Kiekviename skyriuje bus savarankiško sprendimo užduotys, kurių atsakymus matysite.

Apibrėžtinio integralo samprata ir Niutono-Leibnizo formulė

apibrėžtasis integralas iš nuolatinės funkcijos f(x) baigtiniame intervale [ a, b] (kur ) yra kai kurių jo antidarinių padidėjimas šiame segmente. (Apskritai, supratimas bus pastebimai lengvesnis, jei kartosite neapibrėžto integralo temą) Šiuo atveju žymėjimas

Kaip matyti iš toliau pateiktų grafikų (antidarinės funkcijos padidėjimas pažymėtas ), Apibrėžiamasis integralas gali būti teigiamas arba neigiamas.(Jis apskaičiuojamas kaip skirtumas tarp antidarinio vertės viršutinėje riboje ir vertės apatinėje riboje, t.y. F(b) - F(a)).

Skaičiai a ir b vadinamos atitinkamai apatine ir viršutine integracijos ribomis, o intervalas [ a, b] yra integracijos segmentas.

Taigi, jei F(x) yra tam tikra antiderivatinė funkcija f(x), tada pagal apibrėžimą

(38)

Lygybė (38) vadinama Niutono-Leibnizo formulė . Skirtumas F(b) – F(a) trumpai parašyta taip:

Todėl Niutono-Leibnizo formulė bus parašyta taip:

(39)

Įrodykime, kad apibrėžtasis integralas nepriklauso nuo to, kuri integrando antidarinė imama jį skaičiuojant. Leisti F(x) ir F( X) yra savavališki integrando antidariniai. Kadangi tai yra tos pačios funkcijos antidariniai, jie skiriasi pastoviu terminu: Ф( X) = F(x) + C. Štai kodėl

Taigi nustatyta, kad segmente [ a, b] visų funkcijos antidarinių priedai f(x) rungtynės.

Taigi, norint apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą, reikia rasti bet kurią integrando antidarinę, t.y. Pirmiausia reikia rasti neapibrėžtą integralą. Pastovus NUO neįtraukti į tolesnius skaičiavimus. Tada taikoma Niutono-Leibnizo formulė: viršutinės ribos reikšmė pakeičiama antiderivatine funkcija b , toliau – apatinės ribos reikšmė a ir apskaičiuokite skirtumą F(b) – F(a) . Gautas skaičius bus apibrėžtas integralas..

At a = b priimtas pagal apibrėžimą

1 pavyzdys

Sprendimas. Pirmiausia suraskime neapibrėžtą integralą:

Niutono-Leibnizo formulės taikymas antidariniui

(at NUO= 0), gauname

Tačiau skaičiuojant apibrėžtąjį integralą, geriau neieškoti antidarinio atskirai, o iš karto integralą rašyti formoje (39).

2 pavyzdys Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Sprendimas. Naudojant formulę

Pats raskite apibrėžtąjį integralą, tada pamatykite sprendimą

Apibrėžtinio integralo savybės

2 teorema.Apibrėžtinio integralo reikšmė nepriklauso nuo integravimo kintamojo žymėjimo, t.y.

(40)

Leisti F(x) yra antidarinis, skirtas f(x). Dėl f(t) antidarinys atlieka tą pačią funkciją F(t), kuriame nepriklausomas kintamasis žymimas skirtingai. Vadinasi,

Remiantis (39) formule, paskutinė lygybė reiškia integralų lygybę

3 teorema.Pastovųjį veiksnį galima išimti iš apibrėžtojo integralo ženklo, t.y.

(41)

4 teorema.Baigtinio skaičiaus funkcijų algebrinės sumos apibrėžtasis integralas yra lygus šių funkcijų apibrėžtųjų integralų algebrinei sumai, t.y.

(42)

5 teorema.Jei integralinis segmentas yra padalintas į dalis, tai viso segmento apibrėžtasis integralas yra lygus jo dalių apibrėžtųjų integralų sumai, t.y. jeigu

(43)

6 teorema.Perstatant integravimo ribas, absoliuti apibrėžtojo integralo reikšmė nekinta, o keičiasi tik jo ženklas, t.y.

(44)

7 teorema(vidutinės vertės teorema). Apibrėžiamasis integralas yra lygus integravimo atkarpos ilgio sandaugai ir integrando reikšmės tam tikru momentu jo viduje, t.y.

(45)

8 teorema.Jei viršutinė integralo riba yra didesnė už apatinę, o integralas yra neneigiamas (teigiamas), tai apibrėžtasis integralas taip pat yra neneigiamas (teigiamas), t.y. jeigu

9 teorema.Jei integracijos viršutinė riba yra didesnė už apatinę ribą ir funkcijos ir yra tolydžios, tada nelygybė

gali būti integruotas po termino, t.y.

