Kiekviename skyriuje bus savarankiško sprendimo užduotys, kurių atsakymus matysite.

Apibrėžtinio integralo samprata ir Niutono-Leibnizo formulė

apibrėžtasis integralas iš nuolatinės funkcijos f(x) baigtiniame intervale [ a, b] (kur ) yra kai kurių jo antidarinių padidėjimas šiame segmente. (Apskritai, supratimas bus pastebimai lengvesnis, jei kartosite neapibrėžto integralo temą) Šiuo atveju žymėjimas

Kaip matyti iš toliau pateiktų grafikų (antidarinės funkcijos padidėjimas pažymėtas ), Apibrėžiamasis integralas gali būti teigiamas arba neigiamas.(Jis apskaičiuojamas kaip skirtumas tarp antidarinio vertės viršutinėje riboje ir vertės apatinėje riboje, t.y. F(b) - F(a)).

Skaičiai a ir b vadinamos atitinkamai apatine ir viršutine integracijos ribomis, o intervalas [ a, b] yra integracijos segmentas.

Taigi, jei F(x) yra tam tikra antiderivatinė funkcija f(x), tada pagal apibrėžimą

(38)

Lygybė (38) vadinama Niutono-Leibnizo formulė . Skirtumas F(b) – F(a) trumpai parašyta taip:

Todėl Niutono-Leibnizo formulė bus parašyta taip:

(39)

Įrodykime, kad apibrėžtasis integralas nepriklauso nuo to, kuri integrando antidarinė imama jį skaičiuojant. Leisti F(x) ir F( X) yra savavališki integrando antidariniai. Kadangi tai yra tos pačios funkcijos antidariniai, jie skiriasi pastoviu terminu: Ф( X) = F(x) + C. Štai kodėl

Taigi nustatyta, kad segmente [ a, b] visų funkcijos antidarinių priedai f(x) rungtynės.

Taigi, norint apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą, reikia rasti bet kurią integrando antidarinę, t.y. Pirmiausia reikia rasti neapibrėžtą integralą. Pastovus NUO neįtraukti į tolesnius skaičiavimus. Tada taikoma Niutono-Leibnizo formulė: viršutinės ribos reikšmė pakeičiama antiderivatine funkcija b , toliau – apatinės ribos reikšmė a ir apskaičiuokite skirtumą F(b) – F(a) . Gautas skaičius bus apibrėžtas integralas..

At a = b priimtas pagal apibrėžimą

1 pavyzdys

Sprendimas. Pirmiausia suraskime neapibrėžtą integralą:

Niutono-Leibnizo formulės taikymas antidariniui

(at NUO= 0), gauname

Tačiau skaičiuojant apibrėžtąjį integralą, geriau neieškoti antidarinio atskirai, o iš karto integralą rašyti formoje (39).

2 pavyzdys Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Sprendimas. Naudojant formulę

Pats raskite apibrėžtąjį integralą, tada pamatykite sprendimą

Apibrėžtinio integralo savybės

2 teorema.Apibrėžtinio integralo reikšmė nepriklauso nuo integravimo kintamojo žymėjimo, t.y.

(40)

Leisti F(x) yra antidarinis, skirtas f(x). Dėl f(t) antidarinys atlieka tą pačią funkciją F(t), kuriame nepriklausomas kintamasis žymimas skirtingai. Vadinasi,

Remiantis (39) formule, paskutinė lygybė reiškia integralų lygybę

3 teorema.Pastovųjį veiksnį galima išimti iš apibrėžtojo integralo ženklo, t.y.

(41)

4 teorema.Baigtinio skaičiaus funkcijų algebrinės sumos apibrėžtasis integralas yra lygus šių funkcijų apibrėžtųjų integralų algebrinei sumai, t.y.

(42)

5 teorema.Jei integralinis segmentas yra padalintas į dalis, tai visos atkarpos apibrėžtasis integralas yra lygus jo dalių apibrėžtųjų integralų sumai, t.y. jeigu

(43)

6 teorema.Perstatant integravimo ribas, absoliuti apibrėžtojo integralo reikšmė nekinta, o keičiasi tik jo ženklas, t.y.

(44)

7 teorema(vidutinės vertės teorema). Apibrėžiamasis integralas yra lygus integravimo atkarpos ilgio sandaugai ir integrando vertei tam tikrame jo viduje, t.y.

(45)

8 teorema.Jei viršutinė integralo riba yra didesnė už apatinę, o integralas yra neneigiamas (teigiamas), tai apibrėžtasis integralas taip pat yra neneigiamas (teigiamas), t.y. jeigu

9 teorema.Jei integracijos viršutinė riba yra didesnė už apatinę ribą ir funkcijos ir yra tolydžios, tada nelygybė

gali būti integruotas po termino, t.y.

(46)

Apibrėžtinio integralo savybės leidžia supaprastinti tiesioginį integralų skaičiavimą.

5 pavyzdys Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą

Naudodami 4 ir 3 teoremas ir radę antidarinius - lentelių integralus (7) ir (6), gauname

Apibrėžiamasis integralas su kintama viršutine riba

Leisti f(x) tęsiasi atkarpoje [ a, b] funkcija ir F(x) yra jo prototipas. Apsvarstykite apibrėžtąjį integralą

(47)

ir per t integravimo kintamasis žymimas taip, kad nebūtų painiojamas su viršutine riba. Kai pasikeičia X kinta ir apibrėžtasis integralas (47), t.y. tai yra viršutinės integracijos ribos funkcija X, kurį žymime F(X), t.y.

(48)

Įrodykime, kad funkcija F(X) yra antidarinis, skirtas f(x) = f(t). Iš tiesų, diferencijavimas F(X), mes gauname

nes F(x) yra antidarinis, skirtas f(x), a F(a) yra pastovi reikšmė.

Funkcija F(X) yra vienas iš begalinio antidarinių rinkinio f(x), būtent tą x = a eina į nulį. Šis teiginys gaunamas, jei į lygybę (48) įdedame x = a ir naudokite ankstesnio skyriaus 1 teoremą.

Apibrėžtinių integralų skaičiavimas integravimo dalimis metodu ir kintamojo kaitos metodu

kur pagal apibrėžimą F(x) yra antidarinis, skirtas f(x). Jei integrande atliekame kintamojo pakeitimą

tada pagal (16) formulę galime rašyti

Šioje išraiškoje

antiderivatinė funkcija

Iš tiesų, jo išvestinė, anot kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklė, yra lygus

Tegul α ir β yra kintamojo reikšmės t, kuriai skirta funkcija

atitinkamai paima reikšmes a ir b, t.y.

Tačiau pagal Niutono-Leibnizo formulę skirtumas F(b) – F(a) yra

Integralų sprendimas yra lengvas uždavinys, bet tik elitui. Šis straipsnis skirtas tiems, kurie nori išmokti suprasti integralus, bet apie juos mažai arba nieko nežino. Integral... Kam to reikia? Kaip tai apskaičiuoti? Kas yra apibrėžtieji ir neapibrėžtieji integralai?

Jei vienintelis jūsų žinomo integralo panaudojimas yra gauti ką nors naudingo iš sunkiai pasiekiamų vietų su integralo piktogramos formos kabliu, sveiki atvykę! Sužinokite, kaip išspręsti paprastus ir kitus integralus ir kodėl be jo neapsieisite matematikoje.

Mes studijuojame koncepciją « integralas »

Integracija buvo žinoma senovės Egipte. Žinoma, ne modernia forma, bet vis tiek. Nuo tada matematikai parašė daug knygų šia tema. Ypač išsiskirianti Niutonas ir Leibnicas bet dalykų esmė nepasikeitė.

