Putere cu exponent rațional

Setul de numere raționale include numere întregi și fracționale.

Definiția 1

Puterea unui număr $a$ cu exponent întreg $n$ este rezultatul înmulțirii numărului $a$ cu el însuși $n$ ori, și: $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, pentru $n>0$; $a^n=\frac(1)(a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)$, pentru $n

Definiția 2

Puterea unui număr $a$ cu exponent sub forma unei fracții $\frac(m)(n)$ se numește $n$-a rădăcină a lui $a$ la gradul $m$: $a^\frac(m)(n)=\sqrt[n](a^m)$, unde $a>0$, $ n$ este un număr natural, $m$ este un număr întreg.

Definiția 3

Puterea lui zero cu exponent ca fracție $\frac(m)(n)$ este definit după cum urmează: $0^\frac(m)(n)=\sqrt[n](0^m)=0$, unde $m$ este un număr întreg, $m>0$, $n$ este un număr natural număr.

Există o altă abordare pentru determinarea puterii unui număr cu exponent fracționar, care arată posibilitatea existenței unei puteri a unui număr negativ sau a unui exponent fracțional negativ.

De exemplu, expresiile $\sqrt((-3)^6)$, $\sqrt((-3)^3)$ sau $\sqrt((-7)^(-10))$ au sens, deci și expresiile $(-3)^\frac(6)(7)$, $(-3)^\frac(3)(7)$ și $(-7)^\frac(-10)(6) $ ar trebui să aibă sens, în timp ce, conform definiției, puterile cu exponent sub forma unei fracții cu bază negativă nu există.

Să dăm o altă definiție:

Puterea unui număr $a$ cu exponent fracționar $\frac(m)(n)$ se numește $\sqrt[n](a^m)$ în următoarele cazuri:

Pentru orice număr real $a$, întreg $m>0$ și număr natural impar $n$.

De exemplu, $13,4^\frac(7)(3)=\sqrt(13,4^7)$, $(-11)^\frac(8)(5)=\sqrt((-11)^8 )$.

Pentru orice număr real diferit de zero $a$, întreg negativ $m$ și impar $n$.

De exemplu, $13,4^\frac(-7)(3)=\sqrt(13,4^(-7))$, $(-11)^\frac(-8)(5)=\sqrt(( -11) ^(-8))$.

Pentru orice număr nenegativ $a$, întreg pozitiv $m$ și chiar $n$.

De exemplu, $13,4^\frac(7)(4)=\sqrt(13,4^7)$, $11^\frac(3)(16)=\sqrt(11^3)$.

Pentru orice $a$ pozitiv, întreg negativ $m$ și chiar $n$.

De exemplu, $13.4^\frac(-7)(4)=\sqrt(13.4^(-7))$, $11^\frac(-3)(8)=\sqrt(11^(-3 ))$ .

În alte condiții, este imposibil să se determine gradul cu un indicator fracțional.

De exemplu, $(-13,4)^\frac(10)(3)=\sqrt((-13,4)^(10))$, $(-11)^\frac(5)(4)= \sqrt( (-11)^5)$.

În plus, atunci când se aplică această definiție, este important ca exponentul fracționar $\frac(m)(n)$ să fie o fracție ireductibilă.

Seriozitatea acestei remarci este că puterea unui număr negativ cu un exponent reductibil fracționar, de exemplu, $\frac(10)(14)$ va fi un număr pozitiv, iar puterea aceluiași număr cu un exponent deja redus $\frac(5)(7)$ va fi un număr negativ.

De exemplu, $(-1)^\frac(10)(14)=\sqrt((-1)^(10))=\sqrt(1^(10))=1$ și $(-1) ^ \frac(5)(7)=\sqrt((-1)^5)=-1$.

Astfel, la reducerea fracției $\frac(10)(14)=\frac(5)(7)$, egalitatea $(-1)^\frac(10)(14)=(-1)^\ frac (5)(7)$.

Nota 1

Trebuie remarcat faptul că este adesea folosită prima definiție mai convenabilă și mai simplă a gradului cu un exponent sub formă de fracție.

Dacă un exponent fracționar este scris ca o fracție mixtă sau zecimală, este necesar să convertiți exponentul în forma unei fracții obișnuite.

De exemplu, $(2 \frac(3)(7))^(1 \frac(2)(7))=(2 \frac(3)(7))^\frac(9)(7)=\ sqrt ((2 \frac(3)(7))^9)$, $7^(3,6)=7^\frac(36)(10)=\sqrt(7^(36))$.

Grad cu exponent irațional și real

LA valabil numerele includ numerele raționale și iraționale.

Să analizăm conceptul de grad cu exponent irațional, deoarece gradul cu un exponent rațional pe care l-am considerat.

Luați în considerare o succesiune de aproximări ale numărului $\alpha$, care sunt numere raționale. Acestea. avem o succesiune de numere raționale $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, care definesc numărul $\alpha$ cu orice grad de precizie. Dacă calculăm puterile cu acești exponenți $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots$, atunci se dovedește că aceste numere sunt aproximații la un număr $ b$.

