Metoda Monte Carlo

1. Subiectul metodei Monte Carlo

Data nașterii metodei Monte Carlo este considerată a fi 1949, când oamenii de știință N. Metropolis și S. Ulam au publicat un articol numit „Metoda Monte Carlo”, în care au subliniat esența metodei lor. Numele metodei este asociat cu numele orașului Monte Carlo, unde ruleta se joacă în casele de jocuri de noroc (cazinouri), care este unul dintre cele mai simple dispozitive pentru obținerea așa-numitului " numere aleatorii pe care se bazează această metodă.

Calculatoarele facilitează obținerea așa-numitului „ numere pseudoaleatoare ”(la rezolvarea problemelor, ele sunt adesea folosite în locul numerelor aleatorii). Acest lucru a condus la introducerea pe scară largă a metodei în multe domenii ale științei și tehnologiei (fizica statistică, teoria cozilor, teoria jocurilor etc.). Metoda Monte Carlo este utilizată pentru calcularea integralelor, în special a celor multidimensionale, pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice de ordin înalt, pentru a studia diverse tipuri de sisteme complexe (control automat, economic, biologic etc.).

Esența metodei Monte Carlo constă din următoarele: trebuie să găsiți valoareanumere ceva valoare în studiu. Pentru a face acest lucru, alegeți o variabilă aleatorie
, a cărui așteptare matematică este egală cu :
, adică rezolvă ecuația funcțională dată. Această sarcină este în general foarte complexă și dificilă.

În practică, aceștia acționează astfel: teste care au ca rezultat valori posibile
; calculați media lor aritmetică

și acceptă ca estimare (valoare aproximativă) numărul dorit :

Deoarece metoda Monte Carlo necesită un număr mare de teste, este adesea denumită metoda de testare statistica. Teoria acestei metode indică modul în care este cel mai potrivit să alegeți o variabilă aleatorie
cum să-și găsească valorile posibile. În special, se dezvoltă metode de reducere a varianței variabilelor aleatoare utilizate, drept urmare eroarea făcută la înlocuirea așteptării matematice dorite a numărului. evaluarea lui .

Găsirea valorilor posibile ale unei variabile aleatoare
(simularea) se numește „ prin redarea unei valori aleatorii". Vă prezentăm aici doar câteva moduri de a juca r.v.
și arată cum se estimează eroarea permisă în acest caz.

2. Numere aleatorii, estimarea erorii metodei Monte Carlo.

După cum sa menționat deja, metoda Monte Carlo se bazează pe utilizarea numerelor aleatorii; Să dăm o definiție a acestor numere. Notează prin n.r.v. distribuit uniform în interval
.

numere aleatorii numiți valorile posibile ale unei variabile aleatoare continue , distribuită uniform în interval
.

În realitate, folosesc un r.v distribuit neuniform. , ale căror valori posibile, în general, au un număr infinit de zecimale, și variabilă aleatoare cvasi-uniformă
, a cărui posibilă valoare are un număr finit de caractere. Ca urmare a înlocuirii pe
valoarea jucată nu are exact, ci aproximativ distribuția specificată.

La sfârșitul cărții este un tabel de numere aleatorii, împrumutat din carte (Bolshev LN .... „Tabelele de statistică matematică. Știință, 1965).

Lasati sa obtinem o estimare așteptarea matematică a unui număr variabilă aleatorie
a fost produs încercări independente (desenate valori posibile) și s-a găsit din acestea media eșantionului , care este acceptată ca estimare dorită
.

Este clar că dacă experimentul se repetă, se vor obține și alte valori posibile
. Prin urmare, o altă medie și o altă estimare a numărului
. De aici rezultă deja că în cazul general este imposibil să se obțină o estimare exactă a MO.

Desigur, se pune întrebarea cu privire la amploarea erorii permise. Ne limităm aici să găsim doar limita superioară eroare admisibilă cu o probabilitate dată (fiabilitate)

Suntem interesați de limita superioară de eroare nu este altceva decât " acuratețea estimării Așteptările matematice ale mediei eșantionului folosind intervale de încredere a fost deja discutată în Anexa 1, subiectul 21. În acest sens, vom folosi cele obținute anterior.

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ RuleOfThumb - Metoda Monte Carlo

✪ Dmitri Kazakov - Quarci

✪ [Colocviu]: strălucirea și sărăcia metodelor matematice în cercetarea aplicată

✪ Cursul 1: Erori de calcul

✪ Elena Brown - Mitul lui Richard lll

Subtitrări

Poveste

Algoritmul lui Buffon pentru determinarea numărului de pi

	Numărul de aruncări	Numărul de intersecții	Lungimea acului	Distanța dintre liniile drepte	Rotație	Valoarea Pi	Eroare
Prima încercare	500	236	3	4	absent	3.1780	+3,6⋅10 -2
A doua încercare	530	253	3	4	prezent	3.1423	+7,0⋅10 -4
A treia încercare	590	939	5	2	prezent	3.1416	+4,7⋅10 -5

Comentarii:

Relația dintre procesele stocastice și ecuațiile diferențiale

Crearea aparatului matematic al metodelor stocastice a început la sfârșitul secolului al XIX-lea. În 1899, Lord Rayleigh a arătat că o mers aleatorie unidimensională pe o rețea infinită poate oferi o soluție aproximativă a unui tip de ecuație diferențială parabolică. Andrei Nikolaevich Kolmogorov în 1931 a dat un mare impuls dezvoltării abordărilor stocastice pentru rezolvarea diferitelor probleme matematice, deoarece a putut demonstra că lanțurile Markov sunt conectate cu unele ecuații integro-diferențiale. În 1933, Ivan Georgievich Petrovsky a arătat că o mers aleatorie care formează un lanț Markov este legată asimptotic de soluția unei ecuații diferențiale parțiale eliptice. După aceste descoperiri, a devenit clar că procesele stocastice pot fi descrise prin ecuații diferențiale și, în consecință, investigate folosind metode matematice bine dezvoltate pentru rezolvarea acestor ecuații la acel moment.

Nașterea metodei Monte Carlo la Los Alamos

Ideea a fost dezvoltată de Ulam, care, în timp ce juca solitaire în timp ce se recupera de o boală, s-a întrebat care este probabilitatea ca solitaire să iasă. În loc să folosească considerațiile obișnuite de combinatorie pentru astfel de probleme, Ulam a sugerat că s-ar putea pur și simplu rula experimentul de un număr mare de ori și, prin numărarea numărului de rezultate de succes, estima probabilitatea. El a sugerat, de asemenea, utilizarea computerelor pentru calculele Monte Carlo.

Apariția primelor calculatoare electronice, care puteau genera numere pseudoaleatoare cu viteză mare, a extins dramatic gama de probleme pentru care abordarea stocastică s-a dovedit a fi mai eficientă decât alte metode matematice. După aceea, a avut loc o mare descoperire, iar metoda Monte Carlo a fost folosită în multe probleme, dar utilizarea ei nu a fost întotdeauna justificată din cauza numărului mare de calcule necesare pentru a obține un răspuns cu o precizie dată.

Anul nașterii metodei Monte Carlo este considerat a fi 1949, când este publicată lucrarea lui Metropolis și Ulam „Metoda Monte Carlo”. Denumirea metodei provine de la numele unei comune din Principatul Monaco, cunoscută pentru numeroasele sale cazinouri, deoarece ruleta este unul dintre cei mai cunoscuți generatori de numere aleatoare. Stanislav Ulam scrie în autobiografia sa Aventurile unui matematician că numele a fost sugerat de Nicholas Metropolis în onoarea unchiului său, care era un jucător de noroc.

Dezvoltare în continuare și modernitate

Integrarea Monte Carlo

Să presupunem că trebuie să luăm integrala unei funcții. Vom folosi o descriere geometrică informală a integralei și o vom înțelege ca aria de sub graficul acestei funcții.

Pentru a determina această zonă, puteți utiliza una dintre metodele obișnuite de integrare numerică: împărțiți segmentul în sub-segmente, calculați aria de sub graficul funcției pe fiecare dintre ele și adăugați. Să presupunem că pentru funcția prezentată în Figura 2, este suficient să se împartă în 25 de segmente și, prin urmare, să se calculeze 25 de valori ale funcției. Imaginează-ți acum că avem de-a face n (\displaystyle n)-funcţia dimensională. Atunci avem nevoie 25 n (\displaystyle 25^(n)) segmente și același număr de calcule ale valorii funcției. Când dimensiunea funcției este mai mare de 10, sarcina devine uriașă. Întrucât spațiile dimensionale înalte se întâlnesc, în special, în problemele de teoria corzilor, precum și în multe alte probleme fizice în care există sisteme cu multe grade de libertate, este necesar să existe o metodă de rezolvare a cărei complexitate de calcul nu ar depinde atât de mult. asupra dimensiunii. Aceasta este proprietatea metodei Monte Carlo.

Algoritmul obișnuit de integrare Monte Carlo

Să presupunem că doriți să calculați o integrală definită ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx)

Luați în considerare o variabilă aleatorie u (\displaystyle u), distribuit uniform pe intervalul de integrare . Atunci va fi, de asemenea, o variabilă aleatorie, iar așteptarea sa matematică este exprimată ca
E f (u) = ∫ a b f (x) φ (x) d x (\displaystyle \mathbb (E) f(u)=\int \limits _(a)^(b)f(x)\varphi (x) \,dx), Unde φ (x) (\displaystyle \varphi (x))- densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare u (\displaystyle u) egal cu 1 b - a (\displaystyle (\frac (1)(b-a))) Locația activată [ a , b ] (\displaystyle ).

Astfel, integrala dorită este exprimată ca
∫ a b f (x) d x = (b - a) E f (u) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx=(b-a)\mathbb (E) f( u)).

Dar așteptarea matematică a unei variabile aleatorii f (u) (\displaystyle f(u)) poate fi estimat cu ușurință prin simularea acestei variabile aleatoare și calculând media eșantionului.

Deci hai să aruncăm N (\displaystyle N) puncte distribuite uniform peste [ a , b ] (\displaystyle ), pentru fiecare punct u i (\displaystyle u_(i)) calculati f (u i) (\displaystyle f(u_(i))). Apoi calculăm media eșantionului: 1 N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle (\frac (1)(N))\sum _(i=1)^(N)f(u_(i))).

Ca rezultat, obținem estimarea integralei: ∫ a b f (x) d x ≈ b - a N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx\approx (\frac (b-a) (N))\sum _(i=1)^(N)f(u_(i)))

Precizia estimării depinde doar de numărul de puncte N (\displaystyle N).

Această metodă are și o interpretare geometrică. Este foarte asemănătoare cu metoda deterministă descrisă mai sus, cu diferența că în loc să împărțim uniform regiunea de integrare în intervale mici și să însumăm ariile „coloanelor” rezultate, aruncăm puncte aleatorii pe regiunea de integrare, pe fiecare dintre acestea. construim aceeași „coloană”, determinându-i lățimea Cum b - un N (\displaystyle (\frac (b-a)(N))), și însumați zonele lor.

Algoritmul Geometric de Integrare Monte Carlo

Pentru a determina aria de sub graficul funcției, puteți utiliza următorul algoritm stocastic:

Pentru un număr mic de dimensiuni ale funcției integrabile, performanța integrării Monte Carlo este mult mai mică decât performanța metodelor deterministe. Totuși, în unele cazuri, când funcția este specificată implicit, dar este necesară determinarea ariei specificate sub formă de inegalități complexe, metoda stocastică poate fi mai de preferat.

Utilizarea eșantionării semnificației

Cu același număr de puncte aleatoare, precizia calculelor poate fi mărită prin apropierea zonei care limitează funcția dorită de funcția în sine. Pentru a face acest lucru, este necesar să folosiți variabile aleatoare cu o distribuție a cărei formă este cât mai apropiată de forma funcției integrabile. Aceasta este baza uneia dintre metodele de îmbunătățire a convergenței în calculele Monte Carlo: eșantionarea semnificației.

Optimizare

Diverse variante ale metodei Monte Carlo pot fi folosite pentru a rezolva probleme de optimizare. De exemplu, algoritmul imitație recoace.

Aplicație în fizică

Simularea pe computer joacă un rol important în fizica modernă, iar metoda Monte Carlo este una dintre cele mai comune în multe domenii, de la fizica cuantică la fizica stării solide, fizica plasmei și astrofizică.

Algoritmul Metropolis

În mod tradițional, metoda Monte Carlo a fost folosită pentru a determina diferiți parametri fizici ai sistemelor în echilibru termodinamic. Să presupunem că există un set de stări posibile ale sistemului fizic S (\displaystyle S). Pentru a determina valoarea medie A ¯ (\displaystyle (\overline (A))) ceva valoare A (\displaystyle A) trebuie sa calculezi A ¯ = ∑ S A (S) P (S) (\displaystyle (\overline (A))=\sum _(S)A(S)P(S)), unde însumarea este peste toate statele S (\displaystyle S) din W (S) (\displaystyle W(S)), P (S) (\displaystyle P(S))- probabilitatea de stare S (\displaystyle S).

Formulare dinamică (cinetică).

Simulare Monte Carlo directă

Simularea Monte Carlo directă a oricărui proces fizic implică modelarea comportamentului părților elementare individuale ale unui sistem fizic. În esență, această simulare directă este aproape de rezolvarea problemei din primele principii, dar de obicei, pentru a accelera calculele, sunt permise unele aproximări fizice. Calculele diferitelor procese prin metoda dinamicii moleculare pot servi drept exemplu: pe de o parte, sistemul este descris prin comportamentul componentelor sale elementare, pe de altă parte, potențialul de interacțiune utilizat este adesea empiric.

Exemple de simulare Monte Carlo directă:

• Simularea iradierii solidelor de către ioni în aproximarea coliziunilor binare.
• Simularea direct Monte Carlo a gazelor rarefiate.
• Majoritatea modelelor cinetice Monte Carlo sunt directe (în special, studiul epitaxiei cu fascicul molecular).

Metoda Monte Carlo cuantică

Metoda cuantică Monte Carlo este utilizată pe scară largă pentru a studia molecule complexe și solide. Acest nume combină mai multe metode diferite. Prima dintre acestea este metoda variațională Monte Carlo, care este în esență integrarea numerică a integralelor multidimensionale care apar la rezolvarea ecuației Schrödinger. Rezolvarea unei probleme care implică 1000 de electroni necesită luarea de integrale de 3000 dimensionale, iar în rezolvarea unor astfel de probleme, metoda Monte Carlo are un avantaj uriaș de performanță față de alte metode de integrare numerică. O altă variantă a metodei Monte Carlo este metoda Monte Carlo de difuzie.

Nu cu mult timp în urmă am citit o carte minunată a lui Douglas Hubbard. În rezumatul cărții, am promis că voi dedica o notă separată uneia dintre secțiuni - Evaluarea riscurilor: o introducere în simularea Monte Carlo. Da, nu a mers cumva. Și recent am început să studiez mai îndeaproape metodele de gestionare a riscurilor valutare. În materialele dedicate acestui subiect, simularea Monte Carlo este adesea menționată. Deci materialul promis este în fața ta.

Voi da un exemplu simplu de simulare Monte Carlo pentru cei care nu au lucrat niciodată cu ea înainte, dar au o oarecare înțelegere a utilizării foilor de calcul Excel.

Să presupunem că doriți să închiriați o mașină nouă. Costul închirierii anuale a mașinii este de 400.000 USD, iar contractul trebuie semnat pe mai mulți ani. Prin urmare, chiar și fără a ajunge, tot nu puteți returna imediat mașina. Veți semna un contract gândindu-vă că echipamentele moderne vor economisi costurile cu forța de muncă și cu materiile prime și, de asemenea, vă gândiți că logistica unei noi mașini va fi mai ieftină.

Descărcați nota în format, exemple în format

Evaluatorii dvs. calibrați au oferit următoarele intervale de economii așteptate și producție anuală:

Economiile anuale vor fi: (MS + LS + RMS) x PL

Desigur, acest exemplu este prea simplu pentru a fi realist. Volumul producției se modifică în fiecare an, unele costuri vor scădea atunci când lucrătorii stăpânesc în sfârșit noua mașină și așa mai departe. Dar în acest exemplu, am sacrificat în mod deliberat realismul de dragul simplității.

Dacă luăm mediana (media) fiecărui interval de valori, obținem economiile anuale: (15 + 3 + 6) x 25.000 = 600.000 (USD)

Se pare că nu numai că am ajuns la pragul echitabilului, dar am și făcut profit, dar nu uitați, există incertitudini. Cum să evaluăm riscul acestor investiții? Să definim mai întâi ce este riscul în acest context. Pentru a ne asuma riscuri, trebuie să proiectăm rezultatele viitoare cu incertitudinile lor inerente, dintre care unele sunt susceptibile de a suferi daune cuantificabile. O modalitate de a privi riscul este să ne imaginăm probabilitatea că nu vom ajunge la pragul de rentabilitate, adică economiile noastre vor fi mai mici decât costul anual al închirierii unei mașini. Cu cât nu avem mai mult pentru a ne acoperi chiria, cu atât vom pierde mai mult. Suma 600.000 USD este mediana intervalului. Cum să determinăm intervalul real de valori și să calculăm din acesta probabilitatea ca să nu ajungem la pragul de rentabilitate?

Deoarece nu există date exacte, este imposibil să facem calcule simple pentru a răspunde la întrebarea dacă putem obține economiile necesare. Există metode care permit, în anumite condiții, să se găsească intervalul de valori ale parametrului rezultat din intervalele de valori ale datelor inițiale, dar pentru majoritatea problemelor din viața reală, astfel de condiții, de regulă, nu nu exista. De îndată ce începem să însumăm și să înmulțim diferite tipuri de distribuții, problema se transformă de obicei în ceea ce matematicienii numesc o problemă de nerezolvat sau de nerezolvat prin metode matematice obișnuite. Deci, în schimb, folosim metoda selectării directe a opțiunilor posibile, posibilă prin apariția computerelor. Din intervalele disponibile, selectăm aleatoriu un set (mii) de valori exacte ale parametrilor inițiali și calculăm setul de valori exacte ale indicatorului dorit.

Simularea Monte Carlo este o modalitate excelentă de a rezolva aceste probleme. Trebuie doar să selectăm aleatoriu valorile în intervalele indicate, să le înlocuim în formula de calcul a economiilor anuale și să calculăm totalul. Unele rezultate vor depăși media noastră calculată de 600.000 USD, în timp ce altele vor fi mai mici. Unii vor fi chiar sub cei 400.000 de dolari necesari pentru a ajunge la rentabilitate.

Puteți rula cu ușurință simulări Monte Carlo pe un computer personal folosind Excel, dar veți avea nevoie de puțin mai multe informații decât intervalul de încredere de 90%. Trebuie să cunoașteți forma curbei de distribuție. Pentru cantități diferite, curbele de o formă sunt mai potrivite decât alta. În cazul unui interval de încredere de 90%, se utilizează de obicei o curbă de distribuție normală (gaussiană). Aceasta este binecunoscuta curbă în formă de clopot, în care cele mai multe dintre valorile posibile ale rezultatului sunt grupate în partea centrală a graficului și doar câteva, mai puțin probabil, sunt distribuite, estompându-se la nimic spre marginile sale (Fig. 1).

Iată cum arată o distribuție normală:

Fig.1. Distributie normala. Abscisa este numărul de sigma.

