Operații cu puteri și rădăcini. Gradul cu negativ ,

zero și fracțional indicator. Despre expresii care nu au sens.

Operații cu grade.

1. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adaugă indicatorii acestora:

a m · a n = a m + n .

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii lor scazut .

3. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori.

(abc… ) n = un n· b n · c n…

4. Gradul raportului (fracției) este egal cu raportul dintre gradele dividendului (numărătorul) și divizorului (numitorului):

(a/b ) n = un n / b n .

5. Când se ridică un grad la o putere, indicatorii lor sunt înmulțiți:

(a m ) n = a m n .

Toate formulele de mai sus sunt citite și executate în ambele direcții de la stânga la dreapta și invers.

EXEMPLU (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operații cu rădăcini. În toate formulele de mai jos, simbolul mijloace rădăcină aritmetică(expresia radicală este pozitivă).

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinile acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorului:

3. Când ridici o rădăcină la o putere, este suficient să ridici la această putere numărul rădăcinii:

4. Dacă creștem gradul rădăcinii în m o dată și simultan ridică la m Puterea este un număr de rădăcină, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă scădem gradul rădăcinii în m extrageți rădăcina o dată și în același timp m gradul de la numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu este se va schimba:

Extinderea conceptului de grad. Până acum, am luat în considerare grade doar cu un indicator natural; ci actiunile grade și rădăcini pot duce și la negativ, zeroși fracționat indicatori. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.

Gradul cu exponent negativ. Puterea unui număr cu indicatorul negativ (întreg) este definit ca o unitate împărțită la la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolutăindicator negativ:

T acum formula a m: un n= a m - n poate fi folosit nu numai pentrum, mai mult decât n, dar și la m, mai puțin decât n .

EXEMPLU A 4 :A 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Dacă vrem formulaa m : un n= a m - na fost corect lam = n, avem nevoie de o definiție a gradului zero.

Gradul cu exponent zero. Gradul oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.

EXEMPLE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real iar la puterea m/n , trebuie să extrageți rădăcina a a-a putere din m puterea acestui număr A :

Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii. orice număr.

Într-adevăr, dacă presupunem că această expresie este egală cu un anumit număr X, atunci conform definiției operației de împărțire avem: 0 = 0 X. Dar această egalitate este valabilă pentru orice număr x, ceea ce urma să fie dovedit.

Cazul 3

0 0 - orice număr.

Într-adevăr,

Soluție. Luați în considerare trei cazuri principale:

1) X = 0 – această valoare nu satisface această ecuație

(De ce?).

2) când X> 0 obținem: x/x = 1, adică 1 = 1, de unde urmează,

ce X- orice număr; dar ținând cont de faptul că

Cazul nostru X> 0, răspunsul esteX > 0 ;

3) când X < 0 получаем: – x/x= 1, adică de ex . –1 = 1, prin urmare,

În acest caz, nu există nicio soluție.

În acest fel, X > 0.

Excel folosește funcții încorporate și operatori matematici pentru a lua o rădăcină și a ridica un număr la putere. Să ne uităm la exemple.

Exemple de funcție ROOT în Excel

Funcția încorporată ROOT returnează o rădăcină pătrată pozitivă. În meniul „Funcții”, se află în categoria „Matematică”.

Sintaxa funcției: =ROOT(număr).

Singurul și necesar argument este un număr pozitiv pentru care funcția calculează rădăcina pătrată. Dacă argumentul este negativ, Excel va returna o eroare #NUM!.

Ca argument, puteți specifica o anumită valoare sau o referință la o celulă cu o valoare numerică.

Luați în considerare exemple.

Funcția a returnat rădăcina pătrată a lui 36. Argumentul este o valoare specifică.

Funcția ABS returnează valoarea absolută de -36. Utilizarea sa a făcut posibilă evitarea unei erori la extragerea rădăcinii pătrate a unui număr negativ.

Funcția a luat rădăcina pătrată a sumei lui 13 și valoarea celulei C1.



Funcția de exponențiere în Excel

Sintaxa funcției: =POWER(valoare; număr). Ambele argumente sunt necesare.

Valoare - orice valoare numerică reală. Numărul este exponentul la care se ridică valoarea dată.

Luați în considerare exemple.

În celula C2, rezultatul punerii la pătrat a numărului 10.

Funcția a returnat numărul 100 ridicat la ¾.

Ridicarea la putere cu ajutorul unui operator

Pentru a ridica un număr la putere în Excel, puteți folosi operatorul matematic „^”. Pentru a o introduce, apăsați Shift + 6 (cu aspectul tastaturii în limba engleză).

