Lema.
Dovada. Căci afirmația este evidentă. Fie și descompunerea canonică a numărului . Atunci, având în vedere că divizorii au forma , unde , ,…, ; , primim
deoarece
Teorema. (Formula de inversare aditivă Möbius.) Fie și fie funcții ale argumentului natural . Atunci dacă 
Dovada. Avem
Lăsa . Apoi fixează toate valorile divizorilor numărului. Aceasta înseamnă că semnele de însumare din ultima sumă dublă pot fi inversate, adică.
Acum, având în vedere asta
primim
Există o altă formă a teoremei demonstrate:
Teorema.
(Formula de inversiune Möbius multiplicativă.) Lăsa 
unde simbolul denotă produsul extins la toți divizorii numărului .
Dovada:
Exemple de utilizare a formulei de inversare Möbius:
Problema numărului de secvențe inelare. Vezi: Sala M. Combinatorică. M.: Mir, , § .
Numărul de polinoame ireductibile de un grad dat peste un câmp finit de elemente. Vezi: Berlekamp E. Teoria codificării algebrice. − M.: Mir, 1970, Ch. 3.
Gluhov M. M., Elizarov V. P., Nechaev A. A. Algebra. În t. M .: Helios, . T. , § .
Pentru auto-studiu:
Inversia Möbius pe mulțimi parțial ordonate. Principiul includerii-excluderii ca caz special al formulei de inversare a lui Möbius. Vezi: Sala M. Combinatorică. Moscova: Mir, , §; Bender E., Goldman J. Despre aplicațiile inversării lui Möbius în analiza combinatorie. În: Probleme enumerative de analiză combinatorie. M.: Mir, 1971. S. - .
Comparații pentru numere combinate
Fie un număr prim.
Lema.
Dovada. Când numărătorul din formulă
Consecinţă.
Dovada.
Lema. Fie , , , numere întregi nenegative și , . Apoi
Dovada. Avem
Pe de alta parte,
Comparând coeficienții la aceleași puteri, obținem rezultatul necesar. ∎
− reprezentări de numere întregi nenegative și după bază . (Aici, orice număr întreg pentru care , ). Pe mulțimea numerelor întregi nenegative, definim o relație de ordine parțială (relația precedenta), presupunând , dacă și numai dacă
teorema lui Lucas ( ).
Dovada. Conform lemei anterioare,
Unde , . Aplicând lema în mod repetat k de numărul corespunzător de ori, obținem rezultatul dorit. ∎
Cometariu. Teorema nu este adevărată pentru nonsimple. De exemplu (vezi Berlekamp, p.),
Consecinţă.
II . Structuri algebrice
II. 1. Seturi cu operații binare. Grupoizi, semigrupuri, monoizi
Operație algebrică binară(sau legea compozitiei) pe un set nevid S se numește cartografiere : , potrivirea unei perechi de elemente , un element definit unic , . Multe operații pot fi definite pe un set. (Dacă, de exemplu, desigur, atunci numărul de moduri este , unde este numărul de elemente în .) Dorind să selectăm una dintre ele, de exemplu, , scriem , . Un astfel de obiect se numește algebră binară, sau grupoid. În loc de , ei scriu adesea , iar operația în sine este notă cu un simbol ( , , , etc.).
Cometariu. Alături de operațiile binare, sunt luate în considerare și operații -are mai generale (unare pentru , ternare pentru , etc.). Structurile (sistemele) algebrice asociate acestora fac obiectul de studiu al așa-numitelor. algebre universale.
Se numește o operație binară pe o mulțime asociativ, Dacă
, pentru orice , , .
Se numește un grupoid cu o operație asociativă semigrup.
Un exemplu de grupoid non-asociativ. Pe platou, definim operatia ca 
. Operația este neasociativă: , dar .
Teorema. Dacă o operație binară pe o mulțime este asociativă, atunci valoarea expresiei nu depinde de aranjarea parantezelor din ea.
Dovada. Pentru , sau afirmația este evidentă. Pentru , este suficient să arătăm prin inducție că
pentru orice , . Prin ipoteza inducției, dispunerea parantezelor în
nesemnificativ; în special, .
Daca atunci .
Daca atunci
Partea dreaptă a egalității (1) care se dovedește este redusă la aceeași formă. ∎
Elementul este numit neutruîn ceea ce priveşte operaţiunea, dacă
pentru oricine .
Se numește un semigrup, cu un element monoid(sau semigrup cu identitate) și notează , , .
Un semigrup (grupoid) poate avea cel mult un element neutru: dacă
, sunt elemente neutre, atunci 
Se numește un grupoid (semigrup). subgrupoid (subsemigrup) unui grupoid (semigrup) , , dacă
Și pentru orice, .
În acest caz, se spune că submulțimea este închis în funcţiune. Monoid, , se numește submonoid monoid , , , dacă și .
Elementul monoidului , , se numește reversibil dacă există un element astfel încât 
(Evident, atunci vom inversa). Dacă elementul are aceeași proprietate, i.e. 
, atunci din egalități rezultă că elementul este de fapt singurul (față de ). Acest lucru vă permite să vorbiți despre verso element , la (invertibil) element , cu proprietăți: , .
Dacă , sunt elemente inversabile ale monoidului , , , atunci produsul lor este, de asemenea, un element inversabil, deoarece 
, 
. Evident, este un element inversabil. Prin urmare, există
Teorema. Mulțimea tuturor elementelor inversabile ale monoidului , , este închisă sub operația ∗ și formează un submonoid în , , .
Grupuri
Definirea grupului. Se numește un monoid , , , ale cărui elemente sunt inversabile grup.
Cu alte cuvinte, un grup este o mulțime cu o operație binară pentru care sunt valabile următoarele axiome:
. (Închiderea operațiunii.) , .
. (Operația asociativitate.) ,
. (Existența unui element neutru.) ∃ 
.
. (Existența elementului invers.) .
Cometariu. Revenind la structurile algebrice introduse mai sus, observăm următoarea ierarhie între ele: perechea , este grupoid, dacă axioma ; semigrup, dacă axiomele și sunt satisfăcute; monoid, dacă axiomele , și ; grup, dacă axiomele , , și .
Gradele elementelor cu proprietăți evidente sunt definite în mod natural:
( o singura data),
; 
, (
, , .
În general, este imposibil să rearanjezi elementele dintr-o expresie (de ex. 
). Dacă 
, atunci elementele sunt numite permutațional, sau naveta. Dacă oricare două elemente ale unui grup fac naveta, atunci grupul este numit comutativ, sau abelian(în onoarea matematicianului norvegian Riel Henrik Abel ( - )).
O operație dintr-un grup este cel mai adesea notă fie prin simbol (adunare), fie prin simbol (înmulțire). Grupul este numit în consecință aditiv sau multiplicativ, respectiv elementul său neutru − zero() sau unitate(). Într-un grup aditiv, elementul este numit elementul invers elementului opusși se notează cu , iar în schimb ei scriu . Într-un grup multiplicativ, se scrie de obicei în loc de , omițând simbolul operației.
Exemple de grupuri de aditivi. 1) , , , , , , , sunt grupuri aditive ale inelului și câmpurilor , , . Doar scrie , , , . 2) Orice inel de adiție este un grup abelian. În special, inelul polinomial ,…, ] și inelul matriceal , de ordine asupra unui câmp sunt grupuri abeliene. 3) Orice spațiu vectorial peste un câmp în ceea ce privește adunarea este un grup abelian. 4) , 1,…, este sistemul complet al resturilor minime nenegative modulo cu operația de adunare modulo .
Exemple de grupuri multiplicative. 1) , , − grupuri multiplicative de câmpuri , , . 2) este mulțimea elementelor inversabile ale oricărui inel cu unitate sub înmulțire. În special, = ; , este mulțimea matricelor inversabile din . 3) − toate rădăcinile (reale și complexe).
, , 1,…, , − unitate imaginară,
ecuațiile sunt un grup abelian multiplicativ. 4) − mulţime de rotaţii ale unui -gon regulat în plan şi în spaţiu − grup necomutativ (pentru ).
Mai mult, forma multiplicativă de înregistrare a operației este mai des folosită. Grupul este de obicei notat cu o singură literă fără a specifica o operație. Se numește mulțimea tuturor elementelor unui grup setul principal al grupuluiși este notat cu aceeași literă. Dacă setul de bază este finit, atunci grupul este numit final; altfel se numeste fără sfârşit. Elementul numeric al unui grup finit se numește său în ordine. Se numește grupul de ordinul 1 singur, sau T banal. Se spune că grupul infinit are ordine infinită. Simbolurile egale Card (număr cardinal) și () sunt folosite pentru a desemna ordinea grupului (cardinalitatea setului principal).
Dacă , sunt submulțimi (ale mulțimii principale) ale grupului, atunci setăm
, 
, .
Subgrup Un grup este o submulțime a lui B care este el însuși un grup în raport cu aceeași operație ca în . Cu alte cuvinte, o submulțime este un subgrup dacă și numai dacă (unul în) și este închisă sub înmulțire și reciprocă, i.e. , (de fapt, aici sunt chiar și egalități). Dacă − este un subgrup în , atunci scrieți ; dacă în același timp, atunci este numit proprii subgrup și acesta este notat ca .
1. Să ne amintim mai întâi definiția importantei funcții Möbiou teoretice de numere
1 dacă n = 1
µ (n)=0 dacă există un număr prim p, p2 n (-1)k dacă n = p1 … pk este produsul a k factori primi diferiți.
Să demonstrăm proprietatea principală a funcției Möbius:
Teorema 1.
♦ Dacă n = 1, atunci singurul divizor este d = 1 și (1) este adevărată, deoarece µ (1) = 1. Fie acum n > 1. Îl reprezentăm sub forma
n = p1 s 1 ps 2 2 K ps k k ,
unde pi , i 1, k sunt numere prime, si sunt puterile lor. Dacă d este un divizor al lui n, atunci d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k ,
unde 0 ≤ di ≤ si , i 1, k . Dacă di > 1 pentru unele i 1, k , atunci µ (d) = 0. Prin urmare, în (1) trebuie să luăm în considerare numai acele d pentru care di ≤ 1, i 1, k . Fiecare astfel de divizor
provine din produsul a r numere prime diferite, unde r 1, k și contribuția sa la suma
(1) este egal cu (-1)r și sunt k în total. Astfel, primim
µ (d) = 1 − |
K + (−1)k |
0. ♦ |
||||||||
Teorema 2. (Formula de inversare a lui Möbius). Fie f(n) și g(n) funcții ale naturii |
||||||||||
adevărat argument. Apoi egalitatea |
||||||||||
∑f(d) |
||||||||||
este adevărată dacă și numai dacă egalitatea este adevărată |
||||||||||
∑µ (d)g( |
||||||||||
♦ Fie (2) adevărată pentru orice n. Apoi
g(d n ) = ∑ f(d′ )
d'dn
Înlocuind în partea dreaptă a lui (3), obținem
∑µ (d)g( |
) = ∑ µ (d) ∑ f(d′ ) |
||||||
d' |
|||||||
Însumarea dublă din dreapta se realizează asupra tuturor perechilor d, d′ astfel încât d d′ n . Dacă alegem d′ , atunci d va trece prin toți divizorii lui d n ′ . Prin urmare
∑µ (d)g( |
) = ∑ f(d′ ) ∑ µ (d′ ) |
||||||||||||
d' |
d' |
||||||||||||
d' |
n > d′ |
||||||||||||
Dar conform (1) avem ∑ |
|||||||||||||
µ (d′ ) = |
n = d′ |
||||||||||||
d' |
|||||||||||||
d' |
|||||||||||||
Prin urmare, se stabilește egalitatea (3). Fie acum (3) valabil pentru orice n. Apoi
∑ f(d) = |
∑ ∑ µ (d′ )g( |
) , d′′ = d d ′ - este un divizor al lui n și suma dublă poate |
||||||||||||
d' |
||||||||||||||
n d' |
||||||||||||||
fi rescris ca |
||||||||||||||
∑ µ (d′ )g(d′′ ) = |
∑ g(d′′ ) |
∑µ (d′ ) |
||||||||||||
d′′ |
n d′ |
d′′ |
d′′ |
d' |
d′′ |
|||||||||
Conform (1), ultima sumă se transformă în unitate în cazul lui d′′ = n, în alte cazuri
ceaiuri este zero. Aceasta dovedește (2). ♦ 2. Luați în considerare aplicarea inversiunii de Möbius.