Particularitati:

• valorile situate în partea centrală a graficului sunt mai probabile decât valorile de-a lungul marginilor acestuia;
• distribuția este simetrică; mediana se află exact la mijlocul dintre limitele superioare și inferioare ale intervalului de încredere (IC) de 90%;
• „cozile” graficului sunt nesfârșite; valorile în afara intervalului de încredere de 90% sunt puțin probabile, dar încă posibile.

Pentru a construi o distribuție normală în Excel, puteți utiliza funcția =NORMIST(X; Mean; Standard_dev; Cumulative), unde
X este valoarea pentru care se construiește distribuția normală;
Media - media aritmetică a distribuției; în cazul nostru = 0;
Standard_dev este abaterea standard a distribuției; în cazul nostru = 1;
Integrală - o valoare logică care determină forma funcției; dacă argumentul cumulativ este TRUE, funcția NORMIST returnează funcția de distribuție cumulativă; dacă acest argument este FALS, este returnată funcția de densitate de distribuție; în cazul nostru = FALSE.

Vorbind despre distribuția normală, este necesar să menționăm un astfel de concept înrudit ca deviația standard. Evident, nu toată lumea are o înțelegere intuitivă a ceea ce este, dar din moment ce abaterea standard poate fi înlocuită cu un număr calculat din intervalul de încredere de 90% (al cărui sens este înțeles intuitiv de mulți), nu mă voi opri aici aici. . Figura 1 arată că există 3,29 abateri standard într-un interval de încredere de 90%, așa că trebuie doar să facem o transformare.

În cazul nostru, trebuie să creăm un generator de numere aleatorii în foaia de calcul pentru fiecare interval de valori. Să începem, de exemplu, cu MS - economii la logistică. Să folosim formula Excel: =NORMINV(probabilitate, medie, abatere standard), unde
Probabilitatea este probabilitatea corespunzătoare distribuției normale;
Media - media aritmetică a distribuției;
Standard_dev este abaterea standard a distribuției.

În cazul nostru:
Media (mediană) = (Limita superioară 90% CI + Limita inferioară 90% CI)/2;
Abatere standard = (Limita superioară 90% CI - Limita inferioară 90% CI)/3,29.

Pentru parametrul MS, formula este: =NORMINV(RAND();15;(20-10)/3.29), unde
RAND - o funcție care generează numere aleatorii în intervalul de la 0 la 1;
15 – media aritmetică a intervalului MS;
(20-10)/3,29 = 3,04 - abatere standard; Permiteți-mi să vă reamintesc că semnificația abaterii standard este următoarea: 90% din toate valorile unei variabile aleatoare (în cazul nostru, MS) se încadrează în intervalul 3,29 * Standard_dev, situat simetric în raport cu media

Distribuția economiilor la întreținere pentru 100 de valori aleatorii distribuite normal:

Orez. 2. Probabilitatea distribuției MS pe intervale de valori; Pentru informații despre cum să construiți o astfel de distribuție folosind un tabel pivot, consultați

Deoarece am folosit „doar” 100 de valori aleatoare, distribuția nu este atât de simetrică. Cu toate acestea, aproximativ 90% dintre valori s-au încadrat în economiile de la 10 la 20 USD pe intervalul MS (91% pentru a fi exact).

Să construim un tabel bazat pe intervalele de încredere ale parametrilor MS, LS, RMS și PL (Fig. 3). Ultimele două coloane arată rezultatele calculelor bazate pe datele din alte coloane. Coloana Economii totale arată economiile anuale calculate pentru fiecare rând. De exemplu, dacă scenariul 1 ar fi implementat, economiile totale ar fi (14,3 + 5,8 + 4,3) x 23.471 = 570.834 USD. nu prea ai nevoie de el. L-am inclus doar in scop informativ. Să creăm 10.000 de rânduri de script în Excel.

Orez. 3. Calculul scenariilor prin metoda Monte Carlo în Excel

Pentru a evalua rezultatele, puteți utiliza, de exemplu, un tabel pivot care vă permite să numărați numărul de scenarii din fiecare interval de 100.000. Apoi construiți un grafic care afișează rezultatele calculului (Fig. 4). Acest grafic arată ce proporție din 10.000 de scenarii vor avea economii anuale într-un interval dat de valori. De exemplu, aproximativ 3% dintre scenarii vor avea ca rezultat economii anuale de peste 1 milion USD.

Orez. 4. Distribuția economiilor totale pe intervale de valori. Abscisa arată intervalele 100.000 de economii, iar ordonata arată proporția de scenarii care se încadrează în intervalul specificat

Din toate economiile anuale rezultate, aproximativ 15% vor fi mai mici de 400.000 USD. Aceasta înseamnă că probabilitatea de deteriorare este de 15%. Acest număr reprezintă o evaluare semnificativă a riscurilor. Dar riscul nu se reduce întotdeauna la posibilitatea unui randament negativ al investiției. Evaluând dimensiunea unui lucru, îi determinăm înălțimea, greutatea, circumferința etc. În mod similar, există câțiva indicatori utili ai riscului. O analiză ulterioară arată că există o șansă de 4% ca planta să piardă 100.000 USD anual în loc să economisească. Cu toate acestea, lipsa totală de venit este practic imposibilă. Aceasta este ceea ce se înțelege prin analiza de risc - trebuie să putem calcula probabilitățile de deteriorare de diferite scale. Dacă cu adevărat măsori riscul, exact asta ar trebui să faci.

În unele situații, puteți lua un traseu mai scurt. Dacă toate distribuțiile de valori cu care lucrăm sunt normale și trebuie doar să adunăm intervalele acestor valori (de exemplu, intervalele de costuri și beneficii) sau să le scădem unele de altele, atunci simulările Monte Carlo pot fi Dispensată cu. Când vine vorba de însumarea celor trei economii din exemplul nostru, trebuie făcut un calcul simplu. Pentru a obține intervalul pe care îl căutați, utilizați cei șase pași enumerați mai jos:

1) scade valoarea medie a fiecărui interval de valori din limita sa superioară; pentru economii de întreținere 20 - 15 = 5 USD, pentru economii de forță de muncă 5 USD și pentru a economisi materii prime și materiale - 3 dolari;

2) pătratează rezultatele primului pas 5 2 = 25 (dolari), etc.;

3) însumați rezultatele celui de-al doilea pas 25 + 25 + 9 = 59 (USD);

4) luați rădăcina pătrată a sumei primite: obțineți 7,7 dolari;

5) se adună toate mediile: 15 + 3 + 6 = 24 (USD);

6) adăugați rezultatul pasului 4 la suma mediilor și obțineți limita superioară a intervalului: 24 + 7,7 = 31,7 dolari; scădeți rezultatul pasului 4 din suma mediilor și obțineți capătul inferior al intervalului 24 - 7,7 = 16,3 dolari.

Astfel, intervalul de încredere de 90% pentru suma celor trei intervale de încredere de 90% pentru fiecare tip de economii este de 16,3–31,7 USD.

Am folosit următoarea proprietate: intervalul intervalului total este egal cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor intervalelor intervalelor individuale.

Uneori, ceva similar se face prin însumarea tuturor valorilor „optimiste” ale limitei superioare și a valorilor „pesimiste” ale limitei inferioare a intervalului. În acest caz, am obține, pe baza celor trei intervale de încredere de 90%, un interval total de 11–37 USD. Acest interval este ceva mai mare decât 16,3–31,7 dolari. Atunci când se fac astfel de calcule în justificarea unui proiect cu zeci de variabile, extinderea intervalului devine prea mare pentru a fi ignorată. A lua cele mai „optimiste” valori pentru limita superioară și pe cele „pesimiste” pentru cea inferioară este ca și cum ai gândi: aruncând câteva zaruri, vom obține doar „1” sau doar „6” în toate cazurile. De fapt, o combinație de valori scăzute și ridicate va cădea. Extinderea excesivă a intervalului este o greșeală comună, care, desigur, duce adesea la decizii nerezonabile. În același timp, metoda simplă pe care am descris-o funcționează excelent atunci când avem mai multe intervale de încredere de 90% care trebuie însumate.

Cu toate acestea, scopul nostru nu este doar să însumăm intervalele, ci și să le înmulțim cu volumul de producție, ale cărui valori sunt, de asemenea, date ca interval. Metoda simplă de însumare este bună doar pentru scăderea sau adăugarea intervalelor de valori.

Simularea Monte Carlo este, de asemenea, necesară atunci când nu toate distribuțiile sunt normale. Deși alte tipuri de distribuții nu sunt incluse în subiectul acestei cărți, vom menționa două dintre ele - uniforme și binare (Fig. 5, 6).

Orez. 5. Distribuție uniformă (nu perfectă, dar construită folosind funcția RAND din Excel)

Particularitati:

• probabilitatea tuturor valorilor este aceeași;
• distribuția este simetrică, fără distorsiuni; mediana se află exact la mijloc între limitele superioare și inferioare ale intervalului;
• valorile în afara intervalului nu sunt posibile.

Pentru a construi această distribuție în Excel, a fost utilizată următoarea formulă: RAND()*(UB - LB) + LB, unde UB este limita superioară; LB - limita inferioară; urmată de împărțirea tuturor valorilor în intervale folosind un tabel pivot.

Orez. 6. Distribuție binară (distribuția Bernoulli)

Particularitati:

• sunt posibile doar două valori;
• există o singură probabilitate a unei valori (în acest caz 60%); probabilitatea unei alte valori este unu minus probabilitatea primei valori

Pentru a construi o distribuție aleatorie de acest tip în Excel, a fost folosită funcția: =IF(RAND()<Р;1;0), где Р - вероятность выпадения «1»; вероятность выпадения «0» равна 1–Р; с последующим разбиением всех значений на два значения с помощью сводной таблицы.

Metoda a fost folosită pentru prima dată de matematicianul Stanislav Ulam (vezi).

