Логарифмічна лінійка (див. нижче) була придумана як прилад для економії розумових витрат і часу, пов'язаних з математичними розрахунками. Особливого поширення вона набула в практиці інженерів в інститутах, орієнтованих на науково-дослідну діяльність, та в статистичних бюро до моменту впровадження електронної обчислювальної техніки.
Лінійка логарифмічна: історія
Прообразом рахункового пристрою була шкала обчислень англійського математика Еге. Гантера. Він вигадав її в 1623 р., невдовзі після відкриття логарифмів, для спрощення роботи з ними. Шкала використовувалася у поєднанні з циркулем. Їм відмірювали необхідні градуйовані відрізки, які потім складалися чи віднімали. Операції з числами замінювалися діями з логарифмами. Використовуючи їх основні властивості, помножити, ділити, зводити у ступінь чи обчислювати корінь числа виявилося набагато простіше.
У 1623 році лінійка логарифмічна була вдосконалена У. Відред. Він додав другу рухливу шкалу. Вона переміщалася вздовж основної лінійки. Відміряти відрізки та зчитувати результати обчислень полегшало. Для підвищення точності пристрою в 1650 році була реалізована спроба збільшення довжини шкали за рахунок її розташування по спіралі на циліндрі, що обертається.
Додавання в конструкцію бігунка (1850) зробило процес обчислення ще зручнішими. Подальше удосконалення механізму та способу нанесення логарифмічних шкал на стандартну лінійку не додали точності приладу.
Пристрій
Лінійка логарифмічна (стандартна) виготовлялася із щільної деревини, стійкою до стирання. Для цього у промислових масштабах використовувалося грушеве дерево. З нього виготовлявся корпус і двигун - планка меншого розміру, що монтується у внутрішньому пазі. Її можна переміщати паралельно до основи. Бігунок виготовлявся з алюмінію або сталі з оглядовим віконцем зі скла чи пластику. На нього нанесено тонку вертикальну лінію (візир). Бігунок рухається по бокових напрямних і пружні сталевою пластинкою. Корпус і двигун облицьовані світлим целулоїдом, на якому тисненням нанесені шкали. Їхні поділки заповнені друкарською фарбою.
На лицьовій стороні лінійки розташовуються сім шкал: чотири-на корпусі і три - на движку. На бічних гранях нанесена проста вимірювальна розмітка (25 см) з поділками 1 мм. Шкали (C) на движку внизу і (D) на корпусі відразу під нею вважаються головними. З зверху розташовується кубічна розмітка (K), під нею - квадратична (A). Нижче (згори на движку) є така сама симетрична допоміжна шкала (B). Внизу на корпусі є розмітка для значень логарифмів (L). У центрі лицьової частини лінійки між розмітками (B) і (C) нанесена зворотна шкала чисел (R). З іншого боку двигуна (планку можна вийняти з пазів і перевернути) є ще три шкали для розрахунку тригонометричних функцій. Верхня (Sin) – призначена для синусів, нижня (Tg) – тангенсів, середня (Sin та Tg) – загальна.
Різновиди
Стандартна логарифмічна лінійка має довжину вимірювальної шкали 25 см. Випускався ще кишеньковий варіант довжиною 12,5 см і пристрій підвищеної точності 50 см. Існував поділ лінійок на перший і другий сорти в залежності від якості виконання. Увага приділялася чіткості нанесених штрихів, позначень та допоміжних ліній. Двигун і корпус мали бути рівними і ідеально підігнані один до одного. Вироби другого сорту могли мати незначні подряпини та крапки на целулоїді, але вони не спотворювали позначень. Також міг бути незначний люфт у пазах та прогин.
Існували й інші кишенькові (схожі на годинник діаметром 5 см) варіанти пристрою – логарифмічна дискова (типу «Супутник») та кругова (КЛ-1) лінійки. Вони відрізнялися і конструкцією, і меншою точністю вимірів. У першому випадку для встановлення чисел на замкнутих кругових логарифмічних шкалах використовувалася прозора кришка з лінією-візиром. У другому - механізм управління (дві ручки, що обертаються) був змонтований на корпусі: однією управлявся дисковий двигун, інша управляла стрілкою-візиром.
Можливості
Логарифмічною лінійкою загального призначення можна було здійснювати поділ і множення чисел, звести їх у квадрат і куб, видобувати корінь, розв'язувати рівняння. Крім цього, за шкалами проводилися тригонометричні обчислення (синус і тангенс) по заданих кутах, визначалися мантиси логарифмів та зворотні дії - знаходилися числа за їх значеннями.
Правильність обчислень багато в чому залежала від якості лінійки (довжина її шкал). В ідеалі можна сподіватися на точність до третього знака після коми. Такі показники були цілком достатніми для технічних розрахунків у XIX столітті.
Виникає питання: як користуватись логарифмічною лінійкою? Одного знання призначення шкал і способів знаходження ними чисел ще мало добутку розрахунків. Щоб використати всі можливості лінійки, потрібно розуміти, що таке логарифм, знати його характеристики та властивості, а також принципи побудови та залежності шкал.
Для впевненої роботи з пристроєм були потрібні певні навички. Порівняно прості обчислення з одним бігунком. Для зручності двигун (щоб не відволікав) можна видаляти. Встановивши межу на значення будь-якого числа на основній (D) шкалі можна відразу ж по візиру отримати результат зведення його в квадрат на шкалі вище (A) і куб - на верхній (K). Внизу (L) буде значення його логарифму.
Розподіл та множення чисел проводиться за допомогою двигуна. Застосовуються властивості логарифмів. Відповідно до них, результат множення двох чисел дорівнює результату складання їх логарифмів (аналогічно: розподіл і різниця). Знаючи це, можна швидко проводити розрахунки, використовуючи графічні шкали.
Чим складна логарифмічна лінійка? Інструкція щодо її правильного використання йшла в комплекті з кожним екземпляром. Крім знання властивостей і характеристик логарифмів, потрібно було вміти правильно знаходити вихідні числа на шкалах і вміти в потрібному місці зчитувати результати, у тому числі самостійно визначати точне розташування коми.
Актуальність
Як користуватися логарифмічною лінійкою, у наш час знають і пам'ятають мало хто, і з упевненістю можна стверджувати, що кількість таких людей знижуватиметься.
Логарифмічна лінійка з розряду кишенькових лічильних пристроїв давно стала раритетом. Для впевненої роботи із нею потрібна постійна практика. Методика розрахунків із прикладами та роз'ясненнями тягне на брошуру в 50 аркушів.
Для середньостатистичної людини, далекої від вищої математики, логарифмічна лінійка може представляти якусь цінність хіба що довідковими матеріалами, розміщеними на звороті корпусу (щільність деяких речовин, температура плавлення тощо). Викладачі навіть не турбуються вводити заборону на її наявність при складанні іспитів та заліків, розуміючи, що розібратися з тонкощами її використання сучасному студенту дуже складно.
Перші логарифмічні лінійки винайшли англійці – математик-педагог Ульям Відред та вчитель математики Річард Деламейн. Влітку 1630 в гостях у Відреда побував його друг і учень Вільям Форстер - вчитель математики з Лондона.
Друзі багато говорили про математику, правильну методику її викладання. Коли розмова зайшла про шкалу Гюнтера, Відред відгукнувся про неї критично. Він зазначив, що багато часу йде на маніпулювання двома циркулями, при цьому точність виходить низька.
Логарифмічна шкала, що використовується з двома циркулярами-вимірювачами, була побудована валлійцем Едмундом Гюнтером. Шкала, винайдена ним, була відрізок, на якому були нанесені поділки, вони відповідали логарифмам чисел або тригонометричних величин. Користуючись циркулями-вимірювачами можна було визначити, яка сума довжин відрізків шкали або їхня різниця, і відповідно, згідно з властивостями логарифмів, можна було знайти твір або приватний. Загальноприйняте нині позначення log, і навіть терміни котангенс і косинус було запроваджено Едмундом Гюнтером.