Să fie dat un alfabet A cu litere s. Există sn cuvinte de lungime n în alfabetul dat. Pentru fiecare cuvânt w0 = a1 a2 … pot fi definite n - 1 cuvinte
w1 = a2 a3 … an a1 , w2 = a3 a4 … a1 a2 , … , wk-1 = an a1 … an-1 , obținute unul din celălalt prin deplasări ciclice. Pe mulţimea tuturor sn cuvinte, introducem o relaţie de echivalenţă: două cuvinte sunt declarate echivalente dacă unul din celălalt este obţinut printr-o deplasare ciclică. Ne va interesa numărul de clase care conțin exact n cuvinte. O astfel de problemă apare în teoria sincronizării codurilor.
Vom numi un cuvânt w degenerat dacă clasa de echivalență care conține w este formată din mai puțin de n cuvinte. Numim w periodic dacă există un cuvânt u și un număr natural m astfel încât w = u u … u (de m ori).
Teorema 3. Un cuvânt w este periodic dacă și numai dacă este degenerat.
după cum putem lua o 1 a 2 … a p și ca m =
♦ Este clar că dacă w este periodic, atunci este degenerat. Să fim degenerați. Fie p cel mai mic întreg astfel încât w = wp . Atunci dacă
w = a1 a2 … an , apoi wp = a1+p a2+p … an+p (indici modulo n). Prin urmare, obținem că în n p . (Este ușor de observat că p n). ♦ Tapet
este semnificativă în ceea ce privește M(d) - numărul de pătrate care conțin d cuvinte. Din precedenta avem
dn. Astfel, formula∑ dM(d) = s n . d n
Să aplicăm formula de inversare a lui Möbius pentru cazul g(n) = sn , f(d) = dM(d). Apoi primim
nM(n) = ∑ µ (d)s n d d n
∑µ (d)sn d |
|||||||||||||
Astfel, M(n) este numărul de interes pentru noi. Dacă n = p este un număr prim, atunci |
|||||||||||||
− s) |
|||||||||||||
Există o versiune multiplicativă a inversiunii Möbius. corect |
|||||||||||||
Teorema 4. Fie f(n) și g(n) funcții ale unui argument natural înrudit |
|||||||||||||
purtare |
|||||||||||||
f(n) = ∏g(d) |
|||||||||||||
µ(n |
|||||||||||||
g(n) = ∏f(d) |
|||||||||||||
Și invers, din (5) urmează (4).
Folosind formula de inversare a lui Möbius, se poate rezolva problema practic importantă a numărului de polinoame ireductibile de grad fix peste un câmp finit. Fie GF(q) un câmp de q elemente și m un număr natural. Apoi pentru număr
Φ m (q) de polinoame ireductibile peste câmpul GF(q), avem formula
Să dăm un tabel cu câteva prime valori ale funcției Φ m (2)
Φm(2) |
§ 5. Permanentii si aplicarea lor la enumerari
1. Pentru rezolvarea multor probleme combinatorii se folosesc permanente. Luați în considerare o matrice numerică
A = (ai , j), i = 1, n , j = 1, m , n ≤ m
Permanenta matricei A (notația - pe A) este definită de egalitate
pe A = ∑ |
a 2 j L a nj |
||||
(j1 ,K , jn ) |
|||||
unde însumarea este efectuată peste toate n-permutările m elemente 1, 2, m. Cu alte cuvinte, permanenta unei matrice este egală cu suma produselor elementelor luate pe rând din fiecare rând și coloane diferite.
Formula (1) implică unele proprietăți evidente ale permanentului, similare cu cele ale determinantului pentru matrice pătrată.
1. Dacă una dintre rânduri(n × m)-matricea A (n ≤ m) constă din zerouri, apoi pe A = 0. Pentru n = m, același lucru este valabil și pentru coloane.
2. La înmulțirea tuturor elementelor unuia dintre rândurile matricei A cu un anumit număr, valoarea permanentului A se înmulțește cu același număr.
3. Un permanent nu se schimbă atunci când rândurile și coloanele sale sunt rearanjate.
Notăm cu Aij matricea obținută din A prin ștergerea rândului i și coloanei j.
4. Formula pentru extinderea permanentului în al-lea rând este valabilă pentru A = ai1 per Ai1 + ai2 per Ai2 + ... + obiectiv per Aim (2)
astfel, multe proprietăți ale permanenților sunt similare cu cele ale determinanților.
Totuși, proprietatea principală a determinanților det(A B) = detA detB nu este valabilă pentru permanenți, iar această circumstanță complică foarte mult calculul acestora.
De exemplu, |
|||||
2, per |
|||||||||
Cu toate acestea, 4 = per |
≠ per |
||||||||
Să luăm în considerare una dintre cele mai importante aplicații ale conceptului de permanent în problemele combinatorii.
dachas. Fie X = (x1 , xm ) o mulțime finită, iar X1 , … , Xn un sistem de submulțimi
În acest caz, se spune că elementul xi reprezintă mulțimea Xi. Necesitatea de a găsi un sistem de reprezentanți diferiți apare în rezolvarea multor probleme aplicate. Luați în considerare următoarea problemă de codare. Să fie o propoziție, adică un set ordonat de cuvinte într-un anumit alfabet. Este necesar să codificați această propoziție în așa fel încât fiecare cuvânt să fie asociat cu o literă, iar această literă trebuie să facă parte din acest cuvânt, iar litere diferite trebuie să corespundă unor cuvinte diferite.
Exemplu: Propoziția a bc ab d abe c de cd e poate fi codificată ca abecd. În același timp, propoziția ab ab bc abc bcd nu poate fi codificată în acest fel, întrucât primele patru cuvinte în total conțin doar trei litere.
Pentru un sistem de mulțimi X1 , … , Xn definim matricea de incidență A = (aij ), i = 1, n ,
1 dacă xi |
||||||||
a ij = |
||||||||
0 altfel. |
||||||||
Corect |
||||||||
Teorema 1. Fie A = (aij ), i = |
(n ≤ m) matrice de incidență |
|||||||
mulţimile X1 , … , Xn , unde Xi X, i = 1, n , X = (x1 , … , xm ) . Apoi pentru numărul de sisteme
reprezentanții personali R(X1 , … , Xn ) ai mulțimilor X1 , … , Xn
R(X1 , … , Xn ) = pe A |
|||||||||||||||||
♦ Într-adevăr, întrucât în matricea A elementul aij = 1 dacă xj Xi și aij = 0 , |
|||||||||||||||||
dacă xj |
K, xi |
) elementele lui X este un sistem de diferite pre- |
|||||||||||||||
Xi, apoi mulțimea (xi |
|||||||||||||||||
furnizori pentru X1 , … , Xn |
daca si numai daca a1i |
K ,a ni |
|||||||||||||||
politisti a1i |
K ,a ni |
sunt în coloane diferite ale matricei A. Însumează numerele |
|||||||||||||||
a1i ,K ,a ni |
peste toate n-permutările elementelor 1, 2, ... , m. Apoi obținem o sută |
||||||||||||||||
pe de altă parte, numărul de sisteme de reprezentanți diferiți pentru X1 , … , Xn , iar pe de altă parte, valoarea per-
matricea A. ♦
a 1i 1 a 2i 2 L a ni n
Consecinţă. Un sistem de reprezentanți diferiți pentru X1 , … , Xn există dacă și numai dacă pentru matricea corespunzătoare apariția A este valabilă:
Deoarece există m(m - 1) ... (m - n +1) termeni în formula (1), calculul permanentului pe baza definiției este dificil. Oferim o formulă generală în acest scop.
2. Ne restrângem la luarea în considerare a matricelor numerice pătrate А = (aij ), i, j = 1, n .
Atunci pe A = ∑
(i1 ,K ,in )
unde suma se extinde peste toate permutările i1 , … , în elemente
1, 2, …, n. Să aplicăm formula de includere-excludere pentru a calcula permanenta matricei A. Fiecărei mulțimi i1 , … , in i se va atribui o pondere egală cu a1i 1 ,K ,a ni n .
Deci permanentul A este suma greutăților acelor mulțimi care corespund permutărilor. Să introducem n proprietăți P1 , … , Pn pe mulțimea tuturor colecțiilor i1 , i2 , … , in din 1, 2, … , n, unde proprietatea Pi înseamnă că colecția i1 , … , in nu are element i. Astfel, permanentul A este suma greutăților mulțimilor i1 , … , în care nu au niciuna dintre proprietățile P1 , … , Pn . Rămâne de determinat suma greutăților W(Pi 1 ,K , Pi k ) a mulțimilor cu k proprietăți
Pi 1 ,K , Pi k . Avem pentru suma greutăților W(0) tuturor mulțimilor i1 , … , ik . |
|||||||||
W(0) = ∑ |
K , a ni |
= (a 11 + L + a 1n )(a 21 + L + a 2n ) L (a n1 + L + a nn ) |
|||||||
i1 ,K ,in |
|||||||||
W(N(Pi)) = |
a1i ,K , a ni |
= (a 11 + L + a 1i |
L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nn ) (9) |
||||||
≠i |
|||||||||
unde semnul ^ peste un element al matricei A înseamnă că acest element ar trebui să fie omis. În mod similar pentru sij (i< j) имеем
W(N(Pi, Pj)) = (a11 + L + a1i |
L+a1j |
L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nj + L + a nn ) (10) |
|
Acum, folosind formula de includere-excludere, obținem formula Raiser pentru A permanent:
pe A = ∏ i n = 1 (ai1 + L + ain ) − ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a ki + L + a kn )+ L + |
|||||
+ (− 1)s |
∑∏n |
||||
(a k1 + L + a ki1 |
L+a ki |
L + a kn ) + L |
|||
1≤ i1< L < is ≤ k n= 1 |
|||||
Calculul permanentului după formula Raiser poate fi organizat în așa fel încât să fie necesar
(2n - 1)(n - 4) înmulțiri și (2n - 2)(n + 1) adunări. Deși această valoare crește rapid cu n, această formulă oferă cea mai eficientă modalitate de a calcula permanent.
