Презентація «Функція y=ax 2 , її графік та властивості» є наочним посібником, який створений для супроводу пояснення вчителя на цю тему. У цій презентації докладно розглядається квадратична функція, її властивості, особливості побудови графіка, практичний додаток використовуваних методів вирішення завдань у фізиці.
Надаючи високий рівень наочності, даний матеріал допоможе вчителю підвищити ефективність навчання, дасть можливість більш раціонально розподілити час на уроці. За допомогою анімаційних ефектів, виділення понять та важливих моментів кольором, увага учнів акцентується на предметі, що вивчається, досягається краще запам'ятовування визначень і ходу міркування при вирішенні завдань.
Презентація починається з ознайомлення з назвою презентації та поняттям квадратичної функції. Наголошується на важливості цієї теми. Учням пропонується запам'ятати визначення квадратичної функції як функціональної залежності виду y=ax 2 +bx+c, у якій є незалежною змінною, а - числа, причому a≠0. Окремо на слайді 4 відзначається для запам'ятовування, що область визначення цієї функції є вся вісь дійсних значень. Умовно це твердження позначається D(x)=R.
Прикладом квадратичної функції є її додаток у фізиці - формула залежності шляху при рівноприскореному русі від часу. Паралельно під час уроків фізики учні вивчають формули різних видів руху, тому вміння вирішувати подібні завдання їм буде потрібно. На слайді 5 учням нагадується, що при русі тіла з прискоренням і на початок відліку часу відомий пройдений шлях і швидкість руху, то функціональна залежність, що представляє такий рух, виражатиметься формулою S=(at 2)/2+v 0 t+S 0 . Нижче наводиться приклад перетворення цієї формули на задану квадратичну функцію, якщо значення прискорення =8, початкової швидкості =3 і початкового шляху =18. У цьому випадку функція набуде вигляду S=4t 2 +3t+18.
На слайді 6 розглядається вид квадратичної функції y = ax 2 в якому вона представляється при. Якщо =1, то квадратична функція має вигляд y=x 2 . Зазначається, що графіком цієї функції буде парабола.
Наступна частина презентації присвячена побудові графіка квадратичної функції. Пропонується розглянути побудову графіка функції y = 3x2. Спочатку таблиці відзначається відповідність значень функції значенням аргументу. Зазначається, що відмінність побудованого графіка функції y=3x 2 від графіка функції y=x 2 у тому, що кожне значення її буде більшим за відповідний втричі. У табличному поданні ця різниця добре відстежується. Поруч у графічному поданні також добре помітна різниця у звуженні параболи.
Наступного слайду розглядається побудова графіка квадратичної функції y=1/3 x 2 . Для побудови графіка необхідно у таблиці вказати значення функції у її точок. Зазначається, що кожне значення функції y=1/3 x 2 менше від відповідного значення функції y=x 2 в 3 рази. Ця різниця, крім таблиці, добре видно і графіку. Її парабола більш розширена щодо осі ординат, ніж парабола функції y=x2.
Приклади допомагають засвоїти загальне правило, згідно з яким можна простіше і швидко проводити побудову відповідних графіків. На слайді 9 виділено окремо правило, що графік квадратичної функції y=ax 2 можна побудувати залежно від значення коефіцієнта розтягуванням або звуження графіка. Якщо a>1, то графік розтягується від осі х раз. Якщо ж 0 Висновок про симетричність графіків функцій y=ax 2 та y=-ax2 (при ≠0) щодо осі абсцис окремо виділено на слайді 12 для запам'ятовування та наочно відображено на відповідному графіку. Далі поняття про графік квадратичної функції y=x 2 поширюється більш загальний випадок функції y=ax 2 , стверджуючи, що такий графік також буде називатися параболою. На слайді 14 розглядаються властивості квадратичної функції y = ax 2 за позитивного. Зазначається, що її графік проходить через початок координат, а всі точки, крім, лежать у верхній півплощині. Відзначено симетричність графіка щодо осі ординат, уточнюючи, що протилежним значенням аргументу відповідають однакові значення функції. Вказано, що проміжок зменшення цієї функції (-∞;0], а зростання функції виконується на проміжку. Значення цієї функції охоплюють всю позитивну частину дійсної осі, нулю вона дорівнює в точці, а найбільшого значення не має. На слайді 15 описуються властивості функції y = ax 2 якщо негативний. Зазначається, що її графік також проходить через початок координат, але всі його точки, крім, лежать у нижній півплощині. Відзначено симетричність графіка щодо осі, та протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції. Зростає функція на проміжку, зменшується. Значення цієї функції лежать у проміжку, нулю вона дорівнює точці, а найменшого значення немає. Узагальнюючи розглянуті характеристики, на слайді 16 виводиться, що гілки параболи спрямовані вниз, а вгору - при. Парабола симетрична щодо осі, а вершина параболи розташовується у точці її перетину з віссю. У параболи y=ax 2 вершина – початок координат. Також важливий висновок про перетворення параболи відображається на слайді 17. На ньому представлені варіанти перетворення графіка квадратичної функції. Відзначено, що графік функції y=ax 2 перетворюється на симетричне відображення графіка щодо осі. Також можливе стиснення або розтягнення графіка щодо осі. На останньому слайді робляться узагальнюючі висновки про перетворення графіка функції. Наведено висновки про те, що графік функції виходить симетричним перетворенням щодо осі. А графік функції виходить зі стиском або розтягуванням вихідного графіка від осі. При цьому розтяг від осі в раз спостерігається у випадку, коли. Стисненням до осі в 1/a раз графік утворюється у разі. Презентація «Функція y=ax 2 , її графік та властивості» може бути використана вчителем як наочний посібник на уроці алгебри. Також цей посібник добре розкриває тему, даючи поглиблене розуміння предмета, тому може бути запропонована для самостійного вивчення учнями. Також цей матеріал допоможе вчителю дати пояснення під час дистанційного навчання. Додаткові матеріали Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Хлопці, на останніх уроках ми будували велику кількість графіків, у тому числі багато параболів. Сьогодні ми узагальним отримані знання та навчимося будувати графіки цієї функції у найзагальнішому вигляді. Давайте розглянемо функцію $y=a*x^2+b*x+c$. Ця функція називається "квадратичною", тому що старший ступінь другий, тобто квадрат. Коефіцієнти такі самі, як визначено вище. На минулому уроці в останньому прикладі ми розібрали побудову графіка подібної функції. Графік такої функції будується з допомогою додаткової системи координат. У великій математиці числа зустрічаються досить рідко. Практично будь-яке завдання потрібно довести у загальному випадку. Сьогодні ми розберемо один із таких доказів. Діти, ви зможете, побачити всю силу математичного апарату, але так само і його складність. Виділимо повний квадрат із квадратного тричлена: Для побудови графіка $y=a(x+l)^2+m$ необхідно побудувати графік функції $y=ax^2$. Причому вершина параболи буде в точці з координатами $(-l;m)$. приклад 