Šioje pamokoje sužinosime, kaip kvadratinius trinarius išskaidyti į tiesinius veiksnius. Tam reikia prisiminti Vietos teoremą ir jos atvirkštinę. Šis įgūdis padės mums greitai ir patogiai išskaidyti kvadratinius trinalius į tiesinius veiksnius, taip pat supaprastins trupmenų, susidedančių iš išraiškų, mažinimą.

Taigi grįžkime prie kvadratinės lygties , kur .

Tai, ką turime kairėje pusėje, vadinama kvadratiniu trikampiu.

Teorema teisinga: Jei yra kvadratinio trinalio šaknys, tada tapatybė yra teisinga

Kur yra pagrindinis koeficientas, yra lygties šaknys.

Taigi, turime kvadratinę lygtį – kvadratinį trinarį, kur kvadratinės lygties šaknys dar vadinamos kvadratinio trinalio šaknimis. Todėl, jei turime kvadratinio trinalio šaknis, tai šis trinaris išskaidomas į tiesinius veiksnius.

Įrodymas:

Šis faktas įrodomas naudojant Vieta teoremą, kurią nagrinėjome ankstesnėse pamokose.

Prisiminkime, ką mums sako Vietos teorema:

Jei yra kvadratinio trinario šaknys, kurioms Tada .

Ši teorema reiškia tokį tvirtinimą, kad .

Matome, kad pagal Vieta teoremą, ty pakeitę šias reikšmes į aukščiau pateiktą formulę, gauname tokią išraišką

Q.E.D.

Prisiminkite, kad įrodėme teoremą, kad jei yra kvadratinio trinalio šaknys, tada išskaidymas galioja.

Dabar prisiminkime kvadratinės lygties, kurios šaknis pasirinkome naudodami Vietos teoremą, pavyzdį. Iš šio fakto įrodytos teoremos dėka galime gauti tokią lygybę:

Dabar patikrinkime šio fakto teisingumą tiesiog išplėsdami skliaustus:

Matome, kad koeficientas buvo teisingas, ir bet kuris trinaris, jei jis turi šaknis, gali būti įtrauktas į tiesinius veiksnius pagal šią teoremą pagal formulę

Tačiau patikrinkime, ar bet kuriai lygčiai tokia faktorizacija įmanoma:

Paimkime, pavyzdžiui, lygtį. Pirmiausia patikrinkite diskriminanto ženklą

Ir mes prisimename, kad norint įvykdyti mūsų išmoktą teoremą, D turi būti didesnis nei 0, todėl šiuo atveju faktoringas pagal tiriamą teoremą yra neįmanomas.

Todėl suformuluojame naują teoremą: jei kvadratinis trinaris neturi šaknų, tai jo negalima išskaidyti į tiesinius veiksnius.

Taigi, mes apsvarstėme Vietos teoremą, galimybę išskaidyti kvadratinį trinarį į tiesinius veiksnius, ir dabar išspręsime keletą problemų.

1 užduotis

Šioje grupėje mes iš tikrųjų išspręsime problemą atvirkščiai nei iškelta. Turėjome lygtį ir radome jos šaknis, išskaidančias į veiksnius. Čia mes darysime priešingai. Tarkime, kad turime kvadratinės lygties šaknis

Atvirkštinė problema yra tokia: parašykite kvadratinę lygtį taip, kad būtų jos šaknys.

Yra 2 būdai, kaip išspręsti šią problemą.

Kadangi yra lygties šaknys, tada yra kvadratinė lygtis, kurios šaknys yra pateiktos skaičiais. Dabar atidarykime skliaustus ir patikrinkime:

Tai buvo pirmasis būdas, kuriuo sukūrėme kvadratinę lygtį su nurodytomis šaknimis, kurios neturi jokių kitų šaknų, nes bet kuri kvadratinė lygtis turi daugiausia dvi šaknis.

Šis metodas apima atvirkštinės Vietos teoremos naudojimą.

Jei yra lygties šaknys, tada jie atitinka sąlygą, kad .

Dėl sumažintos kvadratinės lygties , , t. y. šiuo atveju ir .

Taigi, mes sukūrėme kvadratinę lygtį, kuri turi nurodytas šaknis.

2 užduotis

Jums reikia sumažinti frakciją.

Mes turime trinarį skaitiklyje ir trinarį vardiklyje, o trinalius gali būti arba neskaičiuojamas. Jei ir skaitiklis, ir vardiklis yra koeficientai, tada tarp jų gali būti lygių veiksnių, kuriuos galima sumažinti.

