pagrindu matematiniai tyrimai – tai galimybė įgyti žinių apie tam tikrus dydžius, lyginant juos su kitais dydžiais, kurie yra arba lygus, arba daugiau arba mažiau nei tie, kurie yra tyrimo objektas. Paprastai tai daroma su serija lygtys ir proporcijas. Kai naudojame lygtis, ieškomą kiekį nustatome jį suradę lygybė su kokiu nors kitu jau pažįstamu kiekiu ar kiekiais.

Tačiau dažnai pasitaiko, kad lyginame nežinomą kiekį su kitais nėra lygus jos, bet daugiau ar mažiau jos. Čia reikia kitokio požiūrio į duomenų apdorojimą. Mums gali tekti žinoti, pvz. kiek viena reikšmė didesnė už kitą, arba kiek kartų viename yra kitas. Norėdami rasti atsakymus į šiuos klausimus, išsiaiškinsime, kas yra santykis dviejų dydžių. Vienas santykis vadinamas aritmetika, ir kitas geometrinis. Nors verta paminėti, kad abi šios sąvokos nebuvo priimtos atsitiktinai ar tiesiog išskirtinumo sumetimais. Tiek aritmetiniai, tiek geometriniai santykiai taikomi ir aritmetikai, ir geometrijai.

Kadangi yra didžiulės ir svarbios temos sudedamoji dalis, proporcija priklauso nuo koeficientų, todėl būtinas aiškus ir išsamus šių sąvokų supratimas.

338. Aritmetinis santykis tai yra skirtumastarp dviejų dydžių arba dydžių serijos. Patys kiekiai vadinami nariai koeficientai, tai yra terminai, tarp kurių yra santykis. Taigi 2 yra 5 ir 3 aritmetinis santykis. Tai išreiškiama tarp dviejų reikšmių dedant minuso ženklą, t. y. 5 - 3. Žinoma, terminas aritmetinis santykis ir jo detalizavimas praktiškai nenaudingi, nes pakeičiamas tik žodis skirtumas iki minuso ženklo išraiškoje.

339. Jei abu aritmetinio ryšio nariai padauginti arba padalinti tokiu pat kiekiu santykis, galiausiai bus padaugintas arba padalintas iš šios sumos.
Taigi, jei turime a - b = r
Tada padauginkite abi puses iš h , (Ax. 3.) ha - hb = hr
Ir padalijus iš h, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Jei aritmetinio santykio nariai prideda arba atima iš kito atitinkamus narius, tai sumos arba skirtumo santykis bus lygus dviejų santykių sumai arba skirtumui.
Jei a - b
Ir d-h
yra du santykiai,
Tada (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Kuris kiekvienu atveju = a + d - b - h.
Ir (a – d) – (b – h) = (a – b) – (d – h). Kuris kiekvienu atveju = a - d - b + h.
Taigi aritmetinis santykis 11 - 4 yra 7
O aritmetinis santykis 5 - 2 yra 3
16 - 6 terminų sumos santykis yra 10, - santykių suma.
6 - 2 narių skirtumo santykis yra 4, - santykių skirtumas.

341. geometrinis santykis yra santykis tarp dydžių, kuris išreiškiamas PRIVATUS jei viena reikšmė dalijama iš kitos.
Taigi santykis 8 ir 4 gali būti parašytas kaip 8/4 arba 2. Tai yra, 8 dalinys, padalintas iš 4. Kitaip tariant, jis parodo, kiek kartų 4 yra 8.

Lygiai taip pat bet kokio dydžio santykį su kitu galima nustatyti padalijus pirmąjį iš antrojo arba, iš esmės, tas pats, pirmąjį paverčiant trupmenos skaitikliu, o antrąjį – vardikliu.
Taigi a ir b santykis yra $\frac(a)(b)$
d + h ir b + c santykis yra $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Geometrinis santykis taip pat rašomas tarp lyginamų reikšmių dedant du taškus vieną virš kito.
Taigi a:b yra a ir b santykis, o 12:4 yra 12 ir 4 santykis. Du dydžiai kartu sudaro pora, kuriame vadinamas pirmasis terminas pirmtakas, o paskutinis yra pasekmės.

343. Šis punktyrinis žymėjimas ir kitas, esantis trupmenos pavidalu, prireikus yra keičiami, o antecedentas tampa trupmenos skaitikliu, o sekantis – vardikliu.
Taigi 10:5 yra toks pat kaip $\frac(10)(5)$, o b:d yra tas pats, kas $\frac(b)(d)$.

344. Jei kuri nors iš šių trijų reikšmių: ankstesnis, pasekmė ir santykis yra suteikta du, tada galima rasti trečią.

Tegu a= antecedentas, c= nuoseklus, r= santykis.
Pagal apibrėžimą $r=\frac(a)(c)$, tai yra, santykis yra lygus antecedentui, padalytam iš pasekmės.
Padauginus iš c, a = cr, tai yra, antecedentas yra lygus nuosekliam santykiui.
Padalinkite iš r, $c=\frac(a)(r)$, tai yra, pasekmė yra lygi antecedentui, padalytam iš santykio.

Resp. 1. Jei dvi poros turi vienodus ancecendentus ir pasekmes, tai ir jų santykiai yra vienodi.

