Мал. 3.2Взаємне розташування прямих

Прямі в просторі можуть займати одне з трьох положень:

1) бути паралельними;

2) перетинатися;

3) схрещуватися.

Паралельниминазиваються прямі, що лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Якщо прямі паралельні один одному, то на КЧ їх однойменні проекції також паралельні (див. п. 1.2).

.

Перетинаютьсяназиваються прямі, що лежать в одній площині і мають одну загальну точку.

У прямих, що перетинаються, на КЧ однойменні проекції перетинаються в проекціях точки А. Причому фронтальна () та горизонтальна () проекції цієї точки повинні перебувати на одній лінії зв'язку.

.

Схрещуютьсяназиваються прямі, що у паралельних площинах і мають спільних точок.

Якщо прямі схрещуються, то на КЧ їх однойменні проекції можуть перетинатися, але точки перетину однойменних проекцій не лежатимуть на одній лінії зв'язку.

На рис. 3.4 точка Зналежить прямий b, а крапка D- Прямий а. Ці точки знаходяться на однаковій відстані від передньої площини проекцій. Аналогічно точки Eі Fналежать різним прямим, але знаходяться на одній відстані від горизонтальної поверхні проекцій. Тому на КЧ їхні фронтальні проекції збігаються.

Можливі два випадки розташування точки щодо площини: точка може належати площині або не належати їй (рис. 3.5).

Ознака приналежності точки та прямої площини:

Крапка належить площині, якщо належить пряма, що лежить у цій площині.

Пряма належить площиніякщо має з нею дві спільні точки або має з нею одну загальну точку і паралельна іншій прямій, що лежить у цій площині.

На рис. 3.5 зображено площину та точки Dі Е. Крапка Dналежить площині, тому що належить прямий l, що має з цією площиною дві спільні точки - 1 і А. Крапка Ене належить площині, т.к. Через неї не можна провести пряму, що лежить у цій площині.

Однією із завдань, для вирішення яких застосовуються лінії рівня, є завдання на побудову проекцій точки, що належить площині. Нехай є фронтальна проекція D 2 точки D площині, що належить, заданої слідами k X l (рис. 111, а). Потрібно знайти горизонтальну проекцію D точки 1 D.

Крапка належить площині, якщо вона належить прямій, що належить площині. Розв'язуємо задачу за допомогою горизонталі h площини k X l. Через точку D 2 проводимо фронтальну проекцію h 2 цієї горизонталі, яка, як відомо, має бути паралельна осі х 12 (Рис. 111 б). Вона перетне фронтальну проекцію k 2 фронтального сліду k до точки N 2 ; провівши вертикальну лінію зв'язку, знайдемо на осі проекцій х 12 горизонтальну проекцію фронтального сліду горизонталі N (див. рис. 108).

TBegin-->TEnd-->

Горизонтальна проекція h 1 горизонталі повинна бути паралельна l 1 Горизонтальну проекцію D 1 точки D знайдемо на горизонтальній проекції h 1 горизонталі в точці перетину її з вертикальною лінією зв'язку, проведеної через точку D 2 .

Це завдання можна було б вирішити також за допомогою фронталі. І тут довелося через точку D 2 провести фронтальну проекцію f 2 ||k 2 . Радимо учням виконати побудову самим. Результат має бути однаковим із першою побудовою.

Дещо змінимо умови завдання. Нехай буде задана горизонтальна проекція Е 1 точки Е і площина ABC, визначена проекціями трикутника (рис, 112, а). У цьому задачі не можна скористатися горизонталлю площини, оскільки відсутня фронтальна проекція точки Е. через точку E 1 проводимо горизонтальну проекцію (х фронталі, знаходимо її фронтальну проекцію l2 і на ній точку Е 1 ).

Точку в площині можна побудувати не лише за допомогою горизонталі та фронталі, а й за допомогою прямого загального стану. У деяких випадках це навіть зручніше.

TBegin-->
TEnd-->

Побудова прямої загального становища, що належить площині загального становища, не відрізняється від побудови горизонталей і фронталей, що належать площині. Побудова ґрунтується на положенні, відомому з геометрії: пряма належить площині, якщо вона має дві загальні точки з цією площиною. Таким чином, якщо ми перетнемо одну з проекцій площини довільної прямої і використовуємо дві точки перетину цієї прямої з лініями, що належать площині, для побудови другої проекції лінії, то зможемо вирішити задачу. Для прикладу розв'яжемо попередню задачу за допомогою прямого загального положення (рис. 112, б). Через точку Е 1 проводимо пряму D 1 F 1 будь-якого нахилу; знаходимо фронтальну проекцію D 2 F 2 лінії DF, використовуючи точки перетину D 1 та F 1 . На перетині фронтальної проекції D2F2 з вертикальною лінією зв'язку знаходимо фронтальну проекцію Е1 точки Е.

