Величина де I-дохід споживача, p1p2-ціни блага, х2-кількість 2-го блага. У цьому випадку блага один і два:взаємозамінні.

Виберіть правильнетвердження, що відповідає кейнсіанській теорії ринкової економіки 1) загальний випадок рівноваги в ринковій ек-ке-за наявності безробіття, а повна зайнятість лише особливий випадок; 2)инвест-й попит зменшується зі зростанням відсоткової ставки.

Виберіть правальне твердження, виконання яких підвищує достовірність та точність визначення параметрів економіко-математичної моделі. 1.Прийнята методика визначення параметрів моделі повинна бути коректною з точки зору забезпечення достовірності; апріорі модель, повинна відбивати істотно фактичні закономірності досліджуваного об'єкта.

Вибіркове зрівняноие парної регресії y=-3+2x, тоді вибірковий коефіцієнт парної кореляції може дорівнювати..(-3,2,0.6,-2,-0.6) …0.7 чи 0.6.

Вибірковое рівняння парної регресії має вигляд у=-3+2х. Тоді вибірковий коеф-т парної кореляції може дорівнювати: 0,7.

де в - коефіцієнт приростної капіталомісткості; С (t) - обсяг споживання; Y (t) - обсяг доходу; У якому разі він буде максимальним, а в якому дорівнює нулю, якщо С (t) = сonst: максимум досягається за а дорівнює нулю при Y(0)=C(0).

Гіпотези, що використовуються при виведенні функції попиту на робочу силу у класичній моделі ринкової економіки: Фірми повністю конкуренти при пропозиції товарів та найму робочої сили. За інших рівних умов граничний продукт праці знижується зі зростанням використання робочої сили в.

Дано функціїпопиту та пропозиції S=2p+1,5, де p-ціна товару. тоді рівноважна ціна дорівнює. ВІДПОВІДЬ: х1 = 0,34 +0,18 +340 ... х2 = 0; 25 +0,53 +280.

Дано функціїпопиту та пропозиції S=2p+1,5, де p-ціна товару. тоді рівноважна ціна =1 .

Дано функціїпопиту та пропозиції S=2p+1,5, де p-ціна товару. тоді рівноважна ціна = 5,5.

Дано функціїпопиту q=(p+6)/(p+2) та пропозиції s=2p-2, де p-ціна товару. Тоді рівноважна ціна дорівнює: 2.

Дані ф-ціїпопиту q=p+6/p+2 і пред-ие s=2p-2….2.

Якщо зберігаютьсярівні умови, то зі зростанням ціни попит на товари Гіффіна:зростає.

Якщо у моделіСолоу зробити облік інвестиційного лага як зосередженого лага, то зв'язок інвестицій I(t) з уведенням фондів V(t) можна відобразити як рівняння…V(t) = I(t-t)().

Якщо з валовоговнутрішнього продукту відняти амортизаційні відрахування то отримаємо:новостворену вартість (Н.Д.).

Якщо з валового внутрішньогопродукту відняти амортизаційні відрахування то отримаємо: чистий внутрішній продукт.

Якщо перехреснийкоефіцієнт еластичності попиту ціни >0, то….(I товар замінює j).

Якщо вироб-а ф-ціяy=f(x 1 ;x 2), то св-во що означає, що з зростанні ис-ия одного ресурсу гранична эф-ть¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Якщо виробничафункція є однорідною функцією ступеня р >0, то при р=2 та зростанні масштабу виробництва в 3 рази у скільки разів зростає обсяг випуску. 9.

Якщо виробничафункція є однорідною функцією ступеня р >0, то при р=2 та зростанні масштабу виробництва в 4 рази у скільки разів зростає обсяг випуску.16.

Якщо відбуваєтьсязбільшення доходу споживача, то попит переміщається (вкажіть правильне затвердження): з товарів із малою еластичністю на товари із високою еластичністю. Обсяг споживання товарів із малою еластичністю скорочується.

