Yra žinoma, kad funkcija y= f(x) gali būti apibrėžta netiesiogiai naudojant lygtį, susijusią su kintamaisiais x ir y:

F(x,y)=0.

Suformuluokime sąlygas, kurioms esant lygtis F(x,y)=0 apibrėžia vieną iš kintamųjų kaip kito funkciją. Sekantis

Teorema (netiesioginės funkcijos buvimas) Tegul funkcija F(x,y)=0 atitinka šias sąlygas:

1) yra taškas P˳(х˳,y˳) , kuriame F(x˳,y˳)=0

2) F'y(x˳,y˳)≠ 0

3) funkcijos F'x (x, y)ir F'y (x ,y) yra ištisiniai tam tikroje taško kaimynystėje

P 0 (x 0 ,y 0).

Tada yra unikali funkcija y =f (x), apibrėžta tam tikrame intervale, kuriame yra taškas ir tenkinanti lygtį F(x,y)=0 bet kuriam x iš šio intervalo, kad f(x) 0)=y0

Jei turite numanomą funkciją iš X, tai yra, jis nustatomas pagal lygtį F ( X, adresu) = 0, tada, darant prielaidą, kad adresu yra funkcija nuo X, mes gauname tapatybę F (X, adresu(X)) = 0, kurią galima laikyti pastovia funkcija. Atskirdami šią pastovią funkciją, gauname:

Jei šiuo santykiu, galite rasti.

Vėlgi diferencijuodami ryšį (1), gauname:

Santykis (2) gali būti laikomas lygtimi, skirta nustatyti antrąją išvestinę. Vėl diferencijuodami ryšį (2), gauname lygtį trečiajai išvestinei nustatyti ir t.t.

Kryptinė išvestinė. Krypties vektorius dviejų ir trijų kintamųjų atveju (krypties kosinusai). Funkcijos padidėjimas tam tikra kryptimi. Kryptinės išvestinės nustatymas, raiška dalinėmis išvestinėmis. Funkcijų gradientas. Gradiento ir lygio linijos abipusė padėtis tam tikrame taške dviejų kintamųjų funkcijai.

Dviejų kintamųjų funkcijos z=f(x;y) išvestinė z'I I kryptimi yra funkcijos padidėjimo šia kryptimi santykio su poslinkio ∆I dydžiu, nes pastaroji linkusi į 0: z'i=lim∆iz /∆I

Išvestinė z' I apibūdina funkcijos kitimo greitį kryptimi i.

Jei funkcija z=f(x;y) turi ištisines dalines išvestines taške M(x;y), tai šiame taške yra išvestinė bet kuria kryptimi, kylanti iš taško M(x;y), kuri apskaičiuojama. pagal formulę z'i =z'xˑcosα+z"yˑcosβ, kur cosα, cosβ yra vektoriaus, nukreipiančio k4, kosinusai.

Funkcijos z=f(x,y) gradientas yra vektorius, kurio koordinatės f'x, f'y. Žymima z=(f'x,f'y) arba .

Krypties išvestinė lygi gradiento taškinei sandaugai ir vieneto vektoriaus, nusakančio I kryptį, sandaugai.

Vektorius z kiekviename taške yra nukreiptas išilgai normalės į lygio liniją, einantį per nurodytą tašką funkcijos didėjimo kryptimi.

Dalinės išvestinės f'x ir f'y yra funkcijos z=f(x,y) išvestinės išilgai dviejų ašių Ox ir Oy dalinių krypčių.

Tegul z=f(x,y) yra diferencijuojama funkcija tam tikroje srityje D, M(x,y) . Tegu I yra kokia nors kryptis (vektorius, kurio pradžia yra taške M), ir =(cosα; cosβ).

Judant šia kryptimi I tašką M(x,y) į tašką M1(x+∆x;y+∆y), funkcija z gaus prieaugį ∆iz=f(x+∆x;y+∆y)-f(x) ;y) vadinamas funkcijos z prieaugiu nurodyta kryptimi I.

Jei MM1=∆I, tai ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, vadinasi, ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).

Labai dažnai sprendžiant praktines problemas (pavyzdžiui, aukštojoje geodezijoje ar analitinėje fotogrametrijoje) atsiranda sudėtingos kelių kintamųjų funkcijos, t.y. argumentai. x, y, z viena funkcija f(x,y,z) ) yra naujų kintamųjų funkcijos U, V, W ).