1. Рішення. Рішення. Існує безліч способів, що спрощують побудову графіків параболи. приклад 3. Рішення. Урок на тему «Функція y=ax^2, її графік та властивості» вивчається в курсі алгебри 9 класу в системі уроків на тему «Функції». Цей урок вимагає ретельної підготовки. А саме, таких методів та засобів навчання, які дадуть справді добрі результати. Автор цього відеоуроку подбав про те, щоб допомогти вчителям під час підготовки до уроків з цієї теми. Він розробив відеоурок із урахуванням усіх вимог. Матеріал підібраний за віком школярів. Він не перевантажений, але досить ємний. Автор докладно розповідає матеріал, зупиняючись на найважливіших моментах. Кожен теоретичний пункт супроводжується прикладом, щоб сприйняття навчального матеріалу було набагато ефективнішим та якіснішим. Урок може бути використаний вчителем на звичайному уроці алгебри в 9 класі як певний етап уроку - пояснення нового матеріалу. Вчителю не доведеться у цей період нічого говорити чи розповідати. Йому достатньо включити цей відеоурок та стежити за тим, щоб учні уважно слухали та записували важливі моменти. Урок може використовуватись і школярами при самостійній підготовці до уроку, а також для самоосвіти. Тривалість уроку складає 8:17 хвилин. На початку уроку автор зауважує, що з важливих функцій є квадратична функція. Потім вводиться квадратична функція з математичної точки зору. Дається її визначення із поясненнями. Далі автор знайомить учнів із областю визначення квадратичної функції. На екрані з'являється правильний математичний запис. Після цього автор розглядає приклад квадратичної функції на реальній ситуації: за основу взято фізичне завдання, де показано, як залежить від часу при рівноприскореному русі. Після цього автор розглядає функцію y=3x2. На екрані з'являється побудова таблиці значень цієї функції та функції y=x^2. За даними цих таблиць будуються графіки функцій. Тут же у рамці з'являється пояснення, як виходить графік функції y=3x^2 з y=x^2. Розглянувши два окремі випадки, приклад функції y=ax^2, автор приходить до правила, як виходить графік цієї функції з графіка y=x^2. Далі розглядається функція y=ax^2, де a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой. Потім із властивостей виводяться слідства. Їх чотири. Серед них з'являється нове поняття – вершини параболи. Далі слідує зауваження, де йдеться, які перетворення можливі для графіка цієї функції. Після цього йдеться про те, як виходить графік функції y = f (x) з графіка функції y = f (x), а також y = af (x) з y = f (x). На цьому урок, що містить навчальний матеріал, закінчується. Залишається його закріпити, підібравши відповідні завдання залежно від здібностей учнів. Розглянемо вираз виду ах 2 + вх + с, де а, в, с - дійсні числа, а на відміну від нуля. Цей математичний вираз відомий як квадратний тричлен. Нагадаємо, що ах 2 – це старший член цього квадратного тричлена, а – його старший коефіцієнт. Але не завжди у квадратного тричлена присутні всі три доданки. Візьмемо наприклад вираз 3х 2 + 2х, де а=3, в=2, с=0. Перейдемо до квадратичної функції у=ах 2 +вх+с, де а, в, з будь-які довільні числа. Ця функція є квадратичною, оскільки містить член другого ступеня, тобто x у квадраті. Досить легко побудувати графік квадратичної функції, наприклад, можна скористатися методом виділення повного квадрата. Розглянемо приклад побудови графіка функції рівно -3х 2 - 6х + 1. Для цього перше, що згадаємо, схему виділення повного квадрата в тричлені -3х2 - 6х + 1. Винесемо -3 у перших двох доданків за дужки. Маємо -3 помножити на суму х квадрат плюс 2х і додати 1. Додавши та відібравши одиницю в дужках, отримуємо формулу квадрата суми, яку можна згорнути. Отримаємо -3 помножити на суму (х+1) у квадраті мінус 1 додати 1. Розкриваючи дужки та наводячи подібні доданки, виходить вираз: -3 помножене на квадрат суми (х+1) додати 4. Побудуємо графік отриманої функції, перейшовши до допоміжної системи координат із початком у точці з координатами (-1; 4). На малюнку з відео ця система позначена пунктирними лініями. Прив'яжемо функцію рівно -3х 2 до побудованої системі координат. Для зручності візьмемо контрольні точки. Наприклад, (0; 0), (1; -3), (-1; -3), (2; -12), (-2; -12). При цьому відкладемо їх у побудованій системі координат. Отримана при побудові парабола є необхідним графіком. На малюнку це червона парабола. Застосовуючи метод виділення повного квадрата, маємо квадратичну функцію виду: у = а*(х+1) 2 + m. Графік параболи у = ах 2 + bx + c легко отримати з параболи у = ах 2 паралельним перенесенням. Це підтверджено теоремою, яку можна довести, виділивши повний квадрат двочлену. Вираз ах 2 + bx + c після послідовних перетворень перетворюється на вираз виду: а * (х + l) 2 + m. Накреслимо графік. Виконаємо паралельне переміщення параболи у = ах 2 суміщаючи вершину з точкою з координатами (-l; m). Важливо, що х= -l, отже -b/2а. Значить ця пряма є віссю параболи ах 2 + bx + c, її вершина знаходиться в точці з абсцисою х нульове і мінус в, поділене на 2а, а ордината обчислюється за громіздкою формулою 4ас - b 2 /. Але цю формулу запам'ятовувати необов'язково. Оскільки підставивши значення абсциси у функцію, отримаємо ординату. Для визначення рівняння осі, напряму її гілок та координат вершини параболи розглянемо наступний приклад. Візьмемо функцію у = -3х2 - 6х + 1. Склавши рівняння осі параболи, маємо, що х = -1. А це значення є координатою x вершини параболи. Залишилося знайти лише ординату. Підставивши значення -1 у функцію, отримаємо 4. Вершина параболи знаходиться у точці (-1; 4). Графік функції у = -3х2 - 6х + 1 отриманий при паралельному перенесенні графіка функції у = -3х2, отже, і веде себе аналогічно. Старший коефіцієнт негативний, тому гілки спрямовані вниз. Ми бачимо, що для будь-якої функції виду y = ах 2 + bx + c найлегшим є останнє питання, тобто напрямок гілок параболи. Якщо коефіцієнт позитивний, то гілки - вгору, а якщо негативний, то - вниз. Наступним за складністю йде перше питання, бо потребує додаткових обчислень. І найскладніший другий, оскільки, крім обчислень, ще необхідні знання формул, якими перебувають х нульове і нульове. Побудуємо графік функції у = 2х2 – х + 1. Визначаємо відразу - графіком є парабола, гілки спрямовані вгору, оскільки старший коефіцієнт дорівнює 2, але це позитивне число. За формулою знаходимо абсцис х нульове, вона дорівнює 1,5. Для знаходження ординати пригадаємо, що в нульовому рівні функції від 1,5, при обчисленні отримаємо -3,5. Вершина – (1,5;-3,5). Вісь - х = 1,5. Візьмемо точки х=0 та х=3. у=1. Зазначимо ці точки. За трьома відомими точками будуємо шуканий графік. Для побудови графіка функції ах 2 + bx + c необхідно: Знайти координати вершини параболи та відзначити їх на малюнку, потім провести вісь параболи; На осі ох взяти дві симетричні відносно осі, параболи точки, знайти значення функції в цих точках і відзначити їх на координатній площині; Через три точки побудувати параболу, за потреби можна взяти ще кілька точок і будувати графік за ними. У наступному прикладі ми навчимося знаходити найбільше та найменше значення функції -2х 2 + 8х - 5 на відрізку. По алгоритму: а=-2, в=8, отже х нульове дорівнює 2, а нульове - 3, (2;3) - вершина параболи, а х=2 є віссю. Візьмемо значення х=0 та х=4 і знайдемо ординати цих точок. Це -5. Будуємо параболу і визначаємо, що найменше значення функції -5 при x = 0, а найбільше 3, при x = 2. Конспект уроку з алгебри для 8 класу середньої загальноосвітньої школи Тема уроку: Функція Мета уроку: Освітня: визначити поняття квадратичної функції виду (порівняти графіки функцій та ), показати формулу знаходження координат вершини параболи (навчити застосовувати цю формулу на практиці); сформувати вміння визначення властивостей квадратичної функції за графіком (знаходження осі симетрії, координат вершини параболи, координат точок перетину графіка з осями координат). Розвиваюча: розвиток математичної мови, вміння правильно, послідовно та раціонально викладати свої думки; розвиток навички правильного запису математичного тексту за допомогою символів та позначень; розвиток аналітичного мислення; розвиток пізнавальної діяльності учнів через уміння аналізувати, систематизувати та узагальнювати матеріал. Виховна: виховання самостійності, вміння вислухати інших, формування акуратності та уваги у письмовій математичній мові. Тип уроку: Вивчення нового матеріалу. Методи навчання: узагальнено-репродуктивний, індуктивно-евристичний. Вимоги до знань та вмінь учнів знати, що таке квадратична функція виду, формулу знаходження координат вершини параболи; вміти знаходити координати вершини параболи, координати точок перетину графіка функції з осями координат, за графіком функції визначати властивості квадратичної функції. Обладнання: План уроку Організаційний момент (1-2 хв) Актуалізація знань (10 хв) Викладення нового матеріалу (15 хв) Закріплення нового матеріалу (12 хв) Підбиття підсумків (3 хв) Завдання додому (2 хв) Хід уроку Організаційний момент Привітання, перевірка відсутніх, збирання зошитів. Актуалізація знань Вчитель: На сьогоднішньому уроці ми вивчимо нову тему: "Функція". Але для початку повторимо раніше вивчений матеріал. Фронтальне опитування: Що називається квадратичною функцією? (Функція , де задані дійсні числа, , Справжня змінна, називається квадратичною функцією.) Що є графіком квадратичної функції? (Графіком квадратичної функції є парабола.) Що таке нулі квадратичної функції? (Нулі квадратичної функції – значення , у яких вона перетворюється на нуль.) Перелічіть властивості функції. (Значення функції позитивні при і дорівнює нулю при ; графік функції симетричний щодо ос ординат; при функція зростає, при - зменшується.) Перелічіть властивості функції. (Якщо , то функція набуває позитивних значень при , якщо , то функція набуває негативних значень при , значення функції дорівнює 0 тільки; парабола симетрична щодо осі ординат; якщо , то функція зростає при і зменшується при , якщо , то функція зростає при , спадає – при .) Викладення нового матеріалу Вчитель: Приступимо до вивчення нового матеріалу. Відкрийте зошити, запишіть число та тему уроку. Зверніть увагу на дошку. Запис на дошці: Число. Функція. Вчитель: На дошці ви бачите два графіки функцій. Перший графік, а другий. Спробуймо порівняти їх. Властивості функції ви знаєте. З їхньої основі, і порівнюючи наші графіки, можна назвати властивості функції . Отже, як ви думаєте, від чого залежатиме напрямок гілок параболи? Учні: Напрямок гілок обох парабол залежатиме від коефіцієнта . Вчитель: Цілком правильно. Також можна побачити, що в обох парабол є вісь симетрії. Перший графік функції, що є віссю симетрії? Учні У параболи виду віссю симетрії є вісь ординат. Вчитель: Правильно. А що є віссю симетрії параболи Учні: Осю симетрії параболи є лінія, яка проходить через вершину параболи, паралельно осі ординат. Вчитель: Правильно. Отже, віссю симетрії графіка функції називатимемо пряму, що проходить через вершину параболи, паралельну осі ординат. А вершина параболи – це точка з координатами. Вони визначаються за такою формулою: Запишіть формулу в зошит та обведіть у рамочку. Запис на дошці та у зошитах Координати вершини параболи. Вчитель: Тепер, щоб було зрозуміліше, розглянемо приклад. Приклад 1: Знайдіть координати вершини параболи Рішення: За формулою Вчитель: Як ми вже зазначили, вісь симетрії проходить через вершину параболи. Подивіться на дошку. Накресліть цей малюнок у зошиті. Запис на дошці та у зошитах: Вчитель: На кресленні: - рівняння осі симетрії параболи з вершиною в точці, де абсцис вершини параболи. Розглянемо приклад. Приклад 2: За графіком функції визначте рівняння осі симетрії параболи. Рівняння осі симетрії має вигляд: отже рівняння осі симетрії даної параболи . Відповідь: - Рівняння осі симетрії. Закріплення нового матеріалу Вчитель: На дошці записані завдання, які потрібно вирішити у класі. Запис на дошці: № 609(3), 612(1), 613(3) Вчитель: Але спочатку розв'яжемо приклад не з підручника. Вирішуватимемо біля дошки. Приклад 1: Знайти координати вершини параболи Рішення: За формулою Відповідь: координати вершини параболи. Приклад 2: Знайти координати точок перетину параболи Рішення: 1) З віссю: Тобто. За теоремою Вієта: Точки перетину з віссю абсцис (1; 0) та (2; 0).
