Mai sus, a fost specificată o variabilă aleatoare continuă folosind funcția de distribuție. Această metodă de atribuire nu este singura. O variabilă aleatoare continuă poate fi specificată și folosind o funcție numită densitatea distributiei sau probabilitate densitate (adesea numit functie diferentiala ).

Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X apelați funcția f(x)- derivata prima a functiei de distributie F(x):

f (x)= F" (x).

Din această definiție rezultă că funcția de distribuție este antiderivat pentru densitatea distribuţiei. Cunoscând densitatea distribuției, puteți calcula probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia o valoare aparținând unui interval dat.

Teorema. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua o valoare aparținând intervalului ( a, b), este egală cu o anumită integrală a densității de distribuție, luată în intervalul de la A inainte de b:

Cunoscând densitatea distribuției f(x), putem găsi funcția de distribuție F(x) conform formulei

.

Proprietățile densității de distribuție:

Proprietatea 1. Densitatea distribuției este o funcție nenegativă:
.

Din punct de vedere geometric, această proprietate înseamnă că punctele aparținând graficului densității distribuției sunt situate fie deasupra axei Oh, sau pe această axă. Se numește graficul densității distribuției curba de distributie .

Proprietatea 2. Integrală necorespunzătoare a densității de distribuție variind de la
inainte de
egal cu unu:

.

Geometric, aceasta înseamnă că întreaga zonă a trapezului curbiliniu delimitată de axa Ox și curba de distribuție este egală cu unu.

În special, dacă toate valorile unei variabile aleatoare aparțin intervalului ( a, b), Acea

.

Așteptarea unei variabile aleatoare discrete

Legea distribuției caracterizează pe deplin variabila aleatoare. Cu toate acestea, este adesea necunoscut în prealabil și trebuie să folosiți informații indirecte. În multe cazuri, aceste caracteristici indirecte sunt destul de suficiente pentru rezolvarea problemelor practice și nu este nevoie să se determine legea distribuției. Se numesc astfel de caracteristici caracteristici numerice ticks ale unei variabile aleatorii. Și prima dintre ele este așteptarea matematică.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete X este suma produselor tuturor valorilor sale posibile ( X 1 , X 2 , …, x n) pe probabilitatea lor ( p 1 , p 2 , …, p n):

Trebuie remarcat faptul că M(X) Există Nu la nimereală (constant. Se poate dovedi că M(X) este aproximativ egală (și cu cât este mai precisă, cu atât este mai mare numărul de teste n) media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare.

Aşteptarea matematică are următoarele proprietăți:

· Valorea estimata constant egal cu cel mai constant:

.

· Multiplicator constant poate fi luat ca un semn al așteptărilor matematice:

.

· Valorea estimata lucrări două variabile aleatoare independente XȘi Y(adică legea de distribuție a unuia dintre ele nu depinde de valorile posibile ale celuilalt) este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:

· Valorea estimata sume două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:

Aici mai jos Cantitate X+Y variabile aleatoare sunt înțelese ca o nouă variabilă aleatoare ale cărei valori sunt egale cu sumele fiecărei valori X cu toate valorile posibile Y; probabilităţi ale valorilor posibile X+Y pentru variabile aleatoare independente XȘi Y sunt egale cu produsele probabilităților termenilor, iar pentru cele dependente - cu produsele probabilităților unui termen prin probabilitatea condiționată a celuilalt. Astfel, dacă XȘi Y– legile lor de distribuție sunt și ele independente

· Dacă este produs n teste independente, în

fiecare dintre ele este probabilitatea unui eveniment A este constantă și egală p, apoi așteptarea matematică numărul de apariții evenimente A in serie:

.

Rețineți că proprietățile trei și patru sunt ușor generalizate pentru orice număr de variabile aleatoare.

Varianta unei variabile aleatoare discrete

Valoarea așteptată este o caracteristică convenabilă, dar adesea nu este suficientă pentru a aprecia posibilele valori ale unei variabile aleatoare sau modul în care acestea risipite în jurul valorii medii. Prin urmare, sunt introduse și alte caracteristici numerice.

Lăsa X– variabilă aleatoare cu așteptare matematică M(X). Deviere X 0 este diferența dintre o variabilă aleatoare și așteptarea ei matematică:

.

Așteptarea matematică a abaterii M(X 0) = 0.

Exemplu. Să fie dată legea distribuției cantității X:

Abaterea este o caracteristică intermediară, pe baza căreia introducem o caracteristică mai convenabilă. Varianta (dispersie ) variabila aleatoare discretă este așteptarea matematică a abaterii pătrate a variabilei aleatoare:

De exemplu, să găsim dispersia cantității X cu următoarea lege de distribuție:

Aici . Varianta necesară:

Valoarea varianței este determinată nu numai de valorile variabilei aleatoare, ci și de probabilitățile acestora. Prin urmare, dacă două variabile aleatoare au așteptări matematice identice sau similare (acest lucru se întâmplă destul de des), atunci varianțele sunt de obicei diferite. Acest lucru ne permite să caracterizăm în continuare variabila aleatoare studiată.

Să enumerăm proprietățile dispersiei:

· Varianta constant cantitățile sunt egale cu zero:

.

· Multiplicator constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:

.

· Varianta sume Și diferențe două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile:

· Varianta numărul de apariții evenimente A V n teste independente, în fiecare dintre ele probabilitatea P producerea unui eveniment constant , este determinată de formula:

,

Unde
– probabilitatea de neapariție a unui eveniment.

O caracteristică auxiliară convenabilă folosită în calcule chiar mai des decât D(X), este deviație standard (sau standard ) variabilă aleatorie:

.

Adevărul este că D(X) are dimensiunea pătratului dimensiunii variabilei aleatoare și dimensiunea standardului  X) este aceeași cu cea a variabilei aleatoare X. Acest lucru este foarte convenabil pentru estimarea răspândirii unei variabile aleatoare.

Exemplu. Fie o variabilă aleatorie dată de distribuția:

X	2m	3m	10m
P	0,1	0,4	0,5

Calculăm: m,

și standard: m.

Prin urmare, despre variabila aleatoare X putem spune fie - așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o dispersie de 13,04 m 2, fie - așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o dispersie
m. A doua formulare este evident mai clară.

Rețineți că pentru suma n variabile aleatoare independente:

Puncte teoretice inițiale și centrale

Pentru majoritatea calculelor practice ale caracteristicilor numerice introduse mai sus MX),DX)și  X) suficient. Cu toate acestea, pentru a studia comportamentul variabilelor aleatoare, puteți utiliza și câteva caracteristici numerice suplimentare care vă permit să urmăriți nuanțele comportamentului unei variabile aleatoare și să generalizați teoria de mai sus.

Momentul inițial de ordinul k al unei variabile aleatoare X se numește așteptarea matematică a mărimii X k :

Definiție . Continuu numită variabilă aleatoare care poate lua toate valorile dintr-un interval finit sau infinit.

Pentru o variabilă aleatoare continuă se introduce conceptul de funcție de distribuție.

Definiție. Funcția de distribuție probabilitățile unei variabile aleatoare X este o funcție F(x), care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x, adică:

F(x) = P(X< x)

Adesea, în loc de termenul „funcție de distribuție”, este folosit termenul „funcție de distribuție cumulativă”.

Proprietățile funcției de distribuție:

1. Valorile funcției de distribuție aparțin segmentului:

0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Funcția de distribuție este o funcție nedescrescătoare, adică:

dacă x > x,

atunci F(x) ≥ F(x).

3. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare cuprinsă într-un interval - o integrală definită
. ☻

Probabilitatea obținută geometric este egală cu aria figurii delimitată în partea de sus de curba de distribuție și bazată pe segmentul [a,b] (Fig. 3.8).

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue poate fi exprimată în termeni de densitate de probabilitate conform formulei:

.

Geometric, funcția de distribuție este egală cu aria figurii delimitată deasupra curbei de distribuție și situată la stânga punctului x (Fig. 3.9).

Din punct de vedere geometric, proprietățile 1 și 4 ale densității de probabilitate înseamnă că graficul său - curba de distribuție - nu se află sub axa absciselor, iar aria totală a figurii delimitată de curba de distribuție și axa absciselor este egală cu unu.

1. O variabilă aleatoare distribuită în conformitate cu legea binomială, așteptările și varianța sa matematică. Legea distribuției Poisson.

Definiție. Variabila aleatoare discretă X are legea distribuției binomiale cu parametrii npq, dacă ia valori 0, 1, 2,..., m,... ,n cu probabilități

unde 0<р

După cum vedem, probabilitățile P(X=m) se găsesc folosind formula Bernoulli, prin urmare, legea distribuției binomiale este legea distribuției numărului X=m apariții ale evenimentului A în n încercări independente, în fiecare dintre ele. poate apărea cu aceeași probabilitate p .

Seria de distribuție a legii binomiale are forma:

Este evident că definiția legii binomiale este corectă, deoarece proprietatea principală a unei serii de distribuție
făcut pentru că nu este altceva decât suma tuturor termenilor expansiunii binomului lui Newton:

Valorea estimata variabila aleatoare X, distribuita conform legii binomiale,

și variația acesteia

Definiție. Variabila aleatoare discretă X are Legea distribuției Poisson cu parametrul λ > 0, dacă ia valorile 0, 1, 2,..., m, ... (un set infinit, dar numărabil de valori) cu probabilități
,

Seria de distribuție a legii Poisson are forma:

Este evident că definiția legii lui Poisson este corectă, deoarece proprietatea principală a seriei de distribuție
mulțumit, deoarece suma seriei.

În fig. Figura 4.1 prezintă un poligon (poligon) al distribuției unei variabile aleatoare distribuite conform legii lui Poisson Р(Х=m)=Р m (λ) cu parametrii λ = 0,5, λ = 1, λ = 2, λ = 3,5.

Teorema. Așteptări și variații ale unei variabile aleatoare distribuite conform legii lui Poisson coincid și sunt egale cu parametrul λ al acestei legi, i.e.

Și

"