Pentru ca Excel să perceapă informațiile introduse ca o formulă, se pune mai întâi semnul „=”. Urmează numărul care trebuie ridicat la putere. Și după semnul „^” - valoarea gradului.

În loc de orice valoare a acestei formule matematice, puteți utiliza referințe de celule cu numere.

Acest lucru este convenabil dacă trebuie să construiți o mulțime de valori.

Copiind formula în întreaga coloană, am obținut rapid rezultatele ridicării numerelor din coloana A la a treia putere.

Extragerea a n-a rădăcini

ROOT este funcția rădăcină pătrată din Excel. Și cum se extrage rădăcina gradelor 3, 4 și alte?

Amintiți-vă una dintre legile matematice: pentru a extrage rădăcina gradului al n-lea, trebuie să ridicați un număr la puterea lui 1/n.

De exemplu, pentru a extrage rădăcina cubă, ridicăm numărul la puterea de 1/3.

Să folosim formula pentru extragerea rădăcinilor de diferite grade în Excel.

Formula a returnat valoarea rădăcinii cubice a numărului 21. Pentru ridicarea la o putere fracțională a fost folosit operatorul „^”.

Adesea, transformarea și simplificarea expresiilor matematice necesită trecerea de la rădăcini la puteri și invers. Acest articol vorbește despre cum să convertiți o rădăcină într-o putere și invers. Sunt luate în considerare teoria, exemplele practice și cele mai frecvente greșeli.

Trecerea de la puteri cu exponenți fracționari la rădăcini

Să presupunem că avem un număr cu exponent sub forma unei fracții obișnuite - a m n. Cum se scrie o astfel de expresie ca rădăcină?

Răspunsul decurge din însăși definiția gradului!

Definiție

Un număr pozitiv a ridicat la puterea m n este a n-a rădăcină a lui a m .

În acest caz, trebuie îndeplinită următoarea condiție:

a > 0 m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.

Puterea fracțională a numărului zero este definită în mod similar, cu toate acestea, în acest caz, numărul m este luat nu ca un întreg, ci ca un număr natural, astfel încât împărțirea la 0 nu are loc:

0 m n = 0 m n = 0 .

Conform definiției, puterea a m n poate fi reprezentată ca rădăcină a m n .

De exemplu: 3 2 5 = 3 2 5 , 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4 .

Cu toate acestea, după cum sa menționat deja, nu trebuie să uităm de condițiile: a > 0 ; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.

Deci, expresia - 8 1 3 nu poate fi reprezentată ca - 8 1 3, deoarece notația - 8 1 3 pur și simplu nu are sens - gradul numerelor negative nu este definit. În același timp, rădăcina însăși - 8 1 3 are sens.

Trecerea de la grade cu expresii în indicatori de bază și fracționari se realizează în mod similar pe întreaga gamă de valori acceptabile (în continuare - ODZ) a expresiilor originale în baza gradului.

De exemplu, expresia x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 poate fi reprezentată ca rădăcină pătrată x 2 + 2 x + 1 - 4. Expresia pentru puterea x 2 + x y z - z 3 - 7 3 merge în expresia x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 pentru toate x , y , z din ODZ a expresiei date.

Este posibilă și înlocuirea inversă a rădăcinilor cu grade, când în loc de expresie cu rădăcină se scrie o expresie cu grad. Doar inversați egalitatea din paragraful anterior și obțineți:

Din nou, tranziția este evidentă pentru numerele pozitive a . De exemplu, 7 6 4 = 7 6 4 sau 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3 .

Pentru negativul a, rădăcinile au sens. De exemplu - 4 2 6 , - 2 3 . Cu toate acestea, este imposibil să reprezentăm aceste rădăcini ca puteri - 4 2 6 și - 2 1 3.

Este posibil să transformăm astfel de expresii cu puteri? Da, dacă faci niște transformări preliminare. Să vedem care.

Folosind proprietățile gradelor, puteți efectua transformări ale expresiei - 4 2 6 .

4 2 6 = - 1 2 4 2 6 = 4 2 6 .

Deoarece 4 > 0 , putem scrie:

În cazul unei rădăcini impare a unui număr negativ, putem scrie:

A 2 m + 1 = - a 2 m + 1 .

Atunci expresia - 2 3 va lua forma:

2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .

Să înțelegem acum cum rădăcinile, sub care sunt conținute expresiile, sunt înlocuite cu gradele care conțin aceste expresii la bază.

