Kaip apskaičiuoti koeficientus. Santykiai Santykis 1 1 kiek

pagrindu matematiniai tyrimai – tai galimybė įgyti žinių apie tam tikrus dydžius, lyginant juos su kitais dydžiais, kurie yra arba lygus, arba daugiau arba mažiau nei tie, kurie yra tyrimo objektas. Paprastai tai daroma su serija lygtys ir proporcijas. Kai naudojame lygtis, ieškomą kiekį nustatome jį suradę lygybė su kokiu nors kitu jau pažįstamu kiekiu ar kiekiais.

Tačiau dažnai pasitaiko, kad lyginame nežinomą kiekį su kitais nėra lygus jos, bet daugiau ar mažiau jos. Čia reikia kitokio požiūrio į duomenų apdorojimą. Mums gali tekti žinoti, pvz. kiek viena reikšmė didesnė už kitą, arba kiek kartų viename yra kitas. Norėdami rasti atsakymus į šiuos klausimus, išsiaiškinsime, kas yra santykis dviejų dydžių. Vienas santykis vadinamas aritmetika, ir kitas geometrinis. Nors verta paminėti, kad abi šios sąvokos nebuvo priimtos atsitiktinai ar tiesiog išskirtinumo sumetimais. Tiek aritmetiniai, tiek geometriniai santykiai taikomi ir aritmetikai, ir geometrijai.

Kadangi yra didžiulės ir svarbios temos sudedamoji dalis, proporcija priklauso nuo koeficientų, todėl būtinas aiškus ir išsamus šių sąvokų supratimas.

338. Aritmetinis santykis tai yra skirtumastarp dviejų dydžių arba dydžių serijos. Patys kiekiai vadinami nariai koeficientai, tai yra terminai, tarp kurių yra santykis. Taigi 2 yra 5 ir 3 aritmetinis santykis. Tai išreiškiama tarp dviejų reikšmių dedant minuso ženklą, t. y. 5 - 3. Žinoma, terminas aritmetinis santykis ir jo detalizavimas praktiškai nenaudingi, nes pakeičiamas tik žodis skirtumas iki minuso ženklo išraiškoje.

339. Jei abu aritmetinio ryšio nariai padauginti arba padalinti tokiu pat kiekiu santykis, galiausiai bus padaugintas arba padalintas iš šios sumos.
Taigi, jei turime a - b = r
Tada padauginkite abi puses iš h , (Ax. 3.) ha - hb = hr
Ir padalijus iš h, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Jei aritmetinio santykio nariai prideda arba atima iš kito atitinkamus narius, tai sumos arba skirtumo santykis bus lygus dviejų santykių sumai arba skirtumui.
Jei a - b
Ir d-h
yra du santykiai,
Tada (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Kuris kiekvienu atveju = a + d - b - h.
Ir (a – d) – (b – h) = (a – b) – (d – h). Kuris kiekvienu atveju = a - d - b + h.
Taigi aritmetinis santykis 11 - 4 yra 7
O aritmetinis santykis 5 - 2 yra 3
16 - 6 terminų sumos santykis yra 10, - santykių suma.
6 - 2 narių skirtumo santykis yra 4, - santykių skirtumas.

341. geometrinis santykis yra santykis tarp dydžių, kuris išreiškiamas PRIVATUS jei viena reikšmė dalijama iš kitos.
Taigi santykis 8 ir 4 gali būti parašytas kaip 8/4 arba 2. Tai yra, 8 dalinys, padalintas iš 4. Kitaip tariant, jis parodo, kiek kartų 4 yra 8.

Lygiai taip pat bet kokio dydžio santykį su kitu galima nustatyti padalijus pirmąjį iš antrojo arba, iš esmės, tas pats, pirmąjį paverčiant trupmenos skaitikliu, o antrąjį – vardikliu.
Taigi a ir b santykis yra $\frac(a)(b)$
d + h ir b + c santykis yra $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Geometrinis santykis taip pat rašomas tarp lyginamų reikšmių dedant du taškus vieną virš kito.
Taigi a:b yra a ir b santykis, o 12:4 yra 12 ir 4 santykis. Du dydžiai kartu sudaro pora, kuriame vadinamas pirmasis terminas pirmtakas, o paskutinis yra pasekmės.

343. Šis punktyrinis žymėjimas ir kitas, esantis trupmenos pavidalu, prireikus yra keičiami, o antecedentas tampa trupmenos skaitikliu, o sekantis – vardikliu.
Taigi 10:5 yra toks pat kaip $\frac(10)(5)$, o b:d yra tas pats, kas $\frac(b)(d)$.

344. Jei kuri nors iš šių trijų reikšmių: ankstesnis, pasekmė ir santykis yra suteikta du, tada galima rasti trečią.

Tegu a= antecedentas, c= nuoseklus, r= santykis.
Pagal apibrėžimą $r=\frac(a)(c)$, tai yra, santykis yra lygus antecedentui, padalytam iš pasekmės.
Padauginus iš c, a = cr, tai yra, antecedentas yra lygus nuosekliam santykiui.
Padalinkite iš r, $c=\frac(a)(r)$, tai yra, pasekmė yra lygi antecedentui, padalytam iš santykio.

Resp. 1. Jei dvi poros turi vienodus ancecendentus ir pasekmes, tai ir jų santykiai yra vienodi.

Resp. 2. Jei dviejų porų santykiai ir antecedentai yra lygūs, tai padariniai yra lygūs, o jei santykiai ir pasekmės yra lygūs, tai antcecentai yra lygūs.

345. Jei du lygina dydžius lygus, tada jų santykis lygus vienybei arba lygybei. Santykis 3 * 6:18 yra lygus vienetui, nes bet kurios vertės, padalytos iš savęs, koeficientas yra lygus 1.

Jei poros pirmtakas daugiau, nei pasekmė, tada santykis yra didesnis nei vienas. Kadangi dividendas yra didesnis už daliklį, koeficientas yra didesnis nei vienas. Taigi santykis 18:6 yra 3. Tai vadinama santykiu didesnė nelygybė.

Kita vertus, jei pirmtakas mažiau nei pasekmė, tada santykis yra mažesnis už vieną, ir tai vadinama santykiu mažesnė nelygybė. Taigi santykis 2:3 yra mažesnis nei vienas, nes dividendas yra mažesnis už daliklį.

346. Atvirkščiai santykis yra dviejų abipusių dydžių santykis.
Taigi atvirkštinio 6 ir 3 santykis yra su, tai yra:.
Tiesioginis a ryšys su b yra $\frac(a)(b)$, tai yra, antecedentas, padalytas iš pasekmės.
Atvirkštinis ryšys yra $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ arba $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a)$.
tai yra, seka b padalinta iš antecedento a.

Taigi išreiškiamas atvirkštinis ryšys apverčiant trupmeną, kuris rodo tiesioginį ryšį, arba, kai žymėjimas atliekamas naudojant taškus, apversdamas narių rašymo tvarką.
Taigi a yra susijęs su b atvirkščiai, kad b yra susijęs su a.

347. Sudėtingas santykisšis santykis darbai atitinkamus terminus su dviem ar daugiau paprastų ryšių.
Taigi santykis yra 6:3, lygus 2
Ir santykis 12:4 lygu 3
Iš jų sudarytas santykis yra 72:12 = 6.