Якщо ПФ маєвигляд y=f(x 1 ;x 2), то властивість що означає, що з зростанні використання одного ресурсу гранична эф-ть іншого ресурсу зростає виражено формулою: ¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Якщо зберігаютьсярівні умови, то зі зростанням ціни попит на товари Гіффіна: зростає.

Залежність міжвитратами виробництва та обсягом продукції виражається функцією рівні: 3.

Залежність мЇжу витратами виробництва та обсягом продукції виражається функцією . Тоді граничні витрати при обсязі виробництва рівні:23.

Залежністьміж витратами виробництва і обсягом продукції Q виражається функцією . Тоді граничні витрати за обсягом виробництва Q=10 рівні: .. 3 .

Залежність міжсобівартістю продукції З та обсягом продукції Q виражається як С = 20-0,5 * Q. Тоді еластичність с/с за обсягом виробництва Q=10 дорівнює: -1/3.

Задана произ-аяф-ция виду: Y=3 K 0,5 *L 0.5 тоді ср продукт праці дорівнює при K=25 ,L=100……1.5.

Завданням споживчоговибору є:Знайти таку кількість товарів із заданого набору, при якому мак-ся ф-ція корисності споживача.

Завданнямспоживчого вибору є: Завдання полягає у виборі такого споживчого набору (х, х), що максимізує функцію корисності при заданому бюджетному обмеженні.

Завданням споживчоговибору є: визначити таку кількість товарів із заданого набору, у якому максимізується функція корисності споживача.

Закон спадуефективності виробництва характеризується тим, що зі зростанням величини використовуваного ресурсу. хв можливий обсяг випуску .

Закон спадуефективності виробництва характеризується тим, що зі зростанням величини використовуваного ресурсу: Кожна додаткова одиниця ресурсу дає менший приріст обсягу випуску.

Закон спадуефективності виробництва характеризується тим, що зі зростанням величини використовуваного ресурсу. ВІДПОВІДЬ: максимально можливий обсяг випуску продукції зростає.

З рівнянняСлуцького можна отримати (кількість товару, ціна товару). Це відповідає: (можливо кілька відповідей): 1) товару Гіффіна, 2) малоцінного товару.

Які гіпотезивикористовуються при виведенні функції попиту на робочу силу у класичній моделі ринкової економіки: фірми повністю конкурентні за пропозицією товарів хороших і наймані раб сили; за інших рівних умов продукт праці знижується в міру зростання раб сили.

Які додаткові зхибності ускладнюють побудову ЕММ ….складність проведення в економці активного експерименту. Крім того, фактично кожен економічний об'єкт або процес унікальний, що унеможливлює просте тиражування одного разу побудованих моделей.

Які практичніЗавдання вирішуються за допомогою ЕММ. 1. Аналіз економічних об'єктів та процесів 2. Економічне прогнозування та передбачення розвитку економічних процесів 3. Вироблення управлінських рішень на всіх рівнях економіки.

Яке твердженнявідповідає розв'язанню задачі сірої напівпрозорої скриньки:Є інформація про вхідні та вихідні показники, а також відома або прийнята як базова модель певної структури. Завдання ідентифікації у разі полягає у знаходженні параметрів цієї моделі.

Яке твердженнявідповідає розв'язанню задачі сірої скриньки: крім вхідних і вихідних пок-їй задана стр-ра опер-ра преобр.зад. зводитись до опред.парм-м стр-ри.

Яке твердження, згідно з моделлю Кейнса, буде вірним:у разі зростання відсоткової ставки споживчий попит зростає, а інвестиційний попит падає(Попит на споживчі товари зростає лінійно зі зростанням пропозиції товарів, попит на інвестиційні товари лінійно зменшується зі зростанням норми відсотка).

Кінцевий продуктв динамічній балансовій моделі в порівнянні з кінцевим продуктом у статичній балансовій моделі не включає в себе експорт.

