Ще у школі кожен із нас вивчав рівняння і, напевно, системи рівнянь. Але не багато хто знає, що існує кілька способів їх вирішення. Сьогодні ми докладно розберемо всі методи розв'язання системи лінійних рівнянь алгебри, які складаються більш ніж з двох рівностей.
Історія
На сьогоднішній день відомо, що мистецтво вирішувати рівняння та їх системи зародилося ще у Стародавньому Вавилоні та Єгипті. Однак рівності в їхньому звичному для нас вигляді з'явилися після виникнення знака рівності "=", який був введений у 1556 англійським математиком Рекордом. До речі, цей знак був обраний не просто так: він означає два паралельні рівні відрізки. І справді, кращого прикладу рівності не вигадати.
Основоположником сучасних літерних позначень невідомих та знаків ступенів є французький математик. Однак його позначення значно відрізнялися від сьогоднішніх. Наприклад, квадрат невідомого числа він позначав буквою Q (лат. Quadratus), а куб - буквою C (лат Cubus). Ці позначення зараз здаються незручними, але це був найбільш зрозумілий спосіб записати системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Проте недоліком у тодішніх методах рішення було те, що математики розглядали лише позитивне коріння. Можливо, це пов'язано з тим, що негативні значення не мали практичного застосування. Так чи інакше, але першими вважати негативні корені почали саме італійські математики Нікколо Тарталья, Джероламо Кардано та Рафаель Бомбеллі у 16 столітті. А сучасний вигляд, основний метод рішення (через дискримінант) було створено лише у 17 столітті завдяки роботам Декарта та Ньютона.
У середині 18 століття швейцарський математик Габріель Крамер знайшов новий спосіб для того, щоб зробити розв'язання систем лінійних рівнянь простіше. Цей спосіб був згодом названий його ім'ям і досі ми користуємося ним. Але про метод Крамера поговоримо трохи пізніше, а поки що обговоримо лінійні рівняння та методи їх вирішення окремо від системи.
Лінійні рівняння
Лінійні рівняння - найпростіші рівності зі змінною (змінною). Їх відносять до алгебраїчних. записують у загальному вигляді так: а 1 * x 1 + а 2 * x 2 + ... а n * x n = b. Подання їх у цьому вигляді нам знадобиться при складанні систем та матриць далі.
Системи лінійних рівнянь алгебри
Визначення цього терміна таке: це сукупність рівнянь, які мають загальні невідомі величини та загальне рішення. Як правило, у школі все вирішували системи з двома чи навіть трьома рівняннями. Але бувають системи з чотирма і складовими. Давайте розберемося спочатку, як слід записати їх так, щоб надалі було зручно вирішувати. По-перше, системи лінійних рівнянь алгебри будуть виглядати краще, якщо всі змінні будуть записані як x з відповідним індексом: 1,2,3 і так далі. По-друге, слід привести всі рівняння до канонічного вигляду: а 1 * x 1 + а 2 * x 2 + ... а n * x n = b.
Після всіх цих дій ми можемо почати розповідати, як шукати рішення систем лінійних рівнянь. Дуже сильно для цього нам знадобляться матриці.
Матриці
Матриця - це таблиця, що складається з рядків і стовпців, але в їх перетині перебувають її елементи. Це може бути або конкретні значення, або змінні. Найчастіше, щоб позначити елементи, під ними розставляють нижні індекси (наприклад, 11 або 23). Перший індекс означає номер рядка, а другий – стовпця. Над матрицями, як і будь-яким іншим математичним елементом можна здійснювати різні операції. Таким чином, можна:
2) Помножувати матрицю на якесь число або вектор.
3) Транспонувати: перетворювати рядки матриці на стовпці, а стовпці - на рядки.
4) Помножувати матриці, якщо число рядків одного з них дорівнює кількості стовпців іншого.
