Linie dreaptă pe un plan și în spațiu.

Studiul proprietăților figurilor geometrice folosind algebra se numește geometrie analitică , și vom folosi așa-numitul metoda coordonatelor .

O linie pe un plan este de obicei definită ca un set de puncte care au proprietăți unice pentru ele. Faptul că coordonatele x și y (numerele) unui punct situat pe această dreaptă sunt scrise analitic sub forma unei ecuații.

Def.1 Ecuația unei linii (ecuația unei curbe) pe planul Oxy se numește ecuație (*), care este îndeplinită de coordonatele x și y ale fiecărui punct de pe o dreaptă dată și nu este satisfăcută de coordonatele niciunui alt punct care nu se află pe această dreaptă.

Din definiția 1 rezultă că fiecare dreaptă de pe plan corespunde unei ecuații între coordonatele curente ( X y ) puncte ale acestei drepte și invers, fiecărei ecuații îi corespunde, în general, unei anumite drepte.

Acest lucru dă naștere la două probleme principale de geometrie analitică în plan.

1. O linie este dată sub forma unui set de puncte. Trebuie să creăm o ecuație pentru această linie.

2. Este dată ecuația dreptei. Este necesar să se studieze proprietățile sale geometrice (forma și locația).

Exemplu. Nu mint punctele A(-2;1) Și ÎN (1;1) pe linia 2 X +la +3=0?

Problema găsirii punctelor de intersecție a două drepte date de ecuații și se reduce la găsirea coordonatelor care să satisfacă ecuația ambelor drepte, i.e. pentru a rezolva un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Dacă acest sistem nu are soluții reale, atunci liniile nu se intersectează.

Conceptul de linie este introdus în UCS într-un mod similar.

O dreaptă pe un plan poate fi definită prin două ecuații

Unde X Și la – coordonate ale punctelor arbitrare M(x;y), culcat pe această linie și t - o variabilă numită parametru , parametrul determină poziția punctului pe plan.

De exemplu, dacă , atunci valoarea parametrului t=2 corespunde punctului (3;4) din plan.

Dacă parametrul se modifică, punctul din plan se deplasează, descriind această linie. Această metodă de definire a unei linii se numește parametrică, iar ecuația (5.1) este o ecuație parametrică a dreptei.

Pentru a trece de la ecuațiile parametrice la o ecuație generală (*), trebuie să eliminăm cumva parametrul din cele două ecuații. Cu toate acestea, observăm că o astfel de tranziție nu este întotdeauna recomandabilă și nu întotdeauna posibilă.

Se poate specifica o linie pe un plan ecuație vectorială , unde t este un parametru variabil scalar. Fiecare valoare a parametrului corespunde unui vector plan specific. La modificarea parametrului, sfârșitul vectorului va descrie o anumită linie.

Ecuație vectorială în DSC corespund două ecuaţii scalare

(5.1), adică ecuația proiecțiilor pe axele de coordonate ale ecuației vectoriale a unei drepte este ea

ecuație parametrică.

Ecuația vectorială și ecuațiile de linii parametrice au o semnificație mecanică. Dacă un punct se mișcă pe un plan, atunci se numesc ecuațiile indicate ecuațiile de mișcare , iar linia este traiectoria punctului, parametrul t este timpul.

Concluzie: fiecărei drepte de pe plan îi corespunde o ecuație de formă.

În cazul general, ORICE ECUAȚIE A O VEDERE îi corespunde unei anumite linii, ale cărei proprietăți sunt determinate de ecuația dată (cu excepția faptului că nicio imagine geometrică nu corespunde unei ecuații pe un plan).

Să fie ales un sistem de coordonate pe plan.

Def. 5.1. Ecuația liniilor acest tip de ecuație se numeșteF(x;y) =0, care este satisfăcut de coordonatele fiecărui punct situat pe această dreaptă și nu este satisfăcut de coordonatele oricărui punct care nu se află pe acesta.

Ecuația formeiF(x;y )=0 – numită ecuația generală a unei drepte sau a unei ecuații în formă implicită.

Astfel, dreapta Г este locul punctelor care satisfac această ecuație Г=((x, y): F(x;y)=0).

Se mai numește și linia strâmb.

O egalitate de forma F(x, y) = 0 se numește ecuație cu două variabile x, y dacă nu este adevărată pentru toate perechile de numere x, y. Ei spun că două numere x = x 0, y = y 0 satisfac o ecuație de forma F(x, y) = 0 dacă, la înlocuirea acestor numere în loc de variabilele x și y în ecuație, partea stângă a acesteia devine zero. .

