Zvážte kvadratickú rovnicu.

Poďme určiť jeho korene.

Neexistuje žiadne reálne číslo, ktorého druhá mocnina je -1. Ale ak operátor definujeme vzorcom i ako imaginárnu jednotku, potom riešenie tejto rovnice možno zapísať ako . V čom A - komplexné čísla, v ktorých -1 je reálna časť, 2 alebo v druhom prípade -2 je imaginárna časť. Imaginárna časť je tiež reálne číslo. Imaginárna časť vynásobená imaginárnou jednotkou znamená už imaginárne číslo.

Vo všeobecnosti má komplexné číslo tvar

z = X + iy ,

Kde x, y– reálne čísla, – imaginárna jednotka. V mnohých aplikovaných vedách, napríklad v elektrotechnike, elektronike, teórii signálov, sa imaginárna jednotka označuje ako j. Reálne čísla x = Re(z) A y =som(z) sa volajú skutočné a imaginárne častičísla z. Výraz je tzv algebraická forma písanie komplexného čísla.

Akékoľvek reálne číslo je špeciálny prípad komplexného čísla vo forme . Imaginárne číslo je tiež špeciálny prípad komplexného čísla .

Definícia množiny komplexných čísel C

Tento výraz znie takto: nastaviť S, pozostávajúce z prvkov takých, že X A r patria do množiny reálnych čísel R a je pomyselnou jednotkou. Všimnite si, že atď.

Dve komplexné čísla A sú si rovné vtedy a len vtedy, ak sa ich reálna a imaginárna časť rovnajú, t.j. A .

Komplexné čísla a funkcie sú široko používané vo vede a technike, najmä v mechanike, analýze a výpočte obvodov striedavého prúdu, analógovej elektronike, v teórii a spracovaní signálov, v teórii automatického riadenia a iných aplikovaných vedách.

1. Aritmetika komplexných čísel

Sčítanie dvoch komplexných čísel pozostáva zo sčítania ich reálnej a imaginárnej časti, t.j.

V súlade s tým rozdiel dvoch komplexných čísel

Komplexné číslo volal komplexne konjugovaťčíslo z =x+iy.

Komplexne konjugované čísla z a z * sa líšia v znamienkach imaginárnej časti. To je zrejmé

.

Akákoľvek rovnosť medzi zložitými výrazmi zostáva platná, ak všade v tejto rovnosti i nahradené - i, t.j. prejdite na rovnosť konjugovaných čísel. čísla i A – i sú algebraicky nerozoznateľné, keďže .

Súčin (násobenie) dvoch komplexných čísel možno vypočítať takto:

Delenie dvoch komplexných čísel:

Príklad:

1. Komplexná rovina

Komplexné číslo možno graficky znázorniť v pravouhlom súradnicovom systéme. Definujme pravouhlý súradnicový systém v rovine (x, y).

Na osi Vôl umiestnime skutočné diely X, to sa nazýva skutočná (skutočná) os, na osi Oj– imaginárne časti r komplexné čísla. Volá sa pomyselnú os. V tomto prípade každé komplexné číslo zodpovedá určitému bodu v rovine a takáto rovina sa nazýva komplexná rovina. Bod A komplexná rovina bude zodpovedať vektoru OA.

číslo X volal úsečka komplexné číslo, číslo r – ordinát.

Dvojica komplexne konjugovaných čísel je reprezentovaná bodmi umiestnenými symetricky okolo reálnej osi.

Ak v lietadle nastavíme polárny súradnicový systém, potom každé komplexné číslo z určené polárnymi súradnicami. V čom modulčísla je polárny polomer bodu a uhol - jeho polárny uhol alebo argument komplexného čísla z.

Modul komplexného čísla vždy nezáporné. Argument komplexného čísla nie je jednoznačne určený. Hlavná hodnota argumentu musí spĺňať podmienku . Každý bod komplexnej roviny tiež zodpovedá všeobecnej hodnote argumentu. Argumenty, ktoré sa líšia o násobok 2π, sa považujú za rovnaké. Argument číslo nula nie je definovaný.

Hlavná hodnota argumentu je určená výrazmi:

To je zrejmé

V čom
, .

Reprezentácia komplexných čísel z ako

volal trigonometrická forma komplexné číslo.

Príklad.

1. Exponenciálny tvar komplexných čísel

Rozklad v Séria Maclaurin pre skutočné argumentačné funkcie má tvar:

Pre exponenciálnu funkciu so zložitým argumentom z rozklad je podobný

.

Rozšírenie Maclaurinovho radu pre exponenciálnu funkciu imaginárneho argumentu možno znázorniť ako

Výsledná identita je tzv Eulerov vzorec.

Pre negatívny argument má formu

Kombináciou týchto výrazov môžete definovať nasledujúce výrazy pre sínus a kosínus

.

Pomocou Eulerovho vzorca z trigonometrickej formy reprezentácie komplexných čísel

k dispozícii orientačné(exponenciálny, polárny) tvar komplexného čísla, t.j. jeho znázornenie vo forme

,

Kde - polárne súradnice bodu s pravouhlými súradnicami ( X,r).

Konjugát komplexného čísla sa zapisuje v exponenciálnom tvare nasledovne.

Pre exponenciálny tvar je ľahké určiť nasledujúce vzorce na násobenie a delenie komplexných čísel

To znamená, že v exponenciálnej forme je súčin a delenie komplexných čísel jednoduchšie ako v algebraickej forme. Pri násobení sa moduly faktorov násobia a argumenty sa pridávajú. Toto pravidlo platí pre ľubovoľný počet faktorov. Najmä pri násobení komplexného čísla z na i vektor z otáča sa proti smeru hodinových ručičiek o 90

Pri delení sa modul čitateľa vydelí modulom menovateľa a argument menovateľa sa odpočíta od argumentu čitateľa.

Pomocou exponenciálneho tvaru komplexných čísel môžeme získať výrazy pre známe trigonometrické identity. Napríklad z identity

pomocou Eulerovho vzorca môžeme písať

Porovnaním skutočných a imaginárnych častí v tomto výraze získame výrazy pre kosínus a sínus súčtu uhlov

1. Mocniny, odmocniny a logaritmy komplexných čísel

Zvýšenie komplexného čísla na prirodzenú mocnosť n vyrobené podľa vzorca

Príklad. Poďme počítať .

Predstavme si číslo v trigonometrickej forme

’

Aplikovaním umocňovacieho vzorca dostaneme

Uvedením hodnoty do výrazu r= 1, dostaneme tzv Moivreov vzorec, pomocou ktorého môžete určiť výrazy pre sínusy a kosínusy viacerých uhlov.

Root n-tá mocnina komplexného čísla z Má n rôzne hodnoty určené výrazom

Príklad. Poďme to nájsť.

Aby sme to dosiahli, vyjadríme komplexné číslo () v trigonometrickom tvare

.

Pomocou vzorca na výpočet odmocniny komplexného čísla dostaneme

Logaritmus komplexného čísla z- toto je číslo w, pre ktoré . Prirodzený logaritmus komplexného čísla má nekonečný počet hodnôt a počíta sa podľa vzorca

Pozostáva z reálnej (kosínus) a imaginárnej (sínusovej) časti. Toto napätie môže byť reprezentované ako vektor dĺžky U m, počiatočná fáza (uhol), rotujúca s uhlovou rýchlosťou ω .

Navyše, ak sa pridajú zložité funkcie, pridajú sa ich skutočné a imaginárne časti. Ak sa komplexná funkcia vynásobí konštantnou alebo reálnou funkciou, potom sa jej reálna a imaginárna časť vynásobia rovnakým faktorom. Diferenciácia/integrácia takejto komplexnej funkcie spočíva v diferenciácii/integrácii reálnej a imaginárnej časti.

Napríklad rozlišovanie komplexného výrazu stresu

je vynásobiť to iω je reálna časť funkcie f(z), a – imaginárna časť funkcie. Príklady: .

Význam z je reprezentovaný bodom v komplexnej rovine z a zodpovedajúcou hodnotou w- bod v komplexnej rovine w. Pri zobrazení w = f(z) rovinné čiary z transformovať na rovinné čiary w, postavy jednej roviny na postavy druhej, ale tvary čiar alebo obrazcov sa môžu výrazne meniť.

Komplexné čísla sú rozšírením množiny reálnych čísel, ktoré sa zvyčajne označujú ako . Akékoľvek komplexné číslo môže byť reprezentované ako formálny súčet , kde a sú reálne čísla a je imaginárnou jednotkou.

Zápis komplexného čísla v tvare , sa nazýva algebraická forma komplexného čísla.

Vlastnosti komplexných čísel. Geometrická interpretácia komplexného čísla.

Akcie na komplexných číslach uvedené v algebraickej forme:

Uvažujme o pravidlách, podľa ktorých sa vykonávajú aritmetické operácie s komplexnými číslami.

