Să înțelegem mai întâi diferența dintre un cerc și un cerc. Pentru a vedea această diferență, este suficient să luăm în considerare care sunt ambele cifre. Acesta este un număr infinit de puncte din plan, situate la o distanță egală de un singur punct central. Dar, dacă cercul este format și din spațiu interior, atunci nu aparține cercului. Se dovedește că un cerc este atât un cerc care îl delimitează (o-cerc (g)ness), cât și un număr nenumărat de puncte care se află în interiorul cercului.

Pentru orice punct L situat pe cerc, se aplică egalitatea OL=R. (Lungimea segmentului OL este egală cu raza cercului).

Un segment de dreaptă care leagă două puncte dintr-un cerc este coardă.

O coardă care trece direct prin centrul unui cerc este diametru acest cerc (D) . Diametrul poate fi calculat folosind formula: D=2R

Circumferinţă calculat prin formula: C=2\pi R

Aria unui cerc: S=\pi R^(2)

arc de cerc numită acea parte a acesteia, care este situată între două dintre punctele sale. Aceste două puncte definesc două arce de cerc. CD-ul de acorduri subtinde două arcuri: CMD și CLD. Aceleași acorduri subtind aceleași arce.

Colț central este unghiul dintre două raze.

lungimea arcului poate fi găsit folosind formula:

1. Folosind grade: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Folosind o măsură radianică: CD = \alpha R

Diametrul care este perpendicular pe coardă traversează coarda și arcurile pe care le întinde.

Dacă acordurile AB și CD ale cercului se intersectează în punctul N, atunci produsele segmentelor coardelor separate de punctul N sunt egale între ele.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Tangenta la cerc

Tangent la un cerc Se obișnuiește să se numească o dreaptă care are un punct comun cu un cerc.

Dacă o dreaptă are două puncte în comun, se numește secantă.

Dacă desenați o rază în punctul de contact, aceasta va fi perpendiculară pe tangenta la cerc.

Să desenăm două tangente din acest punct la cercul nostru. Se pare că segmentele tangentelor vor fi egale între ele, iar centrul cercului va fi situat pe bisectoarea unghiului cu vârful în acest punct.

AC=CB

Acum desenăm o tangentă și o secantă la cerc din punctul nostru. Obținem că pătratul lungimii segmentului tangent va fi egal cu produsul întregului segment secant cu partea sa exterioară.

AC^(2) = CD \cdot BC

Putem concluziona: produsul unui segment întreg al primei secante cu partea sa exterioară este egal cu produsul unui segment întreg al celei de-a doua secante cu partea sa exterioară.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Unghiuri într-un cerc

Măsurile gradelor unghiului central și arcului pe care se sprijină sunt egale.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Unghiul înscris este un unghi al cărui vârf este pe un cerc și ale cărui laturi conțin coarde.

Îl puteți calcula știind dimensiunea arcului, deoarece este egal cu jumătate din acest arc.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Bazat pe diametru, unghi înscris, drept.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Unghiurile înscrise care se sprijină pe același arc sunt identice.

Unghiurile înscrise pe baza aceleiași coarde sunt identice sau suma lor este egală cu 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Pe același cerc sunt vârfurile triunghiurilor cu unghiuri identice și cu o bază dată.

Un unghi cu un vârf în interiorul cercului și situat între două coarde este identic cu jumătate din suma mărimilor unghiulare ale arcelor de cerc care se află în interiorul unghiurilor date și verticale.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Un unghi cu un vârf în afara cercului și situat între două secante este identic cu jumătate din diferența dintre mărimile unghiulare ale arcelor unui cerc care se află în interiorul unghiului.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Cerc înscris

Cerc înscris este un cerc tangent la laturile poligonului.

În punctul în care bisectoarele unghiurilor poligonului se intersectează, se află centrul acestuia.

Un cerc poate să nu fie înscris în fiecare poligon.

Aria unui poligon cu un cerc înscris se găsește prin formula:

S=pr,

p este semiperimetrul poligonului,

r este raza cercului înscris.

Rezultă că raza cercului înscris este:

r = \frac(S)(p)

Sumele lungimilor laturilor opuse vor fi identice dacă cercul este înscris într-un patrulater convex. Și invers: un cerc este înscris într-un patrulater convex dacă sumele lungimilor laturilor opuse din el sunt identice.

AB+DC=AD+BC

Este posibil să se înscrie un cerc în oricare dintre triunghiuri. Doar unul singur. În punctul în care bisectoarele unghiurilor interioare ale figurii se intersectează, centrul acestui cerc înscris se va afla.

Raza cercului înscris se calculează cu formula:

r = \frac(S)(p),

unde p = \frac(a + b + c)(2)

Cerc circumscris

Dacă un cerc trece prin fiecare vârf al unui poligon, atunci se numește un astfel de cerc circumscris unui poligon.

Centrul cercului circumscris va fi în punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale laturilor acestei figuri.

Raza poate fi găsită calculând-o ca raza unui cerc care este circumscris unui triunghi definit de oricare 3 vârfuri ale poligonului.

Există următoarea condiție: un cerc poate fi circumscris în jurul unui patrulater numai dacă suma unghiurilor sale opuse este egală cu 180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

În apropierea oricărui triunghi este posibil să descrii un cerc și unul și numai unul. Centrul unui astfel de cerc va fi situat în punctul în care bisectoarele perpendiculare ale laturilor triunghiului se intersectează.

Raza cercului circumscris poate fi calculată prin formulele:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului,

S este aria triunghiului.

teorema lui Ptolemeu

În cele din urmă, luați în considerare teorema lui Ptolemeu.

Teorema lui Ptolemeu afirmă că produsul diagonalelor este identic cu suma produselor laturilor opuse ale unui patrulater înscris.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Acest articol conține setul minim de informații despre cercul necesar pentru a promova cu succes examenul de matematică.

circumferinţă numită mulțimea de puncte situate la aceeași distanță de un punct dat, care se numește centrul cercului.

Pentru orice punct situat pe cerc, egalitatea este valabilă (lungimea segmentului este egală cu raza cercului.

Se numește un segment de dreaptă care leagă două puncte dintr-un cerc coardă.

Coarda care trece prin centrul cercului se numește diametru cercuri () .

Circumferinţă:

Aria unui cerc:

Arc de cerc:

Se numește partea de cerc cuprinsă între două dintre punctele sale arc cercuri. Două puncte dintr-un cerc definesc două arce. Coarda subtind două arce: și . Acordurile egale subtind arcuri egale.

Unghiul dintre două raze se numește colțul central :

Pentru a afla lungimea arcului, alcătuim proporția:

a) unghiul este dat în grade:

b) unghiul este dat în radiani:

Diametrul perpendicular pe coardă , împarte acest acord și arcurile pe care le scade în jumătate:

În cazul în care un acorduri și cercurile se intersectează într-un punct , atunci produsele segmentelor de coarde în care sunt împărțite cu un punct sunt egale între ele:

Tangent la un cerc.

O dreaptă care are un punct în comun cu un cerc se numește tangentă la cerc. Se numește o dreaptă care are două puncte în comun cu un cerc secantă.

Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza trasată la punctul tangent.

Dacă sunt trase două tangente dintr-un punct dat la cerc, atunci segmentele tangente sunt egale între ele iar centrul cercului se află pe bisectoarea unghiului cu vârful în acest punct:

Dacă dintr-un punct dat la cerc sunt trase o tangentă și o secantă, atunci pătratul lungimii segmentului tangent este egal cu produsul întregului segment secant cu partea sa exterioară :

Consecinţă: produsul întregului segment al unei secante cu partea sa exterioară este egal cu produsul întregului segment al celeilalte secante cu partea sa exterioară:

Unghiuri într-un cerc.

Gradul de măsurare a unui unghi central este egal cu gradul de măsurare a arcului pe care se sprijină:

Se numește un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi conțin coarde unghi înscris . Un unghi înscris este măsurat cu jumătate din arcul pe care îl interceptează:

∠∠

Un unghi înscris pe baza unui diametru este un unghi drept:

∠∠∠

Unghiurile înscrise care subtind același arc sunt :

Unghiurile înscrise care subtind aceeași coardă sunt egale sau suma lor este egală cu

∠∠

Vârfurile triunghiurilor cu o bază dată și unghiuri egale la vârf se află pe același cerc:

Unghiul dintre două acorduri (unghiul cu vârful din interiorul cercului) este egal cu jumătate din suma mărimilor unghiulare ale arcelor cercului închise în interiorul unghiului dat și în interiorul unghiului vertical.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Unghiul dintre două secante (unghiul cu vârful în afara cercului) este egal cu jumătate de diferență a mărimilor unghiulare ale arcelor cercului închise în interiorul unghiului.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Cerc înscris.

Cercul este numit înscris într-un poligon dacă își atinge părțile laterale. Centrul cercului înscris se află în punctul de intersecție al bisectoarelor unghiului poligonului.

Nu orice poligon poate fi înscris într-un cerc.

Aria unui poligon care conține un cerc poate fi găsit folosind formula

aici este semiperimetrul poligonului, este raza cercului înscris.

De aici raza cercului înscris egală

Dacă un cerc este înscris într-un patrulater convex, atunci sumele lungimilor laturilor opuse sunt . În schimb, dacă într-un patrulater convex sumele lungimilor laturilor opuse sunt egale, atunci un cerc poate fi înscris în patrulater:

Orice triunghi poate fi înscris cu un cerc și doar unul. Centrul cercului înscris se află în punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor interioare ale triunghiului.

Raza cercului înscris este egal cu . Aici

cerc circumscris.

Cercul este numit circumscris unui poligon dacă trece prin toate vârfurile poligonului. Centrul cercului circumscris se află în punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale laturilor poligonului. Raza este calculată ca raza unui cerc circumscris unui triunghi definit de oricare trei vârfuri ale poligonului dat:

Un cerc poate fi circumscris unui patrulater dacă și numai dacă suma unghiurilor sale opuse este egală cu .

În apropierea oricărui triunghi este posibil să descrii un cerc, în plus, doar unul. Centrul său se află în punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale laturilor triunghiului:

Raza cercului circumscris calculate cu formulele:

Unde este lungimea laturilor triunghiului, este aria acestuia.

teorema lui Ptolemeu

Într-un patrulater înscris, produsul diagonalelor este egal cu suma produselor laturilor sale opuse:

Lecția video 2: Cercul care circumscrie un triunghi

Lectura: Un cerc înscris într-un triunghi și un cerc care circumscrie un triunghi

Un cerc poate fi circumscris unor triunghiuri, iar un cerc poate fi înscris în unele.

triunghi înscris

Dacă toate vârfurile unui triunghi se află pe un cerc, atunci se numește un astfel de triunghi înscrisă.

Atenție, dacă un triunghi este înscris într-un cerc, atunci toate liniile care leagă centrul cercului cu vârfurile triunghiului sunt egale. Mai mult, au o valoare a razei.

Există formule simple care vă permit să determinați laturile unui triunghi după o rază cunoscută a unui cerc sau invers, determinați raza de-a lungul laturilor:

Dacă un triunghi obișnuit este înscris într-un cerc, atunci formulele sunt simplificate. Aș dori să vă reamintesc că un triunghi dreptunghic se numește unul în care toate laturile sunt egale:

Formula pentru găsirea aria unui triunghi regulat dacă este înscris într-un cerc:

Dacă un triunghi este situat în interiorul cercului, atunci există o regulă pentru plasarea centrului cercului.

Dacă orice triunghi cu unghi ascuțit este înscris într-un cerc, atunci centrul acestui cerc va fi situat în interiorul triunghiului:

Dacă un triunghi obișnuit este înscris într-un cerc, atunci centrul cercului va fi considerat centrul triunghiului, precum și punctul de intersecție al înălțimii sale.

Dacă un triunghi dreptunghic este înscris într-un cerc, atunci centrul cercului se va afla în mijlocul ipotenuzei:

Dacă un triunghi obtuz este înscris într-un cerc, atunci centrul cercului va fi în afara triunghiului:

Cerc înscris

Un cerc poate fi numit înscris dacă atinge toate laturile triunghiului într-un punct.

Pentru un triunghi în care este înscris un cerc, există o anumită regulă.