методом Монте – Карло

1. Предмет методу Монте-Карло

Датою народження методу Монте – Карло прийнято вважати 1949, коли вчені Н. Метрополіс і С. Улам опублікували статтю під назвою «Метод Монте – Карло», в якій виклали суть свого методу. Назва методу пов'язана з назвою міста Монте – Карло, де у гральних будинках (казино) грають у рулетку, яка є одним із найпростіших пристроїв для отримання так званих « випадкових чисел », використання яких заснований даний метод.

ЕОМ дозволяють легко отримувати так звані « псевдовипадкові числа »(При вирішенні завдань їх часто застосовують замість випадкових чисел). Це призвело до широкого впровадження методу в галузі науки і техніки (статистична фізика, теорія масового обслуговування, теорія ігор та ін). Метод Монте – Карло застосовують обчислення інтегралів, особливо багатовимірних, на вирішення систем алгебраїчних рівнянь високого порядку, на дослідження різноманітних складних систем (автоматичного управління, економічних, біологічних тощо.).

Сутність методу Монте – Карлополягає в наступному: потрібно знайти значеннячисладеякої досліджуваної величини. Для цього вибирають таку випадкову величину
, математичне очікування якої дорівнює :
, тобто. вирішить вказане функціональне рівняння. Це завдання у випадку дуже складна і важка.

Практично ж роблять так: виробляють випробувань, в результаті яких отримують можливих значень
; обчислюють їх середнє арифметичне

і приймають як оцінка (наближеного значення) шуканого числа :

Оскільки метод Монте – Карло вимагає проведення великої кількості випробувань, його часто називають методом статистичних випробувань. Теорія цього вказує, як найбільш доцільно вибрати випадкову величину
Як знайти її можливі значення. Зокрема, розробляються способи зменшення дисперсії випадкових величин, що використовуються, внаслідок чого зменшується помилка, що допускається при заміні шуканого математичного очікування числа його оцінкою .

Знаходження можливих значень випадкової величини
(моделювання) називають « розігруванням випадково величини». Тут ми викладемо лише деякі способи розігрування С.В.
і вкажемо, як оцінити припустиму при цьому помилку.

2. Випадкові числа, оцінка похибки способу Монте – Карло.

Як зазначили, метод Монте – Карло заснований на застосуванні випадкових чисел; наведемо визначення цих чисел. Позначимо через н.с.в., розподілену рівномірно в інтервалі
.

Випадковими числаминазивають можливі значення безперервної випадкової величини , розподіленої рівномірно в інтервалі
.

Насправді користуються нерівномірно розподіленою С.В. , можливі значення якої, взагалі кажучи, мають нескінченну кількість десяткових знаків, а квазірівномірною випадково величиною
, можливе значення якої мають кінцеве число символів. В результаті заміни на
величина, що розігрується, має не точно, а приблизно заданий розподіл.

Наприкінці книжки наведена таблиця випадкових чисел, запозичену з книжки (Большев Л.Н….»Таблиці математичної статистики. Наука, 1965г.).

Нехай для отримання оцінки математичного очікування числа випадкової величини
було зроблено незалежних випробувань (розіграно можливих значень) і за ними було знайдено вибіркову середню , яка прийнята як шукана оцінка
.

Зрозуміло, що, якщо повторити досвід, будуть отримані інші можливі значення
. Отже, інша середня та інша оцінка числа
. Вже звідси випливає, що в загальному випадку отримає точну оцінку МО неможливо.

Природно, виникає питання про величину помилки, що допускається. Обмежимося тут відшуканням лише верхнього кордону припустимої помилки із заданою ймовірністю (надійністю)

Верхня межа помилки, що цікавить нас є не що інше, як « точність оцінки» математичного очікування щодо вибіркової середньої за допомогою довірчих інтервалів вже йшлося в розділі додаток1, тема 21. У зв'язку з цим скористаємося отримані раніше

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

✪ RuleOfThumb - Метод Монте-Карло

✪ Дмитро Казаков - Кварки

✪ [Колоквіум]: Блиск і злидні математичних методів у прикладних дослідженнях

✪ Лекція 1: Похибки обчислень

✪ Олена Браун - Міф про Річарда lll

Субтитри

Історія

Алгоритм Бюффона для визначення числа Пі

	Число кидань	Число перетинів	Довжина голки	Відстань між прямими	обертання	Значення Пі	Помилка
Перша спроба	500	236	3	4	Відсутнє	3.1780	+3,6⋅10 -2
Друга спроба	530	253	3	4	присутній	3.1423	+7,0⋅10 -4
Третя спроба	590	939	5	2	присутній	3.1416	+4,7⋅10 -5

Коментарі:

Зв'язок стохастичних процесів та диференціальних рівнянь

Створення математичного апарату стохастичних методів розпочалося наприкінці ХІХ століття. У 1899 році лорд Релей показав, що одновимірне випадкове блукання на нескінченних гратах може давати наближене рішення одного з видів параболічного, диференціального рівняння. Андрій-Миколайович-Колмогоров у 1931-му році дав великий поштовх розвитку стохастичних підходів до вирішення різних математичних завдань, оскільки він зумів довести, що ланцюги Маркова пов'язані з деякими інтегро-диференціальними рівняннями. У 1933-му році Іван-Георгійович-Петровський показав, що випадкове блукання, що утворює Марківський ланцюг, асимптотично пов'язане з рішенням еліптичного, диференціального рівняння в приватних похідних. Після цих відкриттів стало зрозуміло, що стохастичні процеси можна описувати диференціальними рівняннями і, відповідно, досліджувати за допомогою добре на той момент розроблених математичних методів розв'язання цих рівнянь.

Народження методу Монте-Карло у Лос-Аламосі

Ідея була розвинена Уламом, який, розкладаючи пасьянси під час одужання після хвороби, поставив питання, яка ймовірність того, що пасьянс складеться. Замість використання звичайних для подібних завдань міркування комбінаторики, Улам припустив, що можна просто поставити експеримент велику кількість разів і, підрахувавши число вдалих результатів, оцінити ймовірність. Він запропонував використовувати комп'ютери для розрахунків методом Монте-Карло.

Поява перших електронних комп'ютерів, які могли з великою швидкістю генерувати псевдовипадкові числа, різко розширила коло завдань, для вирішення яких стохастичний підхід виявився більш ефективним, ніж інші математичні методи. Після цього стався великий прорив, і метод Монте-Карло застосовувався у багатьох завданнях, проте його використання не завжди було виправдано через велику кількість обчислень, необхідних для отримання відповіді із заданою точністю.

Роком народження методу Монте-Карло вважається 1949, коли у світ виходить стаття Метрополіса і Улама «Метод Монте-Карло». Назва методу походить від назви комуни в князівстві Монако, широко відомого своїми численними казино, оскільки саме рулетка є одним з найвідоміших генераторів, випадкових чисел. Станіслав Улам пише у своїй автобіографії «Пригоди математика», що назва була запропонована Ніколасом Метрополісом на честь його дядька, який був азартним гравцем.

Подальший розвиток та сучасність

Інтегрування методом Монте-Карло

Припустимо, потрібно взяти інтеграл від певної функції. Скористаємося неформальним геометричним описом інтеграла і розумітимемо його як площу під графіком цієї функції.

Для визначення цієї площі можна скористатися одним із звичайних чисельних методів інтегрування: розбити відрізок на підвідрізки, підрахувати площу під графіком функції на кожному з них і скласти. Припустимо, що з функції, представленої малюнку 2, достатньо розбиття на 25 відрізків і, отже, обчислення 25 значень функції. Уявимо тепер, ми маємо справу з n (\displaystyle n)-мірною функцією. Тоді нам потрібно 25 n (\displaystyle 25^(n))відрізків та стільки ж обчислень значення функції. При розмірності функції більше 10 завдання стає величезним. Оскільки простори великої розмірності зустрічаються, зокрема, у завданнях теорії струн, а також багатьох інших фізичних задачах, де є системи з багатьма ступенями свободи, необхідно мати метод рішення, обчислювальна складність якого не настільки сильно залежала б від розмірності. Саме такою властивістю має метод Монте-Карло.

Звичайний алгоритм Монте-Карло інтегрування

Припустимо, потрібно обчислити певний інтеграл ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx)

Розглянемо випадкову величину u (\displaystyle u)рівномірно розподілену на відрізку інтегрування. Тоді також буде випадковою величиною, причому її математичне очікування виражається як
E f (u) = ∫ a b f (x) φ (x) d x (\displaystyle \mathbb(E) f(u)=\int \limits _(a)^(b)f(x)\varphi (x) \, dx), де φ (x) (\displaystyle \varphi(x))- Щільність розподілу випадкової величини u (\displaystyle u), рівна 1 b − a (\displaystyle (\frac (1)(b-a)))на ділянці [ a , b ] (\displaystyle ).

Таким чином, шуканий інтеграл виражається як
∫ a b f (x) d x = (b − a) E f (u) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx=(b-a)\mathbb(E) f( u)).