Resp. 2. Jei dviejų porų santykiai ir antecedentai yra lygūs, tai padariniai yra lygūs, o jei santykiai ir pasekmės yra lygūs, tai antcecentai yra lygūs.

345. Jei du lygina dydžius lygus, tada jų santykis lygus vienybei arba lygybei. Santykis 3 * 6:18 yra lygus vienetui, nes bet kurios vertės, padalytos iš savęs, koeficientas yra lygus 1.

Jei poros pirmtakas daugiau, nei pasekmė, tada santykis yra didesnis nei vienas. Kadangi dividendas yra didesnis už daliklį, koeficientas yra didesnis nei vienas. Taigi santykis 18:6 yra 3. Tai vadinama santykiu didesnė nelygybė.

Kita vertus, jei pirmtakas mažiau nei pasekmė, tada santykis yra mažesnis už vieną, ir tai vadinama santykiu mažesnė nelygybė. Taigi santykis 2:3 yra mažesnis nei vienas, nes dividendas yra mažesnis už daliklį.

346. Atvirkščiai santykis yra dviejų abipusių dydžių santykis.
Taigi atvirkštinio 6 ir 3 santykis yra su, tai yra:.
Tiesioginis a ryšys su b yra $\frac(a)(b)$, tai yra, antecedentas, padalytas iš pasekmės.
Atvirkštinis ryšys yra $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ arba $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a)$.
tai yra, seka b padalinta iš antecedento a.

Taigi išreiškiamas atvirkštinis ryšys apverčiant trupmeną, kuris rodo tiesioginį ryšį, arba, kai žymėjimas atliekamas naudojant taškus, apversdamas narių rašymo tvarką.
Taigi a yra susijęs su b atvirkščiai, kad b yra susijęs su a.

347. Sudėtingas santykisšis santykis darbai atitinkamus terminus su dviem ar daugiau paprastų ryšių.
Taigi santykis yra 6:3, lygus 2
Ir santykis 12:4 lygu 3
Iš jų sudarytas santykis yra 72:12 = 6.

Čia sudėtingas ryšys gaunamas padauginus du pirminius ir du paprastų santykių pasekmes.
Taigi santykis sudarytas
Iš santykio a:b
Ir c:d santykiai
ir santykis h:y
Tai yra santykis $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Sudėtingi santykiai nesiskiria savo gamta nuo bet kokio kito santykio. Šis terminas tam tikrais atvejais naudojamas santykio kilmei parodyti.

Resp. Sudėtingas santykis yra lygus paprastų santykių sandaugai.
Santykis a:b yra lygus $\frac(a)(b)$
Santykis c:d yra lygus $\frac(c)(d)$
Santykis h:y yra lygus $\frac(h)(y)$
Pridėtas šių trijų santykis bus ach/bdy, kuris yra trupmenų, išreiškiančių paprastus santykius, sandauga.

348. Jei kiekvienos ankstesnės poros santykių sekoje pasekmė yra antecedentas kitoje, tai pirmojo antecedento ir paskutinio pasekmės santykis lygus gautam iš tarpinių santykių.
Taigi keliais santykiais
a:b
b:c
c:d
d:h
santykis a:h yra lygus santykiui, sumuotam iš santykių a:b ir b:c bei c:d ir d:h. Taigi sudėtingas ryšys paskutiniame straipsnyje yra $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$ arba a:h.

Lygiai taip pat visi dydžiai, kurie yra ir pirmtakai, ir pasekmės išnykti, kai trupmenų sandauga bus supaprastinta iki žemesnių jos narių, o likusioje dalyje kompleksinis ryšys bus išreikštas pirmuoju antecedentu ir paskutine pasekme.

349. Specialioji sudėtingų santykių klasė gaunama paprastą santykį padauginus iš pats arba į kitą lygus santykis. Šie santykiai vadinami dvigubai, trigubas, keturgubai, ir t.t., atsižvelgiant į padauginimų skaičių.

Santykis sudarytas iš du lygiomis proporcijomis, ty kvadratas dvigubai santykis.

Sudarytas iš trys, tai yra, kubas vadinamas paprastas santykis trigubas, ir taip toliau.

Panašiai ir santykis kvadratinės šaknys du dydžiai vadinami santykiu kvadratinė šaknis, ir santykis kubo šaknys- santykis kubo šaknis, ir taip toliau.
Taigi paprastas a ir b santykis yra a:b
Dvigubas a ir b santykis yra a 2:b 2
Trigubas a ir b santykis yra a 3:b 3
Kvadratinės šaknies a ir b santykis yra √a :√b
A ir b kubinės šaknies santykis yra 3 √a : 3 √b ir pan.
Sąlygos dvigubai, trigubas, ir tt nereikia maišyti su padvigubėjo, patrigubėjo, ir taip toliau.
Santykis nuo 6 iki 2 yra 6:2 = 3
Jei šį santykį padvigubiname, tai yra du kartus, gauname 12:2 = 6
Šį santykį patrigubiname, tai yra, šį santykį tris kartus, gauname 18: 2 = 9
BET dvigubai santykis, tai yra kvadratas santykis yra 6 2:2 2 = 9
Ir trigubas santykis, t.y. santykio kubas, yra 6 3:2 3 = 27

350. Kad dydžiai būtų koreliuojami vienas su kitu, jie turi būti tos pačios rūšies, kad būtų galima tiksliai teigti, ar jie yra lygūs vienas kitam, ar vienas iš jų yra didesnis ar mažesnis. Pėda yra nuo 12 iki 1 colio: ji yra 12 kartų didesnė už colį. Bet negalima, pavyzdžiui, sakyti, kad valanda yra ilgesnė ar trumpesnė už lazdą arba akras didesnis ar mažesnis už laipsnį. Tačiau jei šios reikšmės yra išreikštos numeriai, tada tarp šių skaičių gali būti ryšys. Tai yra, gali būti ryšys tarp minučių skaičiaus per valandą ir žingsnių skaičiaus mylioje.

