, Re p >. + 9 e px sin 3x dx = 3

4 4 2. Vlastnosti Laplaceovej transformácie V praxi sa pri konštrukcii obrázkov používajú rôzne techniky založené na vlastnostiach Laplaceovej transformácie. Uveďme si hlavné vlastnosti, ktorých platnosť sa dá ľahko zistiť pomocou definícií obrazu a originálu Vlastnosť linearity. Ak f(x) F (p), g(x) G(p), potom pre ľubovoľné α, βC αf(x) + βg(x) αf (p) + βg(p), Re p > max( a, b). Tu a nižšie sú a a b indikátory rastu pre funkcie f(x) a g(x). 2. Veta o podobnosti. Ak f(x) F (p), potom pre ľubovoľné α > f(αx) α F (p α), Re p > αa. 3. Veta o posunutí. Ak f(x) F (p), potom pre ľubovoľné λ C e λx f(x) F (p λ), Re p > a + Re λ. 4. Diferenciácia originálu. Nech je funkcia f(x) n-krát diferencovateľná. Potom f (x) pf (p) f(+), f (x) p 2 F (p) pf(+) f (+), f (n) (x) p n F (p) p n f(+). .. pf (n 2) (+) f (n) (+), kde f (k) (+) = lim x + f (k) (x), k =, n. Komentujte. Pri konštrukcii obrazov derivácií funkcií spojitých s nulou sa znamienko plus pri písaní argumentu funkcie a jej derivácií vynecháva. 5. Diferenciácia obrazu. Ak f(x) F (p), potom Najmä pre n = máme F (n) (p) (x) n f(x), Re p >. F (p) xf (x).

5 5 6. Začlenenie originálu. Ak f(x) F (p), potom x f(ξ) dξ F (p) p, Re p > α. 7. Integrácia obrazu. Ak je integrál a F (p) f(x), potom p F (p) dp f(x) x, Re p > α. p F (p) dp konverguje 8. Veta o násobení obrazu (konvolučná veta) Ak f(x) F (p), g(x) G(p), potom F (p)g(p) x f(t) g( x t) dt = x f(x t)g(t) dt, keď Re p > max(a, b). Integrály na pravej strane korešpondencie sa nazývajú konvolúcia funkcií f(x) a g(x). 9. Veta o oneskorení. Ak f(x) F (p), potom pre ľubovoľné ξ > f(x ξ)χ(x ξ) e ξp F (p), Re p > α. Originál je obnovený z obrazu jedinečným spôsobom, presne podľa hodnôt v bodoch zlomu. V praxi sa zvyčajne používajú hotové tabuľky originálov a obrázkov 5. V tabuľke sú uvedené hlavné originály a obrázky, ktoré sa často nachádzajú v aplikáciách. Príklad 2. Pomocou vlastností Laplaceovej transformácie a tabuľky základných originálov a obrázkov nájdite obrázky nasledujúcich funkcií:) f(x) = e 4x sin 3x cos 2x; 3) f(x) = x2e3x; 2) f(x) = e (x 2) sin (x 2); 4) f(x) = sin2 x x. 5 Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Príručka operačného počtu. M., 965.

6 6 Tabuľka. Základné originály a obrázky Originálny obrázok Originálny obrázok p cos ωx p p 2 + ω 2 x n n! p n+ e λx p + λ sin ωx x cos ωx x n e λx n! (p + λ) n+ x sin ωx ω p 2 + ω 2 p 2 ω 2 (p 2 + ω 2) 2 2pω (p 2 + ω 2) 2 Riešenie.) Transformujte výraz pre funkciu f(x) ako nasleduje: f(x) = e 4x sin 3x cos 2x = 2 e 4x (sin 5x + sin x) = = 2 e 4x sin 5x + 2 e 4x sin x. Keďže sin x 5 p 2 a sin 5x + p, potom pomocou vlastnosti linearity a vety o posunutí na zobrazenie funkcie f(x) budeme mať: F (p) = () 5 2 (p + 4) ( p + 4 )) Keďže sin x p 2 +, ex sin x (p) 2 +, potom pomocou vety o oneskorení budeme mať f(x) = e x 2 sin (x 2) F (p) = e 2p ( p)) Takže ako x 2 2 p 3, potom podľa vety o posunutí máme: f(x) = x 2 e 3x F (p) = 2 (p 3) 3.

7 Pre porovnanie uvádzame metódu na zostrojenie obrazu funkcie f(x) = x 2 e 3x s využitím vlastnosti obrazovej diferenciácie: Získali sme rovnaký výsledok. 4) Keďže e 3x p 3 ; xe 3x d () = dp p3 (p 3) 2; x 2 e 3x d () 2 dp (p 3) 2 = (p 3) 3. sin 2 x = 2 2 cos 2x 2p 2 p p 2 + 4, potom pomocou vlastnosti integrácie obrazu budeme mať: sin 2 x ( x 2p) 2 p p 2 dp = + 4 p (= 4 ln p2) 4 ln (p2 + 4) = p 4 ln p 2 p p = 4 ln p2 + 4 p Obnovenie originálu z obrázku Nechať obrázok Y (p) byť vlastný racionálny zlomok (je racionálna funkcia). Ak sa zlomok rozloží na súčet najjednoduchších (elementárnych) zlomkov, potom pre každý z nich možno nájsť zodpovedajúci originál pomocou vlastností Laplaceovej transformácie a tabuľky originálov a ich obrázkov. Skutočne, A p a A eax ; A (p a) n A (n)! xn e sekera.