Notează cu litera A o anumită expresie. Totuși, să nu ne grăbim să reprezentăm A m n ca A m n . Să explicăm ce înseamnă aici. De exemplu, expresia x - 3 2 3 , bazată pe egalitatea din primul paragraf, ar dori să fie reprezentată ca x - 3 2 3 . O astfel de înlocuire este posibilă numai pentru x - 3 ≥ 0 și nu este potrivită pentru restul x din ODZ, deoarece pentru negativ a formula a m n = a m n nu are sens.

Astfel, în exemplul considerat, o transformare de forma A m n = A m n este o transformare care îngustează ODZ, iar din cauza aplicării inexacte a formulei A m n = A m n apar adesea erori.

Pentru a trece corect de la rădăcina A m n la gradul A m n, trebuie respectate câteva puncte:

• Dacă numărul m este un număr întreg și impar, iar n este un număr natural și par, atunci formula A m n = A m n este valabilă pentru întreaga ODZ a variabilelor.
• Dacă m este un număr întreg și impar, iar n este natural și impar, atunci expresia A m n poate fi înlocuită:
  - pe A m n pentru toate valorile variabilelor pentru care A ≥ 0 ;
  - on - - A m n pentru toate valorile variabilelor pentru care A< 0 ;
• Dacă m este întreg și par și n este orice număr natural, atunci A m n poate fi înlocuit cu A m n .

Să rezumăm toate aceste reguli într-un tabel și să dăm câteva exemple de utilizare a acestora.

Să revenim la expresia x - 3 2 3 . Aici m = 2 este un număr întreg și par, iar n = 3 este un număr natural. Deci, expresia x - 3 2 3 va fi scrisă corect ca:

x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .

Iată un alt exemplu cu rădăcini și puteri.

Exemplu. Transformarea unei rădăcini într-o putere

x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5 , x > - 5 - - x - 5 - 3 5 , x< - 5

Să argumentăm rezultatele prezentate în tabel. Dacă numărul m este un întreg și impar, iar n este un întreg pozitiv și par, pentru toate variabilele din ODZ din expresia A m n valoarea lui A este pozitivă sau nenegativă (pentru m > 0). De aceea A m n = A m n .

În al doilea caz, când m este un număr întreg, pozitiv și impar, iar n este natural și impar, valorile lui A m n sunt separate. Pentru variabilele din ODZ pentru care A este nenegativ, A m n = A m n = A m n . Pentru variabilele în care A este negativ, obținem A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n .

În mod similar, luați în considerare următorul caz, când m este un număr întreg și par și n este orice număr natural. Dacă valoarea lui A este pozitivă sau nenegativă, atunci pentru astfel de valori ale variabilelor din ODZ A m n = A m n = A m n . Pentru negativ A obținem A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n .

Astfel, în al treilea caz, pentru toate variabilele din ODZ, putem scrie A m n = A m n .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Felicitări: astăzi vom analiza rădăcinile - unul dintre cele mai uluitoare subiecte ale clasei a VIII-a. :)

Mulți oameni se încurcă cu privire la rădăcini nu pentru că sunt complexe (ceea ce este complicat - câteva definiții și alte câteva proprietăți), ci pentru că în majoritatea manualelor școlare rădăcinile sunt definite prin astfel de sălbăticii încât doar autorii manualelor înșiși pot. înțelegi această mâzgălire. Și chiar și atunci doar cu o sticlă de whisky bun. :)

Prin urmare, acum voi da cea mai corectă și mai competentă definiție a rădăcinii - singura pe care trebuie să o amintiți cu adevărat. Și numai atunci voi explica: de ce toate acestea sunt necesare și cum să le aplici în practică.

Dar mai întâi, amintiți-vă un punct important, despre care, dintr-un anumit motiv, mulți compilatori de manuale „uită”:

Rădăcinile pot fi de grad par (preferatul nostru $\sqrt(a)$, precum și orice $\sqrt(a)$ și $\sqrt(a)$) și grad impar (orice $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ etc.). Și definiția rădăcinii unui grad impar este oarecum diferită de cea pară.

Aici, în acest nenorocit de „oarecum diferit” este ascuns, probabil, 95% din toate erorile și neînțelegerile asociate cu rădăcinile. Deci, să clarificăm terminologia odată pentru totdeauna:

Definiție. Chiar și rădăcină n din numărul $a$ este oricare nenegativ un număr $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$. Și rădăcina unui grad impar din același număr $a$ este în general orice număr $b$ pentru care aceeași egalitate este valabilă: $((b)^(n))=a$.

În orice caz, rădăcina se notează astfel:

\(A)\]

Numărul $n$ într-o astfel de notație se numește exponent rădăcină, iar numărul $a$ se numește expresie radicală. În special, pentru $n=2$ obținem rădăcina noastră pătrată „favorită” (apropo, aceasta este o rădăcină de grad par), iar pentru $n=3$ obținem o rădăcină cubică (un grad impar), care se găsește adesea și în probleme și ecuații.

