Pri riešení lineárnych rovníc sa snažíme nájsť koreň, teda hodnotu premennej, ktorá prevedie rovnicu do správnej rovnosti.

Ak chcete nájsť koreň rovnice, potrebujete ekvivalentné transformácie prinesú nám danú rovnicu do tvaru

\(x=[číslo]\)

Toto číslo bude koreňom.

To znamená, že rovnicu transformujeme a každým krokom ju zjednodušujeme, až kým ju nezredukujeme na úplne primitívnu rovnicu „x = číslo“, kde je koreň zrejmý. Najčastejšie používané transformácie pri riešení lineárnych rovníc sú tieto:

Napríklad: pridajte \(5\) na obe strany rovnice \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Upozorňujeme, že rovnaký výsledok by sme mohli získať rýchlejšie jednoduchým napísaním päťky na druhú stranu rovnice a zmenou jej znamienka. V skutočnosti sa presne takto robí škola „prestup cez rovný so zmenou znamienka na opačný“.

2. Násobenie alebo delenie oboch strán rovnice rovnakým číslom alebo výrazom.

Napríklad: vydeľte rovnicu \(-2x=8\) mínus dvoma

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Typicky sa tento krok vykonáva na samom konci, keď už bola rovnica zredukovaná do tvaru \(ax=b\) a delíme \(a\), aby sme ju odstránili zľava.

3. Využívanie vlastností a zákonitostí matematiky: otváranie zátvoriek, prinášanie podobných pojmov, zmenšovanie zlomkov atď.

Pridajte \(2x\) doľava a doprava

Odčítajte \(24\) od oboch strán rovnice

Opäť uvádzame podobné pojmy

Teraz rovnicu vydelíme \(-3\), čím odstránime predné X na ľavej strane.

Odpoveď : \(7\)

Odpoveď sa našla. Poďme si to však overiť. Ak je sedem skutočne koreň, potom pri jeho dosadení namiesto X v pôvodnej rovnici by mala byť získaná správna rovnosť - rovnaké čísla vľavo a vpravo. Vyskúšajme.

Vyšetrenie:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Vyšlo to. To znamená, že sedem je skutočne koreňom pôvodnej lineárnej rovnice.

Nebuďte leniví a kontrolujte odpovede, ktoré ste našli náhradou, najmä ak riešite rovnicu v teste alebo skúške.

Otázkou zostáva - ako určiť, čo robiť s rovnicou v ďalšom kroku? Ako to presne previesť? Deliť niečím? Alebo odčítať? A čo presne mám odpočítať? Deliť podľa čoho?

Odpoveď je jednoduchá:

Vaším cieľom je dostať rovnicu do tvaru \(x=[číslo]\), to znamená, že naľavo je x bez koeficientov a čísel a napravo je iba číslo bez premenných. Preto sa pozerajte na to, čo vám prekáža a robiť opak toho, čo robí rušivý komponent.

Aby sme tomu lepšie porozumeli, pozrime sa na riešenie lineárnej rovnice \(x+3=13-4x\) krok za krokom.

Zamyslime sa: ako sa táto rovnica líši od \(x=[číslo]\)? Čo nám v tom bráni? Čo je zle?

No po prvé, trojka prekáža, keďže naľavo by malo byť len osamelé X bez čísel. Čo „robí“ trojka? Pridané do X. Takže, aby som to odstránil - odčítať rovnaké tri. Ale ak odpočítame tri zľava, musíme to odpočítať sprava, aby sa neporušila rovnosť.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Dobre. Čo ti v tom bráni? \(4x\) vpravo, pretože tam by mali byť iba čísla. \(4x\) odpočítané- odstraňujeme pridaním.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Teraz uvádzame podobné výrazy vľavo a vpravo.

Už je to skoro hotové. Zostáva len odstrániť päťku naľavo. Čo ona robí"? Násobí na x. Poďme to teda odstrániť divízie.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Riešenie je hotové, koreň rovnice je dva. Môžete skontrolovať pomocou náhrady.

Všimni si najčastejšie je v lineárnych rovniciach len jeden koreň. Môžu však nastať dva špeciálne prípady.

Špeciálny prípad 1 – v lineárnej rovnici nie sú žiadne korene.

Príklad . Vyriešte rovnicu \(3x-1=2(x+3)+x\)

Riešenie :

Odpoveď : bez koreňov.

V skutočnosti to, že k takémuto výsledku dospejeme, bolo vidieť skôr, aj keď sme dostali \(3x-1=3x+6\). Zamyslite sa: ako sa môže rovnať \(3x\), od ktorého sme odčítali \(1\) a \(3x\), ku ktorému sme pridali \(6\)? Očividne v žiadnom prípade, pretože s tou istou vecou robili rôzne veci! Je jasné, že výsledky sa budú líšiť.

Špeciálny prípad 2 – lineárna rovnica má nekonečný počet koreňov.