Кінцевий продукту динамічній балансовій моделі порівняно з кінцевим продуктом у статичній балансовій моделі не включає: міжгалузеві капітальні вкладення

Коефіцієнтеластичність попиту від ціни Е ii p<-1. Это соответствует товару с: Висока еластичність попиту.

Макроекономічні рівноважнімоделями вважаються такі моделі, які описують такий стан економіки, коли результуюча всіх сил, які прагнуть вивести економіку з цього стану, дорівнює 0.

Модель Леонтьєва(Статичний баланс) включає рівняння виду: х i-Sa ij = y j.

Модель міжгалузевогобалансу, для продуктів обсягу Х1 і Х2 з матрицею коефіцієнтів прямих витрат і кінцевим продуктом в обсязі 340 та 280 одиниць відповідно, має вигляд: х 1 = 0,34 х 1 +0,18 х 2 +340; х 2 = 0,25 х 2 +0,53 х 2 +280.

Модель Торнквістап»попит-дохід» виду (інші літери): відповідь : предмети розкоші(2 група).

Модель Торнквіста, «Попит-дохід» виду Y=a 3 Z(Z-b 3)/Z+C 3:предметів розкоші.

Модель Харрода-Домарау вигляді диференціального рівняння
має слід.рішення: ).

На ізоквантівиробничої функції Кобба-Дугласа:

На лінії

На лініїбайдужості споживчий набори мають: однакові значенняВІДПОВІДЬ: V(t)= I(t-τ).

На виробничійфункції Кобба-Дугласа на ізокванті: показані поєднання значень капіталу та праці, забезпеч-х один і той же випуск.

По лініїбайдужості споживчий набір має:однаковий рівень задоволення потреб індивідуума.

У міру збільшеннядоходу попит переміщається (вкажіть правильне затвердження): ВІДПОВІДЬ: У міру збільшення доходу попит переміщається з товарів першої та другої груп на товари третьої та четвертої групи, при цьому споживання товарів першої групи за абсолютними розмірами скорочується.

У міру збільшеннядоходу попит переміщається (вкажіть правильне затвердження):З товарів з малою еластичністю на товари з високою еластичністю. Обсяг споживання тов з малою еластичністю скорочується.

Межа корисності1-го продукту u = 8 а 2-го продукту u = 2 . на скільки індивідуум повинен збільшити споживання 2 продукту якщо він зменшив споживання першого продукту на одну одиницю...4.

Граничні корисностіпершого продукту , а другого продукту . На скільки повинен індивід збільшити споживання 2-го продукту, якщо він зменшив споживання першого продукту на одну одиницю відповідь: не впевнена:3.

При використанніпозначень: -частка валових інвестицій у ВВП, а-частка проміжного продукту у валовому випуску, Х(t)-валовий випуск продукції в моделі Солоу величина фонду невиробничого споживання С(t) знаходиться за формулою:З(t)=(1- ) *(1-a)*X(t).

При аналізімоделі Леонтьєва (статистичний міжгалузевий баланс)показано, що сума кінцевих продуктів та сума умовно чистої продукції:…рівні один одному.

При використанніпозначень: - частка валових інвестицій у валовому внутрішньому продукті, a- частка проміжного продукту у валовому випуску, X (t) - валовий випуск продукції моделі Р.Солоу величина фонду невиробничого споживання З (t) знаходиться за формулою: C(t)=(1-j)*(1-a)*X(t) .

При невеликомузбільшення обсягу виробництва умовно змінні витрати на 1 виріб: залишаються незмінними. (збільшуються, можливо)

При описіислед-го процесу з допомогою ПФКД приватні эф-ти були такими: за фондами Е к =2, з праці Е l =8. І тут узагальнений пок-ль эф-ти Є дорівнює: 16.

При описі Відповідь: 3 (2 у ступені про, 5 помнож на 4,5 у ступені про, 5).