Exemple. Exemple clasice de rădăcini pătrate:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Apropo, $\sqrt(0)=0$ și $\sqrt(1)=1$. Acest lucru este destul de logic deoarece $((0)^(2))=0$ și $((1)^(2))=1$.

Rădăcinile cubice sunt, de asemenea, comune - nu vă fie frică de ele:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Ei bine, câteva „exemple exotice”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Dacă nu înțelegeți care este diferența dintre un grad par și unul impar, recitiți din nou definiția. Este foarte important!

Între timp, vom lua în considerare o caracteristică neplăcută a rădăcinilor, din cauza căreia a trebuit să introducem o definiție separată pentru exponenții pari și impari.

De ce avem nevoie de rădăcini?

După ce au citit definiția, mulți studenți vor întreba: „Ce au fumat matematicienii când au venit cu asta?” Și într-adevăr: de ce avem nevoie de toate aceste rădăcini?

Pentru a răspunde la această întrebare, să ne întoarcem pentru un moment la școala elementară. Amintiți-vă: în acele vremuri îndepărtate, când copacii erau mai verzi și găluștele erau mai gustoase, principala noastră preocupare era să înmulțim corect cifrele. Ei bine, ceva în spiritul „cinci pe cinci - douăzeci și cinci”, asta-i tot. Dar la urma urmei, puteți înmulți numerele nu în perechi, ci în tripleți, patru și în general seturi întregi:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Cu toate acestea, nu acesta este ideea. Trucul este diferit: matematicienii sunt leneși, așa că au fost nevoiți să noteze înmulțirea a zece cinci astfel:

Așa că au venit cu diplome. De ce să nu scrieți numărul de factori ca un superscript în loc de un șir lung? Ca acesta:

Este foarte convenabil! Toate calculele sunt reduse de câteva ori și nu poți cheltui o grămadă de foi de caiete de pergament pentru a nota niște 5 183 . O astfel de intrare a fost numită gradul unui număr, au fost găsite o grămadă de proprietăți în ea, dar fericirea s-a dovedit a fi de scurtă durată.

După o băutură grandioasă, care a fost organizată doar despre „descoperirea” diplomelor, un matematician special lapidat a întrebat brusc: „Dacă știm gradul unui număr, dar nu știm numărul în sine?” Într-adevăr, dacă știm că un anumit număr $b$, de exemplu, dă 243 puterii a 5-a, atunci cum putem ghici cu ce este egal însuși numărul $b$?

Această problemă s-a dovedit a fi mult mai globală decât ar părea la prima vedere. Pentru că s-a dovedit că pentru majoritatea diplomelor „gata făcute” nu există astfel de numere „inițiale”. Judecă singur:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(align)\]

Ce se întâmplă dacă $((b)^(3))=50$? Se pare că trebuie să găsiți un anumit număr, care, atunci când este înmulțit cu el însuși de trei ori, ne va da 50. Dar care este acest număr? Este în mod clar mai mare decât 3 deoarece 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. adică acest număr se află undeva între trei și patru, dar cu ce este egal - FIG veți înțelege.

Acesta este motivul pentru care matematicienii au venit cu $n$-a rădăcini. De aceea a fost introdusă pictograma radical $\sqrt(*)$. Pentru a desemna același număr $b$, care, la puterea specificată, ne va da o valoare cunoscută anterior

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Nu argumentez: adesea aceste rădăcini sunt ușor de luat în considerare - am văzut mai sus mai multe astfel de exemple. Dar totuși, în cele mai multe cazuri, dacă te gândești la un număr arbitrar și apoi încerci să extragi rădăcina unui grad arbitrar din acesta, te afli într-o dezamăgire crudă.

Ce este acolo! Chiar și cel mai simplu și mai familiar $\sqrt(2)$ nu poate fi reprezentat în forma noastră obișnuită - ca un întreg sau o fracție. Și dacă introduceți acest număr într-un calculator, veți vedea asta:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

După cum puteți vedea, după virgulă zecimală există o succesiune nesfârșită de numere care nu respectă nicio logică. Puteți, desigur, să rotunjiți acest număr pentru a compara rapid cu alte numere. De exemplu:

\[\sqrt(2)=1,4142...\aproximativ 1,4 \lt 1,5\]

Sau iată un alt exemplu:

\[\sqrt(3)=1,73205...\aproximativ 1,7 \gt 1,5\]

Dar toate aceste rotunjiri sunt, în primul rând, destul de aspre; și în al doilea rând, trebuie să poți lucra și cu valori aproximative, altfel poți prinde o grămadă de erori neevidente (apropo, priceperea de comparare și rotunjire este neapărat verificată la examenul de profil).