Čia sudėtingas ryšys gaunamas padauginus du pirminius ir du paprastų santykių pasekmes.
Taigi santykis sudarytas
Iš santykio a:b
Ir c:d santykiai
ir santykis h:y
Tai yra santykis $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Sudėtingi santykiai nesiskiria savo gamta nuo bet kokio kito santykio. Šis terminas tam tikrais atvejais naudojamas santykio kilmei parodyti.

Resp. Sudėtingas santykis yra lygus paprastų santykių sandaugai.
Santykis a:b yra lygus $\frac(a)(b)$
Santykis c:d yra lygus $\frac(c)(d)$
Santykis h:y yra lygus $\frac(h)(y)$
Pridėtas šių trijų santykis bus ach/bdy, kuris yra trupmenų, išreiškiančių paprastus santykius, sandauga.

348. Jei kiekvienos ankstesnės poros santykių sekoje pasekmė yra antecedentas kitoje, tai pirmojo antecedento ir paskutinio pasekmės santykis lygus gautam iš tarpinių santykių.
Taigi keliais santykiais
a:b
b:c
c:d
d:h
santykis a:h yra lygus santykiui, sumuotam iš santykių a:b ir b:c bei c:d ir d:h. Taigi sudėtingas ryšys paskutiniame straipsnyje yra $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$ arba a:h.

Lygiai taip pat visi dydžiai, kurie yra ir pirmtakai, ir pasekmės išnykti, kai trupmenų sandauga bus supaprastinta iki žemesnių jos narių, o likusioje dalyje kompleksinis ryšys bus išreikštas pirmuoju antecedentu ir paskutine pasekme.

349. Specialioji sudėtingų santykių klasė gaunama paprastą santykį padauginus iš pats arba į kitą lygus santykis. Šie santykiai vadinami dvigubai, trigubas, keturgubai, ir t.t., atsižvelgiant į padauginimų skaičių.

Santykis sudarytas iš du lygiomis proporcijomis, ty kvadratas dvigubai santykis.

Sudarytas iš trys, tai yra, kubas vadinamas paprastas santykis trigubas, ir taip toliau.

Panašiai ir santykis kvadratinės šaknys du dydžiai vadinami santykiu kvadratinė šaknis, ir santykis kubo šaknys- santykis kubo šaknis, ir taip toliau.
Taigi paprastas a ir b santykis yra a:b
Dvigubas a ir b santykis yra a 2:b 2
Trigubas a ir b santykis yra a 3:b 3
Kvadratinės šaknies a ir b santykis yra √a :√b
A ir b kubinės šaknies santykis yra 3 √a : 3 √b ir pan.
Sąlygos dvigubai, trigubas, ir tt nereikia maišyti su padvigubėjo, patrigubėjo, ir taip toliau.
Santykis nuo 6 iki 2 yra 6:2 = 3
Jei šį santykį padvigubiname, tai yra du kartus, gauname 12:2 = 6
Šį santykį patrigubiname, tai yra, šį santykį tris kartus, gauname 18: 2 = 9
BET dvigubai santykis, tai yra kvadratas santykis yra 6 2:2 2 = 9
Ir trigubas santykis, t.y. santykio kubas, yra 6 3:2 3 = 27

350. Kad dydžiai būtų koreliuojami vienas su kitu, jie turi būti tos pačios rūšies, kad būtų galima tiksliai teigti, ar jie yra lygūs vienas kitam, ar vienas iš jų yra didesnis ar mažesnis. Pėda yra nuo 12 iki 1 colio: ji yra 12 kartų didesnė už colį. Bet negalima, pavyzdžiui, sakyti, kad valanda yra ilgesnė ar trumpesnė už lazdą arba akras didesnis ar mažesnis už laipsnį. Tačiau jei šios reikšmės yra išreikštos numeriai, tada tarp šių skaičių gali būti ryšys. Tai yra, gali būti ryšys tarp minučių skaičiaus per valandą ir žingsnių skaičiaus mylioje.

351. Atsigręžiant į gamta santykius, kitas žingsnis, į kurį turime atsižvelgti, yra tai, kaip vienos ar dviejų tarpusavyje palyginamų terminų pokytis paveiks patį santykį. Prisiminkite, kad tiesioginis santykis išreiškiamas trupmena, kur anecedet poros visada skaitiklis, a pasekmė - vardiklis. Tada iš trupmenų savybės bus nesunku nustatyti, kad santykio pokyčiai vyksta keičiant lyginamuosius dydžius. Dviejų dydžių santykis yra toks pat kaip prasmė trupmenos, kurių kiekviena reiškia privatus: skaitiklis padalytas iš vardiklio. (341 str.) Dabar įrodyta, kad trupmenos skaitiklį padauginti iš bet kokios reikšmės yra tas pats, kas dauginti prasmė ta pačia suma ir skaitiklio dalijimas yra tas pats, kas trupmenos reikšmes. Štai kodėl,

352. Padauginti poros antecedentą iš bet kokios reikšmės reiškia padauginti santykius iš šios reikšmės, o padalyti antecedentą reiškia padalyti šį santykį.
Taigi 6:2 santykis yra 3
O 24:2 santykis yra 12.
Čia antecedentas ir santykis paskutinėje poroje yra 4 kartus didesnis nei pirmojoje.
Ryšys a:b yra lygus $\frac(a)(b)$
O santykis na:b yra lygus $\frac(na)(b)$.

Resp. Su žinoma pasekme, tuo daugiau pirmtakas, daugiau santykis, ir atvirkščiai, kuo didesnis santykis, tuo didesnis pirmtakas.

353. Padauginus poros pasekmę iš bet kokios reikšmės, gauname santykio padalijimą iš šios reikšmės, o padalijus pasekmę, padauginame santykį. Padauginus trupmenos vardiklį, reikšmę padalijame, o vardiklį – reikšmė dauginama.
Taigi santykis 12:2 yra 6
O 12:4 santykis yra 3.
Čia yra antrosios poros pasekmė du kartus daugiau, bet santykis du kartus mažiau nei pirmasis.
Santykis a:b yra $\frac(a)(b)$
O santykis a:nb lygus $\frac(a)(nb)$.

Resp. Tam tikram antecedentui, kuo didesnė pasekmė, tuo mažesnis santykis. Ir atvirkščiai, kuo didesnis santykis, tuo mažesnė pasekmė.

354. Iš paskutinių dviejų straipsnių matyti, kad daugybos antecedentas poros pagal bet kokią vertę turės tokį patį poveikį santykiui kaip pasekmės padalijimasšia suma ir ankstesnis padalijimas, turės tokį patį poveikį kaip nuoseklus dauginimas.
Taigi 8:4 santykis yra 2
Antecedentą padauginus iš 2, santykis 16:4 yra 4
Antecedentą padalijus iš 2, santykis 8:2 yra 4.

Resp. Bet koks veiksnys arba skirstytuvas nekeičiant santykio, gali būti perkelta iš poros antecedento į pasekmę arba iš pasekmės į antecedentą.