При описі в 3 рази. (у 2 не точно)

При описідосліджуваного процесу за допомогою виробничої функції Кобба-Дугласа виду приватні…..ефективності були такими: з фондів Ek=2, з праці EL=4,5. У цьому випадку узагальнений показник ефективності Є дорівнює. .. 3( 2 у ступені про,5 множ на 4,5 у ступені про,5).

При описідосліджуваного процесу за допомогою виробничої функції Кобба-Дугласа виду приватні…..ефективності були такими: з фондів Ek=2, з праці EL=8. У цьому випадку узагальнений показник ефективності Е дорівнює:4 чи 16.

При описідосліджуваного процесу за допомогою виробничої функції Кобба-Дугласа виду приватні…..ефективності були такими: з фондів Ek=2, з праці EL=4,5. У цьому випадку узагальнений показник ефективності Є дорівнює.

При описідосліджуваного процесу за допомогою виробничої функції Кобба-Дугласа стало відомо, що узагальнений показник ефективності виробництва Е = 1,5, а масштаб виробництва М = 2. У цьому випадку валовий випуск збільшився у 3 рази.

При побудовіЕММ за відомими вхідними та вихідними показниками об'єкта як критерій близькості відображення моделлю властивостей управління найчастіше використовують…мінімум суми квадратів різниць.

При прийнятихпозначеннях …Вибуття капіталу та величина валових інвестицій.

При прийнятихпозначеннях f(Kо)-продуктивність праці на стаціонарній траєкторії, -фондовозброєність праці на стаціонарній траєкторії має вигляд…().

При прийнятихпозначення в моделі Солоу умова виходу економіки на стаціонарну траєкторію має вигляд відповіді: k(t)=k ступенем 0=const.

При прийнятих позначеннях…одне з рівнянь у моделі Р.Солоу у відносних одиницях матиме вигляд: dk(t)/dt=(-(g+m)k(t)/(1)+j(1) -a)f/(2) У цьому рівнянні доданки (1) і (2) відображають вплив зміну фондовооруженности.

за іншихрівних умовах зі зростанням ціни попит на товари Гіффіна попит на все зростає .

При вирішенні ;p1x1+p2x2=I де I=1000, p1=5, p2=10eд.. Чому дорівнює кількість 1 товару 2 го товару….100од.-1товар і 50ед.-другий.

При вирішеннізавдання споживчого вибору отримали систему рівнянь p1x1+p2x2=I де I=1000, p1=10, p2=5eд.. Чому дорівнює кількість 1 товару 2 го товару. ….50, 100.

При збільшеннідоходу, попит товару при постійній ціні зазвичай….Збільшується (змінюється за синосудальним законом).

Виробничая функція тоді граничний продукт при Kt=4, Lt=25 дорівнює 2,5.

Виробнича функція тоді граничний продукт при Kt=4, Lt=25 дорівнює …0.2.

Виробнича Kt=1100, Lt=9900. Чому дорівнює гранична фондовіддача ….1,5 (або10)

Виробнича функціявиду називається: Лінійною, адитивною виробничою функцією.

Виробнича функціявизначається як X t =K t 0,5 ´L t 0,5, де K t -капітал, L t - працю. Тоді граничний продукт праці ¶У/¶L при K t =16, L t =25 дорівнює: 0,4.

Виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд де Kt = 4000, Lt = 10. Чому дорівнює гранична продуктивність праці? 10.

Виробничафункція Кобба-Дугласа має вигляд де Kt = 9000, Lt = 10. Чому дорівнює гранична продуктивність праці ….15.

Виробничафункція Кобба-Дугласа має вигляд математичного очікування поправочного коефіцієнта дорівнює. 1.

Виробнича функціяКобба-Дугласа має вигляд: X t = K t 0,5 ' L t 0,5; До t = 900, L t = 10. Чому дорівнює гранична продуктивність праці ¶Х/¶L: 15.