програма передач на сьогодні: Animal Planet, Bloomberg, 3 канал, CNN, Ajara TV, Classic Sport, Amazing Life, AB Moteurs Luxe HD, Jetix, Jetix Play, Mezzo, HD Кіно, Discovery Channel, MCM, MGM, HD Life, Discovery Science.

Крапка належить прямій, якщо її проекції лежать на однойменних проекціях цієї прямої (рис. 21а).

Крапка належить площині, якщо вона лежить на прямій, що лежить у цій площині (рис.21б).

Пряма належить площині, якщо вона проходить через дві точки, що лежать у цій площині (рис.21в).

Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна будь-якій прямій, що лежить у цій площині. На малюнку 22 зображено пряму t, паралельну прямій b, що належить площині Σ: t // b Î Σ (aÇ b).

Малюнок 22

Через будь-яку точку простору можна провести безліч прямих, паралельних даній площині.

Це завдання на визначення загальної точки прямої та площини. Її називають також точкою зустрічі. Розглянемо перетин прямий із площиною приватного становища.

Площина Σ задана трикутником АВС і є горизонтально площиною, що проеціює. Точка зустрічі прямої k з площиною Σ визначається горизонтальною проекцією. Фронтальна проекція точки Добудується за допомогою лінії зв'язку. Символічний запис буде виглядати так: k Ç Σ (ABC) = K.

Видимість прямої щодо площини визначається за допомогою фронтально-конкуруючих точок 1 та 2.

Малюнок 23

Перетин прямий з площиною загального положення зображено на малюнку 24. У цьому випадку потрібно укласти пряму в площину, що проеціює.

tÎ Σ ^ П 2 - пряма tналежить площині Σ, яка перпендикулярна горизонтальній площині проекцій. Лінія перетину цієї площини з цією - лінія (1, 2). Потім знаходиться точка перетину цієї лінії з прямою t, яка і буде точкою зустрічі прямої та площини. Видимість прямої щодо площини визначається за допомогою конкуруючих точок. Візьмемо горизонтально конкуруючі точки 3 і 4. Так як точка 3, що належить прямий, виявилася нижчою за точку 4, отже, пряма на горизонтальній площині праворуч від точки перетину невидима. Потім беремо фронтально конкуруючі точки 1 і 5. Точка 1, що належить площині, лежить ближче, отже, пряма знаходиться за площиною, і на фронтальній проекції невидима від точки 1 до точки До.

Малюнок 24

До особливих прямих, що належать площині, відносяться горизонталь, фронталь та профільна пряма. Побудова цих прямих використовується при вирішенні багатьох завдань з накреслювальної геометрії. Їх зображення дано малюнку 25. Причому на горизонтальній площині горизонталь має натуральну величину, на фронтальній площині - фронталь і профільної площині - профільна пряма.

Малюнок 25

1. Сформулюйте умови належності точки площини та прямої площини.

2. Як побудувати пряму паралельну заданій площині?

3. Згадайте етапи розв'язання задачі на визначення точки перетину прямої та площини.

4. Які точки називаються конкуруючими?

5. Як провести в площині горизонталь та фронталь?

6. Які ще особливі прямі площини ви знаєте?

Визначення.Пряма та площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок (а ||)

Ознака паралельності прямої та площини.

Теорема.Якщо пряма, не лежача у цій площині, паралельна який-небудь прямий, що у цій площині, вона паралельна самої площині.

Висновки.

Випадки взаємного розташування прямої та площини:

А) пряма лежить у площині;
б) пряма та площина мають тільки одну загальну точку;
в) пряма та площина не мають жодної загальної точки.

Випадки взаємного розташування площин:

Властивості паралельних площин:

Завдання та тести на тему "Тема 3. "Паралельність прямої та площини; паралельність площин "."

• Паралельність площин

  Уроків: 1 Задань: 8 Тестів: 1

• Паралельність прямих, прямої та площини - Паралельність прямих та площин 10 клас
• Ознаки паралельності двох прямих. Аксіома паралельних прямих - Паралельні прямі 7 клас

  Уроків: 2 Задань: 11 Тестів: 1

• Взаємне розташування прямих у просторі. Кут між прямими - Паралельність прямих та площин 10 клас

  Уроків: 1 Задань: 9 Тестів: 1

• Перпендикулярність прямої та площини - Перпендикулярність прямих та площин 10 клас

  Уроків: 1 Задань: 10 Тестів: 1

Тема "Аксіоми стереометрії" відіграє важливу роль у розвитку просторових уявлень, тому намагайтеся залучати більше моделей (картон та спиці), малюнків.

