Înapoi la școală, fiecare dintre noi a studiat ecuațiile și, cel mai probabil, sistemele de ecuații. Dar nu mulți oameni știu că există mai multe modalități de a le rezolva. Astăzi vom analiza în detaliu toate metodele de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare care constau din mai mult de două egalități.
Poveste
Astăzi se știe că arta de a rezolva ecuații și sistemele lor își are originea în Babilonul și Egiptul antic. Cu toate acestea, egalitățile în forma lor familiară au apărut după apariția semnului egal „=", care a fost introdus în 1556 de matematicianul englez Record. Apropo, acest semn a fost ales dintr-un motiv: înseamnă două segmente paralele egale. Într-adevăr, nu există un exemplu mai bun de egalitate.
Fondatorul desemnărilor moderne de litere pentru necunoscute și semne de grade este un matematician francez, dar desemnările sale erau semnificativ diferite de cele de astăzi. De exemplu, el a notat un pătrat al unui număr necunoscut cu litera Q (lat. „quadratus”) și un cub cu litera C (lat. „cubus”). Această notație pare incomod acum, dar la acea vreme era cel mai înțeles mod de a scrie sisteme de ecuații algebrice liniare.
Cu toate acestea, un defect în metodele de soluție din acea perioadă a fost că matematicienii considerau doar rădăcini pozitive. Acest lucru se poate datora faptului că valorile negative nu au avut nicio utilitate practică. Într-un fel sau altul, matematicienii italieni Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano și Raphael Bombelli au fost primii care au numărat rădăcinile negative în secolul al XVI-lea. Iar forma modernă, principala metodă de soluție (prin discriminant) a fost creată abia în secolul al XVII-lea datorită lucrării lui Descartes și Newton.
La mijlocul secolului al XVIII-lea, matematicianul elvețian Gabriel Cramer a găsit o nouă modalitate de a ușura rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Această metodă a fost numită ulterior după el și o folosim și astăzi. Dar despre metoda lui Cramer vom vorbi puțin mai târziu, dar deocamdată să discutăm despre ecuațiile liniare și metodele de rezolvare a acestora separat de sistem.
Ecuatii lineare
Ecuațiile liniare sunt cele mai simple ecuații cu o variabilă (variabile). Ele sunt clasificate drept algebrice. scris în formă generală astfel: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Va trebui să le reprezentăm în această formă atunci când compilăm sisteme și matrice mai târziu.
Sisteme de ecuații algebrice liniare
Definiția acestui termen este: este un set de ecuații care au cantități comune necunoscute și o soluție comună. De regulă, la școală toată lumea a rezolvat sisteme cu două sau chiar trei ecuații. Dar există sisteme cu patru sau mai multe componente. Să ne dăm seama mai întâi cum să le scriem, astfel încât să fie convenabil să le rezolvăm în viitor. În primul rând, sistemele de ecuații algebrice liniare vor arăta mai bine dacă toate variabilele sunt scrise ca x cu indicele corespunzător: 1,2,3 și așa mai departe. În al doilea rând, toate ecuațiile ar trebui aduse la forma canonică: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.
După toți acești pași, putem începe să vorbim despre cum să găsim soluții la sistemele de ecuații liniare. Matricele vor fi foarte utile pentru aceasta.
Matrici
O matrice este un tabel care constă din rânduri și coloane, iar la intersecția lor se află elementele sale. Acestea pot fi fie valori specifice, fie variabile. Cel mai adesea, pentru a indica elemente, sub acestea sunt plasate indicele (de exemplu, un 11 sau un 23). Primul index înseamnă numărul rândului, iar al doilea - numărul coloanei. Pe matrice se pot efectua diverse operații, ca pe orice alt element matematic. Astfel, puteți:
2) Înmulțiți o matrice cu orice număr sau vector.
3) Transpune: transformă rândurile matricei în coloane, iar coloanele în rânduri.
4) Înmulțiți matrice dacă numărul de rânduri ale uneia dintre ele este egal cu numărul de coloane ale celeilalte.
Să discutăm mai detaliat toate aceste tehnici, deoarece ne vor fi utile în viitor. Scăderea și adăugarea matricelor este foarte simplă. Deoarece luăm matrice de aceeași dimensiune, fiecare element al unui tabel se corelează cu fiecare element al celuilalt. Astfel, adunăm (scădem) aceste două elemente (este important ca ele să stea în aceleași locuri în matricele lor). Când înmulțiți o matrice cu un număr sau un vector, pur și simplu înmulți fiecare element al matricei cu acel număr (sau vector). Transpunerea este un proces foarte interesant. Este foarte interesant să îl vezi uneori în viața reală, de exemplu, când schimbi orientarea unei tablete sau a unui telefon. Pictogramele de pe desktop reprezintă o matrice, iar atunci când poziția se schimbă, aceasta se transpune și devine mai lată, dar scade în înălțime.
Să ne uităm la un alt proces precum: Deși nu vom avea nevoie de el, va fi totuși util să îl cunoaștem. Puteți înmulți două matrice numai dacă numărul de coloane dintr-un tabel este egal cu numărul de rânduri din celălalt. Acum să luăm elementele unui rând dintr-o matrice și elementele coloanei corespunzătoare a alteia. Să le înmulțim unul cu celălalt și apoi să le adunăm (adică, de exemplu, produsul elementelor a 11 și a 12 cu b 12 și b 22 va fi egal cu: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Astfel, se obține un element al tabelului și este completat în continuare folosind o metodă similară.
Acum putem începe să luăm în considerare modul în care este rezolvat un sistem de ecuații liniare.
metoda Gauss
Acest subiect începe să fie tratat în școală. Cunoaștem bine conceptul de „un sistem de două ecuații liniare” și știm cum să le rezolvăm. Dar dacă numărul de ecuații este mai mare de două? Acest lucru ne va ajuta
Desigur, această metodă este convenabilă de utilizat dacă faceți o matrice din sistem. Dar nu trebuie să o transformi și să o rezolvi în forma sa pură.
Deci, cum rezolvă această metodă sistemul de ecuații liniare gaussiene? Apropo, deși această metodă poartă numele lui, a fost descoperită în vremuri străvechi. Gauss propune urmatoarele: sa efectueze operatii cu ecuatii pentru a reduce in final intregul multime la o forma treptata. Adică este necesar ca de sus în jos (dacă este aranjat corect) de la prima ecuație la ultima necunoscută să scadă. Cu alte cuvinte, trebuie să ne asigurăm că obținem, să zicem, trei ecuații: în prima sunt trei necunoscute, în a doua sunt două, în a treia există una. Apoi din ultima ecuație găsim prima necunoscută, înlocuim valoarea acesteia în a doua sau în prima ecuație și apoi găsim celelalte două variabile.
Metoda Cramer
Pentru a stăpâni această metodă, este vital să ai abilitățile de a adăuga și scădea matrice și, de asemenea, trebuie să poți găsi determinanți. Prin urmare, dacă faci toate acestea prost sau nu știi deloc cum, va trebui să înveți și să exersezi.
Care este esența acestei metode și cum se face astfel încât să se obțină un sistem de ecuații liniare Cramer? Totul este foarte simplu. Trebuie să construim o matrice de coeficienți numerici (aproape întotdeauna) ai unui sistem de ecuații algebrice liniare. Pentru a face acest lucru, pur și simplu luăm numerele în fața necunoscutelor și le aranjam într-un tabel în ordinea în care sunt scrise în sistem. Dacă în fața numărului există un semn „-”, atunci notăm un coeficient negativ. Deci, am compilat prima matrice de coeficienți pentru necunoscute, fără a include numerele după semnele egale (în mod firesc, ecuația ar trebui redusă la forma canonică, când numai numărul este în dreapta și toate necunoscutele cu coeficienți sunt pe stanga). Apoi trebuie să creați mai multe matrice - câte una pentru fiecare variabilă. Pentru a face acest lucru, înlocuim fiecare coloană cu coeficienți din prima matrice pe rând cu o coloană de numere după semnul egal. Astfel, obținem mai multe matrice și apoi găsim determinanții acestora.