8 8 Po prepočte zlomku Ap + B A(p a) + aa + B A(p a) (p a) 2 = + b2 (p a) 2 + b 2 = (p a) 2 + b 2 + aa + B (p a) 2 + b 2, dostaneme Ap + B (p a) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ax sin bx. b Na zostrojenie originálu zodpovedajúceho zlomku Ap + B ((p a) 2 + b 2) n môžete použiť vetu o násobení. Napríklad pre n = 2 máme Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 = Ap + B (p a) 2 + b 2 (p a) 2 + b 2. Odvtedy a potom Pre n = 3: Ap + B (p a) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ax sin bx = h (x) b (p a) 2 + b 2 b eax sin bx = g(x), Ap + B ((p a ) 2 + b 2) 2 = x Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 (p a) 2 + b 2 g(x t) h (t) dt = h2 (t). x g(x t) h 2 (t) dt, Podobne môžeme uvažovať o obnove originálov pre n > 3. Menovateľ racionálnej funkcie Y (p) je polynóm rádu k. Ak má k odlišných núl p i, i =, k, potom sa rozširuje

9 menovateľ podľa faktorov (p p i), zodpovedajúci originál pre Y (p) nájdeme podľa vzorca: y(x) = k (Y (p)(p p i)e px) p=pi. (2) i= Súčin Y (p)(p p i) dáva racionálnu funkciu, ktorej menovateľ neobsahuje faktor (p p i) a vypočítaný pri p = p i určuje koeficient, s ktorým je zlomok zahrnutý do p p i rozšírenie funkcie Y (p) na súčet elementárnych zlomkov. Príklad 3. Nájdite originál zodpovedajúci obrázku: Y (p) = p 3 p. Riešenie. Po rozšírení daného obrázku na súčet elementárnych zlomkov: p 3 p = p(p)(p +) = p + 2(p) + 2(p +), nájdeme pôvodnú odpoveď: y(x) = + ch x. y(x) = + 2 ex + 2 e x = + ch x. Príklad 4. Nájdite originál pre obrázok: Y (p) = p(p 2 +). Riešenie. Pretože p 2 sin x, potom použitím integračnej vlastnosti originálu + dostaneme: p(p 2 +) x Odpoveď: y(x) = cos x. sin t dt = cos t x = cos x. Príklad 5. Nájdite originál zodpovedajúci obrázku: Y (p) = (p 2 + 4) 2. 9

10 Riešenie. Aplikovaním vlastnosti konvolučného obrazu máme: Y (p) = (p 2 + 4) 2 = p p x sin 2(x t) sin 2t dt. Po vypočítaní integrálu dostaneme požadovaný výraz pre originál. Odpoveď: y(x) = 6 sin 2x x cos 2x. 8 Príklad 6. Nájdite originál zodpovedajúci obrázku: Y (p) = p p 3 p 2 6p. Riešenie. Keďže p 3 p 2 6p = p(p 3)(p + 2), potom menovateľ zlomku Y (p) má tri jednoduché korene: p =, p 2 = 3 a p 3 = 2. Zostrojme príslušné originál pomocou vzorca (2): y(x) = (p2 + 2)e px (p 3)(p + 2) + (p2 + 2)e px p= p(p + 2) + (p2 + 2 )e px p =3 p(p 3) = p= 2 = e3x e 2x. Príklad 7. Nájdite originál zodpovedajúci obrázku: Y (p) = e p 2 p(p +)(p 2 + 4). Riešenie. Predstavme si zlomok obsiahnutý vo výraze v tvare jednoduchých zlomkov: p(p +)(p 2 + 4) = A p + B p + + Cp + D p Aplikovaním metódy neurčitých koeficientov na rozšírenie získame : Obrázok bude vyzerať takto: A = 4 ; B = D = 5; C = 2. Y (p) = e p 2 4 p 5 e p 2 p + pe p 2 2 p e p 2 5 p (a)

11 Pomocou vzťahov: p χ(x), p + e x χ(x), p p cos 2x χ(x), p sin 2x χ(x) 2 a pri zohľadnení retardačnej vety získame požadovaný originál pre obraz (a). Odpoveď: y(x) = (4 5 e (x 2) cos (2x) sin (2x) 2) χ (x) Riešenie Cauchyho úlohy pre diferenciálnu rovnicu s konštantnými koeficientmi Metóda riešenia rôznych tried rovníc pomocou Laplaceova transformácia sa nazýva operačná metóda. Vlastnosť Laplaceovej transformácie, diferenciácia originálu, nám umožňuje redukovať riešenie lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi na riešenie algebraických rovníc. Uvažujme Cauchyho problém pre nehomogénnu rovnicu s počiatočnými podmienkami y (n) + a y (n) a n y + a n y = f(x) (3) y() = y, y () = y,..., y (n ) ( ) = y n. (4) Nech funkcia f(x) a požadované riešenie spĺňajú podmienky existencie Laplaceovej transformácie. Označme Y (p) obraz neznámej funkcie (pôvodnej) y(x) a F (p) obraz pravej strany f(x): y(x) Y (p), f (x) F (p). Podľa pravidla diferenciácie originálu máme y (x) py (p) y, y (x) p 2 Y (p) py y, y (n) (x) p n Y (p) p n y p n 2 y.. y n.