Verta pažymėti, kad kai veiksnys taip perkeliamas iš vieno nario į kitą, tada jis tampa dalikliu, o perkeltas daliklis tampa veiksniu.
Taigi santykis yra 3,6:9 = 2
Perkeliant koeficientą 3, $6:\frac(9)(3)=2$
toks pat santykis.

Ryšys $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Perkeliama y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Perkeliamas m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. Kaip matyti iš straipsnių. 352 ir 353, jei ir antecedentas, ir pasekmė padauginami arba dalijami iš tos pačios sumos, santykis nesikeičia.

Resp. 1. Santykis du trupmenomis, kurie turi bendrą vardiklį, tokį patį kaip ir jų santykis skaitikliai.
Taigi santykis a/n:b/n yra toks pat kaip a:b.

Resp. 2. tiesioginis dviejų trupmenų, turinčių bendrą skaitiklį, santykis yra lygus jų abipusiam santykiui vardikliai.

356. Iš dirbinio nesunku nustatyti bet kurių dviejų trupmenų santykį. Jei kiekvienas narys padauginamas iš dviejų vardklių, santykis bus pateiktas integralinėmis išraiškomis. Taigi, padauginę poros a/b:c/d sąlygas iš bd, gauname $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, kuri tampa ad:bc, sumažinant suminės reikšmės iš skaitiklių ir vardiklių.

356 b. Santykis didesnė nelygybė dideja jo
Tegu didesnis nelygybės santykis yra 1+n:1
Ir bet koks santykis a:b
Sudėtinis santykis bus (347 str.) a + na:b
Kas yra didesnis už santykį a:b (351 str. ir kt.)
Bet santykis mažesnė nelygybė, pridėta kitu santykiu, sumažina jo.
Tegul mažesniojo skirtumo santykis yra 1-n:1
Bet koks nurodytas santykis a:b
Kompleksinis santykis a - na:b
Kas yra mažesnis už a:b.

357. Jei bet kurios poros nariams arba iš jųpapildyti arba atimkite du kitus dydžius, kurie yra tokiu pat santykiu, tada sumos arba likučiai turės tą patį santykį.
Tegu santykis a:b
Tai bus tas pats kaip c:d
Tada santykis sumos pasekmių sumos pirmtakai, ty nuo a + c iki b + d, taip pat yra vienodi.
Tai yra, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Įrodymas.

1. Darant prielaidą, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Padauginkite iš b ir d, ad = bc
3. Įdėkite cd į abi puses, ad + cd = bc + cd
4. Padalinkite iš d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Padalinkite iš b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Santykis skirtumas pasekmių skirtumo pirmtakai taip pat yra vienodi.

358. Jeigu keliose porose santykiai lygūs, tai visų antecedentų suma yra visų pasekmių suma, kaip ir bet kuris pirmtakas yra jo pasekmė.
Taigi santykis
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Taigi santykis (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358b. Santykis didesnė nelygybėmažėja, pridedant ta pati suma abiem nariams.
Tegu nurodytas santykis a+b:a arba $\frac(a+b)(a)$
Prie abiejų terminų pridėjus x, gauname a+b+x:a+x arba $\frac(a+b)(a)$.

Pirmasis tampa $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
Ir paskutinis yra $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Kadangi paskutinis skaitiklis yra akivaizdžiai mažesnis už kitą, tada santykis turėtų būti mažiau. (351 str. arba str.)

Bet santykis mažesnė nelygybė dideja, pridedant tą pačią vertę prie abiejų terminų.
Tegul duotas santykis yra (a-b):a arba $\frac(a-b)(a)$.
Prie abiejų terminų pridėjus x, jis tampa (a-b+x):(a+x) arba $\frac(a-b+x)(a+x)$
Suvedus juos prie bendro vardiklio,
Pirmasis tampa $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
Ir paskutinis, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Kadangi paskutinis skaitiklis yra didesnis už kitą, tada santykis daugiau.
Jei užuot pridėjus tą pačią vertę Atimti iš dviejų terminų akivaizdu, kad poveikis santykiui bus priešingas.

Pavyzdžiai.

1. Kas didesnis: 11:9 ar 44:35?

2. Kuris yra didesnis: santykis $(a+3):\frac(a)(6)$, ar santykis $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. Jei poros antecedentas yra 65, o santykis yra 13, kokia yra pasekmė?

4. Jei poros pasekmė yra 7, o santykis yra 18, koks yra antecedentas?

5. Kaip atrodo kompleksinis santykis, sudarytas iš 8:7, 2a:5b, taip pat (7x+1):(3y-2)?

6. Kaip atrodo kompleksinis santykis, sudarytas iš (x + y): b ir (x-y): (a + b), taip pat (a + b): h? Rep. (x 2 – y 2):bh.

7. Jei ryšiai (5x+7):(2x-3) ir $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ sudaro kompleksinį ryšį, koks santykis gausi: didesnę ar mažesnę nelygybę? Rep. Didesnės nelygybės santykis.

8. Koks yra santykis, sudarytas iš (x + y):a ir (x - y):b, ir $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Rep. Lygybės santykis.

9. Koks yra santykis 7:5 ir dvigubai 4:9 ir trigubai 3:2?
Rep. 14:15.

10. Koks yra santykis, sudarytas iš 3:7 ir trigubai santykio x:y, ir atimant šaknį iš santykio 49:9?
Rep. x3:y3.

Santykis (matematikoje) yra ryšys tarp dviejų ar daugiau tos pačios rūšies skaičių. Santykiai lygina absoliučias reikšmes arba visumos dalis. Santykiai skaičiuojami ir rašomi įvairiais būdais, tačiau pagrindiniai principai visiems santykiams yra vienodi.

Žingsniai

1 dalis

Santykių apibrėžimas

Naudojant koeficientus. Santykiai naudojami tiek moksle, tiek kasdieniame gyvenime lyginant kiekius. Paprasčiausi koeficientai susiję tik su dviem skaičiais, tačiau yra koeficientų, kurie lygina tris ar daugiau reikšmių. Bet kokioje situacijoje, kai yra daugiau nei vienas kiekis, galima parašyti santykį. Susiejant kai kurias vertes, santykiai gali, pavyzdžiui, pasiūlyti, kaip padidinti ingredientų kiekį recepte arba medžiagų kiekį cheminėje reakcijoje.

Santykių apibrėžimas. Santykis yra ryšys tarp dviejų (ar daugiau) tos pačios rūšies vertybių. Pavyzdžiui, jei pyragui reikia 2 puodelių miltų ir 1 puodelio cukraus, tada miltų ir cukraus santykis yra 2:1.
- Santykiai taip pat gali būti naudojami, kai du dydžiai nėra susiję vienas su kitu (kaip torto pavyzdyje). Pavyzdžiui, jei klasėje yra 5 mergaitės ir 10 berniukų, tai mergaičių ir berniukų santykis yra 5 prieš 10. Šie dydžiai (berniukų skaičius ir mergaičių skaičius) nepriklauso vienas nuo kito, tai yra. jų vertybės pasikeis, jei kas nors išeis iš klasės arba į klasę ateis naujas mokinys. Santykiai tiesiog lygina kiekių vertes.
Atkreipkite dėmesį į skirtingus koeficientų vaizdavimo būdus. Santykiai gali būti pavaizduoti žodžiais arba matematiniais simboliais.
- Labai dažnai santykiai išreiškiami žodžiais (kaip parodyta aukščiau). Ypač ši proporcijų vaizdavimo forma naudojama kasdieniame gyvenime, toli nuo mokslo.
- Be to, santykius galima išreikšti dvitaškiu. Lygindami du skaičius santykiu, naudosite vieną dvitaškį (pavyzdžiui, 7:13); lyginant tris ar daugiau reikšmių, tarp kiekvienos skaičių poros įrašykite dvitaškį (pvz., 10:2:23). Mūsų klasės pavyzdyje mergaičių ir berniukų santykį galite išreikšti taip: 5 mergaitės: 10 berniukų. Arba taip: 5:10.
- Rečiau santykiai išreiškiami pasviruoju brūkšniu. Klasės pavyzdyje jis gali būti parašytas taip: 5/10. Nepaisant to, tai nėra trupmena ir toks santykis neskaitomas kaip trupmena; be to, atminkite, kad santykiu skaičiai nėra vienos visumos dalis.
2 dalis
Santykių naudojimas
1. Supaprastinkite santykį. Santykį galima supaprastinti (panašiai į trupmenas), kiekvieną santykio terminą (skaičių) padalijus iš . Tačiau nepamirškite pradinių santykio verčių.
  - Mūsų pavyzdyje klasėje yra 5 mergaitės ir 10 berniukų; santykis yra 5:10. Didžiausias bendras santykio dalių daliklis yra 5 (nes ir 5, ir 10 dalijasi iš 5). Padalinkite kiekvieną santykio skaičių iš 5, kad gautumėte 1 mergaitės ir 2 berniukų santykį (arba 1:2). Tačiau supaprastindami santykį turėkite omenyje pradines vertes. Mūsų pavyzdyje klasėje yra ne 3 mokiniai, o 15. Supaprastintas santykis lyginamas berniukų ir mergaičių skaičius. Tai yra, kiekvienai mergaitei tenka 2 berniukai, bet klasėje nėra 2 berniukų ir 1 mergaitės.
  - Kai kurie santykiai nėra supaprastinti. Pavyzdžiui, santykis 3:56 nėra supaprastintas, nes šie skaičiai neturi bendrų daliklių (3 yra pirminis skaičius, o 56 nesidalija iš 3).
2. Norėdami padidinti arba sumažinti santykį, naudokite daugybą arba padalijimą. Dažna problema yra padidinti arba sumažinti dvi reikšmes, kurios yra proporcingos viena kitai. Jei jums duotas santykis ir reikia rasti jį atitinkantį didesnį ar mažesnį santykį, pradinį santykį padauginkite arba padalinkite iš tam tikro skaičiaus.
  - Pavyzdžiui, kepėjas turi tris kartus padidinti recepte nurodytą ingredientų kiekį. Jei recepte nurodyta, kad miltų ir cukraus santykis yra 2:1 (2:1), kepėjas kiekvieną terminą padaugins iš 3, kad gautų santykį 6:3 (6 puodeliai miltų ir 3 puodeliai cukraus).
  - Kita vertus, jei kepėjui reikia perpus sumažinti recepte nurodytą ingredientų kiekį, kepėjas kiekvieną santykio terminą padalins iš 2 ir gaus santykį 1:½ (1 puodelis miltų su 1/2 puodelio cukraus).
3. Ieškokite nežinomos reikšmės, kai pateikti du lygiaverčiai santykiai. Tai yra problema, kai viename santykyje reikia rasti nežinomą kintamąjį, naudojant antrąjį ryšį, kuris yra lygiavertis pirmajam. Norėdami išspręsti tokias problemas, naudokite . Kiekvieną santykį parašykite kaip trupmeną, tarp jų padėkite lygybės ženklą ir padauginkite jų terminus skersai.
  - Pavyzdžiui, studentų grupė, kurioje yra 2 berniukai ir 5 mergaitės. Koks bus berniukų skaičius, jei mergaičių skaičius bus padidintas iki 20 (proporcija išsaugoma)? Pirmiausia užsirašykite du santykius – 2 berniukai:5 mergaitės ir X berniukai: 20 mergaičių. Dabar parašykite šiuos santykius trupmenomis: 2/5 ir x/20. Padauginkite trupmenų narius skersai ir gaukite 5x = 40; taigi x = 40/5 = 8.
3 dalis
Daznos klaidos
1. Venkite sudėties ir atimties teksto santykio problemose. Daugelis tekstinių uždavinių atrodo maždaug taip: „Receptas reikalauja 4 bulvių gumbų ir 5 šaknų morkų. Jei norite pridėti 8 bulves, kiek morkų reikia, kad santykis būtų toks pat? Spręsdami tokias problemas, mokiniai dažnai daro klaidą prie pradinio skaičiaus prideda tiek pat ingredientų. Tačiau norint išlaikyti santykį, reikia naudoti daugybą. Štai teisingų ir neteisingų sprendimų pavyzdžiai:
  - Neteisinga: „8 - 4 = 4 - taigi įdėjome 4 bulvių gumbus. Taigi, reikia paimti 5 morkų šaknis ir pridėti prie jų dar 4... Stop! Santykiai taip neveikia. Verta pabandyti dar kartą“.
  - Teisingai: „8 ÷ 4 = 2 – taigi bulvių skaičių padauginome iš 2. Atitinkamai 5 morkų šaknis taip pat reikia padauginti iš 2. 5 x 2 = 10 – į receptą reikia pridėti 10 morkų šaknų.

Proporcijų formulė

Proporcija yra dviejų santykių lygybė, kai a:b=c:d

santykis 1 : 10 yra lygus santykiui 7 : 70, kurią taip pat galima parašyti kaip trupmeną: 1 10 = 7 70 rašoma: "vienas yra dešimt, kaip septyni yra septyniasdešimt"

Pagrindinės proporcijų savybės

Kraštutinių narių sandauga lygi vidurinių narių sandaugai (skersai): jei a:b=c:d , tai a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Proporcijų inversija: jei a:b=c:d , tai b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Vidurinių narių permutacija: jei a:b=c:d , tai a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Kraštinių narių permutacija: jei a:b=c:d , tai d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Proporcijos su vienu nežinomu sprendimas | Lygtis

1 : 10 = x : 70 arba 1 10 = x 70

Norėdami rasti x, turite padauginti du žinomus skaičius skersai ir padalyti iš priešingos vertės

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Kaip apskaičiuoti proporciją

Užduotis: reikia išgerti 1 tabletę aktyvintos anglies 10 kilogramų svorio. Kiek tablečių reikia išgerti, jei žmogus sveria 70 kg?

Padarykime proporciją: 1 tabletė – 10 kg x tabletės - 70 kg Norėdami rasti x, turite padauginti du žinomus skaičius skersai ir padalyti iš priešingos vertės: 1 tabletė x tabletės✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Atsakymas: 7 tabletės

Užduotis: Vasja per penkias valandas parašo du straipsnius. Kiek straipsnių jis parašys per 20 valandų?