Visų pirma, skaitiklį būtina koeficientuoti.

Pirmiausia turite patikrinti, ar šią lygtį galima koeficientuoti, rasti diskriminantą . Kadangi , tada ženklas priklauso nuo sandaugos (turi būti mažesnis nei 0), šiame pavyzdyje t.y., duotoji lygtis turi šaknis.

Norėdami išspręsti, naudojame Vieta teoremą:

Šiuo atveju, kadangi mes susiduriame su šaknimis, bus gana sunku tiesiog pasiimti šaknis. Bet matome, kad koeficientai yra subalansuoti, t.y., jei darysime prielaidą, kad , ir pakeisime šią reikšmę į lygtį, tada gaunama tokia sistema: t.y. 5-5=0. Taigi, mes pasirinkome vieną iš šios kvadratinės lygties šaknų.

Antrosios šaknies ieškosime lygčių sistemoje pakeisdami tai, kas jau žinoma, pavyzdžiui, , t.y. .

Taigi, mes radome abi kvadratinės lygties šaknis ir galime pakeisti jų reikšmes į pradinę lygtį, kad ją koeficientu:

Prisiminkite pradinę problemą, mums reikėjo sumažinti trupmeną.

Pabandykime išspręsti problemą pakeisdami vietoj skaitiklio .

Reikia nepamiršti, kad šiuo atveju vardiklis negali būti lygus 0, t.y.

Jei šios sąlygos yra įvykdytos, pradinę trupmeną sumažinome iki formos .

3 užduotis (užduotis su parametru)

Kokiomis parametro reikšmėmis yra kvadratinės lygties šaknų suma

Jei šios lygties šaknys egzistuoja, tada , klausimas kada.

Norint faktorizuoti, reikia supaprastinti išraiškas. Tai būtina, kad būtų galima dar labiau sumažinti. Polinomo išskaidymas yra prasmingas, kai jo laipsnis nėra žemesnis už antrąjį. Dauginamas su pirmuoju laipsniu vadinamas tiesiniu.

Straipsnyje bus atskleistos visos dekompozicijos sąvokos, teoriniai pagrindai ir daugianario faktorinavimo metodai.

teorija

1 teorema

Kai bet kuris n laipsnio daugianomas, turintis formą P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , pateikiami kaip sandauga su pastoviu koeficientu su didžiausiu laipsniu a n ir n tiesinių koeficientų (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , tada P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , kur x i , i = 1 , 2 , … , n - tai daugianario šaknys.

Teorema skirta kompleksinio tipo x i , i = 1 , 2 , … , n šaknims ir kompleksiniams koeficientams a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Tai yra bet kokio skilimo pagrindas.

Kai a k ​​, k = 0 , 1 , 2 , … , n formos koeficientai yra tikrieji skaičiai, tada konjuguotose porose atsiras kompleksinės šaknys. Pavyzdžiui, šaknys x 1 ir x 2 yra susijusios su P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formos daugianario. . . + a 1 x + a 0 laikomi kompleksiniais konjugatais, tada kitos šaknys yra tikrosios, taigi gauname, kad daugianario forma yra P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, kur x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

komentuoti

Polinomo šaknys gali kartotis. Apsvarstykite algebros teoremos įrodymą, Bezouto teoremos pasekmes.

Pagrindinė algebros teorema

2 teorema

Bet kuris n laipsnio daugianomas turi bent vieną šaknį.

Bezouto teorema

Padalijus P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formos daugianarį. . . + a 1 x + a 0 ant (x - s) , tada gauname liekaną, kuri lygi polinomui taške s , tada gauname

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , kur Q n - 1 (x) yra daugianaris, kurio laipsnis n - 1 .

Išvada iš Bezout teoremos

Kai daugianario P n (x) šaknis laikoma s , tai P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Šios išvados pakanka, kai ji naudojama sprendimui apibūdinti.

Kvadratinio trinalio faktorinavimas

A x 2 + b x + c formos kvadratinis trinaris gali būti įtrauktas į tiesinius koeficientus. tada gauname, kad a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , kur x 1 ir x 2 yra šaknys (sudėtingos arba tikrosios).

Tai rodo, kad pats skilimas redukuojasi iki kvadratinės lygties sprendimo vėliau.

1 pavyzdys

Kvadratinės trinario koeficientas.