3. Să clarificăm acum problema condițiilor pentru egalitatea la zero a permanentei matricei (0, 1). Ne restrângem la cazul unei matrice pătrate.
Teorema 2. Fie A = (aij ), i, j = 1, n o (0, 1)-matrice de ordinul n. Apoi
pe A= 0 dacă și numai dacă A are o submatrice s × t de zerouri, unde s + t = n + 1.
♦ Fie ca o astfel de submatrice zero să existe în A. Deoarece permanentul nu se schimbă din permutările rândurilor și coloanelor, putem presupune că această submatrice este situată în colțul din stânga jos, adică.
unde O - (s × t) este o matrice de zerouri, submatricea B are dimensiunea (n - s) × t. Orice membru al permanentului A trebuie să conțină câte un element din primele t coloane. Prin urmare, dacă căutăm un membru pozitiv al permanentului, atunci elementele acestor coloane trebuie să aparțină în perechi unor rânduri diferite cu numere 1, 2, …, n - s. Cu toate acestea, n - s = t - 1< t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.
Fie acum per A = 0. Demonstrăm teorema prin inducție pe n. Pentru n = 1 afirmația este evidentă (A = (0)). Fie valabil pentru toate comenzile mai mici de n. Dacă A este o matrice zero de ordinul n, atunci afirmația este evidentă. Dacă A nu este o matrice zero, atunci fie aij = 1. Să scriem descompunerea lui A în rândul i:
pe A = ai1 Ai1 + … + ain Ain
Deoarece pe А = 0, atunci pe Аij = 0. Dar Аij are dimensiunea (n - 1) × (n - 1) și, prin ipoteza inducției, există o submatrice de zerouri de dimensiune
s1 × t1 și s1 + t1 = n - 1 + 1 = n. Rearanjați rândurile și coloanele astfel încât această submatrice zero să fie în colțul din stânga jos:
A→B= |
|
unde О - submatrice zero de dimensiunea s1 × t1 , s1 + t1 = n, С - are dimensiunea (n - s1 ) × t1 , D -
are dimensiunea s1 × (n - t) . Prin urmare, matricele С și D sunt pătrate și au ordinul (t1 × t1 ) și respectiv (s1 × s1 ). Conform definiției unui permanent, avem per B = per A și,
per B = per C per D și, prin urmare, din per A = 0 rezultă că fie per C = 0, fie per D = 0.
Fie per C = 0. Prin ipoteza inductivă, C are o submatrice zero de mărime
u × v, unde u + v = t1 + 1. Fie situat în rânduri cu numere i1 , … , iu și coloane cu numere j1 , … , jv . Să considerăm o submatrice B constând din rânduri
i1 , … , iu , t1 + 1, … , n și coloanele j1 , … , jv . Aceasta este o submatrice nulă de dimensiune (u + n - t1) × v,
unde u + n - t1 + v = n + +1. Deci, matricea B conține o submatrice zero de dimensiunea s × t, unde s + t = n + 1. Deoarece matricele A și B diferă în permutarea rândurilor și coloanelor, se demonstrează teorema. ♦
Să considerăm acum un caz particular important al matricei A. Notăm cu A(k, n) matricea n × n de 0,1 elemente cu k pentru fiecare rând și fiecare coloană (k > 0).
Teorema 3. Pentru orice matrice A(k, n) avem pe A(k, n) > 0.
♦ Presupunem dimpotrivă că per A(k, n) = 0. Atunci, prin teorema 2, există zero
submatrice de dimensiunea s × t, unde s + t = n + 1. Apoi, prin rearanjarea rândurilor și coloanelor matricei A(k, n), obținem matricea
unde O este matricea zero (s × t).
Să numărăm numărul de 1 din matricele B și D. Deoarece A(k, n) are k 1 în fiecare rând și fiecare coloană, există exact k 1 în fiecare coloană a lui B și fiecare rând a lui D.
unitati. Există n k unități în total în A(k, n), deci nk ≥ tk + sk = (t + s)n. Prin urmare
zom, n ≥ t + s, ceea ce este imposibil, deoarece s + t = n + 1
validitatea afirmației. ♦ Se dovedește la fel
Teorema 3a. Fie A o matrice (0,1) de dimensiunea n × m (n≤ m). Atunci perA = 0 dacă și numai dacă conține o submatrice zero de dimensiunea s × t, unde s+t=m+1.
4. Să luăm acum în considerare aplicarea întrebărilor luate în considerare la construcția unei latitudini.
pătrate de tablă. latină (n × m)-dreptunghi peste mulțimea X=(x1 ,…,xm )
se numește (n × m)-matrice de elemente ale lui X, în care fiecare rând este o n-permutare a lui X, iar fiecare coloană este o m-permutare a mulțimii X. Pentru n=m, dreptunghiul latin se numește pătrat latin.
Este clar că pentru n=1 numărul de dreptunghiuri latine 1 × m este egal cu m!. Pentru n=2, după selectarea primului rând, orice permutare poate fi luată ca al doilea.
inovaţie care îl contrazice pe cel ales. Numărul de astfel de permutări este Dm , deci numărul 2× m -
dreptunghiuri latine este egal cu m! Dm.
O întrebare firească apare în legătură cu construcția inductivă a pătratelor latine. Să construim un dreptunghi latin (n × m) (n< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?
Corect
Teorema 4. Fiecare latină (n × m) -dreptunghi n ♦ Fie X=(x1 ,…,xm ) și L-dreptunghi latin (n × m)-cu elemente din X. Să considerăm o mulțime de mulțimi A1 ,… ,Am unde Ai sunt elementele coloanei i-a a Dreptunghi latin L. Fie A - matricea de incidență a sistemului de mulțimi A1 ,… ,Am . Are dimensiunea m × m , iar fiecare rând al matricei A conține exact n, deoarece Ai = n, i = 1, m . Fiecare element xi X poate apărea în coloanele L de cel mult de m ori, altfel ar exista un rând în care acest element apare de două ori. Numărul total de elemente L este egal cu m n, deci fiecare element xi X apare exact de n ori în coloane. Aceasta implică faptul că fiecare coloană a matricei A conține exact n. Luați în considerare acum matricea A obținută prin înlocuirea fiecărui 1 cu zero și a fiecărui zero cu 1. Matricea A este matricea de incidență a sistemului de mulțimi X1 , … , Xn , unde Xi = X\Ai , i = 1, m . Conține m - n în fiecare rând și în fiecare coloană. Prin teoremă > 0. Fie ai1 … un mi ≠ 0 . Atunci avem xi X1 ,K , xi Xm și toate elementele xi ,K , xi sunt diferite pe perechi. Linia xi ,K , xi poate fi luat ca (n + 1)-lea pentru dreptunghiul latin (n × m) L. Continuând acest procedeu, obținem latinul pătrat cerul. ♦ Notăm l n - numărul de pătrate latine de ordinul n, cu elemente din mulțimea X = (1, 2, ... , n), în care elementele primei coloane și ale primului rând sunt în ordine naturală. Iată un tabel cu mai multe valori cunoscute ale numărului l n: 5. Se numește o matrice n × n A = (aij ) cu elemente reale, nenegative dublu stocastică, Dacă Instituție de învățământ bugetară municipală gimnaziu cu studiu aprofundat individual articole cu. Terbuny banda Mobius
Completat de: Chepurina Anna Vitalievna, elev de clasa a X-a Director: Kirikova M.A, primul profesor de matematică categoria de calificare s.Terbuny 2015 Introducere………………………………………………………………………………………………………………. ........... ......3 Context istoric ………………………………………………………4 Banda Möbius este începutul unei noi științe a topologiei...............................5 Realizarea unei benzi Möbius ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. Experimente cu banda Möbius ................................................ .. .................9 Proprietăți topologice ale benzii Möbius ……………………..11 Teoremele benzilor Möbius…………………………………… .12 Trucuri cu bandă Mobius…………………………………………15 Aplicarea benzii Möbius………………………………………..16 Concluzie................................................. .........................................23 Lista de referinte ............................................... ............................... .25 Aplicație Introducere
În timpul nostru, studiul diferitelor proprietăți și aplicații non-standard ale figurilor neobișnuite este relevant. Ați auzit vreodată de banda Möbius? Cum poate fi făcută, cum este legată de matematică și unde se aplică în viață. În timp ce făceam această lucrare, am ajuns la concluzia că, deși banda Möbius a fost descoperită în secolul XΙX, a fost relevantă în secolul XX și în secolul XX. Proprietățile uimitoare ale benzii Möbius au fost folosite și sunt folosite în gătit, tehnologie, fizică, pictură, arhitectură, bijuterii și bijuterii. A inspirat munca multor scriitori și artiști. Interesul pentru banda Möbius nu a dispărut nici astăzi. În septembrie 2006, la Moscova a avut loc Festivalul de matematică artistică. Prezentarea unui profesor din orașul Tokyo a fost primită cu mare succes. Am fost foarte interesat, intrigat de acest subiect. Am studiat literatura, apoi am făcut singur banda Möbius și apoi am făcut cercetări, experimente, studiind proprietățile ei magice, extraordinare. O bandă Möbius este o bucată de hârtie cu un capăt întors o jumătate de tură (adică 180 de grade) și lipită de celălalt capăt. Milioane de oameni din toate părțile lumii nici măcar nu știu că folosesc banda Möbius în fiecare zi. Ţintă
: spuneți și arătați colegilor de clasă că arată ca o simplă bandă întoarsă jumătate de tură cu capete lipite, poate conține multe surprize. Obiectul de studiu:
bandă Möbius. Sarcini:
identifica sursele si literatura de specialitate pe tema si analiza-le; faceți cunoștință cu istoria apariției fâșiei Möbius; învață cum să faci o bandă Möbius; studiază diferitele proprietăți ale benzii Möbius; Lucrând la tema, am folosit următoarele
metode: analiză, sinteză, observație, experiment, comparație și anchetă sociologică. CAPITOL
eu
„Fâșia Möbius – începutul unei noi științe”
1. 1. Context istoric
Misteriosa și celebra bandă Möbius a fost inventată în 1858 de un geometru german.August Ferdinand Möbius
. Ei spun că o servitoare l-a ajutat pe Möbius să-și deschidă „frunza”, coasând greșit capetele unei panglici lungi. Timp de șapte ani a așteptat luarea în considerare a lucrării sale și, fără să aștepte, a publicat rezultatele acesteia. Concomitent cu Möbius, această frunză a fost inventată de un alt student al lui K. F. Gauss -Listare Johann Benedict,
profesor la Universitatea din Göttingen. Și-a publicat opera cu trei ani mai devreme decât Möbius, în 1862. A. F. Möbius s-a născut în orașul Schulpfort. De ceva vreme, sub îndrumarea lui K. Gauss, a studiat astronomia. El a început să efectueze observații astronomice independente la Observatorul Pleisenburg în 1818. a devenit directorul acesteia. În acele vremuri, matematica nu era susținută, iar astronomia dădea destui bani pentru a nu se gândi la ele și lăsa timp pentru propriile reflecții. Devenit profesor la Universitatea din Leipzig, din 1816, Möbius a introdus pentru prima dată geometria proiectivă, un sistem de coordonate și metode analitice de cercetare; a stabilit existența suprafețelor unilaterale (fâșii Möbius), poliedre, pentru care „legea marginilor” este inaplicabilă și care nu au volum. Möbius este unul dintre fondatorii teoriei transformărilor geometrice, precum și ai topologiei. A obținut rezultate importante în teoria numerelor (funcția Möbius) și a devenit unul dintre cei mai mari geometri ai timpului său. 1.2. Banda Möbius - începutul unei noi științe a topologiei
Din momentul în care matematicianul german A. F. Möbius a descoperit existența uimitoarei foi de hârtie cu o singură față, a început să se dezvolte o ramură cu totul nouă a matematicii numită topologie. Termenul „topologie” poate fi referit la două ramuri ale matematicii. O topologie, al cărei strămoș a fost Poincaré, a fost numită combinatorie pentru o lungă perioadă de timp. Celălalt, la originea căruia a fost omul de știință german Georg Cantor, i s-a dat numele de general sau teoretic set-theoretic. Topologia combinatorie este o ramură a geometriei. „Geometrie” este un cuvânt grecesc, tradus în rusă înseamnă „topodare”, (“geo” - în greacă - pământ și „metreo" - măsură) studiază proprietățile figurilor. Ca orice știință, geometria este împărțită în secțiuni. 1. Planimetrie (cuvânt latin, „planum” - suprafață + geometrie), o secțiune a geometriei care studiază proprietățile figurilor pe un plan (triunghi, pătrat, cerc, cerc etc.) 2. Stereometrie (greacă, „stereos” - spațiu + metrică) - o secțiune de geometrie care studiază proprietățile figurilor din spațiu (bil, cub, paralelipiped etc.) 3. Topologia (greacă „topos” - loc, zonă + logică) este una dintre cele mai „tinere” secțiuni ale geometriei moderne, care studiază proprietățile unor astfel de figuri care nu se schimbă dacă sunt îndoite, întinse, comprimate, dar nu lipite. și nu se rupe, adică nu se schimbă cu deformări. Un exemplu de obiecte topologice sunt: literele I și H, baloane lungi și subțiri. Topologia combinatorie studiază proprietățile figurilor geometrice care rămân neschimbate în mapările unu-la-unu și continue. Multă vreme, topologia a fost percepută ca o știință departe de viață, concepută doar pentru a „slăvi mintea umană”. Dar în timpul nostru s-a dovedit că este cel mai direct legat de explicația structurii universului. Topologia generală se învecinează cu teoria mulțimilor și stă la baza matematicii. Aceasta este o teorie axiomatică concepută pentru a explora concepte precum „limită”, „convergență”, „continuitate”, etc. Bazele axiomaticii unui spațiu topologic au fost puse de Felix Hausdorff și completate de matematicianul rus Pavel Sergeevich Aleksandrov. 1.3. Cum se face o bandă Möbius?
● Banda Möbius este una dintre (surprizele matematice). Pentru a face banda Möbius, luați o bandă dreptunghiulară ABCD, răsuciți-l la 180 de grade și lipiți părțile opuse AB șiCD, adică deci punctele A șiCși puncte Dși V. Vezi aplicația. unsprezece. ● Forme și dimensiuni ale benzii de hârtie
pentru banda Möbius. Banda ar trebui să fie îngustă și lungă, cu cel mai mare raport posibil lungime-lățime. Nu poți face o bandă Möbius dintr-o foaie pătrată. Acest lucru este adevărat, dar nu trebuie subestimat faptul că restricțiile de dimensiune contează atunci când hârtia nu are voie să se încrețe. Dacă nu este interzisă mototolirea hârtiei, atunci banda Möbius poate fi lipită nu numai dintr-un pătrat, ci dintr-un dreptunghi de orice dimensiune - laturile lipite pot fi chiar de orice număr de ori mai lungi decât cele nelipite. ● Suprafata de alezare.
Deoarece cerința de a nu încreți hârtia este importantă, să vedem care este sensul ei matematic. Este ușor de înțeles că interzicerea ridurilor limitează foarte mult capacitatea de a manipula o foaie de hârtie. De exemplu, o foaie de hârtie poate fi pliată într-un tub sau pliată în jumătate fără să se încrețe, dar nu poate fi pliată în patru. Puteți face un con dintr-o foaie de hârtie fără a o încreți, dar nu puteți face o sferă sau măcar o bucată din ea: apăsați o foaie de hârtie pe un glob și cu siguranță vor apărea riduri. După cum puteți vedea, nu orice formă poate fi dată pe o foaie de hârtie. Vezi aplicația. 2. Suprafețele care pot fi făcute dintr-o foaie de hârtie prin îndoirea ei, dar nu zdrobirea acesteia sunt numite de matematicieni suprafețe desfăcute. În matematică, suprafețele dezvoltabile sunt definite diferit: în limbajul metamatematic, cuvintele „hârtie”, „motolit”, „face” sunt absente. Există o întreagă teorie a suprafețelor dezvoltabile, printre realizările căreia se află un răspuns satisfăcător la întrebarea ce pot fi acestea; matematicienii numesc aceasta „clasificare” (răspunsul se datorează lui Leonardo Euler). Să prezentăm doar câteva proprietăți ale suprafețelor dezvoltabile ca fapte experimentale. Vezi aplicația. 3 1. Prin fiecare punct A al suprafeței dezvoltabile care nu se află pe limita sa trece un segment situat pe suprafața care nu se termină în A. Cu alte cuvinte, fiecare punct poate fi atașat de suprafața dezvoltabilă (o curbă, dar foaie de hârtie nu mototolită) astfel încât să se lipească de suprafață pe o anumită distanță pe ambele părți ale punctului luat. Un astfel de segment se numește generatrică a suprafeței (suntem de acord că acest nume se referă doar la segmente de lungime maximă care se află în întregime pe suprafață, adică la segmente care nu sunt conținute în segmente mari cu această proprietate). 2. Dacă două generatoare diferite trec printr-un punct A care nu se află la limita suprafeței și A nu este capătul niciunuia dintre ele, atunci o bucată suficient de mică din suprafața din jurul lui A este plată. În acest caz, punctul A va fi numit plat. 3. Dacă punctul A, care nu se află la limita suprafeței, este sfârșitul unei generatrice, să spunem:A
, atunci vecinătatea punctului A este dispusă astfel: singurul generator care nu se termină în el trece prin punctul A, să zicemb
. Această generatoare împarte suprafața în două părți. Pe cealaltă parte a generatriceib
, cu care este localizată generatoareaA
, la generatrice b
bucată plată adiacentă, pe cealaltă parte ab
, în mod arbitrar din punctul A, există puncte neplate. Punctul A în această situație îl vom numi semi-plat. Subliniem că dacă un punct al suprafeței nu este nici limită, nici plat, atunci singura generatrică care nu se termină în el trece prin el, iar capetele acestei generatrice se află la limita suprafeței. ●Exemple: o foaie de hârtie rulată într-un cilindru sau într-un con nu are puncte plate (sau semiplate). Pentru un cilindru, generatoarele alcătuiesc o familie de segmente paralele, pentru un con, o familie de segmente care se învârtesc dintr-un punct. Sunt posibile aranjamente mai complexe ale generatoarelor. Vezi aplicația. 4 . De exemplu, generatoarele și punctele plate ale unei suprafețe în curs de dezvoltare sunt prezentate în figură (pe care suprafața este desfășurată într-o foaie plată de hârtie): liniile subțiri sunt generatoare, iar zonele umplute constau din puncte plate. Punctele situate la limita zonei punctelor plate sunt fie delimitare pentru întreaga suprafață, fie semi-plate. Dacă suprafața este formată dintr-un poligon de hârtie (să zicem, un dreptunghi), atunci punctele plate alcătuiesc unul sau mai multe poligoane plate, fiecare dintre aceste poligoane având vârfuri la limita suprafeței și laturi fie situate pe graniță, fie constând din puncte semi-plate. CAPITOLUL 2
2.1. Experimente cu Fâșia Möbius
Fiecare dintre noi are o idee intuitivă despre ce este o „suprafață”. Suprafața unei foi de hârtie, suprafața pereților sălii de clasă, suprafața globului sunt cunoscute tuturor. Poate exista ceva misterios într-un concept atât de obișnuit? Da, poate un exemplu este banda Möbius. Pentru a-i studia proprietățile, am efectuat mai multe experimente (împărțindu-le în două grupuri) pe cont propriu. eu
grup de experimente Experienta numarul 1. Suntem obisnuiti cu faptul ca fiecare suprafata cu care avem o carcasă (coală de hârtie, cameră pentru biciclete sau volei) - două părți. Am început să pictez banda Möbius fără să o răsturn. Rezultat
. Banda Möbius este complet vopsită. „Dacă cineva decide să picteze doar o parte
suprafața benzii Moebius, lăsați-l să-l scufunde imediat într-o găleată de vopsea,
scrie Richard Courant și Herbert Robins într-un mod excelent carte Ce este matematica? Experiența numărul 2. Am făcut un păianjen și o muscă din hârtie și le-am trimis să „merg”.
un inel obișnuit, dar le interzicea să se târască peste granițe. Rezultat.
Păianjenul nu a putut ajunge la muscă. Experiența nr. 3. Am trimis acești păianjen și zbor doar pe banda Möbius. ȘI le-a interzis să treacă granița. Rezultat.Biata muscă va fi mâncată, dacă, bineînțeles, păianjenul nu fuge. Mai repede! Experiența numărul 4. Am făcut un omuleț din hârtie și l-am trimis să călătorească de-a lungul fâșiei Möbius. Rezultat.