Ecuația unei linii date (într-un sistem de coordonate desemnat) este o ecuație cu două variabile care este satisfăcută de coordonatele fiecărui punct aflat pe această dreaptă și nu este satisfăcută de coordonatele fiecărui punct care nu se află pe ea.

În cele ce urmează, în loc de expresia „ dată fiind ecuația dreptei F(x, y) = 0”, vom spune adesea mai pe scurt: dată fiind dreapta F(x, y) = 0.

Dacă sunt date ecuațiile a două drepte: F(x, y) = 0 și Ф(x, y) = 0, atunci soluția comună a sistemului

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

oferă toate punctele lor de intersecție. Mai precis, fiecare pereche de numere care este o soluție comună a acestui sistem determină unul dintre punctele de intersecție,

157. Punctele date *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M6 (3; -2). Determinați care dintre punctele date se află pe dreapta definită de ecuația x + y = 0 și care nu se află pe ea. Care linie este definită de această ecuație? (Desenează-l pe desen.)

158. Pe dreapta definită de ecuația x 2 + y 2 = 25, găsiți puncte ale căror abscise sunt egale cu următoarele numere: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; pe aceeași linie găsiți puncte ale căror ordonate sunt egale cu următoarele numere: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Care linie este definită de această ecuație? (Desenează-l pe desen.)

159. Stabiliți care drepte sunt determinate de următoarele ecuații (construiți-le pe desen): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + cu + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Drepte date: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Să se determine care dintre ele trec prin origine.

161. Drepturi date: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Aflați punctele lor de intersecție: a) cu axa Ox; b) cu axa Oy.

162. Aflați punctele de intersecție a două drepte:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y =0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. În sistemul de coordonate polare, punctele M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) și M 5 ( 1; 2/3π). Determinați care dintre aceste puncte se află pe dreapta definită în coordonate polare de ecuația p = 2cosΘ și care nu se află pe ea. Care linie este determinată de această ecuație? (Desenează-l pe desen.)

164. Pe dreapta definită de ecuația p = 3/cosΘ, găsiți puncte ale căror unghiuri polare sunt egale cu următoarele numere: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Care linie este definită de această ecuație? (Construiți-l pe desen.)

165. Pe dreapta definită de ecuația p = 1/sinΘ, găsiți puncte ale căror raze polare sunt egale cu următoarele numere: a) 1 6) 2, c) √2. Care linie este definită de această ecuație? (Construiți-l pe desen.)

166. Stabiliți ce drepte sunt determinate în coordonate polare de următoarele ecuații (construiți-le pe desen): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Construiți următoarele spirale Arhimede pe desen: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. Construiţi pe desen următoarele spirale hiperbolice: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Construiți pe desen următoarele spirale logaritmice: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Să se determine lungimile segmentelor în care spirala lui Arhimede p = 3Θ este tăiată de un fascicul care iese din pol și înclinat față de axa polară la un unghi Θ = π/6. Faceți un desen.

171. Pe spirala lui Arhimede p = 5/πΘ se ia punctul C, a cărui rază polară este 47. Stabiliți câte părți taie această spirală raza polară a punctului C. Faceți un desen.

172. Pe o spirală hiperbolică P = 6/Θ, găsiți un punct P a cărui rază polară este 12. Faceți un desen.

173. Pe o spirală logaritmică p = 3 Θ, găsiți un punct P a cărui rază polară este 81. Faceți un desen.

Să trecem în revistă * Care ecuație se numește pătratică? * Ce ecuații se numesc ecuații pătratice incomplete? * Care ecuație pătratică se numește redusă? * Ce se numește rădăcina unei ecuații pătratice? * Ce înseamnă să rezolvi o ecuație pătratică? Care ecuație se numește pătratică? Ce ecuații se numesc ecuații pătratice incomplete? Ce ecuație pătratică se numește redusă? Care este rădăcina unei ecuații pătratice? Ce înseamnă să rezolvi o ecuație pătratică? Care ecuație se numește pătratică? Ce ecuații se numesc ecuații pătratice incomplete? Ce ecuație pătratică se numește redusă? Care este rădăcina unei ecuații pătratice? Ce înseamnă să rezolvi o ecuație pătratică?

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice: 1. Determinați cea mai rațională modalitate de a rezolva o ecuație pătratică 2. Alegeți cea mai rațională modalitate de rezolvare 3. Determinarea numărului de rădăcini ale unei ecuații pătratice 4. Găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice Pentru mai bine memorare, completați tabelul... Pentru o memorare mai bună, completați tabelul... Pentru o memorare mai bună, completați tabelul...