Sprendimas

Būtina rasti lygties 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 šaknis. Norėdami tai padaryti, pagal formulę turite rasti diskriminanto reikšmę, tada gausime D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Todėl mes tai turime

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Iš čia gauname, kad 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Norėdami atlikti patikrinimą, turite atidaryti skliaustus. Tada gauname formos išraišką:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Po patikrinimo pasiekiame pradinę išraišką. Tai yra, galime daryti išvadą, kad plėtra yra teisinga.

2 pavyzdys

Padalinkite koeficientą kvadratinį trinarį formos 3 x 2 - 7 x - 11 .

Sprendimas

Gauname, kad reikia apskaičiuoti gautą kvadratinę lygtį, kurios forma yra 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Norėdami rasti šaknis, turite nustatyti diskriminanto reikšmę. Mes tai gauname

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816 m

Iš čia gauname, kad 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

3 pavyzdys

Padalinkite daugianario koeficientą 2 x 2 + 1.

Sprendimas

Dabar reikia išspręsti kvadratinę lygtį 2 x 2 + 1 = 0 ir rasti jos šaknis. Mes tai gauname

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Šios šaknys vadinamos kompleksiniu konjugatu, o tai reiškia, kad patį skaidymą galima pavaizduoti kaip 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

4 pavyzdys

Išplėskite kvadratinį trinarį x 2 + 1 3 x + 1 .

Sprendimas

Pirmiausia reikia išspręsti x 2 + 1 3 x + 1 = 0 formos kvadratinę lygtį ir rasti jos šaknis.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

Gavę šaknis, rašome

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

komentuoti

Jei diskriminanto reikšmė yra neigiama, tai daugianariai liks antros eilės daugianariais. Iš to išplaukia, kad mes jų neskaidysime į tiesinius veiksnius.

Didesnio už antrąjį laipsnio daugianario faktorinavimo metodai

Skaidymo metodas yra universalus. Dauguma atvejų yra pagrįsti Bezouto teoremos išvadomis. Norėdami tai padaryti, turite pasirinkti šaknies reikšmę x 1 ir sumažinti jos laipsnį, padalydami iš daugianario iš 1, padalydami iš (x - x 1) . Gautame daugianaryje reikia rasti šaknį x 2, o paieškos procesas vyksta cikliškai, kol gauname visišką skaidymą.

Jei šaknis nerasta, tada naudojami kiti faktorizavimo būdai: grupavimas, papildomi terminai. Šioje temoje sprendžiamos lygtys su didesniais laipsniais ir sveikųjų skaičių koeficientais.

Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų

Panagrinėkime atvejį, kai laisvasis narys lygus nuliui, tada daugianario forma tampa P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1 x .

Matyti, kad tokio daugianario šaknis bus lygi x 1 \u003d 0, tada daugianarį galite pavaizduoti išraiškos P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 + forma. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Laikoma, kad šis metodas išima bendrą veiksnį iš skliaustų.

5 pavyzdys

Trečiojo laipsnio daugianario koeficientas 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Sprendimas

Matome, kad x 1 \u003d 0 yra nurodyto daugianario šaknis, tada galime skliausteliuose x iš visos išraiškos. Mes gauname:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Pereikime prie kvadratinio trinalio 4 x 2 + 8 x - 1 šaknų paieškos. Raskime diskriminantą ir šaknis:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Tada iš to seka

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Pirmiausia panagrinėkime skaidymo metodą, kuriame yra sveikųjų skaičių P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formos koeficientai. . . + a 1 x + a 0 , kur didžiausios galios koeficientas yra 1 .

Kai daugianario šaknys yra sveikosios, tada jos laikomos laisvojo termino dalikliais.

6 pavyzdys

Išplėskite išraišką f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Sprendimas

Apsvarstykite, ar yra sveikųjų skaičių šaknų. Būtina išrašyti skaičiaus daliklius - 18. Gauname ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Iš to išplaukia, kad šis daugianomas turi sveikųjų skaičių šaknis. Galite patikrinti pagal Hornerio schemą. Tai labai patogu ir leidžia greitai gauti daugianario plėtimosi koeficientus:

Iš to išplaukia, kad x \u003d 2 ir x \u003d - 3 yra pradinio daugianario šaknys, kurios gali būti pavaizduotos kaip formos sandauga:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Kreipiamės į x 2 + 2 x + 3 formos kvadratinio trinalio skaidymą.

Kadangi diskriminantas yra neigiamas, tai reiškia, kad nėra tikrų šaknų.

Atsakymas: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

komentuoti

Vietoj Hornerio schemos leidžiama naudoti šaknies pasirinkimą ir daugianario padalijimą iš daugianario. Toliau nagrinėkime daugianario, turinčio sveikųjų skaičių P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formos koeficientus, išplėtimą. . . + a 1 x + a 0 , iš kurių didžiausias nelygu vienetui.

Šis atvejis taikomas trupmeninėms racionaliosioms trupmenoms.

7 pavyzdys

Faktorizuoti f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Sprendimas

Reikia pakeisti kintamąjį y = 2 x , pereiti prie daugianario, kurio koeficientai lygūs 1 aukščiausiu laipsniu. Pradėti reikia padauginus išraišką iš 4. Mes tai gauname

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Kai gautos formos g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 funkcija turi sveikųjų skaičių šaknis, tada jų radinys yra tarp laisvojo termino daliklių. Įrašas atrodys taip:

±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60

Pereikime prie funkcijos g (y) skaičiavimo šiuose taškuose, kad gautume nulį. Mes tai gauname

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Gauname, kad y \u003d - 5 yra y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 lygties šaknis, o tai reiškia, kad x \u003d y 2 \u003d - 5 2 yra pradinės funkcijos šaknis.

8 pavyzdys

Būtina padalyti iš stulpelio 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 iš x + 5 2.

Sprendimas

Rašome ir gauname:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Patikrinti daliklius užtruks daug laiko, todėl pelningiau skaičiuoti gautą kvadratinį trinarį, kurio formos x 2 + 7 x + 3. Prilyginę nuliui, randame diskriminantą.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Iš to išplaukia

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Dirbtinės gudrybės skaičiuojant daugianarį

Racionalios šaknys būdingos ne visiems daugianariams. Norėdami tai padaryti, turite naudoti specialius metodus, kad surastumėte veiksnius. Tačiau ne visi daugianariai gali būti išskaidyti arba pateikti kaip sandauga.

Grupavimo metodas

Yra atvejų, kai galite sugrupuoti daugianario sąlygas, kad surastumėte bendrą veiksnį ir išimtumėte jį iš skliaustų.

9 pavyzdys

Padalinkite daugianarį x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Sprendimas

Kadangi koeficientai yra sveikieji skaičiai, tada šaknys taip pat gali būti sveikieji skaičiai. Norėdami patikrinti, imame reikšmes 1 , - 1 , 2 ir - 2, kad apskaičiuotume daugianario reikšmę šiuose taškuose. Mes tai gauname

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Tai rodo, kad nėra šaknų, reikia naudoti kitokį skaidymo ir tirpinimo būdą.

Grupuoti būtina:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Sugrupavus pradinį daugianarį, reikia jį pavaizduoti kaip dviejų kvadratinių trinarių sandaugą. Norėdami tai padaryti, turime atlikti faktorių. mes tai gauname

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

komentuoti

Grupavimo paprastumas nereiškia, kad terminus pasirinkti pakankamai lengva. Tikslaus sprendimo būdo nėra, todėl reikia naudoti specialias teoremas ir taisykles.

10 pavyzdys

Padalinkite daugianarį x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Sprendimas

Pateiktas daugianomas neturi sveikųjų skaičių šaknų. Terminai turėtų būti sugrupuoti. Mes tai gauname

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Po faktoringo tai gauname

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2-5 2

Sutrumpintos daugybos ir Niutono dvinario formulių naudojimas daugianariui koeficientuoti

Išvaizda dažnai ne visada aiškiai parodo, kokį būdą naudoti skaidant. Atlikę transformacijas, galite sukurti liniją, sudarytą iš Paskalio trikampio, kitaip jie vadinami Niutono dvinariu.

11 pavyzdys

Padalinkite daugianarį x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Sprendimas

Būtina išraišką konvertuoti į formą

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Sumos koeficientų seka skliausteliuose nurodoma išraiška x + 1 4 .

Taigi turime x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

Pritaikę kvadratų skirtumą, gauname

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Apsvarstykite išraišką, esančią antrajame skliaustelyje. Aišku, kad ten nėra arklių, todėl vėl reikėtų taikyti kvadratų skirtumo formulę. Gauname tokią išraišką kaip

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

12 pavyzdys

Faktorizuoti x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Sprendimas

Pakeiskime išraišką. Mes tai gauname

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Būtina taikyti sutrumpinto kubelių skirtumo dauginimo formulę. Mes gauname:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metodas kintamajam pakeičiant daugianarį

Keičiant kintamąjį, laipsnis sumažinamas, o daugianomas koeficientas.

