Aštuntoje klasėje mokiniai supažindinami su kvadratinėmis lygtimis ir kaip jas spręsti. Tuo pačiu metu, kaip rodo patirtis, dauguma studentų, spręsdami visas kvadratines lygtis, naudoja tik vieną metodą - kvadratinės lygties šaknų formulę. Studentams, turintiems gerus skaičiavimo žodžiu įgūdžius, šis metodas yra aiškiai neracionalus. Mokiniams vidurinėje mokykloje dažnai tenka spręsti kvadratines lygtis, o ten tiesiog gaila skirti laiko skaičiuojant diskriminantą. Mano nuomone, studijuojant kvadratines lygtis, daugiau laiko ir dėmesio reikėtų skirti Vietos teoremos taikymui (pagal A.G. Mordkovičiaus Algebra-8 programą temos „Vietos teorema. Dekompozicija kvadratinį trinarį į tiesinius veiksnius).

Daugumoje algebros vadovėlių ši teorema suformuluota sumažintai kvadratinei lygčiai ir sako, kad jei lygtis turi šaknis ir , tada jie tenkina lygybes , . Tada suformuluojamas teiginys, priešingas Vietos teoremai, ir siūloma nemažai pavyzdžių, kaip dirbti šia tema.

Paimkime konkrečius pavyzdžius ir, naudodami Vietos teoremą, atsekime jų sprendimo logiką.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

Tarkime, kad ši lygtis turi šaknis, būtent ir . Tada, pagal Vietos teoremą, lygybės

Atkreipkite dėmesį, kad šaknų sandauga yra teigiamas skaičius. Taigi, lygties šaknys turi tą patį ženklą. Ir kadangi šaknų suma taip pat yra teigiamas skaičius, darome išvadą, kad abi lygties šaknys yra teigiamos. Grįžkime prie šaknų produkto. Tarkime, kad lygties šaknys yra teigiami sveikieji skaičiai. Tada teisingą pirmąją lygybę galima gauti tik dviem būdais (iki veiksnių eilės): arba . Siūlomoms skaičių poroms patikrinkime Vieta teoremos antrojo teiginio įgyvendinamumą: . Taigi, skaičiai 2 ir 3 tenkina abi lygybes, taigi yra pateiktos lygties šaknys.

Atsakymas: 2; 3.

Išskiriame pagrindinius samprotavimo etapus, kai sprendžiame pateiktą kvadratinę lygtį naudojant Vieta teoremą:

užrašykite Vietos teoremos teiginį

(*)

• nustatyti lygties šaknų požymius (Jei sandauga ir šaknų suma yra teigiami, tai abi šaknys yra teigiami skaičiai. Jei šaknų sandauga yra teigiamas skaičius, o šaknų suma yra neigiama, tada abi šaknys yra neigiami skaičiai. Jei šaknų sandauga yra neigiamas skaičius, tada šaknys turi skirtingus ženklus. Be to, jei šaknų suma yra teigiama, tada šaknis su didesniu moduliu yra teigiamas skaičius, o jei šaknų suma yra mažesnė už nulį, tada šaknis su didesniu moduliu yra neigiamas skaičius);
• pasirinkti sveikųjų skaičių poras, kurių sandauga duoda teisingą pirmąją lygybę žymėjime (*);
• iš rastų skaičių porų pasirinkite porą, kurią pakeitus į antrąją lygybę žymėjime (*), bus gauta teisinga lygybė;
• atsakyme nurodykite rastas lygties šaknis.

Pateiksime dar keletą pavyzdžių.

2 pavyzdys: Išspręskite lygtį .

Sprendimas.

Tegu ir yra duotosios lygties šaknys. Tada pagal Vietos teoremą Atkreipkite dėmesį, kad sandauga yra teigiama, o suma yra neigiama. Taigi abi šaknys yra neigiami skaičiai. Parenkame porų faktorių, kurios duoda sandaugą 10 (-1 ir -10; -2 ir -5). Antroji skaičių pora sudaro -7. Taigi skaičiai -2 ir -5 yra šios lygties šaknys.

Atsakymas: -2; -5.

3 pavyzdys. Išspręskite lygtį .

Sprendimas.

Tegu ir yra duotosios lygties šaknys. Tada pagal Vietos teoremą Atkreipkite dėmesį, kad sandauga yra neigiama. Taigi šaknys yra skirtingų ženklų. Šaknų suma taip pat yra neigiamas skaičius. Vadinasi, šaknis su didžiausiu moduliu yra neigiama. Parenkame faktorių poras, kurios gaminiui suteikia -10 (1 ir -10; 2 ir -5). Antroji skaičių pora sudaro -3. Taigi skaičiai 2 ir -5 yra šios lygties šaknys.

Atsakymas: 2; -5.

Atkreipkite dėmesį, kad Vieta teorema iš esmės gali būti suformuluota visai kvadratinei lygčiai: jei kvadratinė lygtis turi šaknis ir , tada jie tenkina lygybes , . Tačiau šios teoremos taikymas yra gana problemiškas, nes pilnoje kvadratinėje lygtyje bent viena iš šaknų (jei yra, žinoma) yra trupmeninis skaičius. O darbas su frakcijų atranka yra ilgas ir sunkus. Bet vis tiek yra išeitis.

Apsvarstykite visą kvadratinę lygtį . Padauginkite abi lygties puses iš pirmojo koeficiento a ir parašykite lygtį į formą . Įvedame naują kintamąjį ir gauname sumažintą kvadratinę lygtį , kurios šaknis ir (jei yra) galima rasti naudojant Vieta teoremą. Tada pradinės lygties šaknys bus . Atkreipkite dėmesį, kad labai lengva parašyti pagalbinę sumažintą lygtį: antrasis koeficientas išsaugomas, o trečiasis koeficientas yra lygus sandaugai tūzas. Turėdami tam tikrą įgūdį, mokiniai nedelsdami sudaro pagalbinę lygtį, pagal Vietos teoremą suranda jos šaknis ir nurodo pateiktos pilnos lygties šaknis. Pateikime pavyzdžių.