12 2 Potom, vďaka vlastnosti linearity Laplaceovej transformácie, po jej aplikovaní na ľavú a pravú stranu rovnice (3), dostaneme operátorovú rovnicu M(p)Y (p) N(p) = F (p ), (5) kde M(p) charakteristický polynóm rovnice (3): M(p) = p n + a p n a n p + a n y, N(p) polynóm obsahujúci počiatočné údaje Cauchyho úlohy (zanikne, keď sú počiatočné údaje nula ): N(p) = y (p n + a p n a n) + + y (p n 2 + a p n a n 2) y n 2 (p + a) + y n, F (p) obraz funkcie f(x). Vyriešením operátorovej rovnice (5) získame Laplaceov obraz Y (p) požadovaného riešenia y(x) v tvare Y (p) = F (p) + N(p). M(p) Obnovením originálu pre Y (p) nájdeme riešenie rovnice (3), ktoré spĺňa počiatočné podmienky (4). Príklad 8. Nájdite riešenie diferenciálnej rovnice: y (x) + y(x) = e x, spĺňajúce podmienku: y() =. Riešenie. Nech y(x) Y (p). Keďže y (x) py (p) y() = py (p), e x p +, potom aplikáciou Laplaceovej transformácie na danú rovnicu pomocou vlastnosti linearity získame algebraickú rovnicu pre Y (p): py ( p) + Y (p) = p +. Kde nájdeme výraz pre Y (p):

13 Odvtedy máme Y (p) = p + e x, (p +) 2 + p +. (p +) 2 xe x, Y (p) y (x) = e x x + e x. Overenie: Ukážme, že nájdená funkcia je skutočne riešením Cauchyho problému. Do danej rovnice dosadíme výraz pre funkciu y(x) a jej deriváciu: y (x) = e x x + e x e x = e x x e x x + e x x + e x = e x. Po privedení podobných členov na ľavú stranu rovnice získame správnu identitu: e x e x. Skonštruovaná funkcia je teda riešením rovnice. Skontrolujeme, či spĺňa počiatočnú podmienku y() = : y() = e + e =. V dôsledku toho je nájdená funkcia riešením Cauchyho problému. Odpoveď: y(x) = e x x + e x. Príklad 9. Vyriešte Cauchyho úlohu y + y =, y() =, y() =. Riešenie. Nech y(x) Y (p). Pretože 3 y (x) p 2 Y (p) py() y (), /p, potom použitím Laplaceovej transformácie na rovnicu, berúc do úvahy počiatočné podmienky, dostaneme (p 2 +)Y (p) = p = Y (p) = p(p2+). Rozložme zlomok na jednoduchšie zlomky: Y (p) = p Z tabuľky zistíme y(x) = cos x. p p 2 +.

14 4 Originál môžete obnoviť aj z obrázka použitím vlastnosti integrácie originálu (pozri príklad 4). Odpoveď: y(x) = cos x. Príklad. Vyriešte Cauchyho úlohu y +3y = e 3x, y() =, y() =. Riešenie. Nech y(x) Y (p). Keďže y py (p) y(), y (x) p 2 Y (p) py() y () a e 3x p + 3, potom, berúc do úvahy počiatočné podmienky, dostaneme operátorovú rovnicu (p 2 + 3p) Y (p) + = p + 2 = Y (p) = p + 3 (p + 3) 2 p. Rozložme racionálnu funkciu na jednoduché zlomky: p + 2 (p + 3) 2 p = A p + B p C (p + 3) 2 = A(p2 + 6p + 9) + B(p 2 + 3p) + Cp p (p + 3) 2. Vytvorme sústavu rovníc na nájdenie koeficientov A, B a C: A + B =, 6A + 3B + C =, 9A = 2, ktorých riešením nájdeme A = 2/9 B = 2/9, C = /3. Preto Y (p) = 2 9 p p (p + 3) 2. Pomocou tabuľky dostaneme odpoveď. Odpoveď: y(x) = e 3x 3 xe 3x. Príklad. Nájdite riešenie diferenciálnej rovnice: y (x) + 2y (x) + 5y (x) =, spĺňajúce podmienky: y() =, y () = 2, y () =. Riešenie. Nech y(x) Y (p). Keďže pri zohľadnení daných podmienok máme y (x) p Y (p) y() = py (p) () = py (p) +, y (x) p 2 Y (p) p y() y () = = p 2 Y (p) p () 2 = p 2 Y (p) + p 2, y (x) p 3 Y (p) p 2 y() p y () y () = = p 3 Y ( p) p 2 () p 2 = p 3 Y (p) + p 2 2p,

15 potom po aplikovaní Laplaceovej transformácie na danú rovnicu dostaneme nasledujúcu operátorovú rovnicu: p 3 Y (p) + p 2 2p + 2p 2 Y (p) + 2p 4 + 5pY (p) + 5 = alebo po transformáciách: Y (p) (p 3 + 2p 2 + 5p) = p 2. Vyriešením tejto rovnice pre Y (p) dostaneme Y (p) = p 2 p(p 2 + 2p + 5). Výsledný výraz rozložme na jednoduché zlomky: p 2 p(p 2 + 2p + 5) = A p + Bp + C p 2 + 2p + 5. Metódou neurčitých koeficientov nájdeme A, B, C. Aby sme to dosiahli, zlomky zredukujeme na všeobecného menovateľa a vyrovnáme koeficienty pre rovnaké mocniny p: p 2 p(p 2 + 2p + 5) = Ap2 + 2Ap + 5A + Bp 2 + Cp p(p p + 5) Získame sústavu algebraických rovníc pre A, B, C: ktorej riešenie bude: A + B =, 2A + C =, 5A =, A = 5, B = 4 5, C = 2 5. Potom Y (p) = 5p + 5 4p + 2 p 2 + 2p + 5. Aby sme našli originál druhého zlomku, vyberieme v jeho menovateli celý štvorec: p 2 + 2p + 5 = (p +) 2 + 4, potom v čitateli vyberieme člen p+: 4p+2 = 4(p+)+6 a zlomok rozložíme na súčet dvoch zlomkov : 5 4p + 2 p 2 + 2p + 5 = 4 5 p + (p +) (p +) Ďalej pomocou vety o posunutí a korešpondenčnej tabuľky medzi obrázkami a originálmi získame riešenie pôvodnej rovnice. Odpoveď: y(x) = e x cos 2x e x sin 2x.

16 6 Pomocou operačnej metódy možno zostrojiť všeobecné riešenie rovnice (3). Na to je potrebné nahradiť konkrétne hodnoty y, y,..., y (n) počiatočných podmienok ľubovoľnými konštantami C, C 2,..., C n. Bibliografia. Aleksandrova N.V. História matematických termínov, konceptov, notácií: Slovníková príručka. M.: Vydavateľstvo LKI, s. 2. Vasilyeva A. B. Diferenciálne a integrálne rovnice, variačný počet v príkladoch a problémoch / A. B. Vasilyeva, G. N. Medvedev, N. A. Tichonov, T. A. Urazgildina. M.: FIZ-MATLIT, s. 3. Sidorov Yu.V. Prednášky z teórie funkcií komplexnej premennej / Yu. V. Sidorov, M. V. Fedoryuk, M. I. Shabunin. M.: Veda, 989.

OPERAČNÝ kalkul Operačný kalkul označuje symbolický kalkul, ktorý je založený na konštrukcii matematickej analýzy ako systému formálnych operácií na umelo zavedenom

Lekcia 18 Originály a ich obrázky Operačný počet je jednou z metód matematickej analýzy, ktorú použijeme pri riešení diferenciálnych rovníc a systémov. Podstata použitia tejto metódy

Rovnice matematickej fyziky Zbierka príkladov a cvičení Petrozavodsk 1 Štátna univerzita v Petrozavodsku Matematická fakulta Rovnice matematickej fyziky Zbierka príkladov a cvičení

Obsah Úvod. Základné pojmy.... 4 1. Volterrove integrálne rovnice... 5 Možnosti domácej úlohy.... 8 2. Rozlíšenie Volterrovej integrálnej rovnice. 10 možností domácej úlohy.... 11

1 Téma 4. Operátorská metóda riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc a systémov 4.1 Laplaceova transformácia Originál je ľubovoľná funkcia f(t) reálnej premennej t, ktorá spĺňa nasledovné

PRVKY OPERAČNÉHO POČTU VYDAVATEĽSTVO TSTU MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY RUSKEJ FEDERÁCIE GOU VPO "Štátna technická univerzita Tambov" PRVKY OPERAČNÉHO POČTU

Matematická analýza Sekcia: operačný počet Téma: Laplaceova transformácia a jej vlastnosti Lektor Pakhomova E.G. 2011 11. Originál a obraz. Inverzná veta DEFINÍCIA 1. Nech:RC C. Funkcia

Komplexné čísla, funkcie a operácie s nimi y modul R reálna časť reálne číslo, yim imaginárna časť reálne číslo iy algebraická forma zápisu komplexných čísel Hlavná hodnota argumentu

Riešenie štandardných variantov testovej práce na tému Integrály funkcie jednej premennej Metodické pokyny MDT 517.91 Metodické pokyny obsahujú podrobné riešenia typických variantov testovej práce

Kapitola 1 Operačný počet. 1. Definícia Laplaceovej transformácie. Laplaceova transformácia spája funkciu f(t) s reálnou premennou t s funkciou F() komplexnej premennej = x + iy

MINISTERSTVO DOPRAVY RUSKEJ FEDERÁCIE FEDERÁLNA ŠTÁTNA ROZPOČTOVÁ VZDELÁVACIA INŠTITÚCIA VYSOKÉHO ŠKOLSTVA "RUSKÁ DOPRAVNÁ UNIVERZITA (MIIT)" Katedra "Vysokej školy a informatiky"

FEDERÁLNA ŠTÁTNA ROZPOČTOVÁ VZDELÁVACIA INŠTITÚCIA VYSOKÉHO ŠKOLSTVA "MOSKVA ŠTÁTNA DOPRAVNÁ UNIVERZITA CISARA MIKULÁŠA II" Katedra "Vyššej a výpočtovej matematiky"

82 4. Časť 4. Funkčný a výkonový rad 4.2. Lekcia 3 4.2. 3. lekcia 4.2.. Rozšírenie funkcie do Taylorovho radu DEFINÍCIA 4.2.. Nech je funkcia y = f(x) nekonečne diferencovateľná v nejakom okolí

Prednáška INTEGRÁCIA RACIONÁLNYCH ZLOMKOV Racionálne zlomky Integrácia jednoduchých racionálnych zlomkov Rozklad racionálnych zlomkov na jednoduché zlomky Integrácia racionálnych zlomkov Racionálne

TÉMA 5 Lineárna Volterrova rovnica -druhu Základné definície a vety Rovnica y = λ K(,) y() d+ f(), [, alebo vo forme operátora y = λ By+ f sa nazýva Volterrova rovnica druhu Nechaj

6. prednáška Operačný počet Laplaceova transformácia Obrázky jednoduchých funkcií Základné vlastnosti Laplaceovej transformácie Obrázok derivácie pôvodného Operačného počtu Laplaceova transformácia

Lekcia 19 Riešenie diferenciálnych rovníc a systémov pomocou operačnej metódy 19.1 Riešenie lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi Nech je potrebné nájsť konkrétne riešenie lineárneho

2.2. Operátorská metóda na výpočet prechodných procesov. Teoretické informácie. Výpočet prechodových procesov v zložitých obvodoch klasickou metódou je veľmi často komplikovaný hľadaním integračných konštánt.

DOROKHOV VM PRÍRUČKA RIEŠENÍM PROBLÉMOV OPERAČNÉHO POČTU MOSKVA, 4 PREDSLOV V tejto učebnici sú načrtnuté teoretické základy operačného kalkulu.

Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie Federálna štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania „Ruská chemicko-technologická univerzita pomenovaná po DI Mendelejevovi“ Novomoskovský inštitút (pobočka) Test 8 z matematiky (operačný

MDT 53,7 O JEDNEJ METÓDE NÁJDANIA ČIASTOČNÉHO RIEŠENIA LINEÁRNYCH DIFERENCIÁLNYCH ROVNIC S KONŠTANTNÝMI KOEFICIENTMI Zhanybekova A.A., [chránený e-mailom] Kazašsko-britská technická univerzita,

INTEGRÁLNY POČET ODŠKODNENIE INTEGRÁLU Primitívna funkcia a neurčitý integrál primitívnej funkcie Lema F(nazýva sa primitívna funkcia pre funkciu f(na intervale X, ak F) (= f(Funkcia X,

Rovnice prvého rádu nevyriešené vzhľadom na deriváciu Budeme uvažovať rovnice prvého rádu nevyriešené vzhľadom na deriváciu: F (x, y, y) = 0, (1) kde F je daná funkcia jeho

II DIFERENCIÁLNE ROVNICE Diferenciálne rovnice prvého rádu Definícia Vzťahy, v ktorých neznáme premenné a ich funkcie sú pod derivačným alebo diferenciálnym znamienkom, sa nazývajú

PRVKY TEÓRIE FUNKCIÍ KOMPLEXNÉHO PREMENNÉHO OPERAČNÉHO POČTU V dôsledku štúdia tejto témy sa študent musí naučiť: nájsť goniometrické a exponenciálne formy komplexného čísla podľa

Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie "MATI" Ruská štátna technologická univerzita pomenovaná po. K.E. Ciolkovského Katedra vyššej matematiky Komplexné čísla a operačný počet

1 Téma 3. Lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi 3.1 Lineárna homogénna rovnica Diferenciálna rovnica tvaru y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) kde a

NEURČENÝ INTEGRAL. Primitívny a neurčitý integrál Hlavnou úlohou diferenciálneho počtu je nájsť deriváciu (alebo diferenciál) danej funkcie. Integrálny počet

Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie Achinsk pobočka Federálnej štátnej autonómnej vzdelávacej inštitúcie vyššieho odborného vzdelávania „Sibírska federálna univerzita“ MATEMATIKA

Funkčný limit. Relevantnosť štúdia témy Teória limitov hrá zásadnú úlohu v matematickej analýze a umožňuje nám určiť povahu správania sa funkcie pre danú zmenu argumentu. Používaním

Primitívny a neurčitý integrál Základné pojmy a vzorce 1. Definícia primitívneho a neurčitého integrálu. Definícia. Funkcia F(x) sa nazýva primitívna derivácia funkcie f(x) na intervale

Kapitola 1 Diferenciálne rovnice 1.1 Pojem diferenciálnej rovnice 1.1.1 Úlohy vedúce k diferenciálnym rovniciam. V klasickej fyzike je každá fyzikálna veličina spojená s

OBYČAJNÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE PRVÉHO RADU Základné pojmy Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými Mnoho problémov vo vede a technike sa redukuje na diferenciálne rovnice.

Metodický vývoj Riešenie úloh na TFKP Komplexné čísla Operácie na komplexných číslach Komplexná rovina Komplexné číslo možno znázorniť v algebraickej a trigonometrickej exponenciáli

Prednáška 3 Taylorov a Maclaurinov rad Aplikácia mocninových radov Rozšírenie funkcií do mocninových radov Taylorov a Maclaurinov rad Pre aplikácie je dôležité vedieť rozšíriť danú funkciu do mocninového radu, tie funkcie

Typická verzia „Komplexné čísla Polynómy a racionálne zlomky“ Úloha Dané dve komplexné čísla a cos sn Nájdite a zapíšte výsledok v algebraickom tvare zapíšte výsledok v goniometrickom tvare

Federálna agentúra pre vzdelávanie Federálna štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania JUHOVÁ FEDERÁLNA UNIVERZITA R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodická

S P PREOBRAZHENSKY, SR TIKHOMIROV INTEGRÁCIA DIFERENCIÁLNYCH ROVNIC POMOCOU VÝKONOVÉHO RADU 987 OBSAH Predhovor Formulácia úlohy 3 Možnosti úlohy 3 Príklad úlohy a komentáre

Matematická analýza Sekcia: Neurčitý integrál Téma: Integrácia racionálnych zlomkov Prednáša E.G. Pakhomova 0 g 5. Integrácia racionálnych zlomkov DEFINÍCIA. Racionálny zlomok sa nazýva