Padarykime proporciją: 2 straipsniai – 5 val x straipsniai – 20 val x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Atsakymas: 8 straipsniai

Būsimiems abiturientams galiu pasakyti, kad gebėjimas daryti proporcijas man pravertė tiek norint proporcingai sumažinti paveikslėlius, tiek internetinio puslapio HTML makete, tiek kasdienėse situacijose.

Santykis yra tam tikras santykis tarp mūsų pasaulio esybių. Tai gali būti skaičiai, fiziniai dydžiai, daiktai, produktai, reiškiniai, veiksmai ir net žmonės.

Kasdieniame gyvenime, kalbant apie santykius, sakome „to ir to santykis“. Pavyzdžiui, jei vazoje yra 4 obuoliai ir 2 kriaušės, tai mes sakome obuolių ir kriaušių santykis kriaušių ir obuolių santykis.

Matematikoje santykis dažnai naudojamas kaip "kažko santykis su kažkuo". Pavyzdžiui, keturių obuolių ir dviejų kriaušių santykis, kurį mes svarstėme aukščiau, matematikoje bus skaitomas kaip "keturių obuolių ir dviejų kriaušių santykis" arba jei sukeičiate obuolius ir kriaušes, tada "dviejų kriaušių ir keturių obuolių santykis".

Santykis išreiškiamas kaip aį b(kur vietoj a ir b bet kokie skaičiai), tačiau dažniau galite rasti įrašą, sudarytą naudojant dvitaškį kaip a:b. Šį įrašą galite perskaityti įvairiais būdais:

aį b
a nurodo b
požiūris aį b

Rašome keturių obuolių ir dviejų kriaušių santykį naudodami santykio simbolį:

4: 2

Jei sukeisime obuolius ir kriaušes, tada santykis bus 2: 4. Šį santykį galima perskaityti kaip "nuo dviejų iki keturių" arba arba "dvi kriaušės yra lygios keturiems obuoliams" .

Toliau santykį vadinsime santykiu.

Pamokos turinys

Kas yra požiūris?

Santykis, kaip minėta anksčiau, parašytas kaip a:b. Jis taip pat gali būti parašytas kaip trupmena. Ir žinome, kad toks matematikos rekordas reiškia padalijimą. Tada ryšio rezultatas bus skaičių koeficientas a ir b.

Matematikoje santykis yra dviejų skaičių koeficientas.

Santykis leidžia sužinoti, kiek vieno objekto tenka kito vienetui. Grįžkime prie keturių obuolių ir dviejų kriaušių santykio (4:2). Šis santykis leis mums sužinoti, kiek obuolių yra kriaušių vienete. Vienetas reiškia vieną kriaušę. Pirmiausia parašykime santykį 4:2 kaip trupmeną:

Šis santykis yra skaičiaus 4 padalijimas iš 2. Jei atliksime šį padalijimą, gausime atsakymą į klausimą, kiek obuolių yra kriaušių vienete

Mes gavome 2. Taigi keturi obuoliai ir dvi kriaušės (4: 2) yra koreliuojami (susiję vienas su kitu), kad vienoje kriaušėje būtų du obuoliai

Paveikslėlyje parodyta, kaip keturi obuoliai ir dvi kriaušės yra susiję vienas su kitu. Matyti, kad kiekvienai kriaušei tenka po du obuolius.

Santykį galima pakeisti, rašant kaip . Tada gauname dviejų kriaušių ir keturių obuolių santykį arba „dviejų kriaušių ir keturių obuolių santykį“. Šis santykis parodys, kiek kriaušių yra obuolių vienete. Obuolio vienetas reiškia vieną obuolį.

Norėdami rasti trupmenos reikšmę, turite prisiminti, kaip padalyti mažesnį skaičių iš didesnio.

Gavau 0,5. Paverskime šią dešimtainę trupmeną į paprastąją:

Sumažinkite gautą paprastąją trupmeną 5

Gavau atsakymą (pusė kriaušės). Taigi dvi kriaušės ir keturi obuoliai (2: 4) yra koreliuojami (susiję vienas su kitu), todėl vienas obuolys sudaro pusę kriaušės

Paveikslėlyje parodyta, kaip dvi kriaušės ir keturi obuoliai yra tarpusavyje susiję. Matyti, kad kiekvienam obuoliui tenka pusė kriaušės.

Skaičiai, sudarantys santykius, vadinami santykių nariai. Pavyzdžiui, santykyje 4:2 nariai yra skaičiai 4 ir 2.

Apsvarstykite kitus santykių pavyzdžius. Yra sukurtas receptas, kaip ką nors paruošti. Receptas sudarytas iš produktų santykio. Pavyzdžiui, norint pagaminti avižinius dribsnius, paprastai reikia stiklinės dribsnių ir dviejų stiklinių pieno ar vandens. Taip gaunamas santykis 1:2 („vienas su dviem“ arba „viena stiklinė dribsnių dviem stiklinėms pieno“).

Paverskime santykį 1:2 į trupmeną, gausime. Apskaičiavę šią trupmeną, gauname 0,5. Tai reiškia, kad viena stiklinė dribsnių ir dvi stiklinės pieno yra koreliuojamos (koreliuojamos viena su kita), kad vienai stiklinei pieno būtų pusė stiklinės dribsnių.

Jei pakeisite santykį 1:2, gausite 2:1 santykį ("du stiklinės prie vieno" arba "dvi stiklinės pieno vienai stiklinei dribsnių"). Pavertę santykį 2:1 į trupmeną, gauname. Apskaičiavę šią trupmeną, gauname 2. Taigi dvi stiklinės pieno ir viena stiklinė dribsnių yra tarpusavyje susijusios (koreliuojamos) taip, kad vienai stiklinei grūdų tenka dvi stiklinės pieno.

2 pavyzdys Klasėje mokosi 15 mokinių. Iš jų 5 berniukai, 10 mergaitės. Galima užrašyti mergaičių ir berniukų santykį 10:5 ir šį santykį paversti trupmena. Apskaičiavę šią trupmeną, gauname 2. Tai yra, mergaitės ir berniukai yra susiję vienas su kitu taip, kad kiekvienam berniukui tenka dvi mergaitės

Paveikslėlyje parodyta, kaip dešimt mergaičių ir penki berniukai yra susiję vienas su kitu. Matyti, kad kiekvienam berniukui tenka dvi mergaitės.

Ne visada įmanoma santykį paversti trupmena ir rasti koeficientą. Kai kuriais atvejais tai bus nelogiška.

Taigi, jei apverstumėte santykį aukštyn kojomis, tai yra berniukų ir mergaičių santykis. Jei apskaičiuosite šią trupmeną, gausite 0,5. Pasirodo, penki berniukai yra susiję su dešimčia mergaičių, todėl kiekvienai mergaitei yra pusė berniuko. Matematiškai tai, žinoma, tiesa, bet realybės požiūriu tai nėra visiškai pagrįsta, nes berniukas yra gyvas žmogus ir jo negalima tiesiog paimti ir padalinti kaip kriaušę ar obuolį.

Gebėjimas susikurti tinkamą požiūrį yra svarbus įgūdis sprendžiant problemas. Taigi fizikoje nuvažiuoto atstumo ir laiko santykis yra judėjimo greitis.

Atstumas žymimas kintamuoju S, laikas – per kintamąjį t, greitis – per kintamąjį v. Tada frazė "nuvažiuoto atstumo ir laiko santykis yra judėjimo greitis" bus aprašyta tokia išraiška:

Tarkime, kad automobilis 100 kilometrų nuvažiuoja per 2 valandas. Tada 100 nuvažiuotų kilometrų ir 2 valandų santykis bus automobilio greitis:

Greitis – tai kūno nuvažiuotas atstumas per laiko vienetą. Laiko vienetas yra 1 valanda, 1 minutė arba 1 sekundė. O santykis, kaip minėta anksčiau, leidžia sužinoti, kiek vieno subjekto tenka kito vienetui. Mūsų pavyzdyje šimto kilometrų ir dviejų valandų santykis parodo, kiek kilometrų tenka vienai judėjimo valandai. Matome, kad kiekvienai judėjimo valandai tenka 50 kilometrų

Taigi greitis matuojamas km/h, m/min, m/s. Trupmenos simbolis (/) rodo atstumo ir laiko santykį: kilometrų per valandą , metrų per minutę ir metrų per sekundę atitinkamai.

2 pavyzdys. Prekės vertės ir jos kiekio santykis yra vieno prekės vieneto kaina.

Jei parduotuvėje paėmėme 5 šokolado plyteles ir jų bendra kaina buvo 100 rublių, tai galime nustatyti vienos plytelės kainą. Norėdami tai padaryti, turite rasti šimto rublių santykį su barų skaičiumi. Tada gauname, kad vienas baras sudaro 20 rublių

Vertybių palyginimas

Anksčiau mes sužinojome, kad santykis tarp skirtingo pobūdžio dydžių sudaro naują kiekį. Taigi, nuvažiuoto atstumo ir laiko santykis yra judėjimo greitis. Prekės vertės ir jos kiekio santykis yra vieno prekės vieneto kaina.

Tačiau šis santykis taip pat gali būti naudojamas vertėms palyginti. Tokio ryšio rezultatas yra skaičius, rodantis, kiek kartų pirmoji reikšmė yra didesnė už antrąją, arba kokia dalis pirmoji reikšmė yra iš antrosios.

Norėdami sužinoti, kiek kartų pirmoji reikšmė didesnė už antrąją, santykio skaitiklyje reikia įrašyti didesnę reikšmę, o vardiklyje – mažesnę reikšmę.

Norint sužinoti, kokia dalis yra pirmoji reikšmė iš antrosios, santykio skaitiklyje reikia įrašyti mažesnę reikšmę, o vardiklyje – didesnę reikšmę.

Apsvarstykite skaičius 20 ir 2. Sužinokime, kiek kartų skaičius 20 yra didesnis už skaičių 2. Norėdami tai padaryti, randame skaičiaus 20 santykį su skaičiumi 2. Santykio skaitiklyje įrašykite skaičių 20 , o vardiklyje esantis skaičius 2

Šio santykio reikšmė yra dešimt

Skaičiaus 20 ir skaičiaus 2 santykis yra skaičius 10. Šis skaičius parodo, kiek kartų skaičius 20 yra didesnis už skaičių 2. Taigi skaičius 20 yra dešimt kartų didesnis už skaičių 2.

2 pavyzdys Klasėje mokosi 15 mokinių. Iš jų 5 berniukai, 10 mergaičių. Nustatykite, kiek kartų daugiau mergaičių nei berniukų.

Užsirašykite mergaičių požiūrį į berniukus. Santykio skaitiklyje rašome mergaičių skaičių, santykio vardiklyje - berniukų skaičių:

Šio santykio reikšmė yra 2. Tai reiškia, kad 15 mokinių klasėje mergaičių yra dvigubai daugiau nei berniukų.

Jau nebekyla klausimas, kiek merginų tenka vienam berniukui. Šiuo atveju santykis naudojamas mergaičių skaičiui palyginti su berniukų skaičiumi.

3 pavyzdys. Kokia skaičiaus 2 dalis yra iš skaičiaus 20.

Randame skaičiaus 2 santykį su skaičiumi 20. Santykio skaitiklyje rašome skaičių 2, o vardiklyje - skaičių 20

Norėdami sužinoti šių santykių prasmę, turite atsiminti,

Skaičiaus 2 ir 20 santykio reikšmė yra skaičius 0,1

Šiuo atveju dešimtainę trupmeną 0,1 galima paversti įprasta. Šį atsakymą bus lengviau suprasti:

Taigi skaičiaus 20 skaičius yra dešimtoji dalis.

Galite atlikti patikrinimą. Norėdami tai padaryti, rasime iš skaičiaus 20. Jei viską padarėme teisingai, turėtume gauti skaičių 2

20: 10 = 2

2 x 1 = 2

Gavome skaičių 2. Taigi viena dešimtoji skaičiaus 20 yra skaičius 2. Iš to darome išvadą, kad problema išspręsta teisingai.

4 pavyzdys Klasėje yra 15 žmonių. Iš jų 5 berniukai, 10 mergaičių. Nustatykite, kokią dalį visų mokinių sudaro berniukai.

Užrašome berniukų santykį su bendru mokinių skaičiumi. Santykio skaitiklyje rašome penkis berniukus, o vardiklyje – bendrą moksleivių skaičių. Bendras moksleivių skaičius yra 5 berniukai plius 10 mergaičių, todėl santykio vardiklyje rašome skaičių 15

Norėdami sužinoti šio santykio reikšmę, turite prisiminti, kaip padalyti mažesnį skaičių iš didesnio. Šiuo atveju skaičius 5 turi būti padalintas iš skaičiaus 15

Padalijus 5 iš 15, gaunama periodinė trupmena. Paverskime šią trupmeną į paprastąją

Gavo galutinį atsakymą. Taigi berniukai sudaro trečdalį visos klasės

Paveikslėlyje matyti, kad 15 mokinių klasėje trečdalis klasės yra 5 berniukai.

Jei patikrinimui rasime iš 15 moksleivių, tai gausime 5 berniukus

15: 3 = 5

5 x 1 = 5

5 pavyzdys Kiek kartų skaičius 35 yra didesnis už skaičių 5?

Rašome skaičiaus 35 santykį su skaičiumi 5. Santykio skaitiklyje reikia įrašyti skaičių 35, vardiklyje - skaičių 5, bet ne atvirkščiai.

Šio santykio reikšmė yra 7. Taigi skaičius 35 yra septynis kartus didesnis už skaičių 5.

6 pavyzdys Klasėje yra 15 žmonių. Iš jų 5 berniukai, 10 mergaičių. Nustatykite, kokią dalį viso skaičiaus sudaro merginos.

Užrašome merginų santykį su bendru mokinių skaičiumi. Santykio skaitiklyje rašome dešimt mergaičių, o vardiklyje – bendrą moksleivių skaičių. Bendras moksleivių skaičius yra 5 berniukai plius 10 mergaičių, todėl santykio vardiklyje rašome skaičių 15

Norėdami sužinoti šio santykio reikšmę, turite prisiminti, kaip padalyti mažesnį skaičių iš didesnio. Šiuo atveju skaičius 10 turi būti padalintas iš skaičiaus 15

Padalijus 10 iš 15, gaunama periodinė trupmena. Paverskime šią trupmeną į paprastąją

Sumažinkime gautą trupmeną 3

Gavo galutinį atsakymą. Taigi merginos sudaro du trečdalius visos klasės

Paveikslėlyje parodyta, kad 15 mokinių klasėje du trečdaliai klasės yra 10 mergaičių.