Definiția 4

Număr grad $a>0$ cu exponent irațional $\alpha$ este o expresie $a^\alpha$ care are o valoare egală cu limita secvenței $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots $, unde $ \alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, … sunt aproximări zecimale succesive ale numărului irațional $\alpha$.

În acest articol ne vom da seama despre ce este vorba gradul de. Aici vom da definiții ale puterii unui număr, în timp ce vom lua în considerare în detaliu toți exponenții posibili, începând cu exponentul natural și terminând cu cel irațional. În material veți găsi o mulțime de exemple de grade, acoperind toate subtilitățile care apar.

Navigare în pagină.

Putere cu exponent natural, pătrat al unui număr, cub al unui număr

Sa incepem cu . Privind în viitor, să presupunem că definiția puterii unui număr a cu exponent natural n este dată pentru a, pe care o vom numi baza gradului, și n, pe care îi vom numi exponent. De asemenea, observăm că un grad cu exponent natural este determinat printr-un produs, așa că pentru a înțelege materialul de mai jos trebuie să înțelegeți înmulțirea numerelor.

Definiție.

Puterea unui număr cu exponent natural n este o expresie de forma a n, a cărei valoare este egală cu produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a, adică .
În special, puterea unui număr a cu exponentul 1 este numărul a însuși, adică a 1 =a.

Merită menționat imediat despre regulile de citire a diplomelor. Modul universal de a citi notația a n este: „a la puterea lui n”. În unele cazuri, sunt acceptate și următoarele opțiuni: „a la a n-a putere” și „a n-a putere a a”. De exemplu, să luăm puterea 8 12, aceasta este „opt la puterea a doisprezece”, sau „opt la puterea a douăsprezecea”, sau „puterea a douăsprezecea a opt”.

A doua putere a unui număr, precum și a treia putere a unui număr, au propriile nume. Se numește a doua putere a unui număr pătratul numărului, de exemplu, 7 2 se citește ca „șapte pătrat” sau „pătratul numărului șapte”. Se numește a treia putere a unui număr numere cube, de exemplu, 5 3 poate fi citit ca „cinci cuburi” sau puteți spune „cubul numărului 5”.

E timpul să aduci exemple de grade cu exponenți naturali. Să începem cu gradul 5 7, aici 5 este baza gradului, iar 7 este exponentul. Să dăm un alt exemplu: 4,32 este baza, iar numărul natural 9 este exponentul (4,32) 9 .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul exemplu, baza puterii 4.32 este scrisă în paranteze: pentru a evita discrepanțe, vom pune în paranteze toate bazele puterii care sunt diferite de numerele naturale. Ca exemplu, dăm următoarele grade cu exponenți naturali , bazele lor nu sunt numere naturale, deci sunt scrise între paranteze. Ei bine, pentru o claritate completă, în acest moment vom arăta diferența conținută în înregistrările de forma (−2) 3 și −2 3. Expresia (−2) 3 este o putere a lui −2 cu un exponent natural de 3, iar expresia −2 3 (se poate scrie ca −(2 3) ) corespunde numărului, valorii puterii 2 3 .

Rețineți că există o notație pentru puterea unui număr a cu un exponent n de forma a^n. În plus, dacă n este un număr natural cu mai multe valori, atunci exponentul este luat între paranteze. De exemplu, 4^9 este o altă notație pentru puterea lui 4 9 . Și iată mai multe exemple de scriere a grade folosind simbolul „^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . În cele ce urmează, vom folosi în primul rând notația de grade a formei a n .

Una dintre problemele inverse ridicării la o putere cu exponent natural este problema găsirii bazei unei puteri dintr-o valoare cunoscută a puterii și un exponent cunoscut. Această sarcină duce la .

Se știe că mulțimea numerelor raționale este formată din numere întregi și fracții, iar fiecare fracție poate fi reprezentată ca o fracție ordinară pozitivă sau negativă. Am definit un grad cu un exponent întreg în paragraful anterior, prin urmare, pentru a completa definiția unui grad cu un exponent rațional, trebuie să dăm sens gradului numărului a cu un exponent fracționar m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Hai să o facem.

Să considerăm un grad cu un exponent fracționar de forma . Pentru ca proprietatea putere-la-putere să rămână valabilă, egalitatea trebuie să fie valabilă . Dacă luăm în considerare egalitatea rezultată și modul în care am determinat , atunci este logic să o acceptăm cu condiția ca pentru m, n și a dat expresia să aibă sens.

Este ușor de verificat că pentru toate proprietățile unui grad cu exponent întreg sunt valabile (acest lucru s-a făcut în secțiunea proprietățile unui grad cu exponent rațional).

Raționamentul de mai sus ne permite să facem următoarele concluzie: dacă sunt date m, n și a expresia are sens, atunci puterea lui a cu un exponent fracționar m/n se numește rădăcina a n-a a lui a la puterea lui m.

Această afirmație ne aduce aproape de definiția unui grad cu exponent fracționar. Tot ce rămâne este să descriem la ce m, n și a are sens expresia. În funcție de restricțiile impuse asupra m, n și a, există două abordări principale.