(46)

Apibrėžtinio integralo savybės leidžia supaprastinti tiesioginį integralų skaičiavimą.

5 pavyzdys Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Naudodami 4 ir 3 teoremas ir radę antidarinius - lentelių integralus (7) ir (6), gauname

Apibrėžiamasis integralas su kintama viršutine riba

Leisti f(x) tęsiasi atkarpoje [ a, b] funkcija ir F(x) yra jo prototipas. Apsvarstykite apibrėžtąjį integralą

(47)

ir per t integravimo kintamasis žymimas taip, kad nebūtų painiojamas su viršutine riba. Kai pasikeičia X kinta ir apibrėžtasis integralas (47), t.y. tai yra viršutinės integracijos ribos funkcija X, kurį žymime F(X), t.y.

(48)

Įrodykime, kad funkcija F(X) yra antidarinis, skirtas f(x) = f(t). Iš tiesų, diferencijavimas F(X), mes gauname

nes F(x) yra antidarinis, skirtas f(x), a F(a) yra pastovi reikšmė.

Funkcija F(X) yra vienas iš begalinio antidarinių rinkinio f(x), būtent tą x = a eina į nulį. Šis teiginys gaunamas, jei į lygybę (48) įdedame x = a ir naudokite ankstesnio skyriaus 1 teoremą.

Apibrėžtinių integralų skaičiavimas integravimo dalimis metodu ir kintamojo kaitos metodu

kur pagal apibrėžimą F(x) yra antidarinis, skirtas f(x). Jei integrande atliekame kintamojo pakeitimą

tada pagal (16) formulę galime rašyti

Šioje išraiškoje

antiderivatinė funkcija

Iš tiesų, jo išvestinė, anot kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklė, yra lygus

Tegul α ir β yra kintamojo reikšmės t, kuriai skirta funkcija

atitinkamai paima reikšmes a ir b, t.y.

Tačiau pagal Niutono-Leibnizo formulę skirtumas F(b) – F(a) yra

Kam skirti integralai? Pabandykite atsakyti į šį klausimą sau.

Aiškindami integralų temą, mokytojai išvardija taikymo sritis, kurios mokyklos protui mažai naudingos. Tarp jų:

• apskaičiuojant figūros plotą.
• kūno svorio apskaičiavimas esant netolygiam tankiui.
• nuvažiuoto atstumo, judant kintamu greičiu, nustatymas.
• ir kt.

Ne visada įmanoma sujungti visus šiuos procesus, todėl daugelis mokinių sutrinka, net ir turėdami visas pagrindines žinias integralui suprasti.

Pagrindinė nežinojimo priežastis– integralų praktinės reikšmės nesuvokimas.

Integral - kas tai?

Būtinos sąlygos. Integracijos poreikis atsirado senovės Graikijoje. Tuo metu Archimedas pradėjo naudoti metodus, iš esmės panašius į šiuolaikinį integralinį skaičiavimą, kad surastų apskritimo plotą. Pagrindinis būdas nustatyti nelygių figūrų plotą tada buvo „išsekimo metodas“, kurį gana lengva suprasti.

Metodo esmė. Į šią figūrą įrašoma monotoniška kitų figūrų seka, tada apskaičiuojama jų plotų sekos riba. Ši riba buvo paimta kaip nurodytos figūros plotas.

Šiuo metodu lengvai atsekama integralinio skaičiavimo idėja, ty rasti begalinės sumos ribą. Vėliau šią idėją mokslininkai pritaikė spręsdami taikomas užduotis astronautika, ekonomika, mechanika ir kt.

Šiuolaikinis integralas. Klasikinę integracijos teoriją bendrais bruožais suformulavo Niutonas ir Leibnicas. Jis rėmėsi tuo metu galiojusiais diferencialinio skaičiavimo dėsniais. Norėdami tai suprasti, turite turėti tam tikrų pagrindinių žinių, kurios padėtų apibūdinti vaizdines ir intuityvias idėjas apie integralus matematine kalba.

Paaiškinkite „integralaus“ sąvoką

Išvestinės radimo procesas vadinamas diferenciacija ir rasti antidarinį - integracija.

Integralinis matematinė kalba yra funkcijos antidarinys (kas buvo prieš išvestinę) + konstanta "C".

Integralinis paprastais žodžiais yra lenktos figūros plotas. Neapibrėžtas integralas yra visas plotas. Apibrėžiamasis integralas yra tam tikros srities plotas.

Integralas parašytas taip:

Kiekvienas integrandas padauginamas iš "dx" komponento. Tai rodo, kuris kintamasis yra integruotas. "dx" yra argumento padidėjimas. Vietoj X gali būti bet koks kitas argumentas, pvz., t (laikas).

