Magnitudinea unde I este venitul consumatorului, p1p2 este prețul bunului, x2 este cantitatea celui de-al doilea bun. În acest caz există beneficii unu și doi:interschimbabile.

Alege-l pe cel potrivit afirmație în concordanță cu teoria keynesiană a economiei de piață 1) cazul general al echilibrului într-o economie de piață în prezența șomajului, iar ocuparea deplină este doar un caz special; 2) cererea de investiții scade odată cu creșterea ratelor dobânzilor.

Selectați drepturileafirmații puternice, a căror implementare crește fiabilitatea și acuratețea determinării parametrilor modelului economic și matematic. 1. Metodologia acceptată pentru determinarea parametrilor modelului trebuie să fie corectă din punctul de vedere al asigurării fiabilității, 2. Trebuie să existe o cantitate suficientă de informații inițiale despre indicatorii de intrare și de ieșire ai obiectului pentru a găsi modelul matematic, 3. vectorul indicatorilor de intrare trebuie să varieze foarte mult pe intervalul studiat, 4. Acceptat a priori, modelul trebuie să reflecte într-un mod semnificativ tiparele actuale ale obiectului studiat.

Ecuație eșantionadică regresia perechilor y=-3+2x, atunci coeficientul de corelație perechi de eșantion poate fi egal cu ..(-3,2,0.6,-2,-0.6) ...0,7 sau 0,6.

Selectiv Ecuația de regresie perechi are forma y=-3+2x. Atunci coeficientul de corelație al perechii de eșantioane poate fi egal cu: 0,7.

unde in - coeficient de intensitate incrementală a capitalului; C(t) - volumul consumului; Y(t) - volumul venitului; În ce caz va fi maxim și în ce caz va fi zero dacă C(t) = const: maximul este atins la , și este egal cu zero la Y(0)=C(0).

Ipoteze, utilizat în derivarea funcției cererii de muncă în modelul clasic al unei economii de piață: Firmele sunt complet competitive în furnizarea de bunuri și angajarea forței de muncă. Cu alte lucruri egale, produsul marginal al muncii scade pe măsură ce crește utilizarea forței de muncă.

Funcții date cerere și oferă S=2p+1,5, unde p este prețul produsului. atunci prețul de echilibru este . RĂSPUNS: x1= 0,34+0,18+340.....x2=0;25+0,53+280.

Funcții datecerere și oferă S=2p+1,5, unde p este prețul produsului. atunci prețul de echilibru =1 .

Funcții date cerere și oferă S=2p+1,5, unde p este prețul produsului. atunci prețul de echilibru = 5,5.

Funcții date cererea q=(p+6)/(p+2) și oferta s=2p-2, unde p este prețul produsului. Atunci prețul de echilibru este: 2.

Sunt date funcțiicererea q=p+6/p+2 și anterioară s=2p-2…..2.

Dacă este salvatcondiții egale, apoi cu o creștere a prețului cererea de bunuri Giffin: ...creştere.

Dacă în modelPentru a lua în considerare decalajul investițional sub forma unui decalaj concentrat, atunci legătura dintre investițiile I(t) și intrarea fondurilor V(t) poate fi reflectată sub forma ecuației...V(t)= I(t-t)().

Dacă de la brutprodusul intern scad taxele de amortizare, obținem:valoare nou creată (N.D.).

Dacă din brut intern produsul scade taxele de amortizare, obținem: produs pur intern.

Dacă cruce coeficientul elasticității prețului cererii >0, atunci...(produsul I înlocuiește j).

Dacă funcţia de producţiey=f(x 1;x 2), atunci proprietatea înseamnă că, odată cu creșterea utilizării unei resurse, eficiența marginal㶠2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Dacă producţia funcția este o funcție omogenă de grad p > 0, apoi cu p = 2 și o creștere a scarii producției de 3 ori, de câte ori crește volumul producției... 9.

Dacă producţiafuncția este o funcție omogenă de grad p > 0, apoi cu p = 2 și o creștere a scarii producției de 4 ori, de câte ori crește volumul producției...16.

