Klasė: 8

Pamokos tikslas: supažindinti su apskritimo lygtimi, išmokyti nubraižyti apskritimo lygtį pagal baigtą brėžinį, sukonstruoti apskritimą pagal duotą lygtį.

Įranga: interaktyvi lenta.

Pamokos planas:

1. Organizacinis momentas – 3 min.
2. Kartojimas. Protinės veiklos organizavimas – 7 min.
3. Naujos medžiagos paaiškinimas. Apskritimo lygties išvedimas - 10 min.
4. Tirtos medžiagos konsolidavimas - 20 min.
5. Pamokos santrauka – 5 min.

Per užsiėmimus

2. Kartojimas:

− (1 priedas skaidrė 2) užrašykite atkarpos vidurio koordinačių radimo formulę;

− (3 skaidrė) Z parašykite atstumo tarp taškų formulę (atkarpos ilgis).

3. Naujos medžiagos paaiškinimas.

(4–6 skaidrės) Apibrėžkite apskritimo lygtį. Išveskite apskritimo, kurio centras yra taške, lygtis ( a;b) ir centruojamas ištakoje.

(X – a ) 2 + (adresu – b ) 2 = R 2 − apskritimo lygtis su centru NUO (a;b) , spindulys R , X ir adresu – savavališko apskritimo taško koordinatės .

X 2 + y 2 = R 2 yra apskritimo, kurio centras yra pradžios taške, lygtis.

(7 skaidrė)

Norėdami parašyti apskritimo lygtį, jums reikia:

• žinoti centro koordinates;
• žinoti spindulio ilgį;
• pakeiskite centro koordinates ir spindulio ilgį į apskritimo lygtį.

4. Problemų sprendimas.

Užduotyse Nr. 1 - Nr. 6 sudarykite apskritimo lygtis pagal paruoštus brėžinius.

(14 skaidrė)

№ 7. Užpildyk lentelę.

(15 skaidrė)

№ 8. Sąsiuvinyje sukonstruokite apskritimus pagal lygtis:

a) ( X – 5) 2 + (adresu + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (adresu– 7) 2 = 7 2 .

(16 skaidrė)

№ 9. Raskite centro koordinates ir spindulio ilgį, jei AB yra apskritimo skersmuo.

Duota:		Sprendimas:
		R	Centro koordinatės
1	BET(0 ; -6) AT(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	BET(0; -6) AT(0 ; 2) NUO(0 ; – 2) – centras
2	BET(-2 ; 0) AT(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	BET (-2;0) AT (4 ;0) NUO(1 ; 0) – centras

(17 skaidrė)

№ 10. Parašykite apskritimo, kurio centras eina per tašką, pradžios tašką, lygtį Į(-12;5).

Sprendimas.

R2 = Gerai 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Apskritimo lygtis: x 2 + y 2 = 169 .

(18 skaidrė)

№ 11. Parašykite apskritimo, einančio per pradžią ir kurio centras yra taške, lygtį NUO(3; - 1).

Sprendimas.

R2 = OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Apskritimo lygtis: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(19 skaidrė)

№ 12. Parašykite apskritimo su centru lygtį BET(3;2) praeinant AT(7;5).

Sprendimas.

1. Apskritimo centras - BET(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Apskritimo lygtis ( X – 3) 2 + (adresu − 2) 2 = 25.

(20 skaidrė)

№ 13. Patikrinkite, ar taškai meluoja BET(1; -1), AT(0;8), NUO(-3; -1) apskritime, pateiktoje lygtyje ( X + 3) 2 + (adresu − 4) 2 = 25.

Sprendimas.

aš. Pakeiskite taško koordinates BET(1; -1) į apskritimo lygtį:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - lygybė neteisinga, o tai reiškia BET(1; -1) nemeluoja ant apskritimo, pateikto lygtimi ( X + 3) 2 + (adresu − 4) 2 = 25.

II. Pakeiskite taško koordinates AT(0;8) į apskritimo lygtį:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
AT(0;8)melas X + 3) 2 + (adresu − 4) 2 = 25.

III. Pakeiskite taško koordinates NUO(-3; -1) į apskritimo lygtį:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - lygybė yra tiesa, taigi NUO(-3; -1) melas ant apskritimo, pateikto lygtimi ( X + 3) 2 + (adresu − 4) 2 = 25.

Pamokos santrauka.

1. Pakartokite: apskritimo lygtis, apskritimo, kurio centras yra taške, lygtis.
2. (21 skaidrė) Namų darbai.

Pamokos tema: Apskritimo lygtis

Pamokos tikslai:

Švietimas: Išveskite apskritimo lygtį, šios problemos sprendimą laikydamos viena iš koordinačių metodo taikymo galimybių.

Galėti:

– Atpažinti apskritimo lygtį pagal pasiūlytą lygtį, išmokyti studentus sudaryti apskritimo lygtį pagal baigtą brėžinį, sukonstruoti apskritimą pagal pateiktą lygtį.

Švietimo : Kritinio mąstymo formavimas.

Švietimo : Sugebėjimo sudaryti algoritminius nurodymus ir gebėjimo veikti pagal siūlomą algoritmą ugdymas.

Galėti:

– Pamatykite problemą ir suplanuokite jos sprendimo būdus.

– Apibendrinkite savo mintis žodžiu ir raštu.

Pamokos tipas: naujų žinių įsisavinimas.

Įranga : kompiuteris, multimedijos projektorius, ekranas.

Pamokos planas:

1. Atidarymo kalba – 3 min.

2. Žinių atnaujinimas - 2 min.

3. Problemos išdėstymas ir jos sprendimas -10 min.

4. Naujos medžiagos tvirtinimas priekyje - 7 min.

5. Savarankiškas darbas grupėse - 15 min.

6. Darbo pristatymas: diskusija - 5 min.

7. Pamokos rezultatas. Namų darbai – 3 min.

Per užsiėmimus

Šio etapo tikslas: Mokinių psichologinė nuotaika; Visų mokinių įtraukimas į mokymosi procesą, sėkmės situacijos kūrimas.

1. Laiko organizavimas.

3 minutes

Vaikinai! Su ratu susipažinote dar 5 ir 8 klasėse. Ką tu žinai apie ją?

Jūs daug žinote, ir šie duomenys gali būti naudojami sprendžiant geometrines problemas. Tačiau norint išspręsti problemas, kuriose naudojamas koordinačių metodas, to nepakanka.Kodėl?

Visiškai teisus.

Todėl pagrindinis šios dienos pamokos tikslas – iš tam tikros tiesės geometrinių savybių išvesti apskritimo lygtį ir pritaikyti ją geometriniams uždaviniams spręsti.

Paleiskpamokos šūkis taps Vidurinės Azijos mokslininko-enciklopedisto Al-Biruni žodžiai: „Žinios yra puikiausias turtas. Visi to siekia, bet tai neateina savaime“.

Užsirašykite pamokos temą sąsiuvinyje.

Apskritimo apibrėžimas.

Spindulys.

Skersmuo.

Akordas. ir kt.

Bendrosios apskritimo lygties formos dar nežinome.

Mokiniai išvardija viską, ką žino apie būrelį.

skaidrė 2

skaidrė 3

Etapo tikslas – susidaryti supratimą apie studentų mokymosi medžiagos kokybę, nustatyti pagrindines žinias.

2. Žinių atnaujinimas.

2 minutės

Išvedant apskritimo lygtį jums reikės jau žinomo apskritimo apibrėžimo ir formulės, leidžiančios rasti atstumą tarp dviejų taškų pagal jų koordinates.Prisiminkime šiuos faktus /Pmedžiagos kartojimas anksčiau studijavo/:

– Užrašykite atkarpos vidurio taško koordinačių nustatymo formulę.

– Užsirašykite vektoriaus ilgio skaičiavimo formulę.

– Užrašykite atstumo tarp taškų nustatymo formulę (segmento ilgis).

Redaguojami įrašai...

Geometrinė treniruotė.

Suteikti taškaiA (-1; 7) irĮ (7; 1).

Apskaičiuokite atkarpos AB vidurio taško ir jo ilgio koordinates.

Tikrina vykdymo teisingumą, taiso skaičiavimus ...

Vienas mokinys prie lentos, o kiti rašo formules į sąsiuvinius

Apskritimas yra geometrinė figūra, susidedanti iš visų taškų, esančių tam tikru atstumu nuo nurodyto taško.

| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²

M(x;y), A(x;y)

Apskaičiuokite: C (3; 4)

| AB | = 10

NUO gulėti 4

skaidrė 5

3. Naujų žinių formavimas.

12 minučių

Tikslas: sudaryti sąvoką – apskritimo lygtį.

Išspręsti problemą:

Apskritimas, kurio centras yra A(x; y), sudarytas stačiakampėje koordinačių sistemoje. M(x; y) - savavališkas apskritimo taškas. Raskite apskritimo spindulį.

Ar bet kurio kito taško koordinatės tenkins šią lygybę? Kodėl?

Padėkime abi lygties puses kvadratu.Dėl to turime:

r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² yra apskritimo lygtis, kur (x; y) yra apskritimo centro koordinatės, (x; y) yra savavališko apskritimo koordinatės taškas, esantis ant apskritimo, r yra apskritimo spindulys.

Išspręsti problemą:

Kokia bus apskritimo, kurio centras yra pradžioje, lygtis?

Taigi, ką reikia žinoti norint parašyti apskritimo lygtį?

Pasiūlykite apskritimo lygties sudarymo algoritmą.

Išvada: ... įrašykite į sąsiuvinį.

Spindulys yra atkarpa, jungianti apskritimo centrą su savavališku tašku, esančiu ant apskritimo. Todėl r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²

Bet kuris apskritimo taškas yra ant to apskritimo.

Mokiniai rašo į sąsiuvinius.

(0;0)-apskritimo centro koordinatės.

x² + y² = r², kur r yra apskritimo spindulys.

Apskritimo centro, spindulio, bet kurio apskritimo taško koordinatės...

Jie siūlo algoritmą...

Užsirašykite algoritmą į sąsiuvinį.

skaidrė 6

7 skaidrė

8 skaidrė

Mokytojas rašo lygtį ant lentos.

9 skaidrė

4. Pirminis tvirtinimas.

23 minutes

Tikslas:ką tik suvoktos medžiagos atgaminimas studentų, kad būtų išvengta susiformavusių idėjų ir koncepcijų praradimo. Naujų žinių, idėjų, sampratų įtvirtinimas jų pagrinduprogramos.

ZUN valdymas

Įgytas žinias pritaikykime spręsdami šiuos uždavinius.

Užduotis: Iš siūlomų lygčių įvardykite skaičius tų, kurios yra apskritimo lygtys. Ir jei lygtis yra apskritimo lygtis, tada įvardykite centro koordinates ir nurodykite spindulį.

Ne kiekviena antrojo laipsnio lygtis su dviem kintamaisiais apibrėžia apskritimą.

4x² + y² \u003d 4-elipsės lygtis.

x²+y²=0-taškas.

x² + y² \u003d -4-ši lygtis neapibrėžia jokios figūros.

Vaikinai! Ką reikia žinoti norint parašyti apskritimo lygtį?

Išspręsti problemą Nr 966 245 p. (vadovėlis).

Mokytojas pakviečia mokinį prie lentos.

Ar uždavinio sąlygoje nurodytų duomenų pakanka apskritimo lygčiai sudaryti?

Užduotis:

Parašykite apskritimo, kurio centras yra taške ir kurio skersmuo yra 8, lygtį.

Užduotis : nubrėžia apskritimą.

Centras turi koordinates?

Nustatykite spindulį... ir pastatykite

Užduotis 243 puslapyje (vadovėlis) suprantama žodžiu.

Naudodami problemų sprendimo planą iš p.243, išspręskite problemą:

Parašykite apskritimo, kurio centras yra taške A(3;2), lygtį, jei apskritimas eina per tašką B(7;5).

1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - apskritimo lygtis; (5; 3), r \u003d 6.

2) (x-1)² + y² \u003d 49 - apskritimo lygtis; (1; 0), r \u003d 7.

3) x² + y² \u003d 7 - apskritimo lygtis; (0; 0), r \u003d √7.

4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d 2- apskritimo lygtis; (-3;8),r=√2.

5) 4x² + y² \u003d 4 nėra apskritimo lygtis.

6) x² + y² = 0- nėra apskritimo lygtis.

7) x² + y² = -4- nėra apskritimo lygtis.

Žinokite apskritimo centro koordinates.

Spindulio ilgis.

Pakeiskite centro koordinates ir spindulio ilgį į bendrą apskritimo lygtį.

Spręsti uždavinį Nr.966 p.245 (vadovėlis).

Pakanka duomenų.

Jie išsprendžia problemą.

Kadangi apskritimo skersmuo yra du kartus didesnis už jo spindulį, tai r=8÷2=4. Todėl x² + y² = 16.

Atlikite apskritimų konstravimą

Vadovėlio darbas. Užduotis 243 puslapyje.

Duota: A (3; 2) - apskritimo centras; В(7;5)є(А;r)

Rasti: apskritimo lygtis

Sprendimas: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²

r² \u003d (x -3)² + (y -2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r² = 25

(x -3)² + (y -2)² \u003d 25

Atsakymas: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25

skaidrė 10-13

Tipinių problemų sprendimas ištariant sprendimą garsia kalba.