Ak sú dané dve komplexné čísla α = a + bi a β = c + di, potom

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (jedenásť)

Vyplýva to z definície operácií sčítania a odčítania dvoch usporiadaných párov reálnych čísel (pozri vzorce (1) a (3)). Dostali sme pravidlá na sčítanie a odčítanie komplexných čísel: na sčítanie dvoch komplexných čísel musíme oddelene sčítať ich reálne časti a podľa toho aj ich imaginárne časti; Aby sme od jedného komplexného čísla odčítali ďalšie, je potrebné odčítať ich reálnu a imaginárnu časť, resp.

Číslo – α = – a – bi sa nazýva opak čísla α = a + bi. Súčet týchto dvoch čísel je nula: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Na získanie pravidla pre násobenie komplexných čísel použijeme vzorec (6), teda skutočnosť, že i2 = -1. Ak vezmeme do úvahy tento vzťah, zistíme (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, t.j.

(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. (12)

Tento vzorec zodpovedá vzorcu (2), ktorý určoval násobenie usporiadaných párov reálnych čísel.

Všimnite si, že súčet a súčin dvoch komplexne konjugovaných čísel sú reálne čísla. V skutočnosti, ak α = a + bi, = a – bi, potom α = (a + bi) (a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i = 2a, t.j.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Pri delení dvoch komplexných čísel v algebraickom tvare treba očakávať, že kvocient je vyjadrený aj číslom rovnakého typu, teda α/β = u + vi, kde u, v R. Odvoďme pravidlo na delenie komplexných čísel . Nech sú dané čísla α = a + bi, β = c + di a β ≠ ​​0, t.j. c2 + d2 ≠ 0. Posledná nerovnosť znamená, že c a d súčasne nezanikajú (prípad je vylúčený, keď c = 0 d = 0). Aplikovaním vzorca (12) a druhej z rovníc (13) zistíme:

Preto je podiel dvoch komplexných čísel určený vzorcom:

zodpovedajúca vzorcu (4).

Pomocou výsledného vzorca pre číslo β = c + di môžete nájsť jeho inverzné číslo β-1 = 1/β. Za predpokladu, že a = 1, b = 0 vo vzorci (14), dostaneme

Tento vzorec určuje inverznú hodnotu daného komplexného čísla iného ako nula; toto číslo je tiež zložité.

Napríklad: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Operácie s komplexnými číslami v algebraickej forme.

55. Argument komplexného čísla. Trigonometrický tvar zápisu komplexného čísla (derivácia).

Arg.com.čísla. – medzi kladným smerom skutočnej osi X a vektorom reprezentujúcim dané číslo.

Trigonový vzorec. Čísla: ,

DEFINÍCIA

Algebraická forma komplexného čísla je zapísať komplexné číslo \(\z\) v tvare \(\z=x+i y\), kde \(\x\) a \(\y\) sú reálne čísla , \(\i\ ) - imaginárna jednotka spĺňajúca vzťah \(\i^(2)=-1\)

Číslo \(\ x \) sa nazýva reálna časť komplexného čísla \(\ z \) a označuje sa ako \(\ x=\meno operátora(Re) z \)

Číslo \(\y\) sa nazýva imaginárna časť komplexného čísla \(\z\) a označuje sa ako \(\y=\meno operátora(Im) z\)

Napríklad:

Komplexné číslo \(\ z=3-2 i \) a jeho pridružené číslo \(\ \overline(z)=3+2 i \) sa zapisujú v algebraickom tvare.

Imaginárna veličina \(\ z=5 i \) je zapísaná v algebraickom tvare.

Okrem toho, v závislosti od problému, ktorý riešite, môžete previesť komplexné číslo na trigonometrické alebo exponenciálne číslo.

Úloha

Napíšte číslo \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) v algebraickom tvare, nájdite jeho reálnu a imaginárnu časť, ako aj združené číslo.

Riešenie.

Použitím pojmu delenie zlomkov a pravidla sčítania zlomkov dostaneme:

\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4)i\)

Preto reálna časť komplexného čísla \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) je číslo \(\ x=\meno operátora(Re) z= \frac(59) (4) \) , imaginárnou časťou je číslo \(\ y=\meno operátora(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Konjugované číslo: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Odpoveď

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Akcie komplexných čísel v algebraickom porovnávaní foriem

Dve komplexné čísla \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) sa považujú za rovnaké, ak \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1) )= y_(2) \) t.j. Ich reálna a imaginárna časť sú si rovné.