Neapibrėžtas integralas

Neapibrėžtas integralas neturi integracijos ribų.

Norint išspręsti neapibrėžtus integralus, pakanka rasti integrando antidarinį ir pridėti prie jo „C“.

Apibrėžtasis integralas

Apibrėžtajame integrale apribojimai „a“ ir „b“ rašomi ant integravimo ženklo. Žemiau esančiame grafike jie nurodyti x ašyje.

Norėdami apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą, turite rasti antidarinį, pakeisti į jį „a“ ir „b“ reikšmes ir rasti skirtumą. Matematikoje tai vadinama Niutono-Leibnizo formulė:

Integralų lentelė mokiniams (pagrindinės formulės)

Atsisiųskite integralų formules, jos vis tiek jums pravers

Kaip teisingai apskaičiuoti integralą

Yra keletas paprastų integralų transformavimo operacijų. Štai pagrindiniai:

Konstantos pašalinimas iš po integralo ženklo

Sumos integralo išskaidymas į integralų sumą

Jei sukeisite a ir b, ženklas pasikeis

Integralą galite padalyti į intervalus taip

Tai yra paprasčiausios savybės, kurių pagrindu vėliau bus formuluojamos sudėtingesnės teoremos ir skaičiavimo metodai.

Integralų skaičiavimo pavyzdžiai

Neapibrėžtinio integralo sprendimas

Apibrėžtinio integralo sprendimas

Pagrindinės temos supratimo sąvokos

Kad suprastumėte integracijos esmę ir neužvertumėte puslapio nuo nesusipratimų, paaiškinsime keletą pagrindinių sąvokų. Kas yra funkcija, išvestinė, riba ir antiderivatinė.

Funkcija- taisyklė, pagal kurią visi elementai iš vienos aibės yra susiję su visais elementais iš kitos.

Darinys yra funkcija, apibūdinanti kitos funkcijos kitimo greitį kiekviename konkrečiame taške. Griežtai tariant, tai yra funkcijos padidėjimo ir argumento padidėjimo santykio riba. Jis apskaičiuojamas rankiniu būdu, tačiau lengviau naudoti išvestinių lentelę, kurioje yra dauguma standartinių funkcijų.

Prieaugis- kiekybinis funkcijos pokytis su tam tikru argumento pasikeitimu.

Riba- reikšmė, į kurią linksta funkcijos reikšmė, kai argumentas linkęs į tam tikrą reikšmę.

Ribos pavyzdys: tarkime, jei X lygus 1, Y bus lygus 2. O kas, jei X nelygus 1, bet linkęs į 1, tai yra niekada jo nepasiekia? Šiuo atveju y niekada nepasieks 2, o tik sieks šios vertės. Matematinėje kalboje tai rašoma taip: limY (X), kai X –> 1 = 2. Skaitoma: funkcijos Y (X), kai x linkęs į 1, riba yra 2.

Kaip jau minėta, išvestinė yra funkcija, apibūdinanti kitą funkciją. Pradinė funkcija gali būti kilusi iš kitos funkcijos. Ši kita funkcija vadinama primityvus.

Išvada

Nesunku rasti integralus. Jei nesuprantate, kaip tai padaryti,. Iš antro karto tampa aiškiau. Prisiminti! Integralų sprendimas redukuojamas į paprastas integrando transformacijas ir jo paiešką .

Jei teksto paaiškinimas jums netinka, žiūrėkite vaizdo įrašą apie integralo ir išvestinės reikšmę:

Integralai - kas tai yra, kaip tai išspręsti, sprendimų pavyzdžiai ir manekenų paaiškinimas atnaujinta: 2019 m. lapkričio 22 d.: Moksliniai straipsniai.Ru

Apibrėžtasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai

Labas dar kartą. Šioje pamokoje mes išsamiai išanalizuosime tokį nuostabų dalyką kaip apibrėžtas integralas. Šį kartą įžanga bus trumpa. Viskas. Nes už lango pūga.

Norėdami išmokti išspręsti tam tikrus integralus, turite:

1) sugebėti rasti neapibrėžtieji integralai.

2) sugebėti apskaičiuoti apibrėžtasis integralas.

Kaip matote, norėdami įvaldyti apibrėžtąjį integralą, turite pakankamai gerai išmanyti „įprastus“ neapibrėžtuosius integralus. Todėl, jei tik pradedate nerti į integralinį skaičiavimą, o virdulys dar visiškai neužvirė, geriau pradėti nuo pamokos Neapibrėžtas integralas. Sprendimo pavyzdžiai. Be to, yra pdf kursai itin greita treniruotė- jei turite tiesiog dieną, liko pusė dienos.