Перша лінійка Відреда мала дві логарифмічні шкали, з яких одна легко зміщувалася відносно іншої — нерухомої. Другим інструментом була каблучка, всередині якої була вісь, а на ній оберталося коло. На зовнішній поверхні кола та всередині кільця можна було бачити логарифмічні шкали, «згорнуті в коло». Обома лінійками можна було користуватися, не вдаючись до циркуля.
У книзі Відреда і Форстера під назвою «Круги пропорцій», що вийшла в Лондоні в 1632, було дано опис кругової логарифмічної лінійки, правда тоді там була інша конструкція. У книзі «Додаток до використання інструмента, званого «Колами пропорцій», що вийшла друком вже наступного року, Форстер докладно описав прямокутну логарифмічну лінійку Відреда.
Право виготовляти лінійки Ортреда, було надано Еліасу Аллену – відомому лондонському механіку. Лінійку, яка являла собою кільце, з обертовим колом усередині, винайшов Річард Деламейн (колишній асистент Відреда). Детальний її опис було дано в 1630 в брошурі «Граммелогія або Математичне кільце».
Деламейном було описано кілька варіантів логарифмічних лінійок, що містять 13 шкал. Були запропоновані інші конструкції. Деламейн представив як описи лінійок, а й методику градуювання. Їм було запропоновано способи перевірки точності, а також наведено приклади, де він використовував свої пристрої.
Швидше за все, Річард Деламейн і Вільям Відред стали винахідниками своїх логарифмічних лінійок, які не залежали один від одного. А в 1654 році англійцем Робертом Біссакером було запропоновано конструкцію прямокутної логарифмічної лінійки. Її загальний вигляд і зберігся до нашого часу.
Більшість бачила логарифмічну лінійку (або лічильну лінійку) тільки на картинці або у фільмах, таких як «Титанік» (1997), «Цей острів Земля» (1955) і «Аполлон-13» (1995). Якщо Ви є шанувальником "Зоряного шляху", то повинні знати, що Містер Спок у кількох епізодах користується логарифмічними лінійками "Jeppesen CSG-1" та "B-1". Однак був час, коли інженери ходили не з калькуляторами чи мобільними телефонами, а логарифмічними лінійками на поясі. Логарифмічна лінійка "Pickett" полетіла на Місяць разом із космонавтами, а лінійка від "K&E" уможливила створення атомної бомби.
Логарифмічні лінійки є частиною математики та історії. Вони не схильні до впливу електромагнітних імпульсів, а, отже, здатні пережити Апокаліпсис, який нам все пророкують. У випадку з логарифмічними лінійками, як і багатьма іншими речами цього життя, діє правило: чим більше, тим краще.
Історія логарифмічної лінійки
Логарифмічна лінійка була розроблена англійським математиком Вільямом Відред у XVII столітті. Вона зберігала свою популярність серед людей, котрі всерйоз займалися математикою, аж до початку 1970-х років. Насправді ідея виконання різних обчислень за допомогою лінійки на той час не була новою. Раніше Едмунд Гюнтер розробив сектор з таким же розподілом, як і у логарифмічної лінійки, але щоб за допомогою нього вирішити будь-яку проблему, Вам потрібен був окремий набір ділильних циркулів. Прилад Відреда був круговою логарифмічною лінійкою. Один із його учнів, Річард Деламейн, стверджував, що також винайшов логарифмічну лінійку. Обидва чоловіки звинувачували один одного у крадіжці ідей.
Сучасні вчені вважають, що одночасно створили кругову логарифмічну лінійку. Деламейн першим публічно повідомив про свій винахід, проте Відред, мабуть, завершив розробку логарифмічної лінійки раніше, ніж його учень.
Звичайна логарифмічна лінійка була створена Відред приблизно в 1650 році.
Теорія логарифмічної лінійки
Логарифмічні лінійки пов'язані з відкриттям логарифмів Непер. Логарифми грали значної ролі у світі до комп'ютерної математики. Давайте розглянемо як приклад десятковий логарифм. Якщо 10 звести в квадрат, вийде 100. Отже, логарифм 100 дорівнює 2. Якщо Ви зведете 10 в п'яту ступінь, то отримаєте 100000. Звідси, логарифм 100000 дорівнює 5. Отримані цифри не обов'язково мають бути цілими числами. Приміром, логарифм 200 дорівнює 2,3.