Dacă se întâmplă o creștere a venitului consumatorului, apoi cererea se mișcă (indicați afirmația corectă): de la bunuri cu elasticitate scăzută la bunuri cu elasticitate mare. Volumul consumului de bunuri cu elasticitate scăzută este redus.

Dacă PF are vedere y=f(x 1 ;x 2), proprietatea însemnând că odată cu creșterea utilizării unei resurse crește eficiența marginală a unei alte resurse, exprimată prin formula: ¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Dacă este salvat condiții egale, apoi cu o creștere a prețului cererea de bunuri Giffin: creştere.

Dependenta intre costurile productiei iar volumul producţiei se exprimă prin funcţie sunt egale: 3.

Dependenta mîntre costurile de producţie şi volumul producţiei se exprimă prin funcţie .Atunci costul marginal de producţie este sunt egale:23.

Dependentaîntre costurile de producţie C şi volumul de producţie Q se exprimă prin funcţie . Atunci costurile marginale pentru volumul de producție Q = 10 sunt egale cu: .. 3 .

Dependenta intre costul de producție C și volumul de producție Q se exprimă ca C = 20-0,5*Q. Atunci elasticitatea c/c cu volumul de producție Q=10 este egală cu: -1/3.

Productie definitafunctie de forma: Y=3 K 0.5 *L 0.5 atunci produsul mediu al muncii este egal la K=25,L=100……1.5.

Sarcina consumatoruluialegerea este:Aflați numărul de bunuri dintr-un set dat la care utilitatea consumatorului este maximă.

Sarcina alegerea consumatorului este: Problema este de a alege un pachet de consumatori (x, x) care maximizează funcția de utilitate sub o constrângere bugetară dată.

Sarcina consumatorului alegerea este: găsiți numărul de bunuri dintr-o mulțime dată care maximizează funcția de utilitate a consumatorului.

Legea Scăderii eficiența producției se caracterizează prin faptul că odată cu creșterea cantității de resursă utilizată... RĂSPUNS: volum minim posibil de ieșire .

Legea Scăderii eficiența producției se caracterizează prin faptul că, odată cu creșterea cantității de resurse utilizate: Fiecare unitate suplimentară de resursă oferă o creștere din ce în ce mai mică a producției.

Legea Scăderii eficiența producției se caracterizează prin faptul că odată cu creșterea cantității de resurse utilizate.. RĂSPUNS: volumul maxim posibil de ieșire (y) este în creștere.

Din Ec. Slutsky poate fi obținut ( cantitate prețul produsului bunuri). Aceasta corespunde cu: (răspunsuri multiple posibile): 1) produs Giffin, 2) produs cu valoare redusă.

Care sunt ipotezele? sunt utilizate pentru a deriva funcția cererii de muncă în modelul clasic al unei economii de piață: firmele sunt pe deplin competitive atunci când oferă bunuri și angajează forță de muncă; alte lucruri fiind egale, produsul muncii scade pe măsură ce forța sclavilor crește.

Ce s. suplimentarfalsitățile fac dificilă construirea unui EMM.... dificultatea de a efectua un experiment activ în economie.În plus, practic fiecare obiect sau proces economic este unic, ceea ce face imposibilă simpla reproducere a modelelor odată construite.

Ce practicproblemele sunt rezolvate folosind EMM. 1. Analiza obiectelor și proceselor economice 2. Prognoza economică și anticiparea dezvoltării proceselor economice 3. Dezvoltarea deciziilor de management la toate nivelurile economiei.

Ce afirmațiecorespunde soluției problemei cutiei gri translucide: Există informații despre indicatorii de intrare și de ieșire, iar un model al unei anumite structuri este cunoscut sau acceptat ca bază. Sarcina de identificare în acest caz este de a găsi parametrii acestui model.

Ce afirmație corespunde soluției la problema casetei gri: Pe lângă parametrii de intrare și de ieșire, este specificat sistemul de operare al convertorului. să fie redus la anumite pagini parm-th.