13 pavyzdys

Faktorizuoti daugianarį formos x 6 + 5 x 3 + 6 .

Sprendimas

Pagal sąlygą aišku, kad reikia pakeisti y = x 3 . Mes gauname:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Gautos kvadratinės lygties šaknys yra y = - 2 ir y = - 3, tada

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Būtina taikyti sutrumpinto kubelių sumos dauginimo formulę. Gauname formos išraiškas:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Tai yra, mes gavome norimą plėtrą.

Aukščiau aptarti atvejai padės įvairiais būdais apsvarstyti ir apskaičiuoti daugianarį.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šioje pamokoje sužinosime, kaip kvadratinius trinarius išskaidyti į tiesinius veiksnius. Tam reikia prisiminti Vietos teoremą ir jos atvirkštinę. Šis įgūdis padės mums greitai ir patogiai išskaidyti kvadratinius trinalius į tiesinius veiksnius, taip pat supaprastins trupmenų, susidedančių iš išraiškų, mažinimą.

Taigi grįžkime prie kvadratinės lygties , kur .

Tai, ką turime kairėje pusėje, vadinama kvadratiniu trikampiu.

Teorema teisinga: Jei yra kvadratinio trinalio šaknys, tada tapatybė yra teisinga

Kur yra pagrindinis koeficientas, yra lygties šaknys.

Taigi, turime kvadratinę lygtį – kvadratinį trinarį, kur kvadratinės lygties šaknys dar vadinamos kvadratinio trinalio šaknimis. Todėl, jei turime kvadratinio trinalio šaknis, tai šis trinaris išskaidomas į tiesinius veiksnius.

Įrodymas:

Šis faktas įrodomas naudojant Vieta teoremą, kurią nagrinėjome ankstesnėse pamokose.

Prisiminkime, ką mums sako Vietos teorema:

Jei yra kvadratinio trinario šaknys, kurioms Tada .

Ši teorema reiškia tokį tvirtinimą, kad .

Matome, kad pagal Vieta teoremą, ty pakeitę šias reikšmes į aukščiau pateiktą formulę, gauname tokią išraišką

Q.E.D.

Prisiminkite, kad įrodėme teoremą, kad jei yra kvadratinio trinalio šaknys, tada išskaidymas galioja.

Dabar prisiminkime kvadratinės lygties, kurios šaknis pasirinkome naudodami Vietos teoremą, pavyzdį. Iš šio fakto įrodytos teoremos dėka galime gauti tokią lygybę:

Dabar patikrinkime šio fakto teisingumą tiesiog išplėsdami skliaustus:

Matome, kad koeficientas buvo teisingas, ir bet kuris trinaris, jei jis turi šaknis, gali būti įtrauktas į tiesinius veiksnius pagal šią teoremą pagal formulę

Tačiau patikrinkime, ar bet kuriai lygčiai tokia faktorizacija įmanoma:

Paimkime, pavyzdžiui, lygtį. Pirmiausia patikrinkite diskriminanto ženklą

Ir mes prisimename, kad norint įvykdyti mūsų išmoktą teoremą, D turi būti didesnis nei 0, todėl šiuo atveju faktoringas pagal tiriamą teoremą yra neįmanomas.

Todėl suformuluojame naują teoremą: jei kvadratinis trinaris neturi šaknų, tai jo negalima išskaidyti į tiesinius veiksnius.

Taigi, mes apsvarstėme Vietos teoremą, galimybę išskaidyti kvadratinį trinarį į tiesinius veiksnius, ir dabar išspręsime keletą problemų.

1 užduotis

Šioje grupėje mes iš tikrųjų išspręsime problemą atvirkščiai nei iškelta. Turėjome lygtį ir radome jos šaknis, išskaidančias į veiksnius. Čia mes darysime priešingai. Tarkime, kad turime kvadratinės lygties šaknis

Atvirkštinė problema yra tokia: parašykite kvadratinę lygtį taip, kad būtų jos šaknys.

Yra 2 būdai, kaip išspręsti šią problemą.

Kadangi yra lygties šaknys, tada yra kvadratinė lygtis, kurios šaknys yra pateiktos skaičiais. Dabar atidarykime skliaustus ir patikrinkime:

Tai buvo pirmasis būdas, kuriuo sukūrėme kvadratinę lygtį su nurodytomis šaknimis, kurios neturi jokių kitų šaknų, nes bet kuri kvadratinė lygtis turi daugiausia dvi šaknis.