Kaip suprasti integralus nuo nulio? Negali būti! Norėdami suprasti šią temą, jums vis tiek reikės pagrindinių matematinės analizės pagrindų žinių. Informacija apie ribas ir išvestines, kuri taip pat reikalinga integralams suprasti, jau yra mūsų tinklaraštyje.

Neapibrėžtas integralas

Atlikime kokią nors funkciją f(x) .

Neapibrėžtas funkcijos integralas f(x) tokia funkcija vadinama F(x) , kurios išvestinė lygi funkcijai f(x) .

Kitaip tariant, integralas yra atvirkštinė išvestinė arba antidarinė. Beje, perskaitykite mūsų straipsnį apie tai, kaip apskaičiuoti išvestines priemones.

Visoms nuolatinėms funkcijoms egzistuoja antidarinys. Taip pat prie antidarinio dažnai pridedamas pastovus ženklas, nes konstanta besiskiriančių funkcijų dariniai sutampa. Integralo radimo procesas vadinamas integracija.

Paprastas pavyzdys:

Kad nebūtų nuolat skaičiuojami elementariųjų funkcijų antidariniai, patogu juos suvesti į lentelę ir naudoti paruoštas reikšmes.

Pilna integralų lentelė mokiniams

Apibrėžtasis integralas

Nagrinėdami integralo sąvoką, turime reikalą su be galo mažais dydžiais. Integralas padės apskaičiuoti figūros plotą, nehomogeniško kūno masę, nueitą kelią netolygaus judėjimo metu ir daug daugiau. Reikia atsiminti, kad integralas yra be galo daug be galo mažų narių suma.

Kaip pavyzdį įsivaizduokite kokios nors funkcijos grafiką.

Kaip rasti figūros plotą, kurį riboja funkcijos grafikas? Integralo pagalba! Suskaidykime kreivinę trapeciją, ribojamą koordinačių ašių ir funkcijos grafiko, į be galo mažus segmentus. Taigi, figūra bus padalinta į plonus stulpelius. Stulpelių plotų suma bus trapecijos plotas. Tačiau atminkite, kad toks skaičiavimas duos apytikslį rezultatą. Tačiau kuo mažesni ir siauresni segmentai, tuo tikslesnis bus skaičiavimas. Jei sumažinsime juos tiek, kad ilgis būtų linkęs į nulį, tada segmentų plotų suma bus linkusi į figūros plotą. Tai yra apibrėžtasis integralas, parašytas taip:

Taškai a ir b vadinami integracijos ribomis.

« Integralinis »

Beje! Mūsų skaitytojams dabar taikoma 10% nuolaida bet koks darbas

Manekenų integralų skaičiavimo taisyklės

Neapibrėžtinio integralo savybės

Kaip išspręsti neapibrėžtą integralą? Čia mes apsvarstysime neapibrėžto integralo savybes, kurios bus naudingos sprendžiant pavyzdžius.

• Integralo išvestinė lygi integrandui:

• Konstantą galima išimti iš po integralo ženklo:

• Sumos integralas lygus integralų sumai. Taip pat dėl ​​skirtumo:

Apibrėžtinio integralo savybės

• Tiesiškumas:

• Integralo ženklas pasikeičia, jei integravimo ribos pakeičiamos:

• At bet koks taškų a, b ir Su:

Jau išsiaiškinome, kad apibrėžtasis integralas yra sumos riba. Bet kaip gauti konkrečią vertę sprendžiant pavyzdį? Tam yra Niutono-Leibnizo formulė:

Integralų sprendimo pavyzdžiai

Žemiau aptariame neapibrėžtą integralą ir pavyzdžius su sprendimais. Siūlome savarankiškai suprasti sprendimo subtilybes, o jei kažkas neaišku, užduoti klausimus komentaruose.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, žiūrėkite vaizdo įrašą, kaip praktiškai sprendžiami integralai. Nenusiminkite, jei integralas duodamas ne iš karto. Kreipkitės į profesionalias studentų paslaugas ir bet koks trigubas arba kreivinis integralas, esantis uždarame paviršiuje, bus jūsų galioje.