Ce afirmație, conform modelului lui Keynes, va fi adevărat:Când ratele dobânzilor cresc, cererea consumatorilor crește și cererea de investiții scade(Cererea de bunuri de larg consum crește liniar odată cu creșterea ofertei de bunuri, Cererea de bunuri de investiții scade liniar odată cu creșterea ratei dobânzii).

Produs finalîntr-un model de echilibru dinamic comparativ cu produsul final într-un model de echilibru static nu include export.

Produs finalîntr-un model de echilibru dinamic în comparație cu produsul final într-un model de echilibru static nu include: investiții de capital intersectoriale.

Coeficient elasticitatea cererii la preț E ii p<-1. Это соответствует товару с: elasticitate mare a cererii.

Echilibrul macroeconomic modelele sunt considerate a fi acelea care descriu o stare a economiei când rezultanta tuturor forțelor care tind să scoată economia din această stare este egală cu 0.

model Leontiev(balanța statică) include o ecuație de forma: x i -Sa ij =y j .

Model inter-industrialbilanţul produselor fabricate de volumul X1 şi X2 cu o matrice de coeficienţi de cost direct iar produsul final într-un volum de 340, respectiv 280 de unități are forma: x 1 =0,34x 1 +0,18x 2 +340; x 2 =0,25x 2 +0,53x 2 +280..

Modelul Törnqvist n tip „cerere-venit”. (alte litere): răspuns : bunuri de lux (grupa 2).

Modelul Törnqvist, „cerere-venit” de forma Y=a 3 Z(Z-b 3)/Z+C 3:obiecte de lux.

Modelul Harrod-Domar sub forma unei ecuații diferențiale
are urmatoarea solutie: ).

Pe o izocuanta Funcția de producție Cobb-Douglas:

Pe net

Pe net trusele de consum indiferență au: aceleasi valori RĂSPUNS: V(t)= I(t-τ).

La productieCobb-Douglas funcţionează pe izocuanta: sunt prezentate combinații de valori ale capitalului și muncii, oferind aceeași producție.

De-a lungul linieisetul de consumator indiferență are:acelaşi nivel de satisfacţie a nevoilor individului.

Pe măsură ce cresc cererea de venit se deplasează (indicați afirmația corectă): RĂSPUNS: Pe măsură ce venitul crește, cererea trece de la bunuri din prima și a doua grupă la bunuri din a treia și a patra grupă, în timp ce consumul de bunuri din primul grup scade în termeni absoluti.

Pe măsură ce cresccererea de venit se deplasează (indicați afirmația corectă): De la mărfuri cu elasticitate scăzută la mărfuri cu elasticitate mare.Volumul de consum al mărfurilor cu elasticitate scăzută este redus.

Limită de utilitatePrimul produs u = 8 și al doilea produs u = 2. cu cât ar trebui un individ să mărească consumul de 2 produse dacă a redus consumul primului produs cu o unitate...4.

Utilități marginale primul produs , și al doilea produs . Cu cât ar trebui un individ să mărească consumul celui de-al doilea produs dacă a scăzut consumul primului produs cu o unitate? răspuns: nu sunt sigur: 3.

Folosindnotații: - ponderea investiției brute în PIB, a - ponderea produsului intermediar în producția brută, X (t) - producția brută în modelul Solow, valoarea fondului de consum neproductiv C (t) este determinată de formula :С(t)=(1- ) *(1-a)*X(t).

Când se analizeazăModelul lui Leontiev (balanța de intrare statistică) arată că suma produselor finale și suma produselor nete condiționat:…egale între ele.

Folosind notație: - ponderea investiției brute în produsul intern brut, A- ponderea produsului intermediar în producția brută, X(t) - producția brută în modelul R. Solow, valoarea fondului de consum neproductiv C(t) se află prin formula: C(t)=(1-j)*(1-a)*X(t) .