Cea mai ușoară modalitate este de a impune o constrângere pe a luând a≥0 pentru m pozitiv și a>0 pentru m negativ (deoarece pentru m≤0 gradul 0 al lui m nu este definit). Apoi obținem următoarea definiție a unui grad cu un exponent fracționar.

Definiție.

Puterea unui număr pozitiv a cu exponent fracționar m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural, se numește rădăcina a n-a a numărului a la puterea lui m, adică .

Puterea fracționată a lui zero este, de asemenea, determinată cu singura avertizare că indicatorul trebuie să fie pozitiv.

Definiție.

Puterea lui zero cu exponent pozitiv fracționar m/n, unde m este un număr întreg pozitiv și n este un număr natural, este definit ca .
Când gradul nu este determinat, adică gradul numărului zero cu un exponent negativ fracționar nu are sens.

Trebuie remarcat faptul că, cu această definiție a unui grad cu exponent fracționar, există o avertizare: pentru unele negative a și unele m și n, expresia are sens și am eliminat aceste cazuri introducând condiția a≥0. De exemplu, intrările au sens sau , iar definiția dată mai sus ne obligă să spunem că puterile cu un exponent fracționar al formei nu au sens, deoarece baza nu ar trebui să fie negativă.

O altă abordare pentru a determina un grad cu un exponent fracționar m/n este de a lua în considerare separat exponenții pari și impari ai rădăcinii. Această abordare necesită o condiție suplimentară: puterea numărului a, al cărui exponent este , este considerată puterea numărului a, al cărei exponent este fracția ireductibilă corespunzătoare (vom explica mai jos importanța acestei condiții ). Adică, dacă m/n este o fracție ireductibilă, atunci pentru orice număr natural k gradul este mai întâi înlocuit cu .

Pentru n par și m pozitiv, expresia are sens pentru orice a nenegativ (o rădăcină pare a unui număr negativ nu are sens); pentru m negativ, numărul a trebuie să fie în continuare diferit de zero (altfel va exista divizare cu zero). Iar pentru n impar și m pozitiv, numărul a poate fi orice (rădăcina unui grad impar este definită pentru orice număr real), iar pentru m negativ, numărul a trebuie să fie diferit de zero (astfel încât să nu existe o împărțire cu zero).

Raționamentul de mai sus ne conduce la această definiție a unui grad cu exponent fracționar.

Definiție.

Fie m/n o fracție ireductibilă, m un număr întreg și n un număr natural. Pentru orice fracție reductibilă, gradul este înlocuit cu . Puterea unui număr cu exponent fracționar ireductibil m/n este pentru



Să explicăm de ce un grad cu un exponent fracționar reductibil este mai întâi înlocuit cu un grad cu un exponent ireductibil. Dacă am defini pur și simplu gradul ca , și nu am face o rezervă cu privire la ireductibilitatea fracției m/n, atunci ne-am confrunta cu situații similare următoare: deoarece 6/10 = 3/5, atunci egalitatea trebuie să fie valabilă. , Dar , A .

De la exponenți întregi ai numărului a, se sugerează trecerea la exponenți raționali. Mai jos vom defini un grad cu exponent rațional și vom face acest lucru în așa fel încât să fie păstrate toate proprietățile unui grad cu exponent întreg. Acest lucru este necesar deoarece numerele întregi fac parte din numerele raționale.

Se știe că mulțimea numerelor raționale este formată din numere întregi și fracții, iar fiecare fracție poate fi reprezentată ca o fracție ordinară pozitivă sau negativă. Am definit un grad cu un exponent întreg în paragraful anterior, prin urmare, pentru a completa definiția unui grad cu un exponent rațional, trebuie să dăm sens gradului numărului A cu un indicator fracţional m/n, Unde m este un număr întreg și n- naturală. Hai să o facem.

Să considerăm un grad cu un exponent fracționar de forma . Pentru ca proprietatea putere-la-putere să rămână valabilă, egalitatea trebuie să fie valabilă . Dacă luăm în considerare egalitatea rezultată și modul în care am determinat rădăcina a n-a a gradului, atunci este logic să acceptăm, cu condiția ca dat fiind m, nȘi A expresia are sens.

Este ușor de verificat că pentru toate proprietățile unui grad cu exponent întreg sunt valabile (acest lucru s-a făcut în secțiunea proprietățile unui grad cu exponent rațional).

Raționamentul de mai sus ne permite să facem următoarele concluzie: dacă sunt date date m, nȘi A expresia are sens, apoi puterea numărului A cu un indicator fracţional m/n numită rădăcină n gradul de Aîntr-o măsură m.

Această afirmație ne aduce aproape de definiția unui grad cu exponent fracționar. Tot ce rămâne este să descriem la ce m, nȘi A expresia are sens. În funcţie de restricţiile impuse m, nȘi A Există două abordări principale.

1. Cea mai simplă modalitate este de a impune o restricție asupra A, după ce a acceptat a≥0 pentru pozitiv mȘi a>0 pentru negativ m(de cand m≤0 grad 0 m nedeterminat). Apoi obținem următoarea definiție a unui grad cu un exponent fracționar.

Definiție.