Jei patikrinimui randame iš 15 moksleivių, tai gauname 10 mergaičių

15: 3 = 5

5 x 2 = 10

7 pavyzdys Kokia 10 cm dalis yra 25 cm

Užrašykite santykį nuo dešimties centimetrų iki dvidešimt penkių centimetrų. Santykio skaitiklyje rašome 10 cm, vardiklyje - 25 cm

Norėdami sužinoti šio santykio reikšmę, turite prisiminti, kaip padalyti mažesnį skaičių iš didesnio. Šiuo atveju skaičius 10 turi būti padalintas iš skaičiaus 25

Paverskime gautą dešimtainę trupmeną į paprastąją

Sumažinkime gautą trupmeną 2

Gavo galutinį atsakymą. Taigi 10 cm yra 25 cm.

8 pavyzdys Kiek kartų 25 cm yra didesnis nei 10 cm

Užrašykite santykį nuo dvidešimt penkių centimetrų iki dešimties centimetrų. Santykio skaitiklyje rašome 25 cm, vardiklyje - 10 cm

Gavau atsakymą 2.5. Taigi 25 cm yra 2,5 karto daugiau nei 10 cm (du su puse karto)

Svarbi pastaba. Surandant tų pačių fizikinių dydžių santykį, šie dydžiai turi būti išreikšti vienu matavimo vienetu, kitaip atsakymas bus neteisingas.

Pavyzdžiui, jei turime reikalą su dviem ilgiais ir norime sužinoti, kiek kartų pirmasis ilgis yra didesnis už antrąjį, arba kokia dalis pirmasis ilgis yra nuo antrojo, tada abu ilgiai pirmiausia turi būti išreikšti vienu matavimo vienetu.

9 pavyzdys Kiek kartų 150 cm yra daugiau nei 1 metras?

Pirmiausia įsitikinkime, kad abu ilgiai išreikšti tuo pačiu vienetu. Norėdami tai padaryti, konvertuokite 1 metrą į centimetrus. Vienas metras yra šimtas centimetrų

1 m = 100 cm

Dabar randame santykį nuo šimto penkiasdešimt centimetrų iki šimto centimetrų. Santykio skaitiklyje rašome 150 centimetrų, vardiklyje - 100 centimetrų

Raskime šio ryšio vertę

Gavau atsakymą 1.5. Taigi 150 cm yra daugiau nei 100 cm 1,5 karto (pusantro karto).

Ir jei mes nepradėtume konvertuoti metrų į centimetrus ir iš karto pabandytume rasti 150 cm ir vieno metro santykį, gautume:

Išeitų, kad 150 cm yra šimtą penkiasdešimt kartų daugiau nei vienas metras, bet tai netiesa. Todėl būtina atkreipti dėmesį į fizinių dydžių matavimo vienetus, kurie yra susiję su ryšiu. Jei šie dydžiai išreiškiami skirtingais matavimo vienetais, tada norėdami rasti šių dydžių santykį, turite pereiti prie vieno matavimo vieneto.

10 pavyzdys Praėjusį mėnesį žmogaus atlyginimas siekė 25 000 rublių, o šį mėnesį atlyginimas išaugo iki 27 000 rublių. Nustatykite, kiek padidėjo atlyginimas

Užrašome santykį nuo dvidešimt septynių tūkstančių iki dvidešimt penkių tūkstančių. Santykio skaitiklyje rašome 27000, vardiklyje - 25000

Raskime šio ryšio vertę

Gavau atsakymą 1.08. Taigi atlyginimas padidėjo 1,08 karto. Ateityje, kai susipažinsime su procentais, tokius rodiklius kaip atlyginimas išreikšime procentais.

11 pavyzdys. Daugiabutis namas yra 80 metrų pločio ir 16 metrų aukščio. Kiek kartų namo plotis didesnis už jo aukštį?

Rašome namo pločio ir aukščio santykį:

Šio santykio reikšmė yra 5. Tai reiškia, kad namo plotis yra penkis kartus didesnis už jo aukštį.

santykio turtas

Santykis nepasikeis, jei jo dalys bus padaugintos arba padalytos iš to paties skaičiaus.

Ši viena iš svarbiausių santykio savybių išplaukia iš koeficiento savybės. Žinome, kad jei dividendą ir daliklį padauginsime arba padalinsime iš to paties skaičiaus, tai koeficientas nepasikeis. Ir kadangi santykis yra ne kas kita, kaip padalijimas, jam tinka ir koeficiento savybė.

Grįžkime prie mergaičių požiūrio į berniukus (10:5). Šis santykis parodė, kad kiekvienam berniukui tenka dvi mergaitės. Patikrinkime, kaip veikia santykio savybė, ty pabandykime jos narius padauginti arba padalinti iš to paties skaičiaus.

Mūsų pavyzdyje santykio sąlygas yra patogiau padalyti iš didžiausio bendro daliklio (GCD).

10 ir 5 narių GCD yra skaičius 5. Todėl ryšio sąlygas galite padalyti iš skaičiaus 5

Įgavo naują požiūrį. Tai santykis du su vienu (2:1). Šis santykis, kaip ir ankstesnis santykis 10:5, rodo, kad kiekvienam berniukui tenka dvi mergaitės.

Paveikslėlyje parodytas santykis 2:1 (du su vienu). Kaip ir ankstesniame 10:5 santykiu, vienam berniukui tenka dvi mergaitės. Kitaip tariant, požiūris nepasikeitė.

2 pavyzdys. Vienoje klasėje yra 10 mergaičių ir 5 berniukai. Kitoje klasėje yra 20 mergaičių ir 10 berniukų. Kiek kartų daugiau mergaičių nei berniukų pirmoje klasėje? Kiek kartų daugiau mergaičių nei berniukų antroje klasėje?

Abiejose klasėse mergaičių yra dvigubai daugiau nei berniukų, nes ir santykis yra toks pat.

Ryšio ypatybė leidžia kurti įvairius modelius, kurių parametrai yra panašūs į realaus objekto parametrus. Tarkime, daugiabutis yra 30 metrų pločio ir 10 metrų aukščio.

Norėdami piešti panašų namą ant popieriaus, turite jį nupiešti tokiu pačiu santykiu 30:10.

Abu šio santykio narius padalinkite iš skaičiaus 10. Tada gauname santykį 3:1. Šis santykis yra 3, kaip ir ankstesnis santykis yra 3

Konvertuoti metrus į centimetrus. 3 metrai yra 300 centimetrų, o 1 metras yra 100 centimetrų.

3 m = 300 cm

1 m = 100 cm

Turime santykį 300 cm: 100 cm. Šio santykio sąlygas padalinkite iš 100. Gauname santykį 3 cm: 1 cm Dabar galime nubraižyti namą, kurio plotis 3 cm, o aukštis 1 cm

Žinoma, nubraižytas namas yra daug mažesnis nei tikras namas, tačiau pločio ir aukščio santykis išlieka nepakitęs. Tai leido mums nupiešti namą kuo arčiau tikrojo.

