Pradinė geometrinė informacija

Atkarpos sąvoka, kaip ir taško, tiesės, spindulio ir kampo sąvoka, nurodo pradinę geometrinę informaciją. Geometrijos studijos prasideda nuo šių sąvokų.

Pagal "pradinę informaciją" paprastai suprantama kaip kažkas elementaraus ir paprasto. Supratus, galbūt taip ir yra. Nepaisant to, su tokiomis paprastomis sąvokomis susiduriama dažnai ir jos pasirodo reikalingos ne tik kasdieniame gyvenime, bet ir gamyboje, statybose ir kitose mūsų gyvenimo srityse.

Pradėkime nuo apibrėžimų.

1 apibrėžimas

Atkarpa yra tiesės dalis, kurią riboja du taškai (galai).

Jei atkarpos galai yra taškai $A$ ir $B$, tada suformuota atkarpa rašoma $AB$ arba $BA$. Tokiai atkarpai priklauso taškai $A$ ir $B$, taip pat visi tiesės taškai, esantys tarp šių taškų.

2 apibrėžimas

Atkarpos vidurio taškas yra atkarpos taškas, padalinantis jį į dvi lygias atkarpas.

Jei tai taškas $C$, tai $AC=CB$.

Segmentas matuojamas lyginant su tam tikru segmentu, imamu matavimo vienetu. Dažniausiai naudojamas centimetras. Jei centimetras tam tikrame segmente telpa tiksliai keturis kartus, tai reiškia, kad šio segmento ilgis yra lygus $4$ cm.

Pateikiame paprastą pastebėjimą. Jei taškas padalija atkarpą į dvi atkarpas, tai visos atkarpos ilgis lygus šių atkarpų ilgių sumai.

Atkarpos vidurio taško koordinatės nustatymo formulė

Atkarpos vidurio taško koordinatės nustatymo formulė nurodo analitinės geometrijos eigą plokštumoje.

Apibrėžkime koordinates.

3 apibrėžimas

Koordinatės yra apibrėžti (arba išdėstyti) skaičiai, nurodantys taško padėtį plokštumoje, paviršiuje arba erdvėje.

Mūsų atveju koordinatės pažymėtos koordinačių ašimis apibrėžtoje plokštumoje.

3 pav. Koordinačių plokštuma. Autorius24 – internetinis keitimasis studentų darbais

Apibūdinkime paveikslėlį. Plokštumoje pasirenkamas taškas, vadinamas koordinačių pradžia. Jis žymimas raide $O$. Per koordinačių pradžią brėžiamos dvi tiesios linijos (koordinačių ašys), susikertančios stačiu kampu, viena iš jų yra griežtai horizontali, o kita vertikali. Ši situacija laikoma normalia. Horizontali linija vadinama abscisių ašimi ir žymima $OX$, vertikali linija vadinama ordinačių ašimi $OY$.

Taigi ašys apibrėžia $XOY$ plokštumą.

Tokios sistemos taškų koordinatės nustatomos dviem skaičiais.

Yra įvairių formulių (lygčių), kurios nustato tam tikras koordinates. Dažniausiai analitinės geometrijos metu tiria įvairias formules tiesėms, kampams, atkarpos ilgiams ir kt.

Pereikime tiesiai prie atkarpos vidurio koordinatės formulės.

4 apibrėžimas

Jei taško $E(x,y)$ koordinatės yra atkarpos $M_1M_2$ vidurio taškas, tada:

4 pav. Atkarpos vidurio koordinatės radimo formulė. Autorius24 – internetinis keitimasis studentų darbais

Praktinė dalis

Pavyzdžiai iš mokyklos geometrijos kurso yra gana paprasti. Pažvelkime į keletą pagrindinių.

Norėdami geriau suprasti, pradėkime nuo elementaraus iliustracinio pavyzdžio.

1 pavyzdys

Turime piešinį:

Paveiksle segmentai $AC, CD, DE, EB$ yra lygūs.

1. Kurių atkarpų vidurio taškas yra $D$?
2. Kuris taškas yra atkarpos $DB$ vidurio taškas?

1. taškas $D$ yra atkarpų $AB$ ir $CE$ vidurio taškas;
2. taškas $E$.

Apsvarstykime kitą paprastą pavyzdį, kuriame turime apskaičiuoti ilgį.

2 pavyzdys

Taškas $B$ yra atkarpos $AC$ vidurio taškas. $AB = 9$ cm Koks yra $AC$ ilgis?

Kadangi m. $B$ dalija $AC$, tai $AB = BC= 9$ cm. Taigi $AC = 9+9=18$ cm.

Atsakymas: 18 cm.

Kiti panašūs pavyzdžiai paprastai yra identiški ir orientuoti į galimybę palyginti ilgio reikšmes ir jų atvaizdavimą su algebrinėmis operacijomis. Dažnai užduotyse pasitaiko atvejų, kai centimetras į segmentą netelpa lyginį skaičių kartų. Tada matavimo vienetas padalinamas į lygias dalis. Mūsų atveju centimetras yra padalintas į 10 milimetrų. Atskirai išmatuokite likusią dalį, palygindami su milimetru. Pateiksime pavyzdį, rodantį tokį atvejį.

Kaip rasti atkarpos vidurio taško koordinates
Pirmiausia išsiaiškinkime, kas yra segmento vidurys.
Atkarpos vidurio tašku laikomas taškas, priklausantis šiai atkarpai ir esantis tokiu pat atstumu nuo jos galų.

Tokio taško koordinates nesunku rasti, jei žinomos šios atkarpos galų koordinatės. Šiuo atveju atkarpos vidurio koordinatės bus lygios pusei atitinkamų atkarpos galų koordinačių sumos.
Atkarpos vidurio taško koordinatės dažnai randamos sprendžiant uždavinius vidurinėje, vidurio linijoje ir kt.
Apsvarstykite atkarpos vidurio koordinačių skaičiavimą dviem atvejais: kai atkarpa pateikta plokštumoje ir erdvėje.
Tegul atkarpa plokštumoje pateikiama dviem taškais su koordinatėmis ir . Tada PH segmento vidurio koordinatės apskaičiuojamos pagal formulę:

Tegul atkarpą erdvėje pateikia du taškai su koordinatėmis ir . Tada PH segmento vidurio koordinatės apskaičiuojamos pagal formulę:

Pavyzdys.
Raskite taško K – MO vidurio koordinates, jei M (-1; 6) ir O (8; 5).

Sprendimas.
Kadangi taškai turi dvi koordinates, tai reiškia, kad atkarpa pateikta plokštumoje. Mes naudojame atitinkamas formules:

Vadinasi, MO vidurys turės koordinates K (3.5; 5.5).

Atsakymas. K (3,5; 5,5).

Po kruopštaus darbo staiga pastebėjau, kad interneto puslapių dydžiai yra gana dideli, o jei taip tęsis, galite tyliai taikiai tapti žiauriu =) Todėl jūsų dėmesiui atkreipiu nedidelį rašinį apie labai dažną geometrinę problemą - dėl segmento padalijimo šiuo atžvilgiu ir, kaip ypatingu atveju, apie segmento padalijimą per pusę.

Ši užduotis dėl vienokių ar kitokių priežasčių netilpo į kitas pamokas, tačiau dabar yra puiki galimybė ją išsamiai ir lėtai apsvarstyti. Geros naujienos yra tai, kad šiek tiek pailsėsime nuo vektorių ir sutelksime dėmesį į taškus ir linijų segmentus.

Skyrių padalijimo formulės šiuo atžvilgiu

Segmentų padalijimo samprata šiuo atžvilgiu

Dažnai visai nereikia laukti to, kas buvo pažadėta, iš karto apsvarstysime keletą punktų ir, aišku, neįtikėtiną, segmentą:

Nagrinėjama problema galioja tiek plokštumos, tiek erdvės segmentams. Tai yra, demonstracinis segmentas gali būti bet kokiu būdu išdėstytas plokštumoje arba erdvėje. Kad būtų lengviau paaiškinti, nupiešiau jį horizontaliai.

Ką darysime su šiuo segmentu? Mačiau šį kartą. Kažkas pjausto biudžetą, kažkas pjausto sutuoktinį, kažkas pjauna malkas, ir mes pradėsime pjauti segmentą į dvi dalis. Segmentas yra padalintas į dvi dalis naudojant tam tikrą tašką, kuris, žinoma, yra tiesiai ant jo:

Šiame pavyzdyje taškas padalija atkarpą taip, kad atkarpa būtų du kartus trumpesnė už atkarpą . TIK galime teigti, kad taškas padalija atkarpą santykyje („vienas su dviem“), skaičiuojant nuo viršaus.

Sausa matematine kalba šis faktas rašomas taip: , arba dažniau pažįstamos proporcijos forma: . Atkarpų santykis dažniausiai žymimas graikiška raide „lambda“, šiuo atveju: .

Nesunku sudaryti proporciją kita tvarka: - šis įrašas reiškia, kad segmentas yra dvigubai ilgesnis už segmentą, tačiau tai neturi esminės reikšmės problemų sprendimui. Gali būti ir taip, ir gali būti taip.

Žinoma, segmentą nesunku suskirstyti ir kitais atžvilgiais, o kaip koncepcijos pastiprinimą – antras pavyzdys:

Čia galioja santykis: . Jei proporciją padarysime atvirkščiai, gausime: .

Išsiaiškinę, ką šiuo atžvilgiu reiškia padalinti segmentą, pereikime prie praktinių problemų svarstymo.

Jei žinomi du plokštumos taškai, tada taško, skiriančio atkarpą, koordinatės išreiškiamos formulėmis:

Iš kur atsirado šios formulės? Analitinės geometrijos eigoje šios formulės griežtai išvedamos naudojant vektorius (kodėl be jų? =)). Be to, jie galioja ne tik Dekarto koordinačių sistemai, bet ir savavališkai afininei koordinačių sistemai (žr. pamoką Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorinis pagrindas). Tokia yra universali užduotis.

1 pavyzdys

Raskite taško, kuris dalija atkarpą, koordinates, atsižvelgiant į , Jei taškai žinomi

Sprendimas: Šioje problemoje. Pagal segmento padalijimo formules šiuo atžvilgiu randame tašką:

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį į skaičiavimo techniką: pirmiausia turite atskirai apskaičiuoti skaitiklį ir atskirai vardiklį. Rezultatas dažnai (bet jokiu būdu ne visada) yra trijų ar keturių aukštų trupmena. Po to atsikratome kelių aukštų frakcijos ir atliekame galutinius supaprastinimus.

Užduočiai atlikti nereikia brėžinio, tačiau visada naudinga ją atlikti juodraštyje:

Iš tiesų, santykis tenkinamas, tai yra, segmentas yra tris kartus trumpesnis už atkarpą . Jei proporcija nėra akivaizdi, segmentus visada galima kvailai išmatuoti įprasta liniuote.

Lygiavertis antras būdas išspręsti: jame atgalinis skaičiavimas prasideda nuo taško ir santykis yra teisingas: (žmogaus žodžiais tariant, atkarpa tris kartus ilgesnė už atkarpą). Pagal segmento padalijimo šiuo atžvilgiu formules:

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad formulėse reikia perkelti taško koordinates į pirmąją vietą, nes nuo to prasidėjo mažasis trileris.

Taip pat matyti, kad antrasis metodas yra racionalesnis dėl paprastesnių skaičiavimų. Tačiau vis tiek ši problema dažnai sprendžiama „tradicine“ tvarka. Pavyzdžiui, jei segmentas pateikiamas pagal sąlygą, tada daroma prielaida, kad jūs sudarysite proporciją, jei nurodytas segmentas, tada „nebyliai“ reiškia proporciją.

Ir aš paminėjau antrąjį metodą dėl to, kad dažnai jie bando sąmoningai supainioti problemos būklę. Štai kodėl labai svarbu atlikti juodraštį, kad, pirma, būtų galima teisingai išanalizuoti būklę ir, antra, patikrinti. Gaila klysti atliekant tokią paprastą užduotį.

2 pavyzdys

Suteikti taškai . Rasti:

a) taškas, dalijantis atkarpą atžvilgiu ;
b) taškas, dalijantis atkarpą atžvilgiu .

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Kartais kyla problemų, kai vienas iš segmento galų nežinomas:

3 pavyzdys

Taškas priklauso segmentui . Yra žinoma, kad atkarpa yra dvigubai ilgesnė už atkarpą . Raskite tašką, jei .

Sprendimas: Iš sąlygos, kad taškas padalija atkarpą atžvilgiu , skaičiuojant nuo viršaus, tai yra, proporcija galioja: . Pagal segmento padalijimo šiuo atžvilgiu formules:

Dabar mes nežinome taško : koordinačių, bet tai nėra ypatinga problema, nes jas galima lengvai išreikšti iš aukščiau pateiktų formulių. Apskritai neverta nieko reikšti, daug lengviau pakeisti konkrečius skaičius ir atidžiai atlikti skaičiavimus:

Atsakymas:

Norėdami patikrinti, galite paimti segmento galus ir, naudodami formules tiesiogine tvarka, įsitikinkite, kad santykis tikrai yra taškas. Ir, žinoma, piešinys nebus nereikalingas. Ir norėdamas pagaliau įtikinti jus languoto sąsiuvinio, paprasto pieštuko ir liniuotės pranašumais, siūlau sudėtingą užduotį savarankiškam sprendimui:

4 pavyzdys

Taškas . Atkarpa pusantro karto trumpesnė už atkarpą . Raskite tašką, jei žinomos taškų koordinatės .

Sprendimas pamokos pabaigoje. Beje, tai ne vienintelis, jei eisite kitu keliu nei imtyje, tai nebus klaida, svarbiausia, kad atsakymai sutaptų.

Erdviniams segmentams viskas bus lygiai taip pat, tik bus pridėta dar viena koordinatė.

Jei žinomi du erdvės taškai, tada taško, skiriančio atkarpą, koordinatės išreiškiamos formulėmis:
.

5 pavyzdys

Skiriami taškai. Raskite atkarpai priklausančio taško koordinates, jei tai žinoma .

Sprendimas: Ryšys išplaukia iš sąlygos: . Šis pavyzdys paimtas iš tikro testo, o jo autorius leido sau nedidelę išdaigą (staiga kažkas suklumpa) – racionaliau būtų proporciją parašyti sąlygoje taip: .

Pagal atkarpos vidurio koordinačių formules:

Atsakymas:

Patikrinimo tikslais trimačius brėžinius atlikti daug sunkiau. Tačiau visada galite padaryti scheminį brėžinį, kad suprastumėte bent sąlygą – kuriuos segmentus reikia koreliuoti.

Kalbant apie trupmenas atsakyme, nenustebkite, tai įprasta. Aš tai sakiau daug kartų, bet kartoju: aukštojoje matematikoje įprasta naudoti įprastas taisyklingas ir netinkamas trupmenas. Atsakymas formoje tiks, bet variantas su netinkamomis trupmenomis yra standartiškesnis.

Apšilimo užduotis savarankiškam sprendimui:

6 pavyzdys

Skiriami taškai. Rasti taško koordinates, jei žinoma, kad jis padalija segmentą atsižvelgiant į .

Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Jei sunku orientuotis proporcijomis, padarykite scheminį brėžinį.

Savarankiškuose ir kontroliniuose darbuose nagrinėjami pavyzdžiai randami tiek savaime, tiek kaip neatsiejama didesnių užduočių dalis. Šia prasme tipiška trikampio svorio centro radimo problema.

Nematau prasmės analizuoti tokią užduotį, kai vienas iš segmento galų nežinomas, nes viskas atrodys kaip plokščias korpusas, išskyrus tai, kad yra šiek tiek daugiau skaičiavimų. Geriau prisiminkite mokslo metus:

Atkarpos vidurio koordinačių formulės

Net nepasiruošę skaitytojai gali prisiminti, kaip perpjauti segmentą per pusę. Užduotis padalinti atkarpą į dvi lygias dalis yra ypatingas atkarpos padalijimo atvejis šiuo atžvilgiu. Dviejų rankų pjūklas veikia demokratiškiausiai, o kiekvienas kaimynas prie stalo gauna tą patį pagaliuką:

Šią iškilmingą valandą būgnai plaka, sveikindami didelę dalį. Ir bendrosios formulės stebuklingai paverstas kažkuo pažįstamu ir paprastu:

Patogus momentas yra tai, kad segmento galų koordinates galima neskausmingai pertvarkyti:

Bendrose formulėse toks prabangus skaičius, kaip supranti, neveikia. Taip, ir čia nėra ypatingo poreikio, taigi, maloni smulkmena.

Erdviniam atvejui galioja akivaizdi analogija. Jei pateikiami atkarpos galai, tada jo vidurio koordinatės išreiškiamos formulėmis:

7 pavyzdys

Lygiagretainis nurodomas jo viršūnių koordinatėmis. Raskite jo įstrižainių susikirtimo tašką.

Sprendimas: Norintys gali užbaigti piešinį. Graffiti ypač rekomenduoju tiems, kurie visai pamiršo mokyklinį geometrijos kursą.

Pagal gerai žinomą savybę lygiagretainio įstrižainės dalijamos pusiau pagal jų susikirtimo tašką, todėl uždavinys gali būti sprendžiamas dviem būdais.

Pirmasis metodas: Apsvarstykite priešingas viršūnes . Naudodamiesi atkarpos padalijimo per pusę formulėmis, randame įstrižainės vidurio tašką:

Neduoda jokio darbo. Norėdami juos apskaičiuoti, yra paprasta išraiška, kurią lengva prisiminti. Pavyzdžiui, jei atkarpos galų koordinatės yra atitinkamai (x1; y1) ir (x2; y2), tada jos vidurio koordinatės apskaičiuojamos kaip šių koordinačių aritmetinis vidurkis, tai yra:

Štai ir visas sunkumas.
Apsvarstykite vieno iš segmentų centro koordinačių apskaičiavimą konkrečiame pavyzdyje, kaip prašėte.

Užduotis.
Raskite tam tikro taško M koordinates, jei tai yra atkarpos KR vidurio taškas (centras), kurio galai turi šias koordinates: (-3; 7) ir (13; 21) atitinkamai.

Sprendimas.
Mes naudojame aukščiau pateiktą formulę:

Atsakymas. M (5; 14).

Naudodami šią formulę taip pat galite rasti ne tik atkarpos vidurio koordinates, bet ir jo galus. Apsvarstykite pavyzdį.

Užduotis.
Pateikiamos dviejų taškų (7; 19) ir (8; 27) koordinatės. Raskite vieno iš atkarpos galų koordinates, jei ankstesni du taškai yra jos galas ir vidurys.

Sprendimas.
Atkarpos galus pažymėkime K ir P, o vidurį S. Perrašykime formulę atsižvelgdami į naujus pavadinimus:

Pakeiskite žinomas koordinates ir apskaičiuokite atskiras koordinates: