Tema « Kosinuso teorema »

Pamokos tipas : naujų žinių įsisavinimo pamoka

Pamokos vieta – pirmoji pamoka šia tema

Pamokos mokymosi tikslas :

mokinių kosinuso teoremos formulavimo žinios;

įgūdžiai:

Raskite trečiosios kraštinės ilgį, atsižvelgiant į kitas dvi, ir kampą

tarp jų;

nustatyti trikampio kampą (kampo kosinusą) iš trijų žinomų

vakarėliai;

nustatyti trikampio tipą, nurodytą trimis žinomomis kraštinėmis.

Asmeninio tobulėjimo uždaviniai:

organizuoti situacijas:

mokinių apsisprendimas dėl numatomo rezultato

pažintinė veikla;

refleksinių gebėjimų ugdymas;

sudaryti sąlygas:

mokinių komunikacinių gebėjimų ugdymas;

mokinių mąstymo, gebėjimo argumentuoti, įrodinėti ugdymas.

Įranga ir medžiagos: multimedijos instaliacija, ekranas, lenta, kreida.

Trumpas pamokos planas

1. Laiko organizavimas.

2. Pagrindinių žinių ir veiksmų metodų atnaujinimas.

3. Motyvacija ir tikslo nustatymas.

4. Pagrindinė dalis. Kosinuso teoremos įrodymas. Spektaklis

kosinuso teoremos taikymo sprendžiant uždavinius pavyzdžiai.

Savarankiškas žinių pritaikymas. (Mini testas).

5. Atspindys. Apibendrinant pamoką.

Per užsiėmimus

1 etapas Organizacinis. Sveikinu mokinius, tikrinu moksleivių darbo vietos pasirengimą pamokai. Kuriu nuotaiką darbui, mokiniams skelbiu, kad pamokos metu jie save įvertina dėdami pažymius darbo kortelėje.

2 etapasStudentų žinių aktualizavimas, hipotezės.

Pirmiausia siūlau apšilimą (testą) pagal formules „Redukcijos formulės“, „Sinuso, kosinuso ir tangento reikšmės kampams nuo 0⁰ iki 180⁰“.

Užrašykite atstumo tarp taškų pagal jų koordinates formulę.

3 etapas Probleminės situacijos kūrimas, jos sprendimas.Motyvacija ir tikslo nustatymas.

Probleminė užduotis didina mokinių motyvaciją tolesnei pažintinei veiklai. Rengiama situacija pamokos tikslui nustatyti ir pamokos rezultatams nuspėti, pavyzdžiui, reikia išsiaiškinti universalų būdą, kaip rasti trečiosios trikampio kraštinės ilgį iš žinomų kitos kraštinės ilgių. dvi kraštinės ir kampas tarp jų.

Grupinis darbas.

Problemos sprendimas . Užduotis. Naudodami atstumo tarp taškų formulę raskite kraštinės BC ilgį▲ ABC, jei A(0;0), B(c;0), C(bcosA ; bsinA ).

Išvada: Pateiksime žodinę gautos lygybės formuluotę. Gauname teoremą, vadinamą kosinuso teorema:

trikampio kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, atėmus du kartus tų kraštinių sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso.

Vienas gražiausių ir paprasčiausių kosinuso teoremos įrodymų yra jos įrodymas koordinačių plokštumoje.

Ar galime sakyti, kad Pitagoro teorema yra ypatingas kosinuso teoremos atvejis? Taip, nes cos90o=0.

4-as etapas. Fizminutka.

6 etapas. Problemos teiginys: kiek elementų turi būti žinoma, kad problema būtų išspręsta? Sukurkite modelį, nustatykite problemos tipą, ištirkite ryšius ir ryšius tarp trikampio elementų .

Klausimas diskusijai denia. Kokią problemą galima išspręsti naudojant kosinuso teoremą?

Žinant tai turi formą a 2 =b 2 +c 2 - 2bc×cosγ, paverskite šią išraišką taip, kad norima reikšmė būtų kampas γ: b 2 +c 2 =2bc×cosγ+a 2 .
Tada atneškite parodytą lygtis šiek tiek kitokia forma: b 2 +c 2- a 2 =2bc × cosγ. Tada laikomasi šios išraiškos į žemiau esantį:

cosγ=√b 2 +c 2 -a2/2bc.
Klausimas diskusijai denia. Ką galima rasti iš šios formulės?