Mokytojas pakviečia vieną mokinį užrašyti gautą lygtį.

Grįžkite į 9 skaidrę

Šios problemos sprendimo plano aptarimas.

Skaidrė. penkiolika. Mokytojas pakviečia vieną mokinį prie lentos išspręsti šią problemą.

skaidrė 16.

skaidrė 17.

5. Pamokos santrauka.

5 minutės

Veiklos refleksija klasėje.

Namų darbai: §3, 91 punktas, kontroliniai klausimai Nr. 16,17.

Uždaviniai Nr.959(b,d,e),967.

Užduotis papildomam įvertinimui (probleminė užduotis): Sukonstruoti lygties pateiktą apskritimą

x² + 2x + y² -4y = 4.

Apie ką mes kalbėjome klasėje?

Ką norėjai gauti?

Koks buvo pamokos tikslas?

Kokias užduotis gali išspręsti mūsų „atradimas“?

Kuris iš jūsų mano, kad mokytojo pamokoje užsibrėžtą tikslą pasiekėte 100%, 50%; nepasiekei tikslo...?

Įvertinimas.

Užsirašykite namų darbus.

Mokiniai atsako į mokytojo klausimus. Atlikite savo veiklos įsivertinimą.

Mokiniai turi žodžiu išreikšti rezultatą ir būdus, kaip jį pasiekti.

perimetras yra plokštumos taškų, nutolusių nuo konkretaus taško, rinkinys, vadinamas centru.

Jei taškas C yra apskritimo centras, R yra jo spindulys, o M yra savavališkas taškas apskritime, tada pagal apskritimo apibrėžimą

Lygybė (1) yra apskritimo lygtis spindulys R, kurio centras yra taške C.

Tegu stačiakampė Dekarto koordinačių sistema (104 pav.) ir taškas C ( a; b) yra R spindulio apskritimo centras. Tegu М( X; adresu) yra savavališkas šio apskritimo taškas.

Nuo |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), tada (1) lygtį galima parašyti taip:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

(2) lygtis vadinama bendroji apskritimo lygtis arba R spindulio apskritimo, kurio centras yra taške ( a; b). Pavyzdžiui, lygtis

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

yra lygtis apskritimo spindulio R = 5, kurio centras yra taške (1; -3).

Jei apskritimo centras sutampa su pradžia, tada (2) lygtis įgauna formą

x 2 + adresu 2 = R2. (3)

(3) lygtis vadinama apskritimo kanoninė lygtis .

1 užduotis. Parašykite lygtį apskritimui, kurio spindulys R = 7 ir kurio centras yra taške.

Tiesiogiai pakeisdami spindulio reikšmę į (3) lygtį, gauname

x 2 + adresu 2 = 49.

2 užduotis. Parašykite lygtį apskritimo spinduliui R = 9, kurio centras yra taške C(3; -6).

Pakeitę taško C koordinačių reikšmę ir spindulio reikšmę į (2) formulę, gauname

(X - 3) 2 + (adresu- (-6)) 2 = 81 arba ( X - 3) 2 + (adresu + 6) 2 = 81.

3 užduotis. Raskite apskritimo centrą ir spindulį

(X + 3) 2 + (adresu-5) 2 =100.

Palyginę šią lygtį su bendrąja apskritimo lygtimi (2), matome, kad a = -3, b= 5, R = 10. Todėl С(-3; 5), R = 10.

4 užduotis.Įrodykite, kad lygtis

x 2 + adresu 2 + 4X - 2y - 4 = 0

yra apskritimo lygtis. Raskite jo centrą ir spindulį.

Transformuokime kairę šios lygties pusę:

x 2 + 4X + 4- 4 + adresu 2 - 2adresu +1-1-4 = 0

(X + 2) 2 + (adresu - 1) 2 = 9.

Ši lygtis yra apskritimo, kurio centras yra (-2; 1), lygtis; apskritimo spindulys lygus 3.

5 užduotis. Parašykite apskritimo, kurio centras yra taške C(-1; -1), liečiančio tiesę AB, lygtį, jei A (2; -1), B(-1; 3).

Parašykime tiesės AB lygtį:

arba 4 X + 3y-5 = 0.