Cu putin creșterea volumului producției costuri variabile condiționat pentru 1 produs: rămâne neschimbat. (creștere, poate)

Când descrii Pentru studiul procesului cu ajutorul PFCD, efectele private au fost următoarele: pentru fonduri E k = 2, pentru muncă E l = 8. În acest caz, eficiența generalizată E este egală cu: 16.

Când descrii Răspuns: 3 (2 la puterea o.5 înmulțit cu 4,5 la puterea o.5).

Când descrii de 3 ori (2 nu exact)

Când descriiprocesul studiat folosind funcţia de producţie Cobb-Douglas a formei private…..eficientele au fost urmatoarele: pentru fonduri Ek=2, pentru munca EL=4,5. În acest caz, indicatorul generalizat de eficiență E este egal cu. .. 3( 2 la puterea o.5 înmulțit cu 4,5 la puterea o.5).

Când descriiprocesul studiat folosind funcţia de producţie Cobb-Douglas a formei private…..eficientele au fost urmatoarele: pentru fonduri Ek=2, pentru munca EL=8. În acest caz, indicatorul generalizat de eficiență E este egal cu:4 sau 16.

Când descrii procesul studiat folosind funcţia de producţie Cobb-Douglas a formei private…..eficientele au fost urmatoarele: pentru fonduri Ek=2, pentru munca EL=4,5. În acest caz, indicatorul generalizat de eficiență E este egal cu.

Când descrii al procesului studiat, folosind funcția de producție Cobb-Douglas, a devenit cunoscut faptul că indicatorul generalizat de eficiență a producției este E = 1,5, iar scara de producție este M = 2. În acest caz, producția brută a crescut De 3 ori.

La construireaEMM bazat pe indicatorii cunoscuți de intrare și ieșire ai unui obiect este cel mai adesea folosit ca criteriu pentru apropierea reflectării modelului a proprietăților de control...suma minimă a diferențelor pătrate.

Când este acceptatnotaţie...Retragerea capitalului și valoarea investiției brute.

Când este acceptatnotația f(Kо) - productivitatea muncii pe o traiectorie staționară, - raportul capital-muncă pe o traiectorie staționară se pare ca...().

Când este acceptat Notarea în modelul Solow, condiția ca economia să atingă o traiectorie staționară are răspunsul de formă: k(t)=k la puterea 0=const.

Cu notaţia acceptată…una dintre ecuațiile din modelul lui R. Solow în unități relative va avea forma: dk(t)/dt=(-(g+m)k(t)/(1)+j(1 -A)f/(2) În această ecuație, termenii (1) și (2) reflectă impactul asupra modificării raportului capital-muncă.

În afară de asta condiții egale cu creșterea prețurilor cererea pentru bunuri Giffin cererea pentru tot este în creștere .

La hotărâre ;p1x1+p2x2=I unde I=1000, p1=5, p2=10ed.. Care este cantitatea primului produs al celui de-al doilea produs….100 de unități - 1 produs și 50 de unități - a doua.

La hotărâreproblemele de alegere ale consumatorilor au primit un sistem de ecuații ;p1x1+p2x2=I unde I=1000, p1=10, p2=5ed.. Care este cantitatea din primul produs al celui de-al doilea produs? ….50, 100.

La cresterevenit, cererea pentru un produs la un preț constant de obicei...Creșteri (modificări conform legii sinusoidale).

Productie Sunt o funcție , atunci produsul marginal la Kt=4, Lt=25 este egal cu 2,5.

Funcția de producție , atunci produsul marginal la Kt=4, Lt=25 este egal cu...0.2.

Productie Kt=1100, Lt=9900. Care este rentabilitatea marginală a capitalului?...1,5 (sau 10)

Funcția de producție drăguț numit: Funcție de producție liniară, aditivă.

Funcția de producție este dat ca X t =K t 0.5 ´L t 0.5, unde K t este capitalul, L t este munca. Atunci produsul marginal al muncii ¶У/¶L la K t =16, L t =25 este egal cu: 0,4.

Funcția de producție Cobb-Douglas are aspectul unde Kt=4000, Lt=10. Care este productivitatea marginală a muncii? Răspuns: 10.

ProductieFuncția Cobb-Douglas are forma unde Kt=9000, Lt=10. Care este productivitatea marginală a muncii?...15.

Productie Funcția Cobb-Douglas arată ca așteptarea matematică a factorului de corecție este .. = 1.

Funcția de producție Cobb-Douglas are forma:X t =K t 0,5 ´L t 0,5;K t =900,L t =10. Care este productivitatea marginală a muncii ¶Х/¶L: 15.

Productie O funcție se numește dinamică dacă: 1) timpul t apare ca o variabilă independentă care afectează volumul de ieșire 2) Parametrii PF depind de timp 3) Caracteristicile PF depind de timp.

Funcția de producție Acest- o astfel de funcție, a cărei variabilă independentă ia valorile volumelor resursei utilizate (factor de producție), iar variabila dependentă ia valorile volumelor de ieșire y=f(x).

Productie-tion K-D are forma cu ce procent va crește producția Xt când capitalul Kt crește cu 1 % (0,4).

Productieo functie se numeste dinamica daca:Apare timpul t..Parametrii PF depind de timp …. Caracteristicile funcției de producție depind de timp.

Intermediarprodusul din schema care reflectă relația indicatorilor macroeconomici într-o economie închisă a țării este:mijloace de muncă şi bunuri de consum.

Procesul de constituirepreț de echilibru în modelul pânză de păianjen...Ramane neschimbat.

Lasă funcția utilitatea are forma , prețurile inițiale ale mărfurilor și . Venitul individului este de 2000 de unități, iar setul optim de bunuri ; Dacă prețul s-a dublat de patru ori, atunci care va fi venitul compensat al individului și valorile setului optim de bunuri? :I k =2000; x 1 =50; x 2 =40.

Lasă funcția utilitatea are forma u(x1;x2)=x1*x2, prețurile inițiale ale bunurilor P1 și P2. Venitul individual = 1000 de unități, iar setul optim de bunuri x1 = 100 de unități, x2 = 20 de unități. Dacă prețul a crescut de 4 ori, atunci cu ce vor fi egale venitul compensat al individului și valorile setului optim de bunuri (x1 x2)? 2000 50,40.

Modele de echilibrusunt considerate...Modele care descriu o astfel de stare de ek-ki, când rezultanta tuturor forțelor. (răspunsul este egal cu 0)

Poziţieîn ordinea corectă etapele construcției FUI: 1. Enunțarea problemei economice și analiza calitativă a acesteia 2. Construirea unui model matematic 3. Analiza matematică a modelului 4. Pregătirea informațiilor inițiale 5. Rezolvarea numerică 6. Analiza rezultatelor numerice și aplicarea acestora.

Poziţieîn ordinea corectă etapele construcției unui EMM: 1. Enunțarea problemei economice și analiza calitativă a acesteia 2. Construirea unui model matematic 3. Analiza matematică a modelului 4. Pregătirea informațiilor inițiale 5. Rezolvarea numerică 6. Analiza rezultatelor numerice și aplicarea acestora.

Cu ajutorul căruia model (sub forma unei formule) este posibil să reflecte producția brută, produsul intermediar, produsul intern brut la nivelul economiei țării: Modelul echilibrului lui Leontiev.

Prin utilizareace model poate reflecta dependența producției brute și a resurselor utilizate la nivelul economiei țării: ...Model Cobb-Douglas (PFKD)

Prin utilizareace model (sub forma unei formule).. relația dintre indicatorii VP, produs intermediar, PIB….Modelul echilibrului lui Leontiev.

Sistem de ecuații in modelul Leontiev se numeste productiv daca este rezolvabil. răspuns: în nenegativ Xi>0, cu i=1÷n.

ConformÎn modelul clasic al unei economii de piață, oferta de bunuri este determinată de: nivel de ocupare deplină.

Conformmodelul clasic al unei economii de piata, cu acelasi PIB, o crestere a masei monetare va duce la...O creștere a prețului unei unități de PIB.

Conform modeluluiRegula „de aur” a acumulării lui Solow corespunde unei rate de acumulare egală cu coeficientul de α-elasticitate pentru capitalul fizic.phi=1.

Conform modelului Harrord-Domar la ce…..creșterea volumului consumului va fi egală cu rata creșterii veniturilor: RĂSPUNS: r< 1/в, r=p .

Conform modelului Harrord-Domar, la ce…..r creștere a volumului consumului va fi egală cu rata de creștere a venitului: RĂSPUNS: dacă r = р0, р0 = а0 /В, а0 este rata de acumulare la începutul moment de timp.

Conform staticului Modelul Leontief, dacă produsul final al primei industrii este y1 = 1000 unități, iar producția brută x1 = 2500 unități, care este volumul de producție al primei industrii consumat de alte industrii? 1.5.(1500 sau 3500).

Conform staticului Modelul Leontief, dacă produsul final al primei industrii este y1 = 1500 unități, iar producția brută x1 = 3500 unități, care este volumul de producție al primei industrii consumat de alte industrii? 2000 de unitati .

Model staticLeontiev include ecuații de forma…. .

Condițional pur pproducția în balanța intersectorială include...Amortizarea, munca si venitul net.

Functie utilitara consumul are forma .Pretul pentru bunul x este egal cu 10, pentru bunul y este egal cu 5, venitul consumatorului este egal cu 200. Atunci setul optim de bunuri de consum are forma: 10,20.

Functie utilitaraconsumul are forma .Prețul pentru bunul x este 5, pentru bunul y este 10, venitul consumatorului este 200. Atunci setul optim de bunuri de consum are forma...20.10.(200 sau 400)

Functie utilitaraconsumatorul are proprietăți... utilitatea marginală scade dacă consumul scade; o creștere a consumului unui produs duce la o creștere a utilității; (utilitatea marginală a fiecărui produs crește dacă crește cantitatea altui produs).

Prețul de vânzare un produs este egal cu 7 unități. Costurile fixe sunt egale cu 8000 de unități. Costurile variabile sunt egale cu 5 unități. pentru 1 bucata Care este volumul de producție în pragul de rentabilitate? 4000 de unitati

Cu ce ​​este egal în model Cererea Keynes de obligațiuni dacă masa monetară = 1000 de unități. , viteza de rotație a banilor pe piața reală este k=0,1, prețul unei unități de PIB este p=0,5 unități, valoarea PIB este de 10.000 de unități... 500.

Ce este egal cuîn modelul lui Keynes, cererea de obligațiuni dacă oferta de bani = 1000 de unități. , viteza de rotație a banilor pe piața reală este k=0,1, prețul unei unități de PIB este p=0,2 unități, valoarea PIB este de 10.000 de unități... 800.

Să fie dată o funcție u=f(M) și, în același timp, să fie introdus un sistem de coordonate. Atunci un punct arbitrar M este determinat de coordonatele x, y. În consecință, valoarea acestei funcții în punctul M este determinată de coordonatele x, y sau, după cum se spune, u=f(M) este funcția a două variabile x și y. O funcție a două variabile x și y se notează prin simbolul f(x; y): dacă f(M)=f(x;y), atunci formula u=f(x; y) se numește expresia acestei funcţionează în sistemul de coordonate selectat. Deci, în exemplul anterior f(M)=AM; dacă introducem un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian cu originea în punctul A, obținem expresia pentru această funcție:

u=sqrt(x^2 + y^2)

PROBLEMA 3688 Dată o funcție f (x, y)=x^2–y^2–16.

Ecuații de linii parametrice

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

Când t se schimbă, valorile x și y se vor schimba, în general, prin urmare, punctul M se va deplasa. Se numesc egalităţi (1). ecuații de linii parametrice, care este traiectoria punctului M; argumentul t se numește parametru. Dacă parametrul t poate fi exclus din egalitățile (1), atunci obținem ecuația traiectoriei punctului M sub forma

Să trecem în revistă * Care ecuație se numește pătratică? * Ce ecuații se numesc ecuații pătratice incomplete? * Care ecuație pătratică se numește redusă? * Ce se numește rădăcina unei ecuații pătratice? * Ce înseamnă să rezolvi o ecuație pătratică? Care ecuație se numește pătratică? Ce ecuații se numesc ecuații pătratice incomplete? Ce ecuație pătratică se numește redusă? Care este rădăcina unei ecuații pătratice? Ce înseamnă să rezolvi o ecuație pătratică? Care ecuație se numește pătratică? Ce ecuații se numesc ecuații pătratice incomplete? Ce ecuație pătratică se numește redusă? Care este rădăcina unei ecuații pătratice? Ce înseamnă să rezolvi o ecuație pătratică?

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice: 1. Determinați cea mai rațională modalitate de a rezolva o ecuație pătratică 2. Alegeți cea mai rațională modalitate de rezolvare 3. Determinarea numărului de rădăcini ale unei ecuații pătratice 4. Găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice Pentru mai bine memorare, completați tabelul... Pentru o memorare mai bună, completați tabelul... Pentru o memorare mai bună, completați tabelul...

Condiție suplimentară Ecuație Rădăcini Exemple 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1.2 = ±(c/a), unde c/a 0. b) dacă c/a 0, atunci nu există soluții 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1.2 =(-b±D)/2 a, unde D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – număr par (b = 2k), a 0, în 0, c 0 х 2 + 2kx + c = 0 x 1.2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, unde k = 6. Teorema inversă teoremei lui Vieta x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. Metode speciale 7. Metoda izolării pătratului unui binom. Scop: Reduceți o ecuație generală la o ecuație pătratică incompletă. Notă: metoda este aplicabilă oricăror ecuații pătratice, dar nu este întotdeauna convenabilă de utilizat. Folosit pentru a demonstra formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Exemplu: se rezolvă ecuația x 2 -6 x+8=0 8. Metoda „transferării” celui mai mare coeficient. Rădăcinile ecuațiilor pătratice ax 2 + bx + c = 0 și y 2 +by+ac=0 sunt legate prin relațiile: și Notă: metoda este bună pentru ecuațiile pătratice cu coeficienți „convenienți”. În unele cazuri, vă permite să rezolvați o ecuație pătratică pe cale orală. Exemplu: rezolvați ecuația 2 x 2 -9 x-5=0 Pe baza teoremelor: Exemplu: rezolvați ecuația 157 x x-177=0 9. Dacă într-o ecuație pătratică a+b+c=0, atunci unul dintre rădăcinile este 1, iar a doua, conform teoremei lui Vieta, este egală cu c / a 10. Dacă într-o ecuație pătratică a + c = b, atunci una dintre rădăcini este egală cu -1, iar a doua, conform lui Vieta teorema, este egală cu -c / a Exemplu: rezolvați ecuația 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a

III. Metode generale de rezolvare a ecuaţiilor 11. Metoda factorizării. Scop: Reduceți o ecuație pătratică generală la forma A(x)·B(x)=0, unde A(x) și B(x) sunt polinoame în raport cu x. Metode: Scoaterea factorului comun din paranteze; Utilizarea formulelor de înmulțire prescurtate; Metoda de grupare. Exemplu: se rezolvă ecuația 3 x 2 +2 x-1=0 12. Metoda introducerii unei noi variabile. Alegerea bună a unei noi variabile face ca structura ecuației să fie mai transparentă Exemplu: rezolvați ecuația (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8

Fie un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian Oxy și o dreaptă L pe planul .

Definiție. Ecuația F(x;y)=0 (1) numit ecuația drepteiL(față de un sistem de coordonate dat), dacă această ecuație este îndeplinită de coordonatele x și y ale oricărui punct situat pe dreapta L și nu de coordonatele x și y ale oricărui punct care nu se află pe dreapta L.

Acea. linie pe un avion este locul punctelor (M(x;y)) ale căror coordonate satisfac ecuația (1).

Ecuația (1) definește linia L.

Exemplu. Ecuația unui cerc.

Cerc– o mulțime de puncte echidistante de un punct dat M 0 (x 0,y 0).

Punctul M 0 (x 0,y 0) – centrul cercului.

Pentru orice punct M(x;y) situat pe cerc, distanța MM 0 =R (R=const)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 +(oooh 0 ) 2 =R 2 –(2) – ecuația unui cerc de rază R cu centrul în punctul M 0 (x 0,y 0).

Ecuația parametrică a unei linii.

Fie coordonatele x și y ale punctelor de pe dreapta L să fie exprimate folosind parametrul t:

(3) – ecuația parametrică a dreptei în DSC

unde funcţiile (t) şi (t) sunt continue faţă de parametrul t (într-un anumit interval de variaţie a acestui parametru).

Excluzând parametrul t din ecuația (3), obținem ecuația (1).

Să considerăm dreapta L ca traseul parcurs de un punct material care se mișcă continuu după o anumită lege. Fie variabila t să reprezinte timpul numărat dintr-un moment inițial. Atunci specificarea legii mișcării reprezintă specificarea coordonatelor x și y ale punctului în mișcare ca niște funcții continue x=(t) și y=(t) ale timpului t.

Exemplu. Să derivăm o ecuație parametrică pentru un cerc de rază r>0 cu centrul la origine. Fie M(x,y) un punct arbitrar al acestui cerc și t unghiul dintre vectorul rază și axa Ox, numărat în sens invers acelor de ceasornic.

Atunci x=r cos x y=r sin t. (4)

Ecuațiile (4) sunt ecuații parametrice ale cercului luat în considerare. Parametrul t poate lua orice valoare, dar pentru ca punctul M(x,y) să meargă în jurul cercului o dată, domeniul de modificare a parametrului este limitat la jumătatea segmentului 0t2.

Prin pătrarea și adunarea ecuațiilor (4), obținem ecuația generală a unui cerc (2).

2. Sistemul de coordonate polare (psc).

Să alegem axa L ( axa polară) și determinați punctul acestei axe O ( pol). Orice punct din plan este definit în mod unic de coordonatele polare ρ și φ, unde

ρ – raza polară, egală cu distanța de la punctul M la polul O (ρ≥0);

φ – colţîntre direcția vectorială OMși axa L ( unghi polar). M(ρ ; φ )

Ecuația liniilor în UCS se poate scrie:

ρ=f(φ) (5) ecuația explicită a dreptei în UCS

F=(ρ; φ) (6) ecuație implicită a liniilor în UCS

Relația dintre coordonatele carteziene și cele polare ale unui punct.

(X y) (ρ ; φ ) Din triunghiul OMA:

tan φ=(refacerea unghiuluiφ conform celor cunoscutese produce tangentaținând cont în ce cadran se află punctul M).(ρ ; φ )(X y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

Exemplu . Aflați coordonatele polare ale punctelor M(3;4) și P(1;-1).

Pentru M:=5, φ=arctg (4/3). Pentru P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Clasificarea liniilor plate.

Definiția 1. Linia este numită algebric, dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene, dacă este definit de ecuația F(x;y)=0 (1), în care funcția F(x;y) este un polinom algebric.

Definiția 2. Fiecare linie non-algebrică este numită transcendental.

Definiția 3. Linia algebrică se numește linie de ordinen, dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene această dreaptă este determinată de ecuația (1), în care funcția F(x;y) este un polinom algebric de gradul al n-lea.

Astfel, o linie de ordinul n este o linie definită într-un sistem dreptunghiular cartezian printr-o ecuație algebrică de grad n cu două necunoscute.

Următoarea teoremă contribuie la stabilirea corectitudinii definițiilor 1,2,3.

Teorema(document la p. 107). Dacă o linie dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene este determinată de o ecuație algebrică de grad n, atunci această linie din orice alt sistem de coordonate dreptunghiular carteziene este determinată de o ecuație algebrică de același grad n.