Prin urmare, în matematica serioasă, nu se poate face fără rădăcini - sunt aceiași reprezentanți egali ai mulțimii tuturor numerelor reale $\mathbb(R)$, precum fracțiile și numerele întregi pe care le cunoaștem de mult.

Imposibilitatea reprezentării rădăcinii ca o fracție de forma $\frac(p)(q)$ înseamnă că această rădăcină nu este un număr rațional. Astfel de numere se numesc iraționale și nu pot fi reprezentate cu acuratețe decât cu ajutorul unui radical, sau a altor construcții special concepute pentru aceasta (logaritmi, grade, limite etc.). Dar mai multe despre asta altă dată.

Luați în considerare câteva exemple în care, după toate calculele, numerele iraționale vor rămâne în continuare în răspuns.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\aproximativ 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\aprox -1,2599... \\ \end(align)\]

Desigur, după apariția rădăcinii, este aproape imposibil de ghicit ce numere vor veni după virgulă. Cu toate acestea, este posibil să se calculeze pe un calculator, dar chiar și cel mai avansat calculator de dată ne oferă doar primele câteva cifre ale unui număr irațional. Prin urmare, este mult mai corect să scrieți răspunsurile ca $\sqrt(5)$ și $\sqrt(-2)$.

Pentru asta au fost inventate. Pentru a fi ușor de scris răspunsurile.

De ce sunt necesare două definiții?

Cititorul atent a observat probabil deja că toate rădăcinile pătrate date în exemple sunt luate din numere pozitive. Ei bine, cel puțin de la zero. Dar rădăcinile cubice sunt extrase cu calm din absolut orice număr - chiar pozitiv, chiar negativ.

De ce se întâmplă asta? Aruncă o privire la graficul funcției $y=((x)^(2))$:

Graficul unei funcții pătratice dă două rădăcini: pozitivă și negativă

Să încercăm să calculăm $\sqrt(4)$ folosind acest grafic. Pentru a face acest lucru, pe grafic este trasată o linie orizontală $y=4$ (marcată cu roșu), care intersectează parabola în două puncte: $((x)_(1))=2$ și $((x) _(2)) =-2$. Acest lucru este destul de logic, deoarece

Totul este clar cu primul număr - este pozitiv, deci este rădăcina:

Dar atunci ce să faci cu al doilea punct? Cele 4 au două rădăcini deodată? La urma urmei, dacă pătratăm numărul −2, obținem și 4. De ce să nu scriem $\sqrt(4)=-2$ atunci? Și de ce se uită profesorii la astfel de înregistrări de parcă ar vrea să te mănânce? :)

Problema este că, dacă nu sunt impuse condiții suplimentare, atunci cei patru vor avea două rădăcini pătrate - pozitive și negative. Și orice număr pozitiv va avea și două dintre ele. Dar numerele negative nu vor avea deloc rădăcini - acest lucru poate fi văzut din același grafic, deoarece parabola nu cade niciodată sub axă. y, adică nu ia valori negative.

O problemă similară apare pentru toate rădăcinile cu exponent par:

1. Strict vorbind, fiecare număr pozitiv va avea două rădăcini cu exponent par $n$;
2. Din numere negative, rădăcina cu $n$ chiar nu este extrasă deloc.

De aceea, definiția unei rădăcini pare $n$ prevede în mod specific că răspunsul trebuie să fie un număr nenegativ. Așa scăpăm de ambiguitate.

Dar pentru $n$ impar nu există o astfel de problemă. Pentru a vedea asta, să aruncăm o privire la graficul funcției $y=((x)^(3))$:

Parabola cubică ia orice valoare, astfel încât rădăcina cubică poate fi luată din orice număr

Din acest grafic se pot trage două concluzii:

1. Ramurile unei parabole cubice, spre deosebire de cea obișnuită, merg la infinit în ambele direcții - atât în ​​sus, cât și în jos. Prin urmare, la orice înălțime tragem o linie orizontală, această linie se va intersecta cu siguranță cu graficul nostru. Prin urmare, rădăcina cubă poate fi luată întotdeauna, absolut din orice număr;
2. În plus, o astfel de intersecție va fi întotdeauna unică, așa că nu trebuie să vă gândiți ce număr să luați în considerare rădăcina „corectă” și care să punctați. De aceea, definirea rădăcinilor pentru un grad impar este mai simplă decât pentru unul par (nu există o cerință de non-negativitate).

Păcat că aceste lucruri simple nu sunt explicate în majoritatea manualelor. În schimb, creierul nostru începe să se înalțe cu tot felul de rădăcini aritmetice și proprietățile lor.

