Ketvirtosios eilės linija (kreivė). iškviesti tiesę, apibrėžtą ketvirtojo laipsnio algebrine lygtimi Dekarto stačiakampių koordinačių atžvilgiu. Penktos, šeštos ir kitų eilių linijos (kreivės) apibrėžiamos panašiai.

Ketvirtosios eilės eilučių (kreivių) rinkinyje jau yra ne dešimtys, o tūkstančiai tam tikro tipo eilučių. Penktos ir šeštos eilės eilučių rinkiniai dar įvairesni. Čia atsižvelgiama į tam tikrus ketvirtojo ir aukštesnio laipsnio linijų tipus, kurie turi įdomių savybių ir praktinio pritaikymo.

Lemniscate Bernoulli

Pasukime į kreivę, kurią apibūdina plokštumos taškas M, kad šio taško atstumų iki dviejų konkrečių tos pačios plokštumos taškų F 1 ir F 2 sandauga išliktų nepakitusi. Tokia kreivė vadinama lemniskatu (lemniscate graikiškai reiškia „juosta“). Jei atkarpos ilgis F 1 F 2 yra c, tai atstumai nuo atkarpos F 1 F 2 vidurio O iki F1 ir F2 yra lygūs c / 2 ir šių atstumų sandauga lygi - c 2 / 4. Pirmiausia reikalaukime, kad nekintamosios sandaugos p reikšmė būtų lygi 2/4; Tada

linijos tvarka transcendentinė spiralė

Ryžiai. 8

taškas O gulės ant lemniskato, o pats lemniskatas atrodys kaip „gulintis aštuonetas“ (8 pav.). Jei tęsiame atkarpą F 1 F 2 abiem kryptimis iki susikirtimo su lemniskatu, tada gauname du taškus A 1 ir A 2. Atstumą tarp A 1 A 2 \u003d x išreiškiame žinomu atstumu c:

Lemniskato židiniai yra F1 (? c; 0) ir F2 (c; 0). Paimkite savavališką tašką M (x; y). Atstumų nuo židinio iki taško M sandauga yra

Ir pagal apibrėžimą jis lygus c2:

Abi lygties puses padalijame kvadratu:

Išplėskite skliaustus kairėje pusėje:

Atidarome skliaustus ir sutraukiame naują sumos kvadratą:

Išimame bendrą faktorių ir perkeliame:

Šiuo atveju a yra apskritimo, apibūdinančio lemniskatą, spindulys. Atlikę paprastas transformacijas, galime gauti aiškią lygtį:

Pažymime kvadratu ir atidarome skliaustus:

Prisimename

Tai kvadratinė lygtis y". Išspręsdami ją, gauname

Paėmę šaknį ir atmetę parinktį su neigiamu antruoju terminu, gauname:

kur teigiamas variantas apibrėžia viršutinę lemniskato pusę, neigiamas – apatinę.

Jei pastovios sandaugos p reikšmė nėra lygi 2/4, tai lemniskatas pakeis savo formą. O kai p mažesnis už c 2 /4, lemniskatas susideda iš dviejų ovalų, kurių kiekviename yra atitinkamai taškai F 1 ir F 2 (9 pav.).

Ryžiai. 9

Tai. nustatę skirtingas p ir c 2 /4 sąlygas, gausime įvairių tipų lemniskatus (10 pav.).

Ryžiai. 10

Dabar paimkime bet kokį taškų skaičių lėktuve. F 1 , F 2 ,…, F n Gaukime Kreivę, kurios forma priklausys nuo to, kaip taškai F 1 , F 2 ,…, F n išsidėstę vienas kito atžvilgiu ir kokia yra pastovios sandaugos reikšmė. Ši kreivė vadinama lemniskatu su n židinių.

Aukščiau mes svarstėme lemniskatus su dviem židiniais. Paėmus skirtingą židinių skaičių, skirtingai juos išdėstant ir atstumų sandaugai priskiriant tą ar kitą reikšmę, galima gauti keisčiausių kontūrų lemniskatus. Nuveskime pieštuko tašką nuo tam tikro taško A, nenuimdami jo nuo popieriaus, kad jis galiausiai grįžtų į pradinį tašką A. Tada jis apibūdins tam tikrą kreivę; mes tik reikalaujame, kad ši kreivė niekur nesikirstų

Ryžiai. 11

pats. Akivaizdu, kad tokiu būdu galima gauti kreivių, turinčių, pavyzdžiui, žmogaus galvos arba paukščio kontūrus (11 pav.). Pasirodo, kad turint tokią savavališką kreivę galima pasirinkti skaičių n ir židinių išdėstymą tokiu būdu

F 1 , F 2 ,…, F n

ir priskirti tokią reikšmę pastoviai atstumų sandaugai

МF 1 МF 2 … МF n = p

kad atitinkamas lemniskatas akimis nesiskirs nuo šios kreivės. Kitaip tariant, galimi taško M nukrypimai, apibūdinantys lemniskatą, nuo nubraižytos kreivės - neviršys pieštuko brūkšnio pločio (pieštuką galima iš anksto pagaląsti taip, kaip jums patinka, kad potėpis būtų labai siauras). Šis nuostabus faktas, bylojantis apie nepaprastą daug židinių turinčių lemniskatų formų įvairovę ir turtingumą, yra gana griežtai, bet labai sunkiai įrodytas pasitelkus aukštąją matematiką.

Paskalio sraigė

Taškų M ir M" vieta, esanti ant pieštuko linijų (kurių centras O yra R spindulio apskritime) atstumu a abiejose linijų sankirtos su apskritimu P taško pusėse; taigi, PM = PM" = a. lygtis stačiakampėmis koordinatėmis: (x2 + y2 - 2Rx)2 - a2(x2 + y2) = 0, polinėmis koordinatėmis: r = 2R cos j + a. Kai a = 2R, kilpa susitraukia iki taško, tokiu atveju Paskalio sraigė virsta kardioidu. Pavadinimas pavadintas prancūzų mokslininko B. Pascalio (1588-1651), kuris pirmą kartą jį ištyrė, vardu.

Cikloidinės kreivės

Įsivaizduokite, kad tam tikra kreivė rieda neslysdama kita kreive; bet kuris taškas, visada susijęs su pirmąja kreive, apibūdins naują kreivę. Taigi galite įsivaizduoti elipsę, riedančią ant kitos elipsės, ir tyrinėti liniją, kuria judės jos centras, arba nustatyti tiesia linija riedančios parabolės židinio trajektoriją ir pan.

Tarp taip suformuotų kreivių išskiriamos kreivės, kurios yra taško, nuolat sujungto su apskritimu, kuris rieda neslysdamas kitu apskritimu, trajektorijos. Gautos eilutės vadinamos cikloidinis.

Formuojant cikloidines kreives, braižymo taškas tam tikru atstumu atskiriamas nuo generuojančio (judančio) apskritimo centro. Konkrečiu atveju jis yra sukuriančio apskritimo apskritime. Esant šiai sąlygai, gautos kreivės skirstomos į epicikloidus ir hipocikloidus, priklausomai nuo to, ar generuojantis ratas yra fiksuoto apskritimo išorėje ar viduje.

Algebrinės kreivės apima tokias gerai žinomas kreives kaip kardioidas, astroidas, apsvarstykime šias kreives.

Kardioidinis

1. Lygtis. Kardioidą galima apibrėžti kaip taško, esančio ant apskritimo, kurio spindulys yra r, perimetrą, kuris rieda fiksuoto to paties spindulio apskritimo perimetru. Taigi tai bus epicikloidas, kurio modulis m lygus 1.

Ši aplinkybė leidžia iš karto užrašyti kardioido parametrines lygtis, aukščiau pateiktose epicikloido parametrinėse lygtyse modulį m pakeičiant vienu. Turėsiu:

Norint gauti poliarinę kardioido lygtį, patogu tašką A paimti kaip polių (13 pav.), o polinę ašį nukreipti išilgai abscisės. Kadangi keturkampis AOO 1 M bus lygiašonė trapecija, tai taško M poliarinis kampas bus lygus generuojančio apskritimo sukimosi kampui, t.y. parametras t. Atsižvelgdami į šią aplinkybę, antrojoje sistemos (1) lygtyje y pakeisime sin t. Sumažinus taip gautą lygybę sin t, gauname kardioido poliarinę lygtį

Ryžiai. 13

Pagal šią lygtį

galime daryti išvadą, kad kardioidas yra viena iš Paskalio sraigių. Todėl jį galima apibrėžti kaip apskritimo konchoidą.

Išvertę (2) lygtį į stačiakampę koordinačių sistemą, gauname:

Iš šios lygties matyti, kad kardioidas yra 4 eilės algebrinė kreivė.

2. Savybės. Visų pirma, kadangi kardioidas yra epicikloidas, kurio m=1, į jį galima perkelti visas ankstesnėje pastraipoje nagrinėtų epicikloidų savybes.

Čia yra funkcijos ir specifikacijos.

1. Savavališko kardioido taško liestinė eina per generuojančio apskritimo apskritimo tašką, diametraliai priešingą apskritimų sąlyčio taškui, o normalioji eina per jų sąlyčio tašką.

2. Kampas, kurį sudaro kardioido liestinė su sąlyčio taško spindulio vektoriumi, yra lygus pusei šio spindulio vektoriaus su poliarine ašimi suformuoto kampo. Tikrai

Iš šio ryšio tiesiogiai išplaukia, kad kampas, sudarytas iš kardioido liestinės su abscisių ašimi, yra lygus (kaip išorinis trikampio AMN kampas, 14 pav.). Turėdami formulę galime įrodyti, kad stygos, einančios per ašigalį, galuose nubrėžtos kardioido liestinės yra viena kitai statmenos.

Tiesa, nuo

Ryžiai. 14

Taip pat atkreipiame dėmesį, kad šių liestinių susikirtimo taškų lokusas yra apskritimas. Iš tiesų pirmosios liestinės lygtis, pagrįsta kardioido (1) lygtimis, turės tokią formą

o antroji liestinė Pašalinus parametrą iš šių lygčių, gauname nurodyto apskritimo lygtį.

3. Kreivio spindulys savavališkame kardioido taške nustatomas pagal formulę

Taip pat galima parodyti, kad kreivio spindulys yra 2/3 poliarinio normalaus N tam tikrame taške.

Iš tiesų, iš kur, remiantis (4), gauname.Šis ryšys gali būti naudojamas kardioido kreivumo centrui sudaryti.

4. Kardioido evoliucija pagal bendrą epicikloido raidos savybę taip pat bus kardioidas, panašus į duotąjį, kurio panašumo koeficientas lygus 1/3, ir pasuktas duotosios atžvilgiu 180° kampas.

5. Kardioidinio lanko ilgis nuo taško A iki savavališko taško M nustatomas pagal formulę

Jei lanko ilgis skaičiuojamas nuo taško A 1, diametraliai priešingo taškui A, tada lanko ilgio nustatymo formulę galima parašyti taip

6. Natūralioji kardioido lygtis gaunama, jei parametras neįtraukiamas iš lygčių (4) ir (6). Tai atrodys

7. Plotas, kurį riboja kardioidas, nustatomas pagal formulę

ir, kaip matyti, yra lygus generuojančio apskritimo šešių ratų plotui.

Viso kardioido ilgis nustatomas pagal formulę

ir, kaip matyti, yra lygus aštuoniems sukuriančio apskritimo skersmenims. Kūno tūris, gautas sukantis kardioidui aplink savo ašį, lygus

Kūno paviršius, gautas sukantis kardioidui aplink savo ašį, lygus

Matėme, kad kardioidas yra organiškai susijęs su apskritimu. Tai apskritimo ir epicikloido konchoidas. Jis turi kitokį ryšį su apskritimu – kardioidas yra apskritimo poerė šiam apskritimui priklausančio taško atžvilgiu.

Ryžiai. 15

Iš tiesų, tegul OM yra statmenas, nuleistas į apskritimo, kurio spindulys lygus 2r, liestinę, nubrėžtą taške N.

Kadangi OM \u003d OB + BM arba \u003d\u003d 2r cos + 2r, tada taškų M lokusas bus kardioidas, kurio lygtis \u003d 2r (1 + cos)

Baigdami pažymime, kad kardioidas taip pat priklauso sinusoidinių spiralių šeimai, o jo individualios savybės atkartoja bendras šių kreivių savybes. Iš šių savybių visų pirma išplaukia, kad kardioido inversija smailės atžvilgiu suteikia parabolę.

Astroid

1. Savybės. Astroidas yra ypatingas hipocikloidų atvejis, būtent hipocikloidas, kurio modulis m lygus 1/4. Taigi tai yra taško, esančio ant apskritimo, kurio spindulys yra r, trajektorija, kuri rieda išilgai kito, fiksuoto apskritimo, kurio spindulys R yra keturis kartus didesnis.

Astroido parametrines lygtis galima gauti į lygtis sudėjus hipocikloidus, m=1/4. Čia yra lygtys:

Ryžiai. 16

kur t, kaip ir anksčiau, yra generuojančio apskritimo sukimosi kampas (16 pav.)

Iš (1) lygčių pašalinus parametrą t, gauname:

(2) lygtis reiškia, kad astroidas yra šeštos eilės algebrinė kreivė.

Astroido parametrines lygtis (1) galima redukuoti į formą

Iš šių lygčių pašalinus parametrą t, gauname dažnai naudojamą astroidinės lygties formą

Darant prielaidą, kad anksčiau išvestuose bendruosiuose ryšiuose cikloidinėms kreivėms modulis

m = -1/4, gauname atitinkamus astroido ryšius:

1) kreivio spindulys savavališkame astroido taške nustatomas pagal formulę

2) astroido lanko ilgis nuo taško A iki savavališko taško M(t) nustatomas pagal formulę

vienos šakos ilgis lygus, o visos kreivės ilgis – 6R;

3) norėdami gauti natūralią astroido lygtį, pirmiausia atkreipiame dėmesį į tai, kad jei lanko ilgio pradžios taškas yra ne taškas A, kurio t = 0, o taškas, kurio t = 0, tada lanko ilgis. lankas nustatomas pagal formulę

neįskaitę parametro t iš (5) ir (6) lygčių, gauname natūralią astroido lygtį

4) astroido evoliucija taip pat yra panašus į duotąjį astroidą, kurio panašumo koeficientas lygus 2, pasuktas duotosios atžvilgiu kampu /4 (16 pav.)