4 pavyzdys. Išspręskite lygtį .

Sudarykime pagalbinę lygtį ir pagal Vietos teoremą randame jos šaknis. Taigi pradinės lygties šaknys .

Atsakymas: .

5 pavyzdys. Išspręskite lygtį .

Pagalbinė lygtis turi formą . Pagal Vietos teoremą jo šaknys yra . Mes randame pradinės lygties šaknis .

Atsakymas: .

Ir dar vienas atvejis, kai Vietos teoremos taikymas leidžia žodžiu rasti pilnos kvadratinės lygties šaknis. Tai lengva įrodyti skaičius 1 yra lygties šaknis , Jeigu, ir tik jeigu. Antroji lygties šaknis randama pagal Vieta teoremą ir yra lygi . Dar vienas teiginys: kad skaičius -1 būtų lygties šaknis būtinas ir pakankamas. Tada antroji lygties šaknis pagal Vietos teoremą yra lygi . Panašius teiginius galima suformuluoti ir sumažintai kvadratinei lygčiai.

6 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

Atkreipkite dėmesį, kad lygties koeficientų suma lygi nuliui. Taigi lygties šaknys .

Atsakymas: .

7 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

Šios lygties koeficientai tenkina savybę (iš tiesų, 1-(-999)+(-1000)=0). Taigi lygties šaknys .

Atsakymas: ..

Vietos teoremos taikymo pavyzdžiai

Užduotis 1. Išspręskite pateiktą kvadratinę lygtį naudodami Vietos teoremą.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

2 užduotis. Išspręskite pilną kvadratinę lygtį naudodami perėjimą į pagalbinę sumažintą kvadratinę lygtį.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

3 užduotis. Išspręskite kvadratinę lygtį naudodami savybę.

Kvadratinėse lygtyse yra daug ryšių. Pagrindiniai yra santykiai tarp šaknų ir koeficientų. Be to, daugelis ryšių veikia kvadratinėse lygtyse, kurias pateikia Vieta teorema.

Šioje temoje pristatome pačią Vietos teoremą ir jos įrodymą kvadratinei lygčiai, teoremą, priešingą Vietos teoremai, ir analizuojame daugybę problemų sprendimo pavyzdžių. Ypatingą dėmesį medžiagoje skirsime Vietos formulėms, kurios apibrėžia ryšį tarp algebrinės laipsnio lygties realiųjų šaknų. n ir jo koeficientai.

Vietos teoremos teiginys ir įrodymas

Kvadratinės lygties šaknų formulė a x 2 + b x + c = 0 formos x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, kur D = b 2 − 4 a c, nustato santykį x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. Tai patvirtina Vietos teorema.

1 teorema

Kvadratinėje lygtyje a x 2 + b x + c = 0, kur x 1 ir x2- šaknys, šaknų suma bus lygi koeficientų santykiui b ir a, kuris buvo paimtas su priešingu ženklu, o šaknų sandauga bus lygi koeficientų santykiui c ir a, t.y. x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.

1 įrodymas

Mes siūlome jums tokią įrodinėjimo schemą: paimame šaknų formulę, sudarome kvadratinės lygties šaknų sumą ir sandaugą ir transformuojame gautas išraiškas, kad įsitikintume, jog jos yra lygios -b a ir c a atitinkamai.

Sudarykite šaknų x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a sumą. Suveskime trupmenas į bendrą vardiklį - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Atverkime gautos trupmenos skaitiklio skliaustus ir suteikime panašius terminus: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Sumažinkite trupmeną: 2 - b a \u003d - b a.

Taigi mes įrodėme pirmąjį Vietos teoremos ryšį, kuris nurodo kvadratinės lygties šaknų sumą.

Dabar pereikime prie antrojo santykio.

Norėdami tai padaryti, turime sudaryti kvadratinės lygties šaknų sandaugą: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.

Prisiminkite trupmenų dauginimo taisyklę ir paskutinę sandaugą parašykite taip: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Mes atliksime skliaustą padauginsime iš skliausto trupmenos skaitiklyje arba naudosime kvadratų skirtumo formulę, kad šis sandauga būtų transformuota greičiau: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Naudokime kvadratinės šaknies apibrėžimą, kad atliktume tokį perėjimą: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formulė D = b 2 − 4 a c atitinka kvadratinės lygties diskriminantą, todėl į trupmeną, o ne D galima pakeisti b 2 – 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Atidarykime skliaustus, duokime panašius terminus ir gaukime: 4 · a · c 4 · a 2 . Jei sutrumpinsime iki 4 a, tada lieka c a. Taigi mes įrodėme antrąjį Vietos teoremos ryšį su šaknų sandauga.

Vietos teoremos įrodymo įrašas gali turėti labai glaustą formą, jei praleisime paaiškinimus:

x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 a c = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Kai kvadratinės lygties diskriminantas yra lygus nuliui, lygtis turės tik vieną šaknį. Kad tokiai lygčiai būtų galima pritaikyti Vietos teoremą, galime daryti prielaidą, kad lygtis su nuliui lygiu diskriminantu turi dvi vienodas šaknis. Iš tiesų, pas D=0 kvadratinės lygties šaknis yra: - b 2 a, tada x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a ir x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2, o kadangi D \u003d 0, tai yra, b 2 - 4 a c = 0, iš kur b 2 = 4 a c, tada b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Dažniausiai praktikoje Vieta teorema taikoma redukuotos formos kvadratinei lygčiai. x 2 + p x + q = 0, kur pagrindinis koeficientas a yra lygus 1 . Šiuo atžvilgiu Vietos teorema suformuluota būtent tokio tipo lygtims. Tai neriboja bendrumo dėl to, kad bet kurią kvadratinę lygtį galima pakeisti lygiaverte lygtimi. Norėdami tai padaryti, reikia padalyti abi jo dalis iš skaičiaus a, kuris skiriasi nuo nulio.

Pateikiame dar vieną Vietos teoremos formuluotę.

2 teorema

Šaknų suma duotoje kvadratinėje lygtyje x 2 + p x + q = 0 bus lygus koeficientui ties x, kuris imamas su priešingu ženklu, šaknų sandauga bus lygi laisvajam nariui, t.y. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.

Teorema atvirkštinė Vietos teoremai

Jei atidžiai pažvelgsite į antrąją Vietos teoremos formuluotę, pamatysite, kad tai yra šaknys x 1 ir x2 redukuota kvadratinė lygtis x 2 + p x + q = 0 galios ryšiai x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q. Iš šių santykių x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, išplaukia, kad x 1 ir x2 yra kvadratinės lygties šaknys x 2 + p x + q = 0. Taigi gauname teiginį, kuris yra atvirkštinis Vietos teoremai.

Dabar siūlome šį teiginį įforminti kaip teoremą ir atlikti jo įrodymą.

3 teorema

Jei skaičiai x 1 ir x2 yra tokie x 1 + x 2 = − p ir x 1 x 2 = q, tada x 1 ir x2 yra redukuotos kvadratinės lygties šaknys x 2 + p x + q = 0.

2 įrodymas

Koeficientų pasikeitimas p ir qį jų išraišką per x 1 ir x2 leidžia transformuoti lygtį x 2 + p x + q = 0 ekvivalentu .

Jei gautą lygtį pakeisime skaičių x 1 vietoj x, tada gauname lygybę x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Ši lygybė bet kuriai x 1 ir x2 virsta tikra skaitine lygybe 0 = 0 , nes x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Tai reiškia kad x 1- lygties šaknis x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, ir ką x 1 taip pat yra lygiavertės lygties šaknis x 2 + p x + q = 0.

Lygčių pakeitimas x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numeriai x2 vietoj x leidžia gauti lygybę x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Ši lygybė gali būti laikoma tiesa, nes x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Paaiškėjo, kad x2 yra lygties šaknis x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, taigi ir lygtys x 2 + p x + q = 0.

Įrodyta teorema, priešinga Vietos teoremai.

Vietos teoremos panaudojimo pavyzdžiai

Dabar pereikime prie tipiškiausių šios temos pavyzdžių analizės. Pradėkime nuo problemų, kurioms reikia taikyti teoremą, priešingą Vietos teoremą, analizę. Jis gali būti naudojamas norint patikrinti skaičiavimo metu gautus skaičius, ar jie yra duotosios kvadratinės lygties šaknys. Norėdami tai padaryti, turite apskaičiuoti jų sumą ir skirtumą, o tada patikrinti santykių x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c pagrįstumą.

Abiejų santykių išsipildymas rodo, kad skaičiavimų metu gauti skaičiai yra lygties šaknys. Jei matome, kad bent viena iš sąlygų netenkinama, tai šie skaičiai negali būti uždavinio sąlygoje pateiktos kvadratinės lygties šaknys.

1 pavyzdys

Kuri iš skaičių porų 1) x 1 = - 5, x 2 = 3 ar 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, ar 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 yra kvadratinės lygties šaknų pora 4 x 2 – 16 x + 9 = 0?

Sprendimas

Raskite kvadratinės lygties koeficientus 4 x 2 − 16 x + 9 = 0 . Tai yra a = 4, b = −16, c = 9. Pagal Vietos teoremą kvadratinės lygties šaknų suma turi būti lygi -b a, tai yra, 16 4 = 4 , o šaknų sandauga turi būti lygi c a, tai yra, 9 4 .

Patikrinkime gautus skaičius, apskaičiuodami skaičių sumą ir sandaugą iš trijų duotųjų porų ir palygindami su gautomis reikšmėmis.

Pirmuoju atveju x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Ši vertė skiriasi nuo 4 , todėl jums nereikia tęsti tikrinimo. Pagal teoremą, atvirkštinę Vietos teoremą, galime iš karto daryti išvadą, kad pirmoji skaičių pora nėra šios kvadratinės lygties šaknys.

Antruoju atveju x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Matome, kad pirmoji sąlyga įvykdyta. Tačiau antroji sąlyga nėra tokia: x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. Mūsų gauta vertė skiriasi nuo 9 4 . Tai reiškia, kad antroji skaičių pora nėra kvadratinės lygties šaknys.

Pereikime prie trečios poros. Čia x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 ir x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Abi sąlygos tenkinamos, vadinasi x 1 ir x2 yra duotosios kvadratinės lygties šaknys.

Atsakymas: x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2

Norėdami rasti kvadratinės lygties šaknis, taip pat galime naudoti atvirkštinę Vietos teoremą. Lengviausias būdas yra pasirinkti sveikąsias duotų kvadratinių lygčių šaknis su sveikaisiais koeficientais. Taip pat gali būti svarstomos kitos galimybės. Tačiau tai gali labai apsunkinti skaičiavimus.

Šaknims parinkti pasitelkiame tai, kad jei dviejų skaičių suma lygi antrajam kvadratinės lygties koeficientui, paimtam su minuso ženklu, o šių skaičių sandauga lygi laisvajam nariui, tai šie skaičiai yra šios kvadratinės lygties šaknys.

2 pavyzdys

Kaip pavyzdį naudojame kvadratinę lygtį x 2 − 5 x + 6 = 0. Skaičiai x 1 ir x2 gali būti šios lygties šaknys, jei tenkinamos dvi lygybės x1 + x2 = 5 ir x 1 x 2 = 6. Išsirinkime tuos skaičius. Tai yra skaičiai 2 ir 3, nes 2 + 3 = 5 ir 2 3 = 6. Pasirodo, 2 ir 3 yra šios kvadratinės lygties šaknys.

Vietos teoremos atvirkštinė formulė gali būti naudojama norint rasti antrąją šaknį, kai pirmoji yra žinoma arba akivaizdi. Tam galime naudoti santykius x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .

3 pavyzdys

Apsvarstykite kvadratinę lygtį 512 x 2 – 509 x – 3 = 0. Turime rasti šios lygties šaknis.

Sprendimas

Pirmoji lygties šaknis yra 1, nes šios kvadratinės lygties koeficientų suma lygi nuliui. Paaiškėjo, kad x 1 = 1.

Dabar suraskime antrąją šaknį. Norėdami tai padaryti, galite naudoti santykį x 1 x 2 = c a. Paaiškėjo, kad 1 x 2 = – 3 512, kur x 2 \u003d - 3 512.

Atsakymas: uždavinio sąlygoje nurodytos kvadratinės lygties šaknys 1 ir - 3 512 .

Tik paprastais atvejais galima pasirinkti šaknis naudojant teoremą, priešingą Vietos teoremai. Kitais atvejais geriau ieškoti naudojant kvadratinės lygties šaknų formulę per diskriminantą.

Dėka atvirkštinės Vietos teoremos, mes taip pat galime sudaryti kvadratines lygtis, atsižvelgiant į šaknis x 1 ir x2. Norėdami tai padaryti, turime apskaičiuoti šaknų sumą, kuri suteikia koeficientą ties x su priešingu redukuotos kvadratinės lygties ženklu ir šaknų sandauga, kuri suteikia laisvąjį terminą.

4 pavyzdys

Parašykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra skaičiai − 11 ir 23 .

Sprendimas

Priimkime tai x 1 = −11 ir x2 = 23. Šių skaičių suma ir sandauga bus lygios: x1 + x2 = 12 ir x 1 x 2 = – 253. Tai reiškia, kad antrasis koeficientas yra 12, laisvas terminas − 253.

Sudarome lygtį: x 2 – 12 x – 253 = 0.

Atsakymas: x 2 - 12 x - 253 = 0 .

Vietos teoremą galime panaudoti spręsti uždavinius, susijusius su kvadratinių lygčių šaknų ženklais. Ryšys tarp Vietos teoremos yra susijęs su redukuotos kvadratinės lygties šaknų ženklais x 2 + p x + q = 0 tokiu būdu:

• jei kvadratinė lygtis turi realiąsias šaknis ir jei laisvasis narys q yra teigiamas skaičius, tada šios šaknys turės tą patį ženklą „+“ arba „-“;
• jei kvadratinė lygtis turi šaknis ir jei laisvasis narys q yra neigiamas skaičius, tada viena šaknis bus „+“, o antroji „-“.

Abu šie teiginiai yra formulės pasekmė x 1 x 2 = q ir daugybos taisyklės teigiamiems ir neigiamiems skaičiams, taip pat skaičiams su skirtingais ženklais.

5 pavyzdys

Ar kvadratinės lygties šaknys x 2 – 64 x – 21 = 0 teigiamas?

Sprendimas

Pagal Vietos teoremą šios lygties šaknys negali būti abi teigiamos, nes jos turi tenkinti lygybę x 1 x 2 = – 21. Su pozityvu tai neįmanoma x 1 ir x2.

Atsakymas: Ne

6 pavyzdys

Kokiomis parametro reikšmėmis r kvadratinė lygtis x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 turės dvi tikras šaknis su skirtingais ženklais.

Sprendimas

Pradėkime nuo ko verčių r, kurio lygtis turi dvi šaknis. Raskime diskriminantą ir pažiūrėkime, už ką r tai imsis teigiamų vertybių. D = (r + 2) 2 - 4 1 (r - 1) = r 2 + 4 r + 4 - 4 r + 4 = r 2 + 8. Išraiškos reikšmė r2 + 8 teigiamas bet koks tikras r, todėl bet kurio realaus diskriminantas bus didesnis už nulį r. Tai reiškia, kad pradinė kvadratinė lygtis turės dvi bet kokių realių parametro verčių šaknis r.

Dabar pažiūrėkime, kada šaknys turės skirtingus ženklus. Tai įmanoma, jei jų produktas yra neigiamas. Pagal Vietos teoremą redukuotos kvadratinės lygties šaknų sandauga lygi laisvajam nariui. Taigi teisingas sprendimas yra šios vertės r, kurio laisvasis narys r − 1 yra neigiamas. Išsprendžiame tiesinę nelygybę r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Atsakymas: adresu r< 1 .

Vietos formulės

Yra keletas formulių, kurios yra taikomos atliekant operacijas su ne tik kvadratinių, bet ir kubinių bei kitų tipų lygčių šaknimis ir koeficientais. Jie vadinami Vietos formulėmis.

Dėl algebrinės laipsnio lygties n formos a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 lygtis laikoma turinčia n tikrosios šaknys x 1 , x 2 , … , x n, kuri gali apimti:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + . . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 x 2 x 3 . . . x n = (- 1) n a n a 0

1 apibrėžimas

Gaukite Vieta formules, kurios mums padės:

• teorema apie daugianario skaidymą į tiesinius veiksnius;
• lygių daugianario apibrėžimas per visų juos atitinkančių koeficientų lygybę.

Taigi, daugianario a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n ir jo išplėtimas į tiesinius veiksnius formos a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) yra lygūs.

Jei atidarysime skliaustus paskutiniame sandaugoje ir sulyginsime atitinkamus koeficientus, gausime Vietos formules. Paėmę n \u003d 2, galime gauti kvadratinės lygties Vietos formulę: x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.

2 apibrėžimas

Vietos formulė kubinei lygčiai:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Kairėje Vietos formulių pusėje yra vadinamieji elementarieji simetriniai daugianariai.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

François Vieta (1540-1603) - matematikas, garsiųjų Vietos formulių kūrėjas

Vietos teorema reikalingas norint greitai išspręsti kvadratines lygtis (paprastai tariant).

Išsamiau t Vietos teorema – tai šios kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, kuris imamas su priešingu ženklu, o sandauga lygi laisvajam nariui. Ši savybė turi bet kurią kvadratinę lygtį, kuri turi šaknis.

Naudodami Vietos teoremą galite nesunkiai išspręsti kvadratines lygtis pasirinkdami, todėl šiam matematikui su kardu rankose ištarkime „ačiū“ už mūsų laimingą 7 klasę.

Vietos teoremos įrodymas

Norėdami įrodyti teoremą, galite naudoti gerai žinomas šaknų formules, kurių dėka sudarysime kvadratinės lygties šaknų sumą ir sandaugą. Tik po to galime įsitikinti, kad jie yra lygūs ir, atitinkamai, .

Tarkime, kad turime lygtį: . Ši lygtis turi tokias šaknis: ir . Įrodykime, kad .

Pagal kvadratinės lygties šaknų formules:

1. Raskite šaknų sumą:

Išanalizuokime šią lygtį, nes ją gavome tiksliai taip:

= .

1 žingsnis. Sumažiname trupmenas iki bendro vardiklio, pasirodo:

= = .

2 žingsnis. Gavome trupmeną, kurioje reikia atidaryti skliaustus:

Sumažiname trupmeną 2 ir gauname:

Kvadratinės lygties šaknų sumos ryšį įrodėme naudodami Vietos teoremą.

2. Raskite šaknų sandaugą:

= = = = = .

Įrodykime šią lygtį:

1 žingsnis. Yra trupmenų dauginimo taisyklė, pagal kurią padauginame šią lygtį:

Dabar prisimename kvadratinės šaknies apibrėžimą ir apsvarstykite:

= .

3 veiksmas. Prisimename kvadratinės lygties diskriminantą: . Todėl vietoj D (diskriminantas) pakeičiame paskutinę trupmeną, tada gauname:

= .

4 veiksmas. Atidarykite skliaustus ir į trupmenas įtraukite panašius terminus:

5 veiksmas. Sumažiname „4a“ ir gauname.

Taigi mes įrodėme santykį su šaknų sandauga pagal Vietos teoremą.

SVARBU!Jei diskriminantas lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis turi tik vieną šaknį.

Teorema atvirkštinė Vietos teoremai

Pagal teoremą, atvirkštinę Vietos teoremą, galime patikrinti, ar mūsų lygtis teisingai išspręsta. Norėdami suprasti pačią teoremą, turime ją išsamiau apsvarstyti.

Jei skaičiai yra:

Ir tada jie yra kvadratinės lygties šaknys.

Vietos atvirkštinės teoremos įrodymas

1 žingsnis.Pakeiskime jo koeficientų išraiškas į lygtį:

2 žingsnisTransformuokime kairę lygties pusę:

3 veiksmas. Raskime lygties šaknis ir tam naudosime savybę, kad sandauga lygi nuliui:

Arba . Iš kur jis kilęs: arba.

Pavyzdžiai su sprendiniais pagal Vietos teoremą

1 pavyzdys

Pratimas

Raskite kvadratinės lygties šaknų sumą, sandaugą ir kvadratų sumą, nerasdami lygties šaknų.

Sprendimas

1 žingsnis. Prisiminkite diskriminanto formulę. Mes pakeičiame savo skaičius po raidėmis. Tai yra , yra , ir , pakaitalas. Tai reiškia:

Paaiškėja:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Šaknų kvadratų sumą išreiškiame per jų sumą ir sandaugą:

Atsakymas

7; 12; 25.

2 pavyzdys

Pratimas

Išspręskite lygtį. Šiuo atveju nenaudokite kvadratinės lygties formulių.

Sprendimas

Šios lygties šaknys yra didesnės už nulį diskriminanto (D) atžvilgiu. Atitinkamai, pagal Vietos teoremą, šios lygties šaknų suma yra 4, o sandauga yra 5. Pirmiausia nustatome skaičiaus daliklius, kurių suma lygi 4. Tai yra skaičiai „5“ ir "-1". Jų sandauga yra lygi - 5, o suma - 4. Vadinasi, pagal teoremą, Vietos teoremos atvirkštinį variantą, jie yra šios lygties šaknys.

Atsakymas

Ir 4 pavyzdys

Pratimas

Parašykite lygtį, kurioje kiekviena šaknis yra dvigubai didesnė už atitinkamą lygties šaknį:

Sprendimas

Pagal Vietos teoremą šios lygties šaknų suma yra 12, o sandauga = 7. Vadinasi, dvi šaknys yra teigiamos.

Naujos lygties šaknų suma bus lygi:

Ir darbas.

Pagal teoremą, priešingą Vietos teoremai, naujoji lygtis turi tokią formą:

Atsakymas

Rezultatas buvo lygtis, kurios kiekviena šaknis yra dvigubai didesnė:

Taigi, mes pažvelgėme į tai, kaip išspręsti lygtį naudojant Vietos teoremą. Šią teoremą labai patogu naudoti, jei sprendžiami uždaviniai, kurie siejami su kvadratinių lygčių šaknų ženklais. Tai yra, jei formulės laisvasis narys yra teigiamas skaičius, o kvadratinėje lygtyje yra tikrosios šaknys, tada jos gali būti neigiamos arba teigiamos.

Ir jei laisvasis narys yra neigiamas skaičius, o kvadratinėje lygtyje yra tikrosios šaknys, tada abu ženklai skirsis. Tai yra, jei viena šaknis yra teigiama, tai kita šaknis bus tik neigiama.

Naudingi šaltiniai:

1. Dorofejevas G. V., Suvorova S. B., Bunimovičius E. A. Algebra 8 klasė: Maskva „Apšvietimas“, 2016 – 318 p.
2. Rubin A. G., Chulkov P. V. - vadovėlis Algebra 8 klasė: Maskva "Balass", 2015 - 237 p.
3. Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. – Algebra 8 klasė: Maskva „Apšvietos“, 2014 – 300

Vietos teorema, atvirkštinė Vietos formulė ir pavyzdžiai su manekenų sprendimu atnaujinta: 2019 m. lapkričio 22 d.: Moksliniai straipsniai.Ru

Vietos teorema (tiksliau, teorema, atvirkštinė Vietos teoremai) leidžia sumažinti kvadratinių lygčių sprendimo laiką. Jums tereikia žinoti, kaip juo naudotis. Kaip išmokti išspręsti kvadratines lygtis naudojant Vietos teoremą? Tai lengva, jei šiek tiek pagalvoji.