Požiūrį galima suprasti ir kitaip. Iš pradžių buvo sakoma, kad tikras namas yra 30 metrų pločio ir 10 metrų aukščio. Iš viso yra 30 + 10, tai yra 40 metrų.

Šiuos 40 metrų galima suprasti kaip 40 dalių. Santykis 30:10 reiškia 30 dalių pločiui ir 10 dalių aukščiui.

Toliau santykio 30:10 nariai buvo padalinti iš 10. Gautas santykis 3:1. Šį santykį galima suprasti kaip 4 dalis, iš kurių trys patenka į plotį, viena į aukštį. Tokiu atveju dažniausiai reikia tiksliai išsiaiškinti, kiek metrų plotyje ir aukštyje.

Kitaip tariant, reikia išsiaiškinti, kiek metrų patenka į 3 dalis, o kiek metrų – į 1 dalį. Pirmiausia reikia išsiaiškinti, kiek metrų patenka ant vienos dalies. Norėdami tai padaryti, iš viso 40 metrų reikia padalyti iš 4, nes yra tik keturios dalys santykiu 3: 1

Nustatykime, kiek metrų yra plotis:

10 m × 3 = 30 m

Nustatykime, kiek metrų nukrenta į aukštį:

10 m × 1 = 10 m

Keli santykių nariai

Jei santykyje pateikti keli nariai, jie gali būti suprantami kaip kažko dalys.

1 pavyzdys. Nusipirkau 18 obuolių. Šie obuoliai buvo padalinti mamai, tėčiui ir dukrai santykiu 2:1:3. Kiek obuolių gavo kiekvienas?

Santykis 2:1:3 rodo, kad mama gavo 2 dalis, tėtis – 1 dalis, dukra – 3 dalis. Kitaip tariant, kiekvienas santykio 2:1:3 narys yra tam tikra 18 obuolių dalis:

Jei pridėsite santykio 2: 1: 3 sąlygas, galite sužinoti, kiek dalių yra iš viso:

2 + 1 + 3 = 6 (dalelės)

Sužinokite, kiek obuolių nukrenta ant vienos dalies. Norėdami tai padaryti, padalinkite 18 obuolių iš 6

18:6 = 3 (obuoliai vienoje dalyje)

Dabar nustatykime, kiek obuolių gavo kiekvienas. Padauginę tris obuolius iš kiekvieno santykio 2:1:3 nario, galite nustatyti, kiek obuolių gavo mama, kiek tėtis ir kiek dukra.

Sužinokite, kiek obuolių gavo mama:

3 × 2 = 6 (obuoliai)

Sužinokite, kiek obuolių gavo tėtis:

3 × 1 = 3 (obuoliai)

Sužinokite, kiek obuolių gavo dukra:

3 × 3 = 9 (obuoliai)

2 pavyzdys. Naujasis sidabras (alpaka) yra nikelio, cinko ir vario lydinys santykiu 3:4:13. Kiek kilogramų kiekvieno metalo reikia paimti, norint gauti 4 kg naujo sidabro?

4 kilogramuose naujo sidabro bus 3 dalys nikelio, 4 dalys cinko ir 13 dalių vario. Pirmiausia sužinome, kiek dalių bus keturiuose kilogramuose sidabro:

3 + 4 + 13 = 20 (dalių)

Nustatykite, kiek kilogramų nukris viena dalis:

4 kg: 20 = 0,2 kg

Nustatykime, kiek kilogramų nikelio bus 4 kg naujojo sidabro. Teigiama, kad santykiu 3:4:13 trijose lydinio dalyse yra nikelio. Taigi 0,2 padauginame iš 3:

0,2 kg × 3 = 0,6 kg nikelio

Dabar nustatykime, kiek kilogramų cinko bus 4 kg naujojo sidabro. Teigiama, kad santykiu 3:4:13 keturiose lydinio dalyse yra cinko. Taigi 0,2 padauginame iš 4:

0,2 kg × 4 = 0,8 kg cinko

Dabar nustatykime, kiek kilogramų vario bus 4 kg naujojo sidabro. Teigiama, kad santykiu 3:4:13 trylikoje lydinio dalių yra vario. Todėl 0,2 padauginame iš 13:

0,2 kg × 13 = 2,6 kg vario

Taigi, norint gauti 4 kg naujo sidabro, reikia paimti 0,6 kg nikelio, 0,8 kg cinko ir 2,6 kg vario.

3 pavyzdys. Žalvaris yra vario ir cinko lydinys, kurio masės santykis yra 3:2. Žalvario gabalėliui pagaminti reikia 120 g vario. Kiek cinko reikia šiam žalvario gabalui pagaminti?

Nustatykime, kiek gramų lydinio patenka ant vienos dalies. Sąlyga sako, kad žalvario gabalui pagaminti reikia 120 g vario. Taip pat teigiama, kad trijose lydinio dalyse yra vario. Jei 120 padalinsime iš 3, sužinosime, kiek gramų lydinio yra vienoje dalyje:

120: 3 = 40 gramų viename gabale

Dabar nustatykime, kiek cinko reikia žalvario gabalui pagaminti. Norėdami tai padaryti, 40 gramų padauginame iš 2, nes santykiu 3: 2 nurodoma, kad dvi dalys yra cinko:

40 g × 2 = 80 gramų cinko

4 pavyzdys. Jie paėmė du aukso ir sidabro lydinius. Viename šių metalų santykis yra 1:9, o kitame 2:3. Kiek reikia paimti kiekvieno lydinio, kad gautume 15 kg naujo lydinio, kuriame auksas ir sidabras būtų susiję santykiu 1:4?

Sprendimas

15 kg naujo lydinio turi būti santykiu 1: 4. Šis santykis rodo, kad vienoje lydinio dalyje bus aukso, o keturiose – sidabro. Iš viso yra penkios dalys. Schematiškai tai galima pavaizduoti taip

Nustatykime vienos dalies masę. Norėdami tai padaryti, pirmiausia sudėkite visas dalis (1 ir 4), tada padalinkite lydinio masę iš šių dalių skaičiaus

1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg

Vienos lydinio dalies masė bus 3 kg. Tada 15 kg naujo lydinio bus 3 × 1 = 3 kg aukso ir 3 × 4 = 12 kg sidabro.

Todėl, norint gauti 15 kg sveriantį lydinį, mums reikia 3 kg aukso ir 12 kg sidabro.

Dabar atsakykime į užduoties klausimą - " Kiek paimti kiekvieną lydinį? »

Mes paimsime 10 kg pirmojo lydinio, nes aukso ir sidabro santykis jame yra 1: 9. Tai yra, šis pirmasis lydinys duos 1 kg aukso ir 9 kg sidabro.

Mes imsime 5 kg antrojo lydinio, nes aukso ir sidabro santykis yra 2: 3. Tai yra, šis antrasis lydinys duos 2 kg aukso ir 3 kg sidabro.

Ar patiko pamoka?
Prisijunkite prie mūsų naujos Vkontakte grupės ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas