O funcție de forma unde este numită funcţie pătratică.
Graficul unei funcții pătratice – parabolă.
Să luăm în considerare cazurile:
I CAZ, PARABOLA CLASICA
Acesta este , ,
Pentru a construi, completați tabelul înlocuind valorile x în formula:
Marcați punctele (0;0); (1;1); (-1;1), etc. pe planul de coordonate (cu cât este mai mic pasul luăm valorile x (în acest caz, pasul 1), și cu cât luăm mai multe valori x, cu atât curba va fi mai netedă), obținem o parabolă:
Este ușor de observat că dacă luăm cazul , , , adică, atunci obținem o parabolă care este simetrică față de axa (oh). Este ușor să verificați acest lucru completând un tabel similar:
II CAZUL, „a” ESTE DIFERIT DE UNITATEA
Ce se va întâmpla dacă luăm , , ? Cum se va schimba comportamentul parabolei? Cu title="Redată de QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
În prima imagine (vezi mai sus) se vede clar că punctele din tabel pentru parabolă (1;1), (-1;1) au fost transformate în puncte (1;4), (1;-4), adică, cu aceleași valori, ordonata fiecărui punct este înmulțită cu 4. Acest lucru se va întâmpla cu toate punctele cheie ale tabelului original. Raționăm în mod similar în cazurile imaginilor 2 și 3.
Și când parabola „devine mai lată” decât parabola:
Să rezumăm:
1)Semnul coeficientului determină direcția ramurilor. Cu title="Redată de QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Valoare absolută coeficientul (modulul) este responsabil pentru „expansiunea” și „compresia” parabolei. Cu cât este mai mare, cu atât parabola este mai îngustă; cu cât |a| este mai mic, cu atât parabola este mai largă.
CAZUL III, APARE „C”.
Acum să introducem în joc (adică să luăm în considerare cazul când), vom lua în considerare parabole de forma . Nu este greu să ghiciți (vă puteți referi întotdeauna la tabel) că parabola se va deplasa în sus sau în jos de-a lungul axei, în funcție de semn:
CAZUL IV, AARE „b”.
Când se va „desprinde” parabola de axă și, în cele din urmă, „se va plimba” de-a lungul întregului plan de coordonate? Când va înceta să mai fie egal?
Aici avem nevoie pentru a construi o parabolă formula pentru calcularea vârfului: , .
Deci în acest punct (ca și în punctul (0;0) al noului sistem de coordonate) vom construi o parabolă, ceea ce o putem face deja. Dacă avem de-a face cu cazul, atunci din vârf punem un segment de unitate la dreapta, unul în sus, - punctul rezultat este al nostru (în mod similar, un pas la stânga, un pas în sus este punctul nostru); dacă avem de-a face cu, de exemplu, atunci de la vârf punem un segment de unitate la dreapta, două - în sus etc.
De exemplu, vârful unei parabole:
Acum, principalul lucru de înțeles este că la acest vârf vom construi o parabolă conform modelului parabolei, deoarece în cazul nostru.
La construirea unei parabole după ce s-au găsit coordonatele vârfului foarteEste convenabil să luați în considerare următoarele puncte:
1) parabolă va trece cu siguranță prin punct . Într-adevăr, înlocuind x=0 în formulă, obținem că . Adică, ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa (oy) este . În exemplul nostru (mai sus), parabola intersectează ordonata în punctul , deoarece .
2) axa de simetrie parabole este o linie dreaptă, deci toate punctele parabolei vor fi simetrice față de ea. În exemplul nostru, luăm imediat punctul (0; -2) și îl construim simetric față de axa de simetrie a parabolei, obținem punctul (4; -2) prin care va trece parabola.
3) Echivalând cu , aflăm punctele de intersecție ale parabolei cu axa (oh). Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația. În funcție de discriminant, vom obține unul (, ), doi ( title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . În exemplul anterior, rădăcina noastră a discriminantului nu este un număr întreg; atunci când construim, nu prea are sens să găsim rădăcinile, dar vedem clar că vom avea două puncte de intersecție cu axa (oh) (din moment ce title="Redată de QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Deci hai să rezolvăm
Algoritm pentru construirea unei parabole dacă este dat sub forma
1) determinați direcția ramurilor (a>0 – sus, a<0 – вниз)
2) găsim coordonatele vârfului parabolei folosind formula , .
3) găsim punctul de intersecție al parabolei cu axa (oy) folosind termenul liber, construim un punct simetric față de acest punct față de axa de simetrie a parabolei (de remarcat că se întâmplă ca nu este rentabil să se marcheze acest punct, de exemplu, pentru că valoarea este mare... sărim peste acest punct...)
4) În punctul găsit - vârful parabolei (ca și în punctul (0;0) al noului sistem de coordonate) construim o parabolă. Dacă title="Redată de QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa (oy) (dacă nu au „ieșit la suprafață”) rezolvând ecuația
Exemplul 1
Exemplul 2
Nota 1. Dacă parabola ne este dată inițial sub forma , unde sunt unele numere (de exemplu, ), atunci va fi și mai ușor să o construim, deoarece ni s-au dat deja coordonatele vârfului . De ce?
Să luăm un trinom pătratic și să izolăm pătratul complet din el: Uite, am obținut că , . Tu și cu mine anterior numiam vârful unei parabole, adică acum,.
De exemplu, . Marcam vârful parabolei pe plan, înțelegem că ramurile sunt îndreptate în jos, parabola este extinsă (în raport cu ). Adică realizăm punctele 1; 3; 4; 5 din algoritmul pentru construirea unei parabole (vezi mai sus).
Nota 2. Dacă parabola este dată într-o formă similară cu aceasta (adică prezentată ca un produs al doi factori liniari), atunci vedem imediat punctele de intersecție ale parabolei cu axa (bou). În acest caz – (0;0) și (4;0). În rest, acționăm conform algoritmului, deschizând parantezele.
Construirea unei parabole este una dintre cele mai cunoscute operații matematice. Destul de des este folosit nu numai în scopuri științifice, ci și în scopuri pur practice. Să aflăm cum să efectuați această procedură folosind instrumentele aplicației Excel.
O parabolă este graficul unei funcții pătratice de următorul tip f(x)=ax^2+bx+c. Una dintre proprietățile sale remarcabile este faptul că o parabolă are forma unei figuri simetrice constând dintr-un set de puncte echidistante de directrice. În general, construirea unei parabole în Excel nu este mult diferită de construirea oricărui alt grafic din acest program.
Crearea unui tabel
În primul rând, înainte de a începe să construiți o parabolă, ar trebui să construiți un tabel pe baza căruia va fi creată. De exemplu, să luăm construcția unui grafic al unei funcții f(x)=2x^2+7.
Trasarea unui grafic
După cum am menționat mai sus, acum trebuie să construim graficul în sine.
Editarea unei diagrame
Acum puteți edita ușor graficul rezultat.
În plus, puteți efectua orice alte tipuri de editare a parabolei rezultate, inclusiv schimbarea numelui acesteia și a numelor axelor. Aceste tehnici de editare nu depășesc scopul lucrului în Excel cu alte tipuri de diagrame.
După cum puteți vedea, construirea unei parabole în Excel nu este fundamental diferită de construirea unui alt tip de grafic sau diagramă în același program. Toate acțiunile sunt efectuate pe baza unui tabel pre-generat. În plus, trebuie să țineți cont de faptul că diagrama de împrăștiere este cea mai potrivită pentru construirea unei parabole.
Pentru a reprezenta grafic o funcție în sistemul de coordonate dreptunghiulare, avem nevoie de două drepte perpendiculare xOy (unde O este interceptarea lui x și y), care se numesc „axe de coordonate”, și avem nevoie de o unitate de măsură.
Un punct din acest sistem are două coordonate.
M(x, y): M este numele punctului, x este abscisa și este măsurată cu Ox, iar y este ordonată și este măsurată cu Oy.
Dacă luăm în considerare o funcție f: A -> B (unde A este domeniul de definiție, B este domeniul de valori al funcției), atunci un punct din graficul acestei funcții poate fi reprezentat sub forma P( x, f(x)).
Exemplu
f:A -> B, f(x) = 3x - 1
Dacă x = 2 => f(2) = 3×2 - 1 = 5 => P(2, 5) Gf (unde Gf este graficul acestei funcții).
Funcția pătratică
Forma standard: f(x) = ax 2 + bx + c
Forma vârfului: $f(x)=(a+\frac(b)(2a))^2-\frac(\Delta)(4a)$
Unde Δ = b 2 - 4ac
Dacă a > 0, atunci valoarea minimă f(x) va fi $-\frac(\Delta)(4a)$ , care se obține dacă $x=-\frac(b)(2a)$. Programul va fi parabolă convexă, al cărui vârf (punctul în care își schimbă direcția) este $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.
În cazul în care o< 0 , то минимальное значение f(x) va fi $-\frac(\Delta)(4a)$ , care se obține dacă $x=-\frac(b)(2a)$. Programul va fi parabolă concavă, al cărui vârf este $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.
O parabolă este simetrică față de dreapta pe care o intersectează $x=-\frac(b)(2a)$ și care se numește "axa de simetrie".
De aceea atunci când atribuim valori X, atunci le alegem să fie simetrice în raport cu $-\frac(b)(2a)$.
La trasarea unui grafic, punctele de intersecție cu axele de coordonate sunt foarte importante.
|. Punct situat pe ax Bou are forma P(x, 0), deoarece distanța de la ea la Bou este egal cu 0. Dacă punctul este de asemenea pe Bou iar pe graficul functiei are si forma P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0.
Astfel, pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție cu axa Bou, trebuie să rezolvăm ecuația f(x)=0. Obținem ecuația a 2 + bx + c = 0.
Soluția ecuației depinde de semn Δ = b 2 - 4ac.
Să luăm în considerare următoarele opțiuni:
1) Δ< 0
,
atunci ecuația nu are soluții în R(mulțime de numere reale) și graficul nu se intersectează Bou. Forma grafică va fi:
2) Δ = 0,
atunci ecuația are două soluții $x_1=x_2=-\frac(b)(2a)$
Graficul atinge axa Bou la vârful parabolei. Forma grafică va fi: 
3) Δ > 0,
atunci ecuația are două soluții diferite.
$x_1=\frac(-b-\sqrt(\Delta))(2a)$ și $x_2=\frac(-b+\sqrt(\Delta))(2a)$
Graficul funcției va intersecta axa Bou la puncte M(x 1Și Bou. Forma grafică va fi:
||. Punct situat pe ax Oi are forma R(0, y), deoarece distanța de la Oi egală 0 . Dacă punctul este situat pe Oi iar pe graficul funcției, atunci are și forma R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)).
În cazul unei funcții pătratice,
f(0) = a×0 2 + b×0 + c ⇒ R(0, c).
Pașii necesari pentru a reprezenta grafic o funcție pătratică
f: R → R
f(x) = ax 2 + bx + c
1. Cream un tabel de variabile in care introducem cateva valori importante X.
2. Calculați coordonatele vârfului $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$. 
3. De asemenea, scriem 0 în tabel și valorile zero simetrice $-\frac(b)(2a)$. 
4. Determinăm punctul de intersecție cu axa Bou, rezolvarea ecuației f(x)=0și notează rădăcinile x 1Și x 2 in masa.
Δ > 0 ⇒ 
Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac{b}{2a}$
Δ = 0 ⇒ grafic atinge Bou chiar în vârful parabolei. Vom alege din nou două valori convenabile care sunt simetrice cu $-\frac(b)(2a)$. Pentru a defini mai bine forma graficului, putem alege alte perechi de valori pentru X, dar trebuie să fie simetrice $-\frac(b)(2a)$.
5. Reprezentăm aceste valori pe un sistem de coordonate și construim un grafic care leagă aceste puncte.
Exemplul 1
f: R → R
f(x) = x 2 - 2x - 3
a = 1, b = -2, c = -3
$-\frac(b)(2a)=\frac(2)(2)=1$ ⇒ V(1; -4)
1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(16)(4)=-4$
2. f(0) = -3
Valoarea simetrică a lui 0 în raport cu 1 este 2.
f(2) = -3
3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 2x - 3 = 0
Δ = 16 > 0
$x_1=\frac(-b-\sqrt(\Delta))(2a)=\frac(2-4)(2)=-1$
$x_1=\frac(2+4)(2)=3$
Am gasit punctele:
A(-1; 0)
B(0; -3)
V(1; -4)
C(2; -3)
D(3; 0)
Graficul va arăta astfel: 
Exemplul 2
f: R → R
f(x) = -x 2 - 2x + 8
a = -1, b = -2, c = 8
Δ = b 2 - 4×a×c = (-2) 2 - 4×(-1)×8 = 36
$-\frac(b)(2a)=\frac(2)(-2)=-1$ ⇒ V(-1; 9)
1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(-36)(-4)=9$
2. f(0) = 8
f(-2) = 8 (valoarea simetrică a lui 0 în raport cu -1 este -2)
3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 - 2x + 8 = 0
Δ = 36
x 1 = 2 și x 2 = -4
A(-4; 0)
B(-2; 8)
V(-1; 9)
C(0; 8)
D(2; 0) 
Exemplul 3
f: R → R
f(x) = x 2 - 4x + 4
a = 1, b = -4, c = 4
Δ = b 2 - 4×a×c = (-4) 2 - 4×1×4 = 0
$-\frac(b)(2a)=\frac(4)(2)=2$ ⇒ V(2; 0)
1. $-\frac(\Delta)(4a)=0$
2. f(0) = 4
f(4) = 4 (valoarea simetrică a lui 0 în raport cu 2 este 4)
3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 4x + 4 = 0
Δ = 0
x 1 = x 2 = $-\frac(b)(2a)$ = 2
A(-2; 9)
B(0; 4)
V(2; 0)
C(4; 4)
D(5; 9) 
Exemplul 4
f: R → R
f(x) = -x 2 + 4x - 5
a = -1, b = 4, c = -5
Δ = b 2 - 4×a×c = 4 2 - 4×(-1)×(-5) = 16 - 20 = -4
$-\frac(b)(2a)=\frac(-4)(-2)=2$ ⇒ V(2; -1)
1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(-4)(-4)=-1$
2. f(0) = -5
f(4) = -5 (valoarea simetrică a lui 0 în raport cu 2 este 4)
3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 + 4x - 5 = 0, Δ< 0
Această ecuație nu are soluții. Am ales valori simetrice în jurul valorii de 2
A(-1; -10)
B(0; 5)
V(2; -1)
C(4; -5)
D(5; -10) 
Dacă domeniul de definiție nu este R (mulțimea numerelor reale), ci un interval, atunci ștergem partea din grafic care corespunde acelor valori X, care nu sunt în acest interval. Trebuie să înregistrați punctele finale ale intervalului în tabel.
Exemplul 5
f:)