5) plotas, ribojamas viso astroido, yra lygus kūno tūriui, gautam sukant astroidą, lygus 32/105 R 3

sukant astroidą susidaręs kūno paviršius lygus

Dabar pereikime prie kai kurių konkrečių astroido savybių.

Astroidas yra pastovaus ilgio segmento, galų gaubtas. kurios slysta išilgai dviejų viena kitai statmenų tiesių.

Šias tieses imame kaip koordinačių ašis ir, žymėdami slydimo atkarpos pasvirimo kampą ND=R per (4 pav.), turėsime tiesės ND lygtį formoje

Diferencijuodami šią lygtį parametro atžvilgiu, gauname:

Panaikinus parametrą iš paskutinės lygties ir lygties (7), gaubtinės lygtį turėsime tokia forma, t.y. astroidas.

Praktiškai segmento ND judėjimas gali būti atliekamas naudojant vadinamuosius kardaninius apskritimus. Vienas iš šių apskritimų, kurių spindulys R, yra nejudantis, o kitas, kurio spindulys r, dvigubai mažesnis, rieda išilgai vidinės nejudančio apskritimo pusės. Bet kurie du diametraliai priešingi riedėjimo apskritimo taškai N ir D judės išilgai dviejų vienas kitam statmenų nejudančio apskritimo skersmenų Ox ir Oy. Aišku, kad riedėjimo apskritimo skersmens apvalkalas bus astroidas.

Ryžiai. 17	Ryžiai. 18

Nagrinėjamas astroido formavimo būdas taip pat gali būti interpretuojamas taip. Stačiakampis ODCN, kurio dvi kraštinės yra dviejose viena kitai statmenose tiesėse, deformuojamas taip, kad jo įstrižainė išliktų R ilgio, įstrižainės gaubtas bus astroidas. Kadangi šiuo atveju statmenas, numestas iš viršūnės C į įstrižainę DN, tarnauja kaip gaubtinės normalus, astroidas yra statmenų, nukritusių nuo stačiakampio viršūnės C iki įstrižainės, pagrindų vieta.

Šios lygtys išreiškia anksčiau svarstytą tiesioginį astroidą.

Kreivė arba linija yra geometrinė sąvoka, kuri skirtingose ​​atkarpose apibrėžiama skirtingai.

KREIVĖ (linija), judančio taško ar kūno paliktas pėdsakas. Paprastai kreivė vaizduojama tik kaip sklandžiai lenkta linija, kaip parabolė ar apskritimas. Tačiau matematinė kreivės samprata apima ir tiesią liniją, ir figūras, sudarytas iš linijos atkarpų, pavyzdžiui, trikampį arba kvadratą.

Kreivės gali būti skirstomos į plokščias ir erdvines. Plokštumos kreivė, tokia kaip parabolė arba tiesė, susidaro dviejų plokštumų arba plokštumos ir kūno sankirtoje, todėl yra visiškai vienoje plokštumoje. Erdvinė kreivė, pavyzdžiui, spiralės formos spyruoklė, negali būti gauta kaip bet kokio paviršiaus ar kūno susikirtimas su plokštuma, ir ji nėra vienoje plokštumoje. Kreivės taip pat gali būti skirstomos į uždaras ir atviras. Uždara kreivė, tokia kaip kvadratas ar apskritimas, neturi galų, t.y. judantis taškas, generuojantis tokią kreivę, periodiškai kartoja savo kelią.

Kreivė yra taškų, kurie tenkina tam tikrą matematinę sąlygą ar lygtį, lokusas arba rinkinys.

Pavyzdžiui, apskritimas yra plokštumos taškų, kurie yra vienodu atstumu nuo nurodyto taško, vieta. Algebrinėmis lygtimis apibrėžtos kreivės vadinamos algebrinėmis kreivėmis.

Pavyzdžiui, tiesės y = mx + b lygtis, kur m yra nuolydis, o b yra atkarpa, nupjauta y ašyje, yra algebrinė.

Kreivės, kurių lygtyse yra transcendentinių funkcijų, tokių kaip logaritmai arba trigonometrinės funkcijos, vadinamos transcendentinėmis kreivėmis.

Pavyzdžiui, y = log x ir y = tg x yra transcendentinių kreivių lygtys.

Algebrinės kreivės formą galima nustatyti pagal jos lygties laipsnį, kuris sutampa su aukščiausiu lygties narių laipsniu.

Jei pirmojo laipsnio lygtis, pavyzdžiui, Ax + By + C = 0, tada kreivė yra tiesės formos.

Jei, pavyzdžiui, antrojo laipsnio lygtis,

Ax 2 + By + C = 0 arba Ax 2 + By 2 + C = 0, tada kreivė yra kvadratinė, t.y. žymi vieną iš kūginių pjūvių; tokios kreivės apima paraboles, hiperboles, elipses ir apskritimus.

Išvardijame bendrąsias kūginių pjūvių lygčių formas:

x 2 + y 2 \u003d r 2 - apskritimas,

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 - elipsė,

y \u003d kirvis 2 - parabolė,

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1 - hiperbolė.

Kreivės, atitinkančios lygtis trečios, ketvirtos, penktos, šeštos ir kt. laipsniai vadinami trečios, ketvirtos, penktos, šeštos ir kt. įsakymas. Paprastai kuo aukštesnis lygties laipsnis, tuo daugiau atviros kreivės vingių.

Daugelis sudėtingų kreivių gavo specialius pavadinimus.

Cikloidas yra plokštumos kreivė, apibūdinama fiksuotu apskritimo tašku, riedančio išilgai tiesia linija, vadinamu cikloidų generatoriumi; cikloidas susideda iš pasikartojančių lankų.

Epicikloidas yra plokštumos kreivė, kurią apibūdina fiksuotas apskritimo taškas, besisukantis išilgai kito fiksuoto apskritimo už jo ribų.

Hipocikloidas yra plokštumos kreivė, apibūdinama fiksuotu apskritimo tašku, riedančiu iš vidaus išilgai fiksuoto apskritimo.

Spiralė yra plokščia kreivė, kuri iš fiksuoto taško išsivynioja vieną posūkį po kito (arba vingiuoja aplink jį).

Matematikai kreivių savybes tyrinėjo nuo seno, o daugelio neįprastų kreivių pavadinimai siejami su tų, kurie jas pirmą kartą ištyrė, vardais. Tokie, pavyzdžiui, yra Archimedo spiralė, Agnesi garbanė, Dioklio cisoidas, Nikomedo kochoidas ir Bernulio lemniskatas.

Elementariosios geometrijos rėmuose kreivės sąvoka negauna aiškios formuluotės ir kartais apibrėžiama kaip „ilgis be pločio“ arba kaip „figūros riba“. Iš esmės elementariojoje geometrijoje kreivių tyrimas yra sumažintas iki pavyzdžių (, , , ir pan.). Neturėdama bendrųjų metodų, elementarioji geometrija gana giliai įsiskverbė į specifinių kreivių savybių tyrimą (, kai kurieir taip pat), kiekvienu atveju naudojant specialias technologijas.

Dažniausiai kreivė apibrėžiama kaip nuolatinis atvaizdavimas nuo segmento iki:

Šiuo atveju kreivės gali būti skirtingos, net jei jossusilyginti. Tokios kreivės vadinamosparametrizuotos kreivėsarba jeigu[ a , b ] = , būdai.

Kartais kreivė apibrėžiama iki , tai yra iki minimalaus ekvivalentiškumo santykio, kad parametrinės kreivės

yra lygiaverčiai, jei egzistuoja tęstinis (kartais nemažėjantis) h iš segmento [ a 1 ,b 1 ] į segmentą [ a 2 ,b 2 ], toks, kad

Tie, kuriuos nustato šis ryšys, vadinami arba tiesiog kreivėmis.

Analitiniai apibrėžimai

Analitinės geometrijos kursuose įrodyta, kad tarp eilučių, parašytų Dekarto stačiakampėmis (ar net bendromis afininėmis) koordinatėmis, antrojo laipsnio bendroji lygtis.

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(kai bent vienas iš koeficientų A, B, C yra ne nulis), yra tik šių aštuonių tipų linijos:

a) elipsė;

b) hiperbolė;

c) parabolė (neišsigimusios antros eilės kreivės);

d) susikertančių tiesių pora;

e) lygiagrečių tiesių pora;

f) sutampančių linijų pora (viena eilutė);

g) vienas taškas (antro eilės išsigimusios linijos);

h) "linija", kurioje nėra taškų.

Ir atvirkščiai, bet kuri kiekvieno iš šių aštuonių tipų eilutė yra parašyta Dekarto stačiakampėmis koordinatėmis tam tikra antros eilės lygtimi. (Analitinės geometrijos kursuose paprastai kalbama apie devynis (o ne aštuonis) kūgio pjūvių tipus, nes jie išskiria „įsivaizduojamą elipsę“ ir „įsivaizduojamų lygiagrečių linijų porą“ – geometriškai šios „tiesijos“ yra vienodos, kadangi abiejuose nėra vieno taško, bet analitiškai jie parašyti skirtingomis lygtimis.) Todėl (išsigimusios ir neišsigimusios) kūgio pjūviai taip pat gali būti apibrėžti kaip antros eilės tiesės.

INkreivė plokštumoje apibrėžiama kaip taškų, kurių koordinatės atitinka lygtį, rinkinysF ( x , y ) = 0 . Tuo pačiu metu už funkcijąF nustatomi apribojimai, garantuojantys, kad ši lygtis turi begalinį nesutampančių sprendinių skaičių ir

šis sprendimų rinkinys neužpildo „plokštumos gabalo“.

Algebrinės kreivės

Svarbi kreivių klasė yra tos, kurioms funkcijaF ( x , y ) Yraiš dviejų kintamųjų. Šiuo atveju kreivė, apibrėžta lygtimiF ( x , y ) = 0 , vadinamas.

1-ojo laipsnio lygties pateiktos algebrinės kreivės yra .

2-ojo laipsnio lygtis, turinti begalinį sprendinių skaičių, lemia, tai yra išsigimusią ir neišsigimusią.

3 laipsnio lygtimis pateiktų kreivių pavyzdžiai: , .

4 laipsnio kreivių pavyzdžiai: ir .

6 laipsnio kreivės pavyzdys: .

Kreivės, apibrėžtos lygia galios lygtimi, pavyzdys: (daugiažidinis).

Nagrinėjamos algebrinės kreivės, apibrėžtos aukštesnio laipsnio lygtimis. Tuo pačiu metu jų teorija įgauna didesnę harmoniją, jei atsižvelgiama į . Šiuo atveju algebrinė kreivė nustatoma pagal formos lygtį

F ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,

Kur F yra trijų kintamųjų, kurie yra taškai, daugianomas.

Kreivės tipai

Plokštumos kreivė yra kreivė, kurios visi taškai yra toje pačioje plokštumoje.

(paprasta linija arba Jordanijos lankas, taip pat kontūras) yra plokštumos arba erdvės taškų, kurie yra vienas su vienu ir vienas su kitu nuolat atitinka linijos atkarpas, rinkinys.

Kelias – segmentas .

analitinės kreivės, kurios nėra algebrinės. Tiksliau, kreivės, kurias galima apibrėžti per analitinės funkcijos (arba, daugiamačiu atveju, funkcijų sistemos) lygio liniją.

sinusoidinis,

Cikloidas,

Archimedo spiralė

traktorius,

grandinės linija,

Hiperbolinė spiralė ir kt.

1. Kreivių nustatymo būdai:

analitinė – kreivė pateikiama matematine lygtimi;

grafinis - kreivė vizualiai nustatoma grafinės informacijos laikmenoje;

lentelinė – kreivė pateikiama taškų eilės koordinatėmis.

parametrinis (bendriausias būdas nurodyti kreivės lygtį):

Kur - sklandžios parametrų funkcijost, ir

(x") 2 + (y") 2 + (z") 2 > 0 (reguliarumo sąlyga).

Dažnai patogu naudoti nekintamą ir kompaktišką kreivės lygties žymėjimą su:

kur kairėje pusėje yra kreivės taškai, o dešinioji nustato jos priklausomybę nuo kokio nors parametro t. Išplėsdami šį žymėjimą koordinatėmis, gauname (1) formulę.

1. Cikloidas.

Cikloido tyrimo istorija siejama su tokių puikių mokslininkų, filosofų, matematikų ir fizikų vardais kaip Aristotelis, Ptolemėjas, Galilėjus, Huygensas, Torricelli ir kt.

Cikloidas(nuoκυκλοειδής - apvalus) - kurią galima apibrėžti kaip taško, esančio ant apskritimo ribos, trajektoriją, neslystant tiesia linija. Šis ratas vadinamas generuojančiu apskritimu.

Vienas iš seniausių kreivių formavimo būdų yra kinematinis metodas, kai kreivė gaunama kaip taško trajektorija. Kreivė, kuri gaunama kaip taško, pritvirtinto prie apskritimo, trajektorija, riedant neslystant tiesia linija, išilgai apskritimo ar kitokios kreivės, vadinama cikloidine, o tai graikiškai reiškia apskritimą, primenantį apskritimą.

Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai apskritimas sukasi tiesia linija. Kreivė, aprašyta tašku, pritvirtintu prie apskritimo, riedančio be slydimo tiesia linija, vadinama cikloidu.

Tegul R spindulio apskritimas rieda išilgai tiesės a. C yra taškas, užfiksuotas apskritime, pradiniu laiko momentu esantis padėtyje A (1 pav.). Ant tiesės pastatykime atkarpą AB, lygią apskritimo perimetrui, t.y. AB \u003d 2 π R. Šią atkarpą padaliname į 8 lygias dalis taškais A1, A2, ..., A8 \u003d B.

Aišku, kai apskritimas, riedėdamas tiese a, padaro vieną apsisukimą, t.y. sukasi 360, tada jis užims padėtį (8), o taškas C iš padėties A pereis į padėtį B.

Jei apskritimas padaro pusę pilno apsisukimo, t.y. sukasi 180, tada jis užims padėtį (4), o taškas C pasislinks į aukščiausią padėtį C4.

Jei apskritimas pasukamas 45 kampu, tada apskritimas pajudės į padėtį (1), o taškas C – į padėtį C1.

1 paveiksle taip pat parodyti kiti cikloido taškai, atitinkantys likusius apskritimo sukimosi kampus, kurie yra 45 kartotiniai.

Sujungę sukonstruotus taškus lygia kreive, gauname cikloido atkarpą, atitinkančią vieną pilną apskritimo apsisukimą. Su kitais apsisukimais bus gauti tie patys ruožai, t.y. cikloidas susideda iš periodiškai pasikartojančios atkarpos, vadinamos cikloidiniu lanku.

Atkreipkime dėmesį į cikloido liestinės padėtį (2 pav.). Jei dviratininkas važiuoja šlapiu keliu, nuo rato nuplėšti lašeliai liestinės skris į cikloidą ir, nesant skydų, gali aptaškyti dviratininko nugarą.

Pirmasis cikloidą ištyręs žmogus buvo Galilėjus Galilėjus (1564–1642). Jis taip pat sugalvojo pavadinimą.

Cikloido savybės:

Cikloidas turi daugybę nuostabių savybių. Paminėsime kai kuriuos iš jų.

1 nuosavybė. (Ledo kalnas.) 1696 m. I. Bernoulli iškėlė stačiausios nusileidimo kreivės problemą, arba, kitaip tariant, problemą, kokios formos turi būti ledo kalnas, norint, riedantis juo žemyn, padaryti taką. nuo pradinio taško A iki pabaigos taško B per trumpiausią laiką (3 pav., a). Norima kreivė buvo vadinama „brachistochrone“, t.y. trumpiausia laiko kreivė.

Akivaizdu, kad trumpiausias kelias iš taško A į tašką B yra atkarpa AB. Tačiau su tokiu tiesiu judesiu greitis didėja lėtai ir laikas, praleistas nusileidime, pasirodo didelis (3 pav., b).

Greitis įgyjamas greičiau, tuo statesnis nusileidimas. Tačiau staigiai nusileidus, kelias išilgai kreivės pailgėja ir dėl to pailgėja jo pravažiavimo laikas.

Tarp matematikų, kurie sprendė šią problemą, buvo: G. Leibnicas, I. Newtonas, G. Lopitalis ir J. Bernoulli. Jie įrodė, kad norima kreivė yra apverstas cikloidas (3 pav., a). Šių mokslininkų sukurti metodai sprendžiant brachistochrono problemą padėjo pagrindą naujai matematikos krypčiai – variacijų skaičiavimui.

2 nuosavybė. (Laikrodžiai su švytuokle.) Laikrodis su įprasta švytuokle negali veikti tiksliai, nes nuo jos amplitudės priklauso švytuoklės svyravimo periodas: kuo didesnė amplitudė, tuo periodas ilgesnis. Olandų mokslininkas Christianas Huygensas (1629 - 1695) domėjosi, kokia kreivė turėtų eiti rutulys ant švytuoklės stygos, kad jo svyravimo periodas nepriklausytų nuo amplitudės. Atkreipkite dėmesį, kad įprastoje švytuoklėje kreivė, kuria juda rutulys, yra apskritimas (4 pav.).

Norima kreivė pasirodė esanti apverstas cikloidas. Jei, pavyzdžiui, latakas pagamintas apversto cikloido pavidalu ir juo paleistas rutulys, tai rutulio judėjimo laikotarpis veikiant gravitacijai nepriklausys nuo jo pradinės padėties ir amplitudės (5 pav.). . Dėl šios savybės cikloidas dar vadinamas „tautochronu“ – vienodų kartų kreive.

Huygensas pagamino dvi medines lentas cikloido formos briaunomis, ribojančias sriegio judėjimą į kairę ir į dešinę (6 pav.). Tokiu atveju pats rutulys judės išilgai apversto cikloido, taigi jo svyravimų periodas nepriklausys nuo amplitudės.

Visų pirma iš šios cikloido savybės išplaukia, kad nesvarbu, iš kurios ledo slydimo vietos apversto cikloido pavidalu pradėsime nusileidimą, tą patį laiką praleisime iki pat pabaigos taško.

Cikloidinė lygtis

1. Cikloidinę lygtį patogu rašyti α – apskritimo sukimosi kampu, išreikštu radianais, atkreipkite dėmesį, kad α taip pat lygi keliui, kurį sukuriantis apskritimas nueina tiesia linija.

x=ra– r nuodėmė α

y=r – r cos α

2. Paimkime horizontalią koordinačių ašį kaip tiesią liniją, išilgai kurios rieda generuojantis spindulio apskritimas r.

Cikloidas apibūdinamas parametrinėmis lygtimis

x = rt – r nuodėmė t,

y = r – r cos t.

Lygtis:

Cikloidą galima gauti kaip diferencialinės lygties sprendimą:

Iš cikloido istorijos

Pirmasis iš mokslininkų atkreipė dėmesį į cikloidąV, tačiau rimtas šios kreivės tyrimas pradėtas tik m.

Pirmasis cikloidą pradėjo tyrinėti Galilėjus Galilėjus (1564-1642), garsus italų astronomas, fizikas ir pedagogas. Jis taip pat sugalvojo pavadinimą „cikloidas“, kuris reiškia: „primenantis apskritimą“. Pats Galilėjus nieko nerašė apie cikloidą, tačiau jo darbus šia kryptimi mini Galilėjaus mokiniai ir pasekėjai: Viviani, Toricelli ir kt. Toricelli, garsus fizikas, barometro išradėjas, daug laiko skyrė matematikai. Renesanso laikais siaurų specialistų mokslininkų nebuvo. Talentingas žmogus užsiėmė ir filosofija, ir fizika, ir matematika, visur pasiekęs įdomių rezultatų ir didelių atradimų. Kiek vėliau nei italai, prancūzai ėmėsi cikloido, vadindami jį „ritiniu“ arba „trochoidu“. 1634 metais Robervalis – gerai žinomos svorių sistemos svorių sistemos išradėjas – apskaičiavo plotą, kurį riboja cikloido arka ir jo pagrindas. Prasmingą cikloido tyrimą atliko Galilėjaus amžininkas. Tarp , tai yra, kreivių, kurių lygtis negali būti parašyta forma x , y, cikloidas yra pirmasis iš tirtų.

Rašė apie cikloidą:

Ruletė yra tokia įprasta linija, kad po tiesės ir apskritimo nebėra bendros linijos; jis taip dažnai nupieštas visiems prieš akis, kad reikia stebėtis, kad senoliai to nesvarstė... nes tai ne kas kita, kaip rato vinimi ore aprašytas kelias.

Naujoji kreivė greitai išpopuliarėjo ir buvo atlikta išsami analizė, įskaitant, , Niutonas,, broliai Bernuliai ir kiti XVII-XVIII amžių mokslo šviesuoliai. Apie cikloidą, tais metais atsirandantys metodai. Tai, kad analitinis cikloido tyrimas pasirodė toks pat sėkmingas kaip ir algebrinių kreivių analizė, padarė didelį įspūdį ir tapo svarbiu argumentu už algebrinių ir transcendentinių kreivių „teisių išlyginimą“. Epicikloidas

Kai kurie cikloidų tipai

Epicikloidas - taško A trajektorija, esanti ant D skersmens apskritimo, kuris rieda neslysdamas kreipiamuoju spinduliu R (išorinis prisilietimas).

Epicikloido konstravimas atliekamas tokia seka:

Iš centro 0 nubrėžiamas pagalbinis lankas, kurio spindulys lygus 000=R+r;

Iš taškų 01, 02, ... 012, kaip ir iš centrų, brėžiami r spindulio apskritimai, kol jie susikerta su pagalbiniais lankais taškuose A1, A2, ... A12, kurie priklauso epicikloidui.

Hipocikloidas

Hipocikloidas – taško A trajektorija, esanti ant D skersmens apskritimo, kuris rieda neslysdamas kreipiamuoju spinduliu R (vidinis prisilietimas).

Hipocikloido konstrukcija atliekama tokia seka:

Kuriamasis spindulio r apskritimas ir spindulio R kreipiamasis apskritimas nubrėžiami taip, kad jie liestųsi taške A;

Generuojantis apskritimas padalintas į 12 lygių dalių, gaunami taškai 1, 2, ... 12;

Iš centro 0 nubrėžiamas pagalbinis lankas, kurio spindulys lygus 000=R-r;

Centrinis kampas a nustatomas pagal formulę a \u003d 360r / R.

Padalinkite kreipiamojo apskritimo lanką, apribotą kampu a, į 12 lygių dalių, gaukite taškus 11, 21, ... 121;

Nuo centro 0 per taškus 11, 21, ... 121 tiesės nubrėžiamos iki sankirtos su pagalbiniu lanku taškuose 01, 02, ... 012;

Iš centro 0 pagalbiniai lankai brėžiami per generuojančio apskritimo padalijimo taškus 1, 2, ... 12;

Iš taškų 01, 02, ... 012, kaip ir iš centrų, brėžiami r spindulio apskritimai, kol jie susikerta su pagalbiniais lankais taškuose A1, A2, ... A12, kurie priklauso hipocikloidui.

1. Kardioidinis.

Kardioidinis ( καρδία - širdis, Kardioidas yra ypatingas atvejis Terminą „kardioidas“ Castillon įvedė 1741 m.

Jei apskritimą ir tašką ant jo imsime kaip ašigalį, tada kardioidą gausime tik tada, jei atidėsime atkarpas, lygias apskritimo skersmeniui. Kitoms nubrėžtų atkarpų vertėms kriauklės bus pailgos arba sutrumpintos. Šie pailgi ir sutrumpinti kardioidai kitaip vadinami Paskalio sraigėmis.

Kardioidas turi įvairių pritaikymų inžinerijoje. Kardioido pavidalu jie gamina ekscentrikus, kumštelius automobiliams. Jis kartais naudojamas brėžiant krumpliaračius. Be to, jis naudojamas optinėse technologijose.

Kardioidų savybės

kardioidas -M raide judantis apskritimas apibūdins uždarą trajektoriją. Ši plokščia kreivė vadinama kardioidu.

2) Kardioidą galima gauti kitu būdu. Pažymėkite tašką apskritime APIE ir nubrėžkite iš jo spindulį. Jei iš taško Ašio spindulio susikirtimą su apskritimu, atidėti atkarpą ESU, išilgai ilgio, lygaus apskritimo skersmeniui, ir pasukite spindulį aplink tašką APIE, tada esmė M judės palei kardioidą.

3) Kardioidas taip pat gali būti pavaizduotas kaip kreivės liestinė visiems apskritimams, kurių centras yra nurodytame apskritime ir eina per jo fiksuotą tašką. Pastačius kelis apskritimus, kardioidas pasirodo tarsi pastatytas savaime.

4) Yra dar vienas elegantiškas ir netikėtas būdas pamatyti kardioidą. Paveiksle matote taškinį šviesos šaltinį ant apskritimo. Po to, kai šviesos spinduliai pirmą kartą atsispindi iš apskritimo, jie liečiasi su kardioidu. Įsivaizduokite dabar, kad apskritimas yra puodelio kraštai, vienu metu jis atspindi ryškią lemputę. Į puodelį pilama juoda kava, leidžianti matyti ryškiai atsispindinčius spindulius. Dėl to kardioidą išryškina šviesos spinduliai.

1. Astroid.

Astroid (iš graikų kalbos astron – žvaigždė ir eidos – vaizdas), plokščia kreivė, apibūdinama apskritimo tašku, kuris iš vidaus liečia fiksuotą keturis kartus didesnio spindulio apskritimą ir rieda juo neslysdamas. Priklauso hipocikloidams. Astroid – 6 eilės algebrinė kreivė.

Astroid.

Viso astroido ilgis lygus šešiems fiksuoto apskritimo spinduliams, o jo ribojamas plotas yra trys aštuntosios fiksuoto apskritimo.

Astroido liestinės segmentas, esantis tarp dviejų viena kitai statmenų fiksuoto apskritimo spindulių, nubrėžtas astroido gale, yra lygus fiksuoto apskritimo spinduliui, neatsižvelgiant į tai, kaip taškas buvo pasirinktas.

astroidinės savybės

Ten yra keturismaigalys .

Lanko ilgis nuo taško 0 iki gaubto

pastovaus ilgio atkarpų šeimos, kurių galai išsidėstę dviejose viena kitai statmenose tiesėse.

Astroidas yra 6 eilės.

Astroid lygtys

Dekarto stačiakampių koordinačių lygtis yra tokia:| x | 2/3 + | y | 2/3 = R2/3parametrinė lygtis:x = Rcos 3 t y = Rsin 3 t

Kaip sukurti astroidą

Nubrėžiame dvi viena kitai statmenas linijas ir nubrėžiame segmentų, kurių ilgis yra, serijąR kurių galiniai taškai yra šiose tiesėse. Paveikslėlyje parodyta 12 tokių atkarpų (įskaitant pačias viena kitai statmenų linijų atkarpas). Kuo daugiau atkarpų nubrėžsime, tuo tikslesnė bus kreivė. Dabar sukurkime visų šių segmentų apvalkalą. Šis vokas bus astroidas.

1. Išvada

Straipsnyje pateikiami įvairių tipų kreivių, apibrėžtų skirtingomis lygtimis arba tenkinančių tam tikrą matematinę sąlygą, problemų pavyzdžiai. Visų pirma, cikloidinės kreivės, jų patikslinimo būdai, įvairūs konstravimo būdai, šių kreivių savybės.

Cikloidinių kreivių savybės labai dažnai naudojamos pavarų mechanikoje, o tai žymiai padidina mechanizmų dalių stiprumą.

- (iš graikų astrono žvaigždės ir eidos vaizdo) plokščia kreivė, apibūdinama apskritimo tašku, kuris iš vidaus liečia fiksuotą keturis kartus didesnį apskritimą ir rieda juo neslysdamas. Priklauso hipocikloidams. Astroid algebrinė ...... Didysis enciklopedinis žodynas

Egzistuoja., Sinonimų skaičius: 1 kreivė (56) ASIS Sinonimų žodynas. V.N. Trishin. 2013... Sinonimų žodynas

- (iš graikų kalbos „ASTron star and éidos“) – plokščia kreivė, apibūdinama tašku ant apskritimo, kuris liečia fiksuoto keturis kartus didesnio spindulio apskritimo vidų ir rieda juo neslysdamas. Priklauso hipocikloidams. Astroid ...... enciklopedinis žodynas

- (astro... gr. eidos vaizdas) mat. plokščia kreivė, apibūdinama apskritimo tašku, kuris rieda neslysdamas išilgai kito, fiksuoto apskritimo, kurio spindulys keturis kartus didesnis už pirmojo apskritimo vidinę pusę; atrodo kaip keturkampė žvaigždė. Naujas žodynas... Rusų kalbos svetimžodžių žodynas

Plokščioji algebra. eilės kreivę ti ro iki krašto apibūdina R spindulio apskritimo taškas, riedantis išilgai R=4r spindulio apskritimo vidinės pusės; hipocikloidas su moduliu r=4. Lygtis Dekarto Dekarto koordinatėmis: Parametrinė. lygtys... Matematinė enciklopedija

Kodėl mūsų pasaulis gražus? Nes gyvosios gamtos formos ir spalvos didžiąja dalimi atitinka bendruosius harmonijos dėsnius, kurie atskleidžiami atliekant griežtą matematinę analizę. Tyrinėdami gamtą joje randame vis daugiau estetinių bruožų, kurie, kaip taisyklė, atsiskleidžia ne iš karto, o atlikus išsamią matematinę analizę.

Žmogus aplinkinius objektus skiria pagal formą. Susidomėjimą daikto forma gali lemti gyvybinė būtinybė arba formos grožis. Forma, pagrįsta simetrijos ir aukso pjūvio deriniu, prisideda prie geriausio vizualinio suvokimo ir grožio bei harmonijos pojūčio atsiradimo.

Visuma visada susideda iš dalių, skirtingo dydžio dalys yra tam tikru santykiu viena su kita ir su visuma. Aukso pjūvio principas yra aukščiausia visumos ir jos dalių struktūrinio ir funkcinio tobulumo apraiška mene, moksle, technikoje ir gamtoje.

Naudodami gamtos geometrijos dėsnius naujoje situacijoje, studijuodami dalykų, susijusių su geometrinėmis konstrukcijomis, kursus, permąstome studijuotus geometrijos dėsnius, ugdome geometrinę intuiciją.

Atlikdami įvairaus turinio kūrybines užduotis susipažinome su galimomis geometrinių žinių taikymo sritimis (menininkai, architektai, dizaineriai ir kt.).

Grafinės informacijos rodymo priemonės naudojamos visose visuomenės sferose. Jie turi išsamų vaizdą, pasižymi simbolika, kompaktiškumu ir santykinai lengvai skaitoma. Būtent šios grafinių vaizdų savybės lemia jų platų naudojimą. Artimiausiu metu daugiau nei pusė pateikiamos informacijos turės grafinę pateikimo formą. Aprašomosios geometrijos, inžinerinės grafikos ir kitų susijusių mokslų teorinių pagrindų raida išplėtė grafinių vaizdų gavimo būdus. Greta rankinių grafinių vaizdų formavimo, projektinės dokumentacijos sudarymo metodų vis dažniau naudojami kompiuteriniai metodai. Naujų informacinių technologijų naudojimas užtikrina grafinių vaizdų kūrimą, redagavimą, saugojimą, replikavimą naudojant įvairias programines priemones.

I. Įvadinė informacija apie algebrines kreives

1. Astroid

Astroidas (iš graikų kalbos >-žvaigždė) – tai kreivė, apibūdinama judančio apskritimo tašku, kuris iš vidaus liečia fiksuotą keturis kartus didesnį apskritimą ir rieda juo neslysdamas. Plotas, kurį riboja astroidas, yra /8 fiksuoto apskritimo ploto, o bendras astroido ilgis yra lygus šio apskritimo spinduliui, šešis kartus.

Astroidinė lygtis Dekarto stačiakampėmis koordinatėmis yra tokia:

x + y = R.

Astroidinio grafiko konstravimas buvo atliktas > taip:

:: Sukūrė funkcijų grafiką y > 0 (spindulys R = 5);

:: Sukūrėme funkcijų grafiką.

2. Kardioidinis

Kardioidas (iš graikų kalbos >-širdis ir eidos-vaizdas) – plokščia kreivė, apibūdinama fiksuotu apskritimo tašku, kuris iš išorės liečia fiksuotą tokio paties spindulio apskritimą ir rieda juo neslysdamas. Kreivė gavo savo pavadinimą dėl savo panašumo į širdį.

Kardioidinis braižymas taip pat buvo atliktas >.

3. Nefroidas

Nefroidas (iš graik. hephros-kidney, eidos-view) – kreivė, nusakanti fiksuotą apskritimo tašką, riedantį išilgai dvigubai didesnio apskritimo. Pirmą kartą nefroido savybes XVII amžiuje ištyrė Saksonijos didikas E. V. Chirngauzas. Nefroidas susideda iš dviejų kardioidų.

4. Paskalio sraigė.

Paskalio sraigė yra plokščia algebrinė kreivė. Pavadintas Etienne'o Pascalio (Blezo Paskalio tėvo), kuris pirmą kartą jį ištyrė, vardu. Lygtis polinėmis koordinatėmis. Jei l = 2a, gaunamas kardioidas.

II. Matematinio modeliavimo taikymas.

1. Gijos grafikos kūrimo istorija

Siūlų grafika (arba izothread) – tai specialiu būdu su siūlais ant kartono ar kito kieto pagrindo pagamintas grafinis vaizdas. Siūlų grafika taip pat kartais vadinama izografija arba kartono siuvinėjimu.

Terminas > (gijinė grafika arba siūlas) vartojamas Rusijoje, angliškai kalbančiose šalyse vartojama frazė - siuvinėjimas ant popieriaus, vokiškai kalbančiose šalyse - terminas.

Siūlinė grafika, kaip tam tikra meno ir amatų rūšis, pirmą kartą pasirodė Anglijoje XVII a. Anglų audėjai sugalvojo ypatingą siūlų pynimo būdą. Jie kala nagus į lentas ir tam tikra seka traukė ant jų siūlus. Rezultate buvo gauti ažūriniai nėrinių gaminiai, kuriais buvo puošiami namai. (Kilo versija, kad šie darbai buvo kažkokie eskizai raštams ant audinio). Šiuolaikinės eksploatacinės medžiagos leidžia gauti labai efektyvių produktų.

Kartu su originalia siūlų grafikos technika yra ir kita siūlų dizaino kryptis – siuvinėjimas ant kartono (siūlo) tais pačiais būdais (kampo ir apskritimo užpildymo būdas).

Susidomėjimas siūline grafika atsirado, o paskui išnyko. Viena iš populiarumo viršūnių buvo XIX amžiaus pabaigoje. Buvo išleistos knygos apie rankdarbius, kuriose aprašytas neįprastas siuvinėjimo ant popieriaus būdas, paprastas ir lengvas, prieinamas vaikams. Naudojome perforuotas korteles (gatavus šablonus) ir kampo užpildymo būdą, siūles >, > (kreivių siuvinėjimui). Pasinaudodamas minimaliomis lėšomis kiekvienas žmogus (o svarbiausia – vaikai) galėjo pasigaminti puošnių suvenyrų šventėms.

Dabar šis menas praktikuojamas daugelyje pasaulio šalių.

Mūsų šalyje informacijos apie izo giją yra nedaug, daugiausia informaciniais tikslais: atskiros publikacijos žurnaluose > 1995 m. Minsko profesoriaus G. A. Branitskio knyga > ir Nagibinos M. I. knyga > su nedideliu skyriumi apie izo giją.

Išanalizavus turimą informaciją, pavyko išsiaiškinti, kad apie tokio tipo rankdarbius yra išleista daug knygų nuoseklių instrukcijų ir idėjų albumų pavidalu, kuriuose visur naudojamas tik reprodukcinis darbo metodas.

Izothread privalumas yra tai, kad jis greitai veikia ir galite sugalvoti daug įdomių raštų. Šio tipo kūrybiškumas lavina vaizduotę, akį, smulkiąją pirštų motoriką, meninius gebėjimus ir estetinį skonį. Naudodami siūlų grafikos techniką galite pagaminti ne tik dekoratyvines plokštes, bet ir sveikinimo atvirukus, suvenyrinius viršelius, žymes knygoms.

Ir izo siūlai (gijinė grafika arba siūlų dizainas) gali turėti kelias kryptis:

1) reprodukcinis metodas: darbas su šablonu, nuoseklios instrukcijos, paruoštų raštų ir siuvinėjimo rinkinių platinimas

2) dalinė paieška (projektas): mokymasis skaičiuoti ant kartono (t.y. kurti savo šedevrus), ieškoti savo technikų ir derinių, "žaisti" su fonu, gijomis - su spektaklio medžiaga.

3) kombinuotas – kai viskas prasideda nuo „abėcėlės“, dirbame su paruoštomis schemomis, tačiau keičiame medžiagos tipą (spalvą) ir pasiekiame „šedevrą“.

2. Pagrindinės siūlų grafikos technikos

Siūlinė grafika žinoma ir kitais pavadinimais: izothread (t.y. vaizdas su siūlu), grafinis siuvinėjimas. Norint įvaldyti techniką, pakanka žinoti, kaip užpildomas kampas, apskritimas ir lankas.

Priėmimas 1. Kampo užpildymas.

Klaidingoje kartono pusėje nubrėžkite kampą, padalykite kiekvieną pusę į vienodą skaičių dalių. Smeigtuku arba plonu yluku praduriame taškus, įveriame siūlą į adatą ir užpildome pagal schemą.

Priėmimas 2. Apskritimo užpildymas.

Kompasu nubrėžkite apskritimą. Padalinkite į 12 lygių dalių ir užpildykite pagal schemą.

Priėmimas 3. Lanko užpildymas.

Nubrėžkime lanką, padalinkime jį į lygias dalis ir padalijimo taškuose padarykime pradūrimus. Įsriegiame adatą ir užpildome pagal raštą

III. Tiriamasis darbas.

Konstrukcijos programoje>.

1 uždavinys. Atkarpos padalijimas į n lygių dalių.

Sprendimas 1. Padalijimas į 2, 4, 8, 16 ir tt dalis atliktas > sukonstruojant atkarpos vidurio taškus.

2 sprendimas. Taip pat atlikome atkarpos padalijimą į savavališką skaičių dalių > naudodami Talio teoremą.

Užduotis 2. Apskritimo padalijimas į 6, 12, 24 dalis.

Sprendimas 1. Ieškojome įvairių būdų, kaip apskritimą padalinti į dalis. Programoje > nubraižėme apskritimą, atsitiktinai sudėjome taškus, išmatavome gautus kampus, o tada > perkėlėme taškus išilgai apskritimo, kol buvo gauta norima reikšmė. Tai buvo monotoniškas ir neįdomus darbas. Pirmojo padalijimo į 12 dalių paklaida buvo + 0,15 cm akordų ilgio. Pradėjome analizuoti situaciją ir ieškoti geriausių būdų užduotims spręsti. Dėl to radome keletą sprendimų, kaip apskritimą padalinti į 6, 12, 24 dalis.

Sprendimas 2. Ant apskritimo pažymėti 6 taškai, išmatuoti visi kampai, taškai sulygiuoti taip, kad kiekvienas kampas būtų lygus 60 [o]. Tada, naudojant programą, buvo nubrėžtos kiekvieno kampo pusiausvyros. Rezultatas buvo padalijimas į 12 dalių. O padalijimui į 24 dalis vėl buvo nubrėžtos gautų kampų pusiausvyros. Tokios konstrukcijos paklaida pasirodė + 0,01 laipsnio.

Sprendimas 3. Naudodami programą pastatėme 3 vienodo spindulio apskritimus (kopijavimo programa), juos sujungėme, kaip parodyta paveikslėlyje. Pažymėkite apskritimų susikirtimo taškus. Gauti kampai buvo išmatuoti, jie pasirodė lygūs 60 [o]. Toliau mes pastatėme kampų pusiausvyras, skirtas dalyti į 12 ir 24 dalis. Tokio sprendimo paklaida lygi nuliui.

Užduotis 3. Apskritimo padalijimas į 9, 18, 36 dalis.

Radę optimalų ankstesnės problemos sprendimo būdą, panašiai pradėjome ieškoti būdų, kaip apskritimą padalinti į 9, 18 ir 36 dalis. Padalijimas į 18 ir 36 dalis gali būti atliktas tik sukonstravus 9 taškus, taikant bisektorių konstrukciją.