Dabar kalbėsime tik apie redukuotos kvadratinės lygties sprendimą taikant Vietos teoremą Redukuotoji kvadratinė lygtis yra lygtis, kurioje a, tai yra koeficientas prieš x² yra lygus vienetui. Neduotos kvadratinės lygtys taip pat gali būti išspręstos naudojant Vieta teoremą, tačiau ten jau bent viena iš šaknų nėra sveikasis skaičius. Juos sunkiau atspėti.

Teorema, atvirkštinė Vietos teoremai, sako: jei skaičiai x1 ir x2 yra tokie, kad

tada x1 ir x2 yra kvadratinės lygties šaknys

Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant Vieta teoremą, galimi tik 4 variantai. Jei prisimenate samprotavimo eigą, galite labai greitai išmokti rasti visas šaknis.

I. Jei q yra teigiamas skaičius,

tai reiškia, kad šaknys x1 ir x2 yra to paties ženklo skaičiai (nes tik padauginus skaičius su tais pačiais ženklais gaunamas teigiamas skaičius).

I.a. Jei -p yra teigiamas skaičius, (atitinkamai p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Jei -p yra neigiamas skaičius, (atitinkamai p>0), tada abi šaknys yra neigiami skaičiai (sudėjo to paties ženklo skaičius, gavo neigiamą skaičių).

II. Jei q yra neigiamas skaičius,

tai reiškia, kad šaknys x1 ir x2 turi skirtingus ženklus (dauginant skaičius, neigiamas skaičius gaunamas tik tada, kai faktorių ženklai skiriasi). Šiuo atveju x1 + x2 jau ne suma, o skirtumas (juk sudėjus skaičius su skirtingais ženklais, iš didesnio modulio atimame mažesnį). Todėl x1 + x2 rodo, kiek skiriasi šaknys x1 ir x2, tai yra, kiek viena šaknis yra daugiau už kitą (modulo).

II.a. Jei -p yra teigiamas skaičius, (t.y. p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Jei -p yra neigiamas skaičius, (p>0), tada didesnė (modulio) šaknis yra neigiamas skaičius.

Apsvarstykite kvadratinių lygčių sprendimą pagal Vietos teoremą naudodami pavyzdžius.

Išspręskite pateiktą kvadratinę lygtį naudodami Vietos teoremą:

Čia q=12>0, taigi šaknys x1 ir x2 yra to paties ženklo skaičiai. Jų suma yra -p=7>0, todėl abi šaknys yra teigiami skaičiai. Mes pasirenkame sveikuosius skaičius, kurių sandauga yra 12. Tai yra 1 ir 12, 2 ir 6, 3 ir 4. Poros 3 ir 4 suma yra 7. Vadinasi, 3 ir 4 yra lygties šaknys.

Šiame pavyzdyje q=16>0, o tai reiškia, kad šaknys x1 ir x2 yra to paties ženklo skaičiai. Jų suma -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Čia q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, tada didesnis skaičius yra teigiamas. Taigi šaknys yra 5 ir -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Tarp kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų, be šaknies formulių, yra ir kitų naudingų ryšių, kuriuos pateikia Vietos teorema. Šiame straipsnyje pateiksime kvadratinės lygties Vietos teoremos formuluotę ir įrodymą. Toliau nagrinėjame teoremą, priešingą Vietos teoremai. Po to analizuosime charakteringiausių pavyzdžių sprendinius. Galiausiai užrašome Vietos formules, kurios apibrėžia ryšį tarp tikrųjų šaknų algebrinė lygtis n laipsnis ir jo koeficientai.

Puslapio naršymas.

Vietos teorema, formuluotė, įrodymas

Iš kvadratinės lygties a x 2 +b x+c=0 formos šaknų formulių, kur D=b 2 −4 a c , ryšiai x 1 +x 2 = -b/a, x 1 x 2 = c/a . Šie rezultatai patvirtinami Vietos teorema:

Teorema.

Jeigu x 1 ir x 2 yra kvadratinės lygties a x 2 +b x+c=0 šaknys, tada šaknų suma lygi koeficientų b ir a santykiui, paimtam su priešingu ženklu, ir sandauga šaknys yra lygios koeficientų c ir a santykiui, tai yra.

Įrodymas.

Vietos teoremą įrodysime pagal tokią schemą: kvadratinės lygties šaknų sumą ir sandaugą sudarysime naudodami žinomas šaknies formules, tada gautas išraiškas transformuosime ir įsitikinsime, kad jos lygios −b /a ir c/a atitinkamai.

Pradėkime nuo šaknų sumos, sudarykime ją. Dabar mes suvedame trupmenas į bendrą vardiklį, turime. Gautos trupmenos skaitiklyje , po kurio : . Galiausiai po 2 gauname . Tai įrodo pirmąjį Vietos teoremos ryšį su kvadratinės lygties šaknų suma. Pereikime prie antrojo.

Sudarome kvadratinės lygties šaknų sandaugą:. Pagal trupmenų daugybos taisyklę, paskutinė sandauga gali būti rašoma kaip. Dabar skliaustą padauginame iš skaitiklio skliausto, bet greičiau sutraukti šį produktą kvadratų formulės skirtumas, Taigi. Tada, prisimindami , atliekame kitą perėjimą. O kadangi formulė D=b 2 −4 a·c atitinka kvadratinės lygties diskriminantą, tai b 2 −4·a·c vietoj D gali būti pakeista paskutine trupmena, gauname . Atidarę skliaustus ir sumažinę panašius terminus, gauname trupmeną , kurią sumažinus 4·a gaunama . Tai įrodo antrąjį Vietos teoremos santykį su šaknų sandauga.

Jei praleisime paaiškinimus, Vieta teoremos įrodymas bus glaustas:
,
.