Da, nu argumentez: ce este o rădăcină aritmetică - trebuie să știi și tu. Și voi vorbi despre asta în detaliu într-o lecție separată. Astăzi vom vorbi și despre asta, deoarece fără ea, toate reflecțiile asupra rădăcinilor multiplicității $n$-a ar fi incomplete.

Dar mai întâi trebuie să înțelegeți clar definiția pe care am dat-o mai sus. Altfel, din cauza abundenței de termeni, în capul tău va începe o astfel de mizerie încât până la urmă nu vei înțelege absolut nimic.

Și tot ce trebuie să înțelegeți este diferența dintre numerele pare și impare. Prin urmare, vom colecta încă o dată tot ce trebuie să știți despre rădăcini:

1. O rădăcină pară există numai dintr-un număr nenegativ și este ea însăși întotdeauna un număr nenegativ. Pentru numerele negative, o astfel de rădăcină este nedefinită.
2. Dar rădăcina unui grad impar există din orice număr și poate fi ea însăși orice număr: pentru numerele pozitive este pozitivă, iar pentru numerele negative, după cum indică capul, este negativă.

Este dificil? Nu, nu este greu. Clar? Da, este evident! Prin urmare, acum vom exersa puțin cu calculele.

Proprietăți de bază și limitări

Rădăcinile au o mulțime de proprietăți și restricții ciudate - aceasta va fi o lecție separată. Prin urmare, acum vom lua în considerare doar cel mai important „cip”, care se aplică numai rădăcinilor cu un exponent uniform. Scriem această proprietate sub forma unei formule:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\dreapta|\]

Cu alte cuvinte, dacă ridicăm un număr la o putere pară și apoi extragem rădăcina de același grad din aceasta, vom obține nu numărul original, ci modulul său. Aceasta este o teoremă simplă care este ușor de demonstrat (este suficient să luăm în considerare separat $x$ nenegativi și apoi să le luăm separat pe cele negative). Profesorii vorbesc constant despre asta, este dat în fiecare manual școlar. Dar de îndată ce vine vorba de rezolvarea ecuațiilor iraționale (adică ecuații care conțin semnul radicalului), elevii uită împreună această formulă.

Pentru a înțelege problema în detaliu, să uităm toate formulele timp de un minut și să încercăm să numărăm două numere înainte:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Acestea sunt exemple foarte simple. Primul exemplu va fi rezolvat de majoritatea oamenilor, dar pe al doilea, mulți se lipesc. Pentru a rezolva orice astfel de prostie fără probleme, luați în considerare întotdeauna procedura:

1. În primul rând, numărul este ridicat la a patra putere. Ei bine, e cam ușor. Se va obține un număr nou, care poate fi găsit chiar și în tabelul înmulțirii;
2. Și acum din acest număr nou este necesar să extragem rădăcina gradului al patrulea. Acestea. nu există o „reducere” a rădăcinilor și gradelor - acestea sunt acțiuni secvențiale.

Să ne ocupăm de prima expresie: $\sqrt(((3)^(4)))$. Evident, mai întâi trebuie să calculați expresia sub rădăcină:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Apoi extragem a patra rădăcină a numărului 81:

Acum să facem același lucru cu a doua expresie. În primul rând, ridicăm numărul -3 la a patra putere, pentru care trebuie să-l înmulțim cu el însuși de 4 ori:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ stânga(-3 \dreapta)=81\]

Am primit un număr pozitiv, deoarece numărul total de minusuri din produs este de 4 bucăți și toate se vor anula reciproc (la urma urmei, un minus cu un minus dă un plus). Apoi, extrageți din nou rădăcina:

În principiu, această linie nu a putut fi scrisă, deoarece este o idee deloc că răspunsul va fi același. Acestea. o rădăcină uniformă a aceleiași puteri uniforme „arde” minusurile și, în acest sens, rezultatul nu se poate distinge de modulul obișnuit:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Aceste calcule sunt în acord cu definiția rădăcinii unui grad par: rezultatul este întotdeauna nenegativ, iar semnul radical este întotdeauna un număr nenegativ. În caz contrar, rădăcina nu este definită.

Notă privind ordinea operațiunilor

1. Notația $\sqrt(((a)^(2)))$ înseamnă că mai întâi pătratăm numărul $a$ și apoi luăm rădăcina pătrată a valorii rezultate. Prin urmare, putem fi siguri că un număr nenegativ se află întotdeauna sub semnul rădăcinii, deoarece $((a)^(2))\ge 0$ oricum;
2. Dar notația $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, dimpotrivă, înseamnă că mai întâi extragem rădăcina dintr-un anumit număr $a$ și abia apoi pătratăm rezultatul. Prin urmare, numărul $a$ în ​​niciun caz nu poate fi negativ - aceasta este o cerință obligatorie încorporată în definiție.