Condiție suplimentară Ecuație Rădăcini Exemple 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1.2 = ±(c/a), unde c/a 0. b) dacă c/a 0, atunci nu există soluții 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1.2 =(-b±D)/2 a, unde D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – număr par (b = 2k), a 0, în 0, c 0 х 2 + 2kx + c = 0 x 1.2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, unde k = 6. Teorema inversă teoremei lui Vieta x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. Metode speciale 7. Metoda izolării pătratului unui binom. Scop: Reduceți o ecuație generală la o ecuație pătratică incompletă. Notă: metoda este aplicabilă oricăror ecuații pătratice, dar nu este întotdeauna convenabilă de utilizat. Folosit pentru a demonstra formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Exemplu: se rezolvă ecuația x 2 -6 x+8=0 8. Metoda „transferării” celui mai mare coeficient. Rădăcinile ecuațiilor pătratice ax 2 + bx + c = 0 și y 2 +by+ac=0 sunt legate prin relațiile: și Notă: metoda este bună pentru ecuațiile pătratice cu coeficienți „convenienți”. În unele cazuri, vă permite să rezolvați o ecuație pătratică pe cale orală. Exemplu: rezolvați ecuația 2 x 2 -9 x-5=0 Pe baza teoremelor: Exemplu: rezolvați ecuația 157 x x-177=0 9. Dacă într-o ecuație pătratică a+b+c=0, atunci unul dintre rădăcinile este 1, iar a doua, conform teoremei lui Vieta, este egală cu c / a 10. Dacă într-o ecuație pătratică a + c = b, atunci una dintre rădăcini este egală cu -1, iar a doua, conform lui Vieta teorema, este egală cu -c / a Exemplu: rezolvați ecuația 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a

III. Metode generale de rezolvare a ecuaţiilor 11. Metoda factorizării. Scop: Reduceți o ecuație pătratică generală la forma A(x)·B(x)=0, unde A(x) și B(x) sunt polinoame în raport cu x. Metode: Scoaterea factorului comun din paranteze; Utilizarea formulelor de înmulțire prescurtate; Metoda de grupare. Exemplu: se rezolvă ecuația 3 x 2 +2 x-1=0 12. Metoda introducerii unei noi variabile. Alegerea bună a unei noi variabile face ca structura ecuației să fie mai transparentă Exemplu: rezolvați ecuația (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8

Să luăm în considerare o relație de formă F(x, y)=0, variabile de legătură XȘi la. Vom numi egalitate (1) ecuație cu două variabile x, y, dacă această egalitate nu este adevărată pentru toate perechile de numere XȘi la. Exemple de ecuații: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

Dacă (1) este adevărată pentru toate perechile de numere x și y, atunci se numește identitate. Exemple de identități: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y)(x - y) - x 2 + y 2 = 0.

Vom numi ecuația (1) ecuația unui set de puncte (x; y), dacă această ecuaţie este satisfăcută de coordonate XȘi la orice punct al multimii si nu sunt satisfacute de coordonatele vreunui punct care nu apartine acestei multimi.

Un concept important în geometria analitică este conceptul de ecuație a unei linii. Să fie date pe plan un sistem de coordonate dreptunghiular și o anumită dreaptă α.

Definiție. Ecuația (1) se numește ecuație de linie α (în sistemul de coordonate creat), dacă această ecuație este satisfăcută de coordonate XȘi la orice punct situat pe linie α , și nu satisface coordonatele niciunui punct care nu se află pe această dreaptă.

Dacă (1) este ecuația dreptei α, atunci vom spune că ecuația (1) definește (setează) linia α.

Linia α poate fi determinat nu numai printr-o ecuație de forma (1), ci și printr-o ecuație de formă

F (P, φ) = 0 conţinând coordonate polare.

• ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular;

Să fie dată o linie dreaptă, nu perpendiculară, pe axă OH. Hai sa sunăm unghi de înclinare dat linie dreaptă pe axă OH colţ α , la care trebuie rotită axa OH astfel încât direcția pozitivă să coincidă cu una dintre direcțiile dreptei. Tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axă OH numit pantă această linie și este notat cu litera LA.

	K=tg α
		(1)

Să derivăm ecuația acestei linii dacă o știm LAși valoarea din segment OB, pe care o taie pe ax OU.

(2)

y=kx+b

Să notăm prin M„punct plan (X y). Dacă desenăm drept BNȘi N.M., paralel cu axele, atunci r BNM – dreptunghiular. T. MC C BM <=>, când valorile N.M.Și BN satisface condiția: . Dar NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> ținând cont de (1), obținem că punctul M(x;y)C pe această linie<=>, când coordonatele sale satisfac ecuația: =>

Ecuația (2) se numește ecuația unei drepte cu coeficient unghiular. Dacă K=0, atunci linia dreaptă este paralelă cu axa OH iar ecuația sa este y = b.

