Galima vaizduoti įvairius geometrinius objektus naudojant brėžinius ir kompiuterinę grafiką, naudojant izometrijos ir aksonometrijos principus. Kokia kiekvieno iš jų specifika?

Kas yra aksonometrija?

Pagal aksonometrinis arba aksonometrinė projekcija suprantama kaip tam tikrų geometrinių objektų grafinio atvaizdavimo būdas lygiagrečių projekcijų pagalba.

Aksonometrija

Šiuo atveju geometrinis objektas dažniausiai brėžiamas naudojant tam tikrą koordinačių sistemą – kad plokštuma, kurioje jis projektuojamas, neatitiktų kitų atitinkamos sistemos koordinačių plokštumos padėties. Pasirodo, objektas erdvėje rodomas per 2 projekcijas ir atrodo trimatis.

Tokiu atveju dėl to, kad objekto rodymo plokštuma nėra griežtai lygiagreti jokiai koordinačių sistemos ašiai, atskiri atitinkamo ekrano elementai gali būti iškraipyti – pagal vieną iš šių 3 principų.

Pirma, objektų rodymo elementų iškraipymas gali būti stebimas visose 3 sistemoje naudojamose ašyse, vienodais kiekiais. Šiuo atveju objekto izometrinė projekcija arba izometrija yra fiksuota.

Antra, elementų iškraipymas gali būti stebimas tik išilgai 2 ašių vienodais kiekiais. Šiuo atveju stebima dimetrinė projekcija.

Trečia, elementų iškraipymas gali būti nustatytas kaip skirtingas visose 3 ašyse. Šiuo atveju stebima trimetinė projekcija.

Taigi, panagrinėkime pirmojo tipo iškraipymų, susidarančių aksonometrijos rėmuose, specifiką.

Kas yra izometrija?

Taigi, izometrija- tai tam tikra aksonometrija, kuri stebima piešiant objektą, jei jo elementų iškraipymas išilgai visų 3 koordinačių ašių yra vienodas.

izometrija

Nagrinėjamas aksonometrinės projekcijos tipas aktyviai naudojamas pramoniniame projekte. Tai leidžia gerai matyti tam tikras piešinio detales. Izometrijos naudojimas taip pat plačiai paplitęs kuriant kompiuterinius žaidimus: naudojant atitinkamą projekcijos tipą, tampa įmanoma efektyviai atvaizduoti trimačius paveikslėlius.

Galima pastebėti, kad šiuolaikinės pramonės raidos srityje izometrija paprastai reiškia stačiakampę projekciją. Tačiau kartais jis taip pat gali būti pateiktas įstrižai.

Palyginimas

Pagrindinis skirtumas tarp izometrijos ir aksonometrijos yra tas, kad pirmasis terminas atitinka projekciją, kuri yra tik viena iš antrojo termino atmainų. Todėl izometrinė projekcija labai skiriasi nuo kitų aksonometrijos atmainų – dimetrijos ir trimetijos.

Aiškiau parodykime, kuo mažoje lentelėje skiriasi izometrija ir aksonometrija.

Stačiakampis izometrinis vaizdas.

Aksonometrinių ašių vieta parodyta paveikslėlyje. Visi trys ašys formuojasi tarpusavyje vienodi kampai in

120 0 . Ašis oz esantis vertikaliai.

Iškraipymo faktorius lygus visoms trims ašims 0,82 . Praktiškai stačiakampė izometrinė projekcija

Paprastai statomas nesumažinus matmenų išilgai ašių - visų dydžių, lygiagrečiai ašims, imami su koeficientu

Iškraipymas lygus vienetas.

Rezultatas yra vaizdas, panašus į tikslią projekciją, bet padidintas 1,22 karto. Paveikslėlyje parodyta

Elipsių ašių kryptys, vaizduojančios apskritimus, esančius plokštumose, lygiagrečiose koordinatei

Lėktuvai.

Didelis ašys AB yra statmenosį atitinkamą aksonometrinį kirvius. Mažas ašių CD

statmenai AB ir yra lygiagrečios atitinkamas aksonometrinis kirvius. Visos trys elipsės yra lygios.

Elipsės ašių matmenys skersmens atžvilgiu d apskritimai :

Statant tiksli projekcija su koeficientu iškraipymas 0,82 AB = d; CD = 0,58 d.

Statant nemažinant matmenų išilgai visų ašių AB = 1,22d; CD = 0,71 d.

Statybos pavyzdžiaiizometrinis ir dimetrinis pamatyti

Rutulio izometrija parodyta paveikslėlyje. Išorinis rutulio kontūras yra apskritimas. Statant tikslią

projekcijos R = d/2. Sukūrus iškraipymo koeficientą, sumažintą iki vieneto,R = 1,22 d/2.

d- rutulio skersmuo.

Statybos pavyzdžiaiizometrinis ir dimetrinis pamatyti

Pjūvių išritimas aksonometrijoje.

Sekcijų brūkšninės linijos taikomos lygiagrečiai vienai iš gulinčių kvadratų (pavaizduotų sąlygiškai) įstrižainių

atitinkamose koordinačių plokštumose. Sąlyginio kvadrato kraštinės yra lygiagrečios aksonometrinėms ašims.

Skirtingos tos pačios dalies dalys yra išbringuotos su nuolydžiu skirtingomis kryptimis.

Prailginimo linijos aksonometriniuose brėžiniuose nubrėžtos lygiagrečiai aksonometrinėms ašims. Matmenų linijos

Vykdoma lygiagrečiai išmatuotam segmentui.

Statybos pavyzdžiaiizometrinis ir dimetrinis pamatyti

aksonometrinis (Aksonometrija išvertus iš graikų kalbos („ahop“ – ašis; „metreo“ – aš matuoju) reiškia septynių matmenų vaizdą.) projekcijos yra vaizdai, gauti projektuojant figūrą (objektą) lygiagrečiais spinduliais kartu su koordinačių ašimis į savavališkai išdėstytą plokštumą, kuri vadinama "aksonometrinis"(ar paveikslėlį). Paprastai plokštuma (arba objektas) yra išdėstyta taip, kad objekto aksonometrinėje projekcijoje būtų matomos trys pusės: viršuje (arba apačioje), priekyje ir kairėje (arba dešinėje).
Pagrindinis aksonometrinių projekcijų pranašumas yra matomumas ir vaizduojamo objekto dydžio suvokimas, todėl jos naudojamos kaip iliustracija piešinyje, padedanti suprasti objekto konstrukcinę formą. On (270 pav.) rodo dalies aksonometrinės projekcijos gavimą.

Aksonometrinėse projekcijose priimami tokie žymėjimai: aksonometrinė plokštuma žymima P "; aksonometrinių koordinačių ašys - x", y", z"; aksonometrinės taškų A, B ir kt. projekcijos. yra žymimi A, B ir kt. Koordinačių pradžia pažymėta O“.
2. Aksonometrinių projekcijų tipai.
Priklausomai nuo išsikišančių spindulių krypties, aksonometrinės projekcijos skirstomos į: stačiakampes arba stačiakampes (projektuojantys spinduliai statmeni aksonometrinei plokštumai П ") ir pasvirusias (projektuojantys spinduliai yra pasvirę į aksonometrinę plokštumą).
Priklausomai nuo koordinačių ašių pokrypio į aksonometrinę plokštumą ir atitinkamai nuo atkarpų, turinčių koordinačių ašių kryptį, aksonometrinių projekcijų dydžio sumažinimo laipsnio (Žinoma, kad tiesios linijos atkarpa, pasvirusi į plokštumą, į ją projektuojama sumažinta; kuo didesnis pasvirimo kampas, tuo mažesnė atkarpos projekcija.), - visos aksonometrinės projekcijos skirstomos į tris pagrindinius tipus:
1) izometrinis, t.y. tas pats matmuo (z, x ir y ašys yra vienodai pasvirusios, todėl dydžio sumažinimas visų trijų ašių kryptimi yra vienodas);
2) dimetrinis, t.y., dvigubas matmuo (dvi koordinačių ašys turi vienodą nuolydį, o trečioji – skirtingą; todėl išilgai šių dviejų ašių dydžio sumažinimas bus vienodas, o išilgai trečios ašies skirsis);
3) trimetinis, t.y. trigubas matmuo (visos ašys turi skirtingą nuolydį, todėl matmenų sumažinimas visų trijų ašių kryptimi yra skirtingas).
Inžineriniame brėžinyje iš stačiakampių aksonometrinių projekcijų dažniausiai naudojamos izometrinės ir dimetrinės projekcijos, o iš įstrižų kampų - dimetrinė, kitaip vadinama priekine dimetrine projekcija.
Izometrinėje projekcijoje kampai tarp aksonometrinių ašių x", y" ir z" yra vienodi (kiekviena 120 °); z" ašis yra vertikaliai; todėl x" ir y" ašys yra pasvirusios į horizontalią liniją 30° kampu (271 pav., a).