Omulețul se va întoarce la punctul de plecare, unde și-ar întâlni imaginea în oglindă. II grup de experimente asociat cu tăierea benzii Möbius, rezultatele sunt enumerate în tabel experienţă Descrierea experienței Rezultat
Am tăiat un inel simplu de-a lungul mijlocului. Am primit două inele simple, de aceeași lungime, de două ori mai late, cu două chenare. Fâșia Möbius a fost tăiată de-a lungul mijlocului. Am primit 1 inel, a cărui lungime este de două ori mai mare, lățimea este de două ori mai îngustă, răsucit 1 tură completă, cu o chenar. Lățimea benzii Möbius 5cm taiat pe lungime la o distanta de 1cm de margine. Am primit două inele legate între ele: 1) o bandă Mobius - lungime = lungimea celui original, lățime 3 cm; 2) lățime 1 cm, lungime de două ori față de original, răsucit două ture complete, cu două chenare. Lățimea benzii Möbius 5cm taiat pe lungime la o distanta de 2cm de margine. Am primit două inele legate între ele: 1) inelul este o bandă Möbius de 1 cm lățime, lungime = lungimea celui original; 2) inel - 2 cm latime, de doua ori mai lung decat cel original, rasucit cu doua ture complete, cu doua chenare. O bandă Möbius de 5 cm lățime, tăiată pe lungime la o distanță de 3 cm de margine. Am două inele legate între ele: 1) inelul este o bandă Möbius cu lățimea 1 cm de aceeași lungime; 2) inel – 2 cm lățime, lungimea lui este de două ori mai mare decât cea originală, răsucite două ture complete. Rezultatele unui sondaj sociologic cu elevii clasei a X-a. da Nu Ai auzit 1. Știți ce este topologia? 2. Știți ce este o bandă Mobius? 3. Știai că proprietățile unei benzi Mobius? Doar 5% dintre elevii de clasa a X-a știu ce este topologia. 30% dintre studenți știu ce este o bandă Mobius, iar 20% au auzit de ea. 50% habar nu au despre banda Mobius. 25% dintre studenți cunosc proprietățile benzii, 10% au auzit despre ele, 65% nu știu nimic despre proprietățile benzii Möbius. 2.2.Proprietăți topologice ale benzii Möbius
Pe baza rezultatelor experimentelor, putem formula următoarele proprietăți topologice ale benzii Möbius legate de surprizele matematice. Unilateralitatea este o proprietate topologică a benzii Möbius, caracteristică doar acesteia. Continuitate - pe o bandă Möbius, orice punct poate fi conectat cu orice alt punct. Nu există pauze - continuitate completă. Din punct de vedere topologic, un cerc nu se distinge de un pătrat, pentru că sunt ușor de transformat unul în altul fără a se rupe continuitate. Conectivitate – vor fi necesare două tăieturi pentru a înjumătăți inelul. În ceea ce privește banda Möbius, numărul de conexiuni este înlocuit în funcție de modificarea numărului de spire ale benzii: dacă o spire este conectată dublu, dacă două spire sunt conectate simplu, dacă trei spire sunt conectate dublu etc. împărțiți pătratul în două părți, avem nevoie doar de o tăietură. Conectivitatea este de obicei evaluată prin numărul Betti sau, uneori, se folosește caracteristica Euler. 4. Orientarea este o proprietate care este absentă în banda Möbius. Deci, dacă o persoană ar putea călători de-a lungul tuturor curbelor benzii Mobius, atunci s-ar întoarce la punctul de plecare, dar s-ar transforma în imaginea lui în oglindă. 5. „Numărul cromatic” este numărul maxim de zone care pot fi desenate pe o suprafață astfel încât fiecare dintre ele să aibă o margine comună cu toate celelalte. Numărul cromatic al benzii Möbius este șase. 6.Teoreme pe banda Möbius
Din cauza complexității dovezii, nu o iau în considerare în munca mea. Această teoremă este mai simplă decât cea anterioară: pentru a o demonstra, este suficient să explicăm cum se lipește o bandă Möbius dintr-o bandă a cărei lungime este mai mare de √3. Să presupunem mai întâi că lungimea sa este exact √3. Apoi puteți plasa două triunghiuri regulate pe această bandă. Să îndoim banda de-a lungul laturilor acestor triunghiuri, alternând direcțiile de pliere. Marginile AB și CD ale benzii se vor alinia, iar punctul A se va alinia cu punctul D și punctul B cu punctul C. Rezultatul va fi o bandă Möbius, ale cărei margini sunt poziționate cap la cap (vezi Anexa 1.2). ) Până când problema nu este rezolvată, este greu de spus de ce nu este rezolvată. Cu toate acestea, uneori, în diverse probleme nerezolvate, este posibilă urmărirea dificultăților comune, marcarea, ca să spunem așa, locuri dificile pe o hartă matematică, ceea ce face uneori posibilă prezicerea succesului sau eșecului în rezolvarea unei anumite probleme. Teorema 3. O bandă Möbius cu auto-intersecții poate fi lipită împreună dintr-o bandă de orice lungime mai mare de π/2. De aceea ne putem aștepta ca λ = √3. Trucuri cu banda Mobius
Problema nodurilor
Cum să faci un nod pe o eșarfă fără a renunța la capete? Se poate face așa. Pune eșarfa pe masă. Încrucișează-ți brațele peste piept. Continuând să le țineți în această poziție, aplecați-vă spre masă și luați un capăt al eșarfei alternativ cu fiecare mână. După ce mâinile sunt separate, un nod se va dovedi de la sine în mijlocul eșarfei. Folosind terminologia topologică, putem spune că mâinile privitorului, corpul său și eșarfa formează o curbă închisă sub forma unui nod „cu trei frunze”. La întinderea mâinilor, nodul se mișcă doar de la mâini la batistă. Faceți un nod în eșarfă cu o mână, ținând capătul eșarfei în mână. Răspunsul la acest puzzle poate fi găsit în cartea lui M. Gardner Minuni și mistere matematice. Din punct de vedere al topologiei, vesta poate fi considerată ca o suprafață cu două fețe cu trei margini nelegate, fiecare dintre acestea fiind o curbă închisă obișnuită. Vesta cu nasturi este o suprafață cu două fețe cu patru margini. Buclă misterioasă.
Un spectator care poartă o vestă este pus pe o buclă pe mână și apoi i se cere să-și bage degetul mare în buzunarul inferior al vestei. Acum îi poți invita pe cei prezenți să scoată bucla din mână fără a scoate degetul din buzunarul vestei. Soluția este următoarea: bucla trebuie trasă în orificiul vestei pentru mânecă, aruncată peste capul privitorului, scoasă prin a doua gaură pentru mânecă și transferată sub al doilea braț. Ca urmare a acestor acțiuni, bucla va fi sub vestă, înconjurând pieptul. Coborâți-l până când apare de sub vestă, apoi lăsați-l să cadă pe podea. Întoarcerea vestei pe dos fără a o scoate de la persoană.
Proprietarul vestei trebuie să-și strângă degetele la spate. Alții trebuie să întoarcă vesta pe dos, fără a separa mâinile purtătorului. Pentru a demonstra această experiență, este necesar să desfaceți vesta și să o trageți în jos cu mâinile la spatele purtătorului. Vesta va atârna în aer, dar bineînțeles că nu se va desprinde pentru că mâinile sunt încleștate. Acum trebuie să luați podeaua din stânga a vestei și, încercând să nu încreți vesta, împingeți-o cât mai mult posibil în armura dreaptă. Apoi luați armura dreaptă și introduceți-o în aceeași armurie și în aceeași direcție. Rămâne să îndrepti vesta și să o tragi pe proprietar. Vesta va fi intoarsa pe dos. Am făcut acest truc și l-am filmat în video cu colegii de clasă. Este conținut în prezentarea Moebius Strip. 2.3. Aplicarea benzii Möbius
∞ La intrarea în Muzeul de Istorie și Tehnologie din Washington, DC, o bandă de oțel cu jumătate de tură se rotește încet pe un piedestal. În 1967, când a avut loc un congres internațional de matematică în Brazilia, organizatorii săi au emis un timbru comemorativ în valori de cinci centavos. Avea o bandă Möbius pe ea. Atât monumentul, înalt de peste doi metri, cât și ștampila minusculă sunt monumente originale ale matematicianului și astronomului german August Ferdinand Möbius. Vezi anexa 5. Oficiul de brevete a înregistrat multe invenții bazate pe aceeași suprafață unilaterală. ∞ Banda Möbius este folosită în multe invenții inspirate de studiul atent al proprietăților unei suprafețe unilaterale. O bandă de bandă transportoare, realizată sub forma unei benzi Möbius, îi permite să lucreze de două ori mai mult, deoarece întreaga suprafață a foii se uzează uniform. În 1923, a fost eliberat un brevet inventatorului Lee de Force, care a propus înregistrarea sunetului pe o bandă de film fără a schimba bobinele din ambele părți simultan. Au fost inventate casetele pentru magnetofon, unde banda este răsucită și lipită într-un inel, în timp ce devine posibilă înregistrarea sau citirea informațiilor din ambele părți simultan, ceea ce dublează capacitatea casetei și, în consecință, timpul de redare. La imprimantele cu matrice de puncte, banda de cerneală era sub forma unei benzi Möbius pentru a crește durata de valabilitate. Acest lucru oferă economii tangibile. Banda Möbius este folosită în camera de biciclete și volei. ∞ Mai recent, i s-a găsit o altă utilizare - a început să joace rolul unui arc, dar izvoarele sunt deosebite. După cum știți, un arc armat funcționează în direcția opusă. Banda Möbius, contrar tuturor legilor, nu schimbă direcția de funcționare, ca și mecanismele cu două poziții stabile. Un astfel de arc ar putea fi de neprețuit în jucăriile mecanice - nu poate fi răsucit ca unul normal - un fel de mașină cu mișcare perpetuă. Vezi aplicația. 6. ∞ În 1971, inventatorul din Urali Cesnokov P.N. a aplicat un filtru sub forma unei benzi Möbius. ∞ Fâșia Möbius este folosită în gătit pentru a crea un aspect interesant și apetisant pentru chifle, uscătoare, tufiș. Și, de asemenea, în fabricarea de instrumente pentru gătit și decorarea diverselor feluri de mâncare, structuri de putere (mixer). Vezi aplicația. 