Піраміда- це багатогранник, у якого одна грань - основа піраміди - довільний багатокутник, а решта - бічні грані - трикутники із загальною вершиною, званою вершиною піраміди. Перпендикуляр опущений з вершини піраміди на її основу, називається заввишки піраміди. Піраміда називається трикутною, чотирикутною і т.д., якщо основою піраміди є трикутник, чотирикутник і т.д. Трикутна піраміда є чотиригранником - тетраедр. Чотирикутна - п'ятигранник і т.д.
Піраміда, Усічена Піраміда
Правильна піраміда
Якщо основа піраміди — правильний багатокутник, а висота опускається в центр основи, то піраміда правильна. У правильній піраміді всі бічні ребра рівні, всі бічні грані рівні рівнобедрені трикутники. Висота трикутника бічної грані правильної піраміди називається апофема правильної піраміди.
Усічена піраміда
Перетин паралельне підставі піраміди поділяє піраміду на дві частини. Частина піраміди між її основою та цим перетином — це усічена піраміда . Цей переріз для усіченої піраміди є одним із її підстав. Відстань між основами усіченої піраміди називається висотою усіченої піраміди. Усічена піраміда називається правильною, якщо піраміда, з якої вона була отримана, була правильною. Усі бічні грані правильної усіченої піраміди – це рівні рівнобокі трапеції. Висота трапеції бічної грані правильної усіченої піраміди. апофема правильної усіченої піраміди.
Багатогранники. Основні елементи. Випуклі та невипуклі багатогранники.
Багатогранник- Це обмежене тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа багатокутників. Багатокутники, що становлять багатогранну поверхню, називається її гранями,їх сторони – її ребрами,а їхні вершини – вершинамибагатогранної поверхні. Відрізки, що з'єднують вершини багатогранника, що не належить однієї грані, називаються діагоналями. Простий багатогранник (двовимірний або тривимірний) називається опуклимякщо він розташований по одну сторону від будь-якої площини, що містить його грань (н-р: куб, призма, піраміди, усічені піраміди та ін). Теорема Декарта – Ейлера про багатогранники.Т1: Сума числа вершин і числа граней опуклого багатогранника на 2 одиниці більше від числа його ребер (В+Г=Р+2). Т2: Ейлерова характеристика опуклого багатогранника дорівнює двом. Випуклі правильні багатогранники. Багатогранник зв-ся правильним,якщо всі його межі правильні багатокутники та всі багатогранні кути при вершинах рівні та правильні. Багатогранний кут наз-ся правильним, якщо його двогранні кути рівні між собою і його плоскі кути рівні між собою. Примітка: 1. Кажуть, що 2 правильні багатогранники відносяться до одного типу, якщо у них однакові наступні характеристики: число вершин – В, число граней – Г, число ребер – Р, число вершин у кожній грані – n, число граней у кожній вершині s. 2. Не слід плутати опуклі правильні багатогранники з правильною призмою, правильною пірамідою, прав.усіченою пірамідою, т.к. у названих фігур рівні лише ребра основ, а бічні ребра можуть і не рівні ребрам основи і, крім того, не всі їхні грані є рівними багатокутниками. Існує 5 типів правильних опуклих багатогранників: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Невипуклий багатогранник- багатогранник, розташований по різні боки від площини однієї з його граней. Існує 4 типи (або тіла Кеплера - Пуансо): Великий ікосаедр, Малий зірчастий додекаедр, великий зірчастий додекаедр.
Призма. Основні елементи. Пряма та похила призми. Правильна призма. Створення зображення призми.
Призма -багатогранник, у якого 2 грані, які називаються підставами призми, рівні та їх відповідні сторони паралельні, а інші грані – паралелограми, у кожного з яких 2 сторони є відповідними сторонами підстав. Сторони бічних граней називаються ребрами підстав,сторони підстав називаються ребрами підстав,вершини підстав наз-ся вершинами призми. Всі рівні між собою, рівні і паралельні соотв.сторони підстав. Висотою призми наз-ся відстань між площинами та її основами. Призма називається прямий, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. У разі бічні ребра є висотою прямої призми. У прямій призми бічні грані – прямокутники. Похила призма– призма, бічні ребра якої не перпендикулярні до основи. Пряма призма називається правильною,якщо її основою є правильний багатогранник . Побудова: спочатку будується одна з основ. Це буде деякий плоский багатокутник. Потім з вершин багатокутника проводяться бічні ребра призми як паралельних відрізків рівної довжини. Кінці цих відрізків з'єднуються, і виходить інша підстава призми. Невидимі ребра проводяться штриховими лініями.
