Вища безперервна випадкова величина задавалася за допомогою функції розподілу. Цей спосіб завдання не єдиний. Безперервну випадкову величину можна також задати, використовуючи функцію, яку називають щільністю розподілу або щільністю ймовірності (часто її називають диференціальною функцією ).

Щільністю розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Хназивають функцію f(x) -першу похідну від функції розподілу F(x):

f(x) = F" (x).

З цього визначення випливає, що функція розподілу є первісної для густини розподілу. Знаючи густину розподілу, можна обчислити ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде значення, що належить заданому інтервалу.

Теорема. Імовірність того, що безперервна випадкова величина Хприйме значення, що належить інтервалу ( а, b), дорівнює певному інтегралу від щільності розподілу, взятому в межах від адо b:

Знаючи щільність розподілу f(x), можна знайти функцію розподілу F(х)за формулою

.

Властивості щільності розподілу:

Властивість 1.Щільність розподілу – невід'ємна функція:
.

Геометрично ця властивість означає, що точки, що належать графіку щільності розподілу, розташовані або над віссю Охабо на цій осі. Графік густини розподілу називають кривою розподілу .

Властивість 2. Невласний інтеграл від густини розподілу в межах від
до
дорівнює одиниці:

.

Геометрично це означає, що вся площа криволінійної трапеції, обмеженою віссю Ох та кривою розподілу, дорівнює одиниці.

Зокрема, якщо всі значення випадкової величини належать до інтервалу ( а, b), то

.

Математичне очікування дискретної випадкової величини

Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак він часто невідомий заздалегідь і доводиться користуватися опосередкованими відомостями. У багатьох випадках цих непрямих характеристик цілком достатньо для вирішення практичних завдань та визначати закон розподілу не потрібно. Такі характеристики називають числовими характеристиками тиками випадкової величини. І першою є математичне очікування.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини Xназивається сума творів усіх її можливих значень ( x 1 , x 2 , …, x n) на їх ймовірності ( p 1 , p 2 , …, p n):

Слід зауважити, що M(x) є невипадкова (Постійна) величина. Можна довести, що M(x) приблизно одно (і тим точніше, чим більше число випробувань n) середнього арифметичного значень випадкової величини, що спостерігаються.

Математичне очікування має такі властивості:

· Математичне очікування постійною і найпостійнішою:

.

· Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:

.

· Математичне очікування твори двох незалежних випадкових величин Xі Y(тобто закон розподілу однієї з них не залежить від можливих значень іншої) і добутку їх математичних очікувань:

· Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:

Тут під сумою X+Yвипадкових величин розуміється нова випадкова величина, значення якої дорівнюють сумам кожного значення Xз кожним можливим значенням Y; ймовірності можливих значень X+Yдля незалежних випадкових величин Xі Yрівні творам ймовірностей доданків, а залежних – творам ймовірностей одного доданку на умовну ймовірність іншого. Так, якщо Xі Y– незалежні та їх закони розподілу

· Якщо виробляється nнезалежних випробувань,

кожному з яких ймовірність події Aпостійна і рівна p, то математичне очікування числа появ події Aу серії:

.

Зазначимо, що властивості третього і четвертого легко узагальнюються для будь-якої кількості випадкових величин.

Дисперсія дискретної випадкової величини

Математичне очікування - зручна характеристика, але часто її недостатньо для судження про можливі значення випадкової величини або про те, як вони розпорошені довкола середнього значення. Тому вводяться та інші числові показники.

Нехай X- Випадкова величина з математичним очікуванням M(X). Відхиленням X 0 назвемо різницю між випадковою величиною та її математичним очікуванням:

.

Математичне очікування відхилення M(X 0) = 0.

приклад. Нехай заданий закон розподілу величини X:

Відхилення є проміжною характеристикою, на основі якої введемо зручнішу характеристику. Дисперсією (розсіюванням ) дискретної випадкової величини називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини:

Наприклад знайдемо дисперсію величини Xз наступним законом розподілу:

Тут. Шукана дисперсія:

Розмір дисперсії визначається як значеннями випадкової величини, а й їх ймовірностями. Тому якщо дві випадкові величини мають однакові або близькі математичні очікування (це досить часто зустрічається), то дисперсії, як правило, різні. Це дозволяє додатково характеризувати досліджувану випадкову величину.

Перерахуємо властивості дисперсії:

· Дисперсія постійною величини дорівнює нулю:

.

· Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат:

.

· Дисперсія суми і різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

· Дисперсія числа появ події Aв nнезалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність Pпояви події постійна , Визначається за формулою:

,

де
- Імовірність непояви події.

Зручною допоміжною характеристикою, яка використовується у розрахунках навіть частіше, ніж D(X), є середньоквадратичне відхилення (або стандарт ) випадкової величини:

.

Справа в тому що D(X) має розмірність квадрата розмірності випадкової величини, а розмірність стандарту  X) та ж, що й у випадкової величини X. Це дуже зручно з метою оцінки розкиду випадкової величини.

приклад. Нехай випадкова величина задається розподілом:

X	2м	3м	10м
P	0,1	0,4	0,5

Розраховуємо: м,

а стандарт:

Тому про випадкову величину Xможна сказати або її математичне очікування 6,4 м з дисперсією 13,04 м 2 або її математичне очікування 6,4 м з розкидом
м. Друге формулювання, очевидно, наочніше.

Відмітимо, що для суми nнезалежних випадкових величин:

Початкові та центральні теоретичні моменти

Для більшості практичних розрахунків введених вище числових характеристик MX),DX)і  X) Досить. Однак для дослідження поведінки випадкових величин можна використовувати і деякі додаткові числові характеристики, що дозволяють відстежити нюанси випадкової поведінки і узагальнити вищевикладену теорію.

Початковим моментом k-го порядку випадкової величини Xназивається математичне очікування величини X k :

Визначення. Безперервнийназивають випадкову величину, яка може набувати всіх значень деякого кінцевого або нескінченного проміжку.

Для безперервної випадкової величини запроваджується поняття функції розподілу.

Визначення. Функцією розподілуймовірностей випадкової величини Х називають функцію F(х), що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення менше x, тобто:

F(х) = P(X< x)

Часто замість терміну "функція розподілу" використовують термін "інтегральна функція розподілу".

Властивості функції розподілу:

1. Значення функції розподілу належать відрізку:

0 ≤ F(х) ≤ 1.

2. Функція розподілу є незменшуюча функція, тобто:

якщо x > x,

то F(x) ≥ F(x).

3. Імовірність того, що випадкова величина набуде значення, укладеного в інтервалі – певний інтеграл
. ☻

Геометрично отримана ймовірність дорівнює площі фігури, що обмежена зверху кривою розподілу і спирається на відрізок [а, b] (рис. 3.8).

Функція розподілу безперервної випадкової величини може бути виражена через густину ймовірності за формулою:

.

Геометрично функція розподілу дорівнює площі фігури, обмеженої зверху кривої розподілу і ліворуч, що лежить, точки х (рис. 3.9).

Геометрично властивості 1 і 4 щільності ймовірності означають, що її графік - крива розподілу - лежить не нижче за осі абсцис, і повна площа фігури, обмеженою кривою розподілу і віссю абсцис, дорівнює одиниці.

1. Випадкова величина, розподілена за біноміальним законом, її математичне очікування та дисперсія. Закон розподілу Пуассона.

Визначення. Дискретна випадкова величина Х має біноміальний закон розподілу з параметрами npq, якщо вона набуває значення 0, 1, 2,..., m,... ,n з ймовірностями

де 0<р

Як бачимо, ймовірності Р(Х=m) знаходяться за формулою Бернуллі, отже, біноміальний закон розподілу є законом розподілу числа Х=m настань події А в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких воно може статися з однією і тією ж ймовірністю р .

Ряд розподілу біномного закону має вигляд:

Вочевидь, що визначення биномиального закону коректно, т.к. основна властивість ряду розподілу
виконано, бо є не що інше, як сума всіх членів розкладання бінома Ньютона:

Математичне очікування випадкової величини Х, розподіленої за біномінальним законом,

а її дисперсія

Визначення. Дискретна випадкова величина Х має закон розподілу Пуассона з параметром ?
,

Ряд розподілу закону Пуассона має вигляд:

Вочевидь, що визначення закону Пуассона коректно, оскільки основне властивість низки розподілу
виконано, бо сума низки.

На рис. 4.1 показаний багатокутник (полігон) розподілу випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона Р(Х=m)=Р m (λ) з параметрами λ = 0,5, λ = 1, λ = 2, λ = 3,5.

Теорема. Математичне очікування та дисперсія випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона, збігаються і дорівнюють параметру цього закону, тобто.

і

"