Kadangi apskritimas liečia duotą tiesę, spindulys, nubrėžtas į sąlyčio tašką, yra statmenas šiai linijai. Norėdami rasti spindulį, turite rasti atstumą nuo taško C (-1; -1) - apskritimo centro iki tiesės 4 X + 3y-5 = 0:

Parašykime norimo apskritimo lygtį

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Tegu apskritimas pateikiamas stačiakampėje koordinačių sistemoje x 2 + adresu 2 = R2. Apsvarstykite jo savavališką tašką M( X; adresu) (105 pav.).

Tegul spindulio vektorius OM> taškas M sudaro dydžio kampą t su teigiama O ašies kryptimi X, tada taško M abscisės ir ordinatės keičiasi priklausomai nuo t

(0 t x ir y per t, mes randame

x= Rcos t ; y= R nuodėmė t , 0 t

Lygtys (4) vadinamos apskritimo, kurio centras yra taške, parametrinės lygtys.

6 užduotis. Apskritimas pateikiamas lygtimis

x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t

Parašykite šio apskritimo kanoninę lygtį.

Tai išplaukia iš sąlygos x 2 = 3, nes 2 t, adresu 2 = 3 nuodėmė 2 t. Sudėjus šias lygybes po termino, gauname

x 2 + adresu 2 = 3 (cos 2 t+ nuodėmė 2 t)

arba x 2 + adresu 2 = 3

Tiesės lygtis plokštumoje

Pirmiausia pristatykime tiesės lygties sąvoką dvimatėje koordinačių sistemoje. Tegu Dekarto koordinačių sistemoje nubrėžiama savavališka tiesė $L$ (1 pav.).

1 pav. Savavališka linija koordinačių sistemoje

1 apibrėžimas

Lygtis su dviem kintamaisiais $x$ ir $y$ vadinama tiesės $L$ lygtimi, jei šią lygtį tenkina bet kurio taško, priklausančio tiesei $L$ koordinatės, ir netenkina joks taškas, nepriklausantis eilutė $L.$

Apskritimo lygtis

Išveskime apskritimo lygtį Dekarto koordinačių sistemoje $xOy$. Tegul apskritimo $C$ centro koordinatės $(x_0,y_0)$, o apskritimo spindulys lygus $r$. Tegul taškas $M$ su koordinatėmis $(x,y)$ yra savavališkas šio apskritimo taškas (2 pav.).

2 pav. Apskritimas Dekarto koordinatėmis

Atstumas nuo apskritimo centro iki taško $M$ apskaičiuojamas taip

Bet kadangi $M$ yra ant apskritimo, gauname $CM=r$. Tada gauname štai ką

(1) lygtis yra lygtis apskritimo, kurio centras yra taške $(x_0,y_0)$ ir spindulys $r$.

Visų pirma, jei apskritimo centras sutampa su kilme. Tada apskritimo lygtis turi formą

Tiesios linijos lygtis.

Išveskime tiesės $l$ lygtį Dekarto koordinačių sistemoje $xOy$. Tegul taškai $A$ ir $B$ turi atitinkamai $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ ir $\(x_2,\ y_2\)$ koordinates, o taškai $A$ ir $B $ parenkami taip, kad tiesė $l$ būtų statmena atkarpos $AB$ pusiausvyra. Pasirenkame savavališką tašką $M=\(x,y\)$, priklausantį tiesei $l$ (3 pav.).

Kadangi tiesė $l$ yra statmena atkarpos $AB$ pusė, taškas $M$ yra vienodu atstumu nuo šios atkarpos galų, ty $AM=BM$.

Raskite šių kraštinių ilgius naudodami atstumo tarp taškų formulę:

Vadinasi

Žymėkite $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1)^2 -(y_1)^2$, Gauname, kad tiesės lygtis Dekarto koordinačių sistemoje turi tokią formą:

Dekarto koordinačių sistemos tiesių lygčių paieškos uždavinio pavyzdys

1 pavyzdys

Raskite apskritimo, kurio centras yra taške $(2,\ 4)$, lygtį. Einanti per pradžią ir tiesią liniją, lygiagrečią $Ox,$ ašiai, einanti per jos centrą.

Sprendimas.

Pirmiausia suraskime duoto apskritimo lygtį. Norėdami tai padaryti, naudosime bendrąją apskritimo lygtį (išvestą aukščiau). Kadangi apskritimo centras yra taške $(2,\ 4)$, gauname

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Raskite apskritimo spindulį kaip atstumą nuo taško $(2,\ 4)$ iki taško $(0,0)$

Apskritimo lygtis yra tokia:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Dabar raskime apskritimo lygtį specialiuoju atveju 1. Gauname