Úloha

Určte, pre ktoré x a y sa dve komplexné čísla \(\ z_(1)=13+y i \) a \(\ z_(2)=x+5 i \) rovnajú.

Riešenie

Podľa definície sú dve komplexné čísla rovnaké, ak sa ich reálna a imaginárna časť rovnajú, t.j. \(\x=13\), \(\y=5\).

Odpoveď \(\x=13\), \(\y=5\)

prídavok

Sčítanie komplexných čísel \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) sa vykonáva priamym sčítaním reálnych a imaginárnych častí:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\vľavo(x_(1)+x_(2)\vpravo) +i\vľavo(y_(1)+y_(2)\vpravo) \)

Úloha

Nájdite súčet komplexných čísel \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

Riešenie.

Skutočná časť komplexného čísla \(\ z_(1)=-7+5 i \) je číslo \(\ x_(1)=\meno operátora(Re) z_(1)=-7 \) , imaginárne časť je číslo \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . Reálne a imaginárne časti komplexného čísla \(\ z_(2)=13-4 i \) sa rovnajú \(\ x_(2)=\meno operátora(Re) z_(2)=13 \) a \( \ y_(2) respektíve )=\meno operátora (Im) z_(2)=-4 \) .

Preto súčet komplexných čísel je:

\(\ z_(1)+z_(2)=\vľavo(x_(1)+x_(2)\vpravo)+i\vľavo(y_(1)+y_(2)\vpravo)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)

Odpoveď

\(\ z_(1)+z_(2)=6+i \)

Prečítajte si viac o pridávaní komplexných čísel v samostatnom článku: Pridávanie komplexných čísel.

Odčítanie

Odčítanie komplexných čísel \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) a \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) sa vykonáva priamym odčítaním skutočné a imaginárne časti:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\vľavo(x_(2)+i y_(2)\vpravo)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right ) \)

Úloha

nájdite rozdiel komplexných čísel \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

Riešenie.

Nájdite skutočné a imaginárne časti komplexných čísel \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :

\(\ x_(1)=\meno operátora(Re) z_(1)=17, x_(2)=\meno operátora(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\meno operátora(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\meno operátora(Im) z_(2)=5 \)

Preto je rozdiel komplexných čísel:

\(\ z_(1)-z_(2)=\vľavo(x_(1)-x_(2)\vpravo)+i\vľavo(y_(1)-y_(2)\vpravo)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)

Odpoveď

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) násobenie

Násobenie komplexných čísel \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) a \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) sa vykonáva priamym vytvorením čísla v algebraickom tvare berúc do úvahy vlastnosť imaginárnej jednotky \(\i^(2)=-1\) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\vpravo)=\)

\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\right) \)

Úloha

Nájdite súčin komplexných čísel \(\ z_(1)=1-5 i \)

Riešenie.

Komplex komplexných čísel:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i\)

Odpoveď

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) delenie

Faktor komplexných čísel \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) a \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) sa určí vynásobením čitateľa a menovateľa na konjugované číslo s menovateľom:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\vpravo)\vľavo(x_(2)-i y_(2)\vpravo))(\vľavo(x_(2)+i y_(2)\vpravo)\vľavo (x_(2)-i y_(2)\vpravo))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2) )^(2)) \)

Úloha

Vydeliť číslo 1 komplexným číslom \(\z=1+2i\).

Riešenie.

Keďže imaginárna časť reálneho čísla 1 je nula, faktor je:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)

Odpoveď

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Komplexné čísla

Imaginárne A komplexné čísla. Úsečka a ordináta

komplexné číslo. Konjugujte komplexné čísla.

Operácie s komplexnými číslami. Geometrické

reprezentácia komplexných čísel. Komplexná rovina.

Modul a argument komplexného čísla. Trigonometrické

forma komplexného čísla. Operácie s komplexom

čísla v trigonometrickom tvare. Moivreov vzorec.

Základné informácie o imaginárny A komplexné čísla sú uvedené v časti „Imaginárne a komplexné čísla“. Potreba týchto čísel nového typu vznikla pri riešení kvadratických rovníc pre daný prípadD< 0 (здесь D– diskriminant kvadratickej rovnice). Tieto čísla dlho nenašli fyzické uplatnenie, a preto sa nazývali „imaginárne“ čísla. Teraz sú však veľmi široko používané v rôznych oblastiach fyziky.

a technológie: elektrotechnika, hydro- a aerodynamika, teória pružnosti atď.

