Визначення:
Визначення 1. Конус
Визначення 2. Круговий конус
Визначення 3. Висота конуса
Визначення 4. Прямий конус
Визначення 5. Прямий круговий конус
Теорема 1. Утворюючі конуси
Теорема 1.1. Осьовий переріз конуса

Обсяг та площі:
Теорема 2. Обсяг конуса
Теорема 3. Площа бічної поверхні конуса

Усічений конус :
Теорема 4. Перетин, паралельний підставі
Визначення 6. Усічений конус
Теорема 5. Обсяг усіченого конуса
Теорема 6. Площа бічної поверхні зрізаного конуса

Визначні
Тіло обмежене з боків конічною поверхнею, взятою між її вершиною і площиною напрямної, і плоскою основою напрямної, утвореною замкненою кривою, називається конусом.

Основні поняття
Круговим конусом називають тіло, яке складається з кола (основи), точки, що не лежить у площині основи (вершини) і всіх відрізків, що з'єднують вершину з точками основи.

Прямим конусом називається конус, висота якого основою містить центр основи конуса.

Розглянемо якусь лінію (криву, ламану чи змішану)(наприклад, l), що лежить у деякій площині, і довільну точку (наприклад, М), що не лежить у цій площині. Різні прямі, що з'єднують точку М з усіма точками даної лінії l, утворюють поверхню, яка називається канонічною. Точка М є вершиною такої поверхні, а задана лінія l - спрямовуючою. Усі прямі з'єднуючі точку М з усіма точками лінії l, називають утворюючими. Канонічна поверхня не обмежується ні її вершиною, ні напрямною. Вона простягається необмежено обидві сторони від вершини. Нехай тепер напрямна – замкнута опукла лінія. Якщо направляюча - ламана лінія, то тіло, обмежене з боків канонічною поверхнею, взятою між її вершиною і площиною напрямної, і плоскою основою в площині напрямної, називається пірамідою.
Якщо ж напрямна - крива або змішана лінія, то тіло, обмежене з боків канонічною поверхнею, взятою між її вершиною і площиною напрямної, і плоскою основою в площині напрямної, називається конусом або
Визначення 1 . Конусом називають тіло, що складається з основи - плоскої фігури, обмеженою замкненою лінією (кривою або змішаною), вершини - точки, що не лежить у площині основи, та всіх відрізків, що з'єднують вершину з усілякими точками основи.
Всі прямі, що проходять через вершину конуса і будь-яку з точок кривої, що обмежує фігуру основи конуса, називаються конуса, що утворюють. Найчастіше в геометричних задачах під утворює прямий мається на увазі відрізок цієї прямий, укладений між вершиною та площиною основи конуса.
Основа обмеженою змішаною лінією – це дуже рідкісний випадок. Він тут зазначений тільки тому, що він може бути розглянутий у геометрії. Найчастіше розглядається випадок із криволінійною напрямною. Хоча, що випадок з довільною кривою, що випадок зі змішаною напрямною, мало чим корисний і в них складно вивести будь-які закономірності. З-поміж конусів в курсі елементарної геометрії вивчається прямий круговий конус.

Відомо, що коло є окремий випадок замкнутої кривої лінії. Коло - плоска фігура, обмежена коло. Приймаючи коло за напрямну, можна визначити круговий конус.
Визначення 2 . Круговим конусом називають тіло, яке складається з кола (основи), точки, що не лежить у площині основи (вершини) і всіх відрізків, що з'єднують вершину з точками основи.
Визначення 3 . Висота конуса - перпендикуляр, опущений з вершини на площину основи конуса. Можна виділити конус, висота якого падає у центр плоскої фігури основи.
Визначення 4 . Прямим конусом називається конус, висота якого основою містить центр основи конуса.
Якщо пов'язати ці два визначення, ми отримаємо конус, основа якого є коло, а висота падає у центр цього кола.
Визначення 5 . Прямим круговим конусом називають конус, основа якого є коло, а висота його з'єднує вершину та центр основи даного конуса. Такий конус виходить обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Тому прямий круговий конус є тілом обертання та називається також конусом обертання. Якщо не обумовлено неприємне, то для стислості надалі говоримо просто конус.
Отже наведемо деякі властивості конуса:
Теорема 1. Усі утворюють конуса рівні. Доведення. Висота МО перпендикулярна всім прямих підстав для визначення перпендикулярної прямої до площини. Тому трикутники МОА, МОВ і МОС є прямокутними і дорівнюють двом катетам (МО - загальна, ОА=ОВ=ОС - радіуси основи. Тому рівні і гіпотенузи, тобто утворюють.
Радіус основи конуса іноді називають радіусом конуса. Висота конуса називається також віссю конусатому будь-який перетин, що проходить через висоту називається осьовим перетином. Будь-який осьовий переріз перетинає основу по діаметру (т.к. пряма, по якій перетинаються осьовий переріз і площину основи, проходить через центр кола) і утворює рівнобедрений трикутник.
Теорема 1.1. Осьовий переріз конуса є рівнобедреним трикутником. Так трикутник АМВ є рівнобедреним, т.к. дві сторони МВ і МА є утворюють. Кут АМВ є кутом при вершині осьового перерізу.

) - тіло в евклідовому просторі, отримане об'єднанням всіх променів, що виходять з однієї точки ( вершиниконуса) та проходять через плоску поверхню. Іноді конусом називають частину такого тіла, що має обмежений об'єм та отриману об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують вершину та точки плоскої поверхні (останню в такому випадку називають основоюконуса, а конус називають що спираєтьсяна цю підставу). Якщо основа конуса є багатокутником, такий конус є пірамідою.

Енциклопедичний YouTube

1 / 4

✪ Як зробити конус із паперу.

• Субтитри

Пов'язані визначення

• Відрізок, що з'єднує вершину та межу основи, називається утворює конуса.
• Об'єднання утворюють конуса називається утворює(або бічний) поверхнею конуса. Утворююча поверхня конуса є конічною поверхнею.
• Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (і навіть довжина такого відрізка), називається висотою конуса.
• Кут розчину конуса- Кут між двома протилежними утворюючими (кут при вершині конуса, всередині конуса).
• Якщо основа конуса має центр симетрії (наприклад, є колом або еліпсом) і ортогональна проекція вершини конуса на площину основи збігається з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що з'єднує вершину та центр основи, називається віссю конуса.
• Косий (похилий) конус - конус, у якого ортогональна проекція вершини на основу не збігається з його центром симетрії.
• Круговий конус- Конус, основа якого є колом.
• Прямий круговий конус(часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо прямої, що містить катет (ця пряма є вісь конуса).
• Конус, що спирається на еліпс, параболу або гіперболу, називають відповідно еліптичним, параболічнимі гіперболічним конусом(Останні два мають нескінченний обсяг).
• Частина конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною основі і між вершиною і основою, називається усіченим конусом, або конічним шаром.

Властивості

• Якщо площа основи кінцева, то об'єм конуса також кінцевий і дорівнює третині висоти на площу основи.

V = 1 3 S H , (\displaystyle V=(1 \over 3)SH,)

де S- площа основи, H- Висота. Таким чином, всі конуси, що спираються на дану основу (кінцевої площі) і мають вершину, що знаходиться на даній площині, паралельній основі, мають рівний обсяг, оскільки їх висоти рівні.

• Центр тяжкості будь-якого конуса з кінцевим об'ємом лежить на чверті висоти від основи.
• Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса дорівнює

2 π (1 − cos ⁡ α 2) , (\displaystyle 2\pi \left(1-\cos (\alpha \over 2)\right),)де - кут розчину конуса.

• Площа бічної поверхні такого конуса дорівнює

S = π R l , (displaystyle S = pi Rl,)

а повна площа поверхні (тобто сума площ бічної поверхні та основи)

S = π R (l + R) , (\displaystyle S = \ pi R (l + R),)де R- радіус основи, l = R 2 + H 2 (displaystyle l = (sqrt (R (2) + H (2))))- Довжина утворює.

• Об'єм кругового (не обов'язково прямого) конуса дорівнює

V = 1 3 π R 2 H . (\displaystyle V=(1 \over 3)\pi R^(2)H.)

• Для усіченого конуса (не обов'язково прямого та кругового) обсяг дорівнює:

V = 1 3 (H S 2 − h S 1) , (\displaystyle V=(1 \over 3)(HS_(2)-hS_(1)),)

де S 1 і S 2 - площі відповідно верхньої (ближньої до вершини) і нижньої основ, hі H- відстані від площини відповідно верхньої та нижньої основи до вершини.

• Перетин площини з прямим круговим конусом є одним із конічних січень (у невироджених випадках - еліпсом, параболою або гіперболою, залежно від положення сіючої площини).

Рівняння конуса

Рівняння, що задають бічну поверхню прямого кругового конуса з кутом розчину 2Θ вершиною на початку координат і віссю, що збігається з віссю Oz :

• У сферичній  системі координат з координатами ( r, φ, θ) :

θ = Θ. (\displaystyle \theta =\Theta .)

• У циліндричній системі координат з координатами ( r, φ, z) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\displaystyle z = r\cdot \operatorname (ctg) \Theta )або r = z ⋅ tg ⁡ Θ. (\displaystyle r = z \ cdot \ operatorname (tg) \ Theta .)

• У декартовій, системі, координат з координатами (x, y, z) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ ctg ⁡ Θ. (\displaystyle z=\pm (\sqrt (x^(2)+y^(2)))\cdot \operatorname (ctg) \Theta .)Це рівняння у канонічному вигляді записується як

де константи a, звизначаються пропорцією c / a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ . (\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .)Звідси видно, що бічна поверхня прямого кругового конуса є поверхнею другого порядку (вона носить назву конічна поверхня). У загальному вигляді конічна поверхня другого порядку спирається на еліпс; у відповідній декартовій координатній системі (осі Охі Оупаралельні осям еліпса, вершина конуса збігається з початком координат, центр еліпса лежить на осі Oz) її рівняння має вигляд

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 , (\displaystyle (\frac (x^(2))(a^(2)))+(\frac (y^(2))( b^(2)))-(\frac (z^(2))(c^(2)))=0,)

причому a/cі b/cрівні півосям еліпса. У найбільш загальному випадку, коли конус спирається на довільну плоску поверхню, можна показати, що рівняння бічної поверхні конуса (з вершиною початку координат) задається рівнянням f (x, y, z) = 0, (\displaystyle f(x, y, z) = 0,)де функція f (x, y, z) (\displaystyle f(x, y, z))є однорідною, тобто задовольняє умові f (α x , α y , α z) = α n f (x , y , z) ,z))для будь-якого дійсного числа?

Розгортка

Прямий круговий конус як тіло обертання утворений прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів, де h- Висота конуса від центру основи до вершини - є катетом прямокутного трикутника, навколо якого відбувається обертання. Другий катет прямокутного трикутника r- Радіус в основі конуса. Гіпотенузою прямокутного трикутника є l- Утворює конуса.

У створенні розгортки конуса можуть використовуватися лише дві величини rі l. Радіус основи rвизначає в розгортці коло підстави конуса, а сектор бічної поверхні конуса визначає утворює бічній поверхні lє радіусом сектора бічної поверхні. Кут сектора φ (\displaystyle \varphi)у розгортці бічної поверхні конуса визначається за формулою:

φ = 360 ° · ( r/l) .

На цьому уроці ми познайомимося із такою фігурою, як конус. Вивчимо елементи конуса, види його перерізів. І дізнаємось, з якою фігурою конус має багато спільних властивостей.

Рис.1. Предмети конусоподібної форми

У світі дуже багато речей мають форму конуса. Найчастіше ми їх навіть не помічаємо. Дорожні конуси, що попереджають про дорожні роботи, дахи замків та будинків, ріжок для морозива – всі ці предмети мають форму конуса (див. рис. 1).

Мал. 2. Прямокутний трикутник

Розглянемо довільний прямокутний трикутник із катетами і (див. рис. 2).

Мал. 3. Прямий круговий конус

Обертаючи цей трикутник навколо одного з катетів (не порушуючи спільності, нехай це буде катет), гіпотенуза опише поверхню, а катет опише коло. Таким чином, вийде тіло, яке називають прямим круговим конусом (див. рис. 3).

Мал. 4. Види конусів

Якщо вже ми говоримо про прямий круговий конус, мабуть, існує і непрямий, і не круговий? Якщо в основі конуса коло, але вершина не проектується до центру цього кола, то такий конус називають похилим. Якщо ж основа – не коло, а довільна фігура, то таке тіло також іноді називають конусом, проте, зрозуміло, не круговим (див. рис. 4).

Таким чином, ми знову приходимо до аналогії, вже знайомої нам по роботі з циліндрами. По суті конус - це щось на зразок піраміди, просто у піраміди в основі багатокутник, а у конуса (який ми розглядатимемо) - коло (див. рис. 5).

Відрізок осі обертання (у нашому випадку це катет), укладений усередині конуса, називають віссю конуса (див. рис. 6).

Мал. 5. Конус та піраміда

Мал. 6. - вісь конуса

Мал. 7. Основа конуса

Коло, утворене обертанням другого катета (), називають основою конуса (див. рис. 7).

А довжина цього катета є радіусом основи конуса (чи, простіше кажучи, радіусом конуса) (див. рис. 8).

Мал. 8. - радіус конуса

Мал. 9. - вершина конуса

Вершина гострого кута трикутника, що обертається, що лежить на осі обертання, називається вершиною конуса (див. рис. 9).

Мал. 10. - Висота конуса

Висота конуса - відрізок, проведений з вершини конуса перпендикулярно до його основи (див. рис. 10).

Тут у вас може виникнути питання: чим тоді відрізняється відрізок осі обертання від висоти конуса? Насправді вони збігаються тільки у разі прямого конуса, якщо ж ви розглядатимете похилий конус, то помітите, що це два абсолютно різні відрізки (див. рис. 11).

Мал. 11. Висота в похилому конусі

Повернемося до прямого конуса.

Мал. 12. Утворюючі конуси

Відрізки, що з'єднують вершину конуса з точками кола його основи, називають утворюючими конуса. До речі, всі, хто утворює прямого конуса, рівні між собою (див. рис. 12).

Мал. 13. Природні конусоподібні об'єкти

У перекладі з грецької konos означає «соснова шишка». У природі достатньо об'єктів, що мають форму конуса: ялина, гора, мурашник та ін. (Див. рис. 13).

Але ми звикли, що конус - прямий. У нього рівні між собою ті, що утворюють, а висота збігається з віссю. Такий конус ми назвали прямим конусом. У курсі шкільної геометрії зазвичай розглядаються саме прямі конуси, причому за умовчанням будь-який конус вважається прямим круговим. Але ми вже говорили про те, що бувають не лише прямі конуси, а й похилі.

Мал. 14. Перпендикулярний переріз

Повернемося до прямих конусів. «Розріжемо» конус площиною, перпендикулярною до осі (див. рис. 14).

Яка ж фігура опиниться на зрізі? Звісно ж, коло! Згадаймо, що площина проходить перпендикулярно до осі, а отже, паралельно до основи, яка є колом.

Мал. 15. Похилий переріз

А тепер давайте поступово нахиляти площину перерізу. Тоді наше коло почне поступово перетворюватися на дедалі більш витягнутий овал. Але тільки доти, доки площина перерізу не зіткнеться з колом основи (див. рис. 15).

Мал. 16. Види перерізів на прикладі моркви

Любителі пізнавати світ експериментальним шляхом можуть у цьому переконатися за допомогою моркви та ножа (спробуйте відрізати від морквини пластинки під різним кутом) (див. рис. 16).

Мал. 17. Осьовий переріз конуса

Перетин конуса площиною, що проходить через його вісь, називають осьовим перерізом конуса (див. рис. 17).

Мал. 18. Рівностегновий трикутник - фігура перерізу

Тут ми отримаємо зовсім іншу фігуру перерізу: трикутник. Цей трикутник є рівнобедреним (див. рис. 18).

На цьому уроці ми дізналися про циліндричну поверхню, види циліндра, елементи циліндра і схожість циліндра з призмою.

Утворююча конуса дорівнює 12 см і нахилена до площини основи під кутом 30 градусів. Знайти площу осьового перерізу конуса.

Рішення

Розглянемо шуканий осьовий переріз. Це рівнобедрений трикутник, у якому бічні сторони дорівнюють 12, а кут при підставі - 30 градусів. Далі можна діяти по-різному. Або можна провести висоту, знайти її (половина гіпотенузи, 6), потім основу (за теоремою Піфагора, ), а потім площу.

Мал. 19. Ілюстрація до завдання

Або відразу знайти кут при вершині - 120 градусів - і порахувати площу як напівтвор сторін на синус кута між ними (відповідь буде, той же).

1. Геометрія. Підручник для 10-11 класів. Атанасян Л.С. та ін. 18-те вид. – К.: Просвітництво, 2009. – 255 с.
2. Геометрія 11 клас, А.В. Погорєлов, М.: Просвітництво, 2002
3. Робочий зошит з геометрії 11 клас, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Вічків

1. Yaklass.ru ().
2. Uztest.ru ().
3. Bitclass.ru ().

Домашнє завдання

Визначення. Вершина конуса- Це точка (K), з якої виходять промені.

Визначення. Основа конуса- це площина, утворена в результаті перетину плоскої поверхні та всіх променів, що виходять з вершини конуса. У конуса можуть бути такі основи, як коло, еліпс, гіпербола та парабола.

Визначення. Утворюючий конус(L) називається будь-який відрізок, який з'єднує вершину конуса з межею основи конуса. Утворює відрізок променя, що виходить з вершини конуса.

Формули. Довжина утворює(L) прямого кругового конуса через радіус R і висоту H (через теорему Піфагора):

Визначення. Напрямнаконуса - це крива, яка описує контур основи конуса.

Визначення. Бічна поверхняКонуси - це сукупність всіх утворюють конуси. Тобто, поверхня, яка утворюється рухом утворює по напрямній конусу.

Визначення. Поверхняконуса складається з бічної поверхні та основи конуса.

Визначення. Висотаконуса (H) - це відрізок, який виходить із вершини конуса і перпендикулярний до його основи.

Визначення. Оськонуса (a) - це пряма, що проходить через вершину конуса та центр основи конуса.

Визначення. Конусність (С)конуса - це відношення діаметра основи конуса до його висоти. У випадку зрізаного конуса - це відношення різниці діаметрів поперечних перерізів D і d зрізаного конуса до відстані між ними: де R - радіус основи, а H - висота конуса.

Який виходить з однієї точки (вершина конуса) та які проходять через плоску поверхню.

Буває, конусом називається частина тіла, яка має обмежений об'єм і яка отримана шляхом поєднання кожного відрізка, які з'єднують вершину та точки плоскої поверхні. Остання, у такому разі, є основою конуса, А конус називається спирається на дану основу.

Коли основа конуса є багатокутником – це вже піраміда .

Круговий конус- це тіло, що складається з кола (основа конуса), точки, яка не лежить у площині цього кола (вершина конуса та всіх відрізків, які з'єднують вершину конуса з точками основи). Відрізки, які з'єднують вершину конуса та точки кола основи, називають утворюючими конуса. Поверхня конуса складається з основи та бічної поверхні.

Площа бічної поверхні правильною n-вугільної піраміди, вписаної в конус:

S n =½P n l n,

де P n- периметр основи піраміди, а l n- Апофема.

За тим же принципом: для площі бічної поверхні зрізаного конуса з радіусами основ R 1, R 2і твірною lотримуємо таку формулу:

S=(R 1 +R 2)l.

Прямий і косий круговий конуси з рівною основою та висотою. Ці тіла мають однаковий обсяг:

Властивості конусу.

• Коли площа основи має межу, значить, обсяг конуса теж має межу і дорівнює третій частині добутку висоти на площу основи.

де S- Площа основи, H- Висота.

Т.ч., кожен конус, який спирається на цю основу і мають вершину, яка знаходиться на площині, паралельній основі, мають рівний об'єм, оскільки їх висоти однакові.

• Центр тяжкості кожного конуса з об'ємом, що має межу, знаходиться на чверті висоти від основи.
• Тілесний кут при вершині прямого кругового конуса можна виразити такою формулою:

де α - Кут розчину конуса.

• Площа бічної поверхні такого конуса, формула:

а повна площа поверхні (тобто сума площ бічної поверхні та основи), формула:

S=πR(l+R),

де R- Радіус основи, l- Довжина утворює.

• Об'єм кругового конуса , формула:

• Для усіченого конуса (не тільки прямого або кругового) об'єм, формула:

де S 1і S 2— площа верхньої та нижньої основ,

hі H— відстані від площини верхньої та нижньої основи до вершини.

• Перетин площини з прямим круговим конусом – це один із конічних перерізів.