Douglas Hubbard enumeră în continuare câteva programe concepute pentru simulări Monte Carlo. Printre acestea se numără Crystal Ball of Decisioneering, Inc, Denver, Colorado. Cartea în limba engleză a fost publicată în 2007. Acum acest program aparține Oracle. O versiune demo a programului este disponibilă pentru descărcare de pe site-ul companiei. Vom arde despre capacitățile sale.

Vezi capitolul 5 al cărții menționate de Douglas Hubbard

Aici Douglas Hubbard înțelege intervalul ca diferența dintre limita superioară a intervalului de încredere de 90% și valoarea medie a acestui interval (sau între valoarea medie și limita inferioară, deoarece distribuția este simetrică). De obicei, intervalul este înțeles ca diferența dintre limitele superioare și inferioare.

Cursul 5

Metoda Monte Carlo

Subiectul 3. Procese de aşteptare în sistemele economice

1. Observații introductive. 1

2. Schema generală a metodei Monte Carlo. 2

3. Un exemplu de calcul al sistemului de așteptare prin metoda Monte Carlo. 4

Întrebări de securitate.. 5

1. Observații introductive

Metoda modelării statistice pe calculator este principala metodă de obținere a rezultatelor folosind modele de simulare a sistemelor stocastice, folosind ca bază teoretică teoremele limită ale teoriei probabilităților. Baza este metoda de testare statistică Monte Carlo.

Metoda Monte Carlo poate fi definită ca o metodă de modelare a variabilelor aleatoare pentru a calcula caracteristicile distribuțiilor acestora. În general, se presupune că simularea se realizează cu ajutorul calculatoarelor electronice (ECM), deși în unele cazuri poate avea succes folosind dispozitive precum bandă de măsurare, creion și hârtie.

Termenul „metoda Monte Carlo” (propus de J. Von Neumann și în anii 1940) se referă la simularea proceselor folosind un generator de numere aleatorii. Termenul Monte Carlo (cunoscut în mod obișnuit pentru cazinourile sale) provine din faptul că „numărul de șanse” (metodele de simulare Monte Carlo) a fost folosit pentru a găsi integrale ale ecuațiilor complexe în dezvoltarea primelor bombe nucleare (integrale de mecanică cuantică). Prin generarea de eșantioane mari de numere aleatorii din, de exemplu, mai multe distribuții, integralele acestor distribuții (complexe) pot fi aproximate din datele (generate).

Apariția ideii de utilizare a fenomenelor aleatorii în domeniul calculelor aproximative este de obicei atribuită anului 1878, când lucrarea lui Hall a apărut pentru determinarea numerelor p folosind aruncări aleatorii ale unui ac pe hârtie delimitate de linii paralele. Esența problemei este de a reproduce experimental un eveniment a cărui probabilitate este exprimată în termeni de număr p și de a estima această probabilitate aproximativ.

Munca domestică pe metoda Monte Carlo a apărut în anii. De-a lungul a două decenii, s-a acumulat o bibliografie amplă Monte Carlo, care include peste 2000 de titluri. În același timp, chiar și o trecere în revistă a titlurilor lucrărilor ne permite să concluzionam că metoda Monte Carlo este aplicabilă rezolvării problemelor aplicate dintr-un număr mare de domenii ale științei și tehnologiei.

Inițial, metoda Monte Carlo a fost folosită în principal pentru a rezolva probleme din fizica neutronilor, unde metodele numerice tradiționale s-au dovedit a fi de puțin folos. În plus, influența sa s-a extins la o clasă largă de probleme din fizica statistică, foarte diferite în conținutul lor. Domeniile științei în care metoda Monte Carlo este din ce în ce mai utilizată includ probleme în teoria cozilor, probleme în teoria jocurilor și economia matematică, probleme în teoria transmiterii mesajelor în prezența interferenței și o serie de altele.

Metoda Monte Carlo a avut și continuă să aibă un impact semnificativ asupra dezvoltării metodei matematicii computaționale (de exemplu, dezvoltarea metodelor de integrare numerică) și în rezolvarea multor probleme este combinată cu succes cu alte metode de calcul și le completează. Utilizarea lui este justificată în primul rând în acele probleme care permit o descriere probabilistică. Acest lucru se explică atât prin naturalețea obținerii unui răspuns cu o anumită probabilitate dată în probleme cu conținut probabil, cât și printr-o simplificare semnificativă a procedurii de rezolvare. Dificultatea de a rezolva cutare sau cutare problemă pe un computer va fi determinată în mare măsură de dificultatea de a o traduce în „limbajul” mașinii. Crearea limbajelor de programare automată a simplificat foarte mult una dintre etapele acestei lucrări. Prin urmare, cele mai dificile etape în prezent sunt: ​​descrierea matematică a fenomenului studiat, simplificările necesare ale problemei, alegerea unei metode numerice adecvate, studiul erorii acesteia și înregistrarea algoritmului. În acele cazuri în care există o descriere probabilistică a problemei, utilizarea metodei Monte Carlo poate simplifica semnificativ pașii intermediari menționați. Totuși, așa cum va rezulta din cele ce urmează, în multe cazuri este util și pentru probleme strict deterministe construirea unui model probabilistic (randomizarea problemei inițiale) pentru a utiliza în continuare metoda Monte Carlo.

2. Schema generală a metodei Monte Carlo

Să presupunem că trebuie să calculăm o valoare necunoscută m și dorim să facem acest lucru luând în considerare o variabilă aleatorie astfel încât așteptarea sa matematică M, = m. Fie varianța acestei variabile aleatoare D = b.

Se consideră N variabile aleatoare independente,,…, ale căror distribuții coincid cu distribuția variabilei aleatoare considerate ξ..gif" width="247" height="48">

Ultima relație poate fi rescrisă ca

Formula rezultată oferă o metodă de calcul al lui m și o estimare a erorii acestei metode.

Esența aplicării metodei Monte Carlo este determinarea rezultatelor pe baza statisticilor obținute până în momentul în care se ia o anumită decizie.

De exemplu. Fie E1 și E2 singurele două realizări posibile ale unui proces aleatoriu, unde p1 este probabilitatea rezultatului lui E1 și p2 = 1 – p1 este probabilitatea rezultatului lui E2. Pentru a determina care dintre cele două evenimente, e1 sau E2, are loc în acest caz, luăm un număr aleator u în intervalul dintre 0 și 1, distribuit uniform în intervalul (0, 1), și efectuăm un test. Rezultatul E1 va avea loc dacă , iar rezultatul E2 - în caz contrar.

Astfel, fiabilitatea rezultatelor obținute prin metoda Monte Carlo este determinată decisiv de calitatea generatorului de numere aleatorii.

Pentru a obține numere aleatorii pe un computer, se folosesc metode de generare, care se bazează, de obicei, pe repetiții multiple ale unei anumite operații. Secvența astfel obținută este mai potrivită pentru denumirea numerelor pseudoaleatoare, întrucât succesiunea generată este periodică și, începând de la un anumit moment, numerele vor începe să se repete. Acest lucru rezultă din faptul că doar un număr finit de numere diferite poate fi scris în codul computerului. Prin urmare, în cele din urmă unul dintre numerele generate γ1 va coincide cu unul dintre membrii anteriori ai secvenței γL. Și din moment ce generarea se realizează conform formulei formei

γk+1 = F(γk),

din acest moment, membrii rămași ai secvenței se vor repeta.

Utilizarea numerelor aleatoare distribuite uniform formează baza simulărilor Monte Carlo. Putem spune că dacă o variabilă aleatoare a fost determinată folosind metoda Monte Carlo, atunci a fost folosită o secvență de numere aleatoare distribuite uniform pentru a o calcula.

Numerele aleatoare distribuite uniform sunt în intervalul de la 0 la 1 și sunt alese aleatoriu în conformitate cu funcția de distribuție

F(x) = Pr(X< х} = х, .

Cu această distribuție, apariția oricăror valori ale unei variabile aleatoare în intervalul (0, 1) este la fel de plauzibilă. Aici Pr(X< х} - вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше х.

Principala metodă de obținere a numerelor aleatoare este generarea lor modulo. Fie m, a, c, x0 numere întregi astfel încât m > x0 și a, c, x0 > 0. Un număr pseudoaleator хi din șirul (хi) se obține folosind relația de recurență

xi = a xi-1 + c (mod m).

Caracteristicile stocastice ale numerelor generate depind în mod crucial de alegerea lui m, a și c. Alegerea lor slabă duce la rezultate eronate în simulările Monte Carlo.

Simulările numerice necesită adesea un număr mare de numere aleatorii. Prin urmare, perioada secvenței de numere aleatoare generate, după care secvența începe să se repete, trebuie să fie suficient de mare. Trebuie să fie semnificativ mai mare decât numărul de numere aleatoare necesare pentru modelare, altfel rezultatele vor fi distorsionate.

Majoritatea computerelor și a programelor shell conțin un generator de numere aleatorii. Cu toate acestea, majoritatea testelor statistice arată o corelație între numerele aleatoare rezultate.

Există un test rapid cu care trebuie să verificați fiecare generator. Calitatea unui generator de numere aleatoare poate fi demonstrată prin umplerea unei rețele complet d-dimensionale (de exemplu, bidimensionale sau tridimensionale). Un generator bun ar trebui să umple întreg spațiul hipercubului.

O altă modalitate aproximativă de a verifica uniformitatea distribuției N numere aleatoare xi este de a calcula așteptarea și varianța lor matematică. Conform acestui criteriu, pentru o repartizare uniformă trebuie îndeplinite condițiile

Există multe criterii statistice care pot fi utilizate pentru a testa dacă o secvență va fi aleatorie. Criteriul spectral este considerat cel mai precis. De exemplu, un criteriu foarte comun numit criteriul KS sau criteriul Kolmogorov-Smirnov. Testul arată că, de exemplu, generatorul de numere aleatorii din foile de calcul Excel nu îndeplinește acest criteriu.