Puterea unui număr pozitiv A cu un indicator fracţional m/n , Unde m- întreg, și n– un număr natural, numit rădăcină n--lea din număr Aîntr-o măsură m, acesta este, .

Puterea fracționată a lui zero este, de asemenea, determinată cu singura avertizare că indicatorul trebuie să fie pozitiv.

Definiție.

Puterea lui zero cu exponent pozitiv fracționar m/n , Unde m este un număr întreg pozitiv și n– număr natural, definit ca .
Când gradul nu este determinat, adică gradul numărului zero cu un exponent negativ fracționar nu are sens.

Trebuie remarcat faptul că, cu această definiție a unui grad cu un exponent fracțional, există o avertizare: pentru unele negative A si ceva mȘi n expresia are sens, dar am înlăturat aceste cazuri introducând condiția a≥0. De exemplu, intrările au sens sau , iar definiția dată mai sus ne obligă să spunem că puterile cu un exponent fracționar al formei nu au sens, deoarece baza nu ar trebui să fie negativă.

2. O altă abordare pentru determinarea gradului cu un exponent fracționar m/n constă în considerarea separată a exponenților pari și impari ai rădăcinii. Această abordare necesită o condiție suplimentară: puterea numărului A, al cărei exponent este o fracție ordinară reductibilă, este considerată o putere a numărului A, al cărui indicator este fracția ireductibilă corespunzătoare (importanța acestei condiții va fi explicată mai jos). Adică dacă m/n este o fracție ireductibilă, atunci pentru orice număr natural k gradul este înlocuit preliminar cu .

Pentru chiar n si pozitive m expresia are sens pentru orice non-negativ A(o rădăcină pară a unui număr negativ nu are sens), pentru negativ m număr A trebuie să fie în continuare diferit de zero (altfel va fi împărțire la zero). Și pentru ciudat n si pozitive m număr A poate fi orice (o rădăcină impară este definită pentru orice număr real) și pentru negativ m număr A trebuie să fie diferit de zero (astfel încât să nu existe împărțire cu zero).

Raționamentul de mai sus ne conduce la această definiție a unui grad cu exponent fracționar.

Definiție.

Lăsa m/n– fracție ireductibilă, m- întreg, și n- numar natural. Pentru orice fracție reductibilă, gradul este înlocuit cu . Gradul de A cu un exponent fracționar ireductibil m/n- este pentru

o orice număr real A, total pozitiv mși ciudat natural n, De exemplu, ;

o orice număr real diferit de zero A, întreg negativ mși ciudat n, De exemplu, ;

o orice număr nenegativ A, total pozitiv mși chiar n, De exemplu, ;

o orice pozitiv A, întreg negativ mși chiar n, De exemplu, ;

o în alte cazuri, gradul cu un indicator fracționar nu este determinat, deoarece de exemplu gradele nu sunt definite .a nu atribuim nicio semnificație intrării; definim puterea numărului zero pentru exponenții fracționali pozitivi m/n Cum , pentru exponenții fracționali negativi puterea numărului zero nu este determinată.

În încheierea acestui punct, să atragem atenția asupra faptului că un exponent fracționar poate fi scris ca o fracție zecimală sau un număr mixt, de exemplu, . Pentru a calcula valorile expresiilor de acest tip, trebuie să scrieți exponentul sub forma unei fracții obișnuite și apoi să utilizați definiția exponentului cu un exponent fracționar. Pentru exemplele de mai sus avem Și

Putere cu exponent rațional

Khasyanova T.G.,

profesor de matematică

Materialul prezentat va fi util profesorilor de matematică atunci când studiază subiectul „Exponent cu un exponent rațional”.

Scopul materialului prezentat: să dezvălui experiența mea de a conduce o lecție pe tema „Licență cu un exponent rațional” a programului de lucru al disciplinei „Matematică”.

Metodologia de desfășurare a lecției corespunde tipului acesteia - o lecție de studiere și consolidare inițială a noilor cunoștințe. Cunoștințele și abilitățile de bază au fost actualizate pe baza experienței acumulate anterior; memorarea primară, consolidarea și aplicarea de noi informații. Consolidarea și aplicarea de material nou a avut loc sub forma rezolvării unor probleme pe care le-am testat de complexitate variabilă, dând un rezultat pozitiv în însușirea temei.

La începutul lecției, mi-am propus elevilor următoarele obiective: educațional, de dezvoltare, educațional. Pe parcursul lecției am folosit diverse metode de activitate: frontală, individuală, pereche, independentă, test. Sarcinile au fost diferențiate și au făcut posibilă identificarea, la fiecare etapă a lecției, a gradului de însuşire a cunoştinţelor. Volumul și complexitatea sarcinilor corespunde caracteristicilor de vârstă ale elevilor. Din experiența mea, temele, similare cu problemele rezolvate la clasă, vă permit să consolidați în mod fiabil cunoștințele și abilitățile dobândite. La sfârșitul lecției, a fost efectuată reflecția și a fost evaluată munca individuală a elevilor.

Scopurile au fost atinse. Elevii au studiat conceptul și proprietățile unei diplome cu un exponent rațional și au învățat să folosească aceste proprietăți atunci când rezolvă probleme practice. Pentru munca independentă, notele sunt anunțate la următoarea lecție.