Komplexné čísla sú napísané v tvare:a+bi. Tu a A b – reálne čísla , A i – pomyselná jednotka, t.j. e. i 2 = –1. číslo a volal úsečka, a b – súradnicakomplexné čísloa + bi.Dve komplexné číslaa+bi A a–bi sa volajú konjugovať komplexné čísla.

Hlavné dohody:

1. Reálne čísloAmožno napísať aj vo formekomplexné číslo:a+ 0 i alebo a – 0 i. Napríklad záznamy 5 + 0i a 5-0 iznamená rovnaké číslo 5 .

2. Komplexné číslo 0 + bivolal čisto imaginárne číslo. Záznambiznamená to isté ako 0 + bi.

3. Dve komplexné číslaa+bi Ac + disa považujú za rovnaké, aka = c A b = d. Inak komplexné čísla nie sú rovnaké.

Doplnenie. Súčet komplexných čísela+bi A c + disa nazýva komplexné číslo (a+c ) + (b+d ) i.teda pri pridávaní komplexné čísla, ich úsečky a ordináty sa pridávajú samostatne.

Táto definícia zodpovedá pravidlám pre operácie s obyčajnými polynómami.

Odčítanie. Rozdiel dvoch komplexných čísela+bi(zmenšené) a c + di(subtrahend) sa nazýva komplexné číslo (a–c ) + (b–d ) i.

teda Pri odčítaní dvoch komplexných čísel sa ich úsečky a ordináty odčítajú oddelene.

Násobenie. Súčin komplexných čísela+bi A c + di sa nazýva komplexné číslo:

(ac–bd ) + (ad+bc ) i.Táto definícia vyplýva z dvoch požiadaviek:

1) čísla a+bi A c + ditreba násobiť ako algebraicky dvojčlenky,

2) číslo imá hlavnú vlastnosť:i 2 = – 1.

PRÍKLAD ( a+ bi )(a–bi) =a 2 +b 2 . teda práca

dve konjugované komplexné čísla sa rovnajú skutočným

kladné číslo.

divízie. Rozdeľte komplexné čísloa+bi (deliteľné) inýmc + di(delič) - znamená nájsť tretie čísloe + f i(chat), ktorý pri vynásobení deliteľomc + di, výsledkom je dividendaa + bi.

Ak deliteľ nie je nula, delenie je vždy možné.

PRÍKLAD Nájsť (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Riešenie. Prepíšme tento pomer ako zlomok:

Vynásobte jeho čitateľa a menovateľa 2 + 3i

A Po vykonaní všetkých transformácií dostaneme:

Geometrické znázornenie komplexných čísel. Reálne čísla sú reprezentované bodmi na číselnej osi:

Tu je pointa Aznamená číslo –3, bodkaB– číslo 2 a O- nula. Naproti tomu komplexné čísla sú reprezentované bodmi na rovine súradníc. Na tento účel volíme pravouhlé (karteziánske) súradnice s rovnakými mierkami na oboch osiach. Potom komplexné čísloa+bi bude reprezentovaný bodkou P s osou x a a súradnica b (pozri obrázok). Tento súradnicový systém je tzv komplexná rovina .

modul komplexné číslo je dĺžka vektoraOP, ktoré predstavuje komplexné číslo na súradnici ( obsiahly) lietadlo. Modul komplexného číslaa+bi označené | a+bi| alebo list r

Plán lekcie.

1. Organizačný moment.

2. Prezentácia materiálu.

3. Domáce úlohy.

4. Zhrnutie lekcie.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

II. Prezentácia materiálu.

Motivácia.

Rozšírenie množiny reálnych čísel spočíva v pridávaní nových čísel (imaginárnych) k reálnym číslam. Zavedenie týchto čísel je spôsobené nemožnosťou extrahovať odmocninu zo záporného čísla v množine reálnych čísel.

Úvod do pojmu komplexné číslo.

Imaginárne čísla, ktorými dopĺňame reálne čísla, sa píšu v tvare bi, Kde i je pomyselná jednotka a i 2 = - 1.

Na základe toho získame nasledujúcu definíciu komplexného čísla.

Definícia. Komplexné číslo je vyjadrením tvaru a+bi, Kde a A b- reálne čísla. V tomto prípade sú splnené nasledujúce podmienky:

a) Dve komplexné čísla a 1 + b 1 i A a 2 + b 2 i rovnať vtedy a len vtedy a 1 = a 2, b 1 = b 2.

b) Sčítanie komplexných čísel je určené pravidlom:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Násobenie komplexných čísel je určené pravidlom:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebraický tvar komplexného čísla.