Таблиця логарифмів
Якби Ви витрачали багато часу на обчислення, то неодмінно створили таблицю чисел та його логарифмів. Запитання: навіщо? Відповідь проста. Припустимо, Ви захотіли помножити два числа - 200 і 100. Це досить просто зробити, не вдаючись до будь-яких хитрощів. Ви записуєте на аркуші паперу «200х100» та множите кожну цифру. За допомогою логарифмів зробити це набагато легше. Логарифм 200 дорівнює 2,301, а логарифм 100 - 2. Сума логарифмів 200 та 100 становить 4,301 (2,301+2). Якщо Ви зведете 10 у ступінь 4,3, то отримаєте не зовсім точну відповідь (19998,6), оскільки ми округлили логарифм 200. Очевидно, що більше цифр у Вашій таблиці, то краще.
Це не дуже вдалий приклад. Але якщо Вам потрібно помножити 7329 на 8115, знаючи логарифми цих чисел (3,8650 і 3,9093 відповідно), виконати дане обчислення Вам буде дуже легко. Зведіть 10 у ступінь 7,7743, і Ви дізнаєтеся правильну відповідь – 59470282 (насправді 59474835, але, знову ж таки, дуже близько).
Рухливі таблиці
Як це пов'язано з логарифмічною лінійкою? Логарифмічна лінійка є ефективною таблицею логарифмів, виконаною з дерева, пластику або металу. Позначки наносяться на поверхню на підставі логарифму числа, проте позначаються реальними цифрами, тобто відстань між 0 і 1, наприклад, набагато більша, ніж відстань між 8 і 9.
Розгляньмо принцип користування логарифмічною лінійкою на простому прикладі: 2х3. Посуньте шкалу С таким чином, щоб одиниця опинилася над цифрою 2 на фіксованій шкалі D. Потім встановіть двигун на позначці 3 на шкалі С. А тепер Вам потрібно лише подивитися на цифру на фіксованій шкалі D, щоб отримати відповідь (6). Принцип користування логарифмічною лінійкою легко зрозуміти, якщо Ви тримаєте її в руках. Також Ви можете скористатись веб-симулятором, доступним по засланні. Скриншот розрахунку Ви можете побачити нижче.
Якщо Ви маєте справу з великими числами, спочатку зменшіть їх у n-ну кількість десятків разів, а потім подумки збільште в стільки ж отриманий результат. Наприклад, щоб обчислити добуток чисел 20 і 30, Вам необхідно спочатку зменшити їх у 10 разів, а потім у 100 разів збільшити отриманий результат.
Поділ та інші операції
Поділ працює майже так само, проте ґрунтується на відніманні. Якщо Ви посунете шкалу С таким чином, щоб цифра 3 виявилася над 6 на фіксованій шкалі D, то зможете під 1 на шкалі З побачити відповідь 2 (шкала D). Не заплутатись у числах Вам допоможе прозорий пластиковий двигун з тонкою лінією посередині. У деяких лінійках навіть є невелике збільшувальне скло, що дозволяє краще розглянути позначки на шкалі.
Отримання правильної відповіді
На відміну від калькулятора, логарифмічна лінійка зазвичай вимагає, щоб Ви мали деяке уявлення про відповідь, щоб інтерпретувати результати. Також Ви повинні мати можливість побачити різницю між, скажімо, 7,3, 7,35 і 7,351. Ось чому чим більше, тим краще.
Звичайна логарифмічна лінійка має довжину близько 25 см. Кишенькові лінійки були короткими, але непрактичними. Також існували величезні логарифмічні лінійки, призначені для використання у класі (довжина деяких із них сягала 2 метрів 15 сантиметрів). Для більш точних обчислень інженери користувалися лінійками, що формою нагадують циліндр. Вони були еквівалентом логарифмічних лінійок завдовжки 10 метрів.