Trikampio kampo kosinuso reikšmė.

Mokinių prašoma apskaičiuoti trikampio, kurio trijų kraštinių ilgiai žinomi, didžiausio kampo kosinusą ir nustatyti šio trikampio tipą.

Apskaičiuokite trikampio didžiausio kampo kosinusą, jei jo kraštinės yra lygios:

1 variantas

2 variantas

Pasirinkimo numeris 3

c = 6, b = 8, a = 9

c = 6, b = 8, a = 10

c = 6, b = 8, a = 11

cos 19/96

cos 0

cos 0

79 0

90 0

103 0

Kiekvienos grupės skaičiavimų rezultatai suvedami į lentelę, aptariami ir daromos išvados:

Norėdami nustatyti trikampio tipą (smailaus kampo, stačiakampio, buko kampo)

būtina:

Apskaičiuokite kampo priešais didesnę kraštinę kosinusą;

Jei cos 0 , trikampis yra smailus;

Jei cos 0 , stačiakampis trikampis;

Jei cos 0, trikampis yra bukas.

Klausimas diskusijai Denia.Kaip galite atsakyti į šį klausimą neapskaičiavę didžiausio kampo kosinuso? Prisimenu teoremą apie santykį tarp trikampio kraštinių ir kampų. (Trikampyje didesnis kampas yra priešais didesnę kraštinę ir, atvirkščiai, didesnė kraštinė yra priešais didesnį kampą).

IŠVADA.

Tegul c yra ilgiausia kraštinė
- jei Su 2 < a 2 +b 2, tada trikampis yra smailusis;
- jei Su 2 = a 2 +b 2, tada trikampis yra stačiakampis;
- jei Su 2 > a 2 +b 2, tada trikampis yra bukas.

Patikrinkite atliktų užduočių rezultatus (namuose).

7 etapas. Tolimesnių darbų ilgalaikio plano kūrimas.

- mokytojo klausimas : Klausimas diskusijai. Kokias problemas galima išspręsti naudojant kosinuso teoremą?

– atsako studentas

raskite trečiosios kraštinės ilgį iš žinomų dviejų kitų ir kampą tarp jų;

nustatyti trikampio kampą (kampo kosinusą) iš trijų žinomų kraštinių

nustatyti trikampio formą, nurodytą trimis žinomomis kraštinėmis

5 etapas Konsolidavimas. Mini - tes

Mini testas

Būklė

Atsakymų variantai

Trikampyje su kraštinėmis m , n , p prieš šoną

p yra kampas α . Tada tai yra tiesa.

formulė:

BET) m 2 n 2 p 2 2 np cosα

B) m n 2 p 2 2 np cosα

AT) p 2 m 2 n 2 mn cosα ;

G) p m 2 n 2 mn cosα ;

Jei trikampio didesnio kampo kosinusas

yra neigiamas, tada šis trikampis:

BET) smailaus kampo; B) stačiakampis;

AT) bukas.

Dviejų trikampio kraštinių ilgiai yra ir 3, ir kampas

tarp jų 45 0 . Tada trečiosios pusės ilgis yra:

BET) 2; B) 3; B) √ 5; G) 5

Trikampio kraštinių ilgiai lygūs √3; keturi; √7. Nustatykite trikampio tipą

BET) smailaus kampo; B) stačiakampis;

AT) bukas.

Apžiūra.

Atsakymų variantai

1

AT) p 2 m 2 n 2 mn cosα ;

2

AT) bukas.

3

C)√ 5

4

AT) bukas

Ką dar reikia padaryti norint baigti pamoką?

Mokiniai: „Užduok namų darbus“.

Mokytojas: Jei būtum mokytojas, kokie būtų tavo namų darbai?

8 etapas. Namų darbai. 98 p., Nr.1025(d).

Siūlau darbo kortelėse nustatyti galutinį pažymį ir atlikti lentelės pildymo refleksiją.