Презентація та урок на тему:
"Графік функції $y=ax^2+bx+c$. Властивості"
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Посібник до підручника Дорофєєва Г.В. Посібник до підручника Микільського С.М.
Давайте розглянемо квадратний тричлен $a*x^2+b*x+c$. $а, b, c$ називаються коефіцієнтами. Вони можуть бути будь-якими числами, але $ а ≠ 0 $. $a*x^2$ називається старшим членом, $а$ – старшим коефіцієнтом. Варто зауважити, що коефіцієнти $b$ і $c$ можуть дорівнювати нулю, тобто тричлен буде складатися з двох членів, а третій дорівнює нулю.
Давайте доведемо, що будь-яку таку квадратичну функцію можна звести до вигляду $y=a(x+l)^2+m$.
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Ми отримали те, що хотіли.
Будь-яку квадратичну функцію можна представити у вигляді:
$y=a(x+l)^2+m$, де $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Отже, наша функція $y=a*x^2+b*x+c$ - парабола.
Осю параболи буде пряма $x=-\frac(b)(2a)$, причому координати вершини параболи по осі абсцис, як ми можемо помітити, обчислюється формулою: $x_(в)=-\frac(b)(2a) $.
Для обчислення координати вершини параболи по осі ординат, ви можете:
Як обчислювати ординату вершини? Знову ж таки вибір за вами, але зазвичай другим способом порахувати буде простіше.
Якщо потрібно описати якісь властивості або відповісти на певні питання, не завжди потрібно будувати графік функції. Основні питання, куди можна відповісти без побудови, розглянемо у прикладі.
Без побудови графіка функції $y=4x^2-6x-3$ дайте відповідь на наступні питання:
а) Оссю параболи служить пряма $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4)$ .
б) Абсцис вершини ми знайшли вище $x_(в)=\frac(3)(4)$.
Ординату вершини знайдемо безпосередньою підстановкою у вихідну функцію:
$y_(в)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
в) Графік, необхідної функції, вийде паралельним перенесенням графіка $ y = 4x ^ 2 $. Його гілки дивляться вгору, а значить і гілки параболи вихідної функції також дивитися вгору.
Взагалі, якщо коефіцієнт $а>0$, то гілки дивляться нагору, якщо коефіцієнт $a
приклад 2.
Побудувати графік функції: $y=2x^2+4x-6$.
Знайдемо координати вершини параболи:
$x_(в)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(в)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Зазначимо координату вершини на осі координат. У цій точці, як у новій системі координат побудуємо параболу $y=2x^2$.
Знайти найбільше та найменше значення функції: $y=-x^2+6x+4$ на відрізку $[-1;6]$.
Побудуємо графік цієї функції, виділимо необхідний проміжок і знайдемо найнижчу та найвищу точку нашого графіка.
Знайдемо координати вершини параболи:
$x_(в)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(в)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
У точці з координатами $(3;13)$ побудуємо параболу $y=-x^2$. 
Виділимо необхідний проміжок. 
Найнижча точка має координату -3, найвища точка - координату 13.
$ y_ (найм) = -3 $; $ y_ (Наиб) = 13 $.Завдання для самостійного вирішення
1. Без побудови графіка функції $y=-3x^2+12x-4$ дайте відповідь на такі питання:
а) Вкажіть пряму віссю параболи, що служить.
б) Знайдіть координати вершини.
в) Куди дивиться парабола (вгору чи вниз)?
2. Побудувати графік функції: $y=2x^2-6x+2$.
3. Побудувати графік функції: $y=-x^2+8x-4$.
4. Знайти найбільше та найменше значення функції: $y=x^2+4x-3$ на відрізку $[-5;2]$. 
.
з осями координат.