Вище зображена логарифмічна лінійка Отіса Кінга, яка відповідала лінійці завдовжки 170 сантиметрів, проте легко вміщалася у кишені. На вигляд вона дуже схожа на телескоп. Насправді це логарифмічна лінійка зі шкалою, нанесеною по спіралі навколо інструменту. На лінійці Отіса Кінга було більше цифр, ніж на звичайній логарифмічній лінійці, проте обчислення, які виробляються з її допомогою, часто виявлялися не зовсім точними.
Як почати колекціонувати логарифмічні лінійки та де їх взяти?
Багато хто думає, що логарифмічні лінійки важко колекціонувати, проте насправді це досить легко і недорого. Свого часу вони були поширені, проте після винаходу калькулятора і комп'ютера вмить стали нікому не потрібні. Якщо постаратися, то можна знайти людей, у яких збереглися вживані або абсолютно нові логарифмічні лінійки.
Сайт eBay - місце, де Ви, як показують результати пошуку, зможете знайти понад 3000 логарифмічних лінійок. Також їх можна придбати дешево в місцевих магазинах. Часто люди не розуміють, для чого потрібні логарифмічні лінійки, тому тільки раді позбутися їх. Крім того, якщо люди дізнаються, що Ви колекціонер, вони можуть просто так подарувати Вам логарифмічні лінійки, які колись належали їхнім далеким родичам. Їм буде приємно знати, що Ви їх збережете.
Якщо Ви вирішили купити логарифмічну лінійку, переконайтеся, що вона працює шкалою С і не запотіває прозорий двигун. Їх ремонт чи заміна – дуже копітка праця. Також уникайте лінійок зі слідами корозії або вицвілими відмітками. Їх можна відновити, але це потребує чимало сил та часу. В Інтернеті можна знайти поради, як правильно чистити різні лінійки.
Якщо Ви придбали логарифмічну лінійку, то повинні пам'ятати, що вона, як і будь-яка інша річ, потребує особливого догляду. Щоб її рухливі частини добре працювали, протирайте їх поліроллю для меблів (якщо дерев'яна лінійка). Раніше люди змащували залізні логарифмічні лінійки вазеліном. Важливо також постійно підтримувати логарифмічну лінійку в чистоті і стежити, щоб бруд не потрапляла під двигун.
Також не слід залишати лінійку під прямим сонячним промінням. Крім того, намагайтеся уникати використання мила, води та інших речовин, які можуть пошкодити вашу лінійку.
Логарифмічні лінійки колись були своєрідними комп'ютерами і, можливо, замінять нам сучасні ПК, коли прийде Апокаліпсис.
Логарифмічна лінійка або лічильна лінійка- обчислювальний пристрій, що дозволяє виконувати кілька математичних операцій, у тому числі множення та розподіл чисел, зведення в ступінь (найчастіше в квадрат і куб) та обчислення квадратних та кубічних коренів, обчислення логарифмів, потенціювання, обчислення тригонометричних та гіперболічних функцій та інші операції. Також, якщо розбити обчислення на три дії, то за допомогою логарифмічної лінійки можна зводити числа у будь-який дійсний ступінь та видобувати корінь будь-якого дійсного ступеня.
Не лякайтесь! Вам не потрібно щодня обчислювати підстави та логарифми, косинуси та арктангенси. Найчастіше логарифмічні лінійки, вбудовані в годинник, не оснащені шкалами для обчислення значень тригонометричних функцій.
Ряд наручного годинника оснащені обчислювальними лінійками, функції яких наближені до повсякденного життя.
До речі, першим вигадав помістити логарифмічну школу в години Марк Карсон – керівник теоретичного відділу в ядерному центрі, США.
Отже, годинник Citizen Promaster Sky– вже за позначеннями на відградуйованій шкалі зрозуміло, що вони чудово пристосовані для розрахунку витрати палива під час автомобільних поїздок або подорожей на моторному катері.
Почнемо з найпростішого. Кругова логарифмічна лінійка складається з лінійки на безеле та лінійки на циферблаті.Повертайте безель до суміщення значення на лінійці безелю з потрібною позначкою на циферблаті.
Для того щоб поділити 150 на 3 слід число 15 (=150) на зовнішній шкалі встановити проти числа 30 (3) на внутрішній шкалі. Результат відраховується на внутрішній шкалі навпроти "10" і дорівнює 50.
В інтернеті можна знайти приклад Потрійного правила, або розрахунку швидкості зниження за допомогою кругової обчислювальної лінійки на годиннику.
Льотчик у планері, що знаходиться на висоті 3300 метрів, визначає, що він втрачає висоту зі швидкістю одного метра за секунду, тобто. 60 м за хвилину. Скільки в нього лишається часу до кінця польоту? Щоб знати відповідь, слід встановити число 33 (=3300) на зовнішній шкалі проти числа 60 на внутрішній шкалі. Результат знаходиться проти знака "10" на внутрішній шкалі та становить 55 хвилин.
Але дамо спокій авіаційні завдання і застосуємо це правило для розрахунку у ближчій сфері. На яку відстань вистачить 40 літрів бензину при витраті палива 8 літрів на 100 кілометрів? Встановлюємо число 40 навпроти 8. Отримуємо 50, з урахуванням масштабу 1 до 10 – на 500 км.
На різних годинниках є безліч позначень, що полегшують перерахунок заходів довжини.
STATозначає англійську милю, NAUT- морську милю, M– американську милю, а на годиннику Citizen Promaster Sky - KM- що і в латинській, і в російській транслітерації позначає кілометри.
Не варто забувати, що саме за допомогою логарифмічної лінійки людина вперше ступила на Місяць.
Вільям Отред, випускник Ітонської школи та Кембриджського королівського коледжу, пастор церкви в Олсбері у графстві Суррей, був пристрасним математиком і із задоволенням викладав улюблений предмет численним учням, з яких не брав жодної плати. «Маленького зросту, чорнявий і чорноокий, з проникливим поглядом, він постійно щось обмірковував, креслив якісь лінії та діаграми в пилюці, – так описував Відреда один із біографів. - Коли йому траплялося особливо цікаве математичне завдання, бувало, що він не спав і не їв, доки не знаходив її рішення». В 1631 Відред опублікував головну працю свого життя - підручник Clavis Mathematicae («Ключ математики»), який витримав кілька перевидань протягом майже двох століть. Якось, обговорюючи «механічні обчислення» за допомогою лінійки Гюнтера зі своїм учнем Вільямом Форстером, Відред наголосив на недосконалості цього методу. Між тим вчитель продемонстрував свій винахід - кілька концентричних кілець з нанесеними на них логарифмічними шкалами та двома стрілками. Форстер був захоплений і пізніше писав: «Це перевершував будь-який із інструментів, які були мені відомі. Я дивувався, чому він приховував цей корисний винахід багато років…» Сам Отред говорив, що він «просто зігнув і згорнув шкалу Гюнтера в кільце», і до того ж був упевнений, що «справжнє мистецтво [математики] не потребує інструментів…» , їх використання він вважав допустимим лише після оволодіння цим мистецтвом. Однак учень наполіг на публікації, і в 1632 Відред написав (латиною), а Форстер переклав на англійську брошуру «Круги пропорцій і горизонтальний інструмент», де була описана логарифмічна лінійка.
Авторство цього винаходу заперечував інший його учень - Річард Деламейн, який опублікував у 1630 році книгу "Граммелогія, або Математичне кільце". Деякі стверджують, що він просто вкрав винахід у вчителя, але, можливо, він дійшов схожого рішення незалежно. Ще один претендент на авторство - лондонський математик Едмунд Уінгейт, який запропонував в 1626 використовувати дві лінійки Гюнтера, що ковзають один щодо одного. До сучасного стану інструмент довели Роберт Біссакер, який зробив лінійку прямої (1654), Джон Робертсон, який забезпечив її бігунком (1775), і Амеді Маннгейм, який оптимізував розташування шкал і бігунка.
Логарифмічна лінійка значно полегшила складні обчислення для інженерів та вчених. У XX столітті до появи калькуляторів і комп'ютерів логарифмічна лінійка була символом інженерних спеціальностей, яким для лікарів є фонендоскоп.