7. ∞ Cu ajutorul benzii Möbius sunt create capodopere întregi. Banda Möbius a servit drept inspirație pentru sculpturi și artă grafică. Escher a fost unul dintre artiștii care l-au iubit în mod deosebit și și-a dedicat câteva dintre litografiile sale acestui obiect matematic. Unul celebru arată furnici care se târăsc pe suprafața unei benzi Möbius. Vezi anexa 9. ∞ Banda Möbius apare, de asemenea, în mod regulat în science-fiction, cum ar fi în povestea lui Arthur C. Clarke „The Wall of Darkness”. Uneori, poveștile științifico-fantastice sugerează că Universul nostru poate fi un fel de bandă Möbius generalizată. În povestea autorului A.J. Deitch, metroul din Boston construiește o nouă linie, al cărei traseu devine atât de confuz încât se transformă într-o bandă Mobius, după care trenurile încep să dispară pe această linie. ∞ Există o ipoteză că spirala ADN-ului în sine este, de asemenea, un fragment al unei benzi Mobius și acesta este singurul motiv pentru care codul genetic este atât de greu de descifrat și perceput. Mai mult, o astfel de structură explică destul de logic motivul apariției morții biologice: spirala se închide pe ea însăși și are loc autodistrugerea. Anexa 10. ∞ Fâșia Möbius a fost plăcută nu numai de matematicieni, ci și de magicieni De peste 100 de ani, banda Möbius a fost folosită pentru a efectua diverse trucuri magice și divertisment. Proprietățile uimitoare ale frunzei au fost demonstrate chiar și la circ, unde au fost suspendate panglici strălucitoare lipite împreună sub formă de benzi Möbius. Magicianul și-a aprins o țigară și cu capătul arzând a atins linia de mijloc a fiecărei panglici, care era făcută din nitrat de potasiu. Calea de foc a transformat prima panglică într-una mai lungă, iar a doua în două panglici, înfiletate una în cealaltă. (În acest caz, magicianul a tăiat fâșia Mobius nu la mijloc, ci la o distanță de o treime din lățimea ei). ∞ Fizicienii susțin că toate legile optice se bazează pe proprietățile benzii Mobius, în special, reflectarea într-o oglindă este un fel de transfer în timp, pe termen scurt, care durează sutimi de secundă, pentru că vedem în fața noastră. Așa e, oglinda noastră dublă. ∞Există o ipoteză că Universul nostru este destul de probabil închis în aceeași bandă Mobius, conform teoriei relativității, cu cât masa este mai mare, cu atât curbura spațiului este mai mare. Această teorie confirmă pe deplin presupunerea că o navă spațială, zburând drept tot timpul, se poate întoarce la punctul de plecare, aceasta confirmă nelimitatul și finitudinea Universului. Vezi adj. unsprezece. ∞ Interesul pentru banda Möbius nu a dispărut până în prezent. Festivalul de matematică artistică a avut loc la Moscova în septembrie 2006. Discursul profesorului din Tokyo Jin Akiyama a fost primit cu mare succes. Prestația sa amintea de spectacolul unui iluzionist, unde era un loc pentru banda Möbius (lucrare cu hârtie „Fâșia Möbius și modificările sale”). SPORTUL
Expansor manual "Robur"
Vezi adj. 12 . Unul dintrelucrurile preferate ale tuturor profesorilor de educație fizică din școală, care potrivit acestoraîn propriile sale cuvinte, „antrenează nunumai muşchii mâinii, darşi muşchiul creierului."Extensor carpian dinStudioul Artemy Lebedev repetă forma unei benzi Möbius. Un remediu excelent pentru ameliorarea stresului, gândindu-se lainfinit şidoar o modalitate utilă de a-ți ține mâinile ocupate. PARFUM
Parfum Bugatti
Vezi adj. 13 CompanieBugattia început să producă nu numai mașini extrem de scumpe (modelVeyroncostă 1,3 milioane de euro), dar și... parfum. Fiecare sticla, realizata din cristal si acoperita cu aur adevarat, este conceputa sub forma unei benzi Möbius neobisnuite, care are o singura fata. Pretul parfumuluiBugattieste de 3500 euro. Parfum Loewe Quzas, Quizas, Quizas
Vezi adj. 14 . În toamna anului 2011, a fost lansată o versiune purpurie a parfumului, a cărei sticlă este învelită într-o bandă Mobius - un simbol al ciclului pasiunilor din natură. Bogăția compoziției constă în prospețimea portocalelor asiatice, bergamotă, fructe de pădure roșii, continuă cu o inimă florală de magnolie, frezie și petale de portocală și se termină cu o dâră senzuală de lemn de cașmir, chihlimbar auriu și vetiver. Parfum Ediție limitată UFO, Kenzo
Vezi adj. 15 . Prezentare de parfumKenzoa avut loc în 2009 la o expoziție retrospectivă a lucrărilor lui Ron Arad (RonArad) la Centrul Pompidou din Paris. Acest artist și arhitect a fost cel care a creat designul cosmic al sticlei sub forma unei benzi Mobius. Este conceput pentru a se potrivi exact în palma mâinii tale.NeidentificatParfumObiect, sau „Obiect aromatic neidentificat”, este limitat la doar 180 de bucăți și se vinde cu amănuntul la 188 USD. MOBILA
Masa Mobius
Vezi adj. 16 O masă cu o singură suprafață la care poți sta, sta și sta confortabil. Raft Infinity
Vezi adj. 17. Designerul Job Kelevius a spart modelul când și-a proiectat biblioteca Infinity. Folosind conceptul matematic de Lemniscate și ceva similar cu banda Möbius, designerul a întruchipat conceptul fizic de infinit în Raftul Infinit. Asta înseamnă că, dacă ai citit toate cărțile de pe acest raft, consideră că ai înțeles întreaga infinitate a literaturii. Canapea Mobius
Vezi adj. 18. Născut sub motto-ul „Scaun dublu – dublă plăcere”, scaunul de canapeaMoebiusDublaFotoliucreat de designerGaebronzatVandeWyerdin Belgia și aduce o viziune proaspătă asupra mobilierului pentru îndrăgostiți. LOGOS
Logo-ul companiei Woolmark
Vezi adj. 19. Logo-ul a fost creat în 1964 ca urmare a unui concurs de design. Membru al juriuluiFrancoGrignaninu a putut rezista și și-a oferit propria versiune, ascunzându-se sub un pseudonimFrancescoseraglio. Acest logo seamănă cu o bandă Mobius și este un simbol al eternității și flexibilității companiei.
Simbol de reciclare
Vezi adj. 20. Simbolul internațional pentru reciclare este banda Möbius. Reciclare (alți termeni: reciclare, reciclare a deșeurilor, reciclarea și reciclare)- reutilizarea sau repunerea în circulație a deșeurilor industriale sau a gunoiului. Cele mai frecvente sunt secundare, terțiare și T. e. reciclarea la o scară sau alta a materialelor precum sticlă, hârtie, aluminiu, asfalt, fier, țesături și diverse tipuri de plastic. Deșeurile agricole și menajere organice au fost folosite și în agricultură încă din cele mai vechi timpuri. Simbol matematică
Vezi adj. 21. Banda Möbius este considerată un simbol al matematicii moderne, deoarece el a fost cel care a dat impuls noilor cercetări matematice. Imbracaminte si incaltaminte
Pantofi
Vezi adj. 22. Fondată în 2003 de arhitectul Ram Di Koolhaase și cizmarul Galahad ClarkUnitNudeste specializată în producția de pantofi inovatori de designer. Una dintre cele mai de succes dezvoltări ale companiei sunt pantofiiMobius
, numit după geometrul August Möbius și ideea sa de suprafață unilaterală. Ideea pantofilor este aceasta: partea superioară din piele a pantofilor și talpa sunt o singură panglică, răsucită într-un anumit fel.
eșarfă Mobius
Vezi adj. 23.
Un lucru interesant este eșarfa Möbius care apare în garderoba secolului XXI. Puteți face singur o eșarfă Möbius legând capetele eșarfei și răsucind-o cu o tură. Pictura
Graffiti
Vezi adj. 24. O bandă modernă Möbius este pictată pe un perete din Praga, Republica Cehă.
Două tipuri de vehicule se mișcă de-a lungul benzii: tancuri și echipamente de construcție a drumurilor. Un simbol al civilizației moderne: distruge-construiește-distruge-construiește.. ARHITECTURĂ
Clădirea bibliotecii
Vezi adj. 25. În prezent, se analizează un proiect de construire a unei biblioteci sub forma unei benzi Mobius în Kazahstan. Curbele clădirii formează o bandă Möbius, astfel spațiul interior curge în exterior și invers; într-un mod similar, pereții se transformă în acoperiș, iar acoperișul se transformă din nou în pereți. Lumina naturală pătrunde în coridoarele interioare prin deschideri geometrice din carcasa exterioară, creând spații frumos luminate ideale pentru lectură. Atracții
Vezi adj. 26. Plimbarea cu montagne russe seamănă cu forma unei benzi Mobius. La Moscova există cel mai mare roller coaster inversat din lume, unde o persoană stă pe un scaun suspendat și picioarele sale sunt în aer. Viteza - 81 km/h, înălțimea 30 m. Înălțimea, în comparație cu analogii străini, este mică, dar se plătește mai mult cu abundența de spirale, inele și bucle. Rolă de film
Vezi adj. 27. În 1923, a fost eliberat un brevet inventatorului Lee de Force, care a propus înregistrarea sunetului pe film fără a schimba rolele, din ambele părți simultan. Casetă
Vezi adj. 28. Casetele au fost inventate pentru magnetofone, unde banda este răsucită și lipită într-un inel, ceea ce face posibilă înregistrarea sau citirea informațiilor din ambele părți simultan, ceea ce crește capacitatea casetei și, în consecință, timpul de redare. Mașină Toyota MOB
Vezi adj. 29. Banda Möbius este proiectată de designerul spaniol Jorge Marti Vidal și combină frumusețea și misterul unei benzi Möbius. Forma unică a caroseriei oferă mașinii de curse o aerodinamică bună Imprimanta matriciala
Vezi adj. treizeci. În multe imprimante matriciale, panglica de cerneală are și forma unei benzi Mobius pentru a-și crește resursele. Rezistorul Möbius
Vezi adj. 31. Acesta este un element electronic nou inventat, care nu are inductanță proprie. Cureaua de slefuit
Vezi adj. 32. În 1969, inventatorul sovietic Gubaidullin a propus o bandă de șlefuit fără sfârșit sub forma unei benzi Möbius. Concluzie
Banda Möbius este prima suprafață unilaterală descoperită de un om de știință. Mai târziu, matematicienii au descoperit o serie întreagă de suprafețe unilaterale. Dar acesta, chiar primul, care a pus bazele unei întregi direcții în geometrie, continuă să atragă atenția oamenilor de știință, inventatorilor, artiștilor și studenților noștri. Am fost foarte interesat de proprietățile deschise ale benzii Möbius: Banda Mobius are o margine, o latură O bandă Möbius este un obiect topologic. Ca orice figură topologică, nu își schimbă proprietățile până când nu este tăiată, ruptă sau piesele sale individuale sunt lipite împreună. O margine și o latură a benzii Mobius nu sunt legate de poziția sa în spațiu și nu sunt legate de conceptele de distanță. Banda Möbius găsește numeroase aplicații în gătit, tehnologie, fizică, pictură, arhitectură, design de bijuterii și studiul proprietăților Universului. El a inspirat creativitatea multor scriitori și artiști. Aproape toată lumea știe cum arată simbolul infinitului, care seamănă cu o figură opt inversată. Acest semn mai este numit și „lemniscate”, care înseamnă panglică din greaca veche. Imaginează-ți că simbolul infinitului este foarte asemănător cu o figură matematică din viața reală. Faceți cunoștință cu Mobius Strip! banda Mobius(sau mai este numită și buclă Mobius, bandă Mobius sau chiar inel Mobius) este una dintre cele mai cunoscute suprafețe din matematică. O buclă Möbius este o buclă cu o suprafață și o margine. Pentru a înțelege despre ce vorbim și cum poate fi acest lucru, ia o foaie de hârtie, decupați o bandă de formă dreptunghiulară și în momentul conectării capetelor acesteia, răsuciți una dintre ele la 180 de grade, apoi conectați. Imaginea de mai jos vă va ajuta să vă dați seama cum să faceți o bandă Mobius. banda Mobius- un exemplu de suprafață unilaterală neorientabilă cu o margine în spațiul euclidian tridimensional obișnuit. Majoritatea obiectelor sunt orientabile, având două fețe, cum ar fi o bucată de hârtie. Cum poate o bandă Möbius să fie o suprafață neorientabilă, unilaterală - spuneți voi, pentru că hârtia din care este făcută are două fețe. Și încerci să iei un marker și să umpli una dintre părțile benzii cu culoare, în final vei lovi poziția de pornire, iar întreaga bandă va fi vopsită complet, ceea ce confirmă că are o singură față. Ca să crezi că bucla Mobius are o singură margine, treci fără întrerupere degetul de-a lungul uneia dintre marginile benzii, iar tu, la fel ca și în cazul colorării, vei ajunge în punctul din care ai început să te miști. Uimitor, nu-i așa? El studiază banda Möbius și multe alte obiecte interesante - topologie, ramură a matematicii care studiază proprietățile neschimbate ale unui obiect în timpul deformării sale continue - întindere, compresie, încovoiere, fără a-i încălca integritatea. Un matematician german este recunoscut drept „părintele” acestei casete neobișnuite. August Ferdinand Moebius, un student al lui Gauss care a scris mai mult de o lucrare despre geometrie, dar a devenit faimos în principal pentru descoperirea unei suprafețe unilaterale în 1858. Surprinzător este faptul că o bandă cu o suprafață a fost descoperită în același an din 1858 de un alt student al lui Gauss - un matematician talentat. Johann Listing, care a inventat termenul „topologie” și a scris o serie de lucrări fundamentale despre această ramură a matematicii. Cu toate acestea, filmul neobișnuit și-a primit încă numele de la numele de familie al lui Moebius. Există o credință comună că prototipul modelului „buclă fără sfârșit” a fost o panglică cusută incorect de către servitoarea profesorului August Mobius. De fapt, banda a fost descoperită cu mult timp în urmă în lumea antică. Una dintre confirmări este un mozaic roman antic cu aceeași panglică răsucită situat în Franța, în muzeul orașului Arles. Îl înfățișează pe Orfeu încântând animale cu sunetele unei harpe. Fundalul înfățișează în mod repetat un ornament cu o panglică răsucită. Veți fi destul de surprins de rezultat, pentru că, contrar așteptărilor, ceea ce vă va rămâne în mâini nu sunt două bucăți de bandă, sau chiar două cercuri separate, ci o altă bandă, chiar mai lungă. Aceasta nu va mai fi o bandă Moebius răsucită la 180 de grade, ci o bandă rotită cu 360 de grade. Banda Möbius mai mică va avea 1/3 din lățimea originală a benzii, lungimea L și o rotație de 180 de grade. Cea de-a doua bandă mai lungă va avea și o lățime de 1/3 din cea inițială, dar o lungime de 2L, și o rotație de 360 de grade. Fâșia Möbius nu este deloc o figură abstractă, necesară doar în scopurile matematicii, ea și-a găsit aplicație și în viața de zi cu zi reală. Conform principiului acestei centuri, la aeroport funcționează o centură, mutând valizele din portbagaj. Acest design îi permite să reziste mai mult datorită uzurii uniforme. Descoperirea lui August Möbius este utilizată pe scară largă în industria mașinilor-unelte. Designul este folosit pentru timp de înregistrare mai lung pe film, precum și în imprimantele care folosesc bandă la imprimare. Datorită vizibilității sale, bucla Möbius face posibil ca oamenii de știință moderni să facă din ce în ce mai multe noi descoperiri. De la descoperirea proprietăților uimitoare ale buclei, un val de noi invenții brevetate a măturat lumea. De exemplu, o îmbunătățire semnificativă a proprietăților miezurilor magnetice realizate dintr-o bandă feromagnetică înfășurată prin metoda Mobius. N. Tesla a primit un brevet pentru un sistem de curent alternativ multifazic, folosind înfășurarea bobinelor generatorului ca o buclă Mobius. Omul de știință american Richard Davis a proiectat un rezistor Moebius nereactiv - capabil să atenueze rezistența reactivă (capacitivă și inductivă) fără a provoca interferențe electromagnetice. Este greu de apreciat semnificația descoperirii buclei Möbius, care a inspirat nu numai un număr mare de oameni de știință, ci și scriitori și artiști. Cea mai cunoscută lucrare dedicată benzii Möbius este pictura Moebius Strip II, Furnici roșii sau Furnici roșii a graficianului olandez Maurits Escher. Imaginea prezintă furnici urcând bucla Moebius pe ambele părți, de fapt există o singură parte. Furnicile se târăsc într-o buclă nesfârșită una după alta pe aceeași suprafață. Artistul și-a tras ideile din articole și lucrări despre matematică, a fost profund fascinat de geometrie. În acest sens, litografiile și gravurile sale conțin adesea diverse forme geometrice, fractali, iluzii optice uluitoare. Până acum, interesul pentru bucla Mobius este la un nivel foarte ridicat, chiar și sportivii au introdus figura de acrobație cu același nume. Mai mult de un film a fost realizat pe baza lucrării Fâșiei Möbius a scriitorului de science fiction Armin Deutsch. Sub forma unei bucle Mobius, se creează o mare varietate de bijuterii, pantofi, sculpturi și multe alte obiecte și forme. Fâșia Möbius și-a lăsat amprenta asupra producției, designului, artei, științei, literaturii și arhitecturii. Mințile multor oameni erau îngrijorate de asemănarea formei moleculei de ADN și a buclei Mobius. A existat o ipoteză înaintată de citologul sovietic Navashin că forma cromozom inel structura sa este asemănătoare unei benzi Möbius. Omul de știință a fost îndemnat la această idee de faptul că cromozomul inel, atunci când se înmulțește, se transformă într-un inel mai lung decât la început, sau în două inele mici, dar parcă într-un lanț înfilat unul în celălalt, ceea ce amintește foarte mult de experimentele descrise mai sus cu banda Mobius. În 2015, un grup de oameni de știință din Europa și SUA a putut să se rotească lumină în inelul Mobius. În experimentele științifice, oamenii de știință au folosit lentile optice și lumină structurată - un fascicul laser focalizat cu o intensitate și o polarizare predeterminate în fiecare punct al mișcării sale. Drept urmare, s-au obținut benzi de lumină Möbius. Există o altă teorie mai mare. Universul este o buclă uriașă Mobius. Einstein a aderat la această idee. El a presupus că Universul este închis, iar o navă spațială care începe dintr-un anumit punct și zboară drept tot timpul se va întoarce în același punct din spațiu și timp de la care a început mișcarea sa. Deocamdată, acestea sunt doar ipoteze care au atât susținători, cât și adversari. Cine știe la ce descoperire îi va conduce pe oamenii de știință un obiect aparent simplu precum o bandă Mobius. Funcția Möbius
(n), Unde n– un număr natural, ia următoarele valori: Funcția Möbius vă permite să scrieți funcția Euler ca o sumă: Însumarea este peste toți divizorii lui n (și nu doar peste divizori primi). Exemplu. Să calculăm φ
(100) folosind funcția Möbius. Toți divizorii lui 100 sunt (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100). (2) = (-1) 1 = -1 (doi au un divizor prim – 2) (4) = 0 (4 este împărțit la pătratul a doi) (5) = (-1) 1 = -1 (5 are un divizor prim – 5) (10) = (-1) 2 = 1 (10 are doi factori primi – 2 și 5) (20) = 0 (20 împărțit la pătratul a doi) (25) = 0 (25 împărțit la pătratul a cinci) (50) = 0 (50 este divizibil cu 2 2 și 5 5) (100) = 0 (100 este divizibil cu 2 2 și 5 5) Prin urmare, Proprietatea funcției Möbius:. De exemplu, n=100,
{1,
2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}. 16
O teoremă asupra numărului de moduri de a selecta k-elemente, dintre care nu există două adiacente, din n elemente dispuse pe rând. Demonstrați obținând o formulă de recurență. Număr r-combinatii cu repetari din n-multimile sunt egale – demonstrarea utilizând o formulă de recurență.
Metoda se bazează pe obținerea unei formule care vă permite să calculați pas cu pas valorile cantității dorite, pe baza valorilor inițiale cunoscute și a valorilor calculate în pașii anteriori. Formula recurenteir
-a ordine– formula formei A n =
f(n,
A n- 1 ,
A n- 2 ,
… , A n-r). Formula exprimă la n>r fiecare membru al secvenței ( A i) prin precedent r membrii. Construcția unei formule recurente constă din următorii pași. 1. Dezvoltarea condițiilor inițiale pe baza oricăror relații evidente. Să notăm prin f(n,r). Este evident că 2. Raționament logic. Să reparăm un element din set S. Apoi relativ la oricare r- combinatii cu repetari din n-seturi S putem spune dacă conține un element fix dat sau nu. Dacă conţine, apoi restul ( r-1) elementul poate fi selectat f(n,r-1) moduri. Dacă nu contine(acest element nu este în selecție), atunci r- o combinație formată din elemente ( n-1)-seturi (set S cu excepţia acestui element fix). Numărul de astfel de combinații f(n-1,r). Deoarece aceste cazuri se exclud reciproc, apoi conform regulii sumei 3. Verificarea formulei pe unele valori și deducerea unui model general. 1) Să calculăm f
(n
,0)
. Din (2) rezultă Apoi f(n,0)=f(n,1)-f(n-1,1). De la (1) f(n,1)=n,f(n-1,1)=n-1. Prin urmare, f(n,0)=n-(n-1)=1=. 2) f
(n
,1)
=f(n,0)+f(n-1,1)
= 1+n- 1 =n==. 3) f
(n
,2)
=f(n,1)+f(n-1,2)
=n+f(n-1,1)+f(n-2,2) =n+(n-1)+f(n-2,1)+f(n-3,2) =
… = = n+(n-1)+…+2+1 = (suma progresiei aritmetice) 4) f
(n
,3)
=f(n,2)+f(n-1,3)
=+f(n-1,2)+f(n-2,3)
=++f(n-2,2)+f(n-3,3)
= … = (suma progresiei geometrice) 5) f
(n
,4)
= Pe baza unor cazuri particulare, se poate presupune că care este în concordanță cu (1) # 19, 20) Numărul de arbori binari cu n vârfuri este egal cu C(n), unde C(n) este al n-lea număr catalan. Numărul de arbori binari cu n vârfuri se numește număr catalan, care are multe proprietăți interesante. Al N-lea număr catalan se calculează folosind formula (2n)! / (n+1)!n!, care crește exponențial. (Wikipedia oferă mai multe dovezi că aceasta este o formă a numărului catalan.) Număr de arbori binari de o dimensiune dată 0 1 1 1 2 2 4 14 8 1430 12 208012 16 35357670 Substituţie Mergi la: navigare,
căutare Acesta este un articol despre substituție ca operație sintactică petermice
. S-ar putea să te interesezerearanjare
.