După ce am găsit determinanții, este o chestiune mică. Avem o matrice inițială și există mai multe matrice rezultate care corespund unor variabile diferite. Pentru a obține soluții ale sistemului, împărțim determinantul tabelului rezultat la determinantul tabelului inițial. Numărul rezultat este valoarea uneia dintre variabile. În mod similar, găsim toate necunoscutele.
Alte metode
Există câteva alte metode de obținere a soluțiilor sistemelor de ecuații liniare. De exemplu, așa-numita metodă Gauss-Jordan, care este folosită pentru a găsi soluții la un sistem de ecuații pătratice și este, de asemenea, asociată cu utilizarea matricelor. Există și metoda Jacobi pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Este cel mai ușor de adaptat la un computer și este folosit în calcul.
Cazuri complexe
Complexitatea apare de obicei atunci când numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile. Atunci putem spune cu siguranță că fie sistemul este inconsecvent (adică nu are rădăcini), fie numărul soluțiilor sale tinde spre infinit. Dacă avem al doilea caz, atunci trebuie să scriem soluția generală a sistemului de ecuații liniare. Acesta va conține cel puțin o variabilă.
Concluzie
Aici ajungem la final. Să rezumam: ne-am dat seama ce sunt un sistem și o matrice și am învățat cum să găsim o soluție generală a unui sistem de ecuații liniare. În plus, am luat în considerare și alte opțiuni. Am aflat cum să rezolvăm un sistem de ecuații liniare: metoda Gauss și am vorbit despre cazuri complexe și alte modalități de găsire a soluțiilor.
De fapt, acest subiect este mult mai amplu, iar dacă vrei să-l înțelegi mai bine, îți recomandăm să citești literatură de specialitate.
Sistem omogen de ecuații liniare AX = 0 mereu împreună. Are soluții non-triviale (diferite de zero) dacă r= rang A< n .
Pentru sisteme omogene, variabilele de bază (ai căror coeficienți formează minorul de bază) sunt exprimate prin variabile libere prin relații de forma:
Apoi n-r Soluțiile vectoriale liniar independente vor fi:
iar orice altă soluție este o combinație liniară a acestora. Soluții vectoriale 
formează un sistem fundamental normalizat.
Într-un spațiu liniar, mulțimea soluțiilor unui sistem omogen de ecuații liniare formează un subspațiu de dimensiune n-r; 
- baza acestui subspațiu.
Sistem m ecuații liniare cu n necunoscut(sau, sistem liniar
 |
Aici X 1 , X 2 , …, x n A 11 , A 12 , …, un mn- coeficienții sistemului - și b 1 , b 2 , … b m a iji) și necunoscut ( j
Sistemul (1) este numit omogenb 1 = b 2 = … = b m= 0), în caz contrar - eterogen.
Sistemul (1) este numit pătrat, dacă numărul m ecuații egale cu numărul n necunoscut.
Soluţie sisteme (1) - set n numere c 1 , c 2 , …, c n, astfel încât înlocuirea fiecăruia c iîn loc de x iîn sistemul (1) transformă toate ecuațiile sale în identități.
Sistemul (1) este numit comun nearticulată
Soluții c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) și c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n variat
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
anumit incert. Dacă există mai multe ecuații decât necunoscute, se numește redefinit.