Ministerstvo dopravy Ruskej federácie FEDERÁLNA ŠTÁTNA ROZPOČTOVÁ VZDELÁVACIA INŠTITÚCIA VYSOKÉHO VZDELÁVANIA „RUSKÁ DOPRAVNÁ UNIVERZITA (MIIT)“ Inštitút ekonomiky a financií

OPERAČNÝ POČET Laplaceova transformácia a inverzný vzorec Nech v Dirichletovom intervale, konkrétne: Fourierov integrál (l l) a) je ohraničený na tomto intervale; funkcia spĺňa podmienky b) po častiach spojitá

Ministerstvo školstva Ruskej federácie Ruská štátna univerzita ropy a zemného plynu pomenovaná po IM Gubkin VI Ivanov Pokyny pre štúdium témy „DIFERENCIÁLNE ROVNICE“ (pre študentov

57 Uvažujme integráciu najjednoduchšieho racionálneho zlomku štvrtého typu (M N) d () p q p Urobme zmenu premennej nastavením d. kde a p q. Potom Integrál M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

Diferenciálna rovnica n-tého rádu sa nazýva lineárna, ak je prvého stupňa vzhľadom na funkciu y a jej derivácie y..., y (n), t.j. má tvar a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), kde

Matematická analýza Sekcia: Neurčitý integrál Téma: Integrácia racionálnych zlomkov Prednáša Rozhkova S.V. 0 g 5. Integrácia racionálnych zlomkov DEFINÍCIA. Racionálny zlomok sa nazýva

Ministerstvo telekomunikácií a masových komunikácií Ruskej federácie Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania ŠTÁTNA TELEKOMUNICKÁ UNIVERZITA VOLGA

Diferenciálne rovnice prvého rádu riešené vzhľadom na deriváciu Veta o existencii a jednoznačnosti riešenia Vo všeobecnom prípade má diferenciálna rovnica prvého rádu tvar F ()

T A Matveeva V B Vetlichnaya D K Agisheva A Zotova ODBORNÉ KAPITOLY MATEMATIKA: OPERAČNÉ ŠTÚDIUM FEDERÁLNA AGENTÚRA PRE ŠKOLSTVO VOLZHKY POLYTECHNIC INSTITUT POBOČKA ŠTÁTNEHO ŠKOLSTVA

INTEGRÁLNY POČET ODŠKODNENIE INTEGRÁLU Primitívna funkcia a neurčitý integrál primitívnej funkcie Funkcia F() sa nazýva primitívna funkcia pre funkciu f() na intervale X, ak F / () = f() X.

5. 4 Základné metódy integrácie Priama integrácia. Výpočet integrálov založený na redukcii integrandu na tabuľkovú formu a využitím vlastností neurčitka

Prednáška 3 Matematický popis riadiacich systémov V teórii riadenia sa pri analýze a syntéze riadiacich systémov zaoberáme ich matematickým modelom.Matematickým modelom automatického riadiaceho systému je rovnica

Integrácia systému diferenciálnych rovníc elimináciou premenných Jedna z hlavných metód integrácie systému diferenciálnych rovníc je nasledovná: z rovníc normálnych

Parciálne diferenciálne rovnice prvého rádu Niektoré problémy klasickej mechaniky, mechaniky kontinua, akustiky, optiky, hydrodynamiky, prenosu žiarenia sú redukované na parciálne diferenciálne rovnice

Najjednoduchšie neurčité integrály Príklady riešenia problému Nasledujúce integrály sú redukované na tabuľkové integrály identickou transformáciou integrandu. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

PRAKTICKÁ LEKCIA Integrovanie racionálnych zlomkov Racionálny zlomok je zlomok tvaru P Q, kde P a Q sú polynómy. Racionálny zlomok sa nazýva vlastný, ak je stupeň polynómu P nižší ako stupeň

[F] Filippov AV Zbierka úloh z diferenciálnych rovníc Moskva-Iževsk: Centrum vedeckého výskumu "Regulárna a chaotická dynamika" 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [M] Matveev NM Zbierka úloh a cvičení na

E povolanie. Taylorova séria. Súčet mocninových radov Mat. analýza, apl. matematika, 3. semester Nájdite rozšírenie funkcie do mocninného radu, vypočítajte polomer konvergencie mocninového radu: A f()

Úloha 1.1. Nájdite v naznačenej oblasti neidenticky nulové riešenia y = y(x) diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňajú dané okrajové podmienky (Sturm-Liouvilleova úloha) Riešenie: Uvažujme

9. Primitívny a neurčitý integrál 9.. Nech je funkcia f() daná na intervale I R. Funkcia F () sa nazýva primitívna derivácia funkcie f () na intervale I, ak F () = f () pre ľubovoľné I, a primitívna

~ ~ Neurčité a určité integrály Pojem primitívneho a neurčitého integrálu. Definícia: Funkcia F sa nazýva primitívna derivácia funkcie f, ak tieto funkcie súvisia nasledovne

Prednáška 5 7 Hilbertova-Schmidtova veta Budeme uvažovať integrálny operátor A, ktorého jadro K(spĺňa nasledujúce podmienky: K(s) je symetrické, spojité v množine premenných na [, ]

Ministerstvo školstva Bieloruskej republiky Bieloruská štátna univerzita Fyzikálna fakulta Katedra vyššej matematiky a matematickej fyziky O A Kononova, N I Ilyinkova, N K Filippova Linear

Téma 9 Mocninný rad Mocninný rad je funkčný rad tvaru, kde čísla... sú koeficienty radu a bod expanzie radu.,...,... R... sa nazýva stred Mocninný rad Všeobecný pojem mocninového radu

SYSTÉMY LINEÁRNYCH DIFERENCIÁLNYCH ROVNIC S KONŠTANTNÝMI KOEFICIENTMI Redukcia na jednu rovnicu t. rádu Z praktického hľadiska sú veľmi dôležité lineárne sústavy s konštantnými koeficientmi.

Integrály a diferenciálne rovnice Modul 1. Neurčitý integrál Prednáška 1.2 Abstrakt Racionálne zlomky. Rozklad vlastného racionálneho zlomku na najjednoduchší súčet. Integrácia najjednoduchších

Heaviside expanzný vzorec

Nech je obrazom funkcie zlomková racionálna funkcia.

Veta. Nech, kde a sú diferencovateľné funkcie. Uveďme si oba póly funkcie, t.j. korene (nuly) jeho menovateľa. Potom, ak dostaneme Heavisideov vzorec:

Dôkaz vykonáme pre prípad, keď a sú polynómy stupňov T A P podľa toho, zatiaľ čo T P. Potom je to správny racionálny zlomok. Predstavme si to ako súčet jednoduchých zlomkov:

Odtiaľto nájdeme koeficienty z identity (17.2), ktoré prepíšeme do formulára

Vynásobme obe strany poslednej rovnosti a poďme na limit pri. Vzhľadom na to a dostávame

odkiaľ vyplýva (17.1). Veta bola dokázaná.

Poznámka 1. Ak sú koeficienty polynómov skutočné, potom komplexné korene polynómu sú párovo konjugované. V dôsledku toho vo vzorci (17.1) budú komplexne konjugované množstvá výrazmi zodpovedajúcimi komplexne združeným koreňom polynómu a Heavisideov vzorec bude mať tvar

kde prvý súčet je rozšírený na všetky skutočné korene polynómu, druhý - na všetky jeho komplexné korene s kladnými imaginárnymi časťami.

Poznámka 2. Každý člen vzorca (17.1) predstavuje osciláciu zapísanú v komplexnej forme, kde. Reálne korene () teda zodpovedajú aperiodickým osciláciám, komplexné korene s negatívnymi reálnymi časťami zodpovedajú tlmeným osciláciám a čisto imaginárne korene zodpovedajú netlmeným harmonickým osciláciám.

Ak menovateľ nemá korene s kladnými reálnymi časťami, potom pre dostatočne veľké hodnoty získame ustálený stav:

Čisto imaginárne korene polynómu s kladnými imaginárnymi časťami.

Oscilácie zodpovedajúce koreňom so zápornými reálnymi časťami sa exponenciálne rozpadajú, a preto nevstupujú do ustáleného stavu.

Príklad 1 Nájdite pôvodný obrázok

Riešenie. Máme. Zapíšme si korene polynómu: .

Podľa vzorca (17.1)

Tu, keďže čísla sú koreňmi rovnice. teda

Príklad 2 Nájdite pôvodný obrázok

Kde A 0; .

Riešenie. Tu má funkcia okrem zjavného koreňa nekonečne veľa koreňov, ktoré sú nulami funkcie. Po vyriešení rovnice sa dostaneme kam

Korene menovateľa teda majú tvar a kde

Pomocou vzorca (17.3) nájdeme originál

Operátorová metóda riešenia diferenciálnych rovníc

Diferenciálne rovnice. Zvážte Cauchyho problém pre lineárnu diferenciálnu rovnicu

(tu) s počiatočnými podmienkami

Prechod na obrázky v (18.1), kvôli linearite Laplaceovej transformácie, budeme mať

Pomocou 3. vety § 16 a počiatočných podmienok (18.2) zapíšeme obrázky derivácií v tvare

Dosadením (18.4) do (18.3) po jednoduchých transformáciách dostaneme operátorovú rovnicu

kde (charakteristický polynóm); .

Z rovnice (18.5) nájdeme operátorské riešenie

Riešenie Cauchyho problému (18.1), (18.2) je pôvodné riešenie operátora (18.6):

Pre Cauchyho problém môžeme písať v akceptovanom zápise

Operátorová rovnica má tvar

Rozložme riešenie operátora na jednoduché zlomky:

Pomocou vzorcov získaných v § 15 získame originály:

Teda riešenie Cauchyho problému bude mať formu

Príklad 1 Vyriešte Cauchyho úlohu pre diferenciálnu rovnicu s počiatočnými podmienkami, kde.

Riešenie.

Jeho riešenie má tvar

Pomocou vety 2 § 16 dôsledne zisťujeme:

Príklad 2 Vyriešte Cauchyho úlohu pre diferenciálnu rovnicu s nulovými počiatočnými podmienkami, kde je funkcia skokového impulzu.

Riešenie. Napíšeme operátorovú rovnicu

a jeho rozhodnutie

Z 2. vety § 16 vyplýva

v súlade s retardačnou vetou (§ 15)

nakoniec

Príklad 3 Hmotnosť bodu T, pripevnený k pružine tuhosťou s a nachádza sa na hladkej horizontálnej rovine, pôsobí periodicky sa meniaca sila. V určitom okamihu bol bod vystavený nárazu nesúcemu impulz. Zanedbaním odporu nájdite zákon pohybu bodu, ak bol v počiatočnom okamihu v pokoji v počiatku súradníc.