Sprendimas. 360 [o]: 9 = 40 [o]. Mes > padalijome puslankį į 4 maždaug 40 [o] lankus ir 20 [o] lanką. Programos pagalba atlikome visus reikiamus kampų matavimus judindami taškus. Tada pasirinkome sukonstruotus taškus ir, naudodami komandą >, atspindėjome taškus 180 laipsnių kampu apskritimo centro atžvilgiu ant antrojo puslankio. Tokios konstrukcijos paklaida buvo + 0,04 laipsnio.

4 uždavinys. Algebrinių kreivių sudarymas

Astroid

1 sprendimas. Astroidas statomas koordinačių plokštumoje pagal tokį algoritmą:

:: Reikia sujungti y ašies taškus su abscisių taškais, kad padalijimų suma gautų 10 (pvz.: 1 ir 9, 2 ir 8, 3 ir 7 ir t.t.).

:: Sujungiame taškus ta pačia seka likusiuose koordinačių plokštumos ketvirčiuose.

Sprendimas 2. Nubraižykite apskritimą, pastatykite statmenus skersmenis, kiekvieną spindulį padalinkite į lyginį dalių skaičių. Taškus sujungėme atkarpomis pagal ankstesnį algoritmą.

Sprendimas 3. Įvaldę optimalų apskritimo padalijimo į 6 dalis metodą, baigėme statyti 6 žvaigždučių astroidą.

Sprendimas 4. Atliktas 8 žvaigždučių astroido konstravimas su stačiųjų kampų bisektorių konstrukcija.

Kardioidinis

Sprendimas. Norint sukurti kardioidą, pagrindas bus apskritimas. Kardioidas buvo pastatytas pagal tokį planą:

:: nubraižė apskritimą ir padalino jį į 36 dalis (po 10 laipsnių);

:: sunumeruoti išoriniai taškai nuo 1 iki 36 prieš laikrodžio rodyklę;

:: vidiniai taškai sunumeruoti pagal 1 schemą;

:: sujungti taškai su tais pačiais vidiniais ir išoriniais skaičiais;

:: vokas ir bus kardioidas.

1 schema 2 schema

IV. Mūsų kūrybiškumas.

Įvaldę pagrindines projektavimo ir modeliavimo technikas >, bandėme save realizuoti dizainerių ir menininkų vaidmenyje. Sukūrėme ir praktiškai įgyvendinome šiuos darbus:

Išvada, išvados

>, – prieš 2500 metų pastebėjo Aristotelis. Mūsų amžininkas Sukhomlinskis tuo tikėjo. O matematika yra nuostabus dalykas netikėtumui.

Išsamiai išstudijavę turimą medžiagą, susipažinome su nauju kreivių konstravimo metodu – matematiniu siuvinėjimu, naudojant žinomus geometrinių formų kūrimo būdus (kampo konstravimas, atkarpos padalijimas į lygias dalis, taškų sujungimas tam tikra seka, stulpelio padalijimas). apskritimas į lygias dalis programoje\u003e). Aptikome nuostabų panašumą tarp matematinio siuvinėjimo ir seniai žinomos meno ir amatų rūšies – izo siūlų.

Internete, specialioje literatūroje yra daug nuotraukų su siuvinėjimu iso siūlais, tačiau schemos prie jų nepridedamos. Priėjome išvados, kad matematinis siuvinėjimas yra kūrybinis procesas. Žinodami matematinio modeliavimo pagrindus, kurie išdėstyti mūsų darbe, taikydami kūrybinį mąstymą, logiką, kantrybę, galite kurti individualų > taikomąjį meną.

Matematinis siuvinėjimas domino ne tik mus, bet ir daugelį mokyklos mokinių (tiek mergaičių, tiek berniukų). Tikime, kad šiuolaikinės informacinės technologijos sujungs matematiką ir meną.

KURSINIS DARBAS

tema:

"Praktinis puikių kreivių savybių taikymas"

Įvadas

Temos aktualumas yra parodyti matematinių žinių taikymą praktinėje žmogaus veikloje. Analitinės geometrijos studijų kurse nenumatyta atsižvelgti į nuostabių kreivių, plačiai naudojamų gyvenime, savybes.

Hipotezė : Šios medžiagos naudojimas praplečia studentų akiratį apie kreives ir jų savybes, parodo jų praktinį pritaikymą žmogaus gyvenime.

Šio darbo tikslas : Surinkite medžiagą, kad ją pritaikytumėte savarankiškai mokydamiesi nuostabių kreivių.

Užduotys : Norėdami padėti studentui. Naudokite minimalų laiką, kad gautumėte maksimalią naudą.

Praktinė darbo reikšmė: Tikiu, kad mano darbas bus naudingas studentams prieinamu ir vaizdiniu būdu, kad suprastų medžiagą. Parodykite praktinį nuostabių kreivių savybių pritaikymą, išmokykite kurti kreives.

Temos pasirinkimas

Esant dabartiniam techninės minties išsivystymo lygiui, reikia žinių apie nuostabias kreives. Gamtoje jie nėra tokie reti, jie turi praktinį pritaikymą žmogaus gyvenime. Žinios apie jų nuostabias savybes panaudojamos įvairiuose žmogaus gyvenime naudojamuose mechanizmuose.

Pasirinkau šią temą, nes manau, kad ji įdomi ir prasminga, ugdanti pažintinį domėjimąsi analitine geometrija, atveriančia praktinį geometrijos pritaikymą gyvenime. Šios medžiagos panaudojimas geometrijos paskaitose praplečia studentų akiratį pagal programoje studijuojamas kreives. Skirtinguose matematikos skyriuose ir skirtinguose studijų etapuose susiduriame su trečios ir antros eilės kreivėmis. Tačiau niekur nesakoma apie nuostabias šių kreivių savybes ir juo labiau apie jų praktinį pritaikymą. Manau, kad mokiniams labai svarbu žinoti nuostabias šių kreivių savybes, kurios plačiai naudojamos gyvenime. Studijuodami ir net tik susipažinę su šiomis savybėmis, studentai pamato tikrai praktinį geometrijos pritaikymą.

Norėdami tai padaryti, susipažinau su įvairių matematikos vadovėlių ir enciklopedijų medžiaga apie nuostabias kreives ir jų savybes.

1. Iš linijų doktrinos raidos istorijos

Linijos samprata žmogaus galvoje atsirado priešistoriniais laikais. Mesto akmens trajektorija, augalų žiedų ir lapų kontūrai, vingiuota upės kranto linija ir kiti gamtos reiškiniai jau seniai traukė žmonių dėmesį. Daug kartų pastebėti, jie buvo pagrindas laipsniškam linijos koncepcijos įtvirtinimui. Tačiau prireikė nemažai laiko, kol mūsų protėviai palygino lenktų linijų formas tarpusavyje. Pirmieji piešiniai ant urvų sienų, primityvūs ornamentai ant namų apyvokos reikmenų rodo, kad žmonės sugebėjo ne tik atskirti tiesią liniją nuo kreivės, bet ir atskirti atskirus vingius. Senovės paminklai liudija, kad visos tautos tam tikru savo vystymosi etapu turėjo tiesios linijos ir jų apskritimo sąvokas. Šioms linijoms konstruoti buvo naudojami paprasčiausi įrankiai.

Tačiau tik atsiradus matematinėms teorijoms pradėjo vystytis linijų teorija. Graikų mokslininkai sukūrė antros eilės linijų teoriją. Šios linijos buvo laikomos kūgio pjūviu plokštuma, todėl senovėje jos buvo vadinamos kūgio pjūviais. Kūgio formos pjūvius pirmasis nagrinėjo Menechmas, gyvenęs IV amžiuje prieš Kristų. Ieškodami įvairių problemų sprendimų, graikų mokslininkai svarstė ir kai kurias transcendentines linijas.

Viduramžių eroje svarbus graikų mokslininkų pasiekimas buvo pamirštas. Matematikos mokslas vėl pasuko į kreivių tyrimą tik VII amžiuje. Tiesų tyrimams itin svarbus buvo Dekarto ir Ferma atrastas koordinačių metodas, prisidėjęs prie begalinio mažumo skaičiavimo atsiradimo. Koordinačių metodas kartu su begalinių mažųjų analize leido pereiti prie linijų tyrimo bendrai. Įvairios mechanikos, astronomijos, geodezijos, optikos problemos, iškilusios VII-VIII a., paskatino atrasti daug naujų linijų ir ištirti jų geometrines mechanines savybes. Šiuos klausimus su dideliu entuziazmu sprendė didžiausi epochos matematikai – Dekartas, Huygensas, Leibnicas, broliai Bernoulli.

Kitą svarbų žingsnį tiesių tyrime padarė Niutonas, pradėjęs kurti trečiosios eilės kreivių teoriją. Vėliau buvo keliami šie uždaviniai: ištirti ketvirtos ir aukštesnės eilės kreives, sukurti bendrą algebrinių kreivių plokštumoje teoriją, pereiti prie sisteminio algebrinių paviršių tyrimo, pradedant nuo antros eilės paviršiaus. Prie pastarosios problemos sprendimo daug prisidėjo žymus VIII matematikas Leonardas Euleris, Sankt Peterburgo mokslų akademijos akademikas. Jis aprašė pirmąjį analitinės geometrijos vadovą, kuriame buvo išdėstyta antrosios eilės linijų ir paviršių teorija.

. Įspūdingos trečiosios eilės eilutės

Visos antrosios eilės tiesės ir kreivės (apskritimai, elipsės, parabolės, hiperbolės) yra specialūs trečios eilės kreivių atvejai.

Bendruoju atveju trečios eilės lenktos linijos lygtį galima parašyti taip: x 3 + a 1 y 3 + 3a 2 x 2 y + 3a 3 xy 2 + 3a 4 x 2 + 3a 5 y 2 + 3a 6 xy + 3a 7 x + 3a 8 y + a 9 \u003d 0.

Daroma prielaida, kad koeficientai neišnyksta vienu metu (kitaip būtų gauta antrojo laipsnio lygtis). Daugiau nei 70 šių linijų rūšių. Čia aptariame tik kai kuriuos iš jų, pasižyminčius savo savybėmis ir pritaikymu.

Dekarto lapas

. Formos ypatybės. Dekarto lapas vadinama 3 eilės kreive, kurios lygtis stačiakampėje sistemoje turi formą

Kartais patogu naudoti parametrines Dekarto lygtis, kurias galima gauti nustatant y= tx, prie šios lygybės pridedant lygybę (1) ir išsprendžiant gautą sistemą atsižvelgiant į X Ir y, dėl to turėsime:

iš kur išplaukia, kad Dekarto lapas yra racionali kreivė.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad poliarinė Dekarto lygtis turi formą

(3)

Koordinatės X Ir adresuĮveskite Dekarto lygtį simetriškai, iš kur tai išplaukia kreivė yra simetriška pusiausvyros y=x atžvilgiu.Įprastas vienaskaitos taškų tyrimas leidžia daryti išvadą, kad pradžia yra Dekarto lakšto mazgas. Kaip gerai žinoma, algebrinės kreivės liestinių lygtis viename taške, sutampančiame su pradžia, galima gauti, prilyginus nuliui žemiausio laipsnio narių grupę iš šios kreivės lygties. Mūsų atveju turime Z ašis \u003d 0, iš kur gauname x = 0 ir y = 0 – norimas liestinių lygtis mazgo taške. Šios liestinės sutampa su koordinačių ašimis, todėl pradžioje kreivė susikerta stačiu kampu. Nesunku pastebėti, kad pirmajame koordinačių kampe kreivė sudaro kilpą, kuri susikerta su tiesia linija y = X taške

Šios kilpos taškai, kuriuose liestinės yra lygiagrečios koordinačių ašims, turi koordinates

Ir (žr. 1 pav.)

Norint padaryti galutinę išvadą apie kreivės formą, taip pat būtina rasti asimptotę.Pakeitę y kreivės lygtyje su , gautoje lygtyje dviejų aukštesnių laipsnių narių koeficientus prilyginsime nuliui. X. Gauk

ir b = - a. Taigi Dekarto lapas turi asimptotą

y \u003d - x - a; todėl 2 ir 4 koordinačių kampuose Dekarto lapo šakos eina į begalybę.

Ryžiai. 1

Dažnai manoma, kad kreivė pasukta 135 laipsnių kampu. Jos lygtys atrodo taip. Stačiakampėje sistemoje: , Kur

Parametrinis:

Pasuktos kreivės lygčių išvedimas:

XOY koordinačių sistema paverčiama UOV koordinačių sistema, kuri gaunama pasukus OX ir OY ašis pagal laikrodžio rodyklę ir perorientuojant OX ašį priešinga kryptimi:

Senųjų XY koordinačių išreiškimas naujais UV spinduliais atrodo taip:

Pakeitus senųjų koordinačių išraiškas nauja lygtimi, Dekarto lapas paverčiamas tokia forma: .

Įvedame parametrą , paskutinė lygtis bus perrašyta taip:

Arba .

Kintamuosius u ir v pakeičiame įprastais x ir y ir gauname Dekarto lakšto lygtį naujoje koordinačių sistemoje:

Pakeitę ankstesnę lygtį į lygtį, gauname Dekarto lakšto lygtį polinėje koordinačių sistemoje:

Išsprendę šią ρ išraišką, gauname:

.

2. Savybės. Pagal Maclaurino teoremą, jei trijuose 3 eilės algebrinės kreivės taškuose, gulint ant vienos tiesės, brėžiame šios kreivės liestines, tai jų susikirtimo su kreive taškai taip pat bus tiesėje. Taikant Dekarto lakštą, šią teoremą lengva įrodyti. Šiuo tikslu gauname preliminarią sąlygą, kad būtų trys Dekarto lakšto taškai, atitinkantys reikšmes t 1 , t 2 Ir t 3 parametras, vienoje tiesėje. Jei tiesės lygtis turi formą y= kx+ b, tada parametrų reikšmės, atitinkančios šios tiesės ir kreivės susikirtimo taškus, turi tenkinti sistemą

Ši sistema veda į lygtį

kurių šaknys bus norimos reikšmės t 1 , t 2 Ir t 3 parametras, iš kurio išplaukia, kad

Ši lygybė yra trijų taškų buvimo sąlyga M 1 (t 1) , M 2 (t 2 ), M 3 (t 3) Dekarto lakštas vienoje tiesėje.

