Пряма на площині та у просторі.
Вивчення властивостей геометричних фігур за допомогою алгебри зветься аналітичної геометрії а використовувати при цьому ми будемо так званий метод координат .
Лінія на площині зазвичай задається як безліч точок, які мають властиві тільки їм властивості. Той факт, що координати (числа) х і точки, що лежить на цій лінії, аналітично записуються у вигляді деякого рівняння.
Опр.1 Рівнянням лінії (рівнянням кривої) на площині Оху називається рівняння (*), якому задовольняють координати х і в кожній точці даної лінії і не задовольняють координати будь-якої іншої точки, що не лежить на цій лінії.
З визначення 1 випливає, що будь-якій лінії на площині відповідає деяке рівняння між поточними координатами ( х,у ) точки цієї лінії і навпаки, будь-якому рівнянню відповідає, власне кажучи, деяка лінія.
Звідси виникають дві основні завдання аналітичної геометрії на площині.
1. Дана лінія у вигляді множини точок. Потрібно скласти рівняння цієї лінії.
2. Дано рівняння лінії. Необхідно вивчити її геометричні властивості (форму та розташування).
приклад. Чи лежать крапки А(-2;1) і У (1;1) на лінії 2 х +у +3=0?
Завдання перебування точок перетину двох ліній, заданих рівняннями і, зводиться до пошуку координат, які задовольняють рівнянню обох ліній, тобто. до розв'язання системи із двох рівнянь із двома невідомими.
Якщо ця система не має дійсних рішень, лінії не перетинаються.
Аналогічно вводиться поняття лінії ПСК.
Лінію на площині можна задати двома рівняннями
де х і у - Довільні координати точки М(х;у), що лежить на даній лінії, а t - Змінна, звана параметром , параметр визначає положення точки на площині.
Наприклад, якщо , то значення параметра t=2 відповідає на площині точка (3;4).
Якщо параметр змінюється, точка на площині переміщається, описуючи цю лінію. Такий спосіб завдання лінії називається параметричним, а рівняння (5.1) –параметричним рівнянням лінії.
Щоб перейти від параметричних рівнянь до загального рівняння (*), треба якимось способом із двох рівнянь виключають параметр. Проте, зауважимо, такий перехід не завжди є доцільним і не завжди можливим.
Лінію на площині можна поставити векторним рівнянням , де t-скалярний змінний параметр. Кожному значенню параметра відповідає певний вектор площини. У разі зміни параметра кінець вектора опише деяку лінію.
Векторне рівняння у ДСК відповідає два скалярні рівняння
(5.1), тобто. рівняння проекцій на осі координат векторного рівняння лінії є її
параметричне рівняння.
Векторне рівняння та параметричні рівняння лінії мають механічне значення. Якщо точка переміщається на площині, то вказані рівняння називаються рівняннями руху , а лінія – траєкторія точки, параметр t у своїй є час.
Висновок: будь-якій лінії на площині відповідає рівняння виду.
БУДЬ-ЯКОМУ РІВНЯННЯ ВИДА відповідає в загальному випадку деяка лінія, властивості якої визначаються даним рівнянням (виняток - рівнянню на площині не відповідає ніякий геометричний образ).
Нехай вибрано систему координат на площині.
Опр. 5.1. Рівнянням лінії називається таке рівняння видуF(x;y) =0, якому задовольняють координати кожної точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на ній.
Рівняння видуF(x;y )=0 – називають загальним рівнянням лінії чи рівнянням у неявної формі.
Таким чином, лінія Г є геометричним місцем точок, що задовольняє даному рівнянню. Г = ((x, y): F (x; y) = 0).
Лінію називають також кривою.
Рівність виду F(x, у) = 0 називається рівнянням із двома змінними х, у, якщо вона справедлива не для будь-яких пар чисел х, у. Кажуть, що два числа х = x 0 , у = y 0 задовольняють деякому рівнянню виду F(x, y) = 0, якщо при підстановці цих чисел замість змінних х і у рівняння його ліва частина перетворюється на нуль.
Рівнянням даної лінії (у призначеній системі координат) називається таке рівняння з двома змінними, якому задовольняють координати кожної точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати кожної точки, що не лежить на ній.
Надалі замість виразу «дано рівняння лінії F(x, у) = 0» ми часто говоритимемо коротше: дана лінія F(x, у) = 0.
Якщо дані рівняння двох ліній F(x, у)= 0 і Ф(x, у) = 0, то спільне рішення системи
F(x, y) = 0, Ф(х, у) = 0
дає всі точки їх перетину. Точніше, кожна пара чисел, що є спільним рішенням цієї системи, визначає одну з точок перетину,
157. Дані точки *) M 1 (2; -2), М 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), М 6 (3; -2). Встановити, які з даних точок лежать лінії, визначеної рівнянням х + y = 0, і які лежать у ньому. Яка лінія визначена цим рівнянням? (Зобразити її на кресленні.)
158. На лінії, визначеній рівнянням х 2 + у 2 = 25, знайти точки, абсциси яких дорівнюють наступним числам: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; на цій же лінії знайти точки, ординати яких дорівнюють наступним числам: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Яка лінія визначена цим рівнянням? (Зобразити її на кресленні.)
159. Встановити, які лінії визначаються такими рівняннями (побудувати їх у кресленні): 1)x - у = 0; 2) х + у = 0; 3) x – 2 = 0; 4) x + 3 = 0; 5) y – 5 = 0; 6) у + 2 = 0; 7) х = 0; 8) у = 0; 9) х 2 - хy = 0; 10) ху + у 2 = 0; 11) х 2 - у 2 = 0; 12) ху = 0; 13) у 2 – 9 = 0; 14) х 2 – 8x + 15 = 0; 15) у 2+by+4=0; 16) х 2 у - 7ху + 10y = 0; 17) у - | х |; 18) х - | у |; 19) y + | x | = 0; 20) x + | = 0; 21) у = | х - 1 |; 22) y = | x + 2 |; 23) х 2 + у 2 = 16; 24) (х - 2) 2 + (у-1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (у-1) 2 = 9; 26) (x – 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x – 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x2+3y2+5=0; 31) (x – 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.
160. Дані лінії: l) x + y = 0; 2) х - у = 0; 3) x 2 + у 2 – 36 = 0; 4) х 2 + у 2 - 2х + у = 0; 5) х 2 + у 2 + 4х – 6у – 1 = 0. Визначити, які з них проходять через початок координат.
161. Дані лінії: 1) х 2 + у 2 = 49; 2) (х - 3) 2 + (у + 4) 2 = 25; 3) (х + 6) 2 + (y - З) 2 = 25; 4) (х + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) х 2 + у 2 - 12x + 16у - 0; 6) х 2 + у 2 – 2x + 8y + 7 = 0; 7) х 2 + у 2 - 6х + 4у + 12 = 0. Знайти точки їх перетину: а) з віссю Ох; б) із віссю Оу.
162. Знайти точки перетину двох ліній:
1) х 2 + у 2 – 8; х - у = 0;
2) х 2 + у 2 – 16х + 4у + 18 = 0; х + у = 0;
3) х 2 + у 2 - 2х + 4у - 3 = 0; х 2 + у 2 = 25;
4) х 2 + у 2 - 8y + 10у + 40 = 0; х 2 + у 2 = 4.
163. У полярній системі координат дано точки M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0). М 3 (2; π/4), М 4 (√3; 1; 2/3π). Встановити, які з цих точок лежать на лінії, визначеній у полярних координатах рівнянням р = 2cos, і які не лежать на ній. Яка лінія визначається цим рівнянням? (Зобразити її на кресленні.)
164. На лінії, визначеній рівнянням p = 3/cosΘ знайти точки, полярні кути яких дорівнюють наступним числам: а) π/3 , б) - π/3, в) 0, г) π/6. Яка лінія визначена цим рівнянням? (Побудувати її на кресленні.)
165. На лінії, визначеній рівнянням p = 1/sinΘ, знайти точки, полярні радіусьм яких дорівнюють наступним числам: а) 1 6) 2, в) √2 . Яка лінія визначена цим рівнянням? (Побудувати її на кресленні.)
166. Встановити, які лінії визначаються у полярних координатах такими рівняннями (побудувати їх у кресленні): 1) р = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) р cosΘ = 2; 5) p sin = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) р = 10 sin; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.
167. Побудувати на кресленні такі спойрали Архімеда: 1) р = 20; 2) р = 50; 3) p = Θ/π; 4) р = -Θ/π.
168. Побудувати на кресленні такі гіперболічні спіралі: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) р = π/Θ; 4) р = - π/Θ
169. Побудувати на кресленні такі логарифмічні спіралі: 1) р = 2 ; 2) p = (1/2) Θ.
170. Визначити довжини відрізків, на які розтинає спіраль Архімеда р = 3Θ промінь, що виходить з полюса і нахилений до полярної осі під кутом Θ = π/6. Зробити креслення.
171. На спіралі Архімеда р = 5/π взята точка С, полярний радіус якої дорівнює 47. Визначити, на скільки частин ця спіраль розтинає полярний радіус точки С. Зробити креслення.
172. На гіперболічній спіралі P = 6/Θ знайти точку Р, полярний радіус якої дорівнює 12. Зробити креслення.
173. На логарифмічній спіралі р = 3 Θ знайти точку P, полярний радіус якої дорівнює 81. Зробити креслення.
Давайте повторимо * Яке рівняння називається квадратним? * Які рівняння називаються неповними квадратними рівняннями? * Яке квадратне рівняння називається наведеним? * Що називають коренем квадратного рівняння? * Що означає вирішити квадратне рівняння? Яке рівняння називається квадратним? Які рівняння називаються неповними квадратними рівняннями? Яке квадратне рівняння називається наведеним? Що називають коренем квадратного рівняння? Що означає розв'язати квадратне рівняння? Яке рівняння називається квадратним? Які рівняння називаються неповними квадратними рівняннями? Яке квадратне рівняння називається наведеним? Що називають коренем квадратного рівняння? Що означає розв'язати квадратне рівняння?
Алгоритм розв'язання квадратного рівняння: 1. Визначити яким способом раціональніше вирішити квадратне рівняння 2. Вибрати найбільш раціональний спосіб розв'язання 3. Визначення кількості коренів квадратного рівняння 4. Знаходження коренів квадратного рівняння Для кращого запам'ятовування заповнимо таблицю… Для кращого запам'ятовування заповнимо таблицю таблицю…
Додаткова умова Рівняння Коріння Приклади 1. в = с = 0, а 0 ах 2 = 0 х 1 = 0 2. с = 0, а 0, в 0 ах 2 + bх = 0 х 1 = 0, х 2 = -b /а 3. в = 0, а 0, в 0 ах 2 + с = 0 а) х 1,2 = ±(c/а), де с/а 0. б) якщо с/а 0, то рішень немає 4. а 0 ах 2 + bх + с = 0 x 1,2 =(-b±D)/2 а, де D = 2 – 4 ас, D0 5. в – парне число (в = 2k), а 0, у 0, з 0 ах 2 + 2kx + c = 0 х 1,2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, де k = 6. Теорема зворотна теоремі Вієта x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q
ІІ. Спеціальні методи 7. Метод виділення квадрата двочлену. Ціль: Привести рівняння загального вигляду до неповного квадратного рівняння. Примітка: метод застосовується для будь-яких квадратних рівнянь, але не завжди зручний у використанні. Використовується для доказу формули коренів квадратного рівняння. Приклад: розв'яжіть рівняння х 2 -6 х+8=0 8. Метод «перекидання» старшого коефіцієнта. Коріння квадратних рівнянь ax 2 + bx + c = 0 та y 2 +by+ac=0 пов'язані співвідношеннями: і Зауваження: метод хороший для квадратних рівнянь із «зручними» коефіцієнтами. У деяких випадках дозволяє розв'язати квадратне рівняння усно. Приклад: розв'яжіть рівняння 2 х 2 -9 х-5=0 На підставі теорем: Приклад: розв'яжіть рівняння 157 х х-177=0 9. Якщо в квадратному рівнянні a+b+c=0, то один з коренів дорівнює 1, а другий за теоремою Вієта дорівнює с/а 10. Якщо в квадратному рівнянні a+c=b, то один з коренів дорівнює -1, а другий за теоремою Вієта дорівнює –с/а Приклад: розв'яжіть рівняння 203 х х+17=0 х 1 = 1 / а, х 2 = 2 / а
ІІІ. Загальні методи розв'язування рівнянь 11. Метод розкладання на множники. Мета: Привести квадратне рівняння загального виду до виду А(х) В(х)=0, де А(х) і В(х) – багаточлени щодо х. Винесення загального множника за дужки; використання формул скороченого множення; Спосіб угруповання. Приклад: розв'яжіть рівняння 3 х 2 +2 х-1=0 12. Метод введення нової змінної. Вдалий вибір нової змінної робить структуру рівняння прозорішою Приклад: розв'яжіть рівняння (х 2 +3 х-25) 2 -6(х 2 +3 х-25)= - 8
Розглянемо співвідношення виду F(x, y)=0, що зв'язує змінні величини xі у. Рівність (1) називатимемо рівнянням з двома змінними х, у,якщо ця рівність справедлива не для всіх пар чисел хі у. Приклади рівнянь: 2х + 3у = 0, х 2 + у 2 - 25 = 0,
sin x + sin y - 1 = 0.
Якщо (1) справедливо всім пар чисел х і у, воно називається тотожністю. Приклади тотожностей: (х + у) 2 - х 2 - 2ху - у 2 = 0, (х + у) (х - у) - х 2 + у 2 = 0.
Рівняння (1) називатимемо рівнянням безлічі точок (х; у),якщо цього рівняння задовольняють координати хі убудь-якої точки множини і не задовольняють координати ніякої точки, що не належать цій множині.
Важливим поняттям аналітичної геометрії є поняття рівняння лінії. Нехай на площині задані прямокутна система координат та деяка лінія α.
Визначення.Рівняння (1) називається рівнянням лінії α
(у створеній системі координат), якщо цього рівняння задовольняють координати хі убудь-якої точки, що лежить на лінії α
, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.
Якщо (1) є рівнянням лінії α, то будемо говорити, що рівняння (1) визначає (задає)лінію α.
Лінія α може визначатися не тільки рівнянням виду (1), а й рівнянням виду
F(P, φ) = 0містить полярні координати.
- рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом;
Нехай дана деяка пряма, не перпендикулярна, осі ОХ. Назвемо кутом нахилуданої прямої до осі ОХкут α , на який потрібно повернути вісь ОХщоб позитивний напрямок збігся з одним з напрямків прямий. Тангенс кута нахилу прямої до осі ОХназивають кутовим коефіцієнтомцією прямою і позначають буквою До.
|
|||
|
|||
Виведемо рівняння даної прямої, якщо її відомі Дота величина у відрізку ОВ, Якою вона відсікає на осі ОУ.
|
|
Рівняння (2) називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.Якщо K=0, то пряма паралельна осі ОХта її рівняння має вигляд y = b.
- рівняння прямої, що проходить через дві точки;
|
|
. Це рівняння, якщо у 1 ≠ у 2, можна записати у вигляді: Якщо у 1 = у 2, то рівняння шуканої прямої має вигляд у = у 1. У цьому випадку пряма паралельна осі ОХ. Якщо х 1 = х 2, то пряма, що проходить через крапки М 1і М 2, паралельна осі ОУ, її рівняння має вигляд х = х 1.
- рівняння прямої, що проходить через задану точку з цим кутовим коефіцієнтом;
|
|
і, навпаки, рівняння (5) при довільних коефіцієнтах А, В, С (Аі У ≠ 0одночасно) визначає деяку пряму у прямокутній системі координат Оху.
Доведення.
Спочатку доведемо перше твердження. Якщо пряма не перпендикулярна Ох,то вона визначається рівнянням першого ступеня: у = kx + b, тобто. рівнянням виду (5), де
A = k, B = -1і C = b.Якщо пряма перпендикулярна Ох,то всі її точки мають однакові абсциси, рівні величині α відрізка, що відсікається прямою на осі Ох.
Рівняння цієї прямої має вигляд х = α,тобто. також є рівняння першого ступеня виду (5), де А = 1, В = 0, С = -?Тим самим було доведено перше твердження.
Доведемо зворотне твердження. Нехай дано рівняння (5), причому хоча б один із коефіцієнтів Аі У ≠ 0.
Якщо У ≠ 0, то (5) можна записати як . Полога 
, отримуємо рівняння у = kx + b, тобто. рівняння виду (2) яке визначає пряму.
Якщо В = 0, то А ≠ 0і (5) набуває вигляду. Позначаючи через α, отримуємо
х = α, тобто. рівняння прямої перпендикулярне Ох.
Лінії, що визначаються у прямокутній системі координат рівнянням першого ступеня, називаються лініями першого порядку.
Рівняння виду Ах + Ву + С = 0є неповним, тобто. якийсь із коефіцієнтів дорівнює нулю.
1) З = 0; Ах + Ву = 0та визначає пряму, яка проходить через початок координат.
2) В = 0 (А ≠ 0); рівняння Ах + С = 0 Оу.
3) А = 0 (В ≠ 0); Ву + С = 0і визначає пряму паралельну Ох.
Рівняння (6) називається рівнянням прямої «у відрізках». Числа аі bє величинами відрізків, які відсікає пряма на осях координат. Ця форма рівняння зручна для геометричної побудови прямої.
- нормальне рівняння прямої;
Аx + Вy + С = 0 – загальне рівняння деякої прямої, а (5) x cos α + y sin α - p = 0(7)
її нормальне рівняння.
Оскільки рівняння (5) і (7) визначають ту саму пряму, то ( А 1х + У 1у + З 1 = 0і
А 2х + У 2у + З 2 = 0 => 
) коефіцієнти цих рівнянь пропорційні. Це означає, що помноживши всі члени рівняння (5) на деякий множник М, ми отримаємо рівняння МА х + МВ у + МС = 0, що з рівнянням (7) тобто.
МА = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)
Щоб знайти множник М, зведемо перші дві з цих рівностей у квадрат і складемо:
М 2 (А 2 + В 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1
Рівність виду F (x, y) = 0називається рівнянням із двома змінними x, у,якщо воно справедливе не для будь-яких пар чисел х, у.Кажуть, що два числа x = x 0 , у=у 0, задовольняють деякому рівнянню виду F(х, у)=0,якщо під час встановлення цих чисел замість змінних хі уна рівняння його ліва частина перетворюється на нуль.
Рівнянням даної лінії (у призначеній системі координат) називається таке рівняння з двома змінними, якому задовольняють координати кожної точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати кожної точки, що не лежить на ній.
Надалі замість виразу «дано рівняння лінії. F(х,у) = 0» ми часто говоритимемо коротше: дана лінія F(х, у) = 0.
Якщо дано рівняння двох ліній F(х, у) = 0і Ф(х, y) = Q,то спільне рішення системи
дає всі точки їх перетину. Точніше, кожна пара чисел, що є спільним рішенням цієї системи, визначає одну з точок перетину.
*) У тих випадках, коли система координат не названа, мається на увазі, що вона – декартова прямокутна.
157. Дані точки *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Встановити, які видані точки лежать на лінії, визначеній рівнянням х+ у = 0,та які не лежать на ній. Яка лінія визначена цим рівнянням? (Зобразити її на кресленні.)
158. На лінії, визначеній рівнянням х 2 + y 2 = 25, знайти точки, абсциси яких дорівнюють наступним числам: а) 0, б) - 3, в) 5, г) 7; на цій же лінії знайти точки, ординати яких дорівнюють наступним числам: д) 3, е) - 5, ж) - 8. Яка лінія визначена даним рівнянням? (Зобразити її на кресленні.)
159. Встановити, які лінії визначаються такими рівняннями (побудувати їх у кресленні):
1) х - у = 0; 2) х + у = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;
5) у - 5 = 0; 6) y+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;
9) x 2 - xy = 0; 10) xy+ y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy= 0;
13) y 2 – 9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;
16) х 2 у - 7ху + 10y = 0; 17) у =|x|; 18) х =|у|; 19)y + |x|=0;
20) х +|у|= 0; 21)у =|х- 1|; 22) y = |x+ 2|; 23) х 2 + у 2 = 16;
24) (x-2) 2 +(y-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(y- 1) 2 = 9;
26) (х - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + y 2 = 0;
29) х 2 + 2y 2 = 0; 30) 2х 2 + 3y 2 + 5 = 0
31) (x- 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.
160. Дані лінії:
1)х+ у = 0; 2)х - у = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0;
4) x 2 +y 2 -2x==0; 5) x 2 +y 2 + 4x-6y-1 =0.
Визначити, які проходять через початок координат.
161. Дані лінії:
1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (y+ 4) 2 = 25;
3) (x+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;
5) x 2 +y 2 - 12х + 16у = 0; 6) x 2 +y 2 - 2х + 8у+ 7 = 0;
7) x 2 +y 2 - 6х + 4у + 12 = 0.
Знайти точки їх перетину: а) з віссю Ох;б) з віссю Оу.
162. Знайти точки перетину двох ліній;
1)х 2 +у 2 = 8, х-у = 0;
2) х 2 +у 2 -16x+4у+18 = 0, х + у= 0;
3) х 2 +у 2 -2x+4у -3 = 0, х 2 + у 2 = 25;
4) х 2 +у 2 -8x+10у+40 = 0, х 2 + у 2 = 4.
163. У полярній системі координат дані точки
М 1
(1;
),
М 2
(2;
0), М 3
(2;
)
М 4
(
;
) та М 5
(1;
)
Встановити, які з цих точок лежать на лінії, визначеній рівнянням у полярних координатах = 2 cos , та які не лежать на ній. Яка лінія визначається цим рівнянням? (Зобразити її на кресленні:)
164. На лінії, визначеній рівнянням = 
,
знайти точки, полярні кути яких дорівнюють наступним числам: а) 
б) - 
, в) 0, г)
. Яка лінія визначена цим рівнянням?
(Побудувати її на кресленні.)
165.На лінії, визначеній рівнянням = 
, знайти точки, полярні радіуси яких дорівнюють наступним числам: а) 1, б) 2, в) 
.
Яка лінія визначена цим рівнянням? (Побудувати її на кресленні.)
166.Встановити, які лінії визначаються в полярних координатах наступними рівняннями (побудувати їх на кресленні):
1) = 5; 2) = 
; 3) = 
; 4) cos = 2; 5) sin = 1;
6) = 6 cos ; 7) = 10 sin ; 8) sin = 9) sin =
167. Побудувати на кресленні такі спіралі Архімеда:
1) = 5; 2) = 5; 3) = 
; 4) р = -1.
168. Побудувати на кресленні такі гіперболічні спіралі:
1) = ; 2) = ; 3) = 
; 4) = - 
.
169. Побудувати на кресленні такі логарифмічні спіралі:
,
.
170. Визначити довжини відрізків, на які розсікає спіраль Архімеда 
промінь, що виходить із полюса і нахилений до полярної осі під кутом 
. Зробити креслення.
171. На спіралі Архімеда 
взято крапку З,полярний радіус якої дорівнює 47. Визначити, на скільки частин ця спіраль розсікає полярний радіус точки З,Зробити креслення.
172. На гіперболічній спіралі 
знайти точку Р,полярний радіус якої дорівнює 12. Зробити креслення.
173. На логарифмічній спіралі 
знайти точку Q, полярний радіус якої дорівнює 81. Зробити креслення.