Виробничая функція називається динамічною, якщо: 1) час t фігурує як самостійної змінної величини, що впливає обсяг випуску 2) параметри ПФ залежать від часу 3) характеристики ПФ залежать від часу.

Виробнича функціяце- така функція, незалежна змінна якої набуває значення обсягів використовуваного ресурсу (фактору виробництва), а залежна змінна – значення обсягів продукції y=f(x).

Виробнича ф-ція К-Д має вигляд на скільки відсотків збільшиться випуск Xt зі збільшенням капіталу Kt на 1 % (0,4).

Виробничаф-ція наз-ся динамічної якщо:Час t фігурує..Параметри ПФ залежать від часу …. Характеристика виробничої ф-ції залежить від часу.

Проміжнийпродукт у схемі, що відбиває взаємозв'язок макроекономічних показників у закритій економіці країни, це:засоби праці та предмети споживання.

Процес встановленнярівноважної ціни в павутино-ой моделі.Залишаються незмінними.

Нехай функціякорисності має вигляд , Початкові ціни благ і . Дохід індивіда дорівнює 2000 од., а оптимальний набір товарів ; Якщо ціна зросла вчетверо, то чому дорівнюватиме компенсований дохід індивідуума і значення оптимального набору благ :I k =2000; x 1 = 50; х 2 =40.

Нехай функціяКорисність має вигляд u(x1;x2)=x1*x2, початкові ціни благ Р1 і Р2. Дохід індивіда = 1000 од., а оптимальний набір товарів х1 = 100 од., х2 = 20 од. Якщо ціна зросла в 4 рази, то чому дорівнюватиме компенсований дохід індивідуума і значення оптимального набору благ (х1 х2). 2000 50,40.

Рівноважними моделямивважаються...Моделі, які описують такий стан ек-ки, коли результують всіх сил. (відповідь.рівно 0)

Розташуйтеу правильному порядку етапи побудови ФУІ: 1.Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз2.Побудова математичної моделі3.Математичний аналіз моделі4.Підготовка вихідної інформації 5.Чисельне рішення6.Аналіз чисельних результатів та їх застосування.

Розташуйтеу правильному порядку етапи побудови ЕММ: 1.Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз2.Побудова математичної моделі3.Математичний аналіз моделі4.Підготовка вихідної інформації 5.Чисельне рішення 6.Аналіз чисельних результатів та їх застосування.

За допомогою якоїмоделі (у вигляді однієї формули) можна на рівні економіки країни відобразити валовий випуск, проміжний продукт, валовий внутрішній продукт: Балансової моделі Леонтьєва.

За допомогоюякий моделі можна лише на рівні економіки нашої країни відбити залежність валового випуску і використовуваних ресурсів: …модель Кобба-Дугласа. (ПФКД)

За допомогоюякий моделі(у вигляді однієї формули).. взаємозв'язок показників ВП, проміжний продукт, ВВП….Балансової моделі Леонтьєва.

Система рівнянь у моделі Леонтьєва називається продуктивною, якщо вона можна розв'язати. відповідь: у невід'ємних Xi>0, при i=1÷n.

Згіднокласичної моделі ринкової економіки пропозиція товару визначається: рівнем повної зайнятості.

Згіднокласичної моделі ринкової економіки при тому самому ВВП збільшення пропозиції грошей призведе до…Збільшенню ціни є одиниця ВВП.

Відповідно до моделіСолоу «золоте» правило накопичення відповідає нормі накопичення, що дорівнює α-коефіцієнту еластичності для фізичного капіталу.фі=1.

Відповідно до моделіХаррорда-Домара при якому…..r приросту обсягу споживання він дорівнює темпу приросту доходу: ВІДПОВІДЬ: r< 1/в, r=p .