>> >> >> Integravimo metodai

Pagrindiniai integravimo metodai

Integralo, apibrėžtojo ir neapibrėžtinio apibrėžimas, integralų lentelė, Niutono-Leibnizo formulė, integravimas dalimis, integralų skaičiavimo pavyzdžiai.

Neapibrėžtas integralas

Tegu u = f(x) ir v = g(x) yra tolydžios funkcijos. Tada pagal darbus

d(uv))= udv + vdu arba udv = d(uv) - vdu.

Išraiškos d(uv) antidarinys akivaizdžiai bus uv, todėl formulė vyksta:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ši formulė išreiškia taisyklę integravimas dalimis. Jis integruoja išraišką udv=uv"dx į išraiškos vdu=vu"dx integravimą.

Tegu, pavyzdžiui, reikia rasti ∫xcosx dx. Tegu u = x, dv = cosxdx, taigi du=dx, v=sinx. Tada

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Integravimo dalimis taisyklė yra labiau ribota nei kintamojo keitimas. Tačiau yra ištisos integralų klasės, pavyzdžiui, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax ir kitos, kurios apskaičiuojamos naudojant integravimą dalimis.

Apibrėžtasis integralas

Integravimo metodai, apibrėžtojo integralo sąvoka pristatoma taip. Tegul funkcija f(x) yra apibrėžta intervale. Padalinkime atkarpą [ a,b] į n dalių taškais a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Formos f(ξ i)Δ x i suma vadinama integraliąja suma, o jos riba ties λ = maxΔx i → 0, jei ji egzistuoja ir yra baigtinė, vadinama apibrėžtasis integralas funkcijos f(x) nuo a iki b ir žymima:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funkcija f(x) šiuo atveju vadinama integruoti į segmentą, vadinami skaičiai a ir b apatinė ir viršutinė integralo riba.

Integravimo metodai turi šias savybes:

Paskutinė nuosavybė vadinama vidutinės vertės teorema.

Tegul f (x) yra nuolatinis . Tada šiame segmente yra neapibrėžtas integralas

∫f(x)dx = F(x) + C

ir vyksta Niutono-Leibnizo formulė, kuris jungia apibrėžtąjį integralą su neapibrėžtuoju:

F(b) – F(a). (8.6)

Geometrinis aiškinimas: vaizduoja kreivinės trapecijos plotą, kurį iš viršaus riboja kreivė y=f(x), tiesės x = a ir x = b ir ašies Ox atkarpa.

Netinkami integralai

Integralai su begalinėmis ribomis ir nepertraukiamų (neribotų) funkcijų integralai vadinami netinkamais. Netinkami pirmosios rūšies integralai - tai integralai per begalinį intervalą, apibrėžtą taip:

(8.7)

Jei ši riba egzistuoja ir yra baigtinė, tada ji vadinama konvergenciniu netinkamuoju f(x) integralu intervale [а,+ ∞, o funkcija f(x) vadinama integruojama begaliniame intervale [а,+ ∞ ). Priešingu atveju sakoma, kad integralas neegzistuoja arba skiriasi.

Netinkami integralai intervaluose (-∞,b] ir (-∞, + ∞) apibrėžiami panašiai:

Apibrėžkime neribotos funkcijos integralo sąvoką. Jei f(x) yra tolydis visoms atkarpos x reikšmėms, išskyrus c, kur f(x) turi begalinį netolydumą, tada netinkamas antrojo tipo integralas f(x) svyruoja nuo a iki b vadinama suma:

jei šios ribos egzistuoja ir yra baigtinės. Pavadinimas:

Integralų skaičiavimo pavyzdžiai

3.30 pavyzdys. Apskaičiuokite ∫dx/(x+2).

Sprendimas. Pažymėkite t = x+2, tada dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

3.31 pavyzdys. Raskite ∫ tgxdx.