Šis metodas apima atvirkštinės Vietos teoremos naudojimą.

Jei yra lygties šaknys, tada jie atitinka sąlygą, kad .

Dėl sumažintos kvadratinės lygties , , t. y. šiuo atveju ir .

Taigi, mes sukūrėme kvadratinę lygtį, kuri turi nurodytas šaknis.

2 užduotis

Jums reikia sumažinti frakciją.

Mes turime trinarį skaitiklyje ir trinarį vardiklyje, o trinalius gali būti arba neskaičiuojamas. Jei ir skaitiklis, ir vardiklis yra koeficientai, tada tarp jų gali būti lygių veiksnių, kuriuos galima sumažinti.

Visų pirma, skaitiklį būtina koeficientuoti.

Pirmiausia turite patikrinti, ar šią lygtį galima koeficientuoti, rasti diskriminantą . Kadangi , tada ženklas priklauso nuo sandaugos (turi būti mažesnis nei 0), šiame pavyzdyje t.y., duotoji lygtis turi šaknis.

Norėdami išspręsti, naudojame Vieta teoremą:

Šiuo atveju, kadangi mes susiduriame su šaknimis, bus gana sunku tiesiog pasiimti šaknis. Bet matome, kad koeficientai yra subalansuoti, t.y., jei darysime prielaidą, kad , ir pakeisime šią reikšmę į lygtį, tada gaunama tokia sistema: t.y. 5-5=0. Taigi, mes pasirinkome vieną iš šios kvadratinės lygties šaknų.

Antrosios šaknies ieškosime lygčių sistemoje pakeisdami tai, kas jau žinoma, pavyzdžiui, , t.y. .

Taigi, mes radome abi kvadratinės lygties šaknis ir galime pakeisti jų reikšmes į pradinę lygtį, kad ją koeficientu:

Prisiminkite pradinę problemą, mums reikėjo sumažinti trupmeną.

Pabandykime išspręsti problemą pakeisdami vietoj skaitiklio .

Reikia nepamiršti, kad šiuo atveju vardiklis negali būti lygus 0, t.y.

Jei šios sąlygos yra įvykdytos, pradinę trupmeną sumažinome iki formos .

3 užduotis (užduotis su parametru)

Kokiomis parametro reikšmėmis yra kvadratinės lygties šaknų suma

Jei šios lygties šaknys egzistuoja, tada , klausimas kada.

Daugiavardžių išplėtimas norint gauti produktą kartais atrodo painu. Bet tai nėra taip sunku, jei suprantate procesą žingsnis po žingsnio. Straipsnyje išsamiai aprašoma, kaip koeficientuoti kvadratinį trinarį.

Daugelis nesupranta, kaip koeficientuoti kvadratinį trinarį ir kodėl tai daroma. Iš pradžių gali atrodyti, kad tai nenaudingas pratimas. Tačiau matematikoje niekas taip ir nedaroma. Transformacija reikalinga norint supaprastinti išraišką ir skaičiavimo patogumą.

polinomas, kurio forma - ax² + bx + c, vadinamas kvadratiniu trinamiu. Terminas „a“ turi būti neigiamas arba teigiamas. Praktikoje ši išraiška vadinama kvadratine lygtimi. Todėl kartais jie sako kitaip: kaip išplėsti kvadratinę lygtį.

Įdomus! Kvadratinis daugianaris vadinamas dėl didžiausio laipsnio – kvadratu. Ir trinaris – dėl 3 komponentų terminų.

Kai kurios kitos daugianario rūšys:

• tiesinis dvinaris (6x+8);
• kubinis keturkampis (x³+4x²-2x+9).

Kvadratinio trinalio faktorinavimas

Pirma, išraiška lygi nuliui, tada reikia rasti šaknų x1 ir x2 reikšmes. Šaknų gali nebūti, gali būti viena ar dvi šaknys. Šaknų buvimą lemia diskriminantas. Jo formulė turi būti žinoma mintinai: D=b²-4ac.

Jei D rezultatas neigiamas, šaknų nėra. Jei teigiama, yra dvi šaknys. Jei rezultatas lygus nuliui, šaknis yra viena. Šaknys taip pat apskaičiuojamos pagal formulę.

Jei apskaičiavus diskriminantą gaunamas nulis, galite taikyti bet kurią iš formulių. Praktikoje formulė tiesiog sutrumpinama: -b / 2a.

Skirtingų diskriminanto verčių formulės yra skirtingos.