351. Atsigręžiant į gamta santykius, kitas žingsnis, į kurį turime atsižvelgti, yra tai, kaip vienos ar dviejų tarpusavyje palyginamų terminų pokytis paveiks patį santykį. Prisiminkite, kad tiesioginis santykis išreiškiamas trupmena, kur anecedet poros visada skaitiklis, a pasekmė - vardiklis. Tada iš trupmenų savybės bus nesunku nustatyti, kad santykio pokyčiai vyksta keičiant lyginamuosius dydžius. Dviejų dydžių santykis yra toks pat kaip prasmė trupmenos, kurių kiekviena reiškia privatus: skaitiklis padalytas iš vardiklio. (341 str.) Dabar įrodyta, kad trupmenos skaitiklį padauginti iš bet kokios reikšmės yra tas pats, kas dauginti prasmė ta pačia suma ir skaitiklio dalijimas yra tas pats, kas trupmenos reikšmes. Štai kodėl,

352. Padauginti poros antecedentą iš bet kokios reikšmės reiškia padauginti santykius iš šios reikšmės, o padalyti antecedentą reiškia padalyti šį santykį.
Taigi 6:2 santykis yra 3
O 24:2 santykis yra 12.
Čia antecedentas ir santykis paskutinėje poroje yra 4 kartus didesnis nei pirmojoje.
Ryšys a:b yra lygus $\frac(a)(b)$
O santykis na:b yra lygus $\frac(na)(b)$.

Resp. Su žinoma pasekme, tuo daugiau pirmtakas, daugiau santykis, ir atvirkščiai, kuo didesnis santykis, tuo didesnis pirmtakas.

353. Padauginus poros pasekmę iš bet kokios reikšmės, gauname santykio padalijimą iš šios reikšmės, o padalijus pasekmę, padauginame santykį. Padauginus trupmenos vardiklį, reikšmę padalijame, o vardiklį – reikšmė dauginama.
Taigi santykis 12:2 yra 6
O 12:4 santykis yra 3.
Čia yra antrosios poros pasekmė du kartus daugiau, bet santykis du kartus mažiau nei pirmasis.
Santykis a:b yra $\frac(a)(b)$
O santykis a:nb lygus $\frac(a)(nb)$.

Resp. Tam tikram antecedentui, kuo didesnė pasekmė, tuo mažesnis santykis. Ir atvirkščiai, kuo didesnis santykis, tuo mažesnė pasekmė.

354. Iš paskutinių dviejų straipsnių matyti, kad daugybos antecedentas poros pagal bet kokią vertę turės tokį patį poveikį santykiui kaip pasekmės padalijimasšia suma ir ankstesnis padalijimas, turės tokį patį poveikį kaip nuoseklus dauginimas.
Taigi 8:4 santykis yra 2
Antecedentą padauginus iš 2, santykis 16:4 yra 4
Antecedentą padalijus iš 2, santykis 8:2 yra 4.

Resp. Bet koks veiksnys arba skirstytuvas nekeičiant santykio, gali būti perkelta iš poros antecedento į pasekmę arba iš pasekmės į antecedentą.

Verta pažymėti, kad kai veiksnys taip perkeliamas iš vieno nario į kitą, tada jis tampa dalikliu, o perkeltas daliklis tampa veiksniu.
Taigi santykis yra 3,6:9 = 2
Perkeliant koeficientą 3, $6:\frac(9)(3)=2$
toks pat santykis.

Ryšys $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Perkeliama y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Perkeliamas m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. Kaip matyti iš straipsnių. 352 ir 353, jei ir antecedentas, ir pasekmė padauginami arba dalijami iš tos pačios sumos, santykis nesikeičia.

Resp. 1. Santykis du trupmenomis, kurie turi bendrą vardiklį, tokį patį kaip ir jų santykis skaitikliai.
Taigi santykis a/n:b/n yra toks pat kaip a:b.

Resp. 2. tiesioginis dviejų trupmenų, turinčių bendrą skaitiklį, santykis yra lygus jų abipusiam santykiui vardikliai.

356. Iš dirbinio nesunku nustatyti bet kurių dviejų trupmenų santykį. Jei kiekvienas narys padauginamas iš dviejų vardklių, santykis bus pateiktas integralinėmis išraiškomis. Taigi, padauginę poros a/b:c/d sąlygas iš bd, gauname $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, kuri tampa ad:bc, sumažinant suminės reikšmės iš skaitiklių ir vardiklių.

356 b. Santykis didesnė nelygybė dideja jo
Tegu didesnis nelygybės santykis yra 1+n:1
Ir bet koks santykis a:b
Sudėtinis santykis bus (347 str.) a + na:b
Kas yra didesnis už santykį a:b (351 str. ir kt.)
Bet santykis mažesnė nelygybė, pridėta kitu santykiu, sumažina jo.
Tegul mažesniojo skirtumo santykis yra 1-n:1
Bet koks nurodytas santykis a:b
Kompleksinis santykis a - na:b
Kas yra mažesnis už a:b.

357. Jei bet kurios poros nariams arba iš jųpapildyti arba atimkite du kitus dydžius, kurie yra tokiu pat santykiu, tada sumos arba likučiai turės tą patį santykį.
Tegu santykis a:b
Tai bus tas pats kaip c:d
Tada santykis sumos pasekmių sumos pirmtakai, ty nuo a + c iki b + d, taip pat yra vienodi.
Tai yra, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Įrodymas.

1. Darant prielaidą, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Padauginkite iš b ir d, ad = bc
3. Įdėkite cd į abi puses, ad + cd = bc + cd
4. Padalinkite iš d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Padalinkite iš b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Santykis skirtumas pasekmių skirtumo pirmtakai taip pat yra vienodi.

358. Jeigu keliose porose santykiai lygūs, tai visų antecedentų suma yra visų pasekmių suma, kaip ir bet kuris pirmtakas yra jo pasekmė.
Taigi santykis
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Taigi santykis (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358b. Santykis didesnė nelygybėmažėja, pridedant ta pati suma abiem nariams.
Tegu nurodytas santykis a+b:a arba $\frac(a+b)(a)$
Prie abiejų terminų pridėjus x, gauname a+b+x:a+x arba $\frac(a+b)(a)$.

Pirmasis tampa $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
Ir paskutinis yra $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Kadangi paskutinis skaitiklis yra akivaizdžiai mažesnis už kitą, tada santykis turėtų būti mažiau. (351 str. arba str.)

Bet santykis mažesnė nelygybė dideja, pridedant tą pačią vertę prie abiejų terminų.
Tegul duotas santykis yra (a-b):a arba $\frac(a-b)(a)$.
Prie abiejų terminų pridėjus x, jis tampa (a-b+x):(a+x) arba $\frac(a-b+x)(a+x)$
Suvedus juos prie bendro vardiklio,
Pirmasis tampa $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
Ir paskutinis, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Kadangi paskutinis skaitiklis yra didesnis už kitą, tada santykis daugiau.
Jei užuot pridėjus tą pačią vertę Atimti iš dviejų terminų akivaizdu, kad poveikis santykiui bus priešingas.

Pavyzdžiai.

1. Kas didesnis: 11:9 ar 44:35?

2. Kuris yra didesnis: santykis $(a+3):\frac(a)(6)$, ar santykis $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. Jei poros antecedentas yra 65, o santykis yra 13, kokia yra pasekmė?

4. Jei poros pasekmė yra 7, o santykis yra 18, koks yra antecedentas?

5. Kaip atrodo kompleksinis santykis, sudarytas iš 8:7, 2a:5b, taip pat (7x+1):(3y-2)?

6. Kaip atrodo kompleksinis santykis, sudarytas iš (x + y): b ir (x-y): (a + b), taip pat (a + b): h? Rep. (x 2 – y 2):bh.

7. Jei ryšiai (5x+7):(2x-3) ir $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ sudaro kompleksinį ryšį, koks santykis gausi: didesnę ar mažesnę nelygybę? Rep. Didesnės nelygybės santykis.

8. Koks yra santykis, sudarytas iš (x + y):a ir (x - y):b, ir $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Rep. Lygybės santykis.

9. Koks yra santykis 7:5 ir dvigubai 4:9 ir trigubai 3:2?
Rep. 14:15.

10. Koks yra santykis, sudarytas iš 3:7 ir trigubai santykio x:y, ir atimant šaknį iš santykio 49:9?
Rep. x3:y3.

Norint išspręsti daugumą vidurinės mokyklos matematikos uždavinių, reikalingos proporcingumo žinios. Šis paprastas įgūdis padės ne tik atlikti sudėtingus pratimus iš vadovėlio, bet ir įsigilinti į pačią matematikos mokslo esmę. Kaip padaryti proporciją? Dabar išsiaiškinkime.

Paprasčiausias pavyzdys yra problema, kai žinomi trys parametrai, o reikia rasti ketvirtąjį. Proporcijos, žinoma, skirtingos, bet dažnai reikia rasti kokį nors skaičių procentais. Pavyzdžiui, berniukas iš viso turėjo dešimt obuolių. Ketvirtąją dalį atidavė mamai. Kiek obuolių berniukui liko? Tai yra paprasčiausias pavyzdys, kuris leis jums sudaryti proporciją. Svarbiausia tai padaryti. Iš pradžių buvo dešimt obuolių. Tebūnie 100%. Taip pažymėjome visus jo obuolius. Jis atidavė ketvirtadalį. 1/4 = 25/100. Taigi, jis paliko: 100% (tai buvo iš pradžių) - 25% (jis davė) = 75%. Šiame paveikslėlyje parodyta procentinė vaisių kiekio dalis, viršijanti vaisių kiekį, kuris buvo prieinamas pirmiausia. Dabar turime tris skaičius, pagal kuriuos jau galime išspręsti proporciją. 10 obuolių – 100 proc. X obuolių – 75%, kur x yra norimas vaisių kiekis. Kaip padaryti proporciją? Būtina suprasti, kas tai yra. Matematiškai tai atrodo taip. Lygybės ženklas skirtas jūsų supratimui.

10 obuolių = 100%;

x obuoliai = 75%.

Pasirodo, 10/x = 100%/75. Tai yra pagrindinė proporcijų savybė. Galų gale, kuo daugiau x, tuo daugiau procentų yra šis skaičius nuo originalo. Išsprendžiame šią proporciją ir gauname x=7,5 obuolių. Kodėl berniukas nusprendė duoti ne sveiką sumą, mes nežinome. Dabar jūs žinote, kaip sudaryti proporcijas. Svarbiausia yra rasti du santykius, iš kurių viename yra norimas nežinomasis.

Proporcijos sprendimas dažnai yra paprastas dauginimas ir padalijimas. Vaikai mokyklose nėra mokomi, kodėl taip yra. Nors svarbu suprasti, kad proporciniai santykiai yra matematikos klasika, pati mokslo esmė. Norėdami išspręsti proporcijas, turite mokėti tvarkyti trupmenas. Pavyzdžiui, dažnai reikia konvertuoti procentus į paprastas trupmenas. Tai yra, 95% rekordas neveiks. Ir jei iš karto parašysite 95/100, galėsite atlikti solidžius sumažinimus nepradėdami pagrindinio skaičiavimo. Verta iš karto pasakyti, kad jei jūsų proporcija pasirodė esanti su dviem nežinomaisiais, tada to neįmanoma išspręsti. Joks profesorius čia negali jums padėti. Ir jūsų užduotis greičiausiai turi sudėtingesnį teisingų veiksmų algoritmą.

Apsvarstykite kitą pavyzdį, kai nėra procentų. Vairuotojas nupirko 5 litrus benzino už 150 rublių. Galvojo, kiek mokės už 30 litrų degalų. Norėdami išspręsti šią problemą, reikiamą pinigų sumą pažymime x. Galite patys išspręsti šią problemą ir tada patikrinti atsakymą. Jei dar nesugalvojote, kaip sudaryti proporciją, pažiūrėkite. 5 litrai benzino yra 150 rublių. Kaip ir pirmame pavyzdyje, rašykime 5l - 150r. Dabar suraskime trečią skaičių. Žinoma, tai 30 litrų. Sutikite, kad šioje situacijoje tinka 30 l - x rublių pora. Pereikime prie matematinės kalbos.

5 litrai - 150 rublių;

30 litrų - x rubliai;

Mes išsprendžiame šią proporciją:

x = 900 rublių.

Taip ir nusprendėme. Atlikdami užduotį nepamirškite patikrinti atsakymo adekvatumo. Pasitaiko, kad netinkamu sprendimu automobiliai pasiekia nerealų 5000 kilometrų per valandą greitį ir pan. Dabar jūs žinote, kaip sudaryti proporcijas. Taip pat galite tai išspręsti. Kaip matote, čia nėra nieko sudėtingo.

Santykis (matematikoje) yra ryšys tarp dviejų ar daugiau tos pačios rūšies skaičių. Santykiai lygina absoliučias reikšmes arba visumos dalis. Santykiai skaičiuojami ir rašomi įvairiais būdais, tačiau pagrindiniai principai visiems santykiams yra vienodi.

Žingsniai

1 dalis

Santykių apibrėžimas

Naudojant koeficientus. Santykiai naudojami tiek moksle, tiek kasdieniame gyvenime lyginant kiekius. Paprasčiausi koeficientai susiję tik su dviem skaičiais, tačiau yra koeficientų, kurie lygina tris ar daugiau reikšmių. Bet kokioje situacijoje, kai yra daugiau nei vienas kiekis, galima parašyti santykį. Susiejant kai kurias vertes, santykiai gali, pavyzdžiui, pasiūlyti, kaip padidinti ingredientų kiekį recepte arba medžiagų kiekį cheminėje reakcijoje.

1. Santykių apibrėžimas. Santykis yra ryšys tarp dviejų (ar daugiau) tos pačios rūšies vertybių. Pavyzdžiui, jei pyragui reikia 2 puodelių miltų ir 1 puodelio cukraus, tada miltų ir cukraus santykis yra 2:1.

   • Santykiai taip pat gali būti naudojami, kai du dydžiai nėra susiję vienas su kitu (kaip torto pavyzdyje). Pavyzdžiui, jei klasėje yra 5 mergaitės ir 10 berniukų, tai mergaičių ir berniukų santykis yra 5 prieš 10. Šie dydžiai (berniukų skaičius ir mergaičių skaičius) nepriklauso vienas nuo kito, tai yra. jų vertybės pasikeis, jei kas nors išeis iš klasės arba į klasę ateis naujas mokinys. Santykiai tiesiog lygina kiekių vertes.

2. Atkreipkite dėmesį į skirtingus koeficientų vaizdavimo būdus. Santykiai gali būti pavaizduoti žodžiais arba matematiniais simboliais.