Astfel, în niciun caz nu ar trebui să reducă neatenționat rădăcinile și gradele, presupunând astfel „simplificând” expresia originală. Pentru că dacă există un număr negativ sub rădăcină, iar exponentul său este par, vom avea o mulțime de probleme.

Cu toate acestea, toate aceste probleme sunt relevante doar pentru indicatori egali.

Eliminarea semnului minus de sub semnul rădăcină

Desigur, rădăcinile cu exponenți impari au și propria lor trăsătură, care, în principiu, nu există pentru cei pare. Și anume:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Pe scurt, puteți scoate un minus de sub semnul rădăcinilor unui grad impar. Aceasta este o proprietate foarte utilă care vă permite să „aruncați” toate minusurile:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Această proprietate simplă simplifică foarte mult multe calcule. Acum nu trebuie să vă faceți griji: ce se întâmplă dacă o expresie negativă a intrat sub rădăcină și gradul de la rădăcină s-a dovedit a fi egal? Este suficient să „arunci” toate minusurile din afara rădăcinilor, după care pot fi înmulțite între ele, împărțite și, în general, facem multe lucruri suspecte, care în cazul rădăcinilor „clasice” ne vor duce garantat la o eroare. .

Și aici intră în scenă o altă definiție - chiar cea cu care majoritatea școlilor încep studiul expresiilor iraționale. Și fără de care raționamentul nostru ar fi incomplet. Întâlni!

rădăcină aritmetică

Să presupunem pentru o clipă că numai numerele pozitive sau, în cazuri extreme, zero pot fi sub semnul rădăcinii. Să punctăm pe indicatorii par / impar, să punctăm pe toate definițiile date mai sus - vom lucra numai cu numere nenegative. Ce atunci?

Și apoi obținem rădăcina aritmetică - se intersectează parțial cu definițiile noastre „standard”, dar tot diferă de ele.

Definiție. O rădăcină aritmetică de gradul $n$ al unui număr nenegativ $a$ este un număr nenegativ $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$.

După cum puteți vedea, nu ne mai interesează paritatea. În schimb, a apărut o nouă restricție: expresia radicală este acum întotdeauna nenegativă, iar rădăcina însăși este, de asemenea, nenegativă.

Pentru a înțelege mai bine cum diferă rădăcina aritmetică de cea obișnuită, aruncați o privire la graficele parabolei pătrate și cubice deja familiare nouă:

Zona de căutare rădăcină - numere nenegative

După cum puteți vedea, de acum înainte, ne interesează doar acele bucăți de grafice care sunt situate în primul trimestru de coordonate - unde coordonatele $x$ și $y$ sunt pozitive (sau cel puțin zero). Nu mai trebuie să te uiți la indicator pentru a înțelege dacă avem dreptul de a înrădăcina un număr negativ sau nu. Pentru că numerele negative nu mai sunt luate în considerare în principiu.

Puteți întreba: „Ei bine, de ce avem nevoie de o astfel de definiție castrată?” Sau: „De ce nu ne descurcăm cu definiția standard dată mai sus?”

Ei bine, voi da o singură proprietate, din cauza căreia noua definiție devine adecvată. De exemplu, regula exponentiatiei:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Vă rugăm să rețineți: putem ridica expresia radicală la orice putere și, în același timp, înmulțim exponentul rădăcină cu aceeași putere - și rezultatul va fi același număr! Aici sunt cateva exemple:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Ei bine, ce e în neregulă cu asta? De ce nu am putut să o facem înainte? Iata de ce. Luați în considerare o expresie simplă: $\sqrt(-2)$ este un număr destul de normal în sensul nostru clasic, dar absolut inacceptabil din punctul de vedere al rădăcinii aritmetice. Să încercăm să-l convertim:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

După cum puteți vedea, în primul caz, am scos minusul de sub radical (avem tot dreptul, deoarece indicatorul este impar), iar în al doilea, am folosit formula de mai sus. Acestea. din punct de vedere al matematicii totul se face dupa reguli.

WTF?! Cum poate același număr să fie atât pozitiv, cât și negativ? În nici un caz. Doar că formula de exponențiere, care funcționează excelent pentru numere pozitive și zero, începe să dea o erezie completă în cazul numerelor negative.