Turėdami šią sąlygą parodysime Maclaurino teoremos pagrįstumą Dekarto lakštui. Iš tiesų, liestinė taške M 1 (t 1 ) gali būti laikoma tiese, kuri kerta Dekarto lakštą dviejuose vienas su kitu sutampančiais taškais, t 2 = t 1 , ir trečiame taške, kuriam atitinkama parametro reikšmė bus žymima T 1 . Sąlyga (4) įgauna tokią formą t 1 2 T 1 = - 1. Tangentams taškuose M 2 Ir M 3 gauname panašius ryšius t 2 2 T 2 = -1 ir t 3 2 T 3 = -1 . Padauginus šias tris lygybes, gauname

(t 1 t 2 t 3 ) 2 T 1 T 2 T 3 = -1 . iš kur remdamiesi (4) darome išvadą, kad ir T 1 T 2 T 3 = -1, tie. taškų N 1 (T 1 ), N 2 (T 2) ir N 3 (T 3) yra toje pačioje tiesėje.

Nustatę plotą, kurį riboja Dekarto lakšto kilpa, gauname:

. Statybos būdas. Pirmiausia pažymime, kad jei Dekarto lakšto simetrijos ašis bus laikoma abscisių ašimi, tada jos lygtis įgis tokią formą

(5)

Tegu dabar taške yra apskritimas, kurio spindulys r ir centras

ir tiesioginis x= -h. Paimkite savavališką šio apskritimo tašką Q ir nubrėžkite tiesią liniją QA ir tiesioginis QN, statmenai abscisių ašiai (2 pav.). Iš susikirtimo taško R tiesiai QA su tiesia linija x= - h nubrėžti tiesią liniją RO kol susikerta taške K 1 su tiesia linija QN. Taigi esmė K apskritime bus priskirtas taškas Q1. Taškų lokusas Q 1 yra Dekarto lakštas.

Norėdami tai įrodyti, atkreipkite dėmesį, kad taško koordinatės K galima parašyti formoje

į tašką nubrėžto apskritimo spindulio sudarytas kampas Q, su teigiama x ašies kryptimi. Pagal tai tiesės lygtis QA galima parašyti kaip

Darant prielaidą, kad šioje lygtyje x= -h, rasti ordinates

taškų R. Iš to išplaukia, kad tiesės lygtis RQ 1 bus parašyta formoje

(6)

Tuo pačiu metu tiesės lygtis K 1 N turi formą

(7)

Pašalinus iš (6) ir (7) lygčių parametrą w, formoje randame taškų Q 1 lokuso lygtį

Palyginę ją su (5) lygtimi, darome išvadą, kad rasta taškų vieta yra Dekarto lapas.

Apskritimo taškų pavertimas Dekarto lakšto taškais, atliktas su tokia jo konstrukcija, vadinamas Maclaurin transformacija.

4. Istorinė nuoroda. Pirmą kartą matematikos istorijoje kreivė, vėliau vadinama Dekarto lakštu, 1638 m. Dekarto laiške Fermat apibrėžiama kaip kreivė, kuriai sudaryta ant abscisės ir ordinatės pastatytų kubų tūrių suma. kiekvienas taškas yra lygus gretasienio, pastatyto ant abscisės, ordinatės ir tam tikros konstantos, tūriui. Kreivės formą pirmą kartą nustato Robervalis, suradęs kreivės mazginį tašką, tačiau jo atvaizde kreivė susideda tik iš kilpos. Kartodamas šią kilpą keturiais kvadrantais, jis gauna figūrą, primenančią gėlę su keturiais žiedlapiais. Tačiau poetinis kreivės pavadinimas „jazmino žiedlapis“ neprigijo. Visą kreivės formą su asimptote buvimu nustatė vėliau (1692 m.) Huygensas ir I. Bernoulli. Pavadinimas „Dekarto sąrašas“ tvirtai įsitvirtino tik nuo XVIII amžiaus pradžios.

Dioklio cisoidas

1. Formos ypatybės. Tarp daugybės ugdymo būdų cisoids - kreivę, kurią atrado senovės žmonės, ieškodami garsiosios kubo padvigubinimo problemos sprendimo, pirmiausia sutelksime dėmesį į paprasčiausią. Paimkite ratą (vadinamas gamina) kurių skersmuo OA=2a ir liestinė AB Jai. Nubrėžkite spindulį OB per tašką O ir nubrėžkite jame atkarpą OM = saulė. Taip sukonstruotas taškas M priklauso cisoidui. sukant spindulį 0V tam tikru kampu, o atlikę nurodytą konstravimą, rasime antrąjį cisoidės tašką ir pan. (3 pav.).

Jei taškas O imamas kaip polius, tada iš kur gauname cisoidės poliarinę lygtį

Naudodami perėjimo iš poliarinių į Dekarto koordinačių formules, mes randame cisoidinę lygtį stačiakampėje sistemoje:

(2)

Cisoido parametrines lygtis galima gauti nustatant x=ty, tada, remiantis (2) lygtimi, gauname sistemą

Ryžiai. 3

(2) lygtis rodo, kad cisoidas yra trečios eilės algebrinė kreivė, o iš (3) lygčių matyti, kad tai yra racionali kreivė.

Cisoidas yra simetriškas abscisių ašies atžvilgiu, turi begalę šakų; generuojančio apskritimo liestinė, t.y. tiesiai x = 2a yra jo asimptotas; kilmė yra 1-osios rūšies smaigalys.

2. Savybės. Kinematine prasme cisoidą galima gauti kaip vidurio taško trajektoriją M koja Saulė trikampis ABC, juda brėžinio plokštumoje taip, kad jo viršus IN slysta išilgai y ašies, o kita kojelė AU visada eina per fiksuotą tašką E ant x ašies. (4 pav.)

Iš tiesų, nurodant atkarpos vidurio tašką OE per D, pastebime, kad nuo BC = EO,ê VISI =ê VEO, kur /_ VEO = /_ SVE, taigi ê NBE - lygiašoniai, o kadangi ED=EO/2=BC/2=BM, tada segmentas DM lygiagrečiai segmentui BE. Tegul, toliau, esmė KAM yra susikirtimo taškas su atkarpos tęsiniu DM tiesi linija, einanti per tašką IN lygiagrečiai x ašiai. Apibūdinkime apskritimą, kurio centras yra taške, o spindulys lygus OD , ir nubrėžkite jos liestinę antrajame susikirtimo su linija taške EO. Akivaizdu, kad jis praeis per tašką KAM. Nurodantis tiesės susikirtimo tašką DMK su ratu per F, Atkreipkite dėmesį, kad trikampiai DOF Ir MVK yra lygūs vienas kitam. Iš jų lygybės išplaukia, kad D.F.= MK, o tai reiškia ir DM= FK. Paskutinė lygybė rodo, kad taškų lokusas M bus cisoidas.

Kiti cisoid formavimo būdai yra pagrįsti jo ryšiu su parabole. Pirmiausia parodykime tai cisoidas yra parabolės poeras jos viršūnės atžvilgiu.

Šios parabolės lygtis. Tangentinė lygtis savavališkame taške M(x, h ) Šią parabolę galima parašyti kaip statmens, nukritusio nuo pradžios iki šios liestinės, lygtis bus taško koordinatės N jo sankirta su liestine nustatoma formulėmis

(4)

Iš šių lygčių pašalinę parametrą h, gauname lygtį

išreiškiantis cisoidą.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad taško koordinatės, simetriškos pradžios taškai, parabolės liestinės atžvilgiu 2 val = 2 px gaunami, jei teisingos (4) formulių dalys yra padvigubintos, todėl yra nustatomos pagal formules

Iš šių lygybių pašalinus parametrą h, vėl gauname cisoidą su lygtimi. Iš to išplaukia, kad cisoidas yra taškų, simetriškų parabolės viršūnei jos liestinių atžvilgiu, vieta.

Pažymėtina, kad taškų, simetriškų pradžiai parabolės liestinės atžvilgiu, lokusas gali būti laikomas kitos parabolės, tokios pat kaip ir duotoji, viršūnės, kuri rieda išilgai duotosios parabolės, trajektorija. Taigi atsiranda naujas cisoido kinematinės formavimo būdas kaip parabolės viršūnės trajektorija, kuri rieda neslysdama išilgai kitos panašios parabolės.

Stropoidas

Stropoidas (iš graikų kalbos stróphos – susukta juostelė ir éidos – vaizdas)

Tegul yra fiksuota tiesė AB ir taškas C už jos ribų atstumu CO = A; tiesė sukasi aplink C, kertančią AB kintamajame taške N. Jei iš taško N atidedame atkarpas NM \u003d NM "\u003d NO abiejose tiesės AB pusėse, tai taškų M ir M lokusas" visoms besisukančios sijos padėtyse CN yra stropoidas. Lygtis stačiakampėmis koordinatėmis: ; polinėmis koordinatėmis: r = - a cos 2j/cosj. Strofoidą pirmasis ištyrė E. Torricelli (1645), pavadinimas pradėtas teikti XIX amžiaus viduryje. Ryžiai. 6

Verziera Agnesi

Verziera (versiera) Agnesi ( kartais Agnesi garbanė) yra plokštumos kreivė, taškų M lokusas, kuriam galioja santykis, kur OA yra apskritimo skersmuo, BC yra šio apskritimo puslaidis, statmenas OA. Agnesi versiera buvo pavadinta italų matematikės Marijos Gaetanos Agnesi, tyrusios šią kreivę, vardu.

Lygtys

O = (0,0), A = (0, a)

Stačiakampėje koordinačių sistemoje:

Taško M, esančio ant versijos, koordinatės yra x = BM, y = OB. OA = a ir pagal apibrėžimą sudarome proporciją

Iš čia

Kita vertus, BC galima rasti iš apskritimo lygties:

Žinome, kad y = OB, todėl išreiškiame:

Sulyginkite abi BC išraiškas:

Kvadratas, vertimas ir skliausteliuose:

Išreiškiame y (y=0 netinka pagal apibrėžimą):

, kur yra kampas tarp OA ir OC.

Savybės:

1. Verzier – trečios eilės kreivė.

Skersmuo OA yra vienintelė kreivės simetrijos ašis.

Kreivė turi vieną maksimumą – A (0; a) ir du vingio taškus –

Netoli viršūnės A versierius artėja prie OA skersmens apskritimo. Taške A atsiranda liestinė, o kreivė sutampa su apskritimu. Tai rodo kreivio spindulio taške A reikšmė: .

Plotas po grafiku S = πa2. Jis apskaičiuojamas integruojant lygtį į visas .

Versijos kūno sukimosi aplink asimptotą tūris (ašis OX) .

Ané zee maria gaetana(Agnesi Maria Gaetana), gim. 1718-05-16, Milanas – gyv. 1799 09 01, ten pat. Italų matematikas, Bolonijos universiteto profesorius (nuo 1750 m.). Agnesi veikale „Italijos jaunimo panaudojimo analizės pagrindai“ („Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana“, v. 1-2, Mil., 1748) yra analitinės geometrijos pristatymas, ypač trečios eilės kreivė. vadinama „Agnesi garbana“, ten nagrinėjama (arba versija), kurios lygtis yra y=a 3 / (x 2 + a 2).

Norint nubrėžti šią tiesę, reikia nubrėžti apskritimą, kurio spindulys yra taške (0, a). Tada nuo pradžios nubrėžiamos tiesios linijos ir pažymimi du taškai. Taškas A (x1, y1) yra tiesės ir apskritimo susikirtimo taškas, taškas B (x2,2a) – tiesės ir viršutinės apskritimo horizontalios liestinės susikirtimo taškas. Tada sudaromas kreivės taškas (x2, y1).

Anglų matematikas Johnas Colsonas ėmėsi iš italų kalbos išversti analizės principą. Tačiau jam, XVIII amžiaus europiečiui, buvo nelengva susitaikyti su tuo, kad knygos autorė – moteris, o jai, autoriui, kreivė gali asocijuotis su šukuosena. Dėl to anglų kalbos literatūroje kreivė buvo vadinama Agnesi ragana. - kažkas iš skrydžių lauko į pliką kalną ...

3. Įspūdingos ketvirtojo ir aukštesnio laipsnio eilės

Ketvirtosios eilės linija (kreivė). iškviesti tiesę, apibrėžtą ketvirtojo laipsnio algebrine lygtimi Dekarto stačiakampių koordinačių atžvilgiu. Penktos, šeštos ir kitų eilių linijos (kreivės) apibrėžiamos panašiai.

Ketvirtosios eilės eilučių (kreivių) rinkinyje jau yra ne dešimtys, o tūkstančiai tam tikro tipo eilučių. Penktos ir šeštos eilės eilučių rinkiniai dar įvairesni. Čia atsižvelgiama į tam tikrus ketvirtojo ir aukštesnio laipsnio linijų tipus, kurie turi įdomių savybių ir praktinio pritaikymo.

