Gaussova metóda je jednoduchá! prečo? Slávny nemecký matematik Johann Carl Friedrich Gauss počas svojho života získal uznanie ako najväčšieho matematika všetkých čias, génia a dokonca aj prezývku „kráľ matematiky“. A všetko dômyselné, ako viete, je jednoduché! Mimochodom, peniaze nedostávajú len hlupáci, ale aj géniovia – Gaussov portrét bol na 10-tich nemeckých markách (pred zavedením eura) a Gauss sa na Nemcov stále záhadne usmieva z obyčajných poštových známok.

Gaussova metóda je jednoduchá v tom, že na jej zvládnutie STAČÍ VEDOMOSTI ŽIAKA 5. ROČNÍKA. Musíte vedieť sčítať a násobiť! Nie náhodou učitelia často uvažujú o metóde postupného vyraďovania neznámych v školských výberových predmetoch z matematiky. Je to paradox, ale pre študentov je najťažšia Gaussova metóda. Nič prekvapujúce - je to všetko o metodológii a pokúsim sa hovoriť o algoritme metódy v prístupnej forme.

Najprv systematizujeme trochu vedomostí o sústavách lineárnych rovníc. Systém lineárnych rovníc môže:

1) Majte jedinečné riešenie.
2) Mať nekonečne veľa riešení.
3) Nemať žiadne riešenia (buď nekĺbový).

Gaussova metóda je najvýkonnejší a univerzálny nástroj na hľadanie riešenia akýkoľvek sústavy lineárnych rovníc. Ako si pamätáme, Cramerovo pravidlo a maticová metóda sú nevhodné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný. A metóda postupnej eliminácie neznámych Každopádne nás privedie k odpovedi! V tejto lekcii sa budeme opäť zaoberať Gaussovou metódou pre prípad č. 1 (jediné riešenie systému), článok je venovaný situáciám bodov č. 2-3. Podotýkam, že samotný algoritmus metódy funguje vo všetkých troch prípadoch rovnako.

Vráťme sa k najjednoduchšiemu systému z lekcie Ako vyriešiť sústavu lineárnych rovníc?
a vyriešiť to pomocou Gaussovej metódy.

Prvým krokom je zapísať rozšírená matica systému:
. Myslím, že každý vidí, akým princípom sa koeficienty píšu. Vertikálna čiara vo vnútri matice nemá žiadny matematický význam - je to jednoducho prečiarknuté pre zjednodušenie návrhu.

Odkaz :Odporúčam zapamätať si podmienky lineárna algebra. Systémová matica je matica zložená len z koeficientov pre neznáme, v tomto príklade matica sústavy: . Rozšírená systémová matica– ide o rovnakú maticu systému plus stĺpec voľných výrazov, v tomto prípade: . Pre stručnosť, ktorúkoľvek z matíc možno jednoducho nazvať maticou.

Po napísaní rozšírenej matice systému je potrebné s ňou vykonať niektoré akcie, ktoré sa tiež nazývajú elementárne transformácie.

Existujú nasledujúce elementárne transformácie:

1) Struny matice Môcť preusporiadať na niektorých miestach. Napríklad v uvažovanej matici môžete bezbolestne preusporiadať prvý a druhý riadok:

2) Ak v matici existujú (alebo sa objavili) proporcionálne (ako špeciálny prípad - identické) riadky, mali by ste vymazať z matice všetky tieto riadky okrem jedného. Zoberme si napríklad maticu . V tejto matici sú posledné tri riadky proporcionálne, takže stačí nechať len jeden z nich: .

3) Ak sa pri transformáciách objaví v matici nulový riadok, potom by mal byť tiež vymazať. Nebudem kresliť, samozrejme, nulová čiara je čiara, v ktorej všetky nuly.

4) Riadok matice môže byť násobiť (deliť) na ľubovoľné číslo nenulové. Zoberme si napríklad maticu . Tu je vhodné vydeliť prvý riadok –3 a druhý vynásobiť 2: . Táto akcia je veľmi užitočná, pretože zjednodušuje ďalšie transformácie matice.

5) Táto transformácia spôsobuje najväčšie ťažkosti, ale v skutočnosti nie je nič zložité. Do riadku matice môžete pridajte ďalší reťazec vynásobený číslom, odlišný od nuly. Pozrime sa na našu maticu z praktického príkladu: . Najprv veľmi podrobne opíšem premenu. Vynásobte prvý riadok -2: , A k druhému riadku pridáme prvý riadok vynásobený –2: . Teraz je možné prvý riadok rozdeliť „späť“ na –2: . Ako vidíte, riadok, ktorý je PRIDANÝ LI – sa nezmenil. Vždy riadok, KTORÝ JE PRIDANÝ, sa mení UT.

V praxi to, samozrejme, nepíšu tak podrobne, ale píšu to stručne:

Ešte raz: do druhého riadku pridal prvý riadok vynásobený –2. Čiara sa zvyčajne násobí ústne alebo na koncepte, pričom proces mentálneho výpočtu prebieha asi takto:

„Prepíšem maticu a prepíšem prvý riadok: »

„Prvý stĺpec. V spodnej časti potrebujem dostať nulu. Preto to, čo je hore, vynásobím –2: , a prvé pripočítam k druhému riadku: 2 + (–2) = 0. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

„Teraz druhý stĺpec. V hornej časti vynásobím -1 -2: . Prvý pridám do druhého riadku: 1 + 2 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

"A tretí stĺpec." V hornej časti vynásobím -5 -2: . Prvý pridám do druhého riadku: –7 + 10 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

Pozorne pochopte tento príklad a pochopte algoritmus sekvenčného výpočtu, ak tomu rozumiete, potom máte Gaussovu metódu prakticky vo vrecku. Ale, samozrejme, na tejto premene ešte popracujeme.

Elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc

! POZOR: považované za manipulácie nemožno použiť, ak vám bude ponúknutá úloha, kde sa matice dávajú „samo od seba“. Napríklad pri „klasickom“ operácie s maticami Za žiadnych okolností by ste nemali nič prestavovať vo vnútri matríc!

Vráťme sa k nášmu systému. Je prakticky rozobraný na kusy.

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju zredukujme na stupňovitý pohľad:

(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. A opäť: prečo násobíme prvý riadok –2? Aby sa naspodku dostala nula, čo znamená zbaviť sa jednej premennej v druhom riadku.

(2) Vydeľte druhý riadok 3.

Účel elementárnych transformácií – zredukovať maticu na postupný tvar: . Pri návrhu úlohy jednoducho vyznačia „schody“ jednoduchou ceruzkou a tiež zakrúžkujú čísla, ktoré sa nachádzajú na „schodoch“. Samotný pojem „odstupňovaný pohľad“ nie je úplne teoretický, vo vedeckej a náučnej literatúre sa často nazýva lichobežníkový pohľad alebo trojuholníkový pohľad.

V dôsledku elementárnych transformácií sme získali ekvivalent pôvodný systém rovníc:

Teraz je potrebné systém „rozvinúť“ v opačnom smere - tento proces sa nazýva zdola nahor inverzná ku Gaussovej metóde.

V spodnej rovnici už máme hotový výsledok: .

Zoberme si prvú rovnicu systému a dosaďte do nej už známu hodnotu „y“:

Zoberme si najbežnejšiu situáciu, keď Gaussova metóda vyžaduje riešenie sústavy troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi.

Príklad 1

Riešte sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Napíšme rozšírenú maticu systému:

Teraz okamžite nakreslím výsledok, ku ktorému dôjdeme počas riešenia:

A opakujem, naším cieľom je dostať maticu do stupňovitej formy pomocou elementárnych transformácií. Kde začať?

Najprv sa pozrite na ľavé horné číslo:

Mal by tu byť takmer vždy jednotka. Vo všeobecnosti postačí –1 (a niekedy aj iné čísla), ale akosi sa už tradične stáva, že sa tam zvyčajne umiestňuje jedna. Ako organizovať jednotku? Pozeráme sa na prvý stĺpec – máme hotovú jednotku! Transformácia jedna: vymeňte prvý a tretí riadok:

Teraz zostane prvý riadok nezmenený až do konca riešenia. Teraz dobre.

Jednotka v ľavom hornom rohu je usporiadaná. Teraz musíte získať nuly na týchto miestach:

Nuly dostaneme pomocou „ťažkej“ transformácie. Najprv sa zaoberáme druhým riadkom (2, –1, 3, 13). Čo je potrebné urobiť, aby ste na prvej pozícii dostali nulu? Potrebovať k druhému riadku pridajte prvý riadok vynásobený –2. V duchu alebo na koncepte vynásobte prvý riadok –2: (–2, –4, 2, –18). A dôsledne vykonávame (opäť mentálne alebo na návrh) pridávanie, k druhému riadku pridáme prvý riadok, už vynásobený –2:

Výsledok zapíšeme do druhého riadku:

S tretím riadkom zaobchádzame rovnakým spôsobom (3, 2, –5, –1). Ak chcete získať nulu na prvej pozícii, potrebujete k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3. V duchu alebo na koncepte vynásobte prvý riadok –3: (–3, –6, 3, –27). A do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený –3:

Výsledok zapíšeme do tretieho riadku:

V praxi sa tieto úkony zvyčajne vykonávajú ústne a zapisujú sa v jednom kroku:

Netreba počítať všetko naraz a v rovnakom čase. Poradie výpočtov a „zapisovanie“ výsledkov konzistentné a väčšinou je to takto: najprv prepíšeme prvý riadok a pomaly na seba naťahujeme - DÔSLEDNE a POZORNE:


A o mentálnom procese samotných výpočtov som už hovoril vyššie.

V tomto príklade je to jednoduché, druhý riadok vydelíme –5 (keďže všetky čísla sú bezo zvyšku deliteľné 5). Tretí riadok zároveň vydelíme –2, pretože čím menšie čísla, tým jednoduchšie riešenie:

V záverečnej fáze elementárnych transformácií tu musíte získať ďalšiu nulu:

Pre to k tretiemu riadku pridáme druhý riadok vynásobený –2:


Pokúste sa prísť na túto akciu sami - v duchu vynásobte druhý riadok -2 a vykonajte sčítanie.

Poslednou vykonanou akciou je účes výsledku, vydeľte tretí riadok 3.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný systém lineárnych rovníc:

V pohode.

Teraz prichádza na rad opak Gaussovej metódy. Rovnice sa „odvíjajú“ zdola nahor.

V tretej rovnici už máme hotový výsledok:

Pozrime sa na druhú rovnicu: . Význam „zet“ je už známy, teda:

A na záver prvá rovnica: . „Igrek“ a „zet“ sú známe, ide len o maličkosti:

Odpoveď:

Ako už bolo niekoľkokrát spomenuté, pri akomkoľvek systéme rovníc je možné a potrebné skontrolovať nájdené riešenie, našťastie je to jednoduché a rýchle.

Príklad 2

Toto je príklad samostatného riešenia, ukážka finálneho návrhu a odpoveď na konci hodiny.

Treba poznamenať, že váš priebeh rozhodnutia sa nemusí zhodovať s mojím rozhodovacím procesom, a to je vlastnosť Gaussovej metódy. Ale odpovede musia byť rovnaké!

Príklad 3

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Pozeráme sa na ľavý horný „krok“. Mali by sme tam jeden mať. Problém je, že v prvom stĺpci nie sú vôbec žiadne jednotky, takže preskupenie riadkov nič nevyrieši. V takýchto prípadoch musí byť jednotka organizovaná pomocou elementárnej transformácie. Zvyčajne sa to dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Urobil som toto:
(1) K prvému riadku pridáme druhý riadok, vynásobený –1. To znamená, že druhý riadok sme v duchu vynásobili –1 a pridali prvý a druhý riadok, pričom druhý riadok sa nezmenil.

Teraz vľavo hore je „mínus jedna“, čo nám celkom vyhovuje. Každý, kto chce získať +1, môže vykonať ďalší pohyb: vynásobiť prvý riadok –1 (zmeniť jeho znamienko).

(2) Prvý riadok vynásobený 5 bol pridaný k druhému riadku.Prvý riadok vynásobený 3 bol pridaný k tretiemu riadku.

(3) Prvý riadok bol vynásobený –1, v zásade je to pre krásu. Zmenilo sa aj znamienko tretieho riadku a posunulo sa na druhé miesto, aby sme na druhom „kroku“ mali požadovanú jednotku.

(4) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 2.

(5) Tretí riadok bol delený 3.

Zlé znamenie, ktoré označuje chybu vo výpočtoch (zriedkavejšie preklep), je „zlý“ spodný riadok. To znamená, že ak dostaneme niečo ako , nižšie a podľa toho , potom s vysokou mierou pravdepodobnosti môžeme povedať, že pri elementárnych transformáciách došlo k chybe.

Účtujeme naopak, pri návrhu príkladov často neprepisujú samotný systém, ale rovnice sú „priamo prevzaté z danej matice“. Spätný ťah, pripomínam, funguje zdola nahor. Áno, tu je darček:

Odpoveď: .

Príklad 4

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami, je to o niečo zložitejšie. Nevadí, ak je niekto zmätený. Úplné riešenie a vzorový návrh na konci lekcie. Vaše riešenie sa môže líšiť od môjho riešenia.

V poslednej časti sa pozrieme na niektoré funkcie Gaussovho algoritmu.
Prvou vlastnosťou je, že v systémových rovniciach niekedy chýbajú niektoré premenné, napríklad:

Ako správne napísať maticu rozšíreného systému? O tomto bode som už hovoril v triede. Cramerovo pravidlo. Maticová metóda. V rozšírenej matici systému umiestnime nuly na miesto chýbajúcich premenných:

Mimochodom, toto je pomerne jednoduchý príklad, pretože prvý stĺpec už má jednu nulu a je potrebné vykonať menej elementárnych transformácií.

Druhá vlastnosť je toto. Vo všetkých uvažovaných príkladoch sme na „kroky“ umiestnili buď –1 alebo +1. Môžu tam byť aj iné čísla? V niektorých prípadoch môžu. Zvážte systém: .

Tu v ľavom hornom „kroku“ máme dvojku. Ale všimneme si fakt, že všetky čísla v prvom stĺpci sú bezo zvyšku deliteľné 2 – a to druhé je dva a šesť. A tie dve vľavo hore nám pristanú! V prvom kroku musíte vykonať nasledujúce transformácie: pridajte prvý riadok vynásobený –1 k druhému riadku; k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3. Takto dostaneme požadované nuly v prvom stĺpci.

Alebo iný konvenčný príklad: . Tu nám vyhovuje aj trojka na druhom „kroku“, keďže 12 (miesto, kde potrebujeme dostať nulu) je bezo zvyšku deliteľné 3. Je potrebné vykonať nasledujúcu transformáciu: pridajte druhý riadok k tretiemu riadku, vynásobte -4, v dôsledku čoho sa získa nula, ktorú potrebujeme.

Gaussova metóda je univerzálna, no má jednu zvláštnosť. Môžete sa s istotou naučiť riešiť systémy pomocou iných metód (Cramerova metóda, maticová metóda) doslova prvýkrát - majú veľmi prísny algoritmus. Ale aby ste sa cítili istí v Gaussovej metóde, musíte sa v nej dobre zorientovať a vyriešiť aspoň 5-10 systémov. Preto môže na začiatku dôjsť k zmätku a chybám vo výpočtoch a na tom nie je nič neobvyklé alebo tragické.

Daždivé jesenné počasie za oknom.... Preto pre každého, kto chce zložitejší príklad, ktorý si vyrieši sám:

Príklad 5

Riešte sústavu štyroch lineárnych rovníc so štyrmi neznámymi pomocou Gaussovej metódy.

Takáto úloha nie je v praxi taká zriedkavá. Myslím, že aj čajník, ktorý si túto stránku dôkladne preštudoval, pochopí algoritmus na riešenie takéhoto systému intuitívne. V zásade je všetko rovnaké - existuje viac akcií.

Prípady, keď systém nemá riešenia (nekonzistentné) alebo má nekonečne veľa riešení, rozoberáme v lekcii Nekompatibilné systémy a systémy so všeobecným riešením. Tam môžete opraviť uvažovaný algoritmus Gaussovej metódy.

Prajem ti úspech!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie : Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru.


Vykonané elementárne transformácie:
(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1. Pozor! Tu môžete byť v pokušení odčítať prvý od tretieho riadku, dôrazne odporúčam neodčítať ho - riziko chyby sa výrazne zvyšuje. Stačí ho zložiť!
(2) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené –1). Druhý a tretí riadok boli vymenené. Poznámka, že na „stupňoch“ sa uspokojíme nielen s jednotkou, ale aj s –1, čo je ešte výhodnejšie.
(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 5.
(4) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené –1). Tretí riadok bol rozdelený 14.

Obrátené:

Odpoveď: .

Príklad 4: Riešenie : Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Vykonané konverzie:
(1) K prvému riadku bol pridaný druhý riadok. Požadovaná jednotka je teda usporiadaná v ľavom hornom „kroku“.
(2) Prvý riadok vynásobený 7 bol pridaný k druhému riadku.Prvý riadok vynásobený 6 bol pridaný k tretiemu riadku.

S druhým „krokom“ sa všetko zhoršuje , „kandidátmi“ na ňu sú čísla 17 a 23 a potrebujeme buď jednotku alebo –1. Transformácie (3) a (4) budú zamerané na získanie požadovanej jednotky

(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1.
(4) Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –3.
(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku vynásobenému 4. Druhý riadok bol pridaný k štvrtému riadku vynásobenému –1.
(4) Znamienko druhého riadku bolo zmenené. Štvrtý riadok bol rozdelený 3 a umiestnený na miesto tretieho riadku.
(5) Tretí riadok bol pridaný k štvrtému riadku, vynásobený –5.

Obrátené:

POBOČKA VOJENSKEJ UNIVERZITY RCB OCHRANY KOSTROMA

Katedra automatizácie riadenia vojsk

Len pre učiteľov

"Súhlasím"

Vedúci oddelenia č.9

Plukovník JAKOVLEV A.B.

"____"_______________ 2004

Docent SMIRNOVA A.I.

"MATICE. GAUSSOVÁ METÓDA"

PREDNÁŠKA č.2 / 3

Prerokované na oddelení porady č.9

"____"___________ 2003

Protokol č.____________

Kostroma, 2003

Cdržba

Úvod

1. Operácie na maticách.

2. Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Záver

Literatúra

1. V.E