फंक्शन जीरो
फ़ंक्शन का शून्य मान है एक्स, जिस पर फलन 0 हो जाता है, अर्थात् f(x)=0.
शून्य अक्ष के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं ओह।
समारोह समता
एक फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है, भले ही किसी के लिए एक्सपरिभाषा के क्षेत्र से, समानता f(-x) = f(x) 
एक सम फलन अक्ष के परितः सममित होता है कहां
पुराना फंक्शन
किसी फ़ंक्शन को विषम कहा जाता है यदि किसी के लिए एक्सपरिभाषा के क्षेत्र से, समानता f(-x) = -f(x) संतुष्ट है। 
एक विषम फलन मूल के सन्दर्भ में सममित होता है।
एक फलन जो न तो सम और न ही विषम है, सामान्य फलन कहलाता है। 
समारोह वृद्धि
फ़ंक्शन f(x) को बढ़ाना कहा जाता है यदि तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है, अर्थात। x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1) 
घटते कार्य
फ़ंक्शन f(x) को घटते हुए कहा जाता है यदि तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है, अर्थात। x 2 >x 1 → f(x 2) 
वे अंतराल जिन पर फलन या तो केवल घटता है या केवल बढ़ता है, कहलाते हैं एकरसता के अंतराल. फ़ंक्शन f(x) में एकरसता के 3 अंतराल हैं:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞) 
सेवा का उपयोग करके एकरसता के अंतराल का पता लगाएं, बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल
स्थानीय अधिकतम
दूरसंचार विभाग एक्स 0स्थानीय अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि किसी के लिए एक्सएक बिंदु के पड़ोस से एक्स 0निम्नलिखित असमानता धारण करती है: f(x 0) > f(x) 
स्थानीय न्यूनतम
दूरसंचार विभाग एक्स 0स्थानीय न्यूनतम बिंदु कहा जाता है यदि किसी के लिए एक्सएक बिंदु के पड़ोस से एक्स 0निम्नलिखित असमानता धारण करती है: f(x 0)< f(x).
स्थानीय अधिकतम अंक और स्थानीय न्यूनतम अंक स्थानीय चरम बिंदु कहलाते हैं। 
x 1 , x 2 - स्थानीय चरम बिंदु।
कार्य आवधिकता
फलन f(x) को आवर्त कहा जाता है, आवर्त के साथ टी, यदि किसी के लिए एक्सएफ(एक्स+टी) = एफ(एक्स) । 
निरंतरता अंतराल
ऐसे अंतराल जिन पर फलन या तो केवल धनात्मक या केवल ऋणात्मक होता है, स्थिर चिह्न वाले अंतराल कहलाते हैं। 
f(x)>0 x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x) के लिए<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)
कार्य निरंतरता
फलन f(x) को बिंदु x 0 पर सतत कहा जाता है यदि x → x 0 के रूप में फलन की सीमा इस बिंदु पर फलन के मान के बराबर है, अर्थात। 
.
विराम बिंदु
जिन बिंदुओं पर निरंतरता की स्थिति का उल्लंघन होता है, उन्हें फ़ंक्शन के विच्छेदन के बिंदु कहा जाता है। 
X 0- अत्यंत तनावग्रस्त स्थिति।
कार्यों की साजिश रचने के लिए सामान्य योजना
1. फलन D(y) का प्रांत ज्ञात कीजिए।2. निर्देशांक अक्षों के साथ फलनों के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
3. सम या विषम के फलन की जाँच कीजिए।
4. आवधिकता के लिए फ़ंक्शन की जांच करें।
5. फ़ंक्शन के एकरसता और चरम बिंदुओं के अंतराल खोजें।
6. फलन के उत्तलता और विभक्ति बिंदुओं के अंतराल ज्ञात कीजिए।
7. फलन के अनंतस्पर्शी ज्ञात कीजिए।
8. अध्ययन के परिणामों के आधार पर एक ग्राफ बनाएं।
उदाहरण:फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और इसका ग्राफ बनाएं: y = x 3 - 3x
8) अध्ययन के परिणामों के आधार पर, हम फलन का एक ग्राफ तैयार करेंगे: 
जुलाई 2020 में, नासा ने मंगल पर एक अभियान शुरू किया। अंतरिक्ष यान अभियान के सभी पंजीकृत सदस्यों के नामों के साथ एक इलेक्ट्रॉनिक वाहक मंगल पर पहुंचाएगा।
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इन कोड विकल्पों में से एक को आपके वेब पेज के कोड में कॉपी और पेस्ट करने की आवश्यकता है, अधिमानतः टैग के बीच
तथाया टैग के ठीक बाद . पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पृष्ठ को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों को ट्रैक और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अपडेट करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड पेस्ट करते हैं, तो पेज अधिक धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको लगातार MathJax अपडेट की निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।मैथजैक्स को जोड़ने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: साइट नियंत्रण कक्ष में, तृतीय-पक्ष जावास्क्रिप्ट कोड डालने के लिए डिज़ाइन किया गया विजेट जोड़ें, इसमें ऊपर प्रस्तुत लोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण की प्रतिलिपि बनाएँ, और विजेट को करीब रखें टेम्पलेट की शुरुआत में (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट को एसिंक्रोनस रूप से लोड किया गया है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX, और ASCIIMathML मार्कअप सिंटैक्स सीखें और आप अपने वेब पेजों में गणित के फ़ार्मुलों को एम्बेड करने के लिए तैयार हैं।
एक और नए साल की पूर्व संध्या ... ठंढा मौसम और खिड़की के शीशे पर बर्फ के टुकड़े ... इस सब ने मुझे फिर से लिखने के लिए प्रेरित किया ... भग्न, और वोल्फ्राम अल्फा इसके बारे में क्या जानता है। इस अवसर पर एक दिलचस्प लेख है जिसमें द्वि-आयामी भग्न संरचनाओं के उदाहरण हैं। यहां हम त्रि-आयामी फ्रैक्टल के अधिक जटिल उदाहरणों पर विचार करेंगे।
एक भग्न को एक ज्यामितीय आकृति या शरीर के रूप में नेत्रहीन रूप से दर्शाया (वर्णित) किया जा सकता है (जिसका अर्थ है कि दोनों एक सेट हैं, इस मामले में, बिंदुओं का एक सेट), जिसका विवरण मूल आकृति के समान आकार का है। यानी यह एक स्व-समान संरचना है, जिसके ब्योरे पर विचार करने पर, हम बिना आवर्धन के समान आकार देखेंगे। जबकि एक साधारण ज्यामितीय आकृति (भग्न नहीं) के मामले में, जब ज़ूम इन किया जाता है, तो हम मूल आकृति की तुलना में सरल आकार वाले विवरण देखेंगे। उदाहरण के लिए, पर्याप्त रूप से उच्च आवर्धन पर, एक दीर्घवृत्त का भाग एक सीधी रेखा खंड जैसा दिखता है। भग्न के साथ ऐसा नहीं होता है: उनमें किसी भी वृद्धि के साथ, हम फिर से वही जटिल आकार देखेंगे, जो प्रत्येक वृद्धि के साथ बार-बार दोहराया जाएगा।
फ्रैक्टल्स के विज्ञान के संस्थापक बेनोइट मंडेलब्रॉट ने अपने लेख फ्रैक्टल्स एंड आर्ट फॉर साइंस में लिखा है: "फ्रैक्टल्स ज्यामितीय आकार होते हैं जो उनके विवरण में जटिल होते हैं क्योंकि वे अपने समग्र रूप में होते हैं। यानी, अगर फ्रैक्टल विल का हिस्सा होगा पूरे के आकार में बड़ा किया जाए, तो यह पूरे जैसा दिखेगा, या बिल्कुल, या शायद थोड़ा विरूपण के साथ।
- (गणित।) फ़ंक्शन y \u003d f (x) को तब भी कहा जाता है, जब यह नहीं बदलता है जब स्वतंत्र चर केवल संकेत बदलता है, अर्थात यदि f (x) \u003d f (x)। यदि f (x) = f (x), तो फलन f (x) को विषम कहा जाता है। उदाहरण के लिए, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...
F(x) = x एक विषम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x2 सम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x3 ... विकिपीडिया
एक फलन जो समानता f (x) = f (x) को संतुष्ट करता है। सम और विषम कार्य देखें... महान सोवियत विश्वकोश
F(x) = x एक विषम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x2 सम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x3 ... विकिपीडिया
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F(x) = x एक विषम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x2 सम फलन का एक उदाहरण है। f(x) = x3 ... विकिपीडिया
एक अण्डाकार झिल्ली के दोलन पर समस्याओं को हल करते समय 1868 में फ्रांसीसी गणितज्ञ ई। मैथ्यू द्वारा पेश किए गए विशेष कार्य। एम. एफ. एक अण्डाकार सिलेंडर में विद्युत चुम्बकीय तरंगों के प्रसार के अध्ययन में भी उपयोग किया जाता है ... महान सोवियत विश्वकोश
"पाप" अनुरोध यहाँ पुनर्निर्देशित किया गया है; अन्य अर्थ भी देखें। "सेकंड" अनुरोध यहां पुनर्निर्देशित किया गया है; अन्य अर्थ भी देखें। "साइन" यहां पुनर्निर्देश करता है; अन्य अर्थ भी देखें ... विकिपीडिया
सम और विषम फलन इसके मुख्य गुणों में से एक हैं, और समता गणित में स्कूली पाठ्यक्रम का एक प्रभावशाली हिस्सा है। यह काफी हद तक फ़ंक्शन के व्यवहार की प्रकृति को निर्धारित करता है और संबंधित ग्राफ़ के निर्माण की सुविधा प्रदान करता है।
आइए फ़ंक्शन की समता को परिभाषित करें। सामान्यतया, अध्ययन के तहत कार्य पर विचार किया जाता है, भले ही इसके डोमेन में स्थित स्वतंत्र चर (x) के विपरीत मूल्यों के लिए, y (फ़ंक्शन) के संबंधित मान समान हों।
आइए अधिक कठोर परिभाषा दें। कुछ फ़ंक्शन f (x) पर विचार करें, जिसे डोमेन D में परिभाषित किया गया है। यह तब भी होगा जब परिभाषा के क्षेत्र में स्थित किसी बिंदु x के लिए:
- -x (विपरीत बिंदु) भी दिए गए दायरे में है,
- एफ (-एक्स) = एफ (एक्स)।
उपरोक्त परिभाषा से, ऐसे फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के लिए आवश्यक शर्त निम्नानुसार है, अर्थात्, बिंदु O के संबंध में समरूपता, जो निर्देशांक की उत्पत्ति है, क्योंकि यदि कुछ बिंदु b सम फ़ंक्शन के डोमेन में निहित है , तो संगत बिंदु - b भी इसी प्रांत में स्थित है। पूर्वगामी से, इसलिए, निष्कर्ष इस प्रकार है: एक सम फलन का एक रूप होता है जो कोटि अक्ष (Oy) के संबंध में सममित होता है।
व्यवहार में किसी फ़ंक्शन की समता का निर्धारण कैसे करें?
इसे सूत्र h(x)=11^x+11^(-x) का प्रयोग करके दिया जाता है। परिभाषा से सीधे अनुसरण करने वाले एल्गोरिथम का अनुसरण करते हुए, हम सबसे पहले इसकी परिभाषा के क्षेत्र का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, यह तर्क के सभी मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है, अर्थात पहली शर्त संतुष्ट है।
अगला कदम तर्क (x) को इसके विपरीत मान (-x) से प्रतिस्थापित करना है।
हम पाते हैं:
एच(-एक्स) = 11^(-एक्स) + 11^एक्स।
चूँकि योग क्रमविनिमेय (विस्थापन) नियम को संतुष्ट करता है, यह स्पष्ट है कि h(-x) = h(x) और दी गई क्रियात्मक निर्भरता सम है।
आइए फ़ंक्शन h(x)=11^x-11^(-x) की समता की जांच करें। उसी एल्गोरिथम का अनुसरण करते हुए, हमें h(-x) = 11^(-x) -11^x मिलता है। माइनस निकालने के परिणामस्वरूप, हमारे पास है
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x)। इसलिए h(x) विषम है।
वैसे, यह याद रखना चाहिए कि ऐसे कार्य हैं जिन्हें इन मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है, उन्हें न तो सम और न ही विषम कहा जाता है।
यहां तक कि कार्यों में कई दिलचस्प गुण हैं:
- समान कार्यों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, एक भी प्राप्त होता है;
- ऐसे कार्यों को घटाने के परिणामस्वरूप, एक भी प्राप्त होता है;
- सम, भी;
- ऐसे दो कार्यों को गुणा करने के परिणामस्वरूप, एक भी प्राप्त होता है;
- विषम और सम फलनों के गुणन के परिणामस्वरूप एक विषम फलन प्राप्त होता है;
- विषम और सम कार्यों को विभाजित करने के परिणामस्वरूप, एक विषम प्राप्त होता है;
- ऐसे फ़ंक्शन का व्युत्पन्न विषम है;
- यदि हम एक विषम फलन का वर्ग करते हैं, तो हमें एक सम फलन प्राप्त होता है।
किसी फ़ंक्शन की समता का उपयोग समीकरणों को हल करने में किया जा सकता है।
g(x) = 0 जैसे समीकरण को हल करने के लिए, जहाँ समीकरण का बायाँ भाग एक सम फलन है, यह चर के गैर-ऋणात्मक मानों के लिए इसका हल खोजने के लिए पर्याप्त होगा। समीकरण की प्राप्त जड़ों को विपरीत संख्याओं के साथ जोड़ा जाना चाहिए। उनमें से एक सत्यापन के अधीन है।
पैरामीटर के साथ गैर-मानक समस्याओं को हल करने के लिए इसका सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।
उदाहरण के लिए, क्या पैरामीटर के लिए कोई मान है जो समीकरण 2x^6-x^4-ax^2=1 को तीन मूल बना देगा?
यदि हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि चर सम घातों में समीकरण में प्रवेश करता है, तो यह स्पष्ट है कि x को -x से बदलने से दिए गए समीकरण में कोई परिवर्तन नहीं होगा। यह इस प्रकार है कि यदि कोई निश्चित संख्या इसकी जड़ है, तो विपरीत संख्या भी है। निष्कर्ष स्पष्ट है: समीकरण की जड़ें, शून्य के अलावा, "जोड़े" में इसके समाधान के सेट में शामिल हैं।
यह स्पष्ट है कि संख्या 0 स्वयं नहीं है, अर्थात्, ऐसे समीकरण की जड़ों की संख्या केवल सम हो सकती है और, स्वाभाविक रूप से, पैरामीटर के किसी भी मान के लिए इसकी तीन जड़ें नहीं हो सकती हैं।
लेकिन समीकरण 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 की जड़ों की संख्या विषम हो सकती है, और पैरामीटर के किसी भी मान के लिए। वास्तव में, यह जांचना आसान है कि किसी दिए गए समीकरण के मूलों के समुच्चय में "जोड़े" में समाधान हैं। आइए देखें कि क्या 0 एक रूट है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2=2 प्राप्त होता है। इस प्रकार, "युग्मित" के अतिरिक्त 0 भी एक मूल है, जो उनकी विषम संख्या को सिद्ध करता है।
जो एक डिग्री या किसी अन्य से आप परिचित थे। वहां यह भी नोट किया गया था कि फ़ंक्शन गुणों का भंडार धीरे-धीरे फिर से भर दिया जाएगा। इस खंड में दो नई संपत्तियों पर चर्चा की जाएगी।
परिभाषा 1.
फ़ंक्शन y \u003d f (x), x X, को तब भी कहा जाता है, भले ही सेट X से किसी भी मान x के लिए समानता f (-x) \u003d f (x) सत्य हो।
परिभाषा 2.
फ़ंक्शन y \u003d f (x), x X, को विषम कहा जाता है यदि सेट X से किसी भी मान x के लिए समानता f (-x) \u003d -f (x) सत्य है।
सिद्ध कीजिए कि y = x 4 एक सम फलन है।
समाधान। हमारे पास है: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. लेकिन (-x) 4 = x 4। इसलिए, किसी भी x के लिए, समानता f (-x) = f (x), अर्थात्। समारोह सम है।
इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि फलन y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 सम हैं।
सिद्ध कीजिए कि y = x 3 एक विषम फलन है।
समाधान। हमारे पास है: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. परंतु (-x) 3 = -x 3 । इसलिए, किसी भी x के लिए, समानता f (-x) \u003d -f (x), अर्थात्। समारोह विषम है।
इसी तरह, यह साबित किया जा सकता है कि फ़ंक्शन y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 विषम हैं।
आपने और मैंने बार-बार खुद को आश्वस्त किया है कि गणित में नए शब्दों का अक्सर "सांसारिक" मूल होता है, अर्थात। उन्हें किसी तरह समझाया जा सकता है। यह सम और विषम दोनों प्रकार के कार्यों के लिए मामला है। देखें: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 विषम कार्य हैं, जबकि y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 सम कार्य हैं। और सामान्य तौर पर, फॉर्म के किसी भी फ़ंक्शन के लिए y \u003d x "(नीचे हम विशेष रूप से इन कार्यों का अध्ययन करेंगे), जहां n एक प्राकृतिक संख्या है, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: यदि n एक विषम संख्या है, तो फ़ंक्शन y \u003d x " अजीब है; यदि n एक सम संख्या है, तो फलन y = xn सम है।
ऐसे कार्य भी हैं जो न तो सम और न ही विषम हैं। उदाहरण के लिए, यह फ़ंक्शन y \u003d 2x + 3 है। दरअसल, f (1) \u003d 5, और f (-1) \u003d 1. जैसा कि आप देख सकते हैं, यहाँ इसलिए, न तो पहचान f (-x) ) \u003d f ( x), न ही पहचान f(-x) = -f(x)।
तो, एक फ़ंक्शन सम, विषम या न तो हो सकता है।
किसी दिए गए फलन के सम या विषम होने के प्रश्न का अध्ययन आमतौर पर समता के लिए फलन का अध्ययन कहलाता है।
परिभाषाएँ 1 और 2, x और -x बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों से संबंधित हैं। यह मानता है कि फ़ंक्शन को बिंदु x और बिंदु -x दोनों पर परिभाषित किया गया है। इसका मतलब यह है कि बिंदु -x उसी समय फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित है जिस समय बिंदु x है। यदि किसी संख्यात्मक समुच्चय X के प्रत्येक अवयव x में विपरीत अवयव -x हो, तो X सममित समुच्चय कहलाता है। मान लीजिए (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) सममित समुच्चय हैं, जबकि )