Sprendimas.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Tegu t=cosx, tada ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Pavyzdys3.32 . Raskite ∫dx/sinx

Pavyzdys3.33. Rasti.

Sprendimas. =

.

Pavyzdys3.34 . Raskite ∫arctgxdx.

Sprendimas. Integruojame dalimis. Pažymėkite u=arctgx, dv=dx. Tada du = dx/(x 2 +1), v=x, iš kur ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; nes
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Pavyzdys3.35 . Apskaičiuokite ∫lnxdx.

Sprendimas. Taikydami integravimo pagal dalis formulę, gauname:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Tada ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Pavyzdys3.36 . Apskaičiuokite ∫e x sinxdx.

Sprendimas. Taikome integravimo dalimis formulę. Pažymėkite u = e x, dv = sinxdx, tada du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx taip pat integruojamas dalimis: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Mes turime:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Gavome santykį ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, iš kur 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Pavyzdys 3.37. Apskaičiuokite J = ∫cos(lnx)dx/x.

Sprendimas Kadangi dx/x = dlnx, tai J= ∫cos(lnx)d(lnx). Pakeitę lnx į t, gauname lentelės integralą J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Pavyzdys 3.38 . Apskaičiuokite J = .

Sprendimas. Atsižvelgdami į tai, kad = d(lnx), pakeičiame lnx = t. Tada J = .

Pavyzdys 3.39 . Apskaičiuokite J = .

Sprendimas. Mes turime: . Štai kodėl =

Kam skirti integralai? Pabandykite atsakyti į šį klausimą sau.

Aiškindami integralų temą, mokytojai išvardija taikymo sritis, kurios mokyklos protui mažai naudingos. Tarp jų:

• apskaičiuojant figūros plotą.
• kūno masės apskaičiavimas esant netolygiam tankiui.
• nuvažiuoto atstumo, judant kintamu greičiu, nustatymas.
• ir kt.

Ne visada įmanoma visus šiuos procesus sujungti, todėl daugelis mokinių sutrinka, net ir turėdami visas pagrindines žinias integralui suprasti.

Pagrindinė nežinojimo priežastis– integralų praktinės reikšmės nesuvokimas.

Integral - kas tai?

Būtinos sąlygos. Integracijos poreikis atsirado senovės Graikijoje. Tuo metu Archimedas pradėjo naudoti metodus, iš esmės panašius į šiuolaikinį integralinį skaičiavimą, kad surastų apskritimo plotą. Pagrindinis būdas nustatyti nelygių figūrų plotą tada buvo „išsekimo metodas“, kurį gana lengva suprasti.

Metodo esmė. Į šią figūrą įrašoma monotoniška kitų figūrų seka, tada apskaičiuojama jų plotų sekos riba. Ši riba buvo paimta kaip nurodytos figūros plotas.

Šiuo metodu lengvai atsekama integralinio skaičiavimo idėja, ty rasti begalinės sumos ribą. Vėliau šią idėją mokslininkai pritaikė spręsdami taikomas užduotis astronautika, ekonomika, mechanika ir kt.

Šiuolaikinis integralas. Klasikinę integracijos teoriją bendrais bruožais suformulavo Niutonas ir Leibnicas. Jis rėmėsi tuo metu galiojusiais diferencialinio skaičiavimo dėsniais. Norėdami tai suprasti, turite turėti tam tikrų pagrindinių žinių, kurios padėtų apibūdinti vaizdines ir intuityvias idėjas apie integralus matematine kalba.

Paaiškinkite „integralaus“ sąvoką

Išvestinės radimo procesas vadinamas diferenciacija ir rasti antidarinį - integracija.

Integralinis matematinė kalba yra funkcijos antidarinys (kas buvo prieš išvestinę) + konstanta "C".

Integralinis paprastais žodžiais yra lenktos figūros plotas. Neapibrėžtas integralas yra visas plotas. Apibrėžiamasis integralas yra tam tikros srities plotas.