Belieka tik pažymėti, kad kai diskriminantas yra lygus nuliui, kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. Tačiau jei darysime prielaidą, kad šiuo atveju lygtis turi dvi identiškas šaknis, tada galioja ir Vieta teoremos lygybės. Iš tiesų, kai D=0 kvadratinės lygties šaknis yra , tada ir , o kadangi D=0, tai yra b 2 −4·a·c=0 , iš kur b 2 =4·a·c , tada .

Praktikoje Vietos teorema dažniausiai naudojama redukcinei kvadratinei lygčiai (kurios didžiausias koeficientas a lygus 1 ), kurios formos x 2 +p·x+q=0 . Kartais jis suformuluojamas tik tokio tipo kvadratinėms lygtims, o tai neriboja bendrumo, nes bet kurią kvadratinę lygtį galima pakeisti lygiaverte lygtimi, padalijus abi jos dalis iš nulinio skaičiaus a. Čia yra atitinkama Vietos teoremos formuluotė:

Teorema.

Sumažintos kvadratinės lygties x 2 + p x + q \u003d 0 šaknų suma yra lygi koeficientui x, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra laisvasis narys, ty x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Teorema atvirkštinė Vietos teoremai

Antroji Vieta teoremos formuluotė, pateikta ankstesnėje pastraipoje, rodo, kad jei x 1 ir x 2 yra redukuotos kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknys, tada santykiai x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2 = q. Kita vertus, iš užrašytų ryšių x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q išplaukia, kad x 1 ir x 2 yra kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknys. Kitaip tariant, teiginys, priešingas Vietos teoremai, yra teisingas. Suformuluojame jį teoremos forma ir įrodome.

Teorema.

Jei skaičiai x 1 ir x 2 yra tokie, kad x 1 +x 2 =−p ir x 1 x 2 =q, tai x 1 ir x 2 yra sumažintos kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknys. .

Įrodymas.

Pakeitus koeficientus p ir q jų išraiškos lygtyje x 2 +p x+q=0 per x 1 ir x 2, ji paverčiama lygiaverte lygtimi.

Gautoje lygtyje vietoj x pakeičiame skaičių x 1, gauname lygybę x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, kuri bet kuriai x 1 ir x 2 yra teisinga skaitinė lygybė 0=0, nes x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Todėl x 1 yra lygties šaknis x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, o tai reiškia, kad x 1 yra lygiavertės lygties x 2 +p x+q=0 šaknis.

Jei lygtyje x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 vietoj x pakeiskite skaičių x 2, tada gausime lygybę x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Tai teisinga lygtis, nes x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Todėl x 2 taip pat yra lygties šaknis x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, taigi ir lygtys x 2 +p x+q=0 .

Tai užbaigia teoremos, priešingos Vietos teoremai, įrodymą.

Vietos teoremos panaudojimo pavyzdžiai

Atėjo laikas pakalbėti apie Vietos teoremos ir jos atvirkštinės teoremos praktinį taikymą. Šiame poskyryje panagrinėsime kelių tipiškiausių pavyzdžių sprendimus.

Pradedame taikydami teoremą, atvirkštinę Vietos teoremai. Patogu jį naudoti norint patikrinti, ar du skaičiai yra duotosios kvadratinės lygties šaknys. Tokiu atveju apskaičiuojama jų suma ir skirtumas, po to tikrinamas ryšių pagrįstumas. Jei tenkinami abu šie ryšiai, tai remiantis teorema, kuri yra atvirkštinė Vietos teoremai, daroma išvada, kad šie skaičiai yra lygties šaknys. Jei bent vienas iš santykių netenkinamas, tai šie skaičiai nėra kvadratinės lygties šaknys. Šis metodas gali būti naudojamas sprendžiant kvadratines lygtis rastoms šaknims patikrinti.

Pavyzdys.

Kuri iš skaičių porų 1) x 1 =−5, x 2 =3 arba 2), arba 3) yra kvadratinės lygties 4 x 2 −16 x+9=0 šaknų pora?

Sprendimas.

Duotos kvadratinės lygties 4 x 2 −16 x+9=0 koeficientai yra a=4 , b=−16 , c=9 . Pagal Vietos teoremą kvadratinės lygties šaknų suma turi būti lygi −b/a, tai yra 16/4=4, o šaknų sandauga turi būti lygi c/a, tai yra 9 /4.

Dabar apskaičiuokime skaičių sumą ir sandaugą kiekvienoje iš trijų nurodytų porų ir palyginkime jas su ką tik gautomis reikšmėmis.

Pirmuoju atveju turime x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Gauta reikšmė skiriasi nuo 4, todėl tolesnio patikrinimo atlikti negalima, tačiau pagal teoremą, atvirkštinę Vietos teoremą, galime iš karto daryti išvadą, kad pirmoji skaičių pora nėra duotosios kvadratinės lygties šaknų pora. .

Pereikime prie antrojo atvejo. Čia, tai yra, įvykdyta pirmoji sąlyga. Patikriname antrąją sąlygą: , gauta reikšmė skiriasi nuo 9/4 . Todėl antroji skaičių pora nėra kvadratinės lygties šaknų pora.

Lieka paskutinis atvejis. Čia ir. Tenkinamos abi sąlygos, todėl šie skaičiai x 1 ir x 2 yra duotosios kvadratinės lygties šaknys.

Atsakymas:

Teorema, atvirkštinė Vietos teorema, gali būti naudojama praktiškai kvadratinės lygties šaknims parinkti. Paprastai parenkamos sveikosios duotųjų kvadratinių lygčių šaknys su sveikaisiais koeficientais, nes kitais atvejais tai padaryti gana sunku. Tuo pačiu metu jie naudojasi tuo, kad jei dviejų skaičių suma yra lygi antrajam kvadratinės lygties koeficientui, paimtam su minuso ženklu, o šių skaičių sandauga yra lygi laisvajam nariui, tada šie skaičiai yra šios kvadratinės lygties šaknys. Panagrinėkime tai pavyzdžiu.

Paimkime kvadratinę lygtį x 2 −5 x+6=0 . Kad skaičiai x 1 ir x 2 būtų šios lygties šaknys, turi būti įvykdytos dvi lygybės x 1 +x 2 \u003d 5 ir x 1 x 2 \u003d 6. Belieka pasirinkti tokius skaičius. Šiuo atveju tai padaryti gana paprasta: tokie skaičiai yra 2 ir 3, nes 2+3=5 ir 2 3=6 . Taigi 2 ir 3 yra šios kvadratinės lygties šaknys.

Vietos teoremai atvirkštinė teorema ypač patogi norint rasti antrąją redukuotos kvadratinės lygties šaknį, kai viena iš šaknų jau žinoma arba akivaizdi. Šiuo atveju antroji šaknis randama iš bet kurio ryšio.

Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 512 x 2 −509 x−3=0 . Čia nesunku pastebėti, kad vienetas yra lygties šaknis, nes šios kvadratinės lygties koeficientų suma lygi nuliui. Taigi x 1 = 1. Antrąją šaknį x 2 galima rasti, pavyzdžiui, iš santykio x 1 x 2 =c/a. Turime 1 x 2 = −3/512 , iš kur x 2 = −3/512 . Taigi apibrėžėme abi kvadratinės lygties šaknis: 1 ir −3/512.

Akivaizdu, kad pasirinkti šaknis tikslinga tik pačiais paprasčiausiais atvejais. Kitais atvejais, norėdami rasti šaknis, per diskriminantą galite pritaikyti kvadratinės lygties šaknų formules.

Kitas praktinis teoremos pritaikymas, atvirkštinė Vietos teorema, yra kvadratinių lygčių sudarymas duotoms šaknims x 1 ir x 2. Tam pakanka apskaičiuoti šaknų sumą, kuri suteikia x koeficientą su priešingu duotosios kvadratinės lygties ženklu, ir šaknų sandaugą, kuri suteikia laisvąjį terminą.

Pavyzdys.

Parašykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra skaičiai –11 ir 23.

Sprendimas.

Pažymėkite x 1 =−11 ir x 2 =23 . Apskaičiuojame šių skaičių sumą ir sandaugą: x 1 + x 2 \u003d 12 ir x 1 x 2 \u003d −253. Todėl šie skaičiai yra duotosios kvadratinės lygties šaknys su antruoju koeficientu -12 ir laisvuoju nariu -253. Tai yra, x 2 −12·x−253=0 yra norima lygtis.

Atsakymas:

x 2 −12 x −253=0 .

Vietos teorema labai dažnai naudojama sprendžiant uždavinius, susijusius su kvadratinių lygčių šaknų ženklais. Kaip Vietos teorema susijusi su redukuotos kvadratinės lygties x 2 +p x+q=0 šaknų ženklais? Štai du svarbūs teiginiai:

• Jei laisvasis terminas q yra teigiamas skaičius ir jei kvadratinė lygtis turi realias šaknis, tada jie abu yra teigiami arba abu yra neigiami.
• Jei laisvasis narys q yra neigiamas skaičius, o kvadratinė lygtis turi realias šaknis, tai jų ženklai yra skirtingi, kitaip tariant, viena šaknis yra teigiama, o kita – neigiama.

Šie teiginiai išplaukia iš formulės x 1 x 2 =q, taip pat iš teigiamų, neigiamų skaičių ir skaičių su skirtingais ženklais dauginimo taisyklių. Apsvarstykite jų taikymo pavyzdžius.

Pavyzdys.

R yra teigiamas. Pagal diskriminanto formulę randame D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, raiškos r 2 reikšmę. +8 yra teigiamas bet kuriam realiam r , taigi D>0 bet kuriam realiam r . Todėl pradinė kvadratinė lygtis turi dvi šaknis bet kurioms tikrosioms parametro r reikšmėms.

Dabar išsiaiškinkime, kada šaknys turi skirtingus ženklus. Jei šaknų ženklai yra skirtingi, tai jų sandauga yra neigiama, o pagal Vietos teoremą duotosios kvadratinės lygties šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Todėl mus domina tos r reikšmės, kurių laisvasis terminas r−1 yra neigiamas. Taigi, norėdami rasti r reikšmes, kurios mus domina, turime išspręsti tiesinę nelygybę r−1<0 , откуда находим r<1 .

Atsakymas:

adresu r<1 .

Vietos formulės

Aukščiau kalbėjome apie Vietos teoremą kvadratinei lygčiai ir išanalizavome jos teigiamus ryšius. Tačiau yra formulių, jungiančių tikrąsias šaknis ir koeficientus ne tik kvadratinių lygčių, bet ir kubinių lygčių, keturkampių lygčių ir apskritai, algebrines lygtis laipsnis n. Jie vadinami Vietos formulės.

Formos n laipsnio algebrinei lygčiai rašome Vietos formules, tuo tarpu darome prielaidą, kad ji turi n realių šaknų x 1, x 2, ..., x n (tarp jų gali būti tokios pačios):

Gauti Vieta formules leidžia daugianario faktorizavimo teorema, taip pat lygių daugianario apibrėžimas per visų juos atitinkančių koeficientų lygybę. Taigi daugianomas ir jo plėtimas į formos tiesinius veiksnius yra lygūs. Atidarę skliaustus paskutiniame sandaugoje ir sulyginę atitinkamus koeficientus, gauname Vietos formules.

Visų pirma, kai n = 2, mes jau žinome kvadratinės lygties Vieta formules.

Kubinei lygčiai Vieta formulės turi formą

Belieka tik pastebėti, kad kairėje Vietos formulių pusėje yra vadinamosios elementarios simetriniai daugianariai.

Bibliografija.

• Algebra: vadovėlis 8 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai / [Yu. M. Koliaginas, M. V. Tkačiova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuninas]; red. A. B. Žižčenka. – 3 leidimas. - M.: Švietimas, 2010.- 368 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-022771-1.