Відповідно до моделіХаррорда-Домара за якого…..r приросту обсягу споживання він дорівнює темпу приросту доходу: ВІДПОВІДЬ: якщо r =р0, р0 = а0 /В, а0 – це норма накопичення у початковий час.

Відповідно до статичноїмоделі Леонтьєва, якщо кінцевий продукт першої галузі y1=1000од, а валовий випуск x1=2500ед чому дорівнює обсяг продукції першої галузі, спожитий іншими галузями 1,5. (1500 чи 3500).

Відповідно до статичноїмоделі Леонтьєва, якщо кінцевий продукт першої галузі y1=1500од, а валовий випуск x1=3500ед чому дорівнює обсяг продукції першої галузі, спожитий іншими галузями 2000од .

Статична модельЛеонтьєва включає рівняння виду. .

Умовно чиста продукція в міжгалузевому балансі включає…Амортизація, оплату праці та чистий дохід.

Функція корисностіспоживання має вигляд .Ціна на благо х дорівнює 10, на благо y дорівнює 5, дохід споживача дорівнює 200.Тоді оптимальний набір благ споживача має вигляд. 10,20.

Функція корисностіспоживання має вигляд .Ціна на благо х дорівнює 5, на благо y дорівнює 10, дохід споживача дорівнює 200.Тоді оптимальний набір благ споживача має вигляд .. .20,10.(200або400)

Функція корисностіспоживача має властивості…гранична корисність зменшується, якщо обсяг споживання зменшується; зростання споживання одного продукту веде до зростання ф-ії корисності; (гранична корисність кожного продукту увел.если зростає у ін-го продукту).

Ціна реалізаціїодного виробу дорівнює 7од. Постійні витрати рівні 8000од. Змін. витрати дорівнюють 5од. на 1шт. Чому дорівнює беззбитковий обсяг виробництва: 4000од.

Чому дорівнює моделіКейнс попит на облігації, якщо пропозиція грошей = 1000 од. , Швидкість обороту грошей на реальному ринку k = 0,1, ціна одиниці ВВП - p = 0,5 од, величина ВВП - 10000 од ... 500.

Чому дорівнюєу моделі Кейнса попит на облігації, якщо пропозиція грошей = 1000 од. , Швидкість обороту грошей на реальному ринку k = 0,1, ціна одиниці ВВП-p = 0,2 од, величина ВВП - 10000 од ... 800.

Нехай дана деяка функція u=f(M) і водночас запроваджено систему координат. Тоді довільна точка визначається координатами x, y. Відповідно до цього і значення цієї функції в точці М визначається координатами x, y, або, як ще кажуть, u=f(M) є функція двох змінних x та y. Функція двох змінних x і y позначається символом f(x; y): якщо f(M)=f(x;y), то формула u=f(x; y) називається виразом цієї функції у вибраній системі координат. Так, у попередньому прикладі f(M)=AM; якщо ввести декартову прямокутну систему координат з початком у точці А, то отримаємо вираз цієї функції:

u=sqrt(x^2 + y^2)

ЗАВДАННЯ 3688 Дано функцію f (x, y)=x^2–y^2–16.

Параметричні рівняння лінії

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

При зміні t величини х і будуть, взагалі кажучи, змінюватися, отже, точка М буде переміщатися. Рівності (1) називаються параметричними рівняннями лініїяка є траєкторією точки М; аргумент t має назву параметра. Якщо з рівностей (1) можна виключити параметр t, отримаємо рівняння траєкторії точки М у вигляді

Давайте повторимо * Яке рівняння називається квадратним? * Які рівняння називаються неповними квадратними рівняннями? * Яке квадратне рівняння називається наведеним? * Що називають коренем квадратного рівняння? * Що означає вирішити квадратне рівняння? Яке рівняння називається квадратним? Які рівняння називаються неповними квадратними рівняннями? Яке квадратне рівняння називається наведеним? Що називають коренем квадратного рівняння? Що означає розв'язати квадратне рівняння? Яке рівняння називається квадратним? Які рівняння називаються неповними квадратними рівняннями? Яке квадратне рівняння називається наведеним? Що називають коренем квадратного рівняння? Що означає розв'язати квадратне рівняння?