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
Rezolvarea ecuațiilor matriceale ~ metoda Gauss
Metodele de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare sunt împărțite în două grupe:
1. metode precise, care sunt algoritmi finiți pentru calcularea rădăcinilor unui sistem (rezolvarea sistemelor folosind o matrice inversă, regula lui Cramer, metoda lui Gauss etc.),
2. metode iterative, care fac posibilă obținerea unei soluții a sistemului cu o acuratețe dată prin procese iterative convergente (metoda iterației, metoda Seidel etc.).
Datorită rotunjirii inevitabile, rezultatele chiar și ale metodelor exacte sunt aproximative. Când se folosesc metode iterative, în plus, se adaugă eroarea metodei.
Utilizarea eficientă a metodelor iterative depinde în mod semnificativ de alegerea cu succes a aproximării inițiale și de viteza de convergență a procesului.
Rezolvarea ecuațiilor matriceale
Luați în considerare sistemul n ecuații algebrice liniare în raport cu n necunoscut X 1 , X 2 , …, x n:
 .
| (15) |
Matrice A, ale căror coloane sunt coeficienții pentru necunoscutele corespunzătoare, iar rândurile sunt coeficienții pentru necunoscutele din ecuația corespunzătoare, se numește matricea sistemului; matrice-coloană b, ale cărui elemente sunt părțile din dreapta ale ecuațiilor sistemului, se numește matricea din partea dreaptă sau pur și simplu partea dreaptă a sistemului. Matricea coloanei X, ale cărui elemente sunt necunoscutele necunoscute, se numește soluție de sistem.
Dacă matricea A- nespecială, adică det A n e este egal cu 0, atunci sistemul (13), sau ecuația matriceală (14) echivalentă cu acesta, are o soluție unică.
De fapt, prevazut det A nu este egal 0 există o matrice inversă A-1 . Înmulțirea ambelor părți ale ecuației (14) cu matricea A-1 obținem:
| (16) |
Formula (16) oferă o soluție pentru ecuația (14) și este unică.
Este convenabil să rezolvi sisteme de ecuații liniare folosind funcția rezolv.
rezolv( A, b)
Se returnează vectorul soluție X astfel încât Oh= b.
Argumente:
A- matrice pătrată, nesingulară.
b- un vector având același număr de rânduri cu cât există rânduri în matrice A .
Figura 8 prezintă soluția unui sistem de trei ecuații liniare în trei necunoscute.
metoda Gauss
Metoda gaussiana, numita si metoda gaussiana eliminarii, consta in faptul ca sistemul (13) este redus prin eliminarea secventiala a necunoscutelor la un sistem echivalent cu matrice triunghiulara:
În notația matriceală, aceasta înseamnă că mai întâi (abordarea directă a metodei gaussiene), prin operații elementare pe rânduri, matricea extinsă a sistemului este redusă la o formă treptat:
și apoi (inversul metodei gaussiene) această matrice de etape este transformată astfel încât în prima n coloane obținem o matrice unitară:
.
Ultimul, ( n+ 1) coloana acestei matrice conține soluția sistemului (13).
În Mathcad, mișcările înainte și înapoi ale metodei gaussiene sunt efectuate de funcție rref(A).
Figura 9 prezintă soluția unui sistem de ecuații liniare folosind metoda Gaussiană, care utilizează următoarele funcții:
rref( A)
Este returnată forma de pas a matricei A.
spori( A, ÎN)
Returnează o matrice formată din locație A Și ÎN unul langa altul. Matrice A Și ÎN trebuie să aibă același număr de linii.
submatrice( A, ir, jr, ic, jc)
Returnează o submatrice formată din toate elementele cu ir De jr si coloane cu IC De jc. Asigura-te ca ir jrȘi
IC jc,în caz contrar, ordinea rândurilor și/sau coloanelor va fi inversată.
Figura 9.
Descrierea metodei
Pentru un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute (pe un câmp arbitrar)
cu determinantul matricei sistemului Δ diferit de zero, soluția se scrie sub forma
(coloana i-a a matricei sistemului este înlocuită cu o coloană de termeni liberi).
Într-o altă formă, regula lui Cramer este formulată după cum urmează: pentru orice coeficienți c1, c2, ..., cn este valabilă următoarea egalitate:
În această formă, formula lui Cramer este valabilă fără a presupune că Δ este diferit de zero; nici măcar nu este necesar ca coeficienții sistemului să fie elemente ale unui inel integral (determinantul sistemului poate fi chiar un divizor zero în coeficient inel). De asemenea, putem presupune că fie mulțimile b1,b2,...,bn și x1,x2,...,xn, fie mulțimea c1,c2,...,cn, nu sunt formate din elemente ale inelului coeficient. a sistemului, dar un modul deasupra acestui inel. În această formă, formula lui Cramer este utilizată, de exemplu, în demonstrarea formulei pentru determinantul Gram și Lema lui Nakayama.
| 35) Teorema Kronecker-Capelli |
Pentru ca un sistem de m ecuații liniare neomogene în n necunoscute să fie consistent, este necesar și suficient ca Dovada necesității. Fie sistemul (1.13) consecvent, adică există astfel de numere X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n = α n , Ce  (1.15) Să scădem din ultima coloană a matricei extinse prima ei coloană, înmulțită cu α 1, a doua - cu α 2, ..., n-a - înmulțită cu α n, adică din ultima coloană a matricei (1.14) ar trebui să scădem părțile stângi ale egalităților ( 1.15). Apoi obținem matricea  al căror rang nu se va schimba ca urmare a transformărilor elementare şi . Dar este evident și, prin urmare, dovadă de suficiență. Fie și pentru certitudine să fie un minor diferit de zero de ordinul r să fie situat în colțul din stânga sus al matricei:  Aceasta înseamnă că rândurile rămase ale matricei pot fi obținute ca combinații liniare ale primelor r rânduri, adică m-r rânduri ale matricei pot fi reprezentate ca sumele primelor r rânduri înmulțite cu unele numere. Dar atunci primele r ecuații ale sistemului (1.13) sunt independente, iar restul sunt consecințele lor, adică soluția sistemului primelor r ecuații este automat o soluție a ecuațiilor rămase. Există două cazuri posibile. 1. r=n. Atunci sistemul format din primele r ecuații are același număr de ecuații și necunoscute și este consistent, iar soluția sa este unică. 2.r |
36) certitudine, incertitudine
Sistem m ecuații liniare cu n necunoscut(sau, sistem liniar) în algebra liniară este un sistem de ecuații de forma
 |
Aici X 1 , X 2 , …, x n- necunoscute care trebuie determinate. A 11 , A 12 , …, un mn- coeficienții sistemului - și b 1 , b 2 , … b m- membri liberi - se presupune că sunt cunoscuți. Indici de coeficienți ( a ij) sistemele denotă numere de ecuație ( i) și necunoscut ( j), la care se situează, respectiv, acest coeficient.
Sistemul (1) este numit omogen, dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), în caz contrar - eterogen.
Sistemul (1) este numit comun, dacă are cel puțin o soluție, și nearticulată, dacă ea nu are o singură soluție.
Un sistem de îmbinare de tip (1) poate avea una sau mai multe soluții.
Soluții c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) și c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) se numesc sisteme de îmbinare de forma (1). variat, dacă cel puțin una dintre egalități este încălcată:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Un sistem comun de forma (1) se numește anumit, dacă are o soluție unică; dacă are cel puțin două soluții diferite, atunci se numește incert
37) Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss
Lăsați sistemul original să arate așa
Matrice A se numește matricea principală a sistemului, b- coloana de membri liberi.
Apoi, conform proprietății transformărilor elementare pe rânduri, matricea principală a acestui sistem poate fi redusă la o formă în trepte (aceleași transformări trebuie aplicate coloanei de termeni liberi):
Apoi variabilele sunt numite principalele variabile. Toți ceilalți sunt chemați gratuit.
[edit]Condiția de compatibilitate
Condiția de mai sus pentru toți poate fi formulată ca o condiție necesară și suficientă pentru compatibilitate:
Amintiți-vă că rangul unui sistem comun este rangul matricei sale principale (sau matricei extinse, deoarece acestea sunt egale).
Algoritm
Descriere
Algoritmul pentru rezolvarea SLAE-urilor folosind metoda Gaussiană este împărțit în două etape.
§ În prima etapă se realizează așa-numita mutare directă, când, prin transformări elementare peste rânduri, sistemul este adus într-o formă în trepte sau triunghiulară, sau se constată că sistemul este incompatibil. Și anume, dintre elementele primei coloane a matricei, selectați unul diferit de zero, mutați-l în poziția de sus prin rearanjarea rândurilor și scădeți primul rând rezultat din rândurile rămase după rearanjare, înmulțindu-l cu o valoare. egal cu raportul dintre primul element al fiecăruia dintre aceste rânduri și primul element al primului rând, reducând astfel coloana de sub acesta. După ce aceste transformări au fost finalizate, primul rând și prima coloană sunt tăiate mental și continuate până când rămâne o matrice de dimensiune zero. Dacă la orice iterație nu există niciun element diferit de zero printre elementele primei coloane, atunci mergeți la următoarea coloană și efectuați o operație similară.
§ În a doua etapă se realizează așa-numita mișcare inversă, a cărei esență este exprimarea tuturor variabilelor de bază rezultate în termeni de variabile nebazice și construirea unui sistem fundamental de soluții sau, dacă toate variabilele sunt de bază, apoi exprimă numeric singura soluție a sistemului de ecuații liniare. Această procedură începe cu ultima ecuație, din care variabila de bază corespunzătoare este exprimată (și există doar una) și substituită în ecuațiile anterioare și așa mai departe, urcând „treptele”. Fiecare linie corespunde exact unei variabile de bază, astfel încât la fiecare pas, cu excepția ultimului (cel mai de sus), situația repetă exact cazul ultimei linii.
Metoda gaussiană necesită ordine O(n 3) acțiuni.
Această metodă se bazează pe:
38)Teorema Kronecker-Capelli.
Un sistem este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este egal cu rangul matricei sale extinse.
Pentru a înțelege ce este sistem fundamental de decizie puteți viziona un tutorial video pentru același exemplu făcând clic. Acum să trecem la descrierea reală a tuturor lucrărilor necesare. Acest lucru vă va ajuta să înțelegeți esența acestei probleme mai detaliat.
Cum să găsiți sistemul fundamental de soluții la o ecuație liniară?
Să luăm de exemplu următorul sistem de ecuații liniare:
Să găsim soluția acestui sistem liniar de ecuații. Pentru început, noi trebuie să scrieți matricea de coeficienți a sistemului.
Să transformăm această matrice într-una triunghiulară. Rescriem prima linie fără modificări. Și toate elementele care sunt sub $a_(11)$ trebuie făcute zero. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(21)$, trebuie să scădeți primul din a doua linie și să scrieți diferența pe a doua linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(31)$, trebuie să scădeți primul din a treia linie și să scrieți diferența pe a treia linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(41)$, trebuie să scădeți primul înmulțit cu 2 din a patra linie și să scrieți diferența pe a patra linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(31)$, trebuie să scădeți primul înmulțit cu 2 din a cincea linie și să scrieți diferența pe a cincea linie. 
Rescriem primul și al doilea rând fără modificări. Și toate elementele care sunt sub $a_(22)$ trebuie făcute zero. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(32)$, trebuie să scădeți pe al doilea înmulțit cu 2 din a treia linie și să scrieți diferența pe a treia linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(42)$, trebuie să scădeți al doilea înmulțit cu 2 din a patra linie și să scrieți diferența pe a patra linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(52)$, trebuie să scădeți al doilea înmulțit cu 3 din a cincea linie și să scrieți diferența în a cincea linie. 
Noi vedem asta ultimele trei rânduri sunt aceleași, deci dacă scădeți a treia din a patra și a cincea, acestea vor deveni zero. 
Conform acestei matrice scrie un nou sistem de ecuații.
Vedem că avem doar trei ecuații liniar independente și cinci necunoscute, deci sistemul fundamental de soluții va consta din doi vectori. Deci noi trebuie să mutăm ultimele două necunoscute la dreapta.
Acum, începem să exprimăm acele necunoscute care sunt pe partea stângă prin cele care sunt pe partea dreaptă. Începem cu ultima ecuație, mai întâi exprimăm $x_3$, apoi substituim rezultatul rezultat în a doua ecuație și exprimăm $x_2$, apoi în prima ecuație și aici exprimăm $x_1$. Astfel, am exprimat toate necunoscutele care sunt pe partea stângă prin necunoscutele care sunt pe partea dreaptă. 
Apoi, în loc de $x_4$ și $x_5$, putem înlocui orice numere și găsim $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Fiecare cinci dintre aceste numere va fi rădăcinile sistemului nostru original de ecuații. Pentru a găsi vectorii care sunt incluși în FSR trebuie să înlocuim 1 în loc de $x_4$ și să înlocuim 0 în loc de $x_5$, să găsim $x_1$, $x_2$ și $x_3$ și apoi invers $x_4=0$ și $x_5=1$.
6.3. SISTEME OMOGENE DE ECUAȚII LINEARE
Lăsați acum în sistem (6.1).
Un sistem omogen este întotdeauna consistent. Soluție () se numește zero, sau banal.
Un sistem omogen (6.1) are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă rangul său ( 
) este mai mic decât numărul de necunoscute. În special, un sistem omogen în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute are o soluție diferită de zero dacă și numai dacă determinantul său este zero.
Pentru că de data aceasta totul
, în loc de formulele (6.6) obținem următoarele:
(6.7)
Formulele (6.7) conțin orice soluție a sistemului omogen (6.1).
1. Mulțimea tuturor soluțiilor sistemului omogen de ecuații liniare (6.1) formează un spațiu liniar.
2. Spațiul liniarRtoate soluţiile sistemului omogen de ecuaţii liniare (6.1) cunnecunoscute și rangul matricei principale egal cur, are dimensiunen–r.
Orice set de (n–r) soluțiile liniar independente ale sistemului omogen (6.1) formează o bază în spațiuRtoate deciziile. Se numeste fundamental un set de soluții ale sistemului omogen de ecuații (6.1). Se pune un accent deosebit pe "normal" set fundamental de soluții ale sistemului omogen (6.1):
(6.8)
Prin definiția bazei, orice soluție X sistem omogen (6.1) poate fi reprezentat sub forma
(6.9)
Unde 
– constante arbitrare.
Deoarece formula (6.9) conține orice soluție a sistemului omogen (6.1), ea dă decizie comună acest sistem.
Exemplu.
Se numește un sistem de ecuații liniare în care toți termenii liberi sunt egali cu zero omogen :
Orice sistem omogen este întotdeauna consistent, din moment ce a fost întotdeauna zero (banal ) soluție. Se pune întrebarea în ce condiții va avea un sistem omogen o soluție netrivială.
Teorema 5.2.Un sistem omogen are o soluție netrivială dacă și numai dacă rangul matricei subiacente este mai mic decât numărul necunoscutelor sale.
Consecinţă. Un sistem omogen pătrat are o soluție netrivială dacă și numai dacă determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero.
Exemplul 5.6. Determinați valorile parametrului l la care sistemul are soluții netriviale și găsiți următoarele soluții:
Soluţie. Acest sistem va avea o soluție netrivială atunci când determinantul matricei principale este egal cu zero:
Astfel, sistemul este non-trivial când l=3 sau l=2. Pentru l=3, rangul matricei principale a sistemului este 1. Apoi, lăsând o singură ecuație și presupunând că y=AȘi z=b, primim x=b-a, adică
Pentru l=2, rangul matricei principale a sistemului este 2. Apoi, alegând minorul ca bază:
obținem un sistem simplificat
De aici aflăm că x=z/4, y=z/2. crezând z=4A, primim
Setul tuturor soluțiilor unui sistem omogen are o foarte importantă proprietate liniară : dacă coloanele X 1 și X 2 - soluții la un sistem omogen AX = 0, apoi orice combinație liniară a acestora A X 1 + b X 2 va fi, de asemenea, o soluție pentru acest sistem. Într-adevăr, din moment ce TOPOR 1 = 0 Și TOPOR 2 = 0 , Acea A(A X 1 + b X 2) = a TOPOR 1 + b TOPOR 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Din cauza acestei proprietăți, dacă un sistem liniar are mai multe soluții, atunci va exista un număr infinit de soluții.
Coloane liniar independente E 1 , E 2 , Ek, care sunt soluții ale unui sistem omogen, se numesc sistem fundamental de soluții sistem omogen de ecuații liniare dacă soluția generală a acestui sistem poate fi scrisă ca o combinație liniară a acestor coloane:
Dacă un sistem omogen are n variabile, iar rangul matricei principale a sistemului este egal cu r, Acea k = n-r.
Exemplul 5.7. Găsiți sistemul fundamental de soluții pentru următorul sistem de ecuații liniare:
Soluţie. Să găsim rangul matricei principale a sistemului:
Astfel, mulțimea soluțiilor acestui sistem de ecuații formează un subspațiu liniar de dimensiune n-r= 5 - 2 = 3. Să alegem minor ca bază
Apoi, lăsând doar ecuațiile de bază (restul va fi o combinație liniară a acestor ecuații) și variabilele de bază (mutăm restul, așa-numitele variabile libere spre dreapta), obținem un sistem simplificat de ecuații:
crezând X 3 = A, X 4 = b, X 5 = c, găsim
crezând A= 1, b = c= 0, obținem prima soluție de bază; crezând b= 1, a = c= 0, obținem a doua soluție de bază; crezând c= 1, a = b= 0, obținem a treia soluție de bază. Ca rezultat, sistemul fundamental normal de soluții va lua forma
Folosind sistemul fundamental, soluția generală a unui sistem omogen poate fi scrisă ca
X = aE 1 + fi 2 + cE 3. A
Să notăm câteva proprietăți ale soluțiilor unui sistem neomogen de ecuații liniare AX=Bși relația lor cu sistemul omogen de ecuații corespunzător AX = 0.
Soluție generală a unui sistem neomogeneste egală cu suma soluției generale a sistemului omogen corespunzător AX = 0 și a unei soluții particulare arbitrare a sistemului neomogen. Într-adevăr, să Y 0 este o soluție particulară arbitrară a unui sistem neomogen, adică AY 0 = B, Și Y- solutie generala a unui sistem eterogen, i.e. AY=B. Scăzând o egalitate din cealaltă, obținem
A(A-Y 0) = 0, adică A-Y 0 este soluția generală a sistemului omogen corespunzător TOPOR=0. Prin urmare, A-Y 0 = X, sau Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Fie sistemul neomogen să aibă forma AX = B 1 + B 2 . Atunci soluția generală a unui astfel de sistem poate fi scrisă ca X = X 1 + X 2 , unde AX 1 = B 1 și AX 2 = B 2. Această proprietate exprimă o proprietate universală a oricăror sisteme liniare în general (algebric, diferențial, funcțional etc.). În fizică această proprietate se numește principiul suprapunerii, în inginerie electrică și radio - principiul suprapunerii. De exemplu, în teoria circuitelor electrice liniare, curentul din orice circuit poate fi obținut ca sumă algebrică a curenților provocați de fiecare sursă de energie separat.