Докладніше обговоримо всі ці прийоми, оскільки вони стануть у нагоді нам надалі. Віднімання та складання матриць відбувається дуже просто. Оскільки ми беремо матриці однакового розміру, кожен елемент однієї таблиці співвідноситься з кожним елементом інший. Таким чином складаємо (віднімаємо) два ці елементи (важливо, щоб вони стояли на однакових місцях у своїх матрицях). При множенні матриці число чи вектор необхідно просто помножити кожен елемент матриці цього числа (чи вектор). Транспонування – дуже цікавий процес. Дуже цікаво іноді бачити його у реальному житті, наприклад, при зміні орієнтації планшета чи телефону. Значки на робочому столі є матрицею, а при зміні положення вона транспонується і стає ширшою, але зменшується у висоті.
Розберемо ще такий процес, як Хоч він нам і не стане в нагоді, але знати його буде все одно корисно. Помножити дві матриці можна лише за умови, що число стовпців однієї таблиці дорівнює числу рядків іншого. Тепер візьмемо елементи рядки однієї матриці та елементи відповідного стовпця інший. Перемножимо їх один на одного і потім складемо (тобто, наприклад, добуток елементів a 11 і а 12 на b 12 і b 22 дорівнюватиме: а 11 * b 12 + а 12 * b 22). Таким чином, виходить один елемент таблиці і аналогічним методом вона заповнюється далі.
Тепер можемо розпочати розгляд того, як вирішується система лінійних рівнянь.
Метод Гауса
Цю тему починають проходити ще у школі. Ми добре знаємо поняття "система двох лінійних рівнянь" та вміємо їх вирішувати. Але що робити, якщо число рівнянь більше двох? У цьому нам допоможе
Звичайно, цим методом зручно користуватися, якщо зробити із системи матрицю. Але можна і не перетворювати її і вирішувати у чистому вигляді.
Отже, як вирішується цим способом система лінійних рівнянь Гаусса? До речі, хоч цей спосіб і названо його ім'ям, але відкрили його ще в давнину. Гаус пропонує наступне: проводити операції з рівняннями, щоб зрештою привести всю сукупність до ступінчастого вигляду. Тобто потрібно, щоб зверху вниз (якщо правильно розставити) від першого рівняння до останнього убувало по одному невідомому. Іншими словами, потрібно зробити так, щоб у нас вийшло, скажімо, три рівняння: у першому – три невідомі, у другому – два, у третьому – одне. Тоді з останнього рівняння ми знаходимо перше невідоме, підставляємо його значення у друге або перше рівняння, і далі знаходимо дві змінні, що залишилися.
Метод Крамера
Для освоєння цього життєво необхідно володіти навичками складання, віднімання матриць, і навіть треба вміти знаходити визначники. Тому якщо ви погано все це робите або зовсім не вмієте, доведеться повчитися і потренуватися.
У чому суть цього методу і як зробити так, щоб вийшла система лінійних рівнянь Крамера? Все дуже просто. Ми повинні побудувати матрицю з чисельних (майже завжди) коефіцієнтів системи лінійних рівнянь алгебри. Для цього просто беремо числа перед невідомими і розставляємо таблицю в тому порядку, як вони записані в системі. Якщо перед числом стоїть знак "-", записуємо негативний коефіцієнт. Отже, ми склали першу матрицю з коефіцієнтів при невідомих, не включаючи числа після знаків рівності (звісно, що рівняння має бути приведене до канонічного вигляду, коли справа знаходиться лише число, а ліворуч – усі невідомі з коефіцієнтами). Потім потрібно скласти ще кілька матриць – по одній для кожної змінної. Для цього замінюємо в першій матриці по черзі кожен стовпець із коефіцієнтами стовпцем чисел після знаку рівності. Таким чином отримуємо кілька матриць і далі знаходимо їх визначники.
Після того, як ми знайшли визначники, справа за малим. У нас є початкова матриця, і є кілька отриманих матриць, які відповідають різним змінним. Щоб отримати рішення системи, ми ділимо визначник таблиці на визначник початкової таблиці. Отримане число і є значенням однієї зі змінних. Аналогічно знаходимо усі невідомі.
Інші методи
Існує ще кілька методів для того, щоб отримати розв'язання систем лінійних рівнянь. Наприклад, так званий метод Гаусса-Жордана, який застосовується для знаходження рішень системи квадратних рівнянь і пов'язаний із застосуванням матриць. Існує також метод Якобі для вирішення системи лінійних рівнянь алгебри. Він найлегше адаптується для комп'ютера і застосовується в обчислювальній техніці.
Складні випадки
Складність зазвичай виникає, якщо число рівнянь менше від числа змінних. Тоді можна напевно сказати, що або система несумісна (тобто не має коріння), або кількість її рішень прагне нескінченності. Якщо в нас другий випадок, то потрібно записати загальне рішення системи лінійних рівнянь. Воно міститиме як мінімум одну змінну.
Висновок
Ось ми й добігли кінця. Підіб'ємо підсумки: ми розібрали, що таке система та матриця, навчилися знаходити загальне рішення системи лінійних рівнянь. Крім цього, розглянули інші варіанти. З'ясували, як вирішується система лінійних рівнянь: метод Гаусса та Поговорили про складні випадки та інші способи знаходження рішень.
Насправді ця тема набагато більша, і якщо ви хочете краще в ній розібратися, то радимо почитати більше спеціалізованої літератури.
Однорідна система лінійних рівнянь AX = 0завжди спільна. Вона має нетривіальні (ненульові) рішення, якщо r= rank A< n .
Для однорідних систем базисні змінні (коефіцієнти у яких утворюють базисний мінор) виражаються через вільні змінні співвідношеннями виду:
Тоді n - rлінійно незалежними вектор-рішеннями будуть:
а будь-яке інше рішення є їхньою лінійною комбінацією. Вектор-рішення 
утворюють нормовану фундаментальну систему.
У лінійному просторі безліч рішень однорідної системи лінійних рівнянь утворює підпростір розмірності n - r; 
- базис цього підпростору.
Система mлінійних рівнянь з nневідомими(або, лінійна система
 |
Тут x 1 , x 2 , …, x n a 11 , a 12 , …, a mn- Коефіцієнти системи - і b 1 , b 2 , … b m a iji) та невідомого ( j
Система (1) називається одноріднийb 1 = b 2 = … = b m= 0), інакше - неоднорідний.
Система (1) називається квадратний, якщо число mрівнянь дорівнює числу nневідомих.
Рішеннясистеми (1) - сукупність nчисел c 1 , c 2 , …, c n, таких що підстановка кожного c iзамість x iв систему (1) звертає всі її рівняння у тотожності.
Система (1) називається спільної несумісний
Рішення c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) та c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n різними
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
певної невизначеною. Якщо рівнянь більше, ніж невідомих, вона називається перевизначеною.
Вирішення систем лінійних рівнянь
Розв'язання матричних рівнянь ~ Метод Гауса
Способи розв'язання систем лінійних рівнянь поділяються на дві групи:
1. точні методи, що являють собою кінцеві алгоритми для обчислення коренів системи (рішення систем за допомогою зворотної матриці, правило Крамера, метод Гаусса та ін.),
2. ітераційні методи, що дозволяють отримати рішення системи із заданою точністю шляхом схожих ітераційних процесів (метод ітерації, метод Зейделя та ін).
Внаслідок неминучих округлень результати навіть точних методів є наближеними. При використанні ітераційних методів, до того ж, додається похибка методу.
Ефективне застосування ітераційних методів залежить від успішного вибору початкового наближення і швидкості збіжності процесу.
Розв'язання матричних рівнянь
Розглянемо систему nлінійних рівнянь алгебри щодо nневідомих х 1 , х 2 , …, х n:
 .
| (15) |
Матриця А, стовпцями якої є коефіцієнти за відповідних невідомих, а рядками - коефіцієнти за невідомих у відповідному рівнянні, називається матрицею системи; матриця-стовпець b, елементами якої є праві частини рівнянь системи матрицею правої частиниабо просто правою частиною системи. Матриця-стовпець х, елементи якої - шукані невідомі, називається рішенням системи.
Якщо матриця А- неособлива, тобто det A не дорівнює 0 то система (13), або еквівалентне їй матричне рівняння (14), має єдине рішення.
Справді, за умови det A не одно 0 існує зворотна матриця А-1. Помножуючи обидві частини рівняння (14) на матрицю А-1 отримаємо:
| (16) |
Формула (16) дає рішення рівняння (14) і воно єдине.
Системи лінійних рівнянь зручно вирішувати за допомогою функції lsolve.
lsolve( А, b)
Повертається вектор рішення xтакий, що Ах= b.
Аргументи:
А- Квадратна, не сингулярна матриця.
b- Вектор, що має стільки ж рядів, скільки рядів у матриці А .
На малюнку 8 показано рішення системи трьох лінійних рівнянь щодо трьох невідомих.
Метод Гауса
Метод Гауса, його ще називають методом Гаусових винятків, полягає в тому, що систему (13) наводять послідовним винятком невідомих до еквівалентної системи з трикутною матрицею:
У матричному записі це означає, що спочатку (прямий хід методу Гауса) елементарними операціями над рядками наводять розширену матрицю системи до ступінчастого вигляду:
а потім (зворотний хід методу Гауса) цю ступінчасту матрицю перетворять так, щоб у перших nстовпцях вийшла одинична матриця:
.
Останній, ( n+ 1) стовпець цієї матриці містить рішення системи (13).
У Mathcad прямий і зворотний ходи методу Гаусса виконує функцію rref(A).
На малюнку 9 показано рішення системи лінійних рівнянь методом Гауса, в якому використовуються такі функції:
rref( A)
Повертається ступінчаста форма матриці А.
augment( A, У)
Повертається масив, сформований розташуванням A і У пліч-о-пліч. Масиви A і У повинні мати однакову кількість рядків.
submatrix( A, ir, jr, ic, jc)
Повертається субматрица, що складається з усіх елементів з irпо jrі стовпці з icпо jc.Переконайтеся, що ir jrі
ic jc,інакше порядок рядків та (або) стовпців буде звернений.
Малюнок 9.
Опис методу
Для системи n лінійних рівнянь із n невідомими (над довільним полем)
з визначником матриці системи Δ, відмінним від нуля, рішення записується у вигляді
(І-ий стовпець матриці системи замінюється стовпцем вільних членів).
В іншій формі правило Крамера формулюється так: для будь-яких коефіцієнтів c1, c2, …, cn справедлива рівність:
У цій формі формула Крамера справедлива без припущення, що Δ відмінно від нуля, не потрібно навіть щоб коефіцієнти системи були б елементами цілісного кільця (визначник системи може бути навіть дільником нуля в кільці коефіцієнтів). Можна також вважати, що або набори b1, b2, ..., bn і x1, x2, ..., xn, або набір c1, c2, ..., cn складаються не з елементів кільця коефіцієнтів системи, а якогось модуля над цим кільцем. У цьому вигляді формула Крамера використовується, наприклад, при доказі формули для визначника Граму та Лемми Накаями.
| 35) Теорема Кронекера-Капеллі |
Для того щоб система m неоднорідних лінійних рівнянь з n невідомими була спільною, необхідно і достатньо, щоб доказати необхідність. Нехай система (1.13) є спільною, тобто існують такі числа х 1 =α
1 , х 2 =α
2 , …, х n = n ,що  (1.15) Віднімемо з останнього стовпця розширеної матриці її перший стовпець, помножений на ? 1.15). Тоді отримаємо матрицю  ранг якої внаслідок елементарних перетворень не зміниться і . Але очевидно, і, отже, є доказом достатності. Нехай і нехай для визначеності не рівний нулю мінор порядку r розташований у верхньому лівому куті матриці:  Це означає, що інші рядки матриці можуть бути отримані як лінійні комбінації перших r рядків, тобто m-r рядків матриці можна подати у вигляді сум перших r рядків, помножених на деякі числа. Але тоді перші r рівнянь системи (1.13) самостійні, інші ж є їх наслідками, тобто рішення системи перших r рівнянь автоматично є рішенням інших рівнянь. Можливі два випадки. 1. r=n. Тоді система, що складається з перших r рівнянь, має однакову кількість рівнянь і невідомих і спільна, причому рішення її єдине. 2. r |
36)ус-е визначеності, невизначеності
Система mлінійних рівнянь з nневідомими(або, лінійна система) у лінійній алгебрі - це система рівнянь виду
 |
Тут x 1 , x 2 , …, x n- Невідомі, які треба визначити. a 11 , a 12 , …, a mn- Коефіцієнти системи - і b 1 , b 2 , … b m- вільні члени – передбачаються відомими. Індекси коефіцієнтів ( a ij) системи позначають номери рівняння ( i) та невідомого ( j), у якому стоїть цей коефіцієнт, відповідно .
Система (1) називається однорідний, якщо всі її вільні члени дорівнюють нулю ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), інакше - неоднорідний.
Система (1) називається спільної, якщо вона має хоча б одне рішення, та несумісний, якщо вона не має жодного рішення.
Спільна система виду (1) може мати одне чи більше рішень.
Рішення c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) та c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) спільної системи виду (1) називаються різнимиякщо порушується хоча б одна з рівностей:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Спільна система виду (1) називається певноїякщо вона має єдине рішення; якщо ж у неї є хоча б два різні рішення, то вона називається невизначеною
37) Рішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса
Нехай вихідна система виглядає так
Матриця Aназивається основною матрицею системи, b- Стовпцем вільних членів.
Тоді згідно з властивістю елементарних перетворень над рядками основну матрицю цієї системи можна привести до ступінчастого вигляду (ці ж перетворення потрібно застосовувати до стовпця вільних членів):
Тоді змінні називаються головними змінними. Всі інші називаються вільними.
[ред.] Умова спільності
Згадана вище умова для всіх може бути сформульована як необхідна і достатня умова спільності:
Нагадаємо, що рангом спільної системи називається ранг її основний матриці (чи розширеної, оскільки вони рівні).
Алгоритм
Опис
Алгоритм рішення СЛАУ методом Гауса поділяється на два етапи.
§ На першому етапі здійснюється так званий прямий хід, коли шляхом елементарних перетворень над рядками систему призводять до ступінчастої або трикутної форми, або встановлюють, що система несумісна. А саме, серед елементів першого стовпця матриці вибирають ненульовий, переміщують його на крайнє верхнє положення перестановкою рядків і віднімають перший рядок, що вийшов після перестановки, з інших рядків, домноживши її на величину, рівну відношенню першого елемента кожного з цих рядків до першого елемента першого рядка, обнуляя цим стовпець під ним. Після того, як зазначені перетворення були здійснені, перший рядок і перший стовпець подумки викреслюють і продовжують доки залишиться матриця нульового розміру. Якщо на якійсь із ітерацій серед елементів першого стовпця не знайшовся ненульовий, то переходять до наступного стовпця і роблять аналогічну операцію.
§ На другому етапі здійснюється так званий зворотний хід, суть якого полягає в тому, щоб висловити всі базисні змінні через небазисні і побудувати фундаментальну систему рішень, або, якщо всі змінні є базисними, то висловити в чисельному вигляді єдине рішення системи лінійних рівнянь. Ця процедура починається з останнього рівняння, з якого виражають відповідну базисну змінну (а вона там лише одна) і підставляють у попередні рівняння, і так далі, піднімаючись «сходинками» нагору. Кожному рядку відповідає рівно одна базова змінна, тому на кожному кроці, крім останнього (найвищого), ситуація точно повторює випадок останнього рядка.
Метод Гауса потребує порядку O(n 3) дій.
Цей метод спирається на:
38)Теорема Кронекер-Капеллі.
Система спільна і тоді, коли ранг її основний матриці дорівнює рангу її розширеної матриці.
Щоб зрозуміти, що таке фундаментальна система рішеньВи можете переглянути відео-урок для цього ж прикладу, клацнувши . Тепер перейдемо до опису всієї необхідної роботи. Це допоможе вам детальніше розібратися в суті цього питання.
Як знайти фундаментальну систему розв'язків лінійного рівняння?
Візьмемо для прикладу таку систему лінійних рівнянь:
Знайдемо розв'язання цієї лінійної системи рівнянь. Для початку нам треба виписати матрицю коефіцієнтів системи.
Перетворимо цю матрицю на трикутну.Перший рядок переписуємо без змін. І всі елементи, що стоять під $a_(11)$, треба зробити нулями. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(21)$, треба від другого рядка відняти першу, і різницю записати в другому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(31)$, треба від третього рядка відняти першу і різницю записати в третьому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(41)$, треба від четвертого рядка відняти першу помножену на 2 і різницю записати в четвертому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(31)$, треба від п'ятого рядка відняти першу помножену на 2 і різницю записати в п'ятому рядку. 
Перший та другий рядок переписуємо без змін. І всі елементи, що стоять під $a_(22)$, треба зробити нулями. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(32)$, треба від третього рядка відняти другу помножену на 2 і різницю записати в третьому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(42)$, треба від четвертого рядка відняти другу помножену на 2 і різницю записати в четвертому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(52)$, треба від п'ятого рядка відняти другу помножену на 3 і різницю записати в п'ятому рядку. 
Бачимо, що останні три рядки – однаковітому якщо від четвертої і п'ятої відняти третю, то вони стануть нульовими. 
За цією матрицею записуємо нову систему рівнянь.
Бачимо, що лінійно незалежних рівнянь у нас лише три, а невідомих п'ять, тому фундаментальна система рішень складатиметься з двох векторів. Значить, нам треба перенести дві останні невідомі праворуч.
Тепер починаємо висловлювати ті невідомі, що стоять у лівій частині через ті, що стоять у правій частині. Починаємо з останнього рівняння, спочатку висловимо $x_3$, потім отриманий результат підставимо на друге рівняння і висловимо $x_2$, а потім у перше рівняння і тут висловимо $x_1$. Таким чином ми всі невідомі, що стоять у лівій частині, висловили через невідомі, що стоять у правій частині. 
Після чого ви замість $x_4$ і $x_5$ можемо підставляти будь-які числа і знаходити $x_1$, $x_2$ і $x_3$. Кожна така п'ятірка чисел буде корінням нашої початкової системи рівнянь. Що б знайти вектори, що входять до ФСРнам треба замість $x_4$ підставити 1, а замість $x_5$ підставити 0, знайти $x_1$, $x_2$ і $x_3$, та був навпаки $x_4=0$ і $x_5=1$.
6.3. ОДНОРОДНІ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Нехай тепер у системі (6.1).
Однорідна система завжди спільна. Рішення () називається нульовим, або тривіальним.
Однорідна система (6.1) має ненульове рішення тоді і лише тоді, коли її ранг ( 
) менше числа невідомих. Зокрема, однорідна система, в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих, має ненульове рішення тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю.
Бо цього разу всі
замість формул (6.6) отримаємо наступні:
(6.7)
Формули (6.7) містять будь-яке рішення однорідної системи (6.1).
1. Сукупність всіх розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь (6.1) утворює лінійний простір.
2. Лінійний простірRвсіх розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь (6.1) зnневідомими та рангом основної матриці, рівнимr, має розмірністьn – r.
Будь-яка сукупність з (n – r) лінійно незалежних рішень однорідної системи (6.1) утворює базис у просторіRвсіх рішень. Вона називається фундаментальноїсукупністю розв'язків однорідної системи рівнянь (6.1). Особливо виділяють «нормальну»фундаментальну сукупність рішень однорідної системи (6.1):
(6.8)
За визначенням базису, будь-яке рішення Ходнорідної системи (6.1) представимо у вигляді
(6.9)
де 
- Довільні постійні.
Оскільки формула (6.9) містить будь-яке рішення однорідної системи (6.1), вона дає загальне рішенняцієї системи.
приклад.
Системи лінійних рівнянь, у яких усі вільні члени дорівнюють нулю, називаються однорідними :
Будь-яка однорідна система завжди спільна, оскільки завжди має нульовим (тривіальним ) Рішенням. Виникає питання, за яких умов однорідна система матиме нетривіальне рішення.
Теорема 5.2.Однорідна система має нетривіальне рішення тоді і лише тоді, коли ранг основної матриці менший за кількість її невідомих.
Слідство. Квадратна однорідна система має нетривіальне рішення і тоді, коли визначник основний матриці системи не дорівнює нулю.
Приклад 5.6.Визначити значення параметра l, за яких система має нетривіальні рішення, і знайти ці рішення:
Рішення. Ця система матиме нетривіальне рішення тоді, коли визначник основної матриці дорівнює нулю:
Отже, система нетривіальна, коли l=3 чи l=2. При l=3 ранг основної матриці системи дорівнює 1. Тоді залишаючи лише одне рівняння і вважаючи, що y=aі z=b, отримаємо x=b-a, тобто.
При l=2 ранг основної матриці системи дорівнює 2. Тоді, вибираючи як базисний мінор:
отримаємо спрощену систему
Звідси знаходимо, що x=z/4, y=z/2. Вважаючи z=4a, отримаємо
Безліч всіх рішень однорідної системи має дуже важливе значення. лінійною властивістю : якщо стовпці X 1 та X 2 - рішення однорідної системи AX = 0, то всяка їхня лінійна комбінація a X 1 + b X 2 також буде вирішенням цієї системи. Справді, оскільки AX 1 = 0 і AX 2 = 0 , то A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Саме внаслідок цієї властивості, якщо лінійна система має більше одного рішення, цих рішень буде нескінченно багато.
Лінійно незалежні стовпці E 1 , E 2 , E k, що є рішеннями однорідної системи, називається фундаментальною системою рішень однорідної системи лінійних рівнянь, якщо загальне рішення цієї системи можна записати у вигляді лінійної комбінації цих стовпців:
Якщо однорідна система має nзмінних, а ранг основної матриці системи дорівнює r, то k = n-r.
Приклад 5.7.Знайти фундаментальну систему розв'язків наступної системи лінійних рівнянь:
Рішення. Знайдемо ранг основної матриці системи:
Таким чином, безліч рішень даної системи рівнянь утворює лінійний підпростір розмірності n - r= 5 - 2 = 3. Виберемо як базисний мінор
Тоді залишаючи тільки базисні рівняння (інші будуть лінійною комбінацією цих рівнянь) і базисні змінні (інші, так звані вільні, змінні переносимо вправо), отримаємо спрощену систему рівнянь:
Вважаючи, x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, знаходимо
Вважаючи a= 1, b = c= 0, отримаємо перше базисне рішення; вважаючи b= 1, a = c= 0, отримаємо друге базисне рішення; вважаючи c= 1, a = b= 0, отримаємо третє базисне рішення. В результаті, нормальна фундаментальна система рішень набуде вигляду
З використанням фундаментальної системи загальне рішення однорідної системи можна записати як
X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . à
Зазначимо деякі властивості розв'язків неоднорідної системи лінійних рівнянь AX=Bта їх взаємозв'язок відповідною однорідною системою рівнянь AX = 0.
Загальне рішення неоднорідної системидорівнює сумі загального рішення відповідної однорідної системи AX = 0 та довільного приватного вирішення неоднорідної системи. Справді, нехай Y 0 довільне окреме рішення неоднорідної системи, тобто. AY 0 = B, і Y- загальне рішення неоднорідної системи, тобто. AY = B. Віднімаючи одну рівність з іншої, отримаємо
A(Y-Y 0) = 0, тобто. Y - Y 0 є загальне рішення відповідної однорідної системи AX=0. Отже, Y - Y 0 = X, або Y = Y 0 + X. Що й потрібно було довести.
Нехай неоднорідна система має вигляд AX = B 1 + B 2 . Тоді загальне рішення такої системи можна записати у вигляді X = X 1 + X 2 , де AX 1 = B 1 та AX 2 = B 2 . Ця властивість виражає універсальну властивість взагалі будь-яких лінійних систем (алгебраїчних, диференціальних, функціональних і т.д.). У фізиці ця властивість називається принципом суперпозиції, в електро- та радіотехніці - принципом накладення. Наприклад, в теорії лінійних електричних ланцюгів струм у будь-якому контурі може бути отриманий як сума алгебри струмів, що викликаються кожним джерелом енергії окремо.
