Ознаки паралельності двох прямих

Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих січні:

навхрест лежачі кути рівні, або

відповідні кути рівні, або

сума односторонніх кутів дорівнює 180 °, то

прямі паралельні(Рис.1).

Доведення. Обмежимося підтвердженням випадку 1.

Нехай при перетині прямих а і b сікної АВ навхрест кути, що лежать, рівні. Наприклад, ∠4 = ∠6. Доведемо, що а || b.

Припустимо, що прямі а та b не паралельні. Тоді вони перетинаються в деякій точці М і, отже, один із кутів 4 або 6 буде зовнішнім кутом трикутника АВМ. Нехай для визначеності ∠4 – зовнішній кут трикутника АВМ, а ∠6 – внутрішній. З теореми про зовнішній вугіллі трикутника випливає, що ∠4 більше ∠6, а це суперечить умові, отже, прямі а і 6 не можуть перетинатися, тому вони паралельні.

Наслідок 1 . Дві різні прямі на площині, перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, паралельні(Рис.2).

Зауваження. Спосіб, яким ми щойно довели випадок 1 теореми 1, називається методом доказу від неприємності або приведенням до безглуздості. Першу назву цей спосіб отримав тому, що на початку міркування робиться припущення, неприємне (протилежне) тому, що потрібно довести. Приведенням до безглуздості він називається внаслідок того, що, розмірковуючи на підставі зробленого припущення, ми приходимо до безглуздого висновку (абсурду). Отримання такого висновку змушує нас відкинути зроблене спочатку припущення і прийняти те, що потрібно було довести.

Завдання 1.Побудувати пряму, що проходить через дану точку М і паралельну даній прямій а, що не проходить через точку М.

Рішення. Проводимо через точку М пряму р перпендикулярно до прямої а (рис. 3).

Потім проводимо через точку М пряму b перпендикулярно до прямої р. Пряма b паралельна прямий а відповідно до слідства теореми 1.

З розглянутого завдання випливає важливий висновок:
через точку, що не лежить на даній прямій, завжди можна провести пряму, паралельну даній.

Основна властивість паралельних прямих полягає у наступному.

Аксіома паралельних прямих. Через цю точку, що не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній.

Розглянемо деякі властивості паралельних прямих, які випливають із цієї аксіоми.

1) Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу (рис.4).

2) Якщо дві різні прямі паралельні до третьої прямої, то вони паралельні (рис.5).

Справедлива та наступна теорема.

Теорема 2. Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то:

навхрест лежачі кути рівні;

відповідні кути рівні;

сума односторонніх кутів дорівнює 180 °.

Наслідок 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої(Див. рис.2).

Зауваження. Теорема 2 називається зворотної теореми 1. Висновок теореми 1 є умовою теореми 2. А умова теореми 1 є укладанням теореми 2. Не всяка теорема має зворотну, тобто якщо дана теорема вірна, то зворотна теорема може бути невірна.

Пояснимо це на прикладі теореми про вертикальні кути. Цю теорему можна сформулювати так: якщо два кути вертикальні, то вони рівні. Зворотна їй теорема була б такою: якщо два кути рівні, то вони вертикальні. А це, звісно, ​​не так. Два рівних кута не повинні бути вертикальними.

приклад 1.Дві паралельні прямі перетнуті третьою. Відомо, що різницю двох внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 30 °. Знайти ці кути.

Рішення. Нехай умові відповідає рисунок 6.

РОЗДІЛ ІІІ.
ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

§ 35. Ознаки Паралельності двох прямих.

Теорема про те, що два перпендикуляри до однієї прямої паралельні (§ 33), дає ознаку паралельності двох прямих. Можна вивести загальні ознаки паралельності двох прямих.

1. Перша ознака паралельності.

Якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.

Нехай прямі АВ і СD перетнуті прямий ЕF і / 1 = / 2. Візьмемо точку О - середину відрізка КL секучою ЕF (чорт. 189).

Опустимо з точки Про перпендикуляр ОМ на пряму АВ і продовжимо його до перетину із прямою СD, АВ_|_МN. Доведемо, як і СD_|_МN.
Для цього розглянемо два трикутники: МОЄ та NОК. Ці трикутники рівні між собою. Справді: / 1 = / 2 за умовою теореми; ОK = ОL - за побудовою;
/ МОL = / NОК, як вертикальні кути. Таким чином, сторона і два кути одного трикутника, що прилягають до неї, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника; отже, /\ МОL = /\ NОК, а звідси і
/ LМО = / КNО, але / LМО прямий, отже, і / КNО теж прямий. Таким чином, прямі АВ і СD перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої МN, отже вони паралельні (§ 33), що і потрібно довести.

Примітка. Перетин прямих МО і СD може бути встановлений шляхом повороту трикутника МОL навколо точки на 180°.

2. Друга ознака паралельності.

Подивимося, чи паралельні прямі АВ і СD, якщо при перетині їх третьої прямої ЕF рівні відповідні кути.

Нехай якісь відповідні кути рівні, наприклад / 3 = / 2 (чорт. 190);
/ 3 = / 1, як кути вертикальні; значить, / 2 дорівнюватиме / 1. Але кути 2 і 1 - внутрішні навхрест лежачі кути, а ми вже знаємо, що якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні. Отже, АВ | СD.

Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.

На цій властивості засновано побудову паралельних прямих за допомогою лінійки та креслярського трикутника. Виконується це в такий спосіб.

Прикладемо трикутник до лінійки так, як це показано на кресленні 191. Пересуватимемо трикутник так, щоб одна його сторона ковзала по лінійці, а по якійсь іншій стороні трикутника проведемо кілька прямих. Ці прямі будуть паралельні.

3. Третя ознака паралельності.

Нехай нам відомо, що при перетині двох прямих АВ і СD третьої прямої сума якихось внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d(або 180 °). Чи будуть у цьому випадку прямі АВ та СD паралельні (чорт. 192).

Нехай / 1 і / 2-внутрішні односторонні кути та в сумі складають 2 d.
Але / 3 + / 2 = 2dяк кути суміжні. Отже, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Звідси / 1 = / 3, а ці кути внутрішні навхрест лежать. Отже, АВ | СD.

Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d, то ці дві прямі паралельні.

Вправа.

Довести, що прямі паралельні:
а) якщо зовнішні навхрест лежачі кути рівні (чорт. 193);
б) якщо сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d(чорт. 194).

Ця глава присвячена вивченню паралельних прямих. Так називаються дві прямі на площині, які не перетинаються. Відрізки паралельних прямих ми бачимо у навколишній обстановці - це два краї прямокутного столу, два краї обкладинки книги, дві штанги тролейбуса і т.д. Паралельні прямі грають у геометрії дуже важливу роль. У цьому розділі ви дізнаєтеся про те, що таке аксіоми геометрії і в чому полягає аксіома паралельних прямих - одна з найвідоміших аксіом геометрії.

У п. 1 ми зазначали, що дві прямі або мають одну загальну точку, тобто перетинаються, або не мають жодної спільної точки, тобто не перетинаються.

Визначення

Паралельність прямих і b позначають так: а || b.

На малюнку 98 зображені прямі а та b, перпендикулярні до прямої с. У п. 12 ми встановили, що такі прямі а і b не перетинаються, тобто вони є паралельними.

Рис. 98

Поряд із паралельними прямими часто розглядають паралельні відрізки. Два відрізки називаються паралельнимиякщо вони лежать на паралельних прямих. На малюнку 99 а відрізки АВ і CD паралельні (АВ || CD), а відрізки MN і CD не паралельні. Аналогічно визначається паралельність відрізка та прямої (рис. 99, б), променя та прямої, відрізка та променя, двох променів (рис. 99, в).

Рис. 99Ознаки паралельності двох прямих

Пряма з називається січучоїпо відношенню до прямих а та b, якщо вона перетинає їх у двох точках (рис. 100). При перетині прямих а і b січної утворюється вісім кутів, які на малюнку 100 позначені цифрами. Деякі пари цих кутів мають спеціальні назви:

навхрест лежачі кути: 3 та 5, 4 та 6;
односторонні кути: 4 та 5, 3 та 6;
відповідні кути: 1 та 5, 4 та 8, 2 та 6, 3 та 7.

Рис. 100

Розглянемо три ознаки паралельності двох прямих, пов'язані з цими парами кутів.

Теорема

Доведення

Нехай при перетині прямих а і b сікної АВ навхрест кути рівні: ∠1 = ∠2 (рис. 101, а).

Доведемо, що а || b. Якщо кути 1 і 2 прямі (рис. 101 б), то прямі а і b перпендикулярні до прямої АВ і, отже, паралельні.

Рис. 101

Розглянемо випадок, коли кути 1 та 2 не прямі.

Із середини О відрізка АВ проведемо перпендикуляр ВІН до прямої а (рис. 101, в). На прямій b від точки відкладемо відрізок ВН 1 , рівний відрізку АН, як показано на малюнку 101, в, і проведемо відрізок ВІН 1 . Трикутники ВОНА і ВІН 1 В рівні по двох сторонах і куті між ними (АО = ВО, АН = ВН 1 , ∠1 = ∠2), тому ∠3 = ∠4 і ∠5 = ∠6. З рівності ∠3 = ∠4 випливає, що точка Н 1 лежить на продовженні променя ВІН, тобто точки Н, Про і Н 1 лежать на одній прямій, а з рівності ∠5 = ∠6 випливає, що кут 6 - прямий (оскільки кут 5 - прямий). Отже, прямі а та b перпендикулярні до прямої HH 1 тому вони паралельні. Теорему доведено.

Теорема

Доведення

Нехай при перетині прямих а і b січе з відповідні кути рівні, наприклад ∠1 =∠2 (рис. 102).

Рис. 102

Так як кути 2 і 3 - вертикальні, то ∠2 = ∠3. З цих двох рівностей випливає, що ∠1 = ∠3. Але кути 1 і 3 - навхрест лежать, тому прямі а і b паралельні. Теорему доведено.

Теорема

Доведення

Нехай при перетині прямих а і b січучою сума односторонніх кутів дорівнює 180°, наприклад ∠1 + ∠4 = 180° (див. рис. 102).

Оскільки кути 3 і 4 суміжні, то ∠3 + ∠4 = 180°. З цих двох рівностей випливає, що навхрест кути, що лежать 1 і 3 рівні, тому прямі а і b паралельні. Теорему доведено.

Практичні способи побудови паралельних прямих

Ознаки паралельності прямих є основою способів побудови паралельних прямих з допомогою різних інструментів, використовуваних практично. Розглянемо, наприклад, спосіб побудови паралельних прямих за допомогою креслярського косинця та лінійки. Щоб побудувати пряму, що проходить через точку М і паралельну даній прямій а, прикладемо креслярський косинець до прямої а, а до нього лінійку так, як показано на малюнку 103. Потім, пересуваючи косинець уздовж лінійки, досягнемо того, щоб точка М опинилася на стороні косинця , і проведемо пряму b. Прямі а і b паралельні, оскільки відповідні кути, позначені малюнку 103 буквами α і β, рівні.

Рис. 103На малюнку 104 показаний спосіб побудови паралельних прямих за допомогою рейсшини. Цим способом користуються у креслярській практиці.

Рис. 104Аналогічний спосіб застосовується під час виконання столярних робіт, де для розмітки паралельних прямих використовується малка (дві дерев'яні планки, скріплені шарніром, рис. 105).

Рис. 105

Завдання

186. На малюнку 106 прямі а та b перетнуті прямий с. Доведіть, що а || b, якщо:

а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
б) ∠1 = ∠6;
в) ∠l = 45°, а кут 7 утричі більший за кут 3.

Рис. 106

187. За даними малюнка 107, доведіть, що АВ || DE.

Рис. 107

188. Відрізки АВ і CD перетинаються у їхній спільній середині. Доведіть, що прямі АС та BD паралельні.

189. Використовуючи дані малюнка 108, доведіть, що НД || AD.

Рис. 108

190. На малюнку 109 АВ = ВС, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Доведіть, що DE || АС.

Рис. 109

191. Відрізок ВК - бісектриса трикутника АВС. Через точку К проведено пряму, що перетинає бік ВС у точці М так, що ВМ = МК. Доведіть, що прямі КМ та АВ паралельні.

192. У трикутнику АВС кут А дорівнює 40 °, а кут ВСЕ, суміжний з кутом АСВ, дорівнює 80 °. Доведіть, що бісектриса кута ВСІ паралельна прямій АВ.

193. У трикутнику ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину проведена пряма BD так, що промінь ВС - бісектриса кута ABD. Доведіть, що прямі АС та BD паралельні.

194. Накресліть трикутник. Через кожну вершину цього трикутника за допомогою креслярського косинця та лінійки проведіть пряму, паралельну протилежній стороні.

195. Накресліть трикутник АВС та позначте точку D на стороні АС. Через точку D за допомогою креслярського косинця та лінійки проведіть прямі, паралельні двом іншим сторонам трикутника.

Ця глава присвячена вивченню паралельних прямих. Так називаються дві прямі на площині, які не перетинаються. Відрізки паралельних прямих ми бачимо у навколишній обстановці - це два краї прямокутного столу, два краї обкладинки книги, дві штанги тролейбуса і т.д. Паралельні прямі грають у геометрії дуже важливу роль. У цьому розділі ви дізнаєтеся про те, що таке аксіоми геометрії і в чому полягає аксіома паралельних прямих - одна з найвідоміших аксіом геометрії.

У п. 1 ми зазначали, що дві прямі або мають одну загальну точку, тобто перетинаються, або не мають жодної спільної точки, тобто не перетинаються.

Визначення

Паралельність прямих і b позначають так: а || b.

На малюнку 98 зображені прямі а та b, перпендикулярні до прямої с. У п. 12 ми встановили, що такі прямі а і b не перетинаються, тобто вони є паралельними.

Рис. 98

Поряд із паралельними прямими часто розглядають паралельні відрізки. Два відрізки називаються паралельнимиякщо вони лежать на паралельних прямих. На малюнку 99 а відрізки АВ і CD паралельні (АВ || CD), а відрізки MN і CD не паралельні. Аналогічно визначається паралельність відрізка та прямої (рис. 99, б), променя та прямої, відрізка та променя, двох променів (рис. 99, в).

Рис. 99Ознаки паралельності двох прямих

Пряма з називається січучоїпо відношенню до прямих а та b, якщо вона перетинає їх у двох точках (рис. 100). При перетині прямих а і b січної утворюється вісім кутів, які на малюнку 100 позначені цифрами. Деякі пари цих кутів мають спеціальні назви:

навхрест лежачі кути: 3 та 5, 4 та 6;
односторонні кути: 4 та 5, 3 та 6;
відповідні кути: 1 та 5, 4 та 8, 2 та 6, 3 та 7.

Рис. 100

Розглянемо три ознаки паралельності двох прямих, пов'язані з цими парами кутів.

Теорема

Доведення

Нехай при перетині прямих а і b сікної АВ навхрест кути рівні: ∠1 = ∠2 (рис. 101, а).

Доведемо, що а || b. Якщо кути 1 і 2 прямі (рис. 101 б), то прямі а і b перпендикулярні до прямої АВ і, отже, паралельні.

Рис. 101

Розглянемо випадок, коли кути 1 та 2 не прямі.

Із середини О відрізка АВ проведемо перпендикуляр ВІН до прямої а (рис. 101, в). На прямій b від точки відкладемо відрізок ВН 1 , рівний відрізку АН, як показано на малюнку 101, в, і проведемо відрізок ВІН 1 . Трикутники ВОНА і ВІН 1 В рівні по двох сторонах і куті між ними (АО = ВО, АН = ВН 1 , ∠1 = ∠2), тому ∠3 = ∠4 і ∠5 = ∠6. З рівності ∠3 = ∠4 випливає, що точка Н 1 лежить на продовженні променя ВІН, тобто точки Н, Про і Н 1 лежать на одній прямій, а з рівності ∠5 = ∠6 випливає, що кут 6 - прямий (оскільки кут 5 - прямий). Отже, прямі а та b перпендикулярні до прямої HH 1 тому вони паралельні. Теорему доведено.

Теорема

Доведення

Нехай при перетині прямих а і b січе з відповідні кути рівні, наприклад ∠1 =∠2 (рис. 102).

Рис. 102

Так як кути 2 і 3 - вертикальні, то ∠2 = ∠3. З цих двох рівностей випливає, що ∠1 = ∠3. Але кути 1 і 3 - навхрест лежать, тому прямі а і b паралельні. Теорему доведено.

Теорема

Доведення

Нехай при перетині прямих а і b січучою сума односторонніх кутів дорівнює 180°, наприклад ∠1 + ∠4 = 180° (див. рис. 102).

Оскільки кути 3 і 4 суміжні, то ∠3 + ∠4 = 180°. З цих двох рівностей випливає, що навхрест кути, що лежать 1 і 3 рівні, тому прямі а і b паралельні. Теорему доведено.

Практичні способи побудови паралельних прямих

Ознаки паралельності прямих є основою способів побудови паралельних прямих з допомогою різних інструментів, використовуваних практично. Розглянемо, наприклад, спосіб побудови паралельних прямих за допомогою креслярського косинця та лінійки. Щоб побудувати пряму, що проходить через точку М і паралельну даній прямій а, прикладемо креслярський косинець до прямої а, а до нього лінійку так, як показано на малюнку 103. Потім, пересуваючи косинець уздовж лінійки, досягнемо того, щоб точка М опинилася на стороні косинця , і проведемо пряму b. Прямі а і b паралельні, оскільки відповідні кути, позначені малюнку 103 буквами α і β, рівні.

Рис. 103На малюнку 104 показаний спосіб побудови паралельних прямих за допомогою рейсшини. Цим способом користуються у креслярській практиці.

Рис. 104Аналогічний спосіб застосовується під час виконання столярних робіт, де для розмітки паралельних прямих використовується малка (дві дерев'яні планки, скріплені шарніром, рис. 105).

Рис. 105

Завдання

186. На малюнку 106 прямі а та b перетнуті прямий с. Доведіть, що а || b, якщо:

а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
б) ∠1 = ∠6;
в) ∠l = 45°, а кут 7 утричі більший за кут 3.

Рис. 106

187. За даними малюнка 107, доведіть, що АВ || DE.

Рис. 107

188. Відрізки АВ і CD перетинаються у їхній спільній середині. Доведіть, що прямі АС та BD паралельні.

189. Використовуючи дані малюнка 108, доведіть, що НД || AD.

Рис. 108

190. На малюнку 109 АВ = ВС, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Доведіть, що DE || АС.

Рис. 109

191. Відрізок ВК - бісектриса трикутника АВС. Через точку К проведено пряму, що перетинає бік ВС у точці М так, що ВМ = МК. Доведіть, що прямі КМ та АВ паралельні.

192. У трикутнику АВС кут А дорівнює 40 °, а кут ВСЕ, суміжний з кутом АСВ, дорівнює 80 °. Доведіть, що бісектриса кута ВСІ паралельна прямій АВ.

193. У трикутнику ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину проведена пряма BD так, що промінь ВС - бісектриса кута ABD. Доведіть, що прямі АС та BD паралельні.

194. Накресліть трикутник. Через кожну вершину цього трикутника за допомогою креслярського косинця та лінійки проведіть пряму, паралельну протилежній стороні.

195. Накресліть трикутник АВС та позначте точку D на стороні АС. Через точку D за допомогою креслярського косинця та лінійки проведіть прямі, паралельні двом іншим сторонам трикутника.

ABі ЗDперетнуті третьою прямою MN, то кути, що утворилися при цьому, отримують попарно такі назви:

відповідні кути: 1 та 5, 4 та 8, 2 та 6, 3 та 7;

внутрішні навхрест лежачі кути: 3 та 5, 4 та 6;

зовнішні навхрест лежачі кути: 1 та 7, 2 та 8;

внутрішні односторонні кути: 3 та 6, 4 та 5;

зовнішні односторонні кути: 1 та 8, 2 та 7.

Так, ∠2 = ∠4 і ∠8 = ∠6, але за доведеним ∠4 = ∠6.

Отже, ∠2 = ∠8.

3. Відповідні кути 2 і 6 однакові, оскільки ∠2 = ∠4, а ∠4 = ∠6. Також переконаємось у рівності інших відповідних кутів.

4. Сума внутрішніх односторонніх кутів 3 і 6 буде 2d, тому що сума суміжних кутів 3 і 4 дорівнює 2d = 180 0 а ∠ 4 можна замінити ідентичним йому ∠ 6. Також переконаємося, що сума кутів 4 та 5 дорівнює 2d.

5. Сума зовнішніх односторонніх кутівбуде 2d, тому що ці кути рівні відповідно внутрішнім одностороннім кутамяк кути вертикальні.

З вище доведеного обґрунтування отримуємо зворотні теореми.

Коли при перетині двох прямих довільної третьої прямої отримаємо, що:

1. Внутрішні навхрест лежачі кути однакові;

чи 2.Зовнішні навхрест кути, що лежать однакові;

чи 3.Відповідні кути однакові;

чи 4.Сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2d = 180 0;

чи 5.Сума зовнішніх односторонніх дорівнює 2d = 180 0 ,

то перші дві прямі паралельні.