Zápis komplexného čísla do formulára a+bi sa nazýva algebraická forma komplexného čísla, kde A- skutočná časť, bi je imaginárna časť a b- Reálne číslo.

Komplexné číslo a+bi sa považuje za rovné nule, ak sa jeho skutočná a imaginárna časť rovnajú nule: a = b = 0

Komplexné číslo a+bi pri b = 0 považované za rovnaké ako reálne číslo a: a + 0i = a.

Komplexné číslo a+bi pri a = 0 sa nazýva čisto imaginárny a označuje sa bi: 0 + bi = bi.

Dve komplexné čísla z = a + bi A = a – bi, líšiace sa len znakom imaginárnej časti, sa nazývajú konjugované.

Operácie s komplexnými číslami v algebraickej forme.

Nasledujúce operácie môžete vykonávať s komplexnými číslami v algebraickej forme.

1) Doplnenie.

Definícia. Súčet komplexných čísel zi = ai + b1 i A z2 = a2 + b2 i sa nazýva komplexné číslo z, ktorej reálna časť sa rovná súčtu reálnych častí z 1 A z 2 a imaginárna časť je súčtom imaginárnych častí čísel z 1 A z 2, teda z = (ai + a2) + (b1 + b2)i.

čísla z 1 A z 2 sa nazývajú termíny.

Sčítanie komplexných čísel má nasledujúce vlastnosti:

1º. Komutivita: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociativita: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Komplexné číslo –a –bi nazývaný opakom komplexného čísla z = a + bi. Komplexné číslo, opak komplexného čísla z, označené -z. Súčet komplexných čísel z A -z rovná nule: z + (-z) = 0

Príklad 1: Vykonajte sčítanie (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Odčítanie.

Definícia. Odčítajte od komplexného čísla z 1 komplexné číslo z 2 z,Čo z + z 2 = z 1.

Veta. Rozdiel medzi komplexnými číslami existuje a je jedinečný.

Príklad 2: Vykonajte odčítanie (4 – 2i) – (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Násobenie.

Definícia. Súčin komplexných čísel zi = ai + bi i A z2 = a2 + b2 i sa nazýva komplexné číslo z, definovaný rovnosťou: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

čísla z 1 A z 2 sa nazývajú faktory.

Násobenie komplexných čísel má tieto vlastnosti:

1º. Komutivita: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociativita: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- Reálne číslo.

V praxi sa násobenie komplexných čísel uskutočňuje podľa pravidla násobenia súčtu súčtom a oddeľovania reálnej a imaginárnej časti.

V nasledujúcom príklade budeme uvažovať o násobení komplexných čísel dvoma spôsobmi: pravidlom a násobením súčtu súčtom.

Príklad 3: Vykonajte násobenie (2 + 3i) (5 – 7i).

1 spôsob. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Metóda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Rozdelenie.

Definícia. Rozdeľte komplexné číslo z 1 na komplexné číslo z 2, znamená nájsť také komplexné číslo z, Čo z · z 2 = z 1.

Veta. Podiel komplexných čísel existuje a je jedinečný, ak z 2 ≠ 0 + 0i.

V praxi sa podiel komplexných čísel zistí vynásobením čitateľa a menovateľa konjugátom menovateľa.

Nechaj zi = ai + b1 i, z2 = a2 + b2 i, Potom

.

V nasledujúcom príklade vykonáme delenie pomocou vzorca a pravidla násobenia číslom konjugovaným do menovateľa.

Príklad 4. Nájdite kvocient .

5) Pozdvihnutie k pozitívnej celkovej sile.

a) Mocniny imaginárnej jednotky.

Využívanie výhod rovnosti i2 = -1, je ľahké definovať akúkoľvek kladnú mocninu celého čísla imaginárnej jednotky. Máme:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i8 = i6 i2 = 1 atď.

To ukazuje, že hodnoty stupňov ja n, Kde n– kladné celé číslo, ktoré sa periodicky opakuje, keď sa indikátor zvyšuje o 4 .

Preto na zvýšenie počtu i na kladnú celú mocninu, musíme exponent vydeliť o 4 a stavať i na mocninu, ktorej exponent sa rovná zvyšku delenia.

Príklad 5: Vypočítajte: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Umocnenie komplexného čísla na kladné celé číslo sa vykonáva podľa pravidla pre umocnenie dvojčlenu na zodpovedajúcu mocninu, pretože ide o špeciálny prípad násobenia rovnakých komplexných faktorov.

Príklad 6: Vypočítajte: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.