Esant tokiai ašių pozicijai, visų ašių iškraipymo rodikliai yra vienodi ir lygūs 0,82.
Iškraipymo indikatorius yra atkarpos, turinčios bet kurios koordinačių ašies kryptį, aksonometrinės projekcijos dydžio ir tikrojo dydžio santykis. Pavyzdžiui, kai tikrasis dydis yra 100 mm ir iškraipymo koeficientas 0,82, aksonometrinės projekcijos dydis yra 100 × 0,82 = 82 mm.
Dimetrinėje projekcijoje kampas tarp aksonometrinių ašių z "ir x" yra 97 ° 10 ", o kampai tarp aksonometrinių ašių x" ir y ", taip pat z" ir y "yra vienodi, ty 131 ° 25" kiekvienas. Aksonometrinė ašis z" turi vertikalią padėtį, todėl x" ašis yra pasvirusi į horizontalią liniją 7 ° 10 ", o ašis y - 41 ° 25" kampu (271 pav., b).
Esant tokiam aksonometrinių ašių posvyriui, z" ir x" ašių iškraipymo indeksas yra 0,94, o y" ašių – 0,47.
Priekinėje dimetrinėje projekcijoje kampas tarp aksonometrinių ašių z "ir x" yra lygus 90°, o kampai tarp aksonometrinių ašių x "ir y", taip pat tarp aksonometrinių ašių z "ir y" yra tas pats, ty po 135 °. Ašis z" turi vertikalią padėtį, todėl x ašis" turės horizontalią padėtį, o y ašis" yra pasvirusi į horizontalią liniją 45° kampu (271 pav., c).
Iškraipymo rodikliai išilgai aksonometrinių x" ir z" ašių yra 1,0, o išilgai y" ašių – 0,5.
Tokia priekinė dimetrinė projekcija vadinama spintele; rekomenduojama naudoti, kai norima rodyti nekeičiant figūrų kontūrų, esančių plokštumose, lygiagrečiose frontalinei projekcijos plokštumai.
Norint palyginti vaizdus, ​​padarytus aksonometrinėse projekcijose, (272 pav.) rodomos skirtingos to paties kubo aksonometrinės projekcijos.

Siekiant supaprastinti iškraipymo rodiklių skaičiavimą, GOST 3453-59 rekomenduoja sudaryti izometrinę projekciją be redukavimo išilgai aksonometrinių ašių x ", y" ir z, o dimetrinę projekciją be sumažinimo išilgai aksonometrinių ašių x" ir y" ir su sumažinimas 0,5 išilgai aksonometrinės ašies y". Šiuo atveju vaizdas šiek tiek padidinamas, tačiau jo aiškumas nepablogėja.

Aksonometrinės projekcijos naudojamos įvairiems objektams vizualizuoti. Tema čia vaizduojama tokia, kokia ji matoma (tam tikru matymo kampu). Toks vaizdas atspindi visus tris erdvinius matmenis, todėl perskaityti aksonometrinį brėžinį dažniausiai nėra sunku.

Aksonometrinį brėžinį galima gauti naudojant tiek stačiakampę, tiek įstriąją projekciją. Objektas išdėstomas taip, kad trys pagrindinės jo matavimų kryptys (aukštis, plotis, ilgis) sutaptų su koordinačių ašimis ir kartu su jomis būtų projektuojamos į plokštumą. Projekcijos kryptis neturi sutapti su koordinačių ašių kryptimi, t.y., nė viena ašis nebus projektuojama į tašką. Tik šiuo atveju bus gautas vaizdinis visų trijų ašių vaizdas.

Norint gauti stačiakampes aksonometrines projekcijas, koordinačių ašys yra pakreiptos projekcijos plokštumos atžvilgiu R A kad jų kryptis nesutaptų su išsikišančių spindulių kryptimi. Naudodami įstrižąją projekciją galite keisti ir projekcijos kryptį, ir koordinačių ašių pokrypį projekcijos plokštumos atžvilgiu. Tokiu atveju koordinačių ašys, priklausomai nuo jų pasvirimo kampo į aksonometrinės projekcijos plokštumą ir projekcijos kryptį, bus projektuojamos skirtingais iškraipymo koeficientais. Atsižvelgiant į tai, bus gautos skirtingos aksonometrinės projekcijos, kurios skiriasi koordinačių ašių vieta. GOST 2.317-69 (ST SEV 1979-79) numatytos šios aksonometrinės projekcijos: stačiakampė izometrinė projekcija; stačiakampė dimetrinė projekcija; įstrižinė priekinė izometrinė projekcija; įstrižinė horizontali izometrinė projekcija; įstriža priekinė dimetrinė projekcija.

§ 26. STAČIAKAMPĖS AKSONOMETRINĖS IŠKIJOS

Izometrinė projekcija yra labai aiški ir plačiai naudojama praktikoje. Gaunant izometrinę projekciją koordinačių ašys pakreipiamos aksonometrinės projekcijos plokštumos atžvilgiu taip, kad jų pasvirimo kampas būtų vienodas (236 pav.). Šiuo atveju jie projektuojami su tuo pačiu iškraipymo koeficientu (0,82) ir tuo pačiu kampu vienas kito atžvilgiu (120°).

Praktikoje iškraipymo koeficientas išilgai ašių paprastai yra lygus vienetui, ty tikroji dydžio reikšmė atidedama. Vaizdas padidinamas 1,22 karto, tačiau tai neiškraipo formos ir neturi įtakos matomumui, o supaprastina konstrukciją.

Aksonometrinės ašys izometrijoje atliekamos pirmiausia sudarant kampus tarp ašių x, y ir z(120°) arba pasvirimo kampai X ir adresu iki horizontalios linijos (30°). Ašių konstrukcija izometrijoje su Kompaso naudojimas parodytas fig. 237 kur spindulys R paimtas savavališkai. Ant pav. 238 parodyta, kaip sukurti kirvius X ir adresu naudojant 30° kampo liestinę. nuo taško O- aksonometrinių ašių susikirtimo taškai nutiesia penkis vienodus savavališko ilgio segmentus į kairę arba į dešinę išilgai horizontalios tiesės ir, nubrėžę vertikalią liniją per paskutinę padalą, ant jos padėkite tris tuos pačius segmentus aukštyn ir žemyn. Sukonstruoti taškai sujungiami su tašku O ir gauti kirvius Oi ir OU.

Galima atidėti (statyti) matmenis ir matuoti aksonometrijoje tik išilgai ašių Oi, oi ir Ozas arba šioms ašims lygiagrečiose tiesėse.

Ant pav. 239 parodyta taško konstrukcija BET izometrijoje pagal stačiakampį brėžinį (239 pav., a). Taškas BET esantis lėktuve v. Norint sukonstruoti, pakanka pastatyti antrinę projekciją a“ taškais BET(239 pav., b) ant paviršiaus xOz pagal koordinates X A ir Z A . Taško vaizdas BET sutampa su jo antrine projekcija. Antrinės taško projekcijos yra jo stačiakampių projekcijų atvaizdai aksonometrijoje.

Ant pav. 240 parodyta taško B konstrukcija izometrijoje. Pirma, plokštumoje pastatyta antrinė taško B projekcija ho. Norėdami tai padaryti, nuo pradžios išilgai ašies Oi atidėti koordinatę X in(240 pav., b), gaukite antrinę taško projekciją b x. Nuo šio taško lygiagrečiai ašiai OU nubrėžkite liniją ir nubrėžkite joje koordinatę Y B .

Pastatytas taškas b aksonometrinėje plokštumoje bus antrinė taško projekcija AT. Braukimas iš taško b tiesi linija, lygiagreti Ozo ašiai, nustatykite koordinates Z B ir gauti tašką B, t. y. taško B aksonometrinį vaizdą. Taško B aksonometriją taip pat galima sudaryti iš antrinių projekcijų plokštumoje zОх arba zOy.

Stačiakampio formos dimetrija projekcija. Koordinačių ašys yra išdėstytos taip, kad dvi ašys Oi ir Ozas turėjo tą patį pasvirimo kampą ir buvo projektuojami su tuo pačiu iškraipymo koeficientu (0,94), o trečioji ašis OU būtų pakreiptas taip, kad projekcijos iškraipymo koeficientas būtų perpus mažesnis (0,47). Paprastai iškraipymo koeficientas išilgai ašių Oi ir Ozas imtasi lygus vienetui ir išilgai ašies OU- 0,5. Vaizdas padidinamas 1,06 karto, tačiau tai, kaip ir izometrijoje, neturi įtakos vaizdo aiškumui, o supaprastina konstrukciją. Ašių vieta stačiakampėje dimetrijoje parodyta fig. 241. Jie statomi atimant 7° 10" ir 41°25" kampus nuo horizontalios linijos išilgai transporterio arba atimant identiškus savavališko ilgio segmentus, kaip parodyta fig. 241. Sujunkite gautus taškus su tašku O. Statant stačiakampį dimetriją, reikia atsiminti, kad tikrieji matmenys nustatomi tik ant ašių Oi ir Ozas arba lygiagrečios linijos. Ašies matmenys OU ir lygiagrečiai jam klojamas su 0,5 iškraipymo koeficientu.

§ 27. ĮŽEMĖS AKONOMETRINĖS IŠKIŠČIOS

Priekinis izometrinis vaizdas. Aksonometrinių ašių vieta parodyta fig. 242. Pasvirimo kampas OUį horizontalę paprastai yra 45°, bet gali būti ir 30 arba 60°.

Horizontalus izometrinis vaizdas. Aksonometrinių ašių vieta parodyta fig. 243. Pasvirimo kampas OUį horizontalę paprastai yra 30°, bet gali būti ir 45 arba 60°. Šiuo atveju 90 ° kampas tarp ašių Oi ir OU turi būti išsaugotas.

Priekinės ir horizontalios įstrižos izometrinės projekcijos yra pastatytos be iškraipymų išilgai ašių Oi, oi ir Ozas.

Priekinė dimetrinė projekcija. Ašių vieta parodyta fig. 244. pav. 245 iliustruoja koordinačių ašių projekciją į aksonometrinę projekcijos plokštumą. Lėktuvas xOz lygiagrečiai plokštumai R. Leidžiama ašis OU brėžti 30 arba 60° kampu horizontaliai, iškraipymo koeficientą išilgai ašies Oi ir Ozas imtasi lygus 1, ir išilgai ašies OU- 0,5.

PLOKŠČIŲJŲ GEOMETRINŲ FIGŪRŲ KONSTRUKCIJA AKSONOMETRIJOJE

Daugelio geometrinių kūnų pagrindas yra plokščia geometrinė figūra: daugiakampis arba apskritimas. Norint sukurti geometrinį kūną aksonometrijoje, pirmiausia reikia mokėti sukurti jo pagrindą, tai yra, plokščią geometrinę figūrą. Pavyzdžiui, apsvarstykite plokščių figūrų konstravimą stačiakampėje izometrinėje ir dimetrinėje projekcijoje. Daugiakampių konstravimas aksonometrijoje gali būti atliekamas koordinačių metodu, kai kiekviena daugiakampio viršūnė statoma aksonometrijoje kaip atskiras taškas (taško konstravimas koordinačių metodu aptartas § 26), tada sukonstruoti taškai sujungtos tiesių linijų atkarpomis ir laužyta uždara linija gaunama daugiakampio pavidalu. Šią problemą galima išspręsti skirtingai. Taisyklingajame daugiakampyje statyba pradedama nuo simetrijos ašies, o netaisyklingame daugiakampyje nubrėžiama papildoma linija, kuri vadinama pagrindu, lygiagreti vienai iš stačiakampio brėžinio koordinačių ašių.

Instrukcija

Projektuojant į plokštumą natūralios koordinačių sistemos Oxyz aksonometrines projekcijas П’, gaunama aksonometrinė koordinačių sistema O’x’y’z’, o bet kurio taško projekcija yra aksonometrinė projekcija arba aksonometrija A’ ( 1). Jei taško A1 horizontaliąją projekciją perkelsime iš diagramos į naują sistemą, tai bus vadinamoji antrinė projekcija ir turės aksonometrines koordinates.

Aksonometrinių koordinačių ir natūralių iškraipymo išilgai ašių rodiklių santykis. Jie yra u, v, w, o kampai tarp aksonometrinių ašių yra atitinkamai α, β ir γ.
Yra įvairių aksonometrijos tipų. Mechaninėje inžinerijoje dažniau naudojama stačiakampė aksonometrija. Priklausomai nuo iškraipymo rodiklių u, v, w dydžio, stačiakampė aksonometrija skirstoma į tipus:

Izometrija – visų trijų ašių iškraipymo rodikliai yra lygūs vienas kitam u=v=w.
- dimetrija – iškraipymo rodikliai yra vienodi ant dviejų ašių u=w≠v.

Paprastai iškraipymo rodikliai u, v, w turi trupmenines reikšmes, tačiau norint supaprastinti konstrukcijas, naudojamos jų sumažintos reikšmės. Pavyzdžiui, izometrijoje pateiktos koordinatės yra lygios natūralioms.

Pavyzdys. Sukurkite prizmės stačiakampę izometrinę projekciją (2 pav.).
Sudėtinis prizmės brėžinys pateiktas xyz ašių sistemoje, pradžia yra taškas O.

Sukurkite aksonometrines ašis O'x'y'z'. Kampai tarp ašių α, β, γ yra 120⁰ (3 pav.).

Aksonometrinėse ašyse sukurkite antrinę prizmės projekciją. Tegul pradžios taškas O' ir z' ašis eina per pagrindinę prizmės z ašį. Perkelkite visus matmenis iš kompleksinio brėžinio į x'O'y' ašis be pakeitimų, nes iškraipymo koeficientai išilgai ašių yra lygūs 1.
Iš taško O atidėkite atkarpas O11₁ ir O₁4₁ išilgai x ašies. Pažymėkite taškus 1 'ir O', o y ašyje atidėkite atkarpą O₁A1. Gaukite taškus O', A'.

Sklype atkarpa 6₁5₁ yra lygiagreti x₁ ašiai, o tai reiškia, kad atkarpa 6'5' taip pat turėtų būti nubrėžta lygiagrečiai x' ašiai. Ant jo atidėkite atstumą A₁6₁ ir A₁5₁. Pažymėkite gautus taškus 6', 5' ir panašiai sukonstruokite jiems simetriškus taškus 2', 3'.

Nustatykite taškų 7' ir 8' padėtį, atidėdami matmenis 7₁A1. Taigi aksonometrinėje projekcijoje statoma antrinė prizmės pagrindo projekcija - 1 ', 2 ', ... 8 '. Iš kiekvieno taško nubrėžkite tiesias linijas, lygiagrečias Z ašiai. Šiose tiesiose linijose nubrėžkite kiekvieno taško aukštį nuo priekinės prizmės projekcijos diagramoje.
Iš taško 1' atidėkite 1₂92 atkarpą, o iš 2' ir 6' taškų - 2₂102 segmentą. Iš kitų taškų 3', 4' ir kt. atidėkite pažymėtą aukštį h. Sujungę visus sukonstruotus taškus, gaukite šios prizmės aksonometriją.