Lemniscate Bernoulli

Pasukime į kreivę, kurią apibūdina plokštumos taškas M, kad šio taško atstumų iki dviejų konkrečių tos pačios plokštumos taškų F 1 ir F 2 sandauga išliktų nepakitusi. Tokia kreivė vadinama lemniskatu (lemniscate graikiškai reiškia „juosta“). Jei atkarpos ilgis F 1 F 2 yra c, tai atstumai nuo atkarpos F 1 F 2 vidurio O iki F1 ir F2 yra lygūs c / 2 ir šių atstumų sandauga lygi - c 2 / 4. Pirmiausia reikalaukime, kad nekintamosios sandaugos p reikšmė būtų lygi 2/4; Tada

taškas O gulės ant lemniskato, o pats lemniskatas atrodys kaip „gulintis aštuonetas“ (8 pav.). Jei tęsiame atkarpą F 1 F 2 abiem kryptimis iki susikirtimo su lemniskatu, tada gauname du taškus A 1 ir A 2. Atstumą tarp A 1 A 2 \u003d x išreiškiame žinomu atstumu c:

Lemniskato židiniai yra F1 (− c; 0) ir F2 (c; 0). Paimkite savavališką tašką M (x; y). Atstumų nuo židinio iki taško M sandauga yra

Ir pagal apibrėžimą jis lygus c2:

Abi lygties puses padalijame kvadratu:

Išplėskite skliaustus kairėje pusėje:

Atidarome skliaustus ir sutraukiame naują sumos kvadratą:

Išimame bendrą faktorių ir perkeliame:

Šiuo atveju a yra apskritimo, apibūdinančio lemniskatą, spindulys. Atlikę paprastas transformacijas, galime gauti aiškią lygtį:

Pažymime kvadratu ir atidarome skliaustus:

Prisimename

Tai kvadratinė lygtis y". Išspręsdami ją, gauname

Paėmę šaknį ir atmetę parinktį su neigiamu antruoju terminu, gauname:

kur teigiamas variantas apibrėžia viršutinę lemniskato pusę, neigiamas – apatinę.

Jei pastovios sandaugos p reikšmė nėra lygi 2/4, tai lemniskatas pakeis savo formą. O kai p mažesnis už c 2 /4, lemniskatas susideda iš dviejų ovalų, kurių kiekviename yra atitinkamai taškai F 1 ir F 2 (9 pav.).

Tai. nustatę skirtingas p ir c 2 /4 sąlygas, gausime įvairių tipų lemniskatus (10 pav.).

Ryžiai. 10

Dabar paimkime bet kokį taškų skaičių lėktuve. F 1 , F 2 ,…, F n Gaukime Kreivę, kurios forma priklausys nuo to, kaip taškai F 1 , F 2 ,…, F n išsidėstę vienas kito atžvilgiu ir kokia yra pastovios sandaugos reikšmė. Ši kreivė vadinama lemniskatu su n židinių.

Aukščiau mes svarstėme lemniskatus su dviem židiniais. Paėmus skirtingą židinių skaičių, skirtingai juos išdėstant ir atstumų sandaugai priskiriant tą ar kitą reikšmę, galima gauti keisčiausių kontūrų lemniskatus. Nuveskime pieštuko tašką nuo tam tikro taško A, nenuimdami jo nuo popieriaus, kad jis galiausiai grįžtų į pradinį tašką A. Tada jis apibūdins tam tikrą kreivę; mes tik reikalaujame, kad ši kreivė niekur nesikirstų

pats. Akivaizdu, kad tokiu būdu galima gauti kreivių, turinčių, pavyzdžiui, žmogaus galvos arba paukščio kontūrus (11 pav.). Pasirodo, kad turint tokią savavališką kreivę galima pasirinkti skaičių n ir židinių išdėstymą tokiu būdu

F 1 , F 2 ,…, F n

ir priskirti tokią reikšmę pastoviai atstumų sandaugai

МF 1 МF 2 … МF n = p

kad atitinkamas lemniskatas akimis nesiskirs nuo šios kreivės. Kitaip tariant, galimi taško M nukrypimai, apibūdinantys lemniskatą, nuo nubraižytos kreivės - neviršys pieštuko brūkšnio pločio (pieštuką galima iš anksto pagaląsti taip, kaip jums patinka, kad potėpis būtų labai siauras). Šis nuostabus faktas, bylojantis apie nepaprastą daug židinių turinčių lemniskatų formų įvairovę ir turtingumą, yra gana griežtai, bet labai sunkiai įrodytas pasitelkus aukštąją matematiką.

Paskalio sraigė

Taškų M ir M" vieta, esanti ant pieštuko linijų (kurių centras O yra R spindulio apskritime) atstumu a abiejose linijų sankirtos su apskritimu P taško pusėse; taigi, PM = PM" = A. lygtis stačiakampėmis koordinatėmis: ( x 2 + y 2 - 2Rx)2-a 2(x 2 + y 2) = 0, polinėmis koordinatėmis: r = 2 R cos j + A. At a = 2R kilpa susitraukia iki taško, tokiu atveju Paskalio sraigė virsta kardioidu. Pavadinimas pavadintas prancūzų mokslininko B. Pascalio (1588-1651), kuris pirmą kartą jį ištyrė, vardu.

Cikloidinės kreivės

Įsivaizduokite, kad tam tikra kreivė rieda neslysdama kita kreive; bet kuris taškas, visada susijęs su pirmąja kreive, apibūdins naują kreivę. Taigi galite įsivaizduoti elipsę, riedančią ant kitos elipsės, ir tyrinėti liniją, kuria judės jos centras, arba nustatyti tiesia linija riedančios parabolės židinio trajektoriją ir pan.

Tarp taip suformuotų kreivių išskiriamos kreivės, kurios yra taško, nuolat sujungto su apskritimu, kuris rieda neslysdamas kitu apskritimu, trajektorijos. Gautos eilutės vadinamos cikloidinis.

Formuojant cikloidines kreives, braižymo taškas tam tikru atstumu atskiriamas nuo generuojančio (judančio) apskritimo centro. Konkrečiu atveju jis yra sukuriančio apskritimo apskritime. Esant šiai sąlygai, gautos kreivės skirstomos į epicikloidus ir hipocikloidus, priklausomai nuo to, ar generuojantis ratas yra fiksuoto apskritimo išorėje ar viduje.

Algebrinės kreivės apima tokias gerai žinomas kreives kaip kardioidas, astroidas, apsvarstykime šias kreives.

Kardioidinis

1. Lygtis. Kardioidą galima apibrėžti kaip taško, esančio ant apskritimo, kurio spindulys yra r, perimetrą, kuris rieda fiksuoto to paties spindulio apskritimo perimetru. Taigi tai bus epicikloidas, kurio modulis m lygus 1.

Ši aplinkybė leidžia iš karto užrašyti kardioido parametrines lygtis, aukščiau pateiktose epicikloido parametrinėse lygtyse modulį m pakeičiant vienu. Turėsiu:

(1)

Norint gauti poliarinę kardioido lygtį, patogu tašką A paimti kaip polių (13 pav.), o polinę ašį nukreipti išilgai abscisės. Kadangi keturkampis AOO 1 M bus lygiašonė trapecija, tai taško M poliarinis kampas j bus lygus sukuriančio apskritimo sukimosi kampui, t.y. parametras t. Atsižvelgdami į šią aplinkybę, pakeisime y antrojoje sistemos (1) lygtyje per r sin t. Sumažinus taip gautą lygybę sin t, gauname kardioido poliarinę lygtį

Pagal šią lygtį

galime daryti išvadą, kad kardioidas yra viena iš Paskalio sraigių. Todėl jį galima apibrėžti kaip apskritimo konchoidą.

Iš šios lygties matyti, kad kardioidas yra 4 eilės algebrinė kreivė.

2. Savybės. Visų pirma, kadangi kardioidas yra epicikloidas, kurio m=1, į jį galima perkelti visas ankstesnėje pastraipoje nagrinėtų epicikloidų savybes.

Čia yra funkcijos ir specifikacijos.

Savavališko kardioido taško liestinė eina per sukuriančio apskritimo apskritimo tašką, diametraliai priešingą apskritimų sąlyčio taškui, o normalioji eina per jų sąlyčio tašką.

Kampas m, kurį sudaro kardioido liestinė su sąlyčio taško spindulio vektoriumi, yra lygus pusei kampo, kurį sudaro šis spindulio vektorius su poline ašimi. Tikrai

Iš šio ryšio tiesiogiai išplaukia, kad kampas, sudarytas iš kardioido liestinės su abscisių ašimi, yra lygus (kaip išorinis trikampio AMN kampas, 14 pav.). Turėdami formulę galime įrodyti, kad stygos, einančios per ašigalį, galuose nubrėžtos kardioido liestinės yra viena kitai statmenos.

Tiesa, nuo

Ryžiai. 14

Taip pat atkreipiame dėmesį, kad šių liestinių susikirtimo taškų lokusas yra apskritimas. Iš tiesų pirmosios liestinės lygtis, pagrįsta kardioido (1) lygtimis, turės tokią formą

Ir antroji liestinė Pašalinus parametrą iš šių lygčių, gauname nurodyto apskritimo lygtį.

Kreivio spindulys savavališkame kardioido taške nustatomas pagal formulę

Taip pat galima parodyti, kad kreivio spindulys yra 2/3 poliarinio normalaus N tam tikrame taške.

Iš tiesų, iš kur, remiantis (4), gauname.Šis ryšys gali būti naudojamas kardioido kreivumo centrui sudaryti.

Kardioido evoliucija pagal bendrą epicikloido raidos savybę taip pat bus kardioidas, panašus į duotąjį, kurio panašumo koeficientas lygus 1/3 ir pasuktas duotosios atžvilgiu kampu 180°.

Kardioidinio lanko ilgis nuo taško A iki savavališko taško M nustatomas pagal formulę

Jei lanko ilgis skaičiuojamas nuo taško A 1, diametraliai priešingo taškui A, tada lanko ilgio nustatymo formulę galima parašyti taip

(6)

Natūralioji kardioido lygtis gaunama, jei parametras neįtraukiamas iš lygčių (4) ir (6). Tai atrodys

(7)

Plotas, kurį riboja kardioidas, nustatoma pagal formulę

ir, kaip matyti, yra lygus generuojančio apskritimo šešių ratų plotui.

Viso kardioido ilgis nustatomas pagal formulę

ir, kaip matyti, yra lygus aštuoniems sukuriančio apskritimo skersmenims. Kūno tūris, gautas sukantis kardioidui aplink savo ašį, lygus

Kūno paviršius, gautas sukantis kardioidui aplink savo ašį, lygus

Matėme, kad kardioidas yra organiškai susijęs su apskritimu. Tai apskritimo ir epicikloido konchoidas. Jis turi kitokį ryšį su apskritimu – kardioidas yra apskritimo poerė šiam apskritimui priklausančio taško atžvilgiu.

Iš tiesų, tegul OM yra statmenas, nuleistas į apskritimo, kurio spindulys lygus 2r, liestinę, nubrėžtą taške N.

Kadangi OM \u003d OB + BM arba r \u003d = 2r cos j + 2r, tada taškų M lokusas bus kardioidas, kurio lygtis r \u003d 2r (1 + cos j)

Baigdami pažymime, kad kardioidas taip pat priklauso sinusoidinių spiralių šeimai, o jo individualios savybės atkartoja bendras šių kreivių savybes. Iš šių savybių visų pirma išplaukia, kad kardioido inversija smailės atžvilgiu suteikia parabolę.

Astroid

1. Savybės. Astroidas yra ypatingas hipocikloidų atvejis, būtent hipocikloidas, kurio modulis m lygus 1/4. Taigi tai yra taško, esančio ant apskritimo, kurio spindulys yra r, trajektorija, kuri rieda išilgai kito, fiksuoto apskritimo, kurio spindulys R yra keturis kartus didesnis.

Astroido parametrines lygtis galima gauti į lygtis sudėjus hipocikloidus, m=1/4. Čia yra lygtys:

kur t, kaip ir anksčiau, yra generuojančio apskritimo sukimosi kampas (16 pav.)

Iš (1) lygčių pašalinus parametrą t, gauname:

(2) lygtis reiškia, kad astroidas yra šeštos eilės algebrinė kreivė.

Astroido parametrines lygtis (1) galima redukuoti į formą

(3)

Iš šių lygčių pašalinus parametrą t, gauname dažnai naudojamą astroidinės lygties formą

(4)

Darant prielaidą, kad anksčiau išvestuose bendruosiuose ryšiuose cikloidinėms kreivėms modulis

m = -1/4, gauname atitinkamus astroido ryšius:

) kreivio spindulys savavališkame astroido taške nustatomas pagal formulę

(5)

) astroido lanko ilgis nuo taško A iki savavališko taško M(t) nustatomas pagal formulę

vienos šakos ilgis lygus, o visos kreivės ilgis – 6R;

), norėdami gauti natūralią astroido lygtį, pirmiausia atkreipiame dėmesį, kad jei lanko ilgio pradžios taškas yra ne taškas A, kurio t \u003d 0, o taškas, kurio t \u003d p, tada lanko ilgis. lankas nustatomas pagal formulę

neįskaitę parametro t iš (5) ir (6) lygčių, gauname natūralią astroido lygtį

) astroido evoliucija taip pat yra astroidas, panašus į pateiktąjį, kurio panašumo koeficientas lygus 2, pasuktas duotos atžvilgiu kampu p/4 (16 pav.)

) plotas, apribotas viso astroido, yra lygus kūno tūriui, gautam sukant astroidą, lygus 32/105p R 3

sukant astroidą susidaręs kūno paviršius lygus

Dabar pereikime prie kai kurių konkrečių astroido savybių.

Astroidas yra pastovaus ilgio segmento, galų gaubtas. kurios slysta išilgai dviejų viena kitai statmenų tiesių.

Šias tieses imame kaip koordinačių ašis ir, žymėdami slydimo atkarpos ND=R pasvirimo kampą per a (4 pav.), turėsime tiesės ND lygtį formoje

Diferencijuodami šią lygtį parametro a atžvilgiu, gauname:

Praktiškai segmento ND judėjimas gali būti atliekamas naudojant vadinamuosius kardaninius apskritimus. Vienas iš šių apskritimų, kurių spindulys R, yra nejudantis, o kitas, kurio spindulys r, dvigubai mažesnis, rieda išilgai vidinės nejudančio apskritimo pusės. Bet kurie du diametraliai priešingi riedėjimo apskritimo taškai N ir D judės išilgai dviejų vienas kitam statmenų nejudančio apskritimo skersmenų Ox ir Oy. Aišku, kad riedėjimo apskritimo skersmens apvalkalas bus astroidas.

Ryžiai. 17

Ryžiai. 18

Nagrinėjamas astroido formavimo būdas taip pat gali būti interpretuojamas taip. Stačiakampis ODCN, kurio dvi kraštinės yra dviejose viena kitai statmenose tiesėse, deformuojamas taip, kad jo įstrižainė išliktų R ilgio, įstrižainės gaubtas bus astroidas. Kadangi šiuo atveju statmenas, numestas iš viršūnės C į įstrižainę DN, tarnauja kaip gaubtinės normalus, astroidas yra statmenų, nukritusių nuo stačiakampio viršūnės C iki įstrižainės, pagrindų vieta.

Šios lygtys išreiškia anksčiau svarstytą tiesioginį astroidą.

. Kai kurios transcendentinės linijos

transcendentinis vadinamos tiesėmis, kurių lygtys stačiakampėse Dekarto koordinatėse nėra algebrinės. Paprasčiausi transcendentinių linijų pavyzdžiai yra funkcijų grafika, y=, y= ir kitos trigonometrinės funkcijos. Panagrinėkime kai kurias kitas transcendentines linijas.

Archimedo spiralė

Įsivaizduokite be galo ilgą sekundės rodyklę, palei kurią, pradedant nuo ciferblato centro, nenuilstamai bėga mažas vabalas pastoviu greičiu v cm/s. Po minutės klaida bus 60v cm atstumu nuo centro, dviejose - 120v ir t.t. Apskritai, praėjus t sekundėms nuo bėgimo pradžios, klaidos atstumas nuo centro bus lygus vt cm. Per tą laiką rodyklė pasisuks kampu, kuriame yra 6 t ° (juk per vieną sekundę jis sugeba pasisukti 360 ° kampu: 60 \u003d 6 °). Todėl klaidos padėtis ciferblato plokštumoje po bet kurio t sekundžių skaičiaus nuo judėjimo pradžios yra tokia. Būtina atidėti kampą a, kuriame yra 6t ° nuo pradinės rodyklės padėties jos sukimosi kryptimi, ir išmatuoti atstumą r = vt cm nuo centro pagal naują rodyklės padėtį. Čia mes aplenksime klaidą (21 pav.).

Ryžiai. 21.

Akivaizdu, kad santykis tarp rodyklės sukimosi kampo a (laipsniais) ir nuvažiuoto atstumo r (centimetrais) bus:

Kitaip tariant, r yra tiesiogiai proporcingas a, o proporcingumo koeficientas yra k = v/6.

Prie savo bėgiko pritvirtinkime mažą, bet neišsenkamą juodų dažų indelį ir manykime, kad dažai, ištekėję pro mažytę skylutę, palieka ant popieriaus pėdsaką nuo vabalo, nešamo kartu su rodykle. Tada kreivė, kurią pirmą kartą ištyrė Archimedas (287–212 m. pr. Kr.), palaipsniui atsiras popieriuje. Jo garbei ji vadinama Archimedo spirale. Tik reikia pasakyti, kad Archimedas nekalbėjo nei apie sekundę (tada laikrodžių su spyruokle taip pat nebuvo: jie buvo išrasti tik XVII a.), nei apie klaidą. Aiškumo dėlei juos įtraukėme čia.

Ryžiai. 22 pav. 23.

Archimedo spiralė susideda iš be galo daug posūkių. Jis prasideda nuo ciferblato centro, o didėjant apsisukimų skaičiui nuo jo vis toliau. Ant pav. 22 parodytas pirmasis posūkis ir dalis antrojo.

Tikriausiai esate girdėję, kad naudojant kompasą ir tiesiąją neįmanoma atsitiktinai paimto kampo padalyti į tris lygias dalis (ypatingais atvejais, kai kampe yra, pavyzdžiui, 180°, 135° ar 90°, š. problema lengvai išsprendžiama). Bet jei naudojate tvarkingai nubrėžtą Archimedo spiralę, bet kurį kampą galima padalyti į bet kokį lygių dalių skaičių.

Padalinkime, pavyzdžiui, kampą AOB į tris lygias dalis (23 pav.). Jei darysime prielaidą, kad rodyklė pasisuko tik šiuo kampu, tada klaida bus taške N kampo pusėje. Bet kai sukimosi kampas buvo tris kartus mažesnis, tada klaida buvo tris kartus arčiau centro O. Norėdami rasti šią padėtį, pirmiausia padaliname segmentą ON į tris lygias dalis. Tai galima padaryti naudojant kompasą ir liniuotę. Gauname atkarpą ON 1 , kurios ilgis tris kartus mažesnis nei ON. Norėdami grąžinti klaidą į spiralę, šioje kreivėje turite padaryti įpjovą, kurios spindulys yra ON 1 (vėl kompasas!). Gauname tašką M. Kampas AOM ir bus tris kartus mažesnis už kampą AON.

Cikloidas

Ant apatinio lentos krašto pritvirtinsime liniuotę ir išilgai susuksime lankelį ar apskritimą (kartoninį ar medinį), prispausdami prie liniuotės ir lentos. Jei kreidos gabalėlį pritvirtinsite prie lanko ar apskritimo (lietimo su liniuote taške), tada kreida nubrėžs kreivę (24 pav.), vadinamą cikloidu (graikiškai reiškia „apvalus“). Vienas lanko apsisukimas atitinka vieną cikloido MM"M""N "arką", jei lankas rieda toliau, tada bus gauta vis daugiau to paties cikloido lankų.

Ryžiai. 24.

Norėdami ant popieriaus pastatyti maždaug vieną cikloido arką, aprašytą sukant, pavyzdžiui, trijų centimetrų skersmens lanką, atidedame tiesiame segmente, lygus 3x3,14 = 9,42 cm.

Gauname atkarpą, kurios ilgis lygus lanko apvado ilgiui, t.y. trijų centimetrų skersmens apskritimas. Toliau padalijame šį segmentą į tam tikrą skaičių lygių dalių, pavyzdžiui, iš 6, ir kiekvienam padalijimo taškui pavaizduosime savo lanką tokioje padėtyje, kai jis remiasi būtent į šį tašką (24 pav.), šias pozicijas sunumeruodami taip. skaičiai:

Oi, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Norint pereiti iš vienos padėties į kitą, lankas turi pasukti šeštadalį viso apsisukimo (nes atstumas tarp gretimų padalijimo taškų lygus šeštadalei apskritimo). Todėl, jei 0 padėtyje kreida bus taške M 0, tai 1 padėtyje ji bus taške M 1 - viena šeštoji apskritimo nuo sąlyčio taško, 2 padėtyje - taške M 2 - du šeštadaliai nuo sąlyčio taškas ir t.d. Norėdami gauti taškus M 1, M 2, M 3 ir tt, tereikia padaryti atitinkamo apskritimo įpjovas, pradedant nuo sąlyčio taško, kurio spindulys lygus

Ryžiai. 25.

5 cm, o 1 pozicijoje reikalingas vienas serifas, 2 pozicijoje - du vienas po kito padaryti serifai, 3 pozicijoje - trys serifai ir t.t. Dabar, norint nupiešti cikloidą, belieka sujungti taškus

M 0, M 1, M 2, M 3, M 4, M 5, M 6

lygi kreivė (iš akies).

Trumpiausio nusileidimo kreivė

Tarp daugelio nuostabių cikloido savybių pažymime vieną, dėl kurios jis nusipelnė skambiai skambančio gudraus pavadinimo: „brachistochronas“. Šis vardas sudarytas iš dviejų graikų kalbos žodžių, reiškiančių „trumpiausias“ ir „laikas“.

Apsvarstykite tokį klausimą: kokią formą reikia suteikti gerai nupoliruotam metaliniam latakui, jungiančiam du nurodytus taškus A ir B (26 pav.), kad šlifuotas metalinis rutulys kuo greičiau riedėtų šiuo lataku iš taško A į tašką B. laikas? Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad reikia sustoti ties tiesiu lataku, nes tik juo rutulys praeis trumpiausiu keliu nuo A iki B. Tačiau kalbame ne apie trumpiausią kelią, o apie trumpiausią laiką; laikas priklauso ne tik nuo kelio ilgio, bet ir nuo kamuoliuko bėgimo greičio. Jei latakas yra sulenktas žemyn, jo dalis, pradedant nuo taško A, nukris stačiau nei tiesiojo latako atveju, o rutulys, krisdamas išilgai jo, įgaus didesnį greitį nei tokio pat ilgio atkarpoje. tiesus latakas. Bet jei pradinę dalį padarysime labai stačią ir santykinai ilgą, tai dalis, esanti šalia taško B, bus labai švelni ir taip pat gana ilga; pirmoji rutulio dalis praeis greitai, antroji labai lėtai ir kamuolys gali pavėluoti atvykti į tašką B. Taigi, latakui, matyt, reikia suteikti įgaubtą formą, bet lenkimas neturėtų būti per didelis

Ryžiai. 26.

Ryžiai. 27.

Italų fizikas ir astronomas Galilėjus (1564–1642) manė, kad trumpiausio laiko latakas turi būti išlenktas išilgai apskritimo lanko. Tačiau šveicarų matematikai, broliai Bernoulli, maždaug prieš tris šimtus metų tiksliais skaičiavimais įrodė, kad taip nėra ir latakas turi būti išlenktas išilgai cikloido lanko (apverstas žemyn, 27 pav.). Nuo tada cikloidas užsitarnavo brachistochrono slapyvardį, o Bernoulli įrodymai buvo naujos matematikos šakos – variacijų skaičiavimo – pradžia. Pastarajam rūpi rasti kreivių tipą, kurio vienas ar kitas mus dominantis kiekis pasiekia mažiausią (o kai kuriais klausimais ir didžiausią) reikšmę.

logaritminė spiralė

Ši kreivė galėtų būti pavadinta Dekarto vardu, nes ji pirmą kartą paminėta viename iš jo laiškų (1638 m.). Tačiau išsamų jo savybių tyrimą tik po pusės amžiaus atliko Jacobas Bernoulli. Šios savybės padarė didelį įspūdį šiuolaikiniams matematikams. Ant šio žymaus matematiko kapo pastatytoje akmens plokštėje pavaizduoti logaritminės spiralės posūkiai.

Archimedo spiralė apibūdinama tašku, judančiu išilgai pluošto („begalinė rodyklė“), todėl atstumas nuo pluošto pradžios didėja proporcingai jo sukimosi kampui: r = ka. Logaritminė spiralė bus gauta, jei reikalaujama, kad ne pats atstumas, o jo logaritmas didėtų tiesiogiai proporcingai sukimosi kampui. Paprastai logaritminės spiralės lygtis rašoma logaritmų sistemos pagrindu naudojant ne Lygiavertį skaičių e (25 skyrius). Toks skaičiaus r logaritmas vadinamas natūraliuoju logaritmu ir žymimas In r. Taigi logaritminės spiralės lygtis parašyta kaip ln r = ka

Žinoma, sukimosi kampas a vis tiek gali būti matuojamas laipsniais. Tačiau matematikai mieliau jį matuoja radianais, t.y. kampo matu paimkite apskritimo lanko ilgio tarp centrinio kampo kraštinių ir šio apskritimo spindulio santykį. Tada rodyklės posūkis stačiu kampu bus matuojamas skaičiumi l 1,57, posūkis išplėsto kampo reikšme - l 3,14, o visas posūkis, matuojamas laipsniais, skaičiumi 360, radianais bus matuojamas skaičiumi 2 l 6,28.

Ryžiai. 28.

Iš daugelio logaritminės spiralės savybių atkreipiame dėmesį į vieną dalyką: bet koks spindulys, atsiradęs iš pradžių, kerta bet kurį spiralės posūkį tuo pačiu kampu. Šio kampo reikšmė priklauso tik nuo skaičiaus k spiralinėje lygtyje. Šiuo atveju kampas tarp spindulio ir spiralės suprantamas kaip kampas tarp šio spindulio ir susikirtimo taške nubrėžtos spiralės liestinės (28 pav.).

Išvada

Svarstant trečios ir ketvirtos eilės kreives

susipažinome su tikrai nuostabiais kreiviais, gyvenančiais nuostabiame analitinės geometrijos pasaulyje, kurie mūsų gyvenime yra daug dažniau nei atrodo. Svarstėme jų praktinį pritaikymą žmogaus gyvenime, jų nuostabių savybių reikšmę įvairiuose žmogaus gyvenime naudojamuose mechanizmuose. Šiame darbe mes surinkome medžiagą, pabrėždami praktinę kreivių konstravimą.

Taigi tikslas buvo pasiektas ir atitinkamai nurodytos užduotys išspręstos.

Literatūra

linijos tvarka transcendentinė spiralė

1. Markuševičius A.I. Įspūdingos kreivės. - M.: Krasnoproletarskaja, 1951. -23 p.; 1978., - 48 puslapiai su iliustracijomis.

Matematikos istorija nuo seniausių laikų iki XIX amžiaus pradžios / Red. A.P. Juškevičius. - M.: Nauka, 1970, t. 1. - 352 p.; 1970, t. 2. - 300 p.; 1972, t. 3 - 496 p.

Nikiforovskis V.A., Freimanas L.S. Naujos matematikos gimimas. - M.: Nauka, 1976. - 198 p.

Savelovas A.A. Plokščios kreivės. - M.: Fizmatgiz, 1960 - 294 p.

Iljinas V.A., Poznyak E.G. Analitinė geometrija. - M.: Nauka, 1971. - 232 p.

Tyškevičius R.I., Fedenko A.S. Tiesinė algebra ir analitinė geometrija. - 2 leidimas. - Minskas: Vysh. Shk., 1976.544 p.