Volumele corpurilor
Compilat de: Olesya Viktorovna Yuminova, profesor de matematică la Colegiul Agrar din Krasnoyarsk

Obiectivele lecției:
Introduceți conceptul de volum al corpurilor, proprietățile sale, unitățile de măsură ale volumului. Repetați cu elevii formulele pentru aflarea volumului unui paralelipiped sau al unui cub. Prezentați elevilor volumele unei prisme drepte, piramidei, cilindrului și conului, ghidați de considerații vizuale și ilustrative.

Așa cum toate artele gravitează spre muzică, toate științele gravitează spre matematică. D. Santayana

Geometria este arta de a raționa corect pe desene incorecte. Poya D.

Aria Aria unui poligon este valoarea pozitivă a părții de plan pe care o ocupă poligonul.
Volumul Volumul unui corp este valoarea pozitivă a acelei părți din spațiu ocupată de un corp geometric.

Proprietățile ariilor: 1. Poligoane egale au arii egale
Proprietățile volumelor: 1. Corpurile egale au volume egale
F1
F2
F1
F2

2. Dacă un poligon este format din mai multe poligoane, atunci aria lui este egală cu suma ariilor acestor poligoane. SF=SF1+SF2+SF3+SF4
2. Dacă un corp este format din mai multe corpuri, atunci volumul său este egal cu suma volumelor acestor corpuri. VF=VF1+VF2

Aria Unitatea de măsură pentru arii este un pătrat, a cărui latură este egală cu unitatea de măsură pentru segmente. 1 km2, 1 m2, 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2, 1 a, 1 ha etc.
Volumul Pentru unitatea de măsură a volumelor, luăm un cub, a cărui margine este egală cu unitatea de măsură a segmentelor. Un cub cu marginea de 1 cm se numește centimetru cub și este desemnat cm3. În mod similar, se determină 1 m3, 1 dm3, 1 cm3, 1 mm3 etc.
1
1
1
1
1

Zona Figurile geometrice care au arii egale se numesc egale.
Volum Corpurile de dimensiuni egale sunt acelea ale căror volume sunt egale.
VF=VF1
F2
F1
F2
F1
SF=SF1

În stereometrie se iau în considerare volumele poliedrelor și volumele corpurilor de revoluție.

Volumul unui paralelipiped dreptunghiular:
a-lungime b-lățime c-înălțime V=a.b.c Sbas= a.b V=Sbas.H

Volumul cubului:
V=a3 V=Sbas.H
Sbas=a2

Volumul unei prisme drepte:
V=Sbas.H
Vparal=Smain.H Smain=2.SABC După proprietatea volumelor Vparal=2.SABC.H V prisme = (V paralele) :2 V prisme = (2.SABC.H): 2

Volumul piramidei:
Pentru piramidele 2 și 3 - SC - comun, tr CC1B1 = tr CBB1 Pentru piramidele 1 și 3 - CS - comun, tr SAB = tr BB1S V1=V2=V3 V prisme= 3 V piramide Vpiramide=1 V prisme 3 V =1 Sbas.H 3
Să construim piramida ABCS într-o prismă. Prisma finalizată va fi formată din 3 piramide - SABC, SCC1B1, SCBB1

Volumul cilindrului:
Denumiri: R - raza bazei H - inaltime L - generatoare L=H V - volumul cilindrului
V = PR2H - volum V= Sbas.H Sbas= PR2

Con:
NOTAȚIE: R - raza bazei L - generatoarea conului H - înălțimea V - volumul V = 1Р2Н 3 - volum

Acesta este interesant:
În geologie, există conceptul de „ventilator”. Aceasta este o formă de relief formată prin acumularea de roci clastice transportate de râurile de munte pe o câmpie de la poalele unui deal sau într-o vale mai plată și mai largă.
În biologie există conceptul de „con de creștere”. Acesta este vârful lăstarului și al rădăcinii plantelor, constând din celule de țesut educațional.
„Conuri” este numele dat unei familii de moluște marine din subclasa Perezhbranchs. Mușcătura de conuri este foarte periculoasă. Decesele sunt cunoscute.
În fizică, conceptul de „unghi solid” este întâlnit. Acesta este un unghi în formă de con tăiat într-o minge.

Testează-ți cunoștințele:
Formulați conceptul de volum. Formulați proprietățile de bază ale volumelor corpurilor. Numiți unitățile de măsură pentru volumul corpurilor. Care este formula pentru măsurarea volumului unui paralelipiped dreptunghic; - volumul cubului; - volumul unei prisme drepte; - volumul piramidei; - volumul cilindrului și volumul conului. Se va schimba volumul unui cilindru dacă raza bazei acestuia este mărită de 2 ori și înălțimea acestuia este redusă de 4 ori? V = PR2H V=P(2R)2.H =P4R2. H = PR2. H 4 4 Bazele a două piramide cu înălțimi egale sunt patrulatere cu laturile corespunzător egale. Sunt volumele acestor piramide egale? Din ce solide este format corpul obținut prin rotirea unui trapez isoscel în jurul unei baze mai mari?

Teme pentru acasă:
Învață formule pentru volume de corpuri, definiții. Nr. 648(a,c), Nr. 685, Nr. 666(a,c)

Întărirea materialului acoperit:
Problema nr. 1 Trei cuburi de alamă cu marginile de 3 cm, 4 cm și 5 cm sunt topite într-un singur cub. Ce margine are acest cub? + + =

CONCEPTUL DE VOLUM





CONCEPTUL DE VOLUM
S este o mărime pozitivă, a cărei valoare numerică are următoarele proprietăți:
V este o mărime pozitivă, a cărei valoare numerică are următoarele proprietăți:
1. Cifrele egale au suprafețe egale.

2. Dacă o figură este formată din mai multe figuri, atunci aria sa este egală cu suma ariilor acestor cifre.
3. Unitatea de măsură pentru suprafață este de obicei un pătrat cu latura egală cu unitatea de măsură pentru segmente.
CONCEPTUL DE VOLUM
Se spune că două corpuri sunt egale dacă pot fi combinate prin suprapunere
S este o mărime pozitivă, a cărei valoare numerică are următoarele proprietăți:
V este o mărime pozitivă, a cărei valoare numerică are următoarele proprietăți:
1. Cifrele egale au suprafețe egale.
Corpurile egale au volume egale.
2. Dacă o figură este formată din mai multe figuri, atunci aria sa este egală cu suma ariilor acestor cifre.

3. Unitatea de măsură pentru suprafață este de obicei un pătrat cu latura egală cu unitatea de măsură pentru segmente.
CONCEPTUL DE VOLUM
Volumul întregului corp este suma volumelor corpurilor sale constitutive.
S este o mărime pozitivă, a cărei valoare numerică are următoarele proprietăți:
V este o mărime pozitivă, a cărei valoare numerică are următoarele proprietăți:
1. Cifrele egale au suprafețe egale.
Corpurile egale au volume egale.
2. Dacă o figură este formată din mai multe figuri, atunci aria sa este egală cu suma ariilor acestor cifre.
Dacă un corp este compus din mai multe corpuri, atunci volumul său este egal cu suma volumelor acestor corpuri.
3. Unitatea de măsură pentru suprafață este de obicei un pătrat cu latura egală cu unitatea de măsură pentru segmente.
Unitatea de măsură a volumului este de obicei un cub, a cărui margine este egală cu unitatea de măsură a segmentelor.
CONCEPTUL DE VOLUM
Volumul unui paralelipiped dreptunghiular
Teorema: volumul unui paralelipiped dreptunghiular este egal cu produsul celor trei dimensiuni ale sale. a,b,c – măsurători ale unui paralelipiped dreptunghic. V = abc. Corolarul 1: volumul unui paralelipiped dreptunghiular este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. V = abc=Sh.
Corolarul 2.
Volumul unei prisme drepte a cărei bază este un triunghi dreptunghic este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. V = SABCh.
Literatură:
Geometrie 10 – 11: Manual. pentru instituții de învățământ / L.S. Atanasyan et al., Enlightenment 2003. Studiul geometriei în clasele 10 - 11: Metoda. recomandări pentru manual / S.M. Sahakyan, V.F. Butuzov, Iluminismul, 2001
Efectuat:
Pakhomova E.A. profesor de matematică la liceul instituției de învățământ municipal Taiga

Slide 2

Obiectivele lecției:

Introduceți conceptul de volum al corpurilor, proprietățile sale, unitățile de măsură ale volumului. Repetați cu elevii formulele pentru aflarea volumului unui paralelipiped sau al unui cub. Prezentați elevilor volumele unei prisme drepte, piramidei, cilindrului și conului, ghidați de considerații vizuale și ilustrative.

Slide 3

Așa cum toate artele gravitează spre muzică, toate științele gravitează spre matematică. D. Santayana

Slide 4

Geometria este arta de a raționa corect pe desene incorecte. Poya D.

Slide 5

Aria Aria unui poligon este valoarea pozitivă a părții de plan pe care o ocupă poligonul. Volumul Volumul unui corp este valoarea pozitivă a acelei părți din spațiu ocupată de un corp geometric.

Slide 6

Proprietăți ale ariilor: 1. Poligoane egale au arii egale Proprietăți ale volumelor: 1. Corpuri egale au volume egale F1 F2 F1 F2

Slide 7

2. Dacă un poligon este format din mai multe poligoane, atunci aria lui este egală cu suma ariilor acestor poligoane. SF=SF1+SF2+SF3+SF4 2. Dacă un corp este format din mai multe corpuri, atunci volumul său este egal cu suma volumelor acestor corpuri. VF=VF1+VF2 F2 F3 F1 F4

Slide 8

Aria Unitatea de măsură pentru arii este un pătrat, a cărui latură este egală cu unitatea de măsură pentru segmente. 1 km2, 1 m2, 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2, 1 a, 1 ha etc. Volumul Pentru unitatea de măsură a volumelor, luăm un cub, a cărui margine este egală cu unitatea de măsură a segmentelor. Un cub cu marginea de 1 cm se numește centimetru cub și este desemnat cm3. În mod similar, se determină 1 m3, 1 dm3, 1 cm3, 1 mm3 etc. 1 1 1 1 1

Slide 9

Aria Figurile geometrice cu arii egale se numesc arie egala.Volum.Corpurile ale caror volume sunt egale cu VF=VF1 F2 F1 F2 F1 SF=SF1 se numesc arie egala.

Slide 10

În stereometrie se iau în considerare volumele poliedrelor și volumele corpurilor de revoluție.

Slide 11

Volumul unui paralelipiped dreptunghiular:

a-lungime b-lățime c-înălțime V=a.b.c Sbas=a.b V=Sbas.H a c c

Slide 12

Volumul cubului:

V=a3 V=Sbas.H a a a a Sbas=a2

Slide 13

Volumul unei prisme drepte:

V=Smain.H Vparal=Smain.H S principal=2.SABC După proprietatea volumelor Vparal=2.SABС.H V prisme = (V paral) :2 V prisme = (2.SABC.H): 2

Slide 14

Volumul piramidei:

Piramidele 2 și 3 au SC - comun, trCC1B1= trCBB1 Piramidele 1 și 3 au CS - comun, trSAB= trBB1S V1=V2=V3 Vprisme= 3 V piramide Vpyramides=1 V prisme 3 Vpyramide 3 Vpyramide. va finaliza construcția ABCS piramidă la prismă. Prisma finalizată va fi formată din 3 piramide - SABC, SCC1B1, SCBB1

Slide 15

Volumul cilindrului:

Denumiri: R - raza bazei H - inaltime L - generator L=H V - volumul cilindrului V = PR2H - volum V= Sbas.H Sbas= PR2 L

Slide 16

Con:

NOTAȚIE: R - raza bazei L - generatoarea conului H - înălțimea V - volumul V = 1Р2Н 3 - volum

Slide 18

Testează-ți cunoștințele:

Formulați conceptul de volum. Formulați proprietățile de bază ale volumelor corpurilor. Numiți unitățile de măsură pentru volumul corpurilor. Care este formula pentru măsurarea volumului unui paralelipiped dreptunghic; - volumul cubului; - volumul unei prisme drepte; - volumul piramidei; - volumul cilindrului și volumul conului. Se va schimba volumul unui cilindru dacă raza bazei acestuia este mărită de 2 ori și înălțimea acestuia este redusă de 4 ori? V = PR2HV=P(2R)2.H =P4R2. H = PR2. H 4 4 Bazele a două piramide cu înălțimi egale sunt patrulatere cu laturile corespunzător egale. Sunt volumele acestor piramide egale? Din ce solide este format corpul obținut prin rotirea unui trapez isoscel în jurul unei baze mai mari?

Slide 19

Teme pentru acasă:

Învață formule pentru volume de corpuri, definiții. Nr. 648(a,c), Nr. 685, Nr. 666(a,c)

Slide 20

Întărirea materialului acoperit:

Problema nr. 1 Trei cuburi de alamă cu marginile de 3 cm, 4 cm și 5 cm sunt topite într-un singur cub. Ce margine are acest cub? + + = a1 a2 a3 ?

Slide 21

Rezolvare: VF=VF1+VF2+VF3 VF1=33 =27 (cm3) VF2=43 =64 (cm3) VF3=53 =125 (cm3) VF=27+64 +125=216 (cm3) VF=a3 a3= 216 (cm3) a= 6 (cm) Răspuns: muchia cubului este de 6 cm.

În această prezentare pentru clasa a XI-a ne vom uita la conceptul de volum al unui corp, proprietățile volumelor corpurilor și vom rezolva mai multe probleme.

Anterior, elevii erau familiarizați cu calcularea ariei formelor geometrice. Aria este dimensiunea unei figuri care se află pe același plan.

Dacă o figură nu se află într-un plan, ci în spațiu, atunci, vorbind despre dimensiunea ei, trecem la conceptul de volum. Prezentarea de pe al treilea slide ilustrează corpuri tridimensionale de diverse forme și volume: o amforă, un butoi, o găleată. Autorul introduce conceptul de centimetru cub - uitați-vă la următoarea figură: sunt prezentate 1 cm pe linie dreaptă, 1 centimetru pătrat ca unitate de suprafață și 1 centimetru cub ca unitate de volum corporală. 1 centimetru cub este caracterizat de trei dimensiuni ale corpului: lungime, lățime și înălțime, ceea ce este arătat clar în figură.

1) Volumele corpurilor egale sunt egale.

2) Dacă un corp este compus din mai multe corpuri, atunci volumul său este egal cu suma volumelor acestor corpuri. Figura prezintă o figură formată din două figuri F și Q. Atunci volumul acestei figuri poate fi scris ca V = V F + V Q.

3) Dacă un corp conține altul, atunci volumul primului corp nu este mai mic decât volumul celui de-al doilea. Figura prezintă un cub cu latura a = 1 cm. In interiorul cubului se afla un cub cu latura de 1/5 cm. Volumul primului cub este V = a 3 = 1 cm 3. Volumul cubului din interior este egal cu V 1 = (1/5) 3 = 1/125 cm 3.

Am constatat că 1 cm 3 > 1/125 cm 3, i.e. V>V 1.

Atenție la corolarul indicat pe următorul diapozitiv: volumul unui cub cu muchia 1/n este egal cu 1/n 3. Se face o dovadă a acestei afirmații. Să presupunem că ni se oferă un cub cu latura a = 1 cm și un cub situat în interiorul primului cub cu latura a 1 = 1/n cm.Volumul primului cub este egal cu V = a 3 = 1 cm 3. Volumul al cubului din interior este V 1 = (1/n ) 3 = 1/n 3 cm 3 . Q.E.D.

Să aplicăm proprietățile volumelor corpurilor în practică atunci când rezolvăm probleme.

Problema 1. Având în vedere un corp format din două paralelipipede situate unul deasupra celuilalt (vezi figura). Lățimea, lungimea și înălțimea acestor paralelipipede sunt cunoscute: a c, b c, h c și a 3, b 3, h 3. Este necesar să găsiți volumul întregului corp. Să aflăm volumul primului paralelipiped V c = a c x b c x h c = 36. Prin analogie, să calculăm volumul primului paralelipiped V 3 = a 3 x b 3 x h 3 = 3. Aflați volumul întregului corp folosind a doua proprietate a lui volumele corpurilor: V = V c + V 3 = 39 .

Problema 2. În figura se prezintă o cărămidă ale cărei dimensiuni sunt cunoscute: lungime 250, lățime 120, înălțime 65. Având în vedere dimensiunile deschiderii sunt 2200 x 120 x 700. Este necesar să se determine câte cărămizi se vor încadra în această deschidere. Să aflăm volumul unei cărămizi V 1 = a 1 x b 1 x h 1. Să găsim volumul deschiderii folosind o formulă similară V 2 = a 2 x b 2 x h 2. Apoi V 2 / V 1 va indica numărul de cărămizi care se potrivesc în deschidere. Notă - este posibil să nu putem găsi separat volumul cărămizii și deschiderea, deoarece Nu există o astfel de sarcină, dar calculați imediat numărul de cărămizi V 2 / V 1.

Această prezentare poate fi folosită de profesor în clasă și poate fi lucrată și independent de către elevi.