Diskusija užpildant lentelę. Įvertinimai

Paraiškos Nr. 1. Apšilimas. Testas

„Redukavimo formulės“, „Sinuso, kosinuso ir tangento reikšmės kampams nuo 0⁰ iki 180⁰“

1. nuodėmė (90 ⁰ - α ) =

2. cos (90 ⁰ - α ) =

3. nuodėmė (180 ⁰ - α ) = 1. cosα 2. sinα 3. - cosα 4. - sinα

4. cos (180 ⁰ - α ) 1) cosα 2) sinα 3) - cosα 4) - sinα

5. kaina 60 ⁰ = 1) 2) 3)

6. už 30 ⁰ = 1) 2) 3)

Kosinuso teorema geometrijos pamoka, 9 klasė, UMK L.S. Atanasjanas

• matematikos ir fizikos mokytojas
• MBOU 4 vidurinė mokykla
• n.p. Ensky Kovdorsky rajonas Murmansko srityje

Tikslai

• Išmokite kosinusų dėsnį
• Ugdyti įgūdžius spręsti uždavinius taikant kosinuso teoremą

• Teoremos formulavimo studijavimas

• Trikampio kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, atėmus du kartus tų kraštinių sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso.

• Teorema

• Teoremos įrodymas

• B(c;0)

• C(b cosA; b sinA)

• Išspręskite trikampį

• α - ?

• β - ?

• γ - ?

• Sprendimas

• α – A

• Užbaikite sprendimą

• Vidurinės Azijos matematikų darbuose buvo naudojami teiginiai, lygiaverčiai sferinio trikampio kosinuso teoremai. Įprastos formos sferinio trikampio kosinuso teoremą suformulavo Regiomontanas, pavadinęs ją „Albategnijaus teorema“ (pagal al-Battani).
• Europoje kosinuso teoremą išpopuliarino François Viet XVI amžiuje. pradžioje pradėta rašyti iki šių dienų priimtu algebriniu užrašu.

• Istorinė informacija

Istorinė informacija

• Abdallah Muhammad Ibn Ibn Sinan Al -Battani (arab. أlf الله محمد ب bow جاور وoff lf الحرالnk الحرالnk الصال اranل الصال اran) -9 Viduramžių Europoje jis buvo žinomas lotynišku pavadinimu Albategnius.

Al-Battani praleido Rakoje ir Damaske nuo 877 iki 919 m. daug astronominių stebėjimų, remiantis jų rezultatais sudarydami „Sabaean Zij“. Tiksliau nei Ptolemėjus, jis nustatė ekliptikos polinkį į pusiaują – 23 ° 35′41 ″, o lygiadienių laukimą – 54,5 ″ per metus arba 1 ° per 66 metus. Mateminėje zij dalyje al-Battani aprašė sferinių trikampių skaičiavimo metodus, kuriuos toliau plėtojo kiti islamo šalių matematikai.

• Al-Battani praleido Rakoje ir Damaske nuo 877 iki 919 m. daug astronominių stebėjimų, remiantis jų rezultatais sudarydami „Sabaean Zij“. Tiksliau nei Ptolemėjus, jis nustatė ekliptikos polinkį į pusiaują – 23 ° 35′41 ″, o lygiadienių laukimą – 54,5 ″ per metus arba 1 ° per 66 metus. Mateminėje zij dalyje al-Battani aprašė sferinių trikampių skaičiavimo metodus, kuriuos toliau plėtojo kiti islamo šalių matematikai.

• Regiomontanus (lot. Regiomontanus, tikrasis vardas – Johann Müller, vok. Johannes Müller) (1436 m. birželio 6 d. Karaliaučius (Bavarija) – 1476 m. liepos 6 d. Roma) – iškilus vokiečių astrologas, astronomas ir matematikas. Pavadinimą Regiomontanus, kuris yra lotyniškas Johanno Müllerio gimtojo miesto pavadinimas, pirmasis Filipas Melanchtonas pavartojo Sacrobosco knygos „Pasaulio sfera“ pratarmėje.

• Gimė 1540 m. Fontenay-le-Comte, Prancūzijos Puatu-Šaranta provincijoje. François tėvas yra prokuroras. Iš pradžių jis mokėsi vietiniame pranciškonų vienuolyne, o paskui Puatjė universitete (kaip ir jo giminaitis Barnabe'as Brissonas), kur įgijo bakalauro laipsnį (1560 m.). Nuo 19 metų jis verčiasi advokato praktika savo gimtajame mieste. 1567 metais įstojo į valstybės tarnybą.
• Apie 1570 m. jis parengė „Matematinį kanoną“ – pagrindinį trigonometrijos veikalą, kurį 1579 m. paskelbė Paryžiuje.

• Dėl savo motinos ryšių ir mokinio vedybų su princu de Roganu Vietas padarė puikią karjerą ir tapo pirmiausia karaliaus Henriko III, o po jo nužudymo – Henriko IV patarėju. Henriko IV vardu Vietas sugebėjo iššifruoti ispanų agentų susirašinėjimą Prancūzijoje, dėl ko jį net apkaltino Ispanijos karalius Pilypas II panaudojus juodąją magiją.
• Kai dėl teismo intrigų Vietas keleriems metams (1584–1588) buvo pašalintas iš verslo, jis visiškai atsidėjo matematikai. Studijavo klasikų (Cardano, Bombelli, Stevin ir kt.) kūrinius. Jo apmąstymų rezultatas buvo keli darbai, kuriuose Vietas pasiūlė naują „bendrosios aritmetikos“ kalbą – simbolinę algebros kalbą.

• Per savo gyvenimą Vieta buvo išleista tik dalis jo kūrinių. Pagrindinis jo darbas – „Analitinės dailės įvadas“ (1591), kurį jis laikė visapusiško traktato pradžia, bet nespėjo tęsti. Yra hipotezė, kad mokslininkas mirė smurtine mirtimi. Vietos darbų rinkinį po mirties (1646 m., Leidenas) išleido jo draugas olandas F. van Schotenas.

Sprendimas Nr. 1025(d, e)

• Sprendimas Nr. 1025(d, e)

• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%EA%EE%F1%E8%ED%F3%F1%EE%E2
• https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB-%D0%91%D0%B0%D1%82%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%B5%D1%82,_%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81 %D1%83%D0%B0
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%B3%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0 %B0%D0%BD

Norėdami naudoti pristatymų peržiūrą, susikurkite „Google“ paskyrą (paskyrą) ir prisijunkite: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Sinuso teorema

12.2 teorema (sinuso teorema) Trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams.

C B A a sinA b sinB = = c sinC a b c Trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams.

M O X MO sinX MX sinO = = OX sinC Trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams.

C D E CD sinusus EC sinD = = DE sinC Trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams.

Sinuso teoremos pasekmė, kur R yra apskritimo, apibrėžto apie ∆ ABC, spindulys

Užduotis Raskite apskritimo, apibrėžto apie ∆ ABC, spindulį, jei AC = 2 cm, ABC = 45° A С В 45 0 2 Dėl sinuso teoremos R = R = 2: (2 ) R =

Trigonometrinė lentelė Nr.1 ​​Nr.2 Nr.3 Nr.4 Nr.5

AB sinC AC sinB = C A B 75 0 60 0 60 0 4 4 ? 45 0 45 0 Raskite AB užduotį Nr. 1 Lentelė

AB sinC BC sinA = C A B 60 0 60 0 ? 2 3 3 2 Užduotis Nr. 2 Lentelė

2 AB sinC AC sinB = C A B ? 2 2 2 2 2 13 5 0 13 5 0 Rasti kampą A Užduotis Nr. 3 lentelė

120 0 AC sinD AD sinC = AB C D yra lygiagretainis. Raskite AC. D A B C 30 0 30 0 6 0 0 5 5 ? 120 0 30 0 Užduotis Nr. 4 Lentelė

45 0 2 45 0 BC sinA AB sinC = AB C D yra lygiagretainis. Raskite BC. D A B C 30 0 30 0 2 ? 105 0 30 0 Užduotis Nr. 5 Lentelė

Namų darbai 162-163, 110 punktas; įrodyti 12.2 teoremą; pagal darbo knygelę Nr.99 - 104

Tema: metodologiniai patobulinimai, pristatymai ir pastabos

Interaktyvus testas, kurį sudaro 5 užduotys, pasirenkant vieną teisingą atsakymą iš keturių siūlomų, atsižvelgiant į testo išlaikymo laiką; Testas buvo sukurtas PowerPoint-2007 su...

Pamoka – Geometrijos 9 langelių uždavinių sprendimas. "Trikampio plotas. Sinuso teorema. Kosinuso teorema."

Problemų sprendimas apima gebėjimą taikyti žinias standartinėmis sąlygomis arba su nedideliais nukrypimais nuo jų. Taip pat svarstomos užduotys, kuriose reikia mokėti pritaikyti žinias sudėtingoje ...