Aici, pentru a scăpa de o asemenea ambiguitate, au venit cu rădăcini aritmetice. Le este dedicată o lecție mare separată, unde luăm în considerare în detaliu toate proprietățile lor. Așa că acum nu ne vom opri asupra lor - oricum lecția s-a dovedit a fi prea lungă.

Rădăcina algebrică: pentru cei care vor să afle mai multe

M-am gândit multă vreme: să fac acest subiect într-un paragraf separat sau nu. Până la urmă, am decis să plec de aici. Acest material este destinat celor care doresc să înțeleagă și mai bine rădăcinile - nu mai la nivelul mediu „școlar”, ci la nivelul apropiat de Olimpiada.

Deci: pe lângă definiția „clasică” a rădăcinii gradului $n$-lea dintr-un număr și împărțirea asociată în indicatori pari și impari, există o definiție mai „adultă”, care nu depinde de paritate și alte subtilități. Aceasta se numește rădăcină algebrică.

Definiție. O rădăcină $n$-a algebrică a oricărui $a$ este mulțimea tuturor numerelor $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$. Nu există o denumire bine stabilită pentru astfel de rădăcini, așa că puneți o liniuță deasupra:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Diferența fundamentală față de definiția standard dată la începutul lecției este că rădăcina algebrică nu este un număr specific, ci o mulțime. Și deoarece lucrăm cu numere reale, acest set este de doar trei tipuri:

1. Set gol. Apare atunci când este necesară găsirea unei rădăcini algebrice de grad par dintr-un număr negativ;
2. Un set format dintr-un singur element. Toate rădăcinile puterilor impare, precum și rădăcinile puterilor pare de la zero, se încadrează în această categorie;
3. În cele din urmă, mulțimea poate include două numere - aceleași $((x)_(1))$ și $((x)_(2))=-((x)_(1))$ pe care le-am văzut pe funcția pătratică grafică. În consecință, o astfel de aliniere este posibilă numai atunci când se extrage rădăcina unui grad par dintr-un număr pozitiv.

Ultimul caz merită o analiză mai detaliată. Să numărăm câteva exemple pentru a înțelege diferența.

Exemplu. Calculați expresii:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Soluţie. Prima expresie este simplă:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Sunt două numere care fac parte din set. Pentru că fiecare dintre ele la pătrat dă un patru.

\[\overline(\sqrt(-27))=\stanga\( -3 \dreapta\)\]

Aici vedem un set format dintr-un singur număr. Acest lucru este destul de logic, deoarece exponentul rădăcinii este impar.

În sfârșit, ultima expresie:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing\]

Avem un set gol. Pentru că nu există un singur număr real care, atunci când este ridicat la a patra (adică, chiar!) Putere, să ne dea un număr negativ -16.

Notă finală. Vă rugăm să rețineți: nu întâmplător am observat peste tot că lucrăm cu numere reale. Pentru că există și numere complexe - este foarte posibil să calculezi $\sqrt(-16)$ și multe alte lucruri ciudate acolo.

Cu toate acestea, în programa școlară modernă de matematică, numerele complexe nu se găsesc aproape niciodată. Acestea au fost omise din majoritatea manualelor, deoarece oficialii noștri consideră subiectul „prea greu de înțeles”.

Asta e tot. În lecția următoare, vom analiza toate proprietățile cheie ale rădăcinilor și, în sfârșit, vom învăța cum să simplificăm expresiile iraționale. :)

Formule de putere utilizat în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este n-a-a putere a unui număr A când:

Operații cu grade.

1. Înmulțind grade cu aceeași bază, indicatorii lor se adună:

a ma n = a m + n .

2. În împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii acestora se scad:

3. Gradul produsului a 2 sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Gradul unei fracții este egal cu raportul dintre gradele dividendului și divizorului:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ridicând o putere la o putere, exponenții se înmulțesc:

(am) n = a m n .

Fiecare formulă de mai sus este corectă în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

De exemplu. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operații cu rădăcini.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre dividend și divizorul rădăcinilor:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere:

4. Dacă creștem gradul rădăcinii în n o dată şi în acelaşi timp ridică la n Puterea este un număr de rădăcină, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă scădem gradul rădăcinii în n rădăcină în același timp n gradul de la numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

Gradul cu exponent negativ. Gradul unui număr cu un exponent nepozitiv (întreg) este definit ca unul împărțit la gradul aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului nepozitiv:

Formulă a m:a n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m> n, dar și la m< n.

De exemplu. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pentru a formula a m:a n = a m - n a devenit corect la m=n, aveți nevoie de prezența gradului zero.

Gradul cu exponent zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este egală cu unu.

De exemplu. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real Aîntr-o măsură m/n, trebuie să extrageți rădăcina n gradul de m puterea acestui număr A.