Функція виду, де називається квадратичною функцією.

Графік квадратичної функції – парабола.

Розглянемо випадки:

I ВИПАДК, КЛАСИЧНА ПАРАБОЛА

Тобто , ,

Для побудови заповнюємо таблицю, підставляючи значення x формулу:

Зазначаємо точки (0; 0); (1; 1); (-1; 1) і т.д. на координатній площині (чим із меншим кроком ми беремо значення х (у даному випадку крок 1), і чим більше беремо значень х, тим плавніше буде крива), одержуємо параболу:

Неважко помітити, що й ми візьмемо випадок , , , тобто , ми отримаємо параболу, симетричну щодо осі (ох). Переконатись у цьому нескладно, заповнивши аналогічну таблицю:

II ВИПАД, «a» ВІДМІННО ВІД ОДИНИЦІ

Що ж буде, якщо ми братимемо , , ? Як зміниться поведінка параболи? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

На першій картинці (див. вище) добре видно, що точки з таблиці для параболи (1; 1), (-1; 1) трансформувалися в точки (1; 4), (1; -4), тобто при тих же значення ординату кожної точки помножилася на 4. Це станеться з усіма ключовими точками вихідної таблиці. Аналогічно міркуємо у випадках картинок 2 та 3.

А при параболі «стане ширше» параболи:

Давайте підсумуємо:

1)Знак коефіцієнта відповідає за напрямок гілок. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Абсолютна величинакоефіцієнта (модуля) відповідає за “розширення”, “стиснення” параболи. Чим більше , тим уже парабола, чим менше |a|, тим ширше парабола.

ІІІ ВИПАД, З'ЯВЛЯЄТЬСЯ «С»

Тепер давайте введемо в гру (тобто розглядаємо випадок, коли), розглядатимемо параболи виду. Неважко здогадатися (ви завжди можете звернутися до таблиці), що відбуватиметься зміщення параболи вздовж осі вгору або вниз залежно від знака:

IV ВИПАД, З'ЯВЛЯЄТЬСЯ «b»

Коли ж парабола "відірветься" від осі і, нарешті, "гулятиме" по всій координатній площині? Коли перестане бути рівним.

Тут для побудови параболи нам знадобиться формула для обчислення вершини: , .

Так ось у цій точці (як у точці (0; 0) нової системи координат) ми будуватимемо параболу, що вже нам під силу. Якщо маємо справу з нагодою , то від вершини відкладаємо один одиничний відрізок вправо, один вгору, - отримана точка - наша (аналогічно крок вліво, крок вгору - наша точка); якщо маємо справу з , наприклад, то від вершини відкладаємо один одиничний відрізок праворуч, два - вгору і т.д.

Наприклад, вершина параболи:

Тепер головне усвідомити, що в цій вершині ми будуватимемо параболу за шаблоном параболи, адже в нашому випадку.

При побудові параболи після знаходження координат вершини дужезручно враховувати такі моменти:

1) парабола обов'язково пройде через точку . Справді, підставивши формулу x=0, отримаємо, що . Тобто ордината точки перетину параболи з віссю (оу) це . У прикладі (вище), парабола перетинає вісь ординат у точці , оскільки .

2) віссю симетрії параболи є пряма , тому всі точки параболи будуть симетричні щодо неї. У нашому прикладі ми відразу беремо точку (0; -2) і будуємо їй симетричну щодо осі симетрії параболи, отримаємо точку (4; -2), через яку буде проходити парабола.

3) Прирівнюючи до ми дізнаємося точки перетину параболи з віссю (ох). Для цього вирішуємо рівняння. Залежно від дискримінанта, отримуватимемо одну (, ), дві (title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . У попередньому прикладі у нас корінь з дискримінанта - не ціле число, при побудові нам особливо немає сенсу знаходити коріння, але ми бачимо чітко, що дві точки перетину з віссю (ох) у нас будуть (бо title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Отже, давайте виробимо

Алгоритм для побудови параболи, якщо вона задана у вигляді

1) визначаємо напрямок гілок (а>0 – вгору, a<0 – вниз)

2) знаходимо координати вершини параболи за формулою , .

3) знаходимо точку перетину параболи з віссю (оу) по вільному члену , будуємо точку, симетричну даної щодо осі симетрії параболи (треба зауважити, буває, що цю точку невигідно відзначати, наприклад, тому, що значення велике ... пропускаємо цей пункт ...)

4) У знайденій точці – вершині параболи (як і точці (0;0) нової системи координат) будуємо параболу . Якщо title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Знаходимо точки перетину параболи з віссю (оу) (якщо вони самі “не спливли”), вирішуючи рівняння

Приклад 1

Приклад 2

Зауваження 1.Якщо ж парабола спочатку нам задана у вигляді де - деякі числа (наприклад, ), то побудувати її буде ще легше, тому що нам вже задані координати вершини . Чому?

Візьмемо квадратний тричлен і виділимо в ньому повний квадрат: Подивіться, ось ми отримали, що , . Ми з вами раніше називали вершину параболи, тобто тепер.

Наприклад, . Зазначаємо на площині вершину параболи, розуміємо, що гілки спрямовані вниз, парабола розширена (відносно). Тобто виконуємо пункти 1; 3; 4; 5 з алгоритму побудови параболи (див. вище).

Примітка 2.Якщо парабола задана у вигляді, подібному до цього (тобто представлений у вигляді добутку двох лінійних множників), то відразу видно точки перетину параболи з віссю (ох). У разі – (0;0) і (4;0). В іншому ж діємо згідно з алгоритмом, розкривши дужки.

Побудова парабол є однією з відомих математичних операцій. Досить часто вона застосовується не лише в наукових цілях, а й у суто практичних. Давайте дізнаємося, як здійснити цю процедуру за допомогою інструментарію програми Excel.

Парабола є графіком квадратичної функції наступного типу f(x)=ax^2+bx+c. Однією з примітних його властивостей є те що, що парабола має вигляд симетричної постаті, що з набору точок рівновіддалених від директриси. За великим рахунком, побудова параболи в середовищі Ексель мало чим відрізняється від побудови будь-якого іншого графіка в цій програмі.

Створення таблиці

Насамперед, перед тим, як приступити до побудови параболи, слід побудувати таблицю, на підставі якої вона й створюватиметься. Наприклад візьмемо побудова графіка функції f(x)=2x^2+7.

Побудова графіка

Як уже було сказано вище, тепер ми маємо побудувати сам графік.

Редагування діаграми

Тепер можна відредагувати отриманий графік.

Крім того, можна здійснювати будь-які інші види редагування отриманої параболи, включаючи зміну її назви та найменувань осей. Дані прийоми редагування не виходять за межі дій по роботі в Екселі з діаграмами інших видів.

Як бачимо, побудова параболи в Екселі нічим принципово не відрізняється від побудови іншого виду графіка або діаграми у цій же програмі. Усі дії виробляються з урахуванням заздалегідь сформованої таблиці. Крім того, потрібно врахувати, що для побудови параболи найбільше підходить точковий вигляд діаграми.

Для того, щоб накреслити графік функції в прямокутній системі координат, нам необхідні дві перпендикулярні прямі xOy (де O це точка припинення x і y), які називаються "координатними осями", і потрібна одиниця виміру.

У цій системі є дві координати.
M(x, y): M це назва точки, x це абсцис і вона вимірюється по Ox, а y це ордината і міряється по Oy.

Якщо ми розглянемо функцію f: A -> B (де A - область визначення, B - область значень функції), точку на графіку цієї функції можна у вигляді P(x, f(x)).

приклад
f:A -> B, f(x) = 3x - 1
If x = 2 => f(2) = 3×2 - 1 = 5 => P(2, 5) Gf (де Gf це графік цієї функції).

Квадратична функція

Стандартна форма: f(x) = ax 2 + bx + c

Вершинна форма: $f(x)=(a+\frac(b)(2a))^2-\frac(\Delta)(4a)$
де Δ = b 2 - 4ac

Якщо a > 0, то мінімальним значенням f(x)буде $-\frac(\Delta)(4a)$ , яке виходить, якщо $x=-\frac(b)(2a)$. Графіком буде опукла парабола, вершина якої (точка, в якій вона змінює напрямок), це $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

Якщо a< 0 , то минимальное значение f(x)буде $-\frac(\Delta)(4a)$ , яке виходить, якщо $x=-\frac(b)(2a)$. Графіком буде увігнута парабола, вершина якої це $ V (- \ frac (b) (2a); - \ frac (\ Delta) (4a)) $.

Парабола симетрична щодо прямої, яку вона перетинає $x=-\frac(b)(2a)$ і яка називається "віссю симетрії".
Саме тому, коли ми присвоюємо знання x, Вибираємо їх симетричними щодо $-\frac(b)(2a)$.
При побудові графіка точки перетину з осями координат дуже важливі.

|. Крапка, розташована на осі Oxмає форму P(x, 0)тому що відстань від неї до Oxодно 0. Якщо точка перебувати і на Oxі на графіку функції, вона також має вигляд P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0.

Таким чином, для того, щоб знайти координати точки перетину з віссю Ox, ми повинні вирішити рівняння f(x)=0. Ми отримуємо рівняння a 2 + bx + c = 0.

Рішення рівняння залежить від знака Δ = b 2 - 4ac.

Імемо наступні варіанти:

1) Δ< 0 ,
тоді рівняння не має рішень у R(Багато дійсних чисел) і графік не перетинає Ox. Форма графіка буде:

2) Δ = 0,
тоді рівняння два рішення $x_1=x_2=-\frac(b)(2a)$
Графік стосується осі Oxу вершині параболи. Форма графіка буде:

3) Δ > 0,
тоді у рівняння два різні рішення.

$x_1=\frac(-b-\sqrt(\Delta))(2a)$ і $x_2=\frac(-b+\sqrt(\Delta))(2a)$

Графік функції перетинатиме вісь Oxу точках M(x 1і Ox. Форма графіка буде:

||. Крапка, що знаходиться на осі Оймає форму R(0, y), тому що відстань від Ойодно 0 . Якщо точка знаходиться і на Ойі на графіку функції, то вона також має форму R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)).

У разі квадратичної функції,
f(0) = a×0 2 + b×0 + c ⇒ R(0, c).

Необхідні кроки для побудови графіка квадратичної функції

f: R → R
f(x) = ax 2 + bx + c

1. Складаємо таблицю змінних, куди заносимо деякі важливі значення x.

2. Обчислюємо координати вершини $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

3. Також записуємо 0 таблицю і нульові значення симетричні $-\frac(b)(2a)$.

4. Ми визначаємо точку перетину з віссю Ox,вирішуючи рівняння f(x)=0і записуємо коріння x 1і x 2в таблиці.
Δ > 0 ⇒

Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac{b}{2a}$

Δ = 0 ⇒ графік стосується Oxпрямо у вершині параболи. Ми знову виберемо два зручні значення, симетричні $-\frac(b)(2a)$. Для кращого визначення форми графіка ми можемо вибрати інші пари значень для xале вони повинні бути симетричні $-\frac(b)(2a)$.

5. Ми наносимо ці значення систему координат і будуємо графік, з'єднуючи ці точки.

Приклад 1
f: R → R
f(x) = x 2 - 2x - 3
a = 1, b = -2, c = -3

$-\frac(b)(2a)=\frac(2)(2)=1$ ⇒ V(1; -4)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(16)(4)=-4$

2. f(0) = -3
Симетричне значення 0 щодо 1 дорівнює 2.
f(2) = -3

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 2x - 3 = 0
Δ = 16 > 0
$x_1=\frac(-b-\sqrt(\Delta))(2a)=\frac(2-4)(2)=-1$

$x_1=\frac(2+4)(2)=3$

Ми знайшли крапки:
A(-1; 0)
B(0; -3)
V(1; -4)
C(2; -3)
D(3; 0)

Графік матиме вигляд:

Приклад 2
f: R → R
f(x) = -x 2 - 2x + 8
a = -1, b = -2, c = 8
Δ = b 2 - 4×a×c = (-2) 2 - 4×(-1)×8 = 36
$-\frac(b)(2a)=\frac(2)(-2)=-1$ ⇒ V(-1; 9)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(-36)(-4)=9$

2. f(0) = 8
f(-2) = 8 (симетричне значення 0 щодо -1 дорівнює -2)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 - 2x + 8 = 0
Δ = 36
x 1 = 2 та x 2 = -4

A(-4; 0)
B(-2; 8)
V(-1; 9)
C(0; 8)
D(2; 0)

Приклад 3
f: R → R
f(x) = x 2 - 4x + 4
a = 1, b = -4, c = 4
Δ = b 2 - 4×a×c = (-4) 2 - 4×1×4 = 0
$-\frac(b)(2a)=\frac(4)(2)=2$ ⇒ V(2; 0)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=0$

2. f(0) = 4
f(4) = 4 (симетричне значення 0 щодо 2 дорівнює 4)

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 4x + 4 = 0
Δ = 0
x 1 = x 2 = $-\frac(b)(2a)$ = 2

A(-2; 9)
B(0; 4)
V(2; 0)
C(4; 4)
D(5; 9)

Приклад 4
f: R → R
f(x) = -x 2 + 4x - 5
a = -1, b = 4, c = -5
Δ = b 2 - 4×a×c = 4 2 - 4×(-1)×(-5) = 16 - 20 = -4
$-\frac(b)(2a)=\frac(-4)(-2)=2$ ⇒ V(2; -1)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(-4)(-4)=-1$

2. f(0) = -5
f(4) = -5 (симетричне значення 0 щодо 2 дорівнює 4)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 + 4x - 5 = 0, Δ< 0
У цього рівняння немає рішень. Ми вибрали симетричні значення навколо 2

A(-1; -10)
B(0; 5)
V(2; -1)
C(4; -5)
D(5; -10)

Якщо область визначення не R (множина дійсних чисел), а якийсь інтервал, то ми перемо частину графіка, яка відповідає тим значенням x,які не перебувають у даному інтервалі. Необхідно записати кінцеві точки інтервалу у таблиці.

Приклад 5
f:)