Apskritai apibrėžtasis integralas rašomas taip:

Kas buvo pridėta, palyginti su neapibrėžtu integralu? pridėta integracijos ribos.

Apatinė integracijos riba
Viršutinė integracijos riba standartiškai žymimas raide .
Segmentas vadinamas integracijos segmentas.

Prieš pereinant prie praktinių pavyzdžių, nedidelis DUK apie apibrėžtąjį integralą.

Ką reiškia išspręsti apibrėžtąjį integralą? Išspręsti apibrėžtąjį integralą reiškia rasti skaičių.

Kaip išspręsti apibrėžtąjį integralą? Iš mokyklos žinomos Niutono-Leibnizo formulės pagalba:

Formulę geriau perrašyti ant atskiro popieriaus lapo, ji turi būti prieš akis visos pamokos metu.

Nustatyto integralo sprendimo veiksmai yra tokie:

1) Pirmiausia randame antiderivatinę funkciją (neapibrėžtą integralą). Atkreipkite dėmesį, kad konstanta apibrėžtajame integrale nepridėta. Pavadinimas yra grynai techninis, o vertikali lazda neturi matematinės reikšmės, iš tikrųjų tai tik perbraukta. Kodėl rekordas reikalingas? Pasiruošimas taikyti Niutono-Leibnizo formulę.

2) Antiderivatinėje funkcijoje pakeičiame viršutinės ribos reikšmę: .

3) Žemutinės ribos reikšmę pakeičiame antiderivatine funkcija: .

4) Apskaičiuojame (be klaidų!) skirtumą, tai yra randame skaičių.

Ar visada egzistuoja apibrėžtas integralas? Ne ne visada.

Pavyzdžiui, integralas neegzistuoja, nes integravimo intervalas nėra įtrauktas į integrando sritį (reikšmės po kvadratine šaknimi negali būti neigiamos). Štai ne toks ryškus pavyzdys: . Čia apie integravimo intervalą liestinė ištveria nesibaigiančios pertraukos taškuose , , ir todėl toks apibrėžtas integralas taip pat neegzistuoja. Beje, kas dar neskaitė metodinės medžiagos Grafikai ir pagrindinės elementariųjų funkcijų savybės– Dabar pats laikas tai padaryti. Tai bus puiku padėti per aukštosios matematikos kursą.

Dėl tam, kad apibrėžtasis integralas išvis egzistuotų, pakanka, kad integralas būtų tęstinis integravimo intervale.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia pirmoji svarbi rekomendacija: prieš sprendžiant bet kokį apibrėžtąjį integralą, turite įsitikinti, kad integralas nuolatinis integravimo intervale. Būdamas studentas ne kartą turėjau atvejį, kai ilgą laiką kentėjau suradęs sunkų primityvą, o kai pagaliau jį radau, susimąsčiau dėl dar vieno klausimo: „kokia nesąmonė išėjo?“. Supaprastintoje versijoje situacija atrodo maždaug taip:

???! Negalite pakeisti neigiamų skaičių po šaknimi! Kas per velnias?! pradinis neatsargumas.

Jei sprendiniui (teste, teste, egzamine) jums siūlomas integralas kaip arba , tuomet reikia atsakyti, kad šio apibrėžtojo integralo nėra ir pagrįsti kodėl.

! Pastaba : pastaruoju atveju negalima praleisti žodžio „tam tikras“, nes integralas su taškiniais nenutrūkstamumais dalijamas į kelis, šiuo atveju – į 3 netinkamus integralus, ir formuluotė „šio integralo nėra“ pasidaro neteisinga.

Ar apibrėžiamasis integralas gali būti lygus neigiamam skaičiui? Gal būt. Ir neigiamas skaičius. Ir nulis. Gali net pasirodyti, kad tai begalybė, bet taip jau bus netinkamas integralas, kuriai skaitoma atskira paskaita.

Ar apatinė integracijos riba gali būti didesnė už viršutinę integracijos ribą? Galbūt tokia situacija iš tikrųjų pasitaiko praktikoje.

- integralas ramiai apskaičiuojamas naudojant Niutono-Leibnizo formulę.

Be ko neapsieina aukštoji matematika? Žinoma, be visokių savybių. Todėl nagrinėjame kai kurias apibrėžtojo integralo savybes.

Tam tikru integralu galite pertvarkyti viršutinę ir apatinę ribas, keisdami ženklą:

Pavyzdžiui, apibrėžtame integrale prieš integravimą patartina pakeisti integravimo ribas į „įprastą“ tvarką:

- tokia forma integracija yra daug patogesnė.

- tai galioja ne tik dviem, bet ir bet kokiam skaičiui funkcijų.

Tam tikru integralu galima atlikti integravimo kintamojo pasikeitimas, tačiau, lyginant su neapibrėžtuoju integralu, tai turi savo specifiką, apie kurią pakalbėsime vėliau.

Dėl apibrėžto integralo, integravimo dalimis formulė:

1 pavyzdys

Sprendimas:

(1) Konstantą išimame iš integralo ženklo.

(2) Integruojame per lentelę naudodami populiariausią formulę . Patartina atskirti atsiradusią konstantą nuo ir įdėti ją iš skliaustų. To daryti nebūtina, bet pageidautina – kam atlikti papildomus skaičiavimus?

. Pirmiausia pakeičiame viršutinę, tada apatinę ribą. Atliekame tolesnius skaičiavimus ir gauname galutinį atsakymą.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Tai yra savarankiško sprendimo, sprendimo ir atsakymo pavyzdys pamokos pabaigoje.

Šiek tiek apsunkinkime:

3 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Sprendimas:

(1) Mes naudojame apibrėžtojo integralo tiesiškumo savybes.

(2) Integruojame per lentelę, išimdami visas konstantas – jos nedalyvaus keičiant viršutinę ir apatinę ribas.

(3) Kiekvienam iš trijų terminų taikome Niutono-Leibnizo formulę:

SILPNĖ RYŠYS apibrėžtajame integrale yra skaičiavimo klaidos ir įprastas ŽENKLŲ PAINIOJIMAS. Būk atsargus! Aš sutelkiu dėmesį į trečią terminą: - pirmoji vieta hitų parade klaidų dėl neatidumo, labai dažnai jos rašo automatiškai (ypač kai viršutinės ir apatinės ribos pakeičiamos žodžiu ir nepasirašyta taip detaliai). Dar kartą atidžiai išstudijuokite aukščiau pateiktą pavyzdį.

Pažymėtina, kad svarstomas apibrėžtojo integralo sprendimo būdas nėra vienintelis. Turint tam tikrą patirtį, sprendimas gali būti žymiai sumažintas. Pavyzdžiui, aš pats sprendžiau tokius integralus:

Čia aš žodžiu naudojau tiesiškumo taisykles, žodžiu integravau per lentelę. Gavau tik vieną skliaustelį su nurodytomis ribomis: (priešingai nei trys skliausteliuose pirmajame metode). Ir "visoje" antiderivatinėje funkcijoje aš pirmiausia pakeičiau 4, tada -2, vėl atlikdamas visus veiksmus mintyse.

Kokie yra trumpojo sprendimo metodo trūkumai? Skaičiavimų racionalumo požiūriu čia viskas nėra labai gerai, bet man asmeniškai tai nerūpi - skaičiuotuvu skaičiuoju paprastas trupmenas.
Be to, padidėja rizika suklysti atliekant skaičiavimus, todėl studentui-manekenui geriau naudoti pirmąjį metodą, su „mano“ sprendimo būdu ženklas tikrai kažkur pasimes.

Tačiau neabejotini antrojo metodo pranašumai yra sprendimo greitis, užrašymo kompaktiškumas ir tai, kad antidarinys yra viename skliaustelyje.

Patarimas: prieš naudojant Niutono-Leibnizo formulę, pravartu pasitikrinti: ar teisingai rastas pats antidarinys?

Taigi, kalbant apie nagrinėjamą pavyzdį: prieš pakeičiant viršutinę ir apatinę ribas į antiderivatinę funkciją, patartina juodraštyje patikrinti, ar neapibrėžtasis integralas apskritai buvo rastas teisingai? Atskirti:

Gautas pradinis integralas, o tai reiškia, kad neapibrėžtasis integralas buvo rastas teisingai. Dabar galite taikyti Niutono-Leibnizo formulę.

Toks patikrinimas nebus nereikalingas skaičiuojant bet kokį apibrėžtą integralą.

4 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys. Pabandykite tai išspręsti trumpai ir išsamiai.

Kintamojo kaita apibrėžtajame integrale

Apibrėžtajam integralui galioja visų tipų pakaitalai, kaip ir neapibrėžtam integralui. Taigi, jei jums nelabai sekasi keistis, turėtumėte atidžiai perskaityti pamoką. Pakeitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.

Šioje pastraipoje nėra nieko baisaus ar sudėtingo. Naujovė slypi klausime kaip pakeisti integracijos ribas.

Pavyzdžiuose pabandysiu pateikti tokius pakaitalų tipus, kurių dar nebuvo niekur svetainėje.

5 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Pagrindinis klausimas čia visai ne tam tikru integralu, o kaip teisingai atlikti pakeitimą. Mes žiūrime vientisas stalas ir mes išsiaiškinsime, kaip atrodo mūsų integrandas? Akivaizdu, kad pagal ilgą logaritmą: . Tačiau yra vienas neatitikimas, lentelės integralas po šaknimi, o mūsų - „x“ iki ketvirto laipsnio. Pakeitimo idėja išplaukia iš samprotavimo - būtų malonu kažkaip paversti mūsų ketvirtąją galią kvadratu. Tai yra tikra.

Pirmiausia paruošiame savo integralą pakeitimui:

Atsižvelgiant į tai, kas išdėstyta pirmiau, pakeitimas savaime suprantamas kaip:
Taigi vardiklyje viskas bus gerai: .
Sužinome, į ką pavirs likusi integrando dalis, tam randame skirtumą:

Palyginti su pakeitimu neapibrėžtame integrale, pridedame papildomą žingsnį.

Naujų integracijos ribų radimas.

Tai pakankamai paprasta. Mes žiūrime į mūsų pakeitimą ir senas integracijos ribas, .

Pirma, pakeitimo išraiška pakeičiame apatinę integracijos ribą, ty nulį:

Tada pakaitine išraiška pakeičiame viršutinę integravimo ribą, ty trijų šaknį:

Paruošta. Ir tik kažkas…

Tęskime sprendimą.

(1) Pagal pakeitimą parašyti naują integralą su naujomis integravimo ribomis.

(2) Tai yra paprasčiausias lentelės integralas, integruojame per lentelę. Konstantą geriau palikti skliausteliuose (to negalite padaryti), kad ji netrukdytų tolesniems skaičiavimams. Dešinėje nubrėžiame liniją, nurodančią naujas integracijos ribas – tai pasiruošimas taikyti Niutono-Leibnizo formulę.

(3) Mes naudojame Niutono-Leibnizo formulę .

Atsakymą stengiamės parašyti kuo kompaktiškiausia forma, čia panaudojau logaritmų savybes.

Kitas skirtumas nuo neapibrėžto integralo yra tas, kad atlikus pakeitimą, nereikia keisti.

O dabar keli nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai. Kokius pakeitimus atlikti - pabandykite atspėti patys.

6 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

7 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Tai yra savipagalbos pavyzdžiai. Sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Ir pastraipos pabaigoje pora svarbių punktų, kurių analizė pasirodė svetainės lankytojų dėka. Pirmasis susijęs su pakeitimo teisėtumas. Kai kuriais atvejais to padaryti negalima! Taigi 6 pavyzdys gali būti išspręstas naudojant universalus trigonometrinis pakeitimas, bet viršutinė integracijos riba („pi“) neįtraukti į domenasši liestinė ir todėl šis pakeitimas yra neteisėtas! Šiuo būdu, „pakeitimo“ funkcija turi būti nuolatinė iš viso integracijos segmento taškai.

Kitame elektroniniame laiške buvo gautas toks klausimas: „Ar reikia keisti integracijos ribas, kai funkciją perkeliame po diferencialiniu ženklu?“. Iš pradžių norėjau „gūžčioti pečiais nuo nesąmonių“ ir automatiškai atsakyti „žinoma, kad ne“, bet paskui pagalvojau apie tokio klausimo priežastį ir staiga atradau, kad informacija trūksta. Bet tai, nors ir akivaizdu, bet labai svarbu:

Jei funkciją perkelsime po diferencialo ženklu, tada integracijos ribų keisti nereikia! Kodėl? Kadangi šiuo atveju nėra faktinio perėjimo prie naujo kintamojo. Pavyzdžiui:

Ir čia sumuoti daug patogiau nei akademinį pakeitimą vėlesniu naujų integracijos ribų „piešimu“. Šiuo būdu, jei apibrėžtasis integralas nėra labai sudėtingas, tada visada stenkitės funkciją priskirti diferencialo ženklu! Tai greitesnė, kompaktiškesnė ir įprasta – kaip matysite dešimtis kartų!

Labai ačiū už jūsų laiškus!

Integravimo dalimis į apibrėžtąjį integralą metodas

Čia dar mažiau naujovių. Visi straipsnio skelbimai Integravimas dalimis neapibrėžtajame integralu pilnai galioja ir apibrėžtajam integralui.
Be to, yra tik viena detalė, integravimo pagal dalis formulėje pridedamos integravimo ribos:

Niutono-Leibnizo formulė čia turi būti taikoma du kartus: produktui ir, paėmus integralą.

Pavyzdžiui, aš vėl pasirinkau integralo tipą, kurio nemačiau niekur kitur svetainėje. Pavyzdys nėra pats lengviausias, bet labai labai informatyvus.

8 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Mes nusprendžiame.

Integravimas dalimis:

Kas turėjo sunkumų su integralu, pažiūrėkite į pamoką Trigonometrinių funkcijų integralai, kur tai išsamiai aptariama.

(1) Rašome sprendimą pagal integravimo dalimis formulę.

(2) Gaminiui naudojame Niutono-Leibnizo formulę. Likusiam integralui naudojame tiesiškumo savybes, padalindami jį į du integralus. Nesusipainiokite dėl ženklų!

(4) Mes taikome Niutono-Leibnizo formulę dviem rastiems antidariniams.

Jei atvirai, man nepatinka formulė ir, jei įmanoma,... apsieikite be jo! Apsvarstykite antrąjį sprendimo būdą, mano požiūriu, jis yra racionalesnis.

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Pirmame žingsnyje randu neapibrėžtą integralą:

Integravimas dalimis:

Nustatyta antiderivatinė funkcija. Šiuo atveju nėra prasmės pridėti konstantą.

Koks tokios kelionės privalumas? Nereikia „tempti“ integracijos ribų, išties gali kankintis keliolika kartų rašant mažas integracijos ribų piktogramas

Antrame etape aš patikrinu(dažniausiai juodraštyje).

Tai irgi logiška. Jei neteisingai radau antiderivatinę funkciją, tai ir apibrėžtąjį integralą išspręsiu neteisingai. Geriau iš karto sužinoti, atskirkime atsakymą:

Gautas originalus integrandas, o tai reiškia, kad antiderivatinė funkcija buvo rasta teisingai.

Trečiasis etapas – Niutono-Leibnizo formulės taikymas:

Ir čia yra didelė nauda! „Mano“ sprendimo būdu yra daug mažesnė rizika susipainioti keičiant ir skaičiuojant – Niutono-Leibnizo formulė taikoma tik vieną kartą. Jei virdulys išsprendžia panašų integralą naudodamas formulę (pirmas būdas), tada stopudovo kur nors suklys.

Nagrinėjamas sprendimo algoritmas gali būti taikomas bet kuriam apibrėžtajam integralui.

Gerbiamas studente, atsispausdinkite ir išsaugokite:

Ką daryti, jei duotas apibrėžtasis integralas, kuris atrodo sudėtingas, arba iš karto neaišku, kaip jį išspręsti?

1) Pirmiausia randame neapibrėžtą integralą (antiderivatinę funkciją). Jei pirmame etape kilo šurmulys, beprasmiška siūbuoti valtį su Newtonu ir Leibnizu. Yra tik vienas būdas – padidinti savo žinių ir įgūdžių lygį sprendžiant neapibrėžtieji integralai.

2) Patikriname rastą antiderivatinę funkciją diferencijuodami. Jei jis bus rastas neteisingai, trečias žingsnis bus laiko švaistymas.

3) Mes naudojame Niutono-Leibnizo formulę. Visus skaičiavimus atliekame YPAČ ATSARGIAI – čia yra silpniausia užduoties grandis.

Ir užkandžiui – neatsiejama savarankiško sprendimo dalis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Sprendimas ir atsakymas yra kažkur netoliese.

Ši rekomenduojama pamoka šia tema yra − Kaip apskaičiuoti figūros plotą naudojant apibrėžtąjį integralą?
Integravimas dalimis:

Ar tikrai juos išsprendėte ir gavote tokius atsakymus? ;-) Ir yra pornografija apie seną moterį.

Integralų sprendimo procesas moksle, vadinamas „matematika“, vadinamas integracija. Integravimo pagalba galite rasti kai kuriuos fizikinius dydžius: plotą, tūrį, kūnų masę ir daug daugiau.

Integralai yra neapibrėžti ir apibrėžti. Apsvarstykite apibrėžtojo integralo formą ir pabandykite suprasti jo fizinę reikšmę. Jis atrodo taip: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Skiriamasis bruožas rašant apibrėžtąjį integralą iš neapibrėžto yra tas, kad yra a ir b integravimo ribos. Dabar išsiaiškinsime, kam jie skirti ir ką reiškia apibrėžtas integralas. Geometrine prasme toks integralas yra lygus figūros plotui, kurį riboja kreivė f(x), tiesės a ir b bei ašis Ox.

Iš 1 pav. matyti, kad apibrėžtasis integralas yra ta sritis, kuri nudažyta pilka spalva. Pažiūrėkime tai paprastu pavyzdžiu. Raskime paveikslo plotą žemiau esančiame paveikslėlyje naudodami integraciją, tada apskaičiuokite jį įprastu būdu, padaugindami ilgį iš pločio.

2 paveiksle parodyta, kad $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Dabar juos pakeičiame į integralo apibrėžimą ir gauname, kad $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(vienetas)^2 $$ Patikrinkime įprastu būdu. Mūsų atveju ilgis = 3, figūros plotis = 1. $$ S = \tekstas(ilgis) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(vienetas)^2 $$ Kaip matote, viskas puikiai sutapo.

Kyla klausimas: kaip spręsti neapibrėžtuosius integralus ir kokia jų reikšmė? Tokių integralų sprendimas yra antidarinių funkcijų radimas. Šis procesas yra priešingas darinio suradimui. Norėdami rasti antidarinį, galite pasinaudoti mūsų pagalba sprendžiant matematikos uždavinius arba turite savarankiškai įsiminti integralų savybes ir paprasčiausių elementariųjų funkcijų integravimo lentelę. Radimas atrodo taip $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(kur) F(x) $ yra $ f(x) antidarinys, C = const $.

Norint išspręsti integralą, reikia integruoti funkciją $ f(x) $ kintamojo atžvilgiu. Jei funkcija yra lentelės forma, atsakymas rašomas atitinkama forma. Jei ne, tada procesas sumažinamas iki lentelės funkcijos gavimo iš funkcijos $ f(x) $ sudėtingomis matematinėmis transformacijomis. Tam yra įvairių metodų ir savybių, kurias aptarsime toliau.

Taigi, dabar sukurkime algoritmą, kaip išspręsti manekenų integralus?

Integralų skaičiavimo algoritmas

1. Sužinokite apibrėžtąjį integralą ar ne.
2. Jei neapibrėžta, tuomet reikia rasti integrando $ f(x) $ antiderivatinę funkciją $ F(x) $ naudojant matematines transformacijas, kurios atneša funkciją $ f(x) $ į lentelės formą.
3. Jei apibrėžta, reikia atlikti 2 veiksmą, o tada ribas $a$ ir $b$ pakeisti antiderivatine funkcija $F(x)$. Pagal kokią formulę tai padaryti, sužinosite straipsnyje „Niutono Leibnizo formulė“.

Sprendimo pavyzdžiai

Taigi, jūs išmokote spręsti integralus manekenams, integralų sprendimo pavyzdžiai buvo surūšiuoti lentynose. Jie sužinojo jų fizinę ir geometrinę reikšmę. Sprendimo būdai bus aptarti kituose straipsniuose.

Internetinė paslauga įjungta Interneto svetainė leidžia rasti sprendžiant apibrėžtąjį integralą internete. Sprendimas automatiškai įvykdomas serveryje ir per kelias sekundes vartotojui pateikiamas rezultatas. Visos internetinės paslaugos svetainėje yra visiškai nemokamos, o sprendimas pateikiamas patogia ir suprantama forma. Taip pat mūsų privalumas yra tas, kad suteikiame vartotojui galimybę patekti į integracijos ribas, įskaitant integracijos ribas: minuso ir pliuso begalybę. Taigi apibrėžtojo integralo sprendimas tampa paprastas, greitas ir kokybiškas. Svarbu, kad serveris leistų apskaičiuokite apibrėžtuosius integralus internete sudėtingų funkcijų, kurių sprendimas kitose internetinėse paslaugose dažnai neįmanomas dėl jų sistemų netobulumo. Pateikiame labai paprastą ir intuityvų mechanizmą funkcijų įvedimui ir galimybę pasirinkti integravimo kintamąjį, kuriam nereikia versti viename kintamajame pateiktos funkcijos į kitą, pašalinant su tuo susijusias klaidas ir rašybos klaidas. Puslapyje taip pat yra nuorodų į teorinius straipsnius ir lenteles apie apibrėžtųjų integralų sprendimą. Visa tai kartu leis labai greitai internete apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ir, jei norite, rasti ir suprasti apibrėžtųjų integralų sprendimo teoriją. Svetainėje http: // taip pat galite pereiti į kitas paslaugas: internetinį limitų sprendimą, išvestines, serijų sumas. Eiti į neapibrėžtų integralų sprendimo skirtuką internete yra gana paprasta - nuoroda yra eilėje tarp naudingų nuorodų. Be to, paslauga nuolat tobulinama ir tobulinama, o kasdien atsiranda vis daugiau naujų funkcijų ir patobulinimų. Išspręskite apibrėžtuosius integralus kartu su mumis! Visos internetinės paslaugos yra prieinamos net neregistruotiems vartotojams ir yra visiškai nemokamos.

Išspręsdami konkretų integralą su mumis, galite patikrinti savo sprendimą arba atsikratyti nereikalingų daug laiko reikalaujančių skaičiavimų ir pasitikėti aukštųjų technologijų automatizuota mašina. Paslaugoje apskaičiuotas tikslumas atitiks beveik visus inžinerinius standartus. Dažnai daugelio lentelių apibrėžtųjų integralų rezultatas pateikiamas tiksliais terminais (naudojant gerai žinomas konstantas ir neelementarias funkcijas).