Але математичне очікування випадкової величини f(u) (\displaystyle f(u))можна легко оцінити, змоделювавши цю випадкову величину і порахувавши середнє вибіркове.

Отже, кидаємо N (\displaystyle N)точок, рівномірно розподілених на [ a , b ] (\displaystyle )для кожної точки u i (\displaystyle u_(i))обчислюємо f (u i) (\displaystyle f(u_(i))). Потім обчислюємо середнє вибіркове: 1 N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle (\frac (1)(N))\sum _(i=1)^(N)f(u_(i))).

У результаті отримуємо оцінку інтегралу: ∫ a b f (x) d x ≈ b − a N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx\approx (\frac(b-a) (N))\sum _(i=1)^(N)f(u_(i)))

Точність оцінки залежить лише від кількості точок N (\displaystyle N).

Цей метод має геометричну інтерпретацію. Він дуже схожий на описаний вище детерміністичний метод, з тією різницею, що замість рівномірного поділу області інтегрування на маленькі інтервали і підсумовування площ «стовпчиків», що виходять, ми закидаємо область інтегрування випадковими точками, на кожній з яких будуємо такий же «стовпчик», визначаючи його ширину як b − a N (\displaystyle (\frac (b-a)(N)))і сумуємо їх площі.

Геометричний алгоритм Монте-Карло інтегрування

Для визначення площі під графіком функції можна використати такий стохастичний алгоритм:

Для малого числа вимірювань інтегрованої функції продуктивність Монте-Карло інтегрування набагато нижча, ніж продуктивність детермінованих методів. Тим не менш, у деяких випадках, коли функція задана неявно, а необхідно визначити область, задану у вигляді складних нерівностей, стохастичний метод може виявитися кращим.

Використання вибірки за значимістю

При тій же кількості випадкових точок, точність обчислень можна збільшити, наблизивши область, що обмежує потрібну функцію, до самої функції. Для цього необхідно використовувати випадкові величини з розподілом, форма якого максимально близька до форми функції, що інтегрується. На цьому заснований один з методів поліпшення збіжності у обчисленнях методом Монте-Карло: вибірка по значущості.

Оптимізація

Різні варіації методу Монте-Карло можна використовуватиме вирішення завдань оптимізації. Наприклад, алгоритм  імітації відпалу .

Застосування у фізиці

Комп'ютерне моделювання відіграє в сучасній фізиці важливу роль і метод Монте-Карло є одним із найпоширеніших у багатьох областях від квантової фізики до фізики твердого тіла, фізики плазми та астрофізики.

Алгоритм Метрополісу

Традиційно метод Монте-Карло застосовувався визначення різних фізичних параметрів систем, що у стані термодинамічного рівноваги. Припустимо, що є набір можливих станів фізичної системи S (\displaystyle S). Для визначення середнього значення A ¯ (\displaystyle (\overline (A)))деякої величини A (\displaystyle A)необхідно розрахувати A ?, де підсумовування проводиться у всіх станах S (\displaystyle S)з W (S) (\displaystyle W(S)), P (S) (\displaystyle P(S))- ймовірність стану S (\displaystyle S).

Динамічна (кінетична) формулювання

Пряме моделювання методом Монте-Карло

Пряме моделювання шляхом Монте-Карло будь-якого фізичного процесу передбачає моделювання поведінки окремих елементарних елементів фізичної системи. По суті це пряме моделювання близьке до вирішення задачі з перших принципів, проте зазвичай для прискорення розрахунків допускається застосування будь-яких фізичних наближень. Прикладом можуть бути розрахунки різних процесів методом молекулярної динаміки: з одного боку система описується через поведінку її елементарних складових частин, з іншого боку, використовуваний потенціал взаємодії найчастіше є емпіричним.

Приклади прямого моделювання методом Монте-Карло:

• Моделювання опромінення твердих тіл іонами у наближенні бінарних зіткнень.
• Пряме, Монте-Карло, моделювання розріджених газів.
• Більшість кінетичних Монте-Карло моделей належать до прямих (зокрема, дослідження молекулярно-пучкової епітаксії).

Квантовий метод Монте-Карло

Квантовий метод Монте-Карло широко застосовується на дослідження складних молекул і твердих тіл. Ця назва поєднує кілька різних методів. Перший з них це варіаційний метод Монте-Карло, який по суті є чисельним інтегруванням багатовимірних інтегралів, що виникають при вирішенні рівняння Шредінгера. Для вирішення задачі, в якій бере участь 1000 електронів, необхідно взяття 3000-мірних інтегралів, і при вирішенні таких завдань метод Монте-Карло має величезну перевагу у продуктивності в порівнянні з іншими чисельними методами інтегрування. Інший різновид методу Монте-Карло - це дифузійний метод Монте-Карло.

Нещодавно я прочитав чудову книгу Дугласа Хаббарда. У короткому конспекті книги я обіцяв, що один із розділів – Оцінка ризику: введення в моделювання методом Монте-Карло – я присвячую окрему нотатку. Та все якось не складалося. І ось нещодавно я став уважніше вивчати методи управління валютними ризиками. У матеріалах, присвячених цій тематиці, часто згадується моделювання методом Монте-Карло. Тож обіцяний матеріал перед вами.

Наведу простий приклад моделювання методом Монте-Карло тим, хто ніколи не працював з ним раніше, але має певне уявлення про використання електронних таблиць Excel.

Припустимо, що ви хочете орендувати новий верстат. Вартість річної оренди верстата 400 000 дол. і договір потрібно підписати на кілька років. Тому, навіть не досягнувши, ви все одно не зможете відразу повернути верстат. Ви збираєтеся підписати договір, думаючи, що сучасне обладнання дозволить заощадити на трудовитратах та вартості сировини та матеріалів, а також вважаєте, що матеріально-технічне обслуговування нового верстата коштуватиме дешевше.

Завантажити замітку у форматі, приклади у форматі

Ваші калібровані фахівці з оцінки дали наступні інтервали значень очікуваної економії та річного обсягу виробництва:

Річна економія складе: (MS+LS+RMS) х PL

Звичайно, цей приклад надто простий, щоб бути реалістичним. Обсяг виробництва щороку змінюється, якісь витрати знизяться, коли робітники остаточно освоять новий верстат, тощо. Але ми в цьому прикладі навмисно пожертвували реалізмом задля простоти.

Якщо ми візьмемо медіану (середнє) кожного інтервалу значень, то отримаємо річну економію: (15 + 3 + 6) х 25 000 = 600 000 (дол.)

Схоже, що ми не тільки домоглися беззбитковості, а й отримали деякий прибуток, але не забувайте – існують невизначеності. Як оцінити ризикованість цих інвестицій? Давайте перш за все визначимо, що таке ризик у даному контексті. Щоб отримати ризик, ми повинні намітити майбутні результати з притаманними їм невизначеностями, причому якісь з них – з ймовірністю завдати шкоди кількісному визначенню. Один із способів поглянути на ризик – уявити ймовірність того, що ми не досягнемо беззбитковості, тобто, що наша економія виявиться меншою за річну вартість оренди верстата. Чим більше нам не вистачить на покриття видатків на оренду, тим більше ми втратимо. Сума 600 000 дол. - Це медіана інтервалу. Як визначити реальний інтервал значень і розрахувати ймовірність того, що ми не досягнемо точки беззбитковості?

Оскільки точних даних немає, не можна виконати прості розрахунки для відповіді на питання, чи зможемо ми досягти необхідної економії. Є методи, що дозволяють за певних умов знайти інтервал значень результуючого параметра діапазонів значень вихідних даних, але для більшості проблем з реального життя такі умови, як правило, не існують. Як тільки ми починаємо підсумовувати та множити різні типи розподілів, завдання зазвичай перетворюється на те, що математики називають нерозв'язною або не має вирішення звичайними математичними методами проблемою. Тому натомість ми користуємося методом прямого підбору можливих варіантів, що стало можливим завдяки появі комп'ютерів. З наявних інтервалів ми вибираємо навмання безліч (тисячі) точних значень вихідних параметрів і розраховуємо безліч точних значень шуканого показника.

Моделювання методом Монте-Карло – чудовий спосіб вирішення таких проблем. Ми повинні лише випадково вибрати у зазначених інтервалах значення, підставити їх у формулу для розрахунку річної економії та розрахувати підсумок. Одні результати перевищать розраховану нами медіану 600 000 дол., А інші будуть нижче. Деякі будуть навіть нижчими за необхідні для беззбитковості 400 000 дол.

Ви легко зможете здійснити моделювання методом Монте-Карло на персональному комп'ютері за допомогою програми Excel, але для цього знадобиться трохи більше інформації, ніж 90% довірчий інтервал. Потрібно знати форму кривої розподілу. Для різних величин більше підходять криві однієї форми, ніж інший. У разі 90%-ного довірчого інтервалу зазвичай використовується крива нормального (гаусового) розподілу. Це добре знайома всім дзвоноподібна крива, на якій більшість можливих значень результатів групуються в центральній частині графіка і лише небагато, менш імовірні, розподіляються, сходячи нанівець до його країв (рис. 1).

Ось як виглядає нормальний розподіл:

Рис.1. Нормальний розподіл. По осі абсцис число сигм.

особливості:

• значення, що розташовуються в центральній частині графіка, більш імовірні, ніж значення з його країв;
• розподіл симетрично; медіана знаходиться точно посередині між верхньою та нижньою межами 90%-ного довірчого інтервалу (CI);
• "хвости" графіка нескінченні; значення за межами 90%-ного довірчого інтервалу малоймовірні, але все ж таки можливі.

Для побудови нормального розподілу в Excel можна скористатися функцією =НОРМРАСП(Х; Середнє; Стандартне_вимк.; Інтегральна), де
Х – значення, котрій будується нормальне розподіл;
Середнє - середнє арифметичне розподілу; у разі = 0;
Стандартне_вимкнення – стандартне відхилення розподілу; у разі = 1;
Інтегральна - логічне значення, що визначає форму функції; якщо аргумент "інтегральна" має значення ІСТИНА, функція НОРМРАСП повертає інтегральну функцію розподілу; якщо цей аргумент має значення брехня, повертається функція щільності розподілу; у нашому випадку = БРЕХНЯ.

Говорячи про нормальний розподіл, необхідно згадати про таке пов'язане з ним поняття, як стандартне відхилення. Очевидно, не всі мають інтуїтивне розуміння, що це таке, але оскільки стандартне відхилення можна замінити числом, розрахованим по 90%-му довірчому інтервалу (сенс якого інтуїтивно розуміють багато хто), я не буду тут докладно на ньому зупинятися. Малюнок 1 показує, що в одному 90% довірчому інтервалі налічується 3,29 стандартного відхилення, тому нам просто потрібно буде зробити перетворення.

У разі слід створити в електронній таблиці генератор випадкових чисел кожного інтервалу значень. Почнемо, наприклад, із MS – економії на матеріально-технічному обслуговуванні. Скористаємося формулою Excel: =НОРМОБР(імовірність;середнє;стандартне_відкл), де
Імовірність - ймовірність, що відповідає нормальному розподілу;
Середнє - середнє арифметичне розподілу;
Стандартне_вимкнення – стандартне відхилення розподілу.

У нашому випадку:
Середнє (медіана) = (Верхня межа 90%-ного CI + Нижня межа 90%-ного СI)/2;
Стандартне відхилення = (Верхня межа 90% CI – Нижня межа 90% СІ)/3,29.

Для параметра MS формула має вигляд: =НОРМОБР(СЛЧИС();15;(20-10)/3,29), де
СЛЧИС - функція, що генерує випадкові числа в діапазоні від 0 до 1;
15 - середнє арифметичне діапазону MS;
(20-10) / 3,29 = 3,04 - стандартне відхилення; нагадаю, що сенс стандартного відхилення в наступному: в інтервал 3,29 * Стандарт відкл, розташований симетрично відносного середнього, потрапляє 90% всіх значень випадкової величини (у нашому випадку MS)

Розподіл величини економії на матеріально-технічному обслуговуванні для 100 випадкових нормально розподілених значень:

Мал. 2. Можливість розподілу MS за діапазонами значень; про те, як побудувати такий розподіл за допомогою зведеної таблиці див.

Оскільки ми використовували «лише» 100 випадкових значень, розподіл вийшов не таким симетричним. Проте близько 90% значень потрапили в діапазон економії на MS від 10 до 20 дол. (якщо бути точним, то 91%).

Побудуємо таблицю з урахуванням довірчих інтервалів параметрів MS, LS, RMS і PL (рис. 3). Два останні стовпці показують результати розрахунків на основі даних інших стовпців. У стовпці "Загальна економія" показана річна економія, розрахована для кожного рядка. Наприклад, у разі реалізації сценарію 1 загальна економія складе (14,3 + 5,8 + 4,3) х 23 471 = 570 834 дол. Стовпець «Чи досягається беззбитковість?» вам насправді не потрібний. Я увімкнув його просто для інформативності. Створимо в Excel 10000 рядків-сценаріїв.

Мал. 3. Розрахунок сценаріїв методом Монте-Карло в Excel

Щоб оцінити отримані результати, можна використовувати, наприклад, зведену таблицю, яка дозволяє підрахувати кількість сценаріїв у кожному 100-тисячному діапазоні. Потім ви будуєте графік, який відображає результати розрахунку (рис. 4). Цей графік показує, яка частка з 10 000 сценаріїв матимуть річну економію у тому чи іншому інтервалі значень. Наприклад, близько 3% сценаріїв дадуть річну економію понад 1М дол.

Мал. 4. Розподіл загальної економії за діапазонами значень. По осі абсцис відкладено 100-тисячні діапазони розміру економії, а по осі ординат частка сценаріїв, що припадають на вказаний діапазон

З усіх отриманих значень річної економії приблизно 15% будуть меншими за 400К дол. Це означає, що ймовірність збитків становить 15%. Це число і представляє змістовну оцінку ризику. Але ризик який завжди зводиться до можливості негативної прибутковості інвестицій. Оцінюючи розміри речі, ми визначаємо її висоту, масу, обхват тощо. Так само існують і кілька корисних показників ризику. Подальший аналіз показує: є 4% ймовірність того, що завод замість економії втрачатиме щорічно по 100К дол. Однак повна відсутність доходів практично виключена. Ось що мається на увазі під аналізом ризику – ми повинні вміти розраховувати на ймовірність шкоди різного масштабу. Якщо ви дійсно вимірюєте ризик, то маєте робити саме це.

У деяких ситуаціях можна піти коротшим шляхом. Якщо всі розподіли значень, з якими ми працюємо, будуть нормальними і нам треба просто скласти інтервали цих значень (наприклад, інтервали витрат і вигод) або відняти їх один від одного, можна обійтися і без моделювання методом Монте-Карло. Коли необхідно підсумовувати три види економії нашого прикладу, слід провести простий розрахунок. Щоб отримати інтервал, використовуйте шість кроків, наведених нижче:

1) відніміть середнє значення кожного інтервалу значень з його верхньої межі; задля економії на матеріально-технічному обслуговуванні 20 – 15 = 5 (дол.), задля економії на трудовитратах – 5 дол. та для економії на сировині та матеріалах – 3 дол.;

2) зведіть у квадрат результати першого кроку 5 2 = 25 (дол.) тощо;

3) підсумовуйте результати другого кроку 25 + 25 + 9 = 59 (дол.);

4) витягніть квадратний корінь із отриманої суми: вийде 7,7 дол.;

5) складіть усі середні значення: 15 + 3 + 6 = 24 (дол.);

6) додайте до суми середніх значень результат кроку 4 та отримайте верхню межу діапазону: 24 + 7,7 = 31,7 дол.; відніміть із суми середніх значень результат кроку 4 і отримайте нижню межу діапазону 24 – 7,7 = 16,3 дол.

Таким чином, 90% довірчий інтервал для суми трьох 90% довірчих інтервалів за кожним видом економії становить 16,3–31,7 дол.

Ми використовували таку властивість: розмах сумарного інтервалу дорівнює квадратному кореню із суми квадратів розмахів окремих інтервалів.

Іноді щось схоже роблять, підсумовуючи всі «оптимістичні» значення верхньої межі та «песимістичні» значення нижньої межі інтервалу. У даному випадку ми отримали б на основі наших трьох 90% довірчих інтервалів сумарний інтервал 11–37 дол. Цей інтервал дещо ширший, ніж 16,3–31,7 дол. Коли такі розрахунки виконуються при обґрунтуванні проекту з десятками змінних, розширення інтервалу стає надмірним, щоб його ігнорувати. Брати «оптимістичні» значення для верхньої межі і «песимістичні» для нижньої – все одно що думати: кинувши кілька гральних кісток, ми у всіх випадках отримаємо тільки «1» або тільки «6». Насправді ж випаде якесь поєднання низьких і високих значень. Надмірне розширення інтервалу – поширена помилка, яка, безперечно, часто призводить до прийняття необґрунтованих рішень. У той же час описаний мною простий метод чудово працює, коли у нас є кілька 90% довірчих інтервалів, які необхідно підсумовувати.

Однак наша мета не лише підсумувати інтервали, але й помножити їх на обсяг виробництва, значення якого також дано у вигляді діапазону. Простий метод підсумовування годиться лише віднімання чи складання інтервалів значень.

Моделювання методом Монте-Карло потрібне і тоді, коли не всі розподіли є нормальними. Хоча інші типи розподілів не входять у предмет цієї книги, згадаємо про два з них – рівномірний та бінарний (рис. 5, 6).

Мал. 5. Рівномірний розподіл (не ідеальний, а побудований за допомогою функції СЛЧИС в Excel)

особливості:

• ймовірність всіх значень однакова;
• розподіл симетрично, без перекосів; медіана знаходиться точно посередині між верхньою та нижньою межами інтервалу;
• значення за межами інтервалу неможливі.

Для побудови даного розподілу в Excel було використано формулу: СЛЧИС()*(UB – LB) + LB, де UB – верхня границя; LB – нижня межа; з наступним розбиттям всіх значень на діапазони за допомогою зведеної таблиці.

Мал. 6. Бінарний розподіл (розподіл Бернуллі)

особливості:

• можливі лише два значення;
• існує єдина ймовірність одного значення (у разі 60%); ймовірність іншого значення дорівнює одиниці мінус ймовірність першого значення

Для побудови випадкового розподілу цього виду в Excel використовувалася функція: =ЯКЩО(СЛЧИС()<Р;1;0), где Р - вероятность выпадения «1»; вероятность выпадения «0» равна 1–Р; с последующим разбиением всех значений на два значения с помощью сводной таблицы.

Метод уперше використав математик Станіслав Улам (див. ).

Дуглас Хаббард далі перераховує кілька програм, призначених для моделювання методом Монте-Карло. Серед них і Crystal Ball компанії Decisioneering, Inc., Денвер, штат Колорадо. Книга англійською мовою була видана в 2007 р. Зараз ця програма належить вже Oracle. Демо-версія програми доступна для завантаження з сайту компанії. Про її можливості ми й погоримо.

розділ 5 згадуваної книги Дугласа Хаббарда

Тут Дуглас Хаббард під розмахом розуміє різницю між верхнім кордоном 90%-ного довірчого інтервалу і середнім значенням цього інтервалу (або між середнім значенням і нижньою кордоном, оскільки розподіл симетрично). Зазвичай під розмахом розуміють різницю між верхньою та нижньою межами.

лекція 5.

Метод Монте-Карло

Тема 3 Процеси масового обслуговування в економічних системах

1. Вступні зауваження. 1

2. Загальна схема методу Монте-Карло. 2

3. Приклад розрахунку системи обслуговування методом Монте-Карло. 4

Контрольні питання.

1. Вступні зауваження

Метод статистичного моделювання на ЕОМ - основний метод отримання результатів за допомогою імітаційних моделей стохастичних систем, що використовує як теоретичну базу граничні теореми теорії ймовірностей. Основа – метод статистичних випробувань Монте-Карло.

Метод Монте-Карло можна як метод моделювання випадкових величин з метою обчислення характеристик їх розподілів. Як правило, передбачається, що моделювання здійснюється за допомогою електронних обчислювальних машин (ЕОМ), хоча в деяких випадках можна досягти успіху, використовуючи пристосування типу рулетки, олівця та паперу.

Термін "метод Монте-Карло" (запропонований Дж. Фон Нейманом і в 1940-х) відноситься до моделювання процесів з використанням генератора випадкових чисел. Термін Монте-Карло (місто, широко відоме своїми казино) походить від того факту, що "число шансів" (методи моделювання Монте-Карло) було використано з метою знаходження інтегралів від складних рівнянь при розробці перших ядерних бомб (інтеграли квантової механіки). За допомогою формування великих вибірок випадкових чисел, наприклад, з кількох розподілів, інтеграли цих (складних) розподілів можуть бути апроксимовані з (згенерованих) даних.

Виникнення ідеї використання випадкових явищ в області наближених обчислень прийнято відносити до 1878, коли з'явилася робота Холла про визначення чисел p за допомогою випадкових кидання голки на розграфлений паралельними лініями папір. Істота справи полягає в тому, щоб експериментально відтворити подію, ймовірність якої виражається через число p, і приблизно оцінити цю ймовірність.

Вітчизняні роботи з методу Монте-Карло з'явилися торік. За два десятиліття накопичилася широка бібліографія за методом Монте-Карло, яка налічує понад 2000 назв. При цьому навіть побіжний перегляд назв робіт дозволяє зробити висновок про застосування методи Монте-Карло для вирішення прикладних завдань з великої кількості областей науки і техніки.

Спочатку метод Монте-Карло використовувався головним чином на вирішення завдань нейтронної фізики, де традиційні чисельні методи виявилися мало придатними. Далі його вплив поширився широкий клас завдань статистичної фізики, дуже різних за змістом. До розділів науки, де все більшою мірою використовується метод Монте-Карло, слід віднести завдання теорії масового обслуговування, завдання теорії ігор та математичної економіки, завдання теорії передачі повідомлень за наявності перешкод та інших.

Метод Монте-Карло зробив і продовжує істотно впливати на розвиток методу обчислювальної математики (наприклад, розвиток методів чисельного інтегрування) і при вирішенні багатьох завдань успішно поєднується з іншими обчислювальними методами і доповнює їх. Його застосування виправдане насамперед у тих завданнях, які допускають теоретико-імовірнісний опис. Це як природністю отримання відповіді з деякою заданою ймовірністю у завдання з можливим змістом, і істотним спрощенням процедури решения. Труднощі розв'язання тієї чи іншої завдання на ЕОМ визначаться значною мірою труднощами перекладання її на «мову» машини. Створення мов автоматичного програмування значно спростило одне із етапів цієї роботи. Найбільш складними етапами тому нині є: математичний опис досліджуваного явища, необхідні спрощення завдання, вибір відповідного чисельного методу, дослідження його похибки та запис алгоритму. У випадках, коли є теоретико-імовірнісний опис завдання, використання методу Монте-Карло може суттєво спростити згадані проміжні етапи. Втім, як випливатиме з подальшого, у багатьох випадках корисно і для завдань строго детермінованих будувати ймовірнісну модель (рандомізувати вихідне завдання) для того, щоб далі використовувати метод Монте-Карло.

2. Загальна схема методу Монте-Карло

Припустимо, що нам потрібно обчислити деяку невідому величину m, і хочемо зробити це, розглядаючи випадкову величину таку, що її математичне очікування М, = m. Нехай у своїй дисперсія даної випадкової величини D = b.

Розглянемо N випадкових незалежних величин,,,, розподіли яких збігаються з розподілом випадкової величини, що розглядається ξ..gif" width="247" height="48">

Останнє співвідношення можна переписати у вигляді

Отримана формула дає метод розрахунку і оцінку похибки цього методу.

Сутність застосування методу Монте-Карло полягає у визначенні результатів на підставі статистики, що отримується до моменту прийняття деякого рішення.

Наприклад.Нехай Е1 і Е2 - дві єдино можливі реалізації деякого випадкового процесу, причому p1 - ймовірність результату Е1, а р2 = 1 - p1 - ймовірність результату Е2. Щоб визначити, яка з двох подій, e1 або Е2, має місце в даному випадку, візьмемо в інтервалі між 0 і 1 випадкове число і рівномірно розподілене в інтервалі (0, 1), і зробимо випробування. Результат Е1 матиме місце, якщо , а результат Е2 - інакше.

Отже, достовірність результатів, одержуваних під час використання методу Монте-Карло, вирішальним чином визначається якістю генератора випадкових чисел.

Для отримання випадкових чисел на ЕОМ використовуються способи генерування, які зазвичай ґрунтуються на багатократному повторенні деякої операції. Отриманої таким чином послідовності більше відповідає назва псевдовипадкових чисел, оскільки послідовність, що генерується, є періодичною і, починаючи з деякого моменту, числа почнуть повторюватися. Це з того, що у коді ЕОМ можна записати лише кінцеве число різних чисел. Отже, врешті-решт одне з генерованих чисел γ1 збігається з одним з попередніх членів послідовності γL. А оскільки генерація здійснюється за формулою виду

γк+1 = F(γk),

з цього моменту повторюватимуться та інші члени послідовності.

Використання рівномірно розподілених випадкових чисел становить основу моделювання з допомогою методу Монте-Карло. Можна сміливо сказати, що й деяка випадкова величина було визначено з допомогою методу Монте-Карло, то її обчислення використовувалася послідовність рівномірно розподілених випадкових чисел.

Рівномірно розподілені випадкові числа укладені в інтервалі від 0 до 1 і вибираються випадковим чином відповідно до функції розподілу

F(x) = Рr(Х< х} = х, .

При цьому розподілі однаково правдоподібним є поява будь-яких значень випадкової величини в інтервалі (0, 1). Тут Рг(Х< х} - вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше х.

Основним методом отримання випадкових чисел є їх генерація за модулем. Нехай m, a, с, х0 - цілі числа, такі, що m > х0 і а, с, х0 > 0. Псевдовипадкове число хi з послідовності (хi) виходить за допомогою рекурентного співвідношення

xi = а xi-1+с (mod m).

Стохастичні характеристики чисел, що генеруються вирішальним чином залежать від вибору m, а і с. Їхній невдалий вибір призводить до помилкових результатів при моделюванні методом Монте-Карло.

Для чисельного моделювання часто потрібна велика кількість випадкових чисел. Отже, період послідовності випадкових чисел, що генеруються, після якого послідовність починає повторюватися, повинен бути досить великим. Він повинен бути суттєво більшим за необхідну для моделювання кількість випадкових чисел, інакше одержувані результати будуть спотворені.

Більшість комп'ютерів та програмних оболонок містять генератор випадкових чисел. Однак більшість статистичних тестів показує корелювання між одержуваними випадковими числами.

Існує швидкий тест, за допомогою якого потрібно перевіряти кожен генератор. Якість генератора випадкових чисел можна продемонструвати, заповнюючи повністю d-вимірну решітку (наприклад, двох-або тривимірну). Хороший генератор має заповнити весь простір гіперкуба.

Інший наближений спосіб перевірки рівномірності розподілу N випадкових чисел хi полягає у обчисленні їхнього математичного очікування та дисперсії. Відповідно до цього критерію, для рівномірного розподілу повинні виконуватись умови

Існує безліч статистичних критеріїв, які можна використовувати для перевірки того, чи послідовність буде випадковою. Найбільш точним вважається спектральний критерій. Наприклад, дуже поширений критерій, званий КС-критерієм, або критерієм Колмогорова-Смирнова. Перевірка показує, що, наприклад, генератор випадкових чисел в електронних таблицях Excel не задовольняє цей критерій.

На практиці головною проблемою є побудова простого та надійного генератора випадкових чисел, який можна використовувати у своїх програмах. Для цього пропонується така процедура.

На початку програми цілої змінної X надається деяке значення Х0. Потім випадкові числа генеруються за правилом

X = (аХ + с) mod m. (1)

Вибір параметрів слід здійснювати, використовуючи такі основні принципи.

1. Початкове число Х0 можна вибрати довільно. Якщо програма використовується кілька разів і щоразу потрібні різні джерела випадкових чисел, можна, наприклад, присвоїти X0 значення X, отримане останнім на попередньому прогоні.

2. Число m має бути більшим, наприклад, 230 (оскільки саме це число визначає період генерованої псевдовипадкової послідовності).

3.Якщо m - ступінь двійки, вибирають таким, щоб a mod8 = 5. Якщо m - ступінь десяти, вибирають таким, щоб a mod10 = 21. Такий вибір гарантує, що генератор випадкових чисел вироблятиме всі m можливих значень, перш ніж вони почнуть повторюватися.

4.Множитель акраще вибирати лежачим між 0.01m і 0.99m, та його двійкові чи десяткові цифри не повинні мати просту регулярну структуру. Множник має пройти спектральний критерій та, бажано, ще кілька критеріїв.

5.Якщо a- хороший множник, значення не істотно, крім того, що з повинно мати загального множника з m, якщо m - розмір комп'ютерного слова. Можна, наприклад, вибрати с = 1 чи с = а.

6. Можна генерувати не більше m/1000 випадкових чисел. Після цього має використовуватися нова схема, наприклад, новий множник а.

Перелічені правила, головним чином, належать до машинної мови програмування. Для мови програмування високого рівня, наприклад С++, часто використовують інший варіант (1): вибирається просте число m, близьке до найбільшого числу, що легко обчислюється, значення а належить рівним первісному кореню з m, а з береться рівним нулю. Наприклад, можна прийняти a= 48271 і т =

3. Приклад розрахунку системи масового обслуговування методом Монте-Карло

Розглянемо найпростішу систему масового обслуговування (СМО), що складається з n ліній (інакше званих каналами чи пунктами обслуговування). У випадкові моменти часу до системи надходять заявки. Кожна заявка надходить на лінію № 1. Якщо на момент надходження за явки Тк ця лінія вільна, заявка обслуговується час t3 (час зайнятості лінії). Якщо лінія зайнята, заявка миттєво передається на лінію № 2 і т. д. Якщо всі n ліній зараз зайняті, то система видає відмову.

Природною є завдання визначення характеристик даної системи, якими можна оцінити її ефективність: середній час очікування обслуговування, частка часу простою системи, середню довжину черги тощо.

Для таких систем практично єдиним методом розрахунку є метод Монте-Карло.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image013_34.gif" width="373" height="257">

Для отримання випадкових чисел на ЕОМ використовуються алгоритми, тому такі послідовності, які є, по суті, детермінованими, називаються псевдовипадковими. ЕОМ оперує n-розрядними числами, тому на ЕОМ замість безперервної сукупності рівномірних випадкових чисел інтервалу (0,1) використовують дискретну послідовність 2n випадкових чисел того ж інтервалу - закон розподілу такої дискретної послідовності називається квазірівномірним розподілом.

Вимоги до ідеального генератора випадкових чисел:

1. Послідовність має складатися з квазірівномірно розподілених чисел.

2. Числа мають бути незалежними.

3. Послідовності випадкових чисел мають бути відтвореними.

4. Послідовності повинні мати неповторні числа.

5. Послідовності повинні виходити з мінімальними витратами обчислювальних ресурсів.

Найбільше застосування у практиці моделювання на ЕОМ для генерації послідовностей псевдовипадкових числа знаходять алгоритми виду:

рекурентні співвідношення першого порядку.

Наприклад. x0 = 0,2152, (x0) 2 = 0, x1 = 0,6311, (x1) 2 = 0, x2 = 0,8287 і т. д.

Недолік подібних методів - наявність кореляції між числами послідовності, інколи ж випадковість взагалі відсутня, наприклад:

x0 = 0,4500, (x0) 2 = 0, x1 = 0,2500, (x1) 2 = 0, x2 = 0,2500 і т. д.

Широке застосування отримали конгруентні процедури генерації псевдовипадкових послідовностей.

Два цілі числа a і b конгруентні (порівнянні) по модулю m, де m - ціле число, тоді і тільки тоді, коли існує таке ціле число k, що a-b = km.

1984 º 4 (mod 10), 5008 º 8 (mod 103).

Більшість конгруентних процедур генерації випадкових чисел засновані на такій формулі:

де – невід'ємні цілі числа.

За цілими числами послідовності (Xi) можна побудувати послідовність (xi)=(Xi/M) раціональних чисел одиничного інтервалу (0,1).

Застосовувані генератори випадкових чисел перед моделюванням повинні пройти ретельне попереднє тестування на рівномірність, стохастичність і незалежність послідовностей випадкових чисел, що отримуються.

Методи покращення якості послідовностей випадкових чисел:

1. Використання рекурентних формул порядку r:

Але застосування цього способу призводить до збільшення витрат обчислювальних ресурсів отримання чисел.

2. Метод збурень:

.

5. Моделювання випадкових впливів на системи

1. Необхідно реалізувати випадкову подію А, що настає із заданою ймовірністю p. Визначимо А як подія, яка полягає в тому, що обране значення xi рівномірно розподіленої на інтервалі (0,1) випадкової величини задовольняє нерівність:

Тоді вірогідність події А буде .

Процедура моделювання випробувань у разі полягає у послідовному порівнянні випадкових чисел xi зі значеннями lr. Якщо умова виконується, результатом випробування виявляється подія Аm.

3. Розглянемо незалежні події А та В з ймовірностями настання рА та рВ. Можливими наслідками спільних випробувань у цьому випадку будуть події АВ, з ймовірностями рАрВ, (1-рА)рВ, рА(1-рВ), (1-рА)(1-рВ). Для моделювання спільних випробувань можна використовувати два варіанти процедури:

Послідовне виконання процедури, розглянутої у п.1.

Визначення одного з наслідків АВ, за жеребом з відповідними ймовірностями, тобто процедура, розглянута в п.2.

Перший варіант вимагатиме двох чисел xi та двох порівнянь. При другому варіанті можна обійтися одним числом xi, але порівнянь може знадобитися більше. З погляду зручності побудови моделюючого алгоритму та економії кількості операцій та пам'яті ЕОМ більш кращий перший варіант.

4. Події А і є залежними і наступають з ймовірностями pА і pВ. Позначимо через pА(В) умовну ймовірність настання події за умови, що подія А сталося.

Контрольні питання

1) Як можна визначити метод Монте-Карло?

2) Практичне значення методу Монте-Карло.

3) Загальна схема методу Монте-Карло.

4) Приклад розрахунку системи обслуговування методом Монте-Карло.

5) Методи генерації випадкових чисел.

6) Які вимоги до ідеального генератора випадкових чисел?

7) Методи покращення якості послідовностей випадкових чисел.

Іншим методом оцінки чи аналізу чутливості з урахуванням комп'ютерної імітації є метод Монте-Карло, під яким розуміють певний метод вирішення деякого класу економічних чи математичних завдань, у яких ті чи інші параметри, у разі чинники ризику, моделюються у вигляді випадкових величин. Цей метод ґрунтується на комп'ютерній імітації розподілів цих випадкових величин та формуванні відповідних оціночних показників проектів на основі цих розподілів. Він є імітаційним методом аналізу стійкості, який історично отримав свою назву за назвою міста, в якому розташовуються відомі гральні будинки і казино. Термін "моделювання за методом Монте-Карло" було запропоновано американськими вченими С. Уламом та Дж. фон Нейманом у процесі роботи в рамках відомого Манхеттенського проекту. Перша стаття з цієї проблематики була написана в 1949 році.

З одного боку, метод Монте-Карло є певною модифікацією розглянутого вище дискретного аналізу чутливості, оскільки йдеться про оцінку впливу зміни параметрів грошового потоку на чисту реальну вартість та інші критерії оцінки інвестиційних проектів. З іншого - основна відмінність від дискретного методу полягає в тому, що в процесі застосування методу Монте-Карло формується певний розподіл значень чистої реальної вартості проекту, ставки внутрішнього відсотка, індексу прибутковості та інших показників, що визначається залежно від випадкових розподілів обраних факторів ризику, що імітуються. . Це дозволяє отримувати певні оцінки цього розподілу у формі дисперсії, стандартного відхилення або коефіцієнта варіації за чистою справжньою вартістю або іншим результуючим показником, аналіз яких дозволяє зробити висновки про стійкість майбутніх умов виконання проекту, можливості отримання сприятливих або несприятливих результатів. Цей метод заснований на імітаційному моделюванні на комп'ютері випадкових розподілів обраних параметрів грошового потоку - факторів ризику, на базі яких формується розподіл показників оцінки проекту, що розглядається.

Під час проведення розрахунків методом Монте-Карло передбачається, що відомі значення всіх параметрів, визначальних величину окремих компонентів грошового потоку інвестиційного проекту. Для тих параметрів, які розглядаються як фактори ризику, вихідне значення приймається як очікуване при моделюванні випадкового розподілу цього фактора на ЕОМ.

Організаційно метод Монте-Карло як метод імітаційного комп'ютерного моделювання можна описати такою послідовністю основних етапів.

Визначення основних показників оцінки інвестиційного проекту , по відношенню до яких вимірюватиметься вплив факторів ризику. До таких показників можуть бути віднесені: чиста реальна вартість проекту, ставка внутрішнього відсотка, індекс прибутковості, період окупності або інші за бажанням інвестора, що передбачає здійснити аналізований проект.

Виділення параметрів , розглядаються як фактори ризику , які моделюватимуться у формі випадкових величин. Для їх чисельної реалізації передбачається проводити комп'ютерне моделювання на основі генераторів псевдовипадкових чисел, вбудованих у Microsoft Excel, на основі заздалегідь обраної форми розподілу. Для аналізу виділяють ті компоненти грошового потоку, які, але думку інвестора, менеджера чи експерта у відповідній галузі, надають найбільше впливом геть зміна виділеного показника проекту, тобто. є найістотнішими факторами ризику. У принципі можна розглянути, наскільки випадкові всі параметри всіх компонентів грошового потоку, але це пов'язано з трьома проблемами. По-перше, збільшення числа виділених випадкових параметрів може призвести до суперечливих результатів внаслідок корельованих аналізованих реалізацій випадкових величин; по-друге, це може вимагати більше часу для аналізу отриманих результатів та обґрунтування впливу окремих факторів; по-третє, залишиться невиявленим, які саме чинники вплинули на результати.

Вибір форми розподілу випадкових величин , на основі яких буде проведено комп'ютерну імітацію їх чисельної реалізації. Він складає основі деяких уявлень про розподіли аналізованих показників. У числі подібних розподілів можна відзначити: нормальний, логнормальний (частіше використовується при моделюванні параметрів фінансових ринків), трикутний, рівномірний та ін. різною густиною заповнення. Логнормальний розподіл не є симетричним, і його застосування спирається на передумову про те, що більшість значень випадкової величини зсунута в певну сторону щодо очікуваного значення.

У цій книзі під час проведення експериментальних розрахунків методом Монте-Карло під час моделювання випадкових величин - обраних параметрів грошового потоку - використовується нормальне розподіл .

Імітаційне моделювання випадкових величин – вибраних параметрів грошового потоку. Для моделювання чисельної реалізації відповідної випадкової величини використовують вбудований генератор псевдовипадкових чисел у опції "Аналіз даних" меню "Сервіс" пакета Microsoft Excel. У цьому випадку має бути заздалегідь задано очікуване значення аналізованого параметра та його стандартне відхилення, а також кількість чисельних реалізацій випадкових величин, які мають бути отримані протягом одного циклу імітаційних розрахунків. Для таких розрахунків можна також застосовувати спеціальні пакети прикладних програм.

Якщо моделюється кілька випадкових велич одночасно, то необхідно перевірити відсутність кореляції між кожною парою отриманих їх чисельних реалізацій. Можливості використання при цьому критеріїв перевірки статистичних гіпотез пояснимо нижче.

Враховуючи кожну отриману реалізацію випадкової величини, що розглядається, а також параметри грошових потоків, які передбачаються фіксованими, виконуються розрахунки грошових потоків для кожної отриманої реалізації зазначених випадкових величин. Кількість грошових потоків збігаються з обраним числом реалізацій цих величин. На основі цих грошових потоків відбувається формування розподілу чистої реальної вартості проекту або інших оціночних показників проекту, що розглядається, в кожному циклі імітаційних розрахунків.

Визначення характеристик розподілу чистої реальної вартості проекту , отриманого в результаті одного циклу імітаційних розрахунків, у тому числі очікуваного значення чистої реальної вартості проекту, дисперсії та стандартного відхилення та інших показників отриманого розподілу даного показника. До них можна віднести найбільше і найменше значення чистої реальної вартості, коефіцієнт варіації як додаткову характеристику розподілу, можливість реалізації негативного значення чистої реальної вартості, тобто. невигідного для інвестора результату виконання проекту. В останньому випадку зазначена ймовірність визначається як відношення числа негативних значень чистої реальної вартості в отриманому розподілі до загальної кількості виконаних експериментів у рамках одного циклу імітаційних розрахунків:

де k - число негативних значень чистої реальної вартості в отриманій процесі імітації вибірці; т - кількість проведених імітаційних експериментів Подібна оцінка ймовірності несприятливих результатів спирається на припущення про те, що ймовірність кожного результату в процесі циклу імітаційного моделювання однакова і становить р = 1 /т. Аналогічні розрахунки може бути виконано й у ставки внутрішнього відсотка, індексу дохідності, періоду окупності.

При проведенні розрахунків можна використовувати вбудовані статистичні функції Microsoft Excel (табл. 5.12), які задаються на розподілі NPV або за допомогою іншого розрахункового показника, одержаного в результаті одного циклу імітаційних розрахунків.

Таблиця 5.12

Вбудовані функції Microsoft Excel, що використовуються.

Послідовне багаторазове повторення циклів імітаційних розрахунків , виконуваних по етапах 4 і 5, що передбачає послідовне формування розподілів значень чистої реальної вартості, а також відповідних наборів значень оціночних показників, представлених на етапі 5.

Для перевірки стійкості отриманих характеристик розподілу чистої реальної вартості та підвищення якості обґрунтованості висновків має бути виконано кілька сотень або тисяч циклів ітераційних розрахунків у режимі імітації.

Аналіз основних результатів. Результати застосування методу Монте-Карло для аналізу та оцінки стійкості проекту до виділених факторів ризику можуть бути представлені у двох формах. Насамперед може йтися про аналіз отриманих у результаті імітаційних розрахунків кількісних значень показників, що характеризують параметри отриманого розподілу чистої реальної вартості проекту чи інших оціночних показників. До таких показників можна віднести: очікуване значення чистої реальної вартості; дисперсію, стандартне відхилення та коефіцієнт варіації як заходи ризику; найбільше та найменше значення чистої реальної вартості за отриманою вибіркою; ймовірність отримання негативного значення чистої реальної вартості проекту. У процесі багаторазового повторення циклу імітаційних розрахунків можна побудувати середнє за цією вибіркою значення для кожного зазначеного показника, розглядаючи їх як певні очікувані характеристики впливу факторів ризику на умови виконання цього інвестиційного проекту.

Аналіз розподілу значень зазначених показників, отриманих в результаті досить великої кількості ітерацій, дозволяє зробити певні висновки щодо відносної стійкості чистої реальної вартості проекту, очікуваного значення та стандартного відхилення розподілу, що отримується. NPV, ймовірності отримання негативного значення NPV проекту за умови зміни виділених випадкових величин відповідно до обраної форми їхнього розподілу. Цю стійкість можна оцінити візуально, побудувавши графіки вибіркових значень зазначених показників або за допомогою відповідних статистичних оцінок, що визначаються на основі отриманої вибірки відповідного показника. Аналогічний аналіз може бути виконаний у тому випадку, якщо використовуються інші критерії оцінки проекту.

Мал. 5.4.

Іншою формою результату комп'ютерної імітації чи досліджень методом Монте-Карло можуть бути різні графіки. Йдеться про частотні гістограми значень чистої реальної вартості, які формуються залежно від частоти потрапляння імітованих значень чистої реальної вартості у виділені інтервали або групи її значень, а також про графіки розподілу ймовірності негативного значення чистої реальної вартості або інших оціночних показників.

Загальна послідовність розрахунків методом Монте-Карло представлена ​​на рис. 5.4. Відповідні розрахунки можуть бути виконані тільки на ЕОМ при використанні вбудованих можливостей Microsoft Excel або інших пакетів прикладних програм.

Покажемо можливості реалізації методу Монте-Карло та особливості аналізу одержаних результатів на основі наступного умовного прикладу. Усі вихідні дані щодо розглянутого проекту наведено в табл. 5.13.

Таблиця 5.13

Вихідні дані щодо проекту

Показник
Коефіцієнт використання потужностей, %
Очікувана вартість реалізації, крб.
Стандартне відхилення ціни реалізації, руб.
Інвестиції, руб.
Умовно-постійні витрати, руб/рік
Умовно-змінні витрати, руб/сд. ірод.
Стандартне відхилення умовно-змінних витрат

Виділимо параметри та сформуємо вихідний грошовий потік цього інвестиційного проекту. Розрахунки компонентів грошового потоку виконані за формулами

де k t - коефіцієнт використання виробничої потужності у році t, M t - виробнича потужність підприємства у році t, p t - ціна продукції в період t; h f - норма умовно-змінних витрат на рік t; H f - умовно-постійні витрати у період t, t = 1, 2,..., T; T – період виконання проекту.

Результати розрахунку вихідного грошового потоку за формулами (5.10) наведено у табл. 5.14.

В даному прикладі розглядається комп'ютерне моделювання двох факторів ризику: ціни продукції у другому році та умовно-змінних витрат у третьому році. Імітаційне моделювання складає основі припущення про нормальному розподілі обох чинників.

Таблиця 5.14

Параметри та грошовий потік інвестиційного проекту

	Інвестиції		Коефіцієнт використання потужностей, %	Максимальний обсяг випуску, од. вид.	Очікувана пеалнзанмн.		постійні	Умовно-змінні витрати, руб/од. ірод.	Грошовий
			-

Для ціни другого року як очікуваного чи середнього значення вибирається 30 крб. (див. табл. 5.13), а стандартне відхилення вважається рівним 2. Для умовно-змінних витрат третього року, відповідно, очікуване значення дорівнює 16 руб. (див. табл. 5.13), а стандартне відхилення було обрано рівним 1. Оцінка стандартного відхилення може бути отримана на основі уявлень про можливі інтервали коливань відповідного показника. Тож якщо очікуване коливання ціни реалізації другого року становить 6 крб. в обидві сторони від очікуваного значення, то, враховуючи, що в умовах нормального розподілу практично весь інтервал становить ±3а, приблизна оцінка стандартного відхилення в даному випадку дорівнює 6/3 = 2 руб. Аналогічно можуть бути отримані інші значення стандартного відхилення, наведені в табл. 5.13.

При комп'ютерному моделюванні випадкової реалізації обох вибраних показників були використані вбудовані можливості Microsoft Excel по генерації псевдовипадкових величин на основі нормального розподілу. Кожен цикл імітаційних розрахунків включав 100 ітерацій. Результати одного циклу розрахунків обох випадкових величин наведено у табл. 5.15.

Перш ніж виконувати подальші розрахунки, необхідно перевірити гіпотезу про відсутність кореляції між обома випадковими величинами, розподіл яких наведено в табл. 5.15. Для цього, використовуючи вбудовану функцію "Коррел" пакета Microsoft Excel, розрахуємо вибірковий коефіцієнт парної кореляції, значення якого складе r ph = -0,10906, тобто. майже дорівнює нулю. Для формальної перевірки гіпотези

Таблиця 5.15

Імітація розподілу випадкових величин, руб.

І Іомер ітерації	Ціна другого року, руб.	Умовно-змінні витрати третього року, руб/од. прод.
	Середнє значення – 30	Середнє значення -16
	Стандартне відхилення - 2	Стандартне відхилення - 1

про відсутність кореляції між випадковими величинами, що розглядаються, необхідно побудувати статистику

де п - обсяг вибірки, тобто. кількість ітерацій в одному циклі імітаційних розрахунків, та порівняти її зі статистикою t a (n - 2), що має розподіл Ст'юдента сп - 2 ступенями свободи та довірчий рівень а. Враховуючи вказане значення вибіркового коефіцієнта кореляції та обсяг вибірки п = 100, у разі отримаємо:

що за модулем менше відповідного табличного значення квантилю розподілу Стьюдента з 98 ступенями свободи та довірчим рівнем 0,95, яке становить 1,984. Це дозволяє прийняти гіпотезу Н() з ймовірністю помилки першого роду, що дорівнює 0,05.

Використовуючи отримані чисельні реалізації ціни другого року та умовно-змінних витрат третього року (див. табл. 5.15), а також задані значення інших параметрів грошового потоку (див. табл. 5.14), формуються грошові потоки інвестиційного проекту, що відповідають отриманим значенням цін на кожній ітерації. Розрахунки виконані за формулами (5.10). Усього сформовано 100 грошових потоків. Результати розрахунків наведено у табл. 5.16.

Таблиця 5.16

ітерації

Використовуючи отримані значення грошових потоків, проведемо розрахунки чистої реальної вартості проекту за формулою

Було використано ставку розрахункового відсотка, що дорівнює 12%. Ці розрахунки виконані у пакеті Microsoft Excel за допомогою вбудованої фінансової функції "ЧПС", яка використовується для обчислення значень чистої реальної вартості. Результати розрахунків наведено у табл. 5.17.

Таблиця 5.17

Варіанти грошового потоку аналізованого проекту у межах одного циклу імітаційних розрахунків, крб.

Номер ітерації	Чиста реальна вартість	Номер ітерації	Чиста реальна вартість

Використовуючи отриманий розподіл значень чистої реальної вартості проекту, можна визначити основні характеристики, що відображають рівень впливу факторів ризику на чисту реальну вартість цього проекту. Побудуємо частотну гістограму значень чистої реальної вартості. Для цього всі отримані на 100 ітераціях значення чистої реальної вартості проекту підрозділимо на групи в такий спосіб. У першу групу включимо ті значення чистої реальної вартості, які перевищують -20 000 крб., а далі з кроком 10 000 крб. сформуємо ще сім груп значень чистої реальної вартості, з 2-ї та 8-ю, причому в останню групу включимо ті значення чистої реальної вартості, які перевищують 50 000 руб., І визначимо кількість значень чистої реальної вартості, що потрапила в кожну виділену групу ( таблицю 5.18).

Розподіл отриманих значень чистої реальної вартості за групами, що вказані в табл. 5.18 можна подати на наступній частотній гістограмі (рис. 5.5). Ця гістограма показує, що найбільша кількість отриманих значень NPV розташовується в інтервалі від -10 000 до 30 000. Вона дає також певне уявлення про можливі негативні значення чистої реальної вартості, які в даному прикладі потрапили в 1-ю, 2-ю і 3-ю групи. При цьому більша частина

Таблиця 5.18

Угруповання розрахункових значень чистої реальної вартості

Мал. 55.

розрахункових величин NPV рас покладається у сфері позитивних значень. Конкретні значення частот потрапляння у кожний інтервал залежить від отриманого розподілу виділених випадкових змінних, у прикладі цін реалізації другого року й умовно-змінних витрат третього, які розглядаються як чинники ризику. Отриманий результат суттєво залежить від припущення про нормальний розподіл зазначених факторів.

Метод Монте-Карло дозволяє проаналізувати вплив факторів ризику - вибраних параметрів проекту - на показники його оцінки, що вивчаються. У нашому прикладі як такий показник розглядається чиста реальна ціна. Результати розрахунків шести показників, що характеризують розподіл NPV, побудовані послідовно кожному з виконаних 10 циклів імітаційних розрахунків, наведені у табл. 5.19.

Всі вони виконані при однаковому припущенні нормального розподілу випадкових змінних, що розглядаються, і збереженні їх характеристик - середнього або очікуваного значення і стандартного відхилення. Як фактори ризику в процесі виконаних експериментальних розрахунків у цьому прикладі були обрані ціни другого року та умовно-змінні витрати третього року; для кожного з цих факторів параметри розподілу зберігалися однаковими у всіх 10 циклах імітаційних розрахунків. У принципі можна проводити імітаційні розрахунки за методом Монте-Карло зі змінним стандартним відхиленням. І тут велику складність представляє аналіз стійкості отриманих результатів.

Докладніше проаналізуємо результати розрахунків, які наведені в табл. 5.19. При цьому показники для 1-го циклу імітаційних розрахунків було визначено на основі розподілу NPV, представленого у табл. 5.17.

Таблиця 5.19

Характеристики розподілів NPV, отриманих у режимі імітації, руб.

Показник	Цикл імітаційних розрахунків
Очікуване значення NPV
Стандартне відхилення NPV
Коефіцієнт варіації
Ймовірність негативного значення NPV
Найбільше значення NPV
Найменше значення NPV

По-перше, очікуване значення NPV у всіх 10 циклах імітаційних розрахунків виявилося позитивним, більшість отриманих значень NPV для кожного розподілу зрушена у позитивну область.

По-друге, стандартне відхилення для кожного розподілу NPV, отриманого в режимі імітації, більше очікуваного значення NPV. Зазначене співвідношення відображає і значення коефіцієнта варіації, яке більше одиниці для всіх циклів імітаційних розрахунків і дозволяє зробити висновок про можливість реалізації негативного значення NPV у процесі виконання цього проекту.

По-третє, цей висновок підтверджують отримані оцінки ймовірності негативного значення NPV проекту, що визначається відповідно до формули (5.9) як відношення числа отриманих негативних значень чистої реальної вартості на даному циклі імітаційних розрахунків до загальної кількості ітерацій, яка дорівнює 100. Для всіх проведених циклів імітаційних розрахунків ця ймовірність становить приблизно 30%.

По-четверте, максимальні та мінімальні значення NPV проекту дають уявлення про можливий інтервал коливань чи розкидання значень NPV проекту. Зазначені дані ще раз підтверджують, що стандартне відхилення характеризує лише частину інтервалу коливань значення чистої реальної вартості проекту, визначеного внаслідок імітаційних розрахунків.

По-п'яте, представлені в табл. 5.19 дані дозволяють зробити висновки про стійкість одержаних на кожному циклі імітаційних розрахунків характеристик розподілів NPV, що, власне, і дає можливість інтерпретувати отримані середні оцінки емпіричних результатів як такі, що відповідають умовам виконання проекту. Цю стійкість можна перевіряти у різний спосіб.

1. Можна використовувати візуальну оцінку розподілу результатів, поданих у табл. 5.19. Так, на рис. 5.6 наведено розподіл ймовірності негативного значення NPV r отримане у 10 циклах імітаційних розрахунків.

Під час аналізу графіка, наведеного на рис. 5.6 очевидно, що отриманий інтервал коливань цієї ймовірності досить вузький. Якщо використовувати максимальне та мінімальне значення цієї ймовірності, то можна показати, що відхилення від середнього значення цієї ймовірності за даною вибіркою, що дорівнює 0,31, становить приблизно 13% в обидві сторони.

Мал. 5.6. Ймовірність негативного значення NPV за циклами імітації

Аналогічно можна виділити інтервал коливання очікуваного значення чистої реальної вартості проекту. Як свідчать дані табл. 5.19, у всіх циклах імітаційних розрахунків очікувана NPV мала позитивне значення, хоча і була схильна до певних коливань. Графік наведений на рис. 5.7 показує, як можливі тенденції зміни зазначеного показника, так і інтервал коливань його значення за виконаними циклами імітаційних розрахунків.

Мал. 5.7. Очікуване значення NPV за циклами імітації

Якщо врахувати, що середнє за вибіркою значення очікуваної чистої реальної вартості - 6332,38 крб., можна показати, що інтервал коливань розрахункових значень становить приблизно 24% в обидві сторони від середнього значення. Отримані оцінки дуже залежить від кількості виконаних циклів імітаційних розрахунків і, природно, змінюватимуться під час наступних циклів. Відносна надійність подібних оцінок зростає зі зростанням числа циклів імітаційних розрахунків і розширення обсягу вибірки, представленої в табл. 5.19. Аналогічний аналіз може бути виконаний і для інших показників, що визначаються у кожному циклі імітаційних розрахунків (див. табл. 5.19).

2. При суттєвому збільшенні кількості циклів імітаційних розрахунків та розширенні вибірки отриманих результатів можна використовувати формальні критерії перевірки гіпотез та на їх основі формувати висновки про стійкість отриманих результатів та конкретних значень тих чи інших розрахункових параметрів. Перевірка статистичних гіпотез полягає в формуванні перевірочних статистик, які визначаються з урахуванням вибірки аналізованого показника, і навіть припущення у тому, що перевірна статистика має заданий розподіл. Вище під час перевірки гіпотези про рівність нулю коефіцієнта парної кореляції розглядалася так звана проста гіпотеза у припущенні, що перевірна статистика мала розподіл Ст'юдента з п - 2 ступенями свободи. Особливість перевірки статистичних гіпотез у тому, що вони приймаються з певним рівнем довіри. Результати відповідного тесту можуть містити помилки першого роду, коли гіпотеза відкидається, якщо вона вірна, і помилки другого роду, коли гіпотеза приймається у тому випадку, якщо вона невірна чи вірна альтернативна гіпотеза, тобто. відповідь, що отримується в процесі подібного тестування, не носить абсолютного характеру.

Прийняття рішення про виконання або невиконання інвестиційного проекту на основі даних, отриманих за методом Монте-Карло, передусім передбачає аналіз отриманих розподілів значень чистої реальної вартості проекту, який можна проводити на основі гістограми, аналогічної до рис. 5.5. Подібна гістограма може бути побудована для середнього по всіх реалізаціях розподілу NPV.

Якщо всі значення розподілу NPV на кожному циклі імітаційних розрахунків виявляються позитивними, то проект можна рекомендувати до виконання, інакше, якщо всі значення розподілу NPV Проект негативний на кожному циклі імітаційних розрахунків, проект не рекомендується до виконання. У всіх інших випадках необхідно зіставляти шанси на отримання позитивного та негативного значень NPV. Для гістограми представленої на рис. 5.5 можна відзначити, що позитивні значення NPV досягаються для груп з 4-ї по 8-ю. З огляду на дані табл. 5.18 можна відзначити, що за даною вибіркою 65% значень NPV позитивні і лише 35% негативні. Аналогічний аналіз можна здійснити і за середнім значенням розподілу за всіма циклами імітаційних розрахунків.

У літературі, присвяченій проблемам оцінки інвестиційних проектів за методом Монте-Карло, пропонується розрахувати ще деякі показники щодо вибірки NPV при припущенні, що результати кожної ітерації протягом одного циклу імітаційних розрахунків мають однакову ймовірність р= 1 /п. Саме на основі даного підходу розраховано значення очікуваної NPV у табл. 5.19. Пропонується за такою ж схемою визначати "очікуваний виграш" за позитивними значеннями NPV в отриманій вибірці та "очікуваний програш" - за негативними значеннями NPV у цій вибірці.

Враховуючи що NPV - це критерій вибору проекту, а не змістовна оцінка його корисних результатів, потрібна додаткова змістовна інтерпретація зазначених показників "виграшів" та "програшів". Однак у тому випадку, коли як підсумковий показник, що моделюється, розглядається дохід за певний період, за отриманою в результаті імітації вибіркою можна будувати оцінки середнього позитивного доходу або збитку.

Прийняття інвестиційного проекту до виконання чи ні залежить від сформованих у результаті імітації розподілів значень NPV та отриманих характеристик цього розподілу. Характеристики розподілу NPV (Див. табл. 5.19) змінюються при кожному циклі імітаційних розрахунків. Тому особливого значення набуває аналіз стійкості встановлених шляхом імітаційних розрахунків результатів, який дозволяє отримати додаткову інформацію для ухвалення рішення. Йдеться не стільки про те, які конкретні значення одержуваних результатів, скільки про те, наскільки вони стійкі і чи сильно вони не змінюватимуться під фактичним впливом виділених факторів ризику. Результати цього аналізу мають відносний характер як у разі, коли цей аналіз виконується візуально, так і якщо говорять про оцінку основних критеріїв перевірки статистичних гіпотез. Тому для особи, яка приймає рішення, суттєво, чи відповідають отримані інтервали коливання характеристик розподілу його уявлень про майбутні коливання відповідного показника чи задовольняє його довірчий рівень виконання відповідної гіпотези.

Остаточне рішення менеджера про виконання або невиконання проекту приймається на основі всієї зазначеної вище інформації з урахуванням його схильності або несхильності до ризику, яка знаходить своє відображення в тому, чи вважає ця особа для себе можливою реалізацію проекту з отриманими характеристиками розподілу. NPV і чи існують у нього ті чи інші можливості управління ризиками даного проекту в тому випадку, якщо його розвиток піде несприятливим шляхом. Формальні критерії вибору рішення з урахуванням інформації, одержуваної у процесі моделювання методом Монте-Карло, нині не розроблено, що відносять до одного з основних недоліків цього методу оцінки та обґрунтування інвестиційних проектів за умов ризику.

При використанні методу Монте-Карло слід мати на увазі, що в процесі його реалізації йдеться про оцінку загальної стійкості проекту до зміни виділених факторів ризику (у нашому прикладі - ціни та умовно-змінних витрат). Це з тим, що це метод, як і дискретний аналіз чутливості, заснований не так на використанні можливих майбутніх змін виділеного зовнішнього чинника ризику, наприклад, цін, на ринку, а спирається на комп'ютерну імітацію розподілів виділених чинників ризику. Результати суттєво залежать від обсягу отриманої вибірки оціночних показників, при цьому їх конкретні значення можуть суттєво змінюватись від циклу до циклу імітаційних розрахунків. У цьому полягає недоліки методу Монте- Карло як імітаційного методу аналізу ризику проектів довгострокових інвестицій.

Іноді поділяють суму інвестицій у проект та витрати на майбутній бізнес, які виникають до завершення будівництва та запуску в експлуатацію, наприклад, у формі витрат на опалення, освітлення, управлінські витрати, ото і враховує параметр H₀.

Докладніше про перевірку гіпотез див. Магнус Я. Р. Катишев П. К., Пересецький А. А.Економетрики. Початковий курс М.: Справа, 1997. С. 219-221.

Ризик-менеджмент інвестиційного проекту: підручник/за ред. М. В. Грачової, Л. Б. Сікеріна. М.: ЮНІТІ-ДАНА, 2009. С. 169-170.