Jei D teigiamas:

Jei D yra nulis:

Internetiniai skaičiuotuvai

Internete yra internetinis skaičiuotuvas. Jis gali būti naudojamas faktorizavimui. Kai kurie ištekliai suteikia galimybę žingsnis po žingsnio pamatyti sprendimą. Tokios paslaugos padeda geriau suprasti temą, tačiau reikia stengtis gerai suprasti.

Naudingas vaizdo įrašas: kvadratinio trinario faktorius

Pavyzdžiai

Siūlome pažvelgti į paprastus kvadratinės lygties koeficientų pavyzdžius.

1 pavyzdys

Čia aiškiai parodyta, kad rezultatas bus du x, nes D yra teigiamas. Jie turi būti pakeisti į formulę. Jei šaknys yra neigiamos, ženklas formulėje yra atvirkštinis.

Žinome kvadratinio trinalio faktorinavimo formulę: a(x-x1)(x-x2). Vertes dedame skliausteliuose: (x+3)(x+2/3). Rodyklėje prieš terminą nėra skaičiaus. Tai reiškia, kad yra vienetas, jis nuleistas.

2 pavyzdys

Šis pavyzdys aiškiai parodo, kaip išspręsti lygtį, kuri turi vieną šaknį.

Pakeiskite gautą reikšmę:

3 pavyzdys

Duota: 5x²+3x+7

Pirmiausia apskaičiuojame diskriminantą, kaip ir ankstesniais atvejais.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminantas yra neigiamas, o tai reiškia, kad nėra šaknų.

Gavus rezultatą, verta atidaryti skliaustus ir patikrinti rezultatą. Turėtų pasirodyti pradinis trinaris.

Alternatyvus sprendimas

Kai kurie žmonės niekada negalėjo susidraugauti su diskriminantu. Yra dar vienas kvadratinio trinario koeficientų koeficiento būdas. Patogumui metodas parodytas pavyzdyje.

Duota: x²+3x-10

Žinome, kad turėtume sudaryti 2 skliaustus: (_)(_). Kai išraiška atrodo taip: x² + bx + c, kiekvieno skliausto pradžioje dedame x: (x_) (x_). Likę du skaičiai yra sandauga, suteikianti „c“, t. y. šiuo atveju –10. Norėdami sužinoti, kokie yra šie skaičiai, galite naudoti tik pasirinkimo metodą. Pakeisti skaičiai turi sutapti su likusiu terminu.

Pavyzdžiui, padauginus šiuos skaičius gaunamas -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1) (x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nr.
2. (x-10) (x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nr.
3. (x-5) (x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nr.
4. (x-2) (x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Tinka.

Taigi, išraiškos x2+3x-10 transformacija atrodo taip: (x-2)(x+5).

Svarbu! Turėtumėte būti atsargūs, kad nesupainiotumėte ženklų.

Sudėtingo trinalio išskaidymas

Jei „a“ yra didesnis nei vienas, prasideda sunkumai. Tačiau viskas nėra taip sunku, kaip atrodo.

Norint faktorizuoti, pirmiausia reikia pažiūrėti, ar įmanoma ką nors išskirti.

Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką: 3x²+9x-30. Čia skaičius 3 išimamas iš skliaustų:

3 (x²+3x-10). Rezultatas yra jau žinomas trinaris. Atsakymas atrodo taip: 3(x-2)(x+5)

Kaip išskaidyti, jei kvadratas yra neigiamas? Šiuo atveju skaičius -1 išimamas iš skliaustos. Pavyzdžiui: -x²-10x-8. Tada išraiška atrodys taip:

Schema mažai skiriasi nuo ankstesnės. Yra tik keli nauji dalykai. Tarkime, pateikta išraiška: 2x²+7x+3. Atsakymas taip pat rašomas 2 skliausteliuose, kuriuos būtina užpildyti (_) (_). X rašoma 2 skliausteliuose, o kas liko 1. Tai atrodo taip: (2x_) (x_). Priešingu atveju pakartojama ankstesnė schema.

Skaičius 3 pateikia skaičius:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Lygtis sprendžiame pakeisdami duotus skaičius. Paskutinis variantas tinka. Taigi išraiškos 2x²+7x+3 transformacija atrodo taip: (2x+1)(x+3).

Kiti atvejai

Ne visada įmanoma pakeisti išraišką. Taikant antrąjį metodą, lygties sprendimas nereikalingas. Tačiau galimybė terminus paversti produktu tikrinama tik per diskriminantą.