   • Labai dažnai santykiai išreiškiami žodžiais (kaip parodyta aukščiau). Ypač ši proporcijų vaizdavimo forma naudojama kasdieniame gyvenime, toli nuo mokslo.
   • Be to, santykius galima išreikšti dvitaškiu. Lygindami du skaičius santykiu, naudosite vieną dvitaškį (pavyzdžiui, 7:13); lyginant tris ar daugiau reikšmių, tarp kiekvienos skaičių poros įrašykite dvitaškį (pvz., 10:2:23). Mūsų klasės pavyzdyje mergaičių ir berniukų santykį galite išreikšti taip: 5 mergaitės: 10 berniukų. Arba taip: 5:10.
   • Rečiau santykiai išreiškiami pasviruoju brūkšniu. Klasės pavyzdyje jis gali būti parašytas taip: 5/10. Nepaisant to, tai nėra trupmena ir toks santykis neskaitomas kaip trupmena; be to, atminkite, kad santykiu skaičiai nėra vienos visumos dalis.

   2 dalis

   Santykių naudojimas

   1. Supaprastinkite santykį. Santykį galima supaprastinti (panašiai į trupmenas), kiekvieną santykio terminą (skaičių) padalijus iš . Tačiau nepamirškite pradinių santykio verčių.

      • Mūsų pavyzdyje klasėje yra 5 mergaitės ir 10 berniukų; santykis yra 5:10. Didžiausias bendras santykio dalių daliklis yra 5 (nes ir 5, ir 10 dalijasi iš 5). Padalinkite kiekvieną santykio skaičių iš 5, kad gautumėte 1 mergaitės ir 2 berniukų santykį (arba 1:2). Tačiau supaprastindami santykį turėkite omenyje pradines vertes. Mūsų pavyzdyje klasėje yra ne 3 mokiniai, o 15. Supaprastintas santykis lyginamas berniukų ir mergaičių skaičius. Tai yra, kiekvienai mergaitei tenka 2 berniukai, bet klasėje nėra 2 berniukų ir 1 mergaitės.
      • Kai kurie santykiai nėra supaprastinti. Pavyzdžiui, santykis 3:56 nėra supaprastintas, nes šie skaičiai neturi bendrų daliklių (3 yra pirminis skaičius, o 56 nesidalija iš 3).

   2. Norėdami padidinti arba sumažinti santykį, naudokite daugybą arba padalijimą. Dažna problema yra padidinti arba sumažinti dvi reikšmes, kurios yra proporcingos viena kitai. Jei jums duotas santykis ir reikia rasti jį atitinkantį didesnį ar mažesnį santykį, pradinį santykį padauginkite arba padalinkite iš tam tikro skaičiaus.

      • Pavyzdžiui, kepėjas turi tris kartus padidinti recepte nurodytą ingredientų kiekį. Jei recepte nurodyta, kad miltų ir cukraus santykis yra 2:1 (2:1), kepėjas kiekvieną terminą padaugins iš 3, kad gautų santykį 6:3 (6 puodeliai miltų ir 3 puodeliai cukraus).
      • Kita vertus, jei kepėjui reikia perpus sumažinti recepte nurodytą ingredientų kiekį, kepėjas kiekvieną santykio terminą padalins iš 2 ir gaus santykį 1:½ (1 puodelis miltų su 1/2 puodelio cukraus).

   3. Ieškokite nežinomos reikšmės, kai pateikti du lygiaverčiai santykiai. Tai yra problema, kai viename santykyje reikia rasti nežinomą kintamąjį, naudojant antrąjį ryšį, kuris yra lygiavertis pirmajam. Norėdami išspręsti tokias problemas, naudokite . Kiekvieną santykį parašykite kaip trupmeną, tarp jų padėkite lygybės ženklą ir padauginkite jų terminus skersai.

      • Pavyzdžiui, studentų grupė, kurioje yra 2 berniukai ir 5 mergaitės. Koks bus berniukų skaičius, jei mergaičių skaičius bus padidintas iki 20 (proporcija išsaugoma)? Pirmiausia užsirašykite du santykius – 2 berniukai:5 mergaitės ir X berniukai: 20 mergaičių. Dabar parašykite šiuos santykius trupmenomis: 2/5 ir x/20. Padauginkite trupmenų narius skersai ir gaukite 5x = 40; taigi x = 40/5 = 8.

   3 dalis

   Daznos klaidos

   1. Venkite sudėties ir atimties teksto santykio problemose. Daugelis tekstinių uždavinių atrodo maždaug taip: „Receptas reikalauja 4 bulvių gumbų ir 5 šaknų morkų. Jei norite pridėti 8 bulves, kiek morkų reikia, kad santykis būtų toks pat? Spręsdami tokias problemas, mokiniai dažnai daro klaidą prie pradinio skaičiaus prideda tiek pat ingredientų. Tačiau norint išlaikyti santykį, reikia naudoti daugybą. Štai teisingų ir neteisingų sprendimų pavyzdžiai:

      • Neteisinga: „8 - 4 = 4 - taigi įdėjome 4 bulvių gumbus. Taigi, reikia paimti 5 morkų šaknis ir pridėti prie jų dar 4... Stop! Santykiai taip neveikia. Verta pabandyti dar kartą“.
      • Teisingai: „8 ÷ 4 = 2 – taigi bulvių skaičių padauginome iš 2. Atitinkamai 5 morkų šaknis taip pat reikia padauginti iš 2. 5 x 2 = 10 – į receptą reikia pridėti 10 morkų šaknų.
      Užrašykite matavimo vienetus po kiekvienos vertės. Tekstiniuose uždaviniuose daug lengviau atpažinti klaidą, jei po kiekvienos reikšmės užrašote matavimo vienetus. Atminkite, kad kiekiai, kurių skaitiklyje ir vardiklyje yra vienodi vienetai, panaikinami. Sumažinus išraišką, gausite teisingą atsakymą.
      • Pavyzdys: davus 6 dėžutes, kas trečioje dėžutėje yra 9 rutuliai. Kiek yra kamuoliukų?
      • Neteisingai: 6 dėžės x 3 dėžės/9 rutuliukai = ... Sustokite, nieko negalima pjaustyti. Atsakymas bus toks: „dėžės x dėžės / rutuliai“. Tai neturi prasmės.
      • Teisingai: 6 dėžės x 9 kamuoliukai / 3 dėžės = 6 dėžės * 3 kamuoliukai / 1 dėžutė = 6 dėžės * 3 kamuoliukai / 1 dėžutė = 6 * 3 kamuoliukai / 1 = 18 kamuoliukų.

Proporcijos – toks pažįstamas derinys, tikriausiai žinomas iš bendrojo lavinimo mokyklos pradinių klasių. Pačia bendriausia prasme, proporcija yra dviejų ar daugiau santykių lygybė.

Tai yra, jei yra keletas skaičių A, B ir C

tada proporcija

jei yra keturi skaičiai A, B, C ir D

arba taip pat yra proporcija

Paprasčiausias pavyzdys, kai naudojama proporcija, yra procentų skaičiavimas.

Apskritai proporcijos naudojamos taip plačiai, kad lengviau pasakyti, kur jos netaikomos.

Proporcijos gali būti naudojamos norint nustatyti atstumus, mases, tūrius, taip pat bet ko kiekį, su viena svarbia sąlyga: proporcingai tarp skirtingų objektų turėtų būti tiesinės priklausomybės. Žemiau, naudodamiesi bronzinio raitelio išdėstymo pavyzdžiu, pamatysite, kaip apskaičiuoti proporcijas ten, kur yra netiesinės priklausomybės.

Nustatykite, kiek kilogramų bus ryžių, jei paimsite 17 procentų viso 150 kilogramų ryžių tūrio?

Sudarykite proporciją žodžiais: 150 kilogramų yra bendras ryžių tūris. Taigi priimkime tai kaip 100%. Tada 17% iš 100% bus apskaičiuojama kaip dviejų santykių proporcija: 100 procentų yra iki 150 kilogramų tas pats, kas 17 procentų yra nežinomas skaičius.

Dabar nežinomas skaičius apskaičiuojamas elementariai

Tai yra, mūsų atsakymas yra 25,5 kilogramai ryžių.

Taip pat yra įdomių paslapčių, susijusių su proporcijomis, kurios rodo, kad nebūtina neapgalvotai taikyti proporcijas visoms progoms.

Štai vienas iš jų, šiek tiek pakeistas:

Demonstravimui įmonės biure direktorius liepė sukurti skulptūros „Bronzinis raitelis“ maketą be granito postamento. Viena iš sąlygų – maketas turi būti pagamintas iš tų pačių medžiagų kaip ir originalas, turi būti laikomasi proporcijų ir maketo aukštis turi būti lygiai 1 metras. Klausimas: koks bus maketo svoris?

Pradėkime nuo žinynų.

Raitelio ūgis – 5,35 metro, svoris – 8000 kg.

Jei pasinaudosime pačia pirmąja mintimi – sudaryti proporciją: 5,35 metro yra susiję su 8000 kilogramų, kaip 1 metras su nežinoma reikšme, tada galime net nepradėti skaičiavimo, nes atsakymas bus klaidingas.

Viskas apie mažą niuansą, į kurį reikia atsižvelgti. Viskas priklauso nuo ryšio tarp masės ir aukščio skulptūros netiesinis, tai yra negalima teigti, kad padidinę, pavyzdžiui, kubą 1 metru (stebėdami proporcijas, kad jis liktų kubas), padidinsime jo svorį tiek pat.

Tai lengva patikrinti naudojant pavyzdžius:

1. suklijuokite kubą, kurio krašto ilgis 10 centimetrų. Kiek vandens ten pateks? Logiška, kad 10 * 10 * 10 \u003d 1000 kubinių centimetrų, tai yra, 1 litras. Na, kadangi jie ten pylė vandenį (tankis lygus vienam), o ne kitą skystį, tai masė bus lygi 1 kg.

2. suklijuokite panašų kubą, bet kurio briaunelės ilgis 20 cm. Į jį pilamo vandens tūris bus lygus 20 * 20 * 20 = 8000 kubinių centimetrų, tai yra 8 litrai. Na, o svoris natūraliai 8 kg.

Nesunku pastebėti, kad masės ir kubo krašto ilgio kitimo santykis yra netiesinis, tiksliau – kubinis.

Prisiminkite, kad tūris yra aukščio, pločio ir gylio sandauga.

Tai yra, kai figūra keičiasi (atsižvelgiant į proporcijas / formą) tiesinio dydžio (aukštis, plotis, gylis), trimatės figūros masė / tūris keičiasi kubiškai.

Mes gincijames:

Mūsų linijinis matmuo pasikeitė nuo 5,35 metro iki 1 metro, tada masė (tūris) pasikeis kaip kubo šaknis 8000/x

Ir gaukite tą išdėstymą Bronzinis raitelis 1 metro ūgio įmonės biure svers 52 kilogramus 243 gramus.

Bet, kita vertus, jei užduotis būtų nustatyta taip " maketas turi būti iš tų pačių medžiagų kaip ir originalas, proporcijos ir tūris 1 kubinis metras "Tada žinodami, kad tarp tūrio ir masės yra tiesinis ryšys, mes tiesiog naudotume standartinį santykį, seną tūrį su nauju ir seną masę su nežinomu skaičiumi.

Tačiau mūsų robotas padeda apskaičiuoti proporcijas kitais, įprastesniais ir praktiškesniais atvejais.

Be abejo, tai bus naudinga visoms maistą gaminančioms šeimininkėms.

Susidaro situacijos, kai randamas nuostabaus 10 kg torto receptas, bet jo tūris per didelis, kad būtų galima paruošti.. Norėčiau, kad būtų mažesnis, pavyzdžiui, tik du kilogramai, bet kaip suskaičiuoti visus naujus svorius ir ingredientų kiekiai?

Čia jums padės botas, kuris galės apskaičiuoti naujus 2 kilogramų torto parametrus.

Be to, robotas padės atlikti skaičiavimus darbštiems vyrams, kurie statosi namą ir jiems reikia paskaičiuoti, kiek betono ingredientų paimti, jei jie turi tik 50 kilogramų smėlio.

Sintaksė

XMPP klientų vartotojams: pro<строка>

kur eilutė turi būtinų elementų

skaičius1 / skaičius2 - proporcijos radimas.

Kad nebijotume tokio trumpo aprašymo, pateikiame pavyzdį.

200 300 100 3 400/100

Kuris, pavyzdžiui, sako:

200 gramų miltų, 300 mililitrų pieno, 100 gramų sviesto, 3 kiaušiniai – blynų išeiga 400 gramų.

Kiek ingredientų reikia paimti, norint iškepti tik 100 gramų blynų?

Kaip lengva tai pastebėti

400/100 yra tipinio recepto ir norimos išeigos santykis.

Mes išsamiau apsvarstysime pavyzdžius atitinkamame skyriuje.

Pavyzdžiai

Draugė pasidalino nuostabiu receptu

Tešlai: 200 gramų aguonų, 8 kiaušinių, 200 cukraus pudros, 50 gramų tarkuotų suktinukų, 200 gramų maltų riešutų, 3 stiklinės medaus.
Aguonas verdame 30 minučių ant silpnos ugnies, sutriname grūstuve, dedame ištirpintą medų, maltus spirgučius, riešutus.
Kiaušinius išplakti su cukraus pudra, supilti į masę.
Švelniai išmaišykite tešlą, supilkite į formą, kepkite.
Atvėsusį pyragą perpjaukite į 2 sluoksnius, aptepkite rūgščia uogiene, tada kremu.
Papuoškite uogienės uogomis.
Grietinėlė: 1 stiklinė grietinės, 1/2 stiklinės cukraus, išplakti.

Proporcijų formulė

Proporcija yra dviejų santykių lygybė, kai a:b=c:d

santykis 1 : 10 yra lygus santykiui 7 : 70, kurią taip pat galima parašyti kaip trupmeną: 1 10 = 7 70 rašoma: "vienas yra dešimt, kaip septyni yra septyniasdešimt"

Pagrindinės proporcijų savybės

Kraštutinių narių sandauga lygi vidurinių narių sandaugai (skersai): jei a:b=c:d , tai a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Proporcijų inversija: jei a:b=c:d , tai b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Vidurinių narių permutacija: jei a:b=c:d , tai a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Kraštinių narių permutacija: jei a:b=c:d , tai d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Proporcijos su vienu nežinomu sprendimas | Lygtis

1 : 10 = x : 70 arba 1 10 = x 70

Norėdami rasti x, turite padauginti du žinomus skaičius skersai ir padalyti iš priešingos vertės

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Kaip apskaičiuoti proporciją

Užduotis: reikia išgerti 1 tabletę aktyvintos anglies 10 kilogramų svorio. Kiek tablečių reikia išgerti, jei žmogus sveria 70 kg?

Padarykime proporciją: 1 tabletė – 10 kg x tabletės - 70 kg Norėdami rasti x, turite padauginti du žinomus skaičius skersai ir padalyti iš priešingos vertės: 1 tabletė x tabletės✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Atsakymas: 7 tabletės

Užduotis: Vasja per penkias valandas parašo du straipsnius. Kiek straipsnių jis parašys per 20 valandų?

Padarykime proporciją: 2 straipsniai – 5 val x straipsniai – 20 val x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Atsakymas: 8 straipsniai

Būsimiems abiturientams galiu pasakyti, kad gebėjimas daryti proporcijas man pravertė tiek norint proporcingai sumažinti paveikslėlius, tiek internetinio puslapio HTML makete, tiek kasdienėse situacijose.