ÎN matematicăȘi informatică
substituţie- aceasta este o operațiune sintacticînlocuirea subtermenilor unui dat terma alți termeni, conform anumitor reguli. De obicei vorbim despre înlocuirea unui termen în loc de variabil. Definiții și notații Nu există o notație universală convenită pentru substituție și nici o definiție standard. Conceptul de substituție variază nu numai în cadrul secțiunilor, ci și la nivelul publicațiilor individuale. În general, putem evidenția substituirea contextuluiȘi înlocuire „în loc de”. În primul caz, se indică locul în termen în care are loc înlocuirea context, adică o parte din terma care „înconjoară” acest loc. În special, acest concept de substituție este utilizat în rescriere. A doua opțiune este mai comună. În acest caz, substituția este de obicei specificată de o funcție dintr-un set de variabile într-un set de termeni. A indica actiuni de substitutie, de regulă, folosiți notație postfixă. De exemplu, înseamnă rezultatul unei acțiuni de substituție asupra unui termen. În majoritatea covârșitoare a cazurilor, este necesar ca substituția să aibă un purtător finit, adică ca mulțimea Ultima definiție a substituției este probabil cea mai tipică și mai frecvent utilizată. Cu toate acestea, nu există nici o singură notație general acceptată pentru aceasta. Cel mai adesea folosit pentru a indica substituția Aîn loc de X V t se utilizează înregistrarea t[A/X],
t[X:=A] sau t[X←A]. Substituția variabilă înλ-calcul
În calculul λ, substituția este determinată de inducția structurală. Pentru obiecte arbitrare și o variabilă arbitrară, se calculează rezultatul înlocuirii unei apariții libere arbitrare substituţieși se determină prin inducție asupra construcției: (i) baza:: obiectul se potrivește cu variabila. Apoi; (ii) baza:: obiectul se potrivește constant. Apoi pentru cele atomice arbitrare; (iii) pas:
(iv) pas:: obiectul este neatomic și este o abstractizare. Apoi [; (v) pas:: obiectul este non-atomic și este, de altfel, o abstractizare. Apoi: pentru andor; Înlocuirea variabilelor în programare Substituţie variabil ( Engleză substituţie) V programare aplicativă se înțelege după cum urmează. Pentru a calcula valoarea unei funcții f asupra argumentului v se aplică intrarea f(v)), Unde f determinat de proiectare f(x) = e. Record f(v)în acest caz înseamnă că în expresie e se întâmplă substituţie, sau substituție variabilă X pe v. Înlocuirea se efectuează în conformitate cu semantica calculelor. Substituţie variabil ( Engleză misiune) V programareînțeles ca misiune. Operatorul de atribuire este o manifestare a efectului de blocaj von Neumann pentru limbajele de programare tradiționale
. Liber de asta sisteme de calcul aplicative. http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/Brenner_Evans.pdf 21
Funcții de generare.Funcție generatoare (numărător) și funcție generatoare de enumerare pentru combinații fără repetiții. Funcții generatoare: 1) Z-transforme 2) generator 3) funcție generatoare 4) funcție generatoare a secvenței (a r ) pe baza (g r ) - funcția f, atunci când este extinsă într-o serie de funcții de bază fixă (g r ), se formează această succesiune de coeficienţi (a r ). Această serie este formală. Numele formal înseamnă că tratăm formula *) ca o notație convenabilă pentru secvența noastră - în acest caz, nu contează pentru ce valori (acțiuni și complexe) converge. Rolul lui t se reduce la distingerea coeficienților șirului A0, A1,…Ar….prin urmare, în teoria funcțiilor generatoare, valorile acestei serii nu sunt niciodată calculate pentru o anumită valoare a variabilei t. Doar unele operații sunt efectuate pe astfel de serii, apoi se determină doar unele operații pe astfel de serii, iar apoi se determină coeficienții pentru puteri individuale ale variabilei t. De obicei ca 22
Funcția generatoare. Funcție generatoare (numărător) și funcție generatoare de enumerare pentru combinații cu repetiții. Unitate de producție pentru: Regula de construcție 1) Dacă un element de tip i poate fi inclus în combinațiile K 1 sau K 2 sau... K i ori, atunci are un multiplicator corespunzător 3) Rămâne de găsit coeficientul. la funcția de generare exponențială pentru regula de construcție a plasamentelor 25) Numerele combinatorii includ și numere Stirling de primul şi al doilea fel. Aceste numere sunt definite ca coeficienți în egalități și au o semnificație combinatorie simplă - egală cu numărul de elemente ale grupului de permutare care sunt produse de exact k cicluri disjunse și egale cu numărul de partiții n- element pus pe k submulţimi nevide. Este evident că. Se numește o sumă similară de numere Stirling de al doilea fel n- Numărul clopoțelului și egal cu numărul tuturor partițiilor n-set de elemente. Formula de recurență este valabilă pentru numerele Bell. La rezolvarea problemelor combinatorii este adesea util formula de includere-excludere ceea ce permite găsirea cardinalităţii unirii mulţimilor dacă se cunoaşte cardinalitatea intersecţiilor acestora. Să folosim formula de includere-excludere pentru a obține o formulă explicită pentru numerele Stirling de al doilea fel. Numere Stirling de primul fel Material de pe Wikipedia - enciclopedia liberă Mergi la: navigare,
căutare Numere Stirling de primul fel(nesemnat) - cantitate permutări Ordin n Cu k
cicluri. Definiție Numere Stirling de primul fel(cu semn) s(n, k) se numesc coeficienţi polinom: Unde ( X) n
- Simbolul Pochhammer
(factorial descrescător): După cum se poate vedea din definiție, numerele au un semn alternativ. Valorile lor absolute specifică numărul permutări set format din n elemente cu k
cicluri. Relația de recurență Sunt date numere Stirling de primul fel recurent raport: s(n,n) = 1, pentru n ≥ 0, s(n,0) = 0, pentru n > 0, pentru 0< k
< n. Dovada. Pentru n=1 această egalitate este verificată direct. Lasă permutarea ( n-1) ordinul se descompune în k cicluri. Număr n poate fi adăugat după orice număr din bucla corespunzătoare. Toate permutările rezultate sunt diferite și conțin k cicluri, numărul lor ( n-1)· s(n-1,
k). Din orice permutare ( n-1) ordinul care conține k-1 ciclu, se poate forma o singură permutare n comanda care contine k cicluri prin adăugarea unui ciclu format dintr-un număr singular n. Evident, această construcție descrie toate permutările n-ordinea care contine k cicluri. Astfel egalitatea este dovedită. Exemplu Primele rânduri: ÎN combinatorică
Număr Stirling de al doilea fel din n De k, notat cu sau, este numărul de neordonate despărțitori
n-elementar seturi pe k submulţimi nevide. Formula recurentei Numerele Stirling de al doilea fel satisfac recurent raport: Pentru n ≥ 0, Pentru n > 0, Formula explicita Exemplu Valorile inițiale ale numerelor Stirling de al doilea fel sunt date în tabel: Proprietăți Bijectiv O mapare este o mapare care are proprietățile de a fi injectivă și surjectivă în același timp.
Teorema 1: λ ≥ π/2
Teorema 2: λ ≤ √3
În această construcție, regula principală a fost încălcată - nu încreți hârtia. Dar este ușor de înțeles că, dacă lungimea benzii este cel puțin puțin mai mare de √3, atunci ruptura de-a lungul generatricei poate fi înlocuită prin îndoirea efectuată într-o secțiune îngustă. Pe scurt, nu ne este frică de o îndoire de-a lungul unui segment drept: poate fi înlocuit cu o îndoire aproape de el. (Sifonarea ireparabilă a hârtiei apare atunci când două linii de pliere se intersectează, adică atunci când foaia este pliată ca o batistă - toate acestea ne sunt cunoscute din experiența de zi cu zi.) Structura sa poate fi imaginată după cum urmează: trei triunghiuri regulate identice ABC, A"B"C", A"B"C" sunt paralele între ele, vârfurile corespunzătoare sunt deasupra vârfurilor corespunzătoare; laturile AB și A"B", B"C" și B"C", C"A" și CA sunt conectate prin jumperi. Linia de lipire trece de-a lungul medianei unuia dintre triunghiuri.De ce nu putem găsi λ mai precis?
Se face așa. Luați un n impar suficient de mare și construiți un n-gon regulat înscris într-un cerc cu diametrul 1. Apoi, luați în considerare n triunghiuri care conțin centrul cercului, fiecare dintre ele delimitat de o latură și două diagonale ale n-gonului ( n=7). Aceste triunghiuri acoperă n-gonul nostru, unele dintre locurile sale - de mai multe ori. Acum să atașăm aceste n triunghiuri unul la celălalt, după care tăiem jumătate din triunghiul din stânga de-a lungul medianei lungi și îl atașăm la triunghiul din dreapta. Rezultatul este o bandă dreptunghiulară cu un raport dintre lungime și lățime mai mare de π/2 și care tinde spre π/2 pe măsură ce n tinde spre ∞ (lățimea benzii tinde spre 1 și lungimea către π/2). Vom plia succesiv această bandă de-a lungul tuturor liniilor trasate pe ea, alternând direcțiile pliului. În acest caz, segmentele AB și CD aproape vor coincide - vor exista doar câteva straturi de hârtie îndoită între ele. Cu această „aproape potrivire”, punctul A va fi aliniat cu D, iar punctul B cu C, deci dacă am putea „trece banda prin ea însăși” și lipici |AB| cu |CD|, ar fi o bandă Möbius. Dacă banda este luată puțin mai mult, ridurile pot fi evitate, așa cum am făcut în demonstrația teoremei 2. Am obținut o bandă Möbius, ale cărei margini sunt separate de mai multe straturi de hârtie, vezi Anexa 1.3. Dar să revenim la banda Möbius. Teorema 1, după cum am văzut, se aplică de fapt benzilor care se intersectează automat. Este puțin probabil ca condiția de non-auto-intersecție să nu afecteze λ; totuși, acest efect nu poate fi luat în considerare, deoarece matematica nu dispune de mijloace tehnice suficiente pentru studierea autointersecțiilor în spațiul tridimensional. Dimpotrivă, este destul de probabil ca Teorema 2 să nu poată fi îmbunătățită. La urma urmei, a-l îmbunătăți înseamnă a veni cu un nou design al benzii. Experiența arată că construcțiile optime pot fi simple și armonioase, ceea ce este construcția din demonstrația Teoremei 2. Este firesc să presupunem că dacă ar exista o construcție mai bună, s-ar găsi – în atâția ani! Ce este o bandă Mobius?
Ce este atât de remarcabil la banda Mobius?
Descoperirea lui August Moebius
„Magia” benzii Mobius
De ce avem nevoie de o buclă Mobius? Aplicație
Banda Mobius - un câmp larg pentru inspirație
17 Numărul de combinații cu repetări
.
.4. Verificarea conditiilor initiale folosind formula rezultata.
,
era finită. În acest caz, poate fi specificat prin simpla enumerare a perechilor „valoare-variabilă”. Deoarece fiecare astfel de substituție poate fi redusă la o succesiune de substituții care înlocuiesc doar o variabilă fiecare, fără pierderea generalității putem presupune că substituția este dată de o pereche. „valoare-variabilă”, care este ceea ce se face de obicei.
: obiectul este neatomic și are aspectul unei aplicații. Apoi;
…………*)