• ecuația unei drepte care trece prin două puncte;

(4)

Să fie date două puncte M 1 (x 1; y 1)Și M2 (x 2; y 2). Luând la (3) punctul M(x;y) in spate M2 (x 2; y 2), primim y 2 -y 1 =k(x 2 - x 1). Definire k din ultima egalitate și înlocuind-o în ecuația (3), obținem ecuația dorită a dreptei: . Aceasta este ecuația dacă y 1 ≠ y 2, poate fi scris ca:

Dacă y 1 = y 2, atunci ecuația dreptei dorite are forma y = y 1. În acest caz, linia dreaptă este paralelă cu axa OH. Dacă x 1 = x 2, apoi linia dreaptă care trece prin puncte M 1Și M 2, paralel cu axa OU, ecuația sa are forma x = x 1.

• ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat cu o pantă dată;

(3)

Аx + Вy + С = 0

Teorema.Într-un sistem de coordonate dreptunghiular Ohoo orice linie dreaptă este dată de o ecuație de gradul întâi:

și, invers, ecuația (5) pentru coeficienți arbitrari A, B, C (AȘi B ≠ 0 simultan) definește o anumită linie dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiular Ooh.

Dovada.

Mai întâi, să demonstrăm prima afirmație. Dacă linia nu este perpendiculară Oh, atunci este determinat de ecuația de gradul întâi: y = kx + b, adică ecuația de forma (5), unde

A = k, B = -1Și C = b. Dacă linia este perpendiculară Oh, atunci toate punctele sale au aceeași abscisă, egală cu valoarea α segment tăiat de o linie dreaptă pe axă Oh.

Ecuația acestei drepte are forma x = α, acestea. este, de asemenea, o ecuație de gradul I de forma (5), unde A = 1, B = 0, C = - α. Aceasta dovedește prima afirmație.

Să demonstrăm afirmația inversă. Să fie dată ecuația (5) și cel puțin unul dintre coeficienți AȘi B ≠ 0.

Dacă B ≠ 0, atunci (5) se poate scrie sub forma . Apartament , obținem ecuația y = kx + b, adică o ecuație de forma (2) care definește o dreaptă.

Dacă B = 0, Acea A ≠ 0și (5) ia forma . Indicând prin α, primim

x = α, adică ecuația unei drepte perpendiculare Oh.

Se numesc linii definite într-un sistem de coordonate dreptunghiular printr-o ecuație de gradul întâi linii de prim ordin.

Ecuația formei Ax + Wu + C = 0 este incompletă, adică Unii dintre coeficienți sunt egali cu zero.

1) C = 0; Ah + Wu = 0și definește o linie dreaptă care trece prin origine.

2) B = 0 (A ≠ 0); ecuația Ax + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0și definește o linie dreaptă paralelă Oh.

Ecuația (6) se numește ecuația unei linii drepte „în segmente”. Numerele AȘi b sunt valorile segmentelor pe care linia dreaptă le taie pe axele de coordonate. Această formă a ecuației este convenabilă pentru construcția geometrică a unei linii drepte.

• ecuația normală a unei linii;

Аx + Вy + С = 0 este ecuația generală a unei anumite drepte și (5) X cos α + y sin α – p = 0(7)

ecuația sa normală.

Deoarece ecuațiile (5) și (7) definesc aceeași linie dreaptă, atunci ( A 1x + B 1y + C 1 = 0Și

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) coeficienții acestor ecuații sunt proporționali. Aceasta înseamnă că prin înmulțirea tuturor termenilor ecuației (5) cu un anumit factor M, obținem ecuația MA x + MV y + MS = 0, care coincide cu ecuația (7) adică

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

Pentru a afla factorul M, punem la patrat primele doua dintre aceste egalitati si adaugam:

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

Egalitatea formei F (x, y) = 0 numită ecuație în două variabile X, y, dacă nu este adevărat pentru toate perechile de numere X y. Ei spun două numere X = X 0 , y=y 0, satisface o ecuație a formei F(x, y)=0, dacă la înlocuirea acestor numere în loc de variabile XȘi laîn ecuație, partea stângă dispare.

Ecuația unei linii date (într-un sistem de coordonate desemnat) este o ecuație cu două variabile care este satisfăcută de coordonatele fiecărui punct aflat pe această dreaptă și nu este satisfăcută de coordonatele fiecărui punct care nu se află pe ea.

În cele ce urmează, în locul expresiei „se dă ecuația dreptei F(x, y) = 0" vom spune adesea pe scurt: dată o linie F (x, y) = 0.

Dacă sunt date ecuațiile a două drepte F(x, y) = 0Și Ф(x, y) = Q, apoi soluția comună a sistemului

oferă toate punctele lor de intersecție. Mai precis, fiecare pereche de numere care este o soluție comună a acestui sistem determină unul dintre punctele de intersecție.

*) În cazurile în care sistemul de coordonate nu este numit, se presupune că este dreptunghiular cartezian.

157. Se acordă puncte *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Determinați care puncte publicate se află pe linia definită de ecuație X+ y = 0,și care nu se întind pe el. Care linie este definită de această ecuație? (Desenează-l pe desen.)

158. Pe linia definită de ecuație X 2 +y 2 =25, aflați punctele ale căror abscise sunt egale cu următoarele numere: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; pe aceeași linie găsiți puncte ale căror ordonate sunt egale cu următoarele numere: e) 3, f) - 5, g) - 8. Care dreaptă este determinată de această ecuație? (Desenează-l pe desen.)

159. Stabiliți ce drepte sunt determinate de următoarele ecuații (construiți-le pe desen):

1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) X- 2 = 0; 4) X+ 3 = 0;

5) y - 5 = 0; 6) y+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;

9) X 2 - xy = 0; 10) X y+ y 2 = 0; unsprezece) X 2 - y 2 = 0; 12) X y= 0;

13) y 2 - 9 = 0; 14) X y 2 - 8X y+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;

16) X 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y =|X|; 18) x =|la|; 19)y + |X|=0;

20) x +|la|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) y = |X+ 2|; 23) X 2 + la 2 = 16;

24) (X-2) 2 +(y-1) 2 =16; 25) (X+ 5) 2 +(y- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + y 2 = 4; 27) X 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (X -3) 2 + y 2 = 0;

29) X 2 + 2y 2 = 0; 30) 2X 2 + 3y 2 + 5 = 0

31) (X- 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.

160.Linii date:

1)X+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) X 2 + y 2 - 36 = 0;

4) X 2 +y 2 -2X==0; 5) X 2 +y 2 + 4X-6y-1 =0.

Determinați care dintre ele trec prin origine.

161.Randurile date:

1) X 2 + y 2 = 49; 2) (X- 3) 2 + (y+ 4) 2 = 25;

3) (X+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( X + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) X 2 +y 2 - 12x + 16y = 0; 6) X 2 +y 2 - 2x + 8la+ 7 = 0;

7) X 2 +y 2 - 6x + 4y + 12 = 0.

Aflați punctele lor de intersecție: a) cu axa Oh; b) cu o axă OU.

162.Aflați punctele de intersecție a două drepte;

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16X+4la+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2X+4la -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8X+10у+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Punctele sunt date în sistemul de coordonate polare

M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )

M 4 (
;) Și M 5 (1; )

Determinați care dintre aceste puncte se află pe dreapta definită de ecuație în coordonatele polare  = 2 cos  și care nu se află pe ea. Care linie este determinată de această ecuație? (Desenează-l pe desen:)

164. Pe dreapta definită de ecuaţia  = , găsiți puncte ale căror unghiuri polare sunt egale cu următoarele numere: a) ,b) - , c) 0, d) . Care linie este definită de această ecuație?

(Construiți-l pe desen.)

165.Pe dreapta definită de ecuaţia  = , găsiți puncte ale căror raze polare sunt egale cu următoarele numere: a) 1, b) 2, c)
. Care linie este definită de această ecuație? (Construiți-l pe desen.)

166. Stabiliți ce drepte sunt determinate în coordonate polare de următoarele ecuații (construiți-le pe desen):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) sin  = 9) sin  =

167. Construiți următoarele spirale lui Arhimede pe desen:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)р = -1.

168. Construiți pe desen următoarele spirale hiperbolice:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Construiți pe desen următoarele spirale logaritmice:

,
.

170. Determinați lungimile segmentelor în care se taie spirala lui Arhimede

rază care iese din pol și înclinată în unghi față de axa polară
. Faceți un desen.

171. Pe spirala lui Arhimede
punct luat CU, a cărui rază polară este 47. Stabiliți câte părți taie această spirală raza polară a punctului CU, Faceți un desen.

172. Pe o spirală hiperbolică
găsi un punct R, a căror rază polară este de 12. Realizați un desen.

173. Pe o spirală logaritmică
găsiți punctul Q a cărui rază polară este 81. Faceți un desen.