În practică, principala problemă este să construiești un generator de numere aleatorii simplu și fiabil, pe care să îl poți folosi în programele tale. Pentru aceasta, se propune următoarea procedură.

La începutul programului, variabilei întregi X i se atribuie o valoare X0. Apoi sunt generate numere aleatorii conform regulii

X = (aX + c) mod m. (1)

Alegerea parametrilor trebuie efectuată folosind următoarele principii de bază.

1. Numărul inițial X0 poate fi ales în mod arbitrar. Dacă programul este utilizat de mai multe ori și de fiecare dată când este necesară o sursă diferită de numere aleatoare, puteți, de exemplu, să atribuiți X0 valorii lui X obținute ultima în rularea anterioară.

2. Numărul m trebuie să fie mare, de exemplu, 230 (deoarece acest număr determină perioada secvenței pseudoaleatoare generată).

3. Dacă m este o putere a doi, alegeți a astfel încât A mod8 = 5. Dacă m este o putere de zece, alegeți a astfel încât A mod10 = 21. Această alegere asigură că generatorul de numere aleatoare generează toate cele m valori posibile înainte de a începe să se repete.

4. Multiplicator A este de preferat să alegeți între 0,01 m și 0,99 m, iar cifrele sale binare sau zecimale nu ar trebui să aibă o structură simplă regulată. Multiplicatorul trebuie să treacă de criteriul spectral și, de preferință, de încă câteva criterii.

5.Dacă A este un factor bun, valoarea lui c nu este semnificativă, cu excepția faptului că c nu trebuie să aibă un factor comun cu m dacă m este dimensiunea unui cuvânt de calculator. Puteți alege, de exemplu, c = 1 sau c = a.

6. Nu puteți genera mai mult de m/1000 de numere aleatorii. După aceea, trebuie utilizată o nouă schemă, de exemplu, un nou multiplicator A.

Regulile enumerate sunt legate în principal de programarea limbajului mașină. Pentru un limbaj de programare de nivel înalt, cum ar fi C++, se folosește adesea o altă opțiune (1): se alege un număr prim m care este aproape de cel mai mare număr întreg ușor de calculat, valoarea lui a se presupune a fi egală cu rădăcina primitivă. de m, iar c este considerat zero. De exemplu, puteți lua A= 48271 și t =

3. Un exemplu de calcul al sistemului de așteptare prin metoda Monte Carlo

Luați în considerare cel mai simplu sistem de așteptare (QS), care constă din n linii (altfel numite canale sau puncte de service). În momente aleatorii, solicitările sunt primite în sistem. Fiecare cerere ajunge la linia nr. 1. Dacă această linie este liberă în momentul primirii Tk, cererea este deservită la momentul t3 (timp ocupat al liniei). Dacă linia este ocupată, aplicația este transferată instantaneu pe linia nr. 2 etc. Dacă toate cele n linii sunt ocupate în prezent, atunci sistemul emite un refuz.

O sarcină naturală este de a determina caracteristicile unui sistem dat prin care poate fi evaluată eficiența acestuia: timpul mediu de așteptare pentru service, proporția timpului de nefuncționare a sistemului, lungimea medie a cozii etc.

Pentru astfel de sisteme, metoda Monte Carlo este practic singura metodă de calcul.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image013_34.gif" width="373" height="257">

Algoritmii sunt utilizați pentru a obține numere aleatoare pe un computer, prin urmare astfel de secvențe, care sunt în esență deterministe, sunt numite pseudo-aleatorie. Calculatorul operează cu numere de n biți, prin urmare, în loc de un set continuu de numere aleatoare uniforme din intervalul (0,1), pe computer este utilizată o secvență discretă de 2n numere aleatoare din același interval - legea distribuției a o astfel de secvență discretă se numește distribuție cvasi-uniformă.

Cerințe pentru un generator ideal de numere aleatoare:

1. Sirul trebuie să fie format din numere distribuite cvasi-uniform.

2. Numerele trebuie să fie independente.

3. Secvențele de numere aleatorii trebuie să fie reproductibile.

4. Secvențele trebuie să aibă numere care nu se repetă.

5. Secvențele trebuie obținute cu resurse de calcul minime.

Algoritmii de forma:

care sunt relaţii recurente de ordinul întâi.

De exemplu. x0 = 0,2152 , (x0)2=0, x1 = 0,6311 , (x1)2=0, x2=0,8287 etc.

Dezavantajul unor astfel de metode este prezența unei corelații între numerele secvenței și, uneori, nu există deloc aleatorie, de exemplu:

x0 = 0,4500 , (x0)2=0, x1 = 0,2500 , (x1)2=0, x2=0,2500 etc.

Au fost utilizate pe scară largă proceduri congruente pentru generarea de secvențe pseudoaleatoare.

Două numere întregi a și b sunt congruente modulo m, unde m este un număr întreg, dacă și numai dacă există un număr întreg k astfel încât a-b=km.

1984º4 (mod 10), 5008º8 (mod 103).

Cele mai congruente proceduri de generare a numerelor aleatoare se bazează pe următoarea formulă:

unde sunt numere întregi nenegative.

Având în vedere numerele întregi ale șirului (Xi), se poate construi o secvență (xi)=(Xi/M) de numere raționale din intervalul unitar (0,1).

Generatoarele de numere aleatoare aplicate înainte de modelare trebuie să fie supuse unor teste preliminare amănunțite pentru uniformitatea, stocasticitatea și independența secvențelor de numere aleatoare rezultate.

Metode pentru îmbunătățirea calității secvențelor de numere aleatoare:

1. Folosind formule recurente de ordinul r:

Dar utilizarea acestei metode duce la o creștere a costului resurselor de calcul pentru obținerea numerelor.

2. Metoda perturbării:

.

5. Modelarea efectelor aleatorii asupra sistemelor

1. Este necesar să se implementeze un eveniment aleator A care are loc cu o probabilitate dată p. Definim A ca un eveniment constând în faptul că valoarea aleasă xi a unei variabile aleatoare distribuită uniform pe intervalul (0,1) satisface inegalitatea:

Atunci probabilitatea evenimentului A va fi https://pandia.ru/text/78/241/images/image019_31.gif" width="103" height="25">,

Procedura de simulare a testului în acest caz constă în compararea succesivă a numerelor aleatoare xi cu valorile lr. Dacă condiția este îndeplinită, rezultatul procesului este evenimentul Am.

3. Luați în considerare evenimente independente A și B cu probabilități pA și pB. Rezultatele posibile ale studiilor comune în acest caz vor fi evenimentele AB, cu probabilități pApB, (1-pA)pB, pA(1-pB), (1-pA)(1-pB). Două variante ale procedurii pot fi utilizate pentru a simula testele articulare:

Executarea consecventă a procedurii discutate la paragraful 1.

Determinarea unuia dintre rezultatele AB, prin tragere la sorți cu probabilitățile corespunzătoare, adică procedura discutată la paragraful 2.

Prima opțiune va necesita două numere xi și două comparații. Cu a doua opțiune, vă puteți descurca cu un număr xi, dar pot fi necesare mai multe comparații. Din punctul de vedere al confortului de a construi un algoritm de modelare și de a salva numărul de operații și memoria computerului, prima opțiune este mai de preferat.

4. Evenimentele A și B sunt dependente și apar cu probabilități pA și pB. Se notează cu pA(B) probabilitatea condiționată de apariție a evenimentului B, cu condiția ca evenimentul A să fi avut loc.

Întrebări de control

1) Cum poate fi definită metoda Monte Carlo?

2) Semnificația practică a metodei Monte Carlo.

3) Schema generală a metodei Monte Carlo.

4) Un exemplu de calcul al sistemului de așteptare prin metoda Monte Carlo.

5) Modalități de a genera numere aleatorii.

6) Care sunt cerințele pentru un generator ideal de numere aleatoare?

7) Metode de îmbunătățire a calității secvențelor de numere aleatoare.

O altă metodă de evaluare sau analiză a sensibilității bazată pe simulare pe calculator este metoda Monte Carlo, care este înțeleasă ca o anumită metodă de rezolvare a unei anumite clase de probleme economice sau matematice în care anumiți parametri, în cazul nostru, factori de risc, sunt modelați în formă de variabile aleatoare. Această metodă se bazează pe simularea computerizată a distribuțiilor acestor variabile aleatoare și formarea estimărilor corespunzătoare ale proiectelor pe baza acestor distribuții. Este o metodă de simulare pentru analiza stabilității, care din punct de vedere istoric și-a primit numele de la numele orașului în care se află case de jocuri de noroc și cazinouri celebre. Termenul de „simulare Monte Carlo” a fost propus de oamenii de știință americani S. Ulam și J. von Neumann în procesul de lucru în cadrul celebrului Proiect Manhattan. Primul articol pe această temă a fost scris în 1949.

Pe de o parte, metoda Monte Carlo este o anumită modificare a analizei de sensibilitate discretă discutată mai sus, întrucât vorbim despre evaluarea impactului modificărilor parametrilor fluxului de numerar asupra valorii actualizate nete și a altor criterii de evaluare a proiectelor de investiții. Pe de altă parte, principala diferență față de metoda discretă este că în procesul de aplicare a metodei Monte Carlo, o anumită distribuție a valorilor valorii actuale nete a proiectului, rata dobânzii interne, indicele de randament și se formează alți indicatori, care se determină în funcție de distribuțiile aleatoare simulate ale factorilor de risc selectați. Acest lucru face posibilă obținerea anumitor estimări ale acestei distribuții sub formă de varianță, abatere standard sau coeficient de variație pentru valoarea actuală netă sau alt indicator rezultat, a cărui analiză permite să se tragă concluzii despre sustenabilitatea condițiilor viitoare pentru proiect. executie, posibilitatile de a obtine rezultate favorabile sau nefavorabile. Metoda luată în considerare se bazează pe simularea computerizată a distribuțiilor aleatorii ale parametrilor de flux de numerar selectați - factori de risc, pe baza cărora se formează distribuția indicatorilor pentru evaluarea proiectului în cauză.