Pavyzdžiui, tai atsitinka judant iš fiksuotos koordinačių sistemos Oxyz į mobiliąją sistemą O 0 UVW ir atgal. Tuo pat metu svarbu žinoti visas dalines išvestines „fiksuotų“ – „senų“ ir „judančių“ – „naujų“ kintamųjų atžvilgiu, kadangi šios dalinės išvestinės dažniausiai apibūdina objekto padėtį šiose koordinačių sistemose. , ir ypač paveikti aeronuotraukų atitikimą realiam objektui . Tokiais atvejais taikomos šios formulės:

Tai yra, atsižvelgiant į sudėtingą funkciją T trys „nauji“ kintamieji U, V, W per tris „senus“ kintamuosius x, y, z Tada:

komentuoti. Galimi kintamųjų skaičiaus kitimai. Pavyzdžiui: jei

Visų pirma, jei z = f(xy), y = y(x) , tada gauname vadinamąją „bendros išvestinės“ formulę:

Ta pati formulė „bendrai išvestinei išvestinei“ šiais atvejais:

bus tokia forma:

Galimi ir kiti (1.27) - (1.32) formulių variantai.

Pastaba: formulė "suminė išvestinė" naudojama fizikos kurso skyriuje "Hidrodinamika" išvedant pagrindinę skysčių judėjimo lygčių sistemą.

1.10 pavyzdys. Duota:

Pagal (1.31):

§7 Netiesiogiai pateiktos kelių kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Kaip žinote, netiesiogiai apibrėžta vieno kintamojo funkcija apibrėžiama taip: nepriklausomo kintamojo funkcija x vadinamas implicitiniu, jei jis pateikiamas lygtimi, kuri nėra išspręsta y :

1.11 pavyzdys.

Lygtis

netiesiogiai apibrėžia dvi funkcijas:

Ir lygtis

neapibrėžia jokios funkcijos.

1.2 teorema (netiesioginės funkcijos buvimas).

Tegul funkcija z \u003d f (x, y) ir jo daliniai dariniai f" x Ir f" y apibrėžtas ir tęstinis tam tikroje kaimynystėje U M0 taškų M 0 (x 0 y 0 ) . Be to, f(x 0 ,y 0 )=0 Ir f"(x 0 ,y 0 )≠0 , tada lygtis (1.33) nustato kaimynystėje U M0 numanoma funkcija y= y(x) , tęstinis ir diferencijuojamas tam tikru intervalu D sutelktas į tašką x 0 , ir y(x 0 )=y 0 .

Be įrodymų.

Iš 1.2 teoremos išplaukia, kad šiame intervale D :

tai yra, yra tapatybė

kur „bendra“ išvestinė randama pagal (1.31)

Tai yra, (1.35) pateikia formulę, kaip rasti netiesiogiai pateiktos vieno kintamojo funkcijos išvestinę x .

Netiesioginė dviejų ar daugiau kintamųjų funkcija apibrėžiama panašiai.

Pavyzdžiui, jei kurioje nors srityje V erdvė Oxyz lygtis išsipildo:

tada esant tam tikroms funkcijos sąlygoms F jis netiesiogiai apibrėžia funkciją

Tuo pačiu metu, pagal analogiją su (1.35), jo dalinės išvestinės randamos taip:

1.12 pavyzdys. Darant prielaidą, kad lygtis

netiesiogiai apibrėžia funkciją

rasti z" x , z" y .

todėl pagal (1.37) gauname atsakymą.

§8 Antrosios ir aukštesnės eilės daliniai išvestiniai

Apibrėžimas 1.9 Funkcijos antros eilės dalinės išvestinės z=z(x,y) apibrėžiami taip:

Jų buvo keturi. Be to, tam tikromis sąlygomis dėl funkcijų z(x,y) lygybė galioja:

komentuoti. Antrosios eilės dalinės išvestinės gali būti žymimos taip:

1.10 apibrėžimas Trečios eilės dalinės išvestinės – aštuoni (2 3).

Išmoksime rasti funkcijų, pateiktų netiesiogiai, tai yra, pateiktų tam tikromis lygtimis, kurios susieja kintamuosius vienas su kitu, išvestines. x Ir y. Netiesiogiai apibrėžtų funkcijų pavyzdžiai:

,

Numanomų funkcijų išvestinius arba numanomų funkcijų išvestinius gana lengva rasti. Dabar išanalizuokime atitinkamą taisyklę ir pavyzdį, o tada išsiaiškinkime, kodėl to apskritai reikia.

Norint rasti netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę, reikia diferencijuoti abi lygties puses x atžvilgiu. Tie terminai, kuriuose yra tik x, pavirs įprastu x funkcijos išvestiniu. O terminai su y turi būti diferencijuojami naudojant sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę, nes y yra x funkcija. Jei tai gana paprasta, tada gautoje termino išvestinėje su x turėtų pasirodyti: funkcijos išvestinė iš y, padauginta iš išvestinės iš y. Pavyzdžiui, termino vedinys bus parašytas kaip , termino vedinys bus parašytas kaip . Be to, iš viso to reikia išreikšti šį „y brūkšnį“ ir bus gauta norima netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinė. Pažvelkime į tai su pavyzdžiu.

1 pavyzdys

Sprendimas. Mes išskiriame abi lygties puses x atžvilgiu, darydami prielaidą, kad y yra x funkcija:

Iš čia gauname išvestinę, kurios reikia užduotyje:

Dabar šiek tiek apie dviprasmišką netiesiogiai apibrėžtų funkcijų savybę ir kodėl reikalingos specialios jų diferencijavimo taisyklės. Kai kuriais atvejais galite įsitikinti, kad pakeitimas duotoje lygtyje (žr. pavyzdžius aukščiau) vietoj jos išraiškos y per x lemia tai, kad ši lygtis virsta tapatybe. Taigi. aukščiau pateikta lygtis netiesiogiai apibrėžia šias funkcijas:

Į pradinę lygtį pakeitę išraišką y kvadratu per x, gauname tapatybę:

.

Išraiškos, kurias pakeitėme, buvo gautos išsprendus y lygtį.

Jei atskirtume atitinkamą aiškią funkciją

tada gautume atsakymą kaip 1 pavyzdyje – iš funkcijos, nurodytos netiesiogiai:

Tačiau ne kiekviena netiesiogiai pateikta funkcija gali būti pavaizduota formoje y = f(x) . Taigi, pavyzdžiui, netiesiogiai apibrėžtos funkcijos

nėra išreikštos elementariomis funkcijomis, tai yra, šios lygtys negali būti išspręstos žaidėjo atžvilgiu. Todėl egzistuoja netiesiogiai pateiktos funkcijos diferencijavimo taisyklė, kurią mes jau ištyrėme ir nuosekliai taikysime kituose pavyzdžiuose.

2 pavyzdys Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

.

Išreiškiame netiesiogiai pateiktos funkcijos y pirminį dydį ir – išvestyje – išvestinę:

3 pavyzdys Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

.

Sprendimas. Atskirkite abi lygties puses x atžvilgiu:

.

4 pavyzdys Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

.

Sprendimas. Atskirkite abi lygties puses x atžvilgiu:

.

Išreiškiame ir gauname išvestinę:

.

5 pavyzdys Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

Sprendimas. Dešinėje lygties pusėje esančius terminus perkeliame į kairę pusę, o dešinėje paliekame nulį. Atskirkite abi lygties puses x atžvilgiu.

Tegul nepertraukiama funkcija adresu iš X yra nustatytas netiesiogiai F(x, y) = 0, kur F(x, y), F" x(x, y), F"y(x, y) yra ištisinės funkcijos tam tikrame domene D, kuriame yra taškas ( X, adresu), kurių koordinatės tenkina ryšius F (x, y) = 0, F"y(x, y) ≠ 0. Tada funkcija adresu iš X turi išvestinę

Įrodymas (žr. pav.). Leisti F"y(x, y) > 0. Kadangi išvestinė F"y(x, y) yra tęstinis, tada galime sudaryti kvadratą [ X 0 - δ" , X 0 + δ" , adresu 0 - δ" , adresu 0 + δ" ], todėl visiems jo taškams F"y (x, y) > 0, t.y. F(x, y) yra monotoniškas adresu fiksuotame X. Taigi tenkinamos visos numanomos funkcijos egzistavimo teoremos sąlygos adresu = f (x), toks F(x, f (x)) º 0.
Nustatykime prieaugį Δ X. nauja vertė X + Δ X atitiks adresu + Δ adresu = f (x + Δ x), kad šios reikšmės atitiktų lygtį F (x + Δ x, y + Δ y) = 0. Akivaizdu,

Δ F = F(x + Δ x, y + Δ y) − F(x, y) = 0

ir šiuo atveju

.