Consider că metodologia pe care o folosesc pentru predarea matematicii poate fi folosită de profesorii de matematică.

Subiectul lecției: Puterea cu exponent rațional

Scopul lecției:

Identificarea nivelului de stăpânire de către elevi a unui complex de cunoștințe și abilități și, pe baza acestuia, aplicarea anumitor soluții pentru îmbunătățirea procesului de învățământ.

Obiectivele lecției:

Educational: de a forma în rândul studenților noi cunoștințe despre concepte de bază, reguli, legi pentru determinarea gradelor cu un indicator rațional, capacitatea de a aplica în mod independent cunoștințele în condiții standard, în condiții modificate și nestandard;

în curs de dezvoltare: gândește logic și realizează abilități creative;

ridicare: dezvoltați un interes pentru matematică, completați-vă vocabularul cu termeni noi și obțineți informații suplimentare despre lumea din jurul vostru. Cultivați răbdarea, perseverența și capacitatea de a depăși dificultățile.

Organizarea timpului

Actualizarea cunoștințelor de referință

La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, se adaugă exponenții, dar baza rămâne aceeași:

De exemplu,

2. La împărțirea gradelor cu aceleași baze, exponenții gradelor se scad, dar baza rămâne aceeași:

De exemplu,

3. Când se ridică un grad la o putere, exponenții sunt înmulțiți, dar baza rămâne aceeași:

De exemplu,

4. Gradul produsului este egal cu produsul gradelor factorilor:

De exemplu,

5. Gradul câtului este egal cu câtul gradelor dividendului și divizorului:

De exemplu,

Exerciții cu soluții

Găsiți sensul expresiei:

Soluţie:

În acest caz, niciuna dintre proprietățile unui grad cu exponent natural nu poate fi aplicată în mod explicit, deoarece toate gradele au baze diferite. Să scriem câteva puteri într-o formă diferită:

(gradul produsului este egal cu produsul gradelor factorilor);

(la înmulțirea puterilor cu aceleași baze, se adună exponenții, dar baza rămâne aceeași; la ridicarea unui grad la o putere, exponenții sunt înmulțiți, dar baza rămâne aceeași).

Atunci obținem:

În acest exemplu, au fost utilizate primele patru proprietăți ale unui grad cu exponent natural.

Rădăcina pătrată aritmetică
este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cuA,
. La
- expresie
nedefinit, pentru că nu există un număr real al cărui pătrat să fie egal cu un număr negativA.

Dictarea matematică(8-10 min.)

Opțiune

II. Opțiune

1.Găsiți valoarea expresiei

A)

b)

1.Găsiți valoarea expresiei

A)

b)

2.Calculează

A)

b)

ÎN)

2.Calculează

A)

b)

V)

Autotestare(pe placa cu rever):

Matricea de răspuns:

№ opțiune/sarcină

Problema 1

Problema 2

Opțiunea 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

V)

Opțiunea 2

a) 1.5

b)

A)

b)

la 4

II.Formarea de noi cunoștințe

Să luăm în considerare ce sens are expresia, unde - număr pozitiv– număr fracționar și m-întreg, n-natural (n›1)

Definiție: puterea lui a›0 cu exponent raționalr = , m- întreg, n-natural ( n›1) numărul este apelat.

Asa de:

De exemplu:

Note:

1. Pentru orice număr a pozitiv și orice număr rațional r pozitiv.

2. Când
puterea rațională a unui numărAnedeterminat.

Expresii ca
nu au sens.

3.Dacă un număr pozitiv fracționar este
.

Dacă fracționat număr negativ, atunci -nu are sens.

De exemplu: - nu are sens.

Să luăm în considerare proprietățile unui grad cu exponent rațional.

Fie a >0, b>0; r, s - orice numere raționale. Atunci un grad cu orice exponent rațional are următoarele proprietăți:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Consolidare. Formarea de noi abilități și abilități.

Fișele de activitate funcționează în grupuri mici sub forma unui test.

După ce puterea unui număr a fost determinată, este logic să vorbim despre proprietăți de grad. În acest articol vom oferi proprietățile de bază ale puterii unui număr, atingând toți exponenții posibili. Aici vom oferi dovezi ale tuturor proprietăților gradelor și, de asemenea, vom arăta cum sunt utilizate aceste proprietăți la rezolvarea exemplelor.

Navigare în pagină.

Proprietăți ale gradelor cu exponenți naturali

Prin definiția unei puteri cu exponent natural, puterea a n este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Pe baza acestei definiții și, de asemenea, folosind proprietățile înmulțirii numerelor reale, putem obține și justifica următoarele proprietăți de grad cu exponent natural:

1. proprietatea principală a gradului a m ·a n =a m+n, generalizarea acestuia;
2. proprietatea puterilor câte cu baze identice a m:a n =a m−n ;
3. proprietatea puterii produsului (a·b) n =a n ·b n , extensia sa;
4. proprietatea coeficientului la gradul natural (a:b) n =a n:b n ;
5. ridicarea unui grad la o putere (a m) n =a m·n, generalizarea lui (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. compararea gradului cu zero:
   • dacă a>0, atunci a n>0 pentru orice număr natural n;
   • dacă a=0, atunci a n =0;
   • în cazul în care o<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 dacă a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. dacă a și b sunt numere pozitive și a
8. dacă m și n sunt numere naturale astfel încât m>n , atunci la 0 0 inegalitatea a m >a n este adevărată.

Să observăm imediat că toate egalitățile scrise sunt identicîn condițiile specificate, atât părțile din dreapta cât și cele din stânga pot fi schimbate. De exemplu, proprietatea principală a fracției a m ·a n =a m+n cu simplificarea expresiilor folosit adesea sub forma a m+n =a m ·a n .

Acum să ne uităm la fiecare dintre ele în detaliu.

Să începem cu proprietatea produsului a două puteri cu aceleași baze, care se numește principala proprietate a gradului: pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n, egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată.

Să demonstrăm principala proprietate a gradului. Prin definiția unei puteri cu exponent natural, produsul puterilor cu aceleași baze de forma a m ·a n poate fi scris ca produs. Datorită proprietăților înmulțirii, expresia rezultată poate fi scrisă ca , iar acest produs este o putere a numărului a cu exponent natural m+n, adică un m+n. Aceasta completează dovada.

Să dăm un exemplu care confirmă proprietatea principală a gradului. Să luăm grade cu aceleași baze 2 și puteri naturale 2 și 3, folosind proprietatea de bază a gradelor putem scrie egalitatea 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Să-i verificăm validitatea calculând valorile expresiilor 2 2 · 2 3 și 2 5 . Efectuând exponentiație, avem 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32și 2 5 =2·2·2·2·2=32, deoarece se obțin valori egale, atunci egalitatea 2 2 ·2 3 =2 5 este corectă și confirmă proprietatea principală a gradului.

Proprietatea de bază a unui grad, bazată pe proprietățile înmulțirii, poate fi generalizată la produsul a trei sau mai multe puteri cu aceleași baze și exponenți naturali. Deci, pentru orice număr k de numere naturale n 1, n 2, …, n k următoarea egalitate este adevărată: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

De exemplu, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Putem trece la următoarea proprietate a puterilor cu un exponent natural – proprietatea puterilor coeficiente cu aceleasi baze: pentru orice număr real diferit de zero a și numere naturale arbitrare m și n care îndeplinesc condiția m>n, egalitatea a m:a n =a m−n este adevărată.

Înainte de a prezenta dovada acestei proprietăți, să discutăm semnificația condițiilor suplimentare din formulare. Condiția a≠0 este necesară pentru a evita împărțirea la zero, deoarece 0 n =0, iar când ne-am familiarizat cu împărțirea, am convenit că nu putem împărți la zero. Se introduce condiția m>n astfel încât să nu depășim exponenții naturali. Într-adevăr, pentru m>n exponentul a m−n este un număr natural, altfel va fi fie zero (ceea ce se întâmplă pentru m−n ) fie un număr negativ (ceea ce se întâmplă pentru m

Dovada. Proprietatea principală a unei fracții ne permite să scriem egalitatea a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Din egalitatea rezultată a m−n ·a n =a m și rezultă că a m−n este un coeficient al puterilor a m și a n . Aceasta dovedește proprietatea puterilor coeficiente cu baze identice.

Să dăm un exemplu. Să luăm două grade cu aceleași baze π și exponenți naturali 5 și 2, egalitatea π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 corespunde proprietății considerate a gradului.

Acum să luăm în considerare proprietatea puterii produsului: puterea naturală n a produsului a oricăror două numere reale a și b este egală cu produsul puterilor a n și b n , adică (a·b) n =a n ·b n .

Într-adevăr, prin definiția unui grad cu exponent natural avem . Pe baza proprietăților înmulțirii, ultimul produs poate fi rescris ca , care este egal cu a n · b n .

Iată un exemplu: .

Această proprietate se extinde la puterea produsului a trei sau mai mulți factori. Adică, proprietatea gradului natural n a produsului k factori se scrie ca (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Pentru claritate, vom arăta această proprietate cu un exemplu. Pentru produsul a trei factori la puterea lui 7 avem .

Următoarea proprietate este proprietatea unui coeficient in natura: câtul numerelor reale a și b, b≠0 la puterea naturală n este egal cu câtul puterilor a n și b n, adică (a:b) n =a n:b n.

Dovada poate fi efectuată folosind proprietatea anterioară. Asa de (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, iar din egalitatea (a:b) n ·b n =a n rezultă că (a:b) n este câtul a n împărțit la b n .

Să scriem această proprietate folosind numere specifice ca exemplu: .

Acum, hai să-i spunem proprietatea de a ridica o putere la o putere: pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n, puterea lui a m la puterea lui n este egală cu puterea numărului a cu exponent m·n, adică (a m) n =a m·n.

De exemplu, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Dovada proprietății putere-la-grad este următorul lanț de egalități: .

Proprietatea luată în considerare poate fi extinsă grad în grad, etc. De exemplu, pentru orice numere naturale p, q, r și s, egalitatea . Pentru o mai mare claritate, iată un exemplu cu numere specifice: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Rămâne să ne oprim asupra proprietăților de a compara grade cu un exponent natural.

Să începem prin a demonstra proprietatea de a compara zero și putere cu un exponent natural.

Mai întâi, să demonstrăm că a n >0 pentru orice a>0.

Produsul a două numere pozitive este un număr pozitiv, după cum reiese din definiția înmulțirii. Acest fapt și proprietățile înmulțirii sugerează că rezultatul înmulțirii oricărui număr de numere pozitive va fi, de asemenea, un număr pozitiv. Iar puterea unui număr a cu exponent natural n, prin definiție, este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Aceste argumente ne permit să afirmăm că pentru orice bază pozitivă a, gradul a n este un număr pozitiv. Datorită proprietății dovedite 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 și .

Este destul de evident că pentru orice număr natural n cu a=0 gradul lui n este zero. Într-adevăr, 0 n =0·0·…·0=0 . De exemplu, 0 3 =0 și 0 762 =0.

Să trecem la bazele negative ale gradului.

Să începem cu cazul în care exponentul este un număr par, să-l notăm ca 2·m, unde m este un număr natural. Apoi . Pentru fiecare dintre produsele de forma a·a este egal cu produsul modulelor numerelor a și a, ceea ce înseamnă că este un număr pozitiv. Prin urmare, produsul va fi, de asemenea, pozitiv iar gradul a 2·m. Să dăm exemple: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 și .

În cele din urmă, când baza a este un număr negativ și exponentul este un număr impar 2 m−1, atunci . Toate produsele a·a sunt numere pozitive, produsul acestor numere pozitive este de asemenea pozitiv, iar înmulțirea lui cu numărul negativ rămas a are ca rezultat un număr negativ. Datorită acestei proprietăți (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Să trecem la proprietatea de a compara puteri cu aceiași exponenți naturali, care are următoarea formulare: a două puteri cu aceiași exponenți naturali, n este mai mic decât cea a cărei bază este mai mică și mai mare este cea a cărei bază este mai mare. . Să demonstrăm.

Inegalitatea a n proprietățile inegalităților o inegalitate demonstrabilă de forma a n este de asemenea adevărată (2.2) 7 și .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale puterilor cu exponenți naturali. Să o formulăm. Dintre două puteri cu exponenți naturali și baze pozitive identice mai mici decât una, cea al cărei exponent este mai mic este mai mare; iar a două puteri cu exponenți naturali și baze identice mai mari decât una, cea al cărei exponent este mai mare este mai mare. Să trecem la dovedirea acestei proprietăți.

Să demonstrăm că pentru m>n și 0 0 datorită condiției inițiale m>n, ceea ce înseamnă că la 0

Rămâne de dovedit a doua parte a proprietății. Să demonstrăm că pentru m>n și a>1 a m >a n este adevărat. Diferența a m −a n după scoaterea a n din paranteze ia forma a n ·(a m−n −1) . Acest produs este pozitiv, deoarece pentru a>1 gradul a n este un număr pozitiv, iar diferența a m−n −1 este un număr pozitiv, deoarece m−n>0 datorită condiției inițiale, iar pentru a>1 gradul un m−n este mai mare decât unu. În consecință, a m −a n >0 și a m >a n , care este ceea ce trebuia demonstrat. Această proprietate este ilustrată de inegalitatea 3 7 >3 2.

Proprietățile puterilor cu exponenți întregi

Deoarece numerele întregi pozitive sunt numere naturale, atunci toate proprietățile puterilor cu exponenți întregi pozitivi coincid exact cu proprietățile puterilor cu exponenți naturali enumerate și dovedite în paragraful anterior.

Am definit un grad cu un exponent întreg negativ, precum și un grad cu un exponent zero, în așa fel încât toate proprietățile gradelor cu exponenți naturali, exprimate prin egalități, să rămână valabile. Prin urmare, toate aceste proprietăți sunt valabile atât pentru exponenții zero, cât și pentru exponenții negativi, în timp ce, desigur, bazele puterilor sunt diferite de zero.

Deci, pentru orice numere reale și non-nule a și b, precum și pentru orice numere întregi m și n, următoarele sunt adevărate: proprietățile puterilor cu exponenți întregi:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. dacă n este un număr întreg pozitiv, a și b sunt numere pozitive și a b−n ;
7. dacă m și n sunt numere întregi și m>n , atunci la 0 1 inegalitatea a m >a n este valabilă.

Când a=0, puterile a m și a n au sens numai atunci când ambele m și n sunt numere întregi pozitive, adică numere naturale. Astfel, proprietățile tocmai scrise sunt valabile și pentru cazurile în care a=0 și numerele m și n sunt numere întregi pozitive.

Demonstrarea fiecăreia dintre aceste proprietăți nu este dificilă; pentru a face acest lucru, este suficient să folosiți definițiile de grade cu exponenți naturali și întregi, precum și proprietățile operațiilor cu numere reale. Ca exemplu, să demonstrăm că proprietatea putere-la-putere este valabilă atât pentru numerele întregi pozitive, cât și pentru numerele întregi nepozitive. Pentru a face acest lucru, trebuie să arătați că, dacă p este zero sau un număr natural și q este zero sau un număr natural, atunci egalitățile (a p) q =a p·q, (a -p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) și (a −p) −q =a (−p)·(−q). Hai să o facem.

Pentru p și q pozitive, egalitatea (a p) q =a p·q a fost dovedită în paragraful anterior. Dacă p=0, atunci avem (a 0) q =1 q =1 și a 0·q =a 0 =1, de unde (a 0) q =a 0·q. În mod similar, dacă q=0, atunci (a p) 0 =1 și a p·0 =a 0 =1, de unde (a p) 0 =a p·0. Dacă ambele p=0 și q=0, atunci (a 0) 0 =1 0 =1 și a 0·0 =a 0 =1, de unde (a 0) 0 =a 0·0.

Acum demonstrăm că (a −p) q =a (−p)·q . Prin definiția unei puteri cu un exponent întreg negativ, atunci . Prin proprietatea coeficientilor la puteri pe care le avem . Deoarece 1 p =1·1·…·1=1 și , atunci . Ultima expresie, prin definiție, este o putere de forma a −(p·q), care, datorită regulilor de înmulțire, poate fi scrisă ca a (−p)·q.

De asemenea .

ȘI .

Folosind același principiu, puteți demonstra toate celelalte proprietăți ale unui grad cu un exponent întreg, scris sub formă de egalități.

În penultima dintre proprietățile înregistrate, merită să ne oprim asupra dovezii inegalității a -n >b -n, care este valabilă pentru orice număr întreg negativ -n și orice a și b pozitiv pentru care condiția a este îndeplinită. . Deoarece prin condiția a 0 . Produsul a n · b n este de asemenea pozitiv ca produsul numerelor pozitive a n și b n . Atunci fracția rezultată este pozitivă ca câtul numerelor pozitive b n −a n și a n ·b n . Prin urmare, de unde a −n >b −n , care este ceea ce trebuia demonstrat.

Ultima proprietate a puterilor cu exponenți întregi este demonstrată în același mod ca o proprietate similară a puterilor cu exponenți naturali.

Proprietățile puterilor cu exponenți raționali

Am definit un grad cu un exponent fracționar extinzându-i proprietățile unui grad cu un exponent întreg. Cu alte cuvinte, puterile cu exponenți fracționari au aceleași proprietăți ca și puterile cu exponenți întregi. Și anume:

Dovada proprietăților gradelor cu exponenți fracționari se bazează pe definirea unui grad cu exponent fracționar și pe proprietățile unui grad cu exponent întreg. Să oferim dovezi.

Prin definiția unei puteri cu exponent fracționar și , atunci . Proprietățile rădăcinii aritmetice ne permit să scriem următoarele egalități. În plus, folosind proprietatea unui grad cu exponent întreg, obținem , din care, prin definiția unui grad cu exponent fracționar, avem , iar indicatorul gradului obţinut poate fi transformat astfel: . Aceasta completează dovada.

A doua proprietate a puterilor cu exponenți fracționari este demonstrată într-un mod absolut similar:

Egalitățile rămase sunt dovedite folosind principii similare:

Să trecem la demonstrarea următoarei proprietăți. Să demonstrăm că pentru orice a și b pozitiv, a b p . Să scriem numărul rațional p ca m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Condiții p<0 и p>0 în acest caz condiţiile m<0 и m>0 în consecință. Pentru m>0 și a

În mod similar, pentru m<0 имеем a m >b m , de unde, adică, și a p >b p .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate. Să demonstrăm că pentru numerele raționale p și q, p>q la 0 0 – inegalitatea a p >a q . Putem reduce întotdeauna numerele raționale p și q la un numitor comun, chiar dacă obținem fracții obișnuite și , unde m 1 și m 2 sunt numere întregi, iar n este un număr natural. În acest caz, condiţia p>q va corespunde condiţiei m 1 >m 2, care rezultă din. Apoi, prin proprietatea de a compara puteri cu aceleași baze și exponenți naturali la 0 1 – inegalitatea a m 1 >a m 2 . Aceste inegalități în proprietățile rădăcinilor pot fi rescrise în consecință ca Și . Iar definirea unui grad cu exponent rațional ne permite să trecem la inegalități și, în consecință. De aici tragem concluzia finală: pentru p>q și 0 0 – inegalitatea a p >a q .

Proprietățile puterilor cu exponenți iraționali

Din modul în care este definit un grad cu exponent irațional, putem concluziona că are toate proprietățile gradelor cu exponent rațional. Deci pentru orice a>0, b>0 și numere iraționale p și q următoarele sunt adevărate proprietățile puterilor cu exponenți iraționali:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. pentru orice numere pozitive a și b, a 0 inegalitatea a p b p ;
7. pentru numerele iraționale p și q, p>q la 0 0 – inegalitatea a p >a q .

Din aceasta putem concluziona că puterile cu orice exponenți reali p și q pentru a>0 au aceleași proprietăți.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manual de matematică pentru clasa a V-a. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VII-a. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a IX-a. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele.Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).