Atunci când se efectuează calcule folosind metoda Monte Carlo, se presupune că sunt cunoscute valorile tuturor parametrilor care determină valoarea componentelor individuale ale fluxului de numerar al proiectului de investiții. Pentru acei parametri care sunt considerați factori de risc, valoarea inițială este luată conform așteptărilor atunci când se modelează distribuția aleatorie a acestui factor pe un computer.

Din punct de vedere organizațional, metoda Monte Carlo ca metodă de simulare a modelării computerizate poate fi descrisă prin următoarea secvență de etape principale.

Determinarea principalilor indicatori de evaluare a unui proiect de investitii faţă de care se va măsura influenţa factorilor de risc. Astfel de indicatori pot include: valoarea actualizată netă a proiectului, rata dobânzii interne, indicele randamentului, perioada de rambursare sau alții la cererea investitorului care intenționează să implementeze proiectul în cauză.

Selectarea parametrilor , considerate factori de risc , care vor fi modelate ca variabile aleatoare. Pentru implementarea lor numerică, se presupune că se realizează simulări pe computer bazate pe generatoare de numere pseudoaleatoare încorporate în pachetul Microsoft Excel, pe baza unui formular de distribuție preselectat. Pentru analiză, sunt evidențiate acele componente ale fluxului de numerar care, conform opiniei investitorului, managerului sau expertului în domeniul relevant, au cea mai puternică influență asupra modificării indicatorului de proiect selectat, i.e. sunt cei mai semnificativi factori de risc. În principiu, este posibil să se considere toți parametrii tuturor componentelor fluxului de numerar ca aleatori, dar acest lucru este asociat cu trei probleme. În primul rând, o creștere a numărului de parametri aleatori selectați poate duce la rezultate contradictorii datorită corelării implementărilor considerate ale variabilelor aleatoare; în al doilea rând, poate necesita mai mult timp pentru a analiza rezultatele obținute și a fundamenta influența factorilor individuali; în al treilea rând, vor rămâne nedetectați factorii care au influențat rezultatele.

Alegerea formei de distribuție a variabilelor aleatoare , pe baza căreia se va realiza o simulare computerizată a implementării lor numerice. Se realizează pe baza unor idei despre distribuția indicatorilor luați în considerare. Dintre astfel de distribuții, se pot remarca: normal, lognormal (utilizat mai des în modelarea parametrilor piețelor financiare), triunghiulară, uniformă etc. Distribuțiile normale, triunghiulare și uniforme sunt simetrice, iar utilizarea lor se bazează pe presupunerea unei distribuții simetrice. distribuția rezultatelor viitoare, deși cu densități de umplere diferite. Distribuția lognormală nu este simetrică, iar aplicarea sa se bazează pe premisa că cele mai multe dintre valorile unei variabile aleatoare sunt deplasate într-o anumită direcție în raport cu valoarea așteptată.

În această carte, la efectuarea calculelor experimentale folosind metoda Monte Carlo, la modelarea variabilelor aleatoare - parametrii de flux de numerar selectați - se utilizează distribuția normală.

Simularea modelării variabilelor aleatoare - parametrii de flux de numerar selectați. Pentru a simula implementarea numerică a variabilei aleatoare corespunzătoare, generatorul de numere pseudoaleatoare încorporat este utilizat în opțiunea „Analiza datelor” din meniul „Instrumente” a pachetului Microsoft Excel. În acest caz, valoarea așteptată a parametrului luat în considerare și abaterea sa standard, precum și numărul de realizări numerice ale variabilelor aleatoare care ar trebui să fie obținute în timpul unui ciclu de calcule de simulare, trebuie să fie predeterminate. Pentru astfel de calcule pot fi folosite și pachete speciale de software.

Dacă mai multe valori aleatoare sunt simulate simultan, atunci este necesar să se verifice absența corelației între fiecare pereche de implementări numerice ale acestora. Posibilitățile de utilizare a criteriilor de testare a ipotezelor statistice vor fi explicate mai jos.

Luând în considerare fiecare implementare primită a variabilei aleatoare luate în considerare, precum și parametrii fluxurilor de numerar care se presupune că sunt fixe, calculele fluxului de numerar sunt efectuate pentru fiecare implementare primită a variabilelor aleatoare specificate. Numărul fluxurilor de numerar coincide cu numărul ales de realizări ale acestor valori. Pe baza acestor fluxuri de numerar, în fiecare ciclu de calcule de simulare se formează distribuția valorii actuale nete a proiectului sau a altor indicatori estimați ai proiectului în cauză.

Determinarea caracteristicilor de distribuție a valorii actuale nete a proiectului , obținut ca urmare a unui ciclu de calcule de simulare, inclusiv valoarea așteptată a valorii actuale nete a proiectului, varianța și abaterea standard, precum și alți indicatori ai distribuției rezultate a acestui indicator. Acestea includ cele mai mari și cele mai mici valori ale valorii actuale nete, coeficientul de variație ca caracteristică suplimentară a distribuției, probabilitatea realizării unei valori negative a valorii actuale nete, adică. rezultat nefavorabil al executării proiectului pentru investitor. În acest din urmă caz, probabilitatea specificată este definită ca raportul dintre numărul de valori negative ale valorii actuale nete din distribuția rezultată și numărul total de experimente efectuate într-un ciclu de simulare:

Unde k- numărul de valori negative ale valorii actuale nete din eșantionul obținut în timpul simulării; T - numărul de experimente de simulare efectuate. O astfel de evaluare a probabilității unor rezultate nefavorabile se bazează pe ipoteza că probabilitatea fiecărui rezultat în procesul unui ciclu de simulare este aceeași și este p = 1 /T. Calcule similare pot fi făcute pentru rata internă a dobânzii, indicele de randament, perioada de rambursare.

Când efectuați calcule, puteți utiliza funcțiile statistice încorporate ale pachetului Microsoft Excel (Tabelul 5.12), care sunt setate pe distribuție VPN sau cu ajutorul unui alt indicator calculat obţinut în urma unui ciclu de calcule de simulare.

Masa 5.12

S-au folosit funcții încorporate ale pachetului Microsoft Excel

Repetarea multiplă secvențială a ciclurilor de calcule de simulare , realizată în etapele 4 și 5, care implică formarea secvențială a distribuțiilor valorilor actuale nete, precum și seturile corespunzătoare de valori ale indicatorilor estimați prezentați la etapa 5.

Pentru a verifica stabilitatea caracteristicilor obținute ale distribuției valorii actuale nete și pentru a îmbunătăți calitatea validității concluziilor, ar trebui efectuate câteva sute sau mii de cicluri de calcule iterative în modul de simulare.

Analiza principalelor rezultate. Rezultatele aplicării metodei Monte Carlo pentru analiza și evaluarea sustenabilității proiectului la factorii de risc identificați pot fi prezentate în două forme. În primul rând, putem vorbi despre analiza valorilor cantitative ale indicatorilor obținuți în urma calculelor de simulare care caracterizează parametrii distribuției obținute a valorii actuale nete a proiectului sau alți indicatori estimați. Acești indicatori includ: valoarea așteptată a valorii actuale nete; varianța, abaterea standard și coeficientul de variație ca măsurători de risc; cele mai mari și cele mai mici valori ale valorii actuale nete a eșantionului rezultat; probabilitatea de a obține o valoare actuală netă negativă a proiectului. În procesul de repetare repetată a ciclului de calcule de simulare, este posibilă construirea unei valori medii pentru un eșantion dat pentru fiecare indicator specificat, considerându-le ca anumite caracteristici așteptate ale impactului factorilor de risc asupra condițiilor de implementare a unui proiect de investiție dat.

O analiză a distribuției valorilor acestor indicatori, obținute ca urmare a unui număr suficient de mare de iterații, ne permite să tragem anumite concluzii despre stabilitatea relativă a valorii actuale nete a proiectului, valoarea așteptată și standardul. abaterea distribuţiei rezultate VPN, probabilitățile de a obține o valoare negativă VPN a proiectului, cu condiția ca variabilele aleatoare selectate să fie modificate în conformitate cu forma aleasă de distribuție a acestora. Această stabilitate poate fi evaluată vizual prin construirea de grafice ale valorilor eșantionului indicatorilor indicați sau prin utilizarea estimărilor statistice adecvate determinate pe baza eșantionului obținut al indicatorului corespunzător. O analiză similară poate fi efectuată dacă sunt utilizate alte criterii de evaluare a proiectului.

Orez. 5.4.

O altă formă a rezultatului simulării pe computer sau a studiilor Monte Carlo pot fi diferite grafice. Vorbim despre histogramele de frecvență ale valorilor nete prezente, care se formează în funcție de frecvența de apariție a valorilor nete prezente simulate în intervale selectate sau grupuri de valori ale acesteia, precum și grafice de distribuție a probabilității unei valori prezente nete negative. valoare sau alți indicatori estimați.

Secvența generală a calculelor prin metoda Monte Carlo este prezentată în fig. 5.4. Calculele corespunzătoare pot fi efectuate numai pe un computer utilizând capabilitățile încorporate ale pachetului Microsoft Excel sau ale altor pachete de aplicații software.

Să arătăm posibilitățile de implementare a metodei Monte Carlo și caracteristicile analizei rezultatelor obținute pe baza următorului exemplu condiționat. Toate datele inițiale despre proiectul luat în considerare sunt prezentate în tabel. 5.13.