У темі "Паралельність у просторі" даються знання про паралельність прямих та площин у просторі. У цьому матеріалі узагальнюються відомі з планіметрії відомості про паралельність прямих. На прикладі теореми про існування і єдиність прямої, паралельної даної, Ви отримуєте уявлення про необхідність заново довести відомі з планиметрії факти в тих випадках, коли йдеться про точки і прямі простори, а не про конкретну площину.

Завдання на підтвердження вирішуються у багатьох випадках за аналогією з підтвердженням теорем. Для вирішення завдань на обчислення довжин відрізків необхідно провести повторення курсу планіметрії: рівності та подоби трикутників, визначень, властивостей та ознак прямокутника, паралелограма, ромба, квадрата, трапеції.

Ознаки приналежності добре відомі з курсу планіметрії. Наше завдання розглянути їх стосовно проекцій геометричних об'єктів.

Крапка належить площині, якщо вона належить прямій, що лежить у цій площині.

Приналежність прямої площини визначається за однією з двох ознак:

а) пряма проходить через дві точки, що лежать у цій площині;

б) пряма проходить через точку і паралельна прямій, що лежить у цій площині.

Використовуючи ці властивості, вирішимо як приклад завдання. Нехай площина задана трикутником АВС. Потрібно побудувати недостатню проекцію D 1 крапка D, що належить цій площині. Послідовність побудов наступна (рис. 2.5).

Мал. 2.5. До побудови проекцій точки, що належить площині

Через точку D 2 проводимо проекцію прямий d, що лежить у площині  АВС, що перетинає одну зі сторін трикутника та точку А 2 . Тоді точка 1 2 належить прямим А 2 D 2 та C 2 У 2 . Отже, можна отримати її горизонтальну проекцію 1 1 C 1 У 1 лінії зв'язку. З'єднавши точки 1 1 і А 1 , отримуємо горизонтальну проекцію d 1 . Зрозуміло, що точка D 1 належить їй і лежить на лінії проекційного зв'язку з точкою D 2 .

Досить легко вирішуються завдання визначення належності точки чи прямий площині. На рис. 2.6 показаний перебіг таких завдань. Для наочності викладу завдання площину задаємо трикутником.

Мал. 2.6. Завдання на визначення належності точки та прямої площини.

Для того, щоб визначити, чи належить точка Еплощині  АВС, проведемо через її фронтальну проекцію Е 2 пряму а 2 . Вважаючи, що пряма належить площині  АВС, збудуємо її горизонтальну проекцію а 1 за точками перетину 1 і 2. Як бачимо (рис. 2.6, а), пряма а 1 не проходить через точку Е 1 . Отже, точка Е АВС.

У задачі на належність прямий вплощині трикутника АВС(рис. 2.6, б), достатньо по одній із проекцій прямої в 2 побудувати іншу в 1 * вважаючи, що в АВС. Як бачимо, в 1* і в 1 не збігаються. Отже, пряма в   АВС.

2.4. Лінії рівня у площині

Визначення ліній рівня було дано раніше. Лінії рівня, що належать даній площині, називаються головними . Ці лінії (прямі) відіграють істотну роль при вирішенні ряду задач геометрії.

Розглянемо побудову ліній рівня площині, заданої трикутником (рис. 2.7).

Мал. 2.7. Побудова головних ліній площини, заданої трикутником

Горизонталь площини  АВСпочинаємо з викреслення її фронтальної проекції h 2 , яка, як відомо, паралельна осі ОХ. Оскільки ця горизонталь належить даній площині, вона проходить через дві точки площини  АВС, А саме, точки Ата 1. Маючи їх фронтальні проекції А 2 і 1 2 по лінії зв'язку отримаємо горизонтальні проекції ( А 1 вже є) 1 1 . З'єднавши точки А 1 і 1 1 маємо горизонтальну проекцію h 1 горизонталі площині  АВС. Профільна проекція h 3 горизонталі площини  АВСбуде паралельна осі ОХза визначенням.

Фронталь площини  АВСбудується аналогічно (рис. 2.7) з тією різницею, що її креслення починається з горизонтальної проекції f 1 , оскільки відомо, що вона паралельна осі ОХ. Профільна проекція f 3 фронталі має бути паралельна осі ОZ і пройти через проекції З 3 , 2 3 тих же точок Зі 2.

Профільна лінія площини  АВСмає горизонтальну р 1 та фронтальну р 2 проекції, паралельні осям OYі OZ, а профільну проекцію р 3 можна отримати по фронтальній, використовуючи точки перетину Ута 3 с  АВС.

При побудові головних ліній площини пам'ятаймо лише одне правило: на вирішення завдання завжди потрібно отримати дві точки перетину з цією площиною. Побудова основних ліній, що у площині, заданої іншим способом, анітрохи складніше розглянутого вище. На рис. 2.8 показано побудову горизонталі та фронталі площини, заданої двома прямими, що перетинаються. аі в.

Мал. 2.8. Побудова головних ліній площини, заданої прямими, що перетинаються.