Паралелепіпед. Основні елементи. Властивості паралелепіпеда. Прямий та прямокутний паралелепіпед. Куб. Побудова зображення парал-так і куба.
Паралелепіпед – призма, у якої основа – паралелограм. Паралелепіпед має 8 вершин, 12 ребер, 6 граней. Ел-ти: 2 грані паралелепіпеда, які мають спільного ребра, називаються протилежними, а мають спільне ребро – суміжними. Дві вершини парал-да, не належать однієї грані, наз-ся протилежними. Відрізок, що з'єднує протилежні вершини, наз-ся діагоналлю парал-да. Довжини трьох ребер прямокутного парал-да, що мають загальну вершину, називають його вимірами. Властивості 1. У паралелепіпеді всі його діагоналі перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл. 2. Протилежні грані парал-да попарно рівні та паралельні. 3. Бічні грані прямого паралелепіпеда – прямокутники. 4. Квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. Прямокутнийпаралелепіпед – прямий паралелепіпед, основа якого прямокутники, паралельні та рівні між собою . ПрямийПаралелепіпед - це паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до основи. Однак у підставі прямого паралелепіпеда у випадку лежить паралелограмм. А ось в основі прямокутного паралелепіпеда – обов'язково прямокутник. Куб– це прямокутний паралелепіпед, все ребра якого рівні, тобто. усі грані якого – квадрати. Квадрат діагоналі куба = 3*А (у квадраті), А – вимір куба. Побудова:Побудувати паралелепіпед можна за допомогою звичайної та трикутної лінійки. Суть побудов полягає у паралельному проведенні всіх ліній геометричної фігури; Щоб побудувати куб у всіх цих положеннях, достатньо побудувати передню грань, провести лінії з чотирьох кутів у точку сходу, відкласти цих лініях верхні і нижні ребра і з'єднати їх між собою.
піраміда. Основні елементи. Правильна піраміда, її властивості. Побудова зображення піраміди.
Піраміда- багатогранник, одна грань якого плоский багатокутник (основа піраміди), інші грані (бічні грані) - трикутники із загальною вершиною, які загальна вершина - Вершина піраміди.
Висота- перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину її основи, і навіть довжина цього перпендикуляра.
Піраміда називається правильноюякщо її основа - правильний багатокутник і висота проходить через центр цього багатокутника.
Висота бічної грані правильної піраміди. апофема.
Перетин піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди та діагональ основи - діагональний переріз піраміди.
Властивості правильної піраміди:
1. Апофеми рівні.
2. Висота проходить через центр основи.
3. Бічні ребра рівніміж собою
4. всі бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками
5.площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи апофему
6. всі бічні грані утворюють з площиною основи правильної піраміди рівні кути.
7. всі висоти бічних граней рівні між собою
Щоб зобразити правильну пірамідуспочатку креслять правильний багатокутник, що лежить в основі, і його центр - точку О. Потім проводять вертикальний відрізок OS, що зображує висоту піраміди. Точку S з'єднують з усіма вершинами основи.
Формула площі бічної поверхні для правильної піраміди: ½ h * P основи
Визначення
Піраміда– це багатогранник, складений із багатокутника \(A_1A_2...A_n\) і \(n\) трикутників із загальною вершиною \(P\) (що не лежить у площині багатокутника) і протилежними їй сторонами, що збігаються зі сторонами багатокутника.
Позначення: \(PA_1A_2...A_n\) .
Приклад: п'ятикутна піраміда \(PA_1A_2A_3A_4A_5\).
Трикутники \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) і т.д. називаються бічними гранямипіраміди, відрізки (PA_1, PA_2) і т.д. - бічними ребрами, багатокутник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – основою, точка \ (P \) - вершиною.
Висотапіраміди – це перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.
Піраміда, в основі якої лежить трикутник, називається тетраедром.
Піраміда називається правильною, якщо в її основі лежить правильний багатокутник і виконано одну з умов:
\((a)\) бічні ребра піраміди рівні;
\((b)\) висота піраміди проходить через центр описаного біля основи кола;
\((c)\) бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.
\((d)\) бічні грані нахилені до площини основи під однаковим кутом.
Правильний тетраедр– це трикутна піраміда, усі грані якої – рівні рівносторонні трикутники.
Теорема
Умови ((a), (b), (c), (d)) еквівалентні.
Доведення
Проведемо висоту піраміди (PH). Нехай \(\alpha\) - площина основи піраміди.
1) Доведемо, що з ((a)) слід ((b)). Нехай \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Т.к. \(PH\perp \alpha\) , то \(PH\) перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить у цій площині, отже, трикутники - прямокутні. Значить, ці трикутники рівні за загальним катетом \(PH\) і гіпотенуз \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Отже, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Отже, точки \(A_1, A_2, ..., A_n\) знаходяться на однаковій відстані від точки \(H\), отже, лежать на одному колі з радіусом \(A_1H\). Це коло за визначенням і є описане біля багатокутника \(A_1A_2...A_n\) .
2) Доведемо, що з \((b)\) випливає \((c)\).
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)прямокутні та рівні за двома катетами. Отже, рівні та їхні кути, отже, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).
3) Доведемо, що з ((c)) слід ((a)).
Аналогічно першому пункту трикутники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)прямокутні і по катету та гострому куту. Отже, рівні та його гіпотенузи, тобто \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Доведемо, що з ((b)) слід ((d)).
Т.к. у правильному багатокутнику збігаються центри описаного та вписаного кола (взагалі кажучи, ця точка називається центром правильного багатокутника), то \(H\) – центр вписаного кола. Проведемо перпендикуляри з точки \(H\) на сторони основи: \(HK_1, HK_2\) і т.д. Це – радіуси вписаного кола (за визначенням). Тоді по ТТП (\(PH\) - перпендикуляр на площину, \(HK_1, HK_2\) і т.д. - проекції, перпендикулярні сторонам) похилі (PK_1, PK_2\) і т.д. перпендикулярні сторонам (A_1A_2, A_2A_3) і т.д. відповідно. Отже, за визначенням \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\)рівні кутам між бічними гранями та основою. Т.к. трикутники \(PK_1H, PK_2H, ...\) рівні (як прямокутні за двома катетами), то й кути \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\)рівні.
5) Доведемо, що з ((d)) слід ((b)).
Аналогічно четвертому пункту трикутники \(PK_1H, PK_2H, ...\) рівні (як прямокутні за катетом і гострим кутом), отже, рівні відрізки \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) . Значить, за визначенням, (H) – центр вписаної в основу кола. Але т.к. у правильних багатокутників центри вписаного та описаного кола збігаються, то \(H\) – центр описаного кола. Чтд.
Слідство
Бічні грані правильної піраміди – рівні рівнобедрені трикутники.
Визначення
Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою.
Апофеми всіх бічних граней правильної піраміди рівні між собою і є також медіанами та бісектрисами.
Важливі зауваження
1. Висота правильної трикутної піраміди падає в точку перетину висот (або бісектрис, або медіан) основи (основа – правильний трикутник).
2. Висота правильної чотирикутної піраміди падає в точку перетину діагоналей основи (основа – квадрат).
3. Висота правильної шестикутної піраміди падає в точку перетину діагоналей основи (основа – правильний шестикутник).
4. Висота піраміди перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить в основі.
Визначення
Піраміда називається прямокутноїякщо одне її бічне ребро перпендикулярно площині основи.
Важливі зауваження
1. У прямокутної піраміди ребро, перпендикулярне до основи, є висотою піраміди. Тобто (SR) - висота.
2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно будь-якій прямій з основи, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\)- Прямокутні трикутники.
3. Трикутники \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- теж прямокутні.
Тобто будь-який трикутник, утворений цим ребром та діагоналлю, що виходить з вершини цього ребра, що лежить у підставі, буде прямокутним.
\[(\Large(\text(Обсяг та площа поверхні піраміди)))\]
Теорема
Обсяг піраміди дорівнює третині твору площі основи на висоту піраміди: \
Наслідки
Нехай \(a\) - сторона основи, \(h\) - висота піраміди.
1. Об'єм правильної трикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.треуг.пір.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Об'єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.чотир.пір.))=\dfrac13a^2h\).
3. Об'єм правильної шестикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.шест.пір.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Об'єм правильного тетраедра дорівнює \(V_(\text(прав.тетр.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Теорема
Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює напівтвору периметра основи на апофему.
\[(\Large(\text(Усічена піраміда)))\]
Визначення
Розглянемо довільну піраміду \(PA_1A_2A_3...A_n\). Проведемо через деяку точку, що лежить на бічному ребрі піраміди, площину паралельно до основи піраміди. Ця площина розіб'є піраміду на два багатогранники, один з яких – піраміда (\(PB_1B_2...B_n\) ), а інший називається усічена піраміда(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Усічена піраміда має дві підстави – багатокутники \(A_1A_2...A_n\) і \(B_1B_2...B_n\) , які подібні один до одного.
Висота усіченої піраміди – це перпендикуляр, проведений з якоїсь точки верхньої основи до площини нижньої основи.
Важливі зауваження
1. Усі бічні грані усіченої піраміди – трапеції.
2. Відрізок, що з'єднує центри основ правильної зрізаної піраміди (тобто піраміди, отриманої перерізом правильної піраміди), є висотою.
Вступ
Коли ми почали вивчати стереометричні фігури, торкнулися теми «Піраміда». Нам сподобалася ця тема, тому що піраміда часто-густо вживається в архітектурі. І оскільки наша майбутня професія архітектора, надихнувшись цією фігурою, ми думаємо, що вона зможе підштовхнути нас до чудових проектів.
Міцність архітектурних споруд, найважливіша їх якість. Зв'язуючи міцність, по-перше, з тими матеріалами, з яких вони створені, а, по-друге, з особливостями конструктивних рішень, виявляється, міцність споруди пов'язана безпосередньо з тією геометричною формою, яка є для нього базовою.
Іншими словами, йдеться про ту геометричну фігуру, яка може розглядатися як модель відповідної архітектурної форми. Виявляється, що геометрична форма також визначає міцність архітектурної споруди.
Найміцнішою архітектурною спорудою з давніх-давен вважаються єгипетські піраміди. Як відомо, вони мають форму правильних чотирикутних пірамід.
Саме ця геометрична форма забезпечує найбільшу стійкість за рахунок великої площі основи. З іншого боку, форма піраміди забезпечує зменшення маси зі збільшенням висоти над землею. Саме ці дві властивості роблять піраміду стійкою, а отже, і міцною в умовах земного тяжіння.
Мета проекту: дізнатися щось нове про піраміди, поглибити знання та знайти практичне застосування
Для досягнення поставленої мети потрібно вирішити такі завдання:
· Дізнатися історичні відомості про піраміду
· Розглянути піраміду, як геометричну фігуру
· Знайти застосування в житті та архітектурі
· Знайти подібність та відмінність пірамід, розташованих у різних частинах світу
Теоретична частина
Історичні відомості
Початок геометрії піраміди було покладено у Стародавньому Єгипті та Вавилоні, проте активний розвиток отримав у Стародавній Греції. Першим, хто встановив, чому дорівнює обсяг піраміди, був Демокріт, а довів Євдокс Кнідський. Давньогрецький математик Евклід систематизував знання про піраміду в XII томі своїх «Почав», а також вивів перше визначення піраміди: тілесна фігура, обмежена площинами, які сходяться в одній точці.
Усипальниці єгипетських фараонів. Найбільші з них - піраміди Хеопса, Хефрена і Мікеріна в Ель-Гізі в давнину вважалися одним із Семи чудес світу. Зведення піраміди, в якому вже греки і римляни бачили пам'ятник небаченої гордині царів і жорстокості, що прирік весь народ Єгипту на безглузде будівництво, було найважливішим культовим діянням і мало висловлювати, мабуть, містичне тотожність країни та її правителя. Населення країни працювало на будівництві гробниці у вільну від сільськогосподарських робіт частину року. Ряд текстів свідчить про ту увагу і турботу, які самі царі (щоправда, пізнішого часу) приділяли зведенню своєї гробниці та її будівельникам. Відомо також про особливі культові почесті, які виявлялися самій піраміді.
Основні поняття
Пірамідоюназивається багатогранник, основа якого – багатокутник, інші грані – трикутники, мають загальну вершину.
Апофема- Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини;
Бічні грані- трикутники, що сходяться у вершині;
Бічні ребра- загальні сторони бічних граней;
Вершина піраміди- точка, що з'єднує бічні ребра і не лежить у площині основи;
Висота- відрізок перпендикуляра, проведеного через вершину піраміди до площини її основи (кінцями цього відрізка є вершина піраміди та основа перпендикуляра);
Діагональний переріз піраміди- переріз піраміди, що проходить через вершину та діагональ основи;
Заснування- багатокутник, якому належить вершина піраміди.
Основні властивості правильної піраміди
Бічні ребра, бічні грані та апофеми відповідно рівні.
Двогранні кути при основі рівні.
Двогранні кути при бічних ребрах рівні.
Кожна точка висоти рівновіддалена від усіх вершин основи.
Кожна точка висоти рівновіддалена від усіх бічних граней.
Основні формули піраміди
Площа бічної та повної поверхні піраміди.
Площею бічної поверхні піраміди (повної та усіченої) називається сума площ усіх її бічних граней, площею повної поверхні – сума площ усіх її граней.
Теорема: Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи апофему піраміди.
p- периметр основи;
h- Апофема.
Площа бічної та повної поверхонь усіченої піраміди.
p 1, p 2 - периметри основ;
h- Апофема.
Р- площа повної поверхні правильної усіченої піраміди;
S бік- площа бічної поверхні правильної усіченої піраміди;
S 1 + S 2- площі основи
Об'єм піраміди
форм вузла об'єму використовується для пірамід будь-якого виду.
H- Висота піраміди.
Кути піраміди
Кути, які утворені бічною гранню та основою піраміди, називаються двогранними кутами при основі піраміди.
Двогранний кут утворюється двома перпендикулярами.
Щоб визначити цей кут, часто потрібно використовувати теорему про три перпендикуляри.
Кути, які утворені бічним ребром та його проекцією на площину основи, називаються кутами між бічним ребром і площиною основи.
Кут, який утворений двома бічними гранями, називається двогранним кутом при бічному ребрі піраміди.
Кут, який утворений двома бічними ребрами однієї грані піраміди, називається кутом при вершині піраміди.
Перерізи піраміди
Поверхня піраміди – це поверхня багатогранника. Кожна її грань є площиною, тому переріз піраміди, заданої січною площиною - це ламана лінія, що складається з окремих прямих.
Діагональний переріз
Перетин піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не лежать на одній грані, називається діагональним перетиномпіраміди.
Паралельні перерізи
Теорема:
Якщо піраміда перетнута площиною, паралельною основі, то бічні ребра та висоти піраміди діляться цією площиною на пропорційні частини;
Перерізом цієї площини є багатокутник, подібний до основи;
Площі перерізу та основи відносяться один до одного як квадрати їх відстаней від вершини.
Види піраміди
Правильна піраміда– піраміда, основою якої є правильний багатокутник, і вершина піраміди проектується до центру основи.
У правильної піраміди:
1. бічні ребра рівні
2. бічні грані рівні
3. апофеми рівні
4. двогранні кути при основі рівні
5. двогранні кути при бічних ребрах рівні
6. кожна точка висоти рівновіддалена від усіх вершин основи
7. кожна точка висоти рівновіддалена від усіх бічних граней
Усічена піраміда– частина піраміди, укладена між її основою та січною площиною, паралельною основі.
Підстава та відповідні переріз усіченої піраміди називаються основами усіченої піраміди.
Перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи на площину іншої, називається висотою усіченої піраміди.
Завдання
№1. У правильній чотирикутній піраміді точка О – центр основи, SO=8 см, BD=30 см. Знайдіть бічне ребро SA.
Вирішення задач
№1. У правильній піраміді всі грані та ребра рівні.
Розглянемо OSB: OSB-прямокутний прямокутник, т.к.
SB 2 =SO 2 +OB 2
SB 2 = 64 +225 = 289
Піраміда в архітектурі
Піраміда - монументальна споруда у формі звичайної правильної геометричної піраміди, в якій бічні сторони сходяться в одній точці. За функціональним призначенням піраміди в давнину були місцем поховання або поклоніння культу. Основа піраміди може бути трикутною, чотирикутною або у формі багатокутника з довільним числом вершин, але найпоширенішою версією є чотирикутна основа.
Відомо чимала кількість пірамід, побудованих різними культурами Стародавнього світу в основному як храми або монументи. До великих пірамід відносяться єгипетські піраміди.
По всій землі можна побачити архітектурні споруди у вигляді пірамід. Будівлі-піраміди нагадують про давні часи і дуже гарно виглядають.
Єгипетські піраміди – найбільші архітектурні пам'ятки Стародавнього Єгипту, серед яких одне з «Семи чудес світу» піраміда Хеопса. Від підніжжя до вершини вона досягає 137, 3 м, а до того, як втратила верхівку, висота її була 146, 7 м.
Будівля радіостанції у столиці Словаччини, що нагадує перевернуту піраміду, була збудована у 1983 р. Крім офісів та службових приміщень, всередині обсягу знаходиться досить місткий концертний зал, який має один із найбільших органів у Словаччині.
Лувр, який "мовчить незмінно і велично, як піраміда", протягом століть переніс чимало змін перш, ніж перетворитися на найбільший музей світу. Він народився як фортеця, споруджена Пилипом Августом у 1190 р., яка незабаром перетворилася на королівську резиденцію. У 1793 р. палац стає музеєм. Колекції збагачуються завдяки заповітам чи покупкам.
З поняттям піраміда учні стикаються задовго до вивчення геометрії. Виною всьому знамениті великі єгипетські чудеса світу. Тому, починаючи вивчення цього чудового багатогранника, більшість учнів вже наочно уявляють її собі. Всі вищезгадані пам'ятки мають правильну форму. Що таке правильна піраміда, і які властивості вона має і йтиметься далі.
Визначення
Визначень піраміди можна зустріти чимало. Починаючи ще з давніх часів, вона мала популярність.
Наприклад, Евклід визначав її як тілесну фігуру, що складається з площин, які, починаючи від однієї, сходяться у певній точці.
Герон подав більш точне формулювання. Він наполягав на тому, що це постать, яка має основу та площини у вигляді трикутників,що сходяться в одній точці.
Спираючись на сучасне тлумачення, піраміду представляють як просторовий багатогранник, що складається з певного k-кутника і k плоских фігур трикутної форми, що має одну загальну точку.
Розберемося докладніше, з яких елементів вона складається:
- k-кутник вважають основою фігури;
- фігури 3-кутової форми виступають гранями бічної частини;
- верхня частина, з якої беруть початок бічні елементи, називають вершиною;
- всі відрізки, що з'єднують вершину, називають ребрами;
- якщо з вершини на площину фігури опустити пряму під кутом 90 градусів, то її частина, укладена у внутрішньому просторі - висота піраміди;
- в будь-якому бічному елементі до нашого багатогранника можна провести перпендикуляр, званий апофемою.
Число ребер обчислюється за формулою 2*k де k – кількість сторін k-кутника. Скільки граней такого багатогранника, як піраміда, можна визначити за допомогою виразу k+1.
Важливо!Пірамідою правильної форми називають стереометричну фігуру, площину основи якої є k-кутник з рівними сторонами.
Основні властивості
Правильна піраміда має безліч властивостей,які властиві лише їй. Перерахуємо їх:
- Основа – фігура правильної форми.
- Ребра піраміди, що обмежують бічні елементи, мають рівні числові значення.
- Бічні елементи – рівнобедрені трикутники.
- Основа висоти фігури потрапляє в центр багатокутника, при цьому він одночасно є центральною точкою, вписаною та описаною .
- Усі бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.
- Усі бічні поверхні мають однаковий кут нахилу по відношенню до основи.
Завдяки всім перерахованим властивостям виконання обчислень елементів набагато спрощується. Виходячи з наведених властивостей, звертаємо увагу на дві ознаки:
- У тому випадку, коли багатокутник вписується в коло, бічні грані матимуть з основою рівні кути.
- При описі кола біля багатокутника всі ребра піраміди, що виходять з вершини, матимуть рівну довжину і рівні кути з основою.
В основі лежить квадрат
Правильна чотирикутна піраміда – багатогранник, у якого в основі лежить квадрат.
У неї чотири бічні грані, які за своїм виглядом є рівностегновими.
На площині квадрат зображають , але ґрунтуються на всіх властивостях правильного чотирикутника.
Наприклад, якщо потрібно зв'язати сторону квадрата з його діагоналлю, то застосовують таку формулу: діагональ дорівнює добутку сторони квадрата на квадратний корінь з двох.
В основі лежить правильний трикутник
Правильна трикутна піраміда – багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.
Якщо основа є правильним трикутником, а бічні ребра рівні ребрам основи, то така фігура називається тетраедром.
Усі грані тетраедра є рівносторонніми 3-кутниками. В даному випадку необхідно знати деякі моменти та не витрачати на них час при обчисленнях:
- кут нахилу ребер до будь-якої основи дорівнює 60 градусів;
- величина всіх внутрішніх граней також становить 60 градусів;
- будь-яка грань може виступити основою;
- , проведені усередині фігури, це рівні елементи
Переріз багатогранника
У будь-якому багатограннику розрізняють кілька видів перерізуплощиною. Найчастіше у шкільному курсі геометрії працюють із двома:
- осьове;
- паралельне основі.
Осьовий переріз отримують при перетині площиною багатогранника, яка проходить через вершину, бічні ребра та вісь. У разі віссю є висота, проведена з вершини. Поверхня площина обмежується лініями перетину з усіма гранями, в результаті отримуємо трикутник.
Увага!У правильній піраміді осьовим перетином є рівнобедрений трикутник.
Якщо січна площина проходить паралельно до основи, то в результаті отримуємо другий варіант. У цьому випадку маємо в розрізі фігуру, подібну до основи.
Наприклад, якщо в основі лежить квадрат, то перетин паралельно основі також буде квадратом, тільки менших розмірів.
При вирішенні завдань за такої умови використовують ознаки та властивості подібності фігур, засновані на теоремі Фалеса. Насамперед необхідно визначити коефіцієнт подібності.
Якщо площина проведена паралельно основі, і вона відсікає верхню частину багатогранника, то нижній частині отримують правильну усічену піраміду. Тоді кажуть, що основи багатогранника є подібними багатокутниками. І тут бічні грані є рівнобокими трапеціями. Осьовим перетином також є рівнобока.
Для того щоб визначити висоту зрізаного багатогранника, необхідно провести висоту в осьовому перерізі, тобто в трапеції.
Площі поверхонь
Основні геометричні завдання, які доводиться вирішувати у шкільному курсі геометрії, це знаходження площ поверхні та обсягу у піраміди.
Значення площі поверхні розрізняють двох видів:
- площі бічних елементів;
- площі всієї поверхні.
Із самої назви зрозуміло, про що йдеться. Бічна поверхня включає лише бічні елементи. З цього випливає, що для її знаходження необхідно просто скласти площі бічних площин, тобто площі рівнобедрених трикутників. Спробуємо вивести формулу площі бічних елементів:
- Площа рівнобедреного трикутника дорівнює Sтр=1/2(aL), де а – сторона основи, L – апофема.
- Кількість бічних площин залежить від виду k-го косинця в основі. Наприклад, правильна чотирикутна піраміда має чотири бічні поверхні. Отже, необхідно скласти площі чотирьох фігур Sбок=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4а*L. Вираз спрощено у такий спосіб оскільки значення 4а=Росн, де Росн – периметр основи. А вираз 1/2*Росн є її напівпериметром.
- Отже, робимо висновок, що площа бічних елементів правильної піраміди дорівнює добутку напівпериметра основи апофему: Sбок = Росн * L.
Площа повної поверхні піраміди складається з суми площ бічних площин і основи: Sп.п. = Sбок + Sосн.
Що стосується площі основи, то тут формула використовується відповідно до виду багатокутника.
Об'єм правильної пірамідидорівнює добутку площі площини підстави на висоту, розділену на три: V = 1/3 * Sосн * Н, де Н - висота багатогранника.
Що таке правильна піраміди в геометрії
Властивості правильної чотирикутної піраміди