Nuo (7) turime

.

Kadangi numanoma funkcija adresu = f (x) yra tęstinis, tada Δ adresu→ 0 kaip Δ X→ 0, taigi α → 0 ir β → 0. Iš kur mes pagaliau turime

.

Q.E.D.

Aukštesnių laipsnių dalinės išvestinės ir diferencialai.

Tegu funkcijų dalinės išvestinės z = f (x, y), apibrėžtos taško M kaimynystėje, egzistuoja kiekviename šios kaimynystės taške. Šiuo atveju dalinės išvestinės yra dviejų kintamųjų funkcijos X Ir adresu apibrėžtos nurodytoje taško M kaimynystėje. Pavadinkime jas pirmos eilės dalinėmis išvestinėmis. Savo ruožtu dalinės išvestinės kintamųjų atžvilgiu X Ir adresu iš funkcijų taške M, jei jos egzistuoja, vadinamos antros eilės dalinėmis funkcijos išvestinėmis f (M) šioje vietoje ir yra žymimi šiais simboliais

Antros eilės daliniai vediniai, kurių forma yra , vadinami mišriaisiais daliniais vediniais.

Didesnės eilės skirtumai

Mes svarstysime dx išraiškoje už dy kaip pastovus veiksnys.Tada funkcija dy yra tik argumento funkcija x ir jo skirtumas taške x turi formą (atsižvelgiant į skirtumą nuo dy mes naudosime naują skirtumų žymėjimą):

δ ( d m) = δ [ f " (x) d x] = [f " (x) d x] " δ x = f "" (x) d(x) δ x .

Diferencialas δ ( d m) nuo diferencialo dy taške x, paimtas δ x = dx, vadinamas antros eilės funkcijos diferencialu f (x) taške x ir žymimas d 2 y, t.y.

d 2 y = f ""(x)·( dx) 2 .

Savo ruožtu diferencialas δ( d 2 y) nuo diferencialo d 2 y, paimtas δ x = dx, vadinamas funkcijos trečios eilės diferencialu f(x) ir pažymėtas d 3 y ir tt Diferencialas δ( d n-1 y) nuo diferencialo d n -1 f, paimtas δ x = dx, vadinamas diferencialu n- įsakymas (arba n- m diferencialinės) funkcijos f(x) ir pažymėtas d n m.
Įrodykime tai už n-funkcijos diferencialas, formulė

d n y = y (n) ·( dx)n, n = 1, 2, … (3.1)

Įrodyme naudojame matematinės indukcijos metodą. Dėl n= 1 ir n= 2 formulė (3.1) įrodyta. Tegul tai galioja tvarkos skirtumams n - 1

d n −1 y=y( n−1) ( dx)n −1 ,

ir funkcija y (n-1) (x) tam tikru momentu skiriasi x. Tada

Leidžiama δ x = dx, mes gauname

Q.E.D.
Bet kam n sąžininga lygybė

arba

tie. n- i funkcijos išvestinė y= f (x) taške x yra lygus santykiui n-tasis šios funkcijos skirtumas taške xĮ n- argumento skirtumo laipsnis.

Kelių kintamųjų funkcijų kryptinė išvestinė.

Nagrinėjama funkcija ir vieneto vektorius. Tiesioginis l per t. M 0 su krypties vektoriumi

1 apibrėžimas. Funkcijos išvestinė u = u(x, y, z) pagal kintamąjį t paskambino vedinys l kryptimi

Kadangi šioje linijoje u yra sudėtinga vieno kintamojo funkcija, tada išvestinė, susijusi su t yra lygus visai išvestinei t(§ 12).

Jis žymimas ir lygus

Netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinės formulė. Šios formulės taikymo įrodymas ir pavyzdžiai. Pirmos, antros ir trečios eilės išvestinių skaičiavimo pavyzdžiai.

Turinys

Pirmosios eilės išvestinė

Tegul funkcija netiesiogiai pateikiama naudojant lygtį
(1) .
Ir tegul ši lygtis tam tikra prasme turi unikalų sprendimą. Tegul funkcija yra diferencijuojama funkcija taške , ir
.
Tada su šia verte yra išvestinė , kuri nustatoma pagal formulę:
(2) .

Įrodymas

Norėdami įrodyti, apsvarstykite funkciją kaip sudėtingą kintamojo funkciją:
.
Taikome sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę ir randame išvestinę lygties kairiosios ir dešiniosios pusės kintamojo atžvilgiu
(3) :
.
Kadangi konstantos išvestinė lygi nuliui ir , Tada
(4) ;
.

Formulė įrodyta.

Aukštesnių užsakymų išvestinės priemonės

Perrašykime lygtį (4) naudodami kitą žymėjimą:
(4) .
Be to, ir yra sudėtingos kintamojo funkcijos:
;
.
Priklausomybė apibrėžia (1) lygtį:
(1) .

Išvestinę kintamojo atžvilgiu randame iš kairės ir dešinės (4) lygties pusių.
Pagal sudėtingos funkcijos išvestinės formulę turime:
;
.
Pagal išvestinio produkto formulę:

.
Pagal išvestinės sumos formulę:


.

Kadangi (4) lygties dešiniosios pusės išvestinė lygi nuliui, tai
(5) .
Čia pakeitę išvestinę, gauname antros eilės išvestinės reikšmę numanoma forma.

Panašiai diferencijuodami (5) lygtį, gauname lygtį, kurioje yra trečios eilės išvestinė:
.
Pakeisdami čia rastas pirmos ir antros eilės išvestinių vertes, randame trečios eilės išvestinių reikšmę.

Tęsiant diferenciaciją, galima rasti bet kokios eilės išvestinį.

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Raskite pirmąją funkcijos išvestinę, kurią netiesiogiai pateikia lygtis:
(P1) .

Formulės 2 sprendimas

Išvestinę randame pagal (2) formulę:
(2) .

Perkelkime visus kintamuosius į kairę pusę, kad lygtis įgautų formą .
.
Iš čia.

Mes randame išvestinę atžvilgiu , darydami prielaidą, kad ji yra pastovi.
;
;
;
.

Randame išvestinę kintamojo atžvilgiu, darant prielaidą, kad kintamasis yra pastovus.
;
;
;
.

Pagal (2) formulę randame:
.

Rezultatą galime supaprastinti, jei pastebėsime, kad pagal pradinę lygtį (A.1), . Pakaitalas:
.
Padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš:
.

Sprendimas antruoju būdu

Išspręskime šį pavyzdį antruoju būdu. Norėdami tai padaryti, randame išvestinę pradinės lygties kairiosios ir dešiniosios dalių kintamojo (P1) atžvilgiu.

Mes taikome:
.
Taikome trupmenos išvestinės formulę:
;
.
Taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę:
.
Atskiriame pradinę lygtį (P1).
(P1) ;
;
.
Padauginkite iš ir sugrupuokite terminus.
;
.

Pakaitalas (iš (P1) lygties):
.
Padauginkime iš:
.

2 pavyzdys

Raskite antros eilės funkcijos išvestinę, pateiktą netiesiogiai naudojant lygtį:
(P2.1) .

Atskirkite pradinę lygtį kintamojo atžvilgiu, darant prielaidą, kad ji yra funkcija:
;
.
Taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę.
.

Atskiriame pradinę lygtį (A2.1):
;
.
Iš pradinės lygties (A2.1) matyti, kad . Pakaitalas:
.
Išskleiskite skliaustus ir sugrupuokite narius:
;
(P2.2) .
Randame pirmosios eilės išvestinę:
(P2.3) .

Norėdami rasti antros eilės išvestinę, diferencijuojame (A2.2) lygtį.
;
;
;
.
Pirmosios eilės išvestinę (A2.3) pakeičiame išraiška:
.
Padauginkime iš:

;
.
Iš čia randame antros eilės vedinį.

3 pavyzdys

Raskite funkcijos, pateiktos netiesiogiai, trečiosios eilės išvestinę naudojant lygtį:
(P3.1) .

Atskirkite pradinę lygtį kintamojo atžvilgiu, darant prielaidą, kad tai yra funkcija.
;
;
;
;
;
;
(P3.2) ;

Lygtį (A3.2) diferencijuojame kintamojo atžvilgiu.
;
;
;
;
;
(3.3 psl.) .

Diferencijuojame lygtį (A3.3).
;
;
;
;
;
(3.4 psl.) .

Iš (A3.2), (A3.3) ir (A3.4) lygčių randame išvestinių reikšmes .
;
;
.