Verta praktikuotis sprendžiant kvadratines lygtis, kad naudojant formules nekiltų sunkumų.

Naudingas vaizdo įrašas: trinario faktorius

Išvada

Galite jį naudoti bet kokiu būdu. Bet geriau dirbti tiek iki automatizmo. Be to, tie, kurie ketina susieti savo gyvenimą su matematika, turi išmokti gerai išspręsti kvadratines lygtis ir išskaidyti daugianario į veiksnius. Visos šios matematinės temos yra pagrįstos tuo.

Susisiekus su

Kvadratinių trinarių faktorinavimas yra viena iš mokyklinių užduočių, su kuria anksčiau ar vėliau susiduria visi. Kaip tai padaryti? Kokia yra kvadratinio trinario faktoriaus formulė? Panagrinėkime tai žingsnis po žingsnio su pavyzdžiais.

Bendra formulė

Kvadratinių trinadžių faktorizavimas atliekamas sprendžiant kvadratinę lygtį. Tai paprastas uždavinys, kurį galima išspręsti keliais būdais – surandant diskriminantą, naudojant Vietos teoremą, yra ir grafinis būdas jį išspręsti. Pirmieji du metodai mokomi vidurinėje mokykloje.

Bendra formulė atrodo taip:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Užduoties vykdymo algoritmas

Norint suskaidyti kvadratinius trinalius, reikia žinoti Wito teoremą, turėti po ranka sprendimo programą, mokėti grafiškai rasti sprendimą arba per diskriminantinę formulę ieškoti antrojo laipsnio lygties šaknų. Jei duotas kvadratinis trinaris ir jis turi būti koeficientas, veiksmų algoritmas yra toks:

1) Prilyginkite pradinę išraišką nuliui, kad gautumėte lygtį.

2) Pateikite panašius terminus (jei reikia).

3) Raskite šaknis bet kuriuo žinomu metodu. Grafinį metodą geriausia naudoti, jei iš anksto žinoma, kad šaknys yra sveikieji ir maži skaičiai. Reikia atsiminti, kad šaknų skaičius yra lygus didžiausiam lygties laipsniui, tai yra, kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.

4) Pakaitinė vertė Xį išraišką (1).

5) Užrašykite kvadratinių trinarių faktorius.

Pavyzdžiai

Praktika leidžia pagaliau suprasti, kaip ši užduotis atliekama. Pavyzdžiai iliustruoja kvadratinio trinario faktorius:

reikia išplėsti išraišką:

Naudokime savo algoritmą:

1) x 2 -17x+32=0

2) panašūs terminai mažinami

3) pagal Vietos formulę sunku rasti šio pavyzdžio šaknis, todėl diskriminantui geriau naudoti išraišką:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Pakeiskite šaknis, kurias radome pagrindinėje skaidymo formulėje:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Tada atsakymas bus toks:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Patikrinkime, ar diskriminanto rasti sprendiniai atitinka Vietos formules:

14,845 . 2,155=32

Šioms šaknims taikoma Vietos teorema, jos buvo rastos teisingai, vadinasi, teisinga ir mūsų gauta faktorizacija.

Panašiai išplečiame 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Ankstesniu atveju sprendiniai buvo ne sveikieji, o realūs skaičiai, kuriuos nesunku rasti priešais esančia skaičiuokle. Dabar apsvarstykite sudėtingesnį pavyzdį, kuriame šaknys yra sudėtingos: koeficientas x 2 + 4x + 9. Pagal Vietos formulę šaknų rasti nepavyksta, o diskriminantas yra neigiamas. Šaknys bus sudėtingoje plokštumoje.

D=-20

Remdamiesi tuo, gauname mus dominančias šaknis -4 + 2i * 5 1/2 ir -4-2i * 5 1/2, nes (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Mes gauname norimą išplėtimą, pakeisdami šaknis į bendrą formulę.

Kitas pavyzdys: reikia suskaidyti išraišką 23x 2 -14x + 7.

Mes turime lygtį 23x2 -14x+7 =0

D=-448

Taigi šaknys yra 14+21,166i ir 14-21,166i. Atsakymas bus toks:

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Pateiksime pavyzdį, kurį galima išspręsti be diskriminanto pagalbos.

Tegul reikia išskaidyti kvadratinę lygtį x 2 -32x + 255. Akivaizdu, kad ją galima išspręsti ir diskriminantu, tačiau tokiu atveju greičiau rasti šaknis.

x 1 = 15

x2=17

Reiškia x 2–32 x + 255 =(x-15)(x-17).