Príklad . Vyriešte lineárnu rovnicu \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Riešenie :

Odpoveď : ľubovoľné číslo.

To, mimochodom, bolo badateľné ešte skôr, v štádiu: \(8x+12=8x+12\). Skutočne, ľavá a pravá strana sú rovnaké výrazy. Akékoľvek X nahradíte, bude to rovnaké číslo tam aj tam.

Zložitejšie lineárne rovnice.

Pôvodná rovnica nie vždy okamžite vyzerá ako lineárna, niekedy je „maskovaná“ ako iné, zložitejšie rovnice. V procese transformácie však prestrojenie zmizne.

Príklad . Nájdite koreň rovnice \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Riešenie :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Zdá sa, že tu je x ​​na druhú - toto nie je lineárna rovnica! Ale neponáhľajte sa. Poďme podať žiadosť
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Prečo je výsledok rozšírenia \((x-4)^(2)\) v zátvorkách, ale výsledok \((3+x)^(2)\) nie je? Lebo pred prvým štvorcom je mínus, čo zmení všetky znamenia. A aby sme na to nezabudli, výsledok uvádzame v zátvorkách, ktoré teraz otvárame.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Uvádzame podobné pojmy
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Opäť uvádzame podobné.
		Páči sa ti to. Ukazuje sa, že pôvodná rovnica je celkom lineárna a X na druhú nie je nič iné ako obrazovka, ktorá nás má zmiasť. :) Riešenie dokončíme vydelením rovnice \(2\), a dostaneme odpoveď.

Odpoveď : \(x=5\)

Príklad . Vyriešte lineárnu rovnicu \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Riešenie :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Rovnica nevyzerá lineárne, sú to akési zlomky... Zbavme sa však menovateľov tak, že obe strany rovnice vynásobíme spoločným menovateľom všetkých – šiestimi
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Rozbaľte zátvorku vľavo
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Teraz zredukujme menovateľov
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Teraz to vyzerá ako obyčajný lineárny! Poďme to dokončiť.
		Prekladom cez rovná sa zbierame X vpravo a čísla vľavo
		Vydelením pravej a ľavej strany \(-4\) dostaneme odpoveď

Odpoveď : \(x=-1,25\)

Lineárna rovnica je algebraická rovnica. V tejto rovnici je celkový stupeň jej tvoriacich polynómov rovný jednej.

Lineárne rovnice sú prezentované takto:

Vo všeobecnej forme: a 1 X 1 + a 2 X 2 + … + a n x n + b = 0

V kánonickej forme: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b.

Lineárna rovnica s jednou premennou.

Lineárna rovnica s 1 premennou sa redukuje do tvaru:

sekera+ b=0.

Napríklad:

2x + 7 = 0. Kde a = 2, b = 7;

0,1x - 2,3 = 0. Kde a = 0,1, b = -2,3;

12x + 1/2 = 0. Kde a = 12, b = 1/2.

Počet koreňov závisí od a A b:

Kedy a= b=0 , čo znamená, že rovnica má neobmedzený počet riešení, keďže .

Kedy a=0 , b≠ 0 , čo znamená, že rovnica nemá korene, pretože .

Kedy a ≠ 0 , čo znamená, že rovnica má iba jeden koreň.

Lineárna rovnica s dvoma premennými.

Rovnica s premennou X je typová rovnosť A(x)=B(x), Kde A(x) A B(x)- výrazy z X. Pri výmene zostavy T hodnoty X do rovnice dostaneme skutočnú číselnú rovnosť, ktorá je tzv sada pravdy táto rovnica resp riešenie danej rovnice a všetky takéto hodnoty premennej sú korene rovnice.

Lineárne rovnice 2 premenných sú prezentované v tejto forme:

Vo všeobecnej forme: ax + by + c = 0,

V kánonickej forme: ax + by = -c,

Vo forme lineárnej funkcie: y = kx + m, Kde .

Riešením alebo koreňmi tejto rovnice je nasledujúci pár premenných hodnôt (x; y), čím sa premení na identitu. Lineárna rovnica s 2 premennými má neobmedzený počet týchto riešení (odmocnín). Geometrickým modelom (grafom) tejto rovnice je priamka y=kx+m.

Ak rovnica obsahuje x na druhú, potom sa rovnica nazýva

Atď., je logické zoznámiť sa s rovnicami iných typov. Ďalšie v poradí sú lineárne rovnice, ktorej cielené štúdium sa začína na hodinách algebry v 7. ročníku.

Je jasné, že najprv musíme vysvetliť, čo je lineárna rovnica, uviesť definíciu lineárnej rovnice, jej koeficienty a ukázať jej všeobecný tvar. Potom môžete zistiť, koľko riešení má lineárna rovnica v závislosti od hodnôt koeficientov a od toho, ako sa nachádzajú korene. To vám umožní prejsť k riešeniu príkladov, a tým upevniť naučenú teóriu. V tomto článku to urobíme: podrobne sa budeme zaoberať všetkými teoretickými a praktickými bodmi týkajúcimi sa lineárnych rovníc a ich riešení.

Povedzme hneď, že tu budeme brať do úvahy iba lineárne rovnice s jednou premennou a v samostatnom článku budeme študovať princípy riešenia lineárne rovnice s dvoma premennými.

Navigácia na stránke.

Čo je lineárna rovnica?

Definícia lineárnej rovnice je daná spôsobom jej zápisu. Navyše v rôznych učebniciach matematiky a algebry majú formulácie definícií lineárnych rovníc určité rozdiely, ktoré neovplyvňujú podstatu problému.

Napríklad v učebnici algebry pre 7. ročník od Yu. N. Makarycheva a kol. je lineárna rovnica definovaná takto:

Definícia.

Rovnica formulára a x=b, kde x je premenná, a a b sú nejaké čísla, sa nazýva lineárna rovnica s jednou premennou.

Uveďme príklady lineárnych rovníc, ktoré spĺňajú uvedenú definíciu. Napríklad 5 x = 10 je lineárna rovnica s jednou premennou x, tu je koeficient a 5 a číslo b je 10. Ďalší príklad: −2,3·y=0 je tiež lineárna rovnica, ale s premennou y, v ktorej a=−2,3 a b=0. A v lineárnych rovniciach x=−2 a −x=3,33 a nie sú explicitne prítomné a sú rovné 1 a −1, v tomto poradí, zatiaľ čo v prvej rovnici b=−2 a v druhej - b=3,33.

A o rok skôr v učebnici matematiky od N. Ya.Vilenkina sa o lineárnych rovniciach s jednou neznámou okrem rovníc tvaru a x = b uvažovali aj rovnice, ktoré možno do tohto tvaru priviesť prenesením členov z jednej časti. rovnice na inú s opačným znamienkom, ako aj redukciou podobných členov. Podľa tejto definície rovnice tvaru 5 x = 2 x + 6 atď. aj lineárne.

V učebnici algebry pre 7. ročník od A. G. Mordkovicha je uvedená nasledujúca definícia:

Definícia.

Lineárna rovnica s jednou premennou x je rovnica v tvare a·x+b=0, kde a a b sú nejaké čísla nazývané koeficienty lineárnej rovnice.

Napríklad lineárne rovnice tohto typu sú 2 x−12=0, tu je koeficient a 2 a b sa rovná −12 a 0,2 y+4,6=0 s koeficientmi a=0,2 ab=4,6. Zároveň však existujú príklady lineárnych rovníc, ktoré majú tvar nie a·x+b=0, ale a·x=b, napríklad 3·x=12.

Aby sme v budúcnosti nemali nezrovnalosti, lineárnou rovnicou s jednou premennou x a koeficientmi a a b rozumieme rovnicu v tvare a x + b = 0. Tento typ lineárnej rovnice sa zdá byť najoprávnenejší, pretože lineárne rovnice sú algebraické rovnice prvý stupeň. A všetky ostatné rovnice uvedené vyššie, ako aj rovnice, ktoré sa pomocou ekvivalentných transformácií redukujú na tvar a x + b = 0, budeme nazývať rovnice, ktoré sa redukujú na lineárne rovnice. S týmto prístupom je rovnica 2 x + 6 = 0 lineárna rovnica a 2 x = -6, 4 + 25 y = 6 + 24 y, 4 (x + 5) = 12 atď. - Toto sú rovnice, ktoré sa redukujú na lineárne.

Ako riešiť lineárne rovnice?

Teraz je čas zistiť, ako sa riešia lineárne rovnice a·x+b=0. Inými slovami, je čas zistiť, či lineárna rovnica má korene, a ak áno, koľko z nich a ako ich nájsť.

Prítomnosť koreňov lineárnej rovnice závisí od hodnôt koeficientov a a b. V tomto prípade má lineárna rovnica a x+b=0

• jediný koreň pre a≠0,
• nemá korene pre a=0 a b≠0,
• má nekonečne veľa koreňov pre a=0 a b=0, v takom prípade je každé číslo koreňom lineárnej rovnice.

Vysvetlíme, ako sa tieto výsledky dosiahli.

Vieme, že pri riešení rovníc môžeme prejsť z pôvodnej rovnice na ekvivalentné rovnice, teda na rovnice s rovnakými koreňmi alebo, ako tá pôvodná, bez koreňov. Na tento účel môžete použiť nasledujúce ekvivalentné transformácie:

• prenos člena z jednej strany rovnice na druhú s opačným znamienkom,
• ako aj násobenie alebo delenie oboch strán rovnice rovnakým nenulovým číslom.

Takže v lineárnej rovnici s jednou premennou v tvare a·x+b=0 môžeme presunúť člen b z ľavej strany na pravú s opačným znamienkom. V tomto prípade bude mať rovnica tvar a·x=−b.