Алгоритм розв'язання квадратного рівняння: 1. Визначити яким способом раціональніше вирішити квадратне рівняння 2. Вибрати найбільш раціональний спосіб розв'язання 3. Визначення кількості коренів квадратного рівняння 4. Знаходження коренів квадратного рівняння Для кращого запам'ятовування заповнимо таблицю… Для кращого запам'ятовування заповнимо таблицю таблицю…

Додаткова умова Рівняння Коріння Приклади 1. в = с = 0, а 0 ах 2 = 0 х 1 = 0 2. с = 0, а 0, в 0 ах 2 + bх = 0 х 1 = 0, х 2 = -b /а 3. в = 0, а 0, в 0 ах 2 + с = 0 а) х 1,2 = ±(c/а), де с/а 0. б) якщо с/а 0, то рішень немає 4. а 0 ах 2 + bх + с = 0 x 1,2 =(-b±D)/2 а, де D = 2 – 4 ас, D0 5. в – парне число (в = 2k), а 0, у 0, з 0 ах 2 + 2kx + c = 0 х 1,2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, де k = 6. Теорема зворотна теоремі Вієта x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

ІІ. Спеціальні методи 7. Метод виділення квадрата двочлену. Ціль: Привести рівняння загального вигляду до неповного квадратного рівняння. Примітка: метод застосовується для будь-яких квадратних рівнянь, але не завжди зручний у використанні. Використовується для доказу формули коренів квадратного рівняння. Приклад: розв'яжіть рівняння х 2 -6 х+8=0 8. Метод «перекидання» старшого коефіцієнта. Коріння квадратних рівнянь ax 2 + bx + c = 0 та y 2 +by+ac=0 пов'язані співвідношеннями: і Зауваження: метод хороший для квадратних рівнянь із «зручними» коефіцієнтами. У деяких випадках дозволяє розв'язати квадратне рівняння усно. Приклад: розв'яжіть рівняння 2 х 2 -9 х-5=0 На підставі теорем: Приклад: розв'яжіть рівняння 157 х х-177=0 9. Якщо в квадратному рівнянні a+b+c=0, то один з коренів дорівнює 1, а другий за теоремою Вієта дорівнює с/а 10. Якщо в квадратному рівнянні a+c=b, то один з коренів дорівнює -1, а другий за теоремою Вієта дорівнює –с/а Приклад: розв'яжіть рівняння 203 х х+17=0 х 1 = 1 / а, х 2 = 2 / а

ІІІ. Загальні методи розв'язування рівнянь 11. Метод розкладання на множники. Мета: Привести квадратне рівняння загального виду до виду А(х) В(х)=0, де А(х) і В(х) – багаточлени щодо х. Винесення загального множника за дужки; використання формул скороченого множення; Спосіб угруповання. Приклад: розв'яжіть рівняння 3 х 2 +2 х-1=0 12. Метод введення нової змінної. Вдалий вибір нової змінної робить структуру рівняння прозорішою Приклад: розв'яжіть рівняння (х 2 +3 х-25) 2 -6(х 2 +3 х-25)= - 8

Нехай на площині  задана декартова прямокутна система координат Оху та деяка лінія L.

Визначення. Рівняння F(x;y)=0 (1)називається рівнянням лініїL(щодо заданої системи координат), якщо цьому рівнянню задовольняють координати х і будь-якої точки, що лежить на лінії L, і не задовольняють координати х і у жодної точки, що не лежить на лінії L.

Т.о. лінією на площиніназивається геометричне місце точок (M(x; y)), координати яких задовольняють рівняння (1).

Рівняння (1) визначає лінію L.

приклад. Рівняння кола.