Integralas parašytas taip:

Kiekvienas integrandas padauginamas iš "dx" komponento. Tai rodo, kuris kintamasis yra integruotas. "dx" yra argumento padidėjimas. Vietoj X gali būti bet koks kitas argumentas, pvz., t (laikas).

Neapibrėžtas integralas

Neapibrėžtas integralas neturi integracijos ribų.

Norint išspręsti neapibrėžtus integralus, pakanka rasti integrando antidarinį ir pridėti prie jo „C“.

Apibrėžtasis integralas

Apibrėžtajame integrale apribojimai „a“ ir „b“ rašomi ant integravimo ženklo. Žemiau esančiame grafike jie nurodyti x ašyje.

Norėdami apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą, turite rasti antidarinį, pakeisti į jį „a“ ir „b“ reikšmes ir rasti skirtumą. Matematikoje tai vadinama Niutono-Leibnizo formulė:

Integralų lentelė mokiniams (pagrindinės formulės)

Atsisiųskite integralų formules, jos vis tiek jums pravers

Kaip teisingai apskaičiuoti integralą

Yra keletas paprastų integralų transformavimo operacijų. Štai pagrindiniai:

Konstantos pašalinimas iš po integralo ženklo

Sumos integralo išskaidymas į integralų sumą

Jei sukeisite a ir b, ženklas pasikeis

Integralą galite padalyti į intervalus taip

Tai yra paprasčiausios savybės, kurių pagrindu vėliau bus formuluojamos sudėtingesnės teoremos ir skaičiavimo metodai.

Integralų skaičiavimo pavyzdžiai

Neapibrėžtinio integralo sprendimas

Apibrėžtinio integralo sprendimas

Pagrindinės temos supratimo sąvokos

Kad suprastumėte integracijos esmę ir neužvertumėte puslapio nuo nesusipratimų, paaiškinsime keletą pagrindinių sąvokų. Kas yra funkcija, išvestinė, riba ir antiderivatinė.

Funkcija- taisyklė, pagal kurią visi elementai iš vienos rinkinio yra koreliuojami su visais elementais iš kitos.

Darinys yra funkcija, apibūdinanti kitos funkcijos kitimo greitį kiekviename konkrečiame taške. Griežtai tariant, tai yra funkcijos padidėjimo ir argumento padidėjimo santykio riba. Jis apskaičiuojamas rankiniu būdu, tačiau lengviau naudoti išvestinių lentelę, kurioje yra dauguma standartinių funkcijų.

Prieaugis- kiekybinis funkcijos pokytis su tam tikru argumento pasikeitimu.

Riba- reikšmė, į kurią linksta funkcijos reikšmė, kai argumentas linkęs į tam tikrą reikšmę.

Ribos pavyzdys: tarkime, jei X lygus 1, Y bus lygus 2. O kas, jei X nelygus 1, bet linkęs į 1, tai yra niekada jo nepasiekia? Šiuo atveju y niekada nepasieks 2, o tik sieks šios vertės. Matematinėje kalboje tai rašoma taip: limY (X), kai X –> 1 = 2. Skaitoma: funkcijos Y (X), kai x linkęs į 1, riba yra 2.

Kaip jau minėta, išvestinė yra funkcija, apibūdinanti kitą funkciją. Pradinė funkcija gali būti kilusi iš kitos funkcijos. Ši kita funkcija vadinama primityvus.

Išvada

Nesunku rasti integralus. Jei nesuprantate, kaip tai padaryti,. Iš antro karto tampa aiškiau. Prisiminti! Integralų sprendimas redukuojamas į paprastas integrando transformacijas ir jo paiešką .

Jei teksto paaiškinimas jums netinka, žiūrėkite vaizdo įrašą apie integralo ir išvestinės reikšmę:

Integralai - kas tai yra, kaip tai išspręsti, sprendimų pavyzdžiai ir manekenų paaiškinimas atnaujinta: 2019 m. lapkričio 22 d.: Moksliniai straipsniai.Ru