A potom vyvstáva otázka delenia oboch strán rovnice číslom a. Ale je tu jedna vec: číslo a sa môže rovnať nule, v takom prípade je takéto delenie nemožné. Aby sme sa vyrovnali s týmto problémom, najprv budeme predpokladať, že číslo a je nenulové, a prípad bytia rovného nule zvážime samostatne o niečo neskôr.

Takže, keď sa a nerovná nule, potom môžeme obe strany rovnice a·x=−b vydeliť a, po čom sa transformuje do tvaru x=(−b):a, tento výsledok môže byť napísané pomocou zlomkovej lomky ako.

Pre a≠0 je teda lineárna rovnica a·x+b=0 ekvivalentná rovnici, z ktorej je viditeľný jej koreň.

Je ľahké ukázať, že tento koreň je jedinečný, to znamená, že lineárna rovnica nemá žiadne iné korene. To vám umožní urobiť opačnú metódu.

Označme koreň ako x 1. Predpokladajme, že existuje ďalší koreň lineárnej rovnice, ktorý označíme ako x 2, a x 2 ≠ x 1, ktorý v dôsledku určenie rovnakých čísel rozdielom je ekvivalentná podmienke x 1 −x 2 ≠0. Keďže x 1 a x 2 sú korene lineárnej rovnice a·x+b=0, potom platia číselné rovnosti a·x 1 +b=0 a a·x 2 +b=0. Zodpovedajúce časti týchto rovníc môžeme odčítať, čo nám vlastnosti číselných rovníc umožňujú, máme a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, z čoho a·(x 1 −x2)+(b−b)=0 a potom a·(x1−x2)=0. Táto rovnosť je však nemožná, pretože a≠0 aj x 1 − x 2 ≠0. Dospeli sme teda k rozporu, ktorý dokazuje jedinečnosť koreňa lineárnej rovnice a·x+b=0 pre a≠0.

Vyriešili sme teda lineárnu rovnicu a·x+b=0 pre a≠0. Prvý výsledok uvedený na začiatku tohto odseku je opodstatnený. Zostali ešte dve, ktoré spĺňajú podmienku a=0.

Keď a=0, lineárna rovnica a·x+b=0 nadobudne tvar 0·x+b=0. Z tejto rovnice a vlastnosti násobenia čísel nulou vyplýva, že bez ohľadu na to, aké číslo berieme ako x, pri dosadení do rovnice 0 x + b=0 dostaneme číselnú rovnosť b=0. Táto rovnosť platí, keď b=0, a v ostatných prípadoch, keď b≠0 je táto rovnosť nepravdivá.

V dôsledku toho s a=0 ab=0 je každé číslo koreňom lineárnej rovnice a·x+b=0, pretože za týchto podmienok dosadenie ľubovoľného čísla za x dáva správnu číselnú rovnosť 0=0. A keď a=0 a b≠0, lineárna rovnica a·x+b=0 nemá korene, pretože za týchto podmienok dosadenie akéhokoľvek čísla namiesto x vedie k nesprávnej číselnej rovnosti b=0.

Uvedené zdôvodnenia nám umožňujú formulovať postupnosť akcií, ktorá nám umožňuje vyriešiť akúkoľvek lineárnu rovnicu. takže, Algoritmus na riešenie lineárnej rovnice je:

• Najprv napísaním lineárnej rovnice nájdeme hodnoty koeficientov a a b.
• Ak a=0 a b=0, potom táto rovnica má nekonečne veľa koreňov, konkrétne každé číslo je koreňom tejto lineárnej rovnice.
• Ak a je nenulové, potom
• koeficient b sa prenesie na pravú stranu s opačným znamienkom a lineárna rovnica sa prevedie do tvaru a·x=−b,
• po ktorom sa obe strany výslednej rovnice vydelia nenulovým číslom a, ktoré dáva požadovaný koreň pôvodnej lineárnej rovnice.

Písomný algoritmus je komplexnou odpoveďou na otázku, ako riešiť lineárne rovnice.

Na záver tohto bodu je vhodné povedať, že podobný algoritmus sa používa na riešenie rovníc v tvare a·x=b. Jeho rozdiel je v tom, že keď a≠0, obe strany rovnice sú okamžite delené týmto číslom, tu b je už v požadovanej časti rovnice a nie je potrebné ho prenášať.

Na riešenie rovníc v tvare a x = b sa používa nasledujúci algoritmus:

• Ak a=0 a b=0, potom rovnica má nekonečne veľa koreňov, ktorými sú ľubovoľné čísla.
• Ak a=0 a b≠0, potom pôvodná rovnica nemá korene.
• Ak a je nenulové, potom sa obe strany rovnice delia nenulovým číslom a, z ktorého sa nájde jediný koreň rovnice, rovný b/a.

Príklady riešenia lineárnych rovníc

Prejdime k praxi. Pozrime sa, ako sa používa algoritmus na riešenie lineárnych rovníc. Uveďme riešenia typických príkladov zodpovedajúcich rôznym hodnotám koeficientov lineárnych rovníc.

Príklad.

Riešte lineárnu rovnicu 0·x−0=0.

Riešenie.

V tejto lineárnej rovnici a=0 a b=−0 , čo je rovnaké ako b=0 . Preto má táto rovnica nekonečne veľa koreňov; každé číslo je koreňom tejto rovnice.

odpoveď:

x – ľubovoľné číslo.

Príklad.

Má lineárna rovnica 0 x + 2,7 = 0 riešenia?

Riešenie.

V tomto prípade sa koeficient a rovná nule a koeficient b tejto lineárnej rovnice sa rovná 2,7, to znamená, že sa líši od nuly. Preto lineárna rovnica nemá korene.

Naučiť sa riešiť rovnice je jednou z hlavných úloh, ktoré algebra kladie pre študentov. Počnúc tým najjednoduchším, keď sa skladá z jednej neznámej, a prejsť k čoraz zložitejším. Ak nemáte zvládnuté úkony, ktoré je potrebné vykonať s rovnicami z prvej skupiny, ťažko pochopíte ostatné.

Ak chcete pokračovať v konverzácii, musíte sa dohodnúť na zápise.

Všeobecný tvar lineárnej rovnice s jednou neznámou a princíp jej riešenia

Akákoľvek rovnica, ktorá sa dá napísať takto:

a * x = b,

volal lineárne. Toto je všeobecný vzorec. Ale často v zadaniach sú lineárne rovnice napísané v implicitnej forme. Potom je potrebné vykonať identické transformácie na získanie všeobecne akceptovaného zápisu. Tieto akcie zahŕňajú:

• otváranie zátvoriek;
• posunutie všetkých členov s premennou hodnotou na ľavú stranu rovnosti a zvyšok doprava;
• zníženie podobných podmienok.

V prípade, že neznáme množstvo je v menovateli zlomku, musíte určiť jeho hodnoty, pri ktorých výraz nebude dávať zmysel. Inými slovami, musíte poznať doménu definície rovnice.

Princíp, podľa ktorého sa riešia všetky lineárne rovnice, spočíva v delení hodnoty na pravej strane rovnice koeficientom pred premennou. To znamená, že „x“ sa bude rovnať b/a.

Špeciálne prípady lineárnych rovníc a ich riešenia

Počas uvažovania môžu nastať momenty, keď lineárne rovnice nadobudnú jednu zo špeciálnych foriem. Každý z nich má špecifické riešenie.

V prvej situácii:

a * x = 0 a ≠ 0.

Riešenie takejto rovnice bude vždy x = 0.

V druhom prípade má „a“ hodnotu rovnajúcu sa nule:

0 * x = 0.

Odpoveďou na takúto rovnicu bude ľubovoľné číslo. To znamená, že má nekonečný počet koreňov.

Tretia situácia vyzerá takto:

0 * x = in, kde v ≠ 0.

Táto rovnica nedáva zmysel. Pretože neexistujú žiadne korene, ktoré by ju uspokojovali.

Všeobecný pohľad na lineárnu rovnicu s dvoma premennými

Už z jeho názvu je jasné, že sa v ňom nachádzajú už dve neznáme veličiny. Lineárne rovnice v dvoch premenných vyzerať takto:

a * x + b * y = c.

Keďže v zázname sú dve neznáme, odpoveď bude vyzerať ako dvojica čísel. To znamená, že nestačí zadať iba jednu hodnotu. Toto bude neúplná odpoveď. Dvojica veličín, pre ktoré sa rovnica stáva identitou, je riešením rovnice. Navyše v odpovedi sa vždy ako prvá zapíše premenná, ktorá je v abecede na prvom mieste. Niekedy hovoria, že ho tieto čísla uspokojujú. Navyše takýchto párov môže byť nekonečné množstvo.

Ako vyriešiť lineárnu rovnicu s dvoma neznámymi?

Ak to chcete urobiť, stačí vybrať ľubovoľný pár čísel, ktorý sa ukáže ako správny. Pre jednoduchosť môžete vziať jednu z neznámych rovnú nejakému prvočíslu a potom nájsť druhú.

Pri riešení často musíte vykonať kroky na zjednodušenie rovnice. Nazývajú sa transformácie identity. Okrem toho pre rovnice vždy platia nasledujúce vlastnosti:

• každý člen možno presunúť do opačnej časti rovnosti nahradením jeho znamienka opačným;
• Ľavú a pravú stranu akejkoľvek rovnice je možné deliť rovnakým číslom, pokiaľ sa nerovná nule.

Príklady úloh s lineárnymi rovnicami

Prvá úloha. Riešte lineárne rovnice: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

V rovnici, ktorá je v tomto zozname na prvom mieste, jednoducho vydeľte 20 číslom 4. Výsledok bude 5. Toto je odpoveď: x = 5.

Tretia rovnica vyžaduje, aby sa uskutočnila transformácia identity. Bude pozostávať z otvorenia zátvoriek a uvedenia podobných podmienok. Po prvom kroku bude mať rovnica tvar: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Potom musíte presunúť všetky neznáme na ľavú stranu rovnice a zvyšok na pravú. Rovnica bude vyzerať takto: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Po pridaní podobných výrazov: 14x = 16. Teraz vyzerá rovnako ako prvá a jej riešenie sa dá ľahko nájsť. Odpoveď bude x=8/7. Ale v matematike sa predpokladá, že izolujete celú časť od nesprávneho zlomku. Potom sa výsledok transformuje a „x“ sa bude rovnať jednému celku a jednej sedmine.

V zostávajúcich príkladoch sú premenné v menovateli. To znamená, že najprv musíte zistiť, pri akých hodnotách sú rovnice definované. Ak to chcete urobiť, musíte vylúčiť čísla, v ktorých menovatelia idú na nulu. V prvom príklade je to „-4“, v druhom „-3“. To znamená, že tieto hodnoty je potrebné vylúčiť z odpovede. Potom musíte vynásobiť obe strany rovnosti výrazmi v menovateli.

Otvorením zátvoriek a uvedením podobných členov dostaneme v prvej z týchto rovníc: 5x + 15 = 4x + 16 a v druhej 5x + 15 = 4x + 12. Po transformáciách bude riešením prvej rovnice x = -1. Druhý sa rovná „-3“, čo znamená, že druhý nemá žiadne riešenia.

Druhá úloha. Vyriešte rovnicu: -7x + 2y = 5.

Predpokladajme, že prvá neznáma x = 1, potom rovnica bude mať tvar -7 * 1 + 2y = 5. Posunutím faktora „-7“ na pravú stranu rovnosti a zmenou jeho znamienka na plus sa ukáže, že 2y = 12. To znamená y = 6. Odpoveď: jedno z riešení rovnice x = 1, y = 6.

Všeobecná forma nerovnosti s jednou premennou

Všetky možné situácie nerovností sú uvedené tu:

• a * x > b;
• a * x< в;
• a* x > b;
• a * x ≤в.

Vo všeobecnosti to vyzerá ako jednoduchá lineárna rovnica, len znamienko rovnosti je nahradené nerovnicou.

Pravidlá pre identitné transformácie nerovností

Rovnako ako lineárne rovnice, nerovnosti môžu byť upravené podľa určitých zákonov. Zredukujú sa na nasledovné:

1. na ľavú a pravú stranu nerovnosti možno pridať ľubovoľný abecedný alebo číselný výraz a znamienko nerovnosti zostáva rovnaké;
2. rovnakým kladným číslom môžete aj násobiť alebo deliť, znamienko sa tým opäť nezmení;
3. Pri násobení alebo delení rovnakým záporným číslom zostane rovnosť pravdivá za predpokladu, že sa znamienko nerovnosti obráti.

Celkový pohľad na dvojité nerovnosti

V problémoch môžu byť uvedené nasledujúce nerovnosti:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Nazýva sa dvojitý, pretože je obmedzený znakmi nerovnosti na oboch stranách. Rieši sa pomocou rovnakých pravidiel ako bežné nerovnosti. A nájdenie odpovede vedie k sérii identických transformácií. Kým sa nedosiahne najjednoduchšie.

Vlastnosti riešenia dvojitých nerovností

Prvým z nich je jeho obraz na súradnicovej osi. Pri jednoduchých nerovnostiach nie je potrebné túto metódu používať. Ale v zložitých prípadoch to môže byť jednoducho nevyhnutné.

Ak chcete zobraziť nerovnosť, musíte na osi označiť všetky body, ktoré ste získali počas uvažovania. Ide o neplatné hodnoty, ktoré sú označené prepichnutými bodkami, a hodnoty z nerovností získaných po transformáciách. Aj tu je dôležité správne nakresliť bodky. Ak je nerovnosť prísna, tak< или >, potom sa tieto hodnoty vyrazia. V neprísnych nerovnostiach musia byť body zatienené.

Potom je potrebné uviesť význam nerovností. To sa dá dosiahnuť pomocou tieňovania alebo oblúkov. Ich priesečník ukáže odpoveď.

Druhá vlastnosť súvisí s jej nahrávaním. Ponúkajú sa tu dve možnosti. Prvým je konečná nerovnosť. Druhá je vo forme intervalov. Stáva sa s ním, že vznikajú ťažkosti. Odpoveď v medzerách vždy vyzerá ako premenná so znakom členstva a zátvorkami s číslami. Niekedy existuje niekoľko medzier, potom musíte do zátvoriek napísať symbol „a“. Tieto znaky vyzerajú takto: ∈ a ∩. Svoju úlohu zohrávajú aj rozperné držiaky. Okrúhla sa umiestni, keď je bod vylúčený z odpovede, a obdĺžniková obsahuje túto hodnotu. Znak nekonečna je vždy v zátvorkách.

Príklady riešenia nerovností

1. Vyriešte nerovnosť 7 - 5x ≥ 37.

Po jednoduchých transformáciách dostaneme: -5x ≥ 30. Delením „-5“ dostaneme nasledujúci výraz: x ≤ -6. Toto je už odpoveď, ale dá sa napísať aj inak: x ∈ (-∞; -6].

2. Vyriešte dvojitú nerovnosť -4< 2x + 6 ≤ 8.

Najprv musíte všade odčítať 6. Získate: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Lineárna rovnica s neznámymi x 1, x 2, ..., x n je rovnica tvaru

A 1 x 1 + a 2 x 2 + …+ a n x n = b;

čísla a a a 2 , a 2 , ..., a n sa nazývajú koeficienty pre neznáme, číslo b je voľný člen rovnice.

Lineárne rovnice s jednou neznámou dokázali vyriešiť už v starovekom Babylone a v Egypte pred viac ako 4 tisíc rokmi. Uveďme napríklad problém z Rhindovho papyrusu (nazývaného aj Ahmesov papyrus), ktorý je uložený v Britskom múzeu a pochádza z obdobia rokov 2000–1700. BC e.: „Nájdite číslo, ak je známe, že pripočítaním 2/3 k nemu a odčítaním jeho tretiny od výsledného súčtu získate číslo 10.“ Riešenie tohto problému spočíva v riešení lineárnej rovnice

x + (2/3)x − (1/3)(x + (2/3)x) = 10, odkiaľ x = 9.

Predstavme si aj problém Metrodorusa, o ktorého živote nie je známe nič okrem toho, že bol autorom zaujímavých úloh komponovaných vo veršoch.

Tu je pochovaný Diophantus a náhrobný kameň
Zručným počítaním nám to povie
Aký dlhý bol jeho život.
Podľa Božieho nariadenia bol na šestinu svojho života chlapcom;
V dvanástej časti ho potom prešla bystrá mladosť.
Pridajme siedmu časť života – pred nami je ohnisko Hymen.
Uplynulo päť rokov; a Hymen mu poslal syna.
Ale beda dieťaťu! Žil sotva polovicu
Tie roky, čo zomrel otec, ten nešťastný.
Diophantus trpel stratou takéhoto hrobu štyri roky
A zomrel, keď žil pre vedu. Povedz mi,
Koľko rokov mal Diophantus, keď zomrel?

Riešenie lineárnej rovnice

(1/6)x + (1/12)x +(1/7)x + 5 + (1/2)x + 4 = x,

zistíme, že x = 84 – toľko rokov žil Diophantus.

Sám Diophantus venoval veľkú pozornosť neurčitým rovniciam (takto sa nazývajú algebraické rovnice alebo sústavy takých rovníc s dvoma alebo viacerými neznámymi s celočíselnými koeficientmi, pre ktoré sa hľadajú celočíselné alebo racionálne riešenia; počet neznámych musí byť väčší ako počet rovníc). Tieto rovnice sa nazývajú diofantínové rovnice. Pravda, Diophantus, ktorý žil na prelome 2. – 3. storočia, sa zaoberal najmä neurčitými rovnicami vyšších stupňov.

Systém algebraických rovníc, z ktorých každá má tvar (1), sa nazýva lineárny systém. Koeficienty rovníc zahrnutých v systéme sú zvyčajne očíslované dvoma indexmi, z ktorých prvý je číslo rovnice a druhý (ako v (1)) je číslo neznámej. Napríklad sústava m rovníc s n neznámymi je zapísaná v tvare

$\vľavo. \begin(aligned) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))+\ldots+((a)_ (1n))((x)_(n))=((b)_(1)), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_ (22))((x)_(2))+\ldots+((a)_(2n))((x)_(n)))=((b)_(2)), \\ ((a )_(m1))((x)_(1))+((a)_(m2))((x)_(2))+\ldots+((a)_(mn))((x) _(n))=((b)_(m)). \\ \koniec(zarovnané) \vpravo\)(2)$

Uvažujme systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi:

$\vľavo. \begin(aligned) ((a)_(11))((x)_(1))+((a)_(12))((x)_(2))=((b)_(1) )), \\ ((a)_(21))((x)_(1))+((a)_(22))((x)_(2))=((b)_(2) )), \\ \koniec(zarovnané) \vpravo\)(3)$

Vynásobme prvú rovnicu sústavy (3) číslom 22 a od výslednej rovnice odčítajme druhú, vynásobenú číslom 12; podobne vynásobíme druhú rovnicu sústavy (3) číslom 11 a od výslednej rovnice odčítame prvú, vynásobenú číslom 21. Potom dostaneme systém:

$\vľavo. \begin(zarovnané) (a 11 a 22 - a 12 a 21) x 2 = a 11 b 2 -b 1 a 21 , (a 11 a 22 - a 12 a 21) x 1 = b 1 a 22 - a 12 b 2 , \end(zarovnané) \vpravo\)(4)$

$\vľavo. \začiatok(zarovnané) (a_(11)a_(22)−a_(12)a_(21))x_2 = a_(11)b_2−b_1a_(21), \\ (a_(11)a_(22)−a_ (12)a_(21))x_1 = b_1a_(22)−a_(12)b_2, \\ \end(zarovnané) \vpravo\)(4)$

čo je dôsledkom systému (3). Systém (4) môže byť napísaný vo forme

$\vľavo. \začiatok(zarovnané) Δ⋅x_1=Δ_1, \\ Δ⋅x_2=Δ_2, \\ \end(zarovnané) \vpravo\)(5)$

kde ∆ je determinant matice zloženej z koeficientov systému (pozri Determinant), ∆ i sú determinanty matíc získané z predchádzajúceho nahradenia i-tého stĺpca stĺpcom voľných členov, i = 1,2 . Ďalej, ak ∆ ≠ 0, potom systém (5) má jedinečné riešenie:

x 1 = ∆ 1 /∆, x 2 = ∆ 2 /∆.

Priama substitúcia overuje, že táto dvojica čísel je tiež riešením systému (3). Rovnakým pravidlom sa hľadá riešenie sústavy n lineárnych rovníc s n neznámymi: ak je determinant sústavy ∆ nenulový, potom má sústava jedinečné riešenie a

x i = ∆ i / ∆

kde ∆ i je determinant matice získaný z matice zloženej z koeficientov systému nahradením i-tého stĺpca v nej stĺpcom voľných členov. Popísané pravidlo na riešenie lineárnych systémov sa nazýva Cramerovo pravidlo. (G. Cramer – švajčiarsky matematik, 1704–1752).

Ak ∆ = 0, potom ∆ 1 aj ∆ 2 musia zmiznúť (inak (5) a najmä (3) nemajú riešenia). Ak je splnená podmienka ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = 0, ak sú zodpovedajúce koeficienty pre neznáme a voľné členy rovnice sústavy (3) úmerné, sústava bude mať nekonečne veľa riešení; ak je aspoň jeden z koeficientov pre neznáme odlišný od nuly (napríklad ak a 12 ≠ 0), potom x 1 možno považovať za ľubovoľné, potom

x 2 = b 1 /a 12 − a 11 x 1 /a 12

Zostáva analyzovať prípad, keď má systém formu

$\vľavo. \začiatok(zarovnané) 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ 0⋅x_1+,0⋅x_2=b_, \\ \end(zarovnané) \vpravo\)$

pre ktoré je odpoveď zrejmá: ak b 1 = b 2 = 0, potom riešením je ľubovoľná dvojica čísel, inak riešenia neexistujú.

Vo všeobecnom prípade pre systém n rovníc s n neznámymi pre ∆ ≠ 0 má systém jedinečné riešenie, ktoré, ako už bolo spomenuté, možno nájsť pomocou Cramerovho pravidla. Ak ∆ = 0 a aspoň jeden z determinantov ∆ i je odlišný od nuly, systém je nekonzistentný (to znamená, že nemá žiadne riešenia). V prípade, že ∆ = ∆ 1 = ∆ 2 = ... = ∆ n = 0, systém môže byť buď nekonzistentný, alebo môže mať nekonečne veľa riešení. Je dosť ťažké určiť, ktorý z týchto dvoch prípadov je realizovaný pomocou determinantov, a tým sa nebudeme zaoberať. V praxi sa Cramerovo pravidlo zvyčajne nepoužíva na riešenie lineárnych systémov. Najčastejšie sa na tieto účely používa Gaussova metóda (pozri Neznáma výnimka).

Ako je známe, lineárna rovnica a 1 x 1 + a 2 x 2 = b definuje priamku na rovine (x 1 ; x 2) v prípade, že aspoň jeden z koeficientov a 1 a a 2 je odlišný od nula. Ak vezmeme dve priamky v rovine, potom sú možné tieto prípady (pozri obrázok): 1) priamky sú rovnobežné a nemajú spoločné body a potom systém nemá riešenia; 2) čiary sa pretínajú a potom má systém jedno riešenie; 3) čiary sa zhodujú a potom má systém nekonečne veľa riešení. Dve „náhodne“ vybraté čiary sa však „spravidla“ pretnú, t. j. spravidla systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma premennými bude mať jedno riešenie. Akýkoľvek bod na určitej priamke v rovine zodpovedá riešeniu „systému“ (pozostávajúci z jednej rovnice), t.j. spravidla nastáva prípad 3 (prípad 2 je nemožný a prípad 1 je realizovaný, ak vezmeme rovnicu 0 x 1 + 0 x 2 = b, kde b ≠ 0, čo nedefinuje priamku v rovine). Ak vezmeme 3 alebo viac čiar v rovine, potom sa vo všeobecnosti môžu všetky zhodovať alebo prechádzať jedným bodom, ale spravidla nastáva prvý prípad - čiary nemajú spoločný bod.