Riešenie. Pohybovú rovnicu zapíšeme do tvaru

kde je elastická sila; - Funkcia Dirac. Poďme vyriešiť operátorovú rovnicu

Ak (prípad rezonancie), potom

Podľa vety o oneskorení

nakoniec

Duhamelov integrál (vzorec). Uvažujme Cauchyho problém pre rovnicu (18.1) za počiatočných podmienok. Operátorské riešenie má v tomto prípade tvar

Nech je funkcia váhy originál pre. potom vetou 1 § 16 dostaneme

Vzťah (18.7) sa nazýva Duhamelov integrál (vzorec).

Komentujte. Pre nenulové počiatočné podmienky nie je Duhamelov vzorec priamo použiteľný. V tomto prípade je potrebné najprv transformovať pôvodný problém na problém s homogénnymi (nulovými) počiatočnými podmienkami. Aby sme to dosiahli, zavedieme novú funkciu, za predpokladu

kde sú počiatočné hodnoty požadovaného riešenia.

Aké ľahké je vidieť, a preto .

Funkcia je teda riešením rovnice (18.1) s pravou stranou získanou dosadením (18.8) do (18.1) s nulovými počiatočnými údajmi.

Pomocou (18.7) nájdeme a.

Príklad 4. Pomocou Duhamelovho integrálu nájdite riešenie Cauchyho problému

s počiatočnými podmienkami.

Riešenie. Počiatočné údaje sú nenulové. Predpokladáme, že v súlade s (18.8), . Potom pre definíciu získame rovnicu s homogénnymi počiatočnými podmienkami.

Pre uvažovaný problém charakteristický polynóm, váhová funkcia. Podľa Duhamelovho vzorca

nakoniec

Sústavy lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi. Cauchyho úloha pre systém lineárnych diferenciálnych rovníc v maticovom zápise má tvar

kde je vektor požadovaných funkcií; - vektor pravých strán; - matica koeficientov; - vektor počiatočných údajov.

Operačný počet sa teraz stal jednou z najdôležitejších kapitol praktickej matematickej analýzy. Operačná metóda sa priamo používa pri riešení obyčajných diferenciálnych rovníc a systémov takýchto rovníc; dá sa použiť aj na riešenie parciálnych diferenciálnych rovníc.

Za zakladateľov symbolického (operačného) kalkulu sa považujú ruskí vedci M.E.Vashchenko - Zacharčenko a A.V.Letnikov.

Operačný kalkul vzbudil pozornosť po tom, čo anglický elektroinžinier Heaviside pomocou symbolického kalkulu získal množstvo dôležitých výsledkov. Ale nedôvera k symbolickému kalkulu pretrvávala, kým Georgi, Bromwich, Carson, A. M. Efros, A. I. Lurie, V. A. Ditkin a ďalší nenastolili spojenia medzi operačným kalkulom a integrálnymi transformáciami.

Myšlienka riešenia diferenciálnej rovnice pomocou operačnej metódy je z diferenciálnej rovnice s ohľadom na požadovanú pôvodnú funkciu f ( t ) prejdite na rovnicu pre inú funkciu F ( p ), nazývaný obrázok f ( t ) . Výsledná (operačná) rovnica je zvyčajne už algebraická (čo znamená jednoduchšia ako pôvodná). Riešenie vzhľadom na obrázok F ( p ) a potom prejdú na zodpovedajúci originál, nájdu požadované riešenie tejto diferenciálnej rovnice.

Operačnú metódu riešenia diferenciálnych rovníc možno porovnať s výpočtom rôznych výrazov pomocou logaritmov, keď sa napríklad pri násobení výpočty nevykonávajú na samotných číslach, ale na ich logaritmoch, čo vedie k nahradeniu násobenia jednoduchšia operácia - sčítanie.

Rovnako ako pri logaritme, pri použití operačnej metódy potrebujete:

1) tabuľka originálov a zodpovedajúcich obrázkov;

2) znalosť pravidiel vykonávania operácií na obrázku zodpovedajúcich činnostiam vykonávaným na origináli.

§1. Originály a obrázky funkcií Laplace

Definícia 1.Budeme skutočnou funkciou skutočného argumentu f (t) zavolajte originál, ak spĺňa tri požiadavky:

1) f (t) 0 , pri t 0

2) f ( t ) nerastie rýchlejšie ako nejaká exponenciálna funkcia

, o t0 , kde M 0, s 00 - niektoré skutočné konštanty, s 0 volal rastový ukazovateľ funkcie f(t) .

3) Na ľubovoľnom konečnom segmente  a , bkladná poloos Ot funkciu f (t) spĺňa Dirichletove podmienky, t.j.

a) obmedzené,

b) je buď spojitá, alebo má len konečný počet bodov nespojitosti prvého druhu,

c) má konečný počet extrémov.

Funkcie, ktoré spĺňajú tieto tri požiadavky, sa nazývajú v operačnom počte zastúpená Laplaceom alebo originály .

Najjednoduchším originálom je funkcia jednotky Heaviside

Ak je funkcia

spĺňa podmienku 2 a nespĺňa podmienku 1, potom výrobok splní aj podmienku 1, t.j. bude originálny. Na zjednodušenie zápisu budeme spravidla používať násobilku H (t) vynechať, berúc do úvahy, že všetky uvažované funkcie sa rovnajú nule pre záporné hodnoty t .

Laplaceov integrál za originál f (t) sa nazýva nevlastný integrál tvaru