Окружність– безліч точок, рівновіддалених від заданої точки М 0 (х 0, 0).

Точка М 0 (х 0, у 0) - центр кола.

Для будь-якої точки М (х; у), що лежить на колі, відстань ММ 0 = R (R = const)

ММ 0 ==R

(х-х 0 ) 2 +(у-у 0 ) 2 =R 2 –(2) – рівняння кола радіуса R з центром у точці М 0 (х 0, у 0).

Параметричне рівняння лінії.

Нехай координати х та у точок лінії L виражаються за допомогою параметра t:

(3) – параметричне рівняння лінії ДСК

де функції (t) та (t) безперервні за параметром t (у певній області зміни цього параметра).

Виключаючи з рівняння (3) параметр t, отримаємо рівняння (1).

Розглянемо лінію L як шлях, пройдений матеріальною точкою, що безперервно рухається за певним законом. Нехай змінна t є час, що відраховується від деякого початкового моменту. Тоді завдання закону руху являє собою завдання координат х і у точки, що рухається як деяких безперервних функцій х=(t) і у=(t) часу t.

приклад. Виведемо параметричне рівняння кола радіуса r>0 з центром на початку координат. Нехай М(х,у) – довільна точка цього кола, а t – кут між радіус-вектором та віссю Ох, що відраховується проти годинникової стрілки.

Тоді x = r cos x y = r sin t. (4)

Рівняння (4) являють собою параметричні рівняння розглянутого кола. Параметр t може набувати будь-яких значень, але для того, щоб точка М(х,у) один раз обійшла коло, область зміни параметра обмежується напівсегментом 0t2.

Звівши квадрат і склавши рівняння (4), отримаємо загальне рівняння кола (2).

2. Полярна система координат (ПСК).

Виберемо на площині вісь L ( полярна вісь) і визначимо точку цієї осі О ( полюс). Будь-яка точка площини однозначно визначається полярними координатами ρ і φ, де

ρ – полярний радіус, рівний відстані від точки М до полюса (ρ≥0);

φ – кутміж напрямком вектора ОМта віссю L ( полярний кут). М(ρ ; φ )

Рівняння лінії в ПСКможе бути записано:

ρ=f(φ) (5) явне рівняння лінії ПСК

F=(ρ; φ) (6) неявне рівняння лінії ПСК

Зв'язок між декартовими та полярними координатами точки.

(х;у) (ρ ; φ ) З трикутника ОМА:

tg φ=(відновлення кутаφ за відомимтангенсу виробляєтьсяз урахуванням того, в якому квадранті знаходиться точка М).ρ ; φ ) (х; у). х=ρcos φ,y= ρsin φ

приклад . Знайти полярні координати точок М(3;4) та Р(1;-1).

Для М: = 5, φ = arctg (4/3). Для Р: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Класифікація плоских ліній.

Визначення 1.Лінія називається алгебраїчної,якщо в деякій декартовій прямокутній системі координат, якщо вона визначається рівнянням F(x; y) = 0 (1), в якому функція F (x; y) являє собою багаточлен алгебри.

Визначення 2.Будь-яка не алгебраїчна лінія називається трансцендентної.

Визначення 3. Алгебраїчна лінія називається лінією порядкуnякщо в деякій декартовій прямокутній системі координат ця лінія визначається рівнянням (1), в якому функція F(x;y) являє собою алгебраїчний багаточлен n-го ступеня.

Т.ч., лінією n-го порядку називається лінія, яка визначається в деякій декартовій прямокутній системі алгебраїчним рівнянням ступеня n з двома невідомими.

Встановленню коректності визначень 1,2,3 сприяє наступна теорема.

Теорема(Док-во на с.107). Якщо лінія в деякій декартовій прямокутній системі координат визначається рівнянням алгебри рівнем ступеня n, то ця лінія і в будь-якій іншій декартовій прямокутній системі координат визначається рівнянням алгебри того ж ступеня n.