Masa 5.13

Datele inițiale pentru proiect

Index
Factor de utilizare a capacității, %
Preț de vânzare așteptat, rub.
Abaterea standard a prețului de vânzare, frecare.
Investiții, freacă.
Costuri fixe, rub/an
Costuri variabile condiționat, rub/sd. Irod.
Abaterea standard a costurilor variabile condiționat

Selectăm parametrii și formăm fluxul de numerar inițial al acestui proiect de investiții. Componentele fluxului de numerar sunt calculate folosind formulele

Unde k t - factorul anual de utilizare a capacității t, M t - capacitatea de producție a întreprinderii într-un an t, p t - preţul produselor în perioada respectivă t; hf- rata cheltuielilor variabile condiționat pe an t; Hf- cheltuieli semifixe în perioada t,t= 1, 2,..., T; T - perioada de executie a proiectului.

Rezultatele calculului fluxului de numerar inițial conform formulelor (5.10) sunt date în Tabel. 5.14.

În acest exemplu, se ia în considerare o simulare computerizată a doi factori de risc: prețul produselor în al doilea an și costurile variabile condiționat în al treilea an. Modelarea prin simulare se realizează pe baza ipotezei unei distribuții normale a ambilor factori.

Masa 5.14

Parametrii și fluxul de numerar al proiectului de investiții

	Investiții		factor de utilizare a capacității, %	Ieșire maximă, unități ed.	Așteptat pealnzanmn.		permanent	Costuri variabile condiționat, rub/unitate Irod.	Monetar
			-

Pentru prețul celui de-al doilea an, 30 de ruble sunt alese ca valoare așteptată sau medie. (a se vedea tabelul 5.13), iar abaterea standard se presupune a fi 2. Pentru cheltuielile variabile condiționat ale celui de-al treilea an, respectiv, valoarea așteptată este de 16 ruble. (vezi tabelul. 5.13), iar abaterea standard a fost aleasă egală cu 1. O estimare a abaterii standard poate fi obținută pe baza ideilor despre posibilele intervale de fluctuație ale indicatorului corespunzător. Deci, dacă fluctuația așteptată a prețului de vânzare al celui de-al doilea an este de 6 ruble. în ambele direcții de la valoarea așteptată, atunci, având în vedere că în condiții de distribuție normală, aproape întregul interval este ± 3a, estimarea aproximativă a abaterii standard în acest caz este 6/3 = 2 ruble. Alte valori ale abaterii standard prezentate în tabelul 1 pot fi obținute în mod similar. 5.13.

În simularea computerizată a implementării aleatoare a ambilor indicatori selectați, au fost utilizate capabilitățile încorporate ale pachetului Microsoft Excel pentru generarea de variabile pseudoaleatoare pe baza distribuției normale. Fiecare ciclu de simulare a inclus 100 de iterații. Rezultatele unui ciclu de calcule ale ambelor variabile aleatoare sunt prezentate în tabel. 5.15.

Înainte de a efectua calcule ulterioare, este necesar să se testeze ipoteza absenței corelației dintre ambele variabile aleatoare ale căror distribuții sunt date în tabel. 5.15. Pentru a face acest lucru, folosind funcția încorporată „CORREL” a pachetului Microsoft Excel, calculăm coeficientul eșantionului de corelare a perechii, a cărui valoare va fi ph = -0,10906, adică aproape zero. Pentru a testa formal ipoteza

Tabelul 5.15

Imitarea distribuției variabilelor aleatoare, rub.

Numărul de iterație	Prețul celui de-al doilea an, freacă.	Cheltuieli variabile condiționat ale anului trei, rub/unitate prod.
	Valoarea medie - 30	Medie -16
	Abaterea standard - 2	Abaterea standard - 1

despre lipsa corelației dintre variabilele aleatoare considerate, este necesar să se construiască statistici

Unde P - dimensiunea eșantionului, adică numărul de iterații într-un ciclu de calcule de simulare și comparați-l cu statisticile t a (n - 2) având distribuţia Studentului sp - 2 grade de libertate și nivel de încredere a. Având în vedere valoarea specificată a coeficientului de corelație al eșantionului și dimensiunea eșantionului P = 100, în acest caz obținem:

care este mai mică decât valoarea tabelară corespunzătoare a chintilei distribuției Studentului cu 98 de grade de libertate și un nivel de încredere de 0,95, care este 1,984. Acest lucru ne permite să acceptăm ipoteza H() cu o probabilitate de eroare de tip I de 0,05.

Folosind implementările numerice obținute ale prețului celui de-al doilea an și costurilor variabile condiționat ale celui de-al treilea an (a se vedea tabelul 5.15), precum și a valorilor specificate ale parametrilor rămași ai fluxului de numerar (a se vedea tabelul 5.14), fluxurile de numerar ale proiectului de investiții se formează corespunzător valorilor de preț obținute pentru fiecare iterație. Calculele se fac după formulele (5.10). Au fost generate un total de 100 de fluxuri de numerar. Rezultatele calculului sunt prezentate în tabel. 5.16.

Tabelul 5.16

iterații

Folosind valorile fluxurilor de numerar obținute, vom calcula valoarea actuală netă a proiectului folosind formula

A fost utilizată o rată estimată a dobânzii de 12%. Aceste calcule sunt efectuate în Microsoft Excel folosind funcția financiară NPV încorporată utilizată pentru a calcula valorile actuale nete. Rezultatele calculului sunt prezentate în tabel. 5.17.

Tabelul 5.17

Opțiuni pentru fluxul de numerar al proiectului luat în considerare în cadrul unui ciclu de calcule de simulare, frecați.

Număr de iterație	Valoarea actuală netă	Număr de iterație	Valoarea actuală netă

Folosind distribuția obținută a valorilor valorii nete actualizate a proiectului, se pot determina principalele caracteristici care reflectă gradul de influență a factorilor de risc asupra valorii nete actualizate a acestui proiect. Să construim o histogramă de frecvență a valorilor actuale nete. Pentru a face acest lucru, împărțim toate valorile valorii actuale nete a proiectului obținute la 100 de iterații în grupuri, după cum urmează. În primul grup vom include acele valori ale valorii actuale nete care nu depășesc -20.000 de ruble, iar apoi în trepte de 10.000 de ruble. vom forma încă șapte grupuri de valori actuale nete, de la 2 la 8, iar în ultimul grup vom include acele valori ale valorii nete actuale care depășesc 50.000 de ruble și vom determina numărul de valori ale valoarea actuală netă care a intrat în fiecare grup selectat (tabelul 5.18).

Distribuția valorilor obținute ale valorii actuale nete pe grupuri, care sunt indicate în tabel. 5.18 poate fi reprezentat în următoarea histogramă de frecvență (Fig. 5.5). Această histogramă arată că cel mai mare număr de valori primite VPN este situat în intervalul de la -10 000 la 30 000. De asemenea, oferă o anumită idee despre posibilele valori negative ale valorii actuale nete, care în acest exemplu s-au încadrat în grupele 1, 2 și 3. În același timp, majoritatea

Tabelul 5.18

Gruparea valorilor actuale nete estimate

Orez. 55.

valori calculate VPN este situat în regiunea valorilor pozitive. Valorile specifice ale frecvențelor de lovituri în fiecare interval depind de distribuția obținută a variabilelor aleatoare selectate, în exemplul nostru, prețurile de vânzare din al doilea an și costurile variabile condiționat ale celui de-al treilea, care sunt considerate factori de risc. Rezultatul obţinut depinde în esenţă de ipoteza distribuţiei normale a factorilor de mai sus.

Metoda Monte Carlo vă permite să analizați impactul factorilor de risc - parametrii proiectului selectați - asupra indicatorilor studiați ai evaluării acestuia. În exemplul nostru, valoarea actuală netă este considerată un astfel de indicator. Rezultatele calculelor a șase indicatori care caracterizează distribuțiile VPN, construite secvenţial pe fiecare dintre cele 10 cicluri efectuate de calcule de simulare sunt date în tabel. 5.19.

Toate acestea sunt realizate sub aceeași ipoteză a distribuției normale a variabilelor aleatoare luate în considerare și păstrarea caracteristicilor acestora - valoarea medie sau așteptată și abaterea standard. Ca factori de risc în procesul de calcule experimentale efectuate în acest exemplu, s-au ales prețuri ale anului doi și costuri variabile condiționat ale anului trei; pentru fiecare dintre acești factori, parametrii de distribuție au rămas aceiași în toate cele 10 cicluri de calcule de simulare. În principiu, este posibil să se efectueze calcule de simulare conform metodei Monte Carlo cu o abatere standard variabilă. În acest caz, este mai dificil de analizat stabilitatea rezultatelor obținute.

Să analizăm mai detaliat rezultatele calculelor, care sunt date în tabel. 5.19. Totodată, pe baza distribuției au fost determinați indicatorii pentru primul ciclu de calcule de simulare. VPN, prezentate în tabel. 5.17.

Tabelul 5.19

Caracteristicile distribuțiilor VPN, obținut în modul de simulare, frecare.

Index	Ciclul de calcule de simulare
valorea estimata VPN
Deviație standard VPN
Coeficient variatii
Probabilitatea unei valori negative VPN
Cea mai mare valoare VPN
Cea mai mică valoare VPN

În primul rând, valoarea așteptată VPN în toate cele 10 cicluri de calcule de simulare s-au dovedit a fi pozitive, majoritatea valorilor obținute VPN pentru fiecare distribuție este deplasată în zona pozitivă.

În al doilea rând, abaterea standard pentru fiecare distribuție VPN, primit în modul de simulare este mai mare decât valoarea așteptată VPN. Acest raport reflectă, de asemenea, valoarea coeficientului de variație, care este mai mare decât unu pentru toate ciclurile de calcule de simulare și ne permite să concluzionăm că se poate realiza o valoare negativă. VPN în timpul executării acestui proiect.

În al treilea rând, această concluzie este confirmată de estimările obținute ale probabilității unei valori negative VPN proiect, care se determină în conformitate cu formula (5.9) ca raport dintre numărul de valori negative ale valorii actuale nete obținute într-un anumit ciclu de calcule de simulare și numărul total de iterații, care este egal cu 100. Pentru toate ciclurile de simulare efectuate, această probabilitate este de aproximativ 30%.

În al patrulea rând, valorile maxime și minime VPN proiectul oferă o idee despre gama posibilă de fluctuații sau împrăștiere a valorilor VPN proiect. Aceste date confirmă încă o dată că abaterea standard caracterizează doar o parte din intervalul de fluctuații ale valorii valorii actuale nete a proiectului, determinate ca urmare a calculelor de simulare.

În al cincilea rând, prezentat în tabel. 5.19 datele ne permit să tragem concluzii despre stabilitatea caracteristicilor de distribuție obținute la fiecare ciclu de calcule de simulare VPN, ceea ce face de fapt posibilă interpretarea estimărilor medii obţinute ale rezultatelor empirice ca fiind corespunzătoare condiţiilor de implementare a proiectului. Această stabilitate poate fi testată în diferite moduri.

1. Puteți utiliza o evaluare vizuală a distribuției rezultatelor prezentate în Tabel. 5.19. Deci, în fig. 5.6 arată distribuția probabilității unei valori negative VPNr obţinute în 10 cicluri de calcule de simulare.

La analizarea graficului prezentat în fig. 5.6, este evident că intervalul de fluctuații rezultat al acestei probabilități este destul de îngust. Dacă folosim valorile maxime și minime ale acestei probabilități, atunci putem arăta că abaterea de la valoarea medie a acestei probabilități pentru acest eșantion, care este egală cu 0,31, este de aproximativ 13% în ambele direcții.

Orez. 5.6. Probabilitatea unei valori negative VPN prin cicluri de simulare

În mod similar, se poate evidenția intervalul de fluctuații ale valorii așteptate a valorii actuale nete a proiectului. Ca datele din tabel. 5.19, în toate ciclurile de simulare, cel așteptat VPN avea o valoare pozitivă, deși era supus unor fluctuații. Graficul prezentat în fig. 5.7, arată atât tendințele posibile în schimbarea indicatorului specificat, cât și intervalul de fluctuații ale valorii acestuia în funcție de ciclurile finalizate de calcule de simulare.

Orez. 5.7. valorea estimata VPN prin cicluri de simulare

Dacă luăm în considerare faptul că valoarea medie a eșantionului a valorii actuale nete așteptate este de 6332,38 ruble, atunci se poate demonstra că intervalul de fluctuații a valorilor calculate este de aproximativ 24% pe ambele părți ale valorii medii. Estimările obținute depind în mare măsură de numărul de cicluri de calcule de simulare efectuate și, desigur, se vor modifica în timpul ciclurilor ulterioare. Fiabilitatea relativă a acestor estimări crește odată cu creșterea numărului de cicluri de calcule de simulare și cu extinderea dimensiunii eșantionului prezentat în tabel. 5.19. O analiză similară poate fi efectuată pentru alți indicatori determinați în fiecare ciclu de calcule de simulare (vezi Tabelul 5.19).

2. Cu o creștere semnificativă a numărului de cicluri de calcule de simulare și o extindere a eșantionului de rezultate obținute, este posibil să se utilizeze criterii formale de testare a ipotezelor și, pe baza acestora, să se tragă concluzii cu privire la stabilitatea rezultatelor obținute. și valori specifice ale anumitor parametri calculați. Testarea ipotezelor statistice se bazează pe formarea statisticilor de test, care sunt determinate ținând cont de eșantionul indicatorului luat în considerare, precum și de ipoteza că statisticile de test au o distribuție dată. Mai sus, la testarea ipotezei conform căreia coeficientul de corelație al perechii este egal cu zero, așa-numita ipoteză simplă a fost luată în considerare sub ipoteza că statistica testului a avut o distribuție Student cu n - 2 grade de libertate. O caracteristică a testării ipotezelor statistice este că acestea sunt acceptate cu un anumit nivel de încredere. Rezultatele testului corespunzător pot conține erori de primul fel, atunci când ipoteza este respinsă dacă este adevărată, și erori de al doilea fel, când ipoteza este acceptată dacă este falsă sau ipoteza alternativă este adevărată, i.e. răspunsul obținut în procesul de astfel de testare nu este absolut.

Luarea unei decizii cu privire la implementarea sau neexecutarea unui proiect de investiții pe baza datelor obținute prin metoda Monte Carlo implică, în primul rând, analiza distribuțiilor obținute ale valorilor valorii actuale nete a proiectului, care poate fi efectuată pe baza unei histograme asemănătoare cu cea prezentată în Fig. 5.5. O histogramă similară poate fi construită și pentru media distribuției pe toate realizările VPN.

Dacă toate valorile de distribuţie VPN la fiecare ciclu de simulare calculele sunt pozitive, atunci proiectul poate fi recomandat pentru execuție, în caz contrar, dacă toate valorile distribuției VPN ale proiectului sunt negative la fiecare ciclu de calcule de simulare, proiectul nefiind recomandat pentru execuție. În toate celelalte cazuri, este necesar să se compare șansele de a obține valori pozitive și negative. VPN. Pentru histograma prezentată în fig. 5.5, se poate observa că valorile pozitive VPN realizat pentru grupele 4-8. Având în vedere datele din tabel. 5.18, se poate observa că pentru această probă, 65% din valori VPN pozitiv și doar 35% negativ. O analiză similară poate fi efectuată asupra valorii medii a distribuției pe toate ciclurile de calcule de simulare.

În literatura de specialitate dedicată problemelor de evaluare a proiectelor de investiții prin metoda Monte Carlo, se propune calcularea unor indicatori suplimentari pentru eșantion. VPN presupunând că rezultatele la fiecare iterație în timpul unui ciclu de calcule de simulare au aceeași probabilitate p= 1 /P. Pe baza acestei abordări, valorile așteptate VPN în tabel. 5.19. Se propune utilizarea aceleiași scheme pentru a determina „câștigul așteptat” prin valori pozitive VPN în eşantionul rezultat şi „pierderea aşteptată” – prin valori negative VPN în această probă.

Dat fiind VPN- acesta este un criteriu pentru alegerea unui proiect și nu o evaluare semnificativă a rezultatelor sale utile, este necesară o interpretare suplimentară semnificativă a indicatorilor indicați de „câștiguri” și „pierderi”. Totuși, în cazul în care venitul pentru o anumită perioadă este considerat indicatorul modelat final, este posibil să se construiască estimări ale venitului sau pierderii medii pozitive din eșantionul obținut ca urmare a simulării.

Acceptarea unui proiect de investiții pentru execuție sau nu depinde de distribuțiile valorilor formate ca urmare a simulării VPN şi a obţinut caracteristici ale acestei distribuţii. Caracteristici de distribuție VPN (vezi Tabelul 5.19) se schimbă cu fiecare ciclu de calcule de simulare. Prin urmare, de o importanță deosebită este analiza stabilității rezultatelor stabilite prin calcule de simulare, care permite obținerea de informații suplimentare pentru luarea unei decizii. Nu este vorba atât despre valorile specifice ale rezultatelor obținute, cât despre cât de stabile sunt acestea și dacă se vor schimba foarte mult sub influența reală a factorilor de risc identificați. Rezultatele acestei analize sunt relative atât în ​​cazul în care această analiză este efectuată vizual, cât și dacă vorbesc despre evaluarea principalelor criterii de testare a ipotezelor statistice. Prin urmare, este esențial pentru decident dacă intervalele obținute de fluctuații în caracteristicile distribuției corespund ideilor sale despre fluctuațiile viitoare ale indicatorului corespunzător sau dacă nivelul său de încredere în îndeplinirea ipotezei corespunzătoare îl satisface.

Decizia finală a managerului cu privire la implementarea sau neexecutarea proiectului în cauză se ia pe baza tuturor informațiilor de mai sus, ținând cont de înclinația sau aversiunea acestuia față de risc, care se reflectă dacă această persoană consideră că este posibil el însuşi să implementeze proiectul cu caracteristicile de distribuţie obţinute. VPN și dacă există anumite oportunități pentru el de a gestiona riscurile acestui proiect în cazul în care dezvoltarea lui merge pe o cale nefavorabilă. Criteriile formale de alegere a unei soluții bazate pe informațiile obținute în procesul de simulare Monte Carlo nu au fost încă elaborate, ceea ce reprezintă unul dintre principalele dezavantaje ale acestei metode de evaluare și justificare a proiectelor de investiții în condiții de risc.

Atunci când se utilizează metoda Monte Carlo, trebuie avut în vedere faptul că în procesul de implementare a acesteia, vorbim despre evaluarea sustenabilității generale a proiectului la modificările factorilor de risc identificați (în exemplul nostru, prețuri și costuri variabile condiționat) . Acest lucru se datorează faptului că această metodă, ca și analiza sensibilității discrete, nu se bazează pe utilizarea unor posibile modificări viitoare ale factorului de risc extern selectat, de exemplu, prețurile, pe piața relevantă, ci se bazează pe simularea computerizată a distribuţia factorilor de risc selectaţi. Rezultatele depind în mod semnificativ de mărimea eșantionului obținut de indicatori estimați, în timp ce valorile lor specifice pot varia semnificativ de la un ciclu la altul de calcule de simulare. Acestea sunt și deficiențele metodei Monte Carlo ca metodă de simulare pentru analiza riscului proiectelor de investiții pe termen lung.

Uneori, acestea separă valoarea investiției în proiect și costurile viitoarei afaceri care apar înainte de finalizarea construcției și punerea în funcțiune, de exemplu, sub formă de încălzire, iluminare, costuri de gestionare, care ia în considerare parametrul H₀.

Pentru mai multe despre testarea ipotezelor, consultați: Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Econometrie. Curs inițial. M.: Delo, 1997. S. 219-221.

Managementul riscului unui proiect de investiții: manual / ed. M. V. Gracheva, L. B. Sikerina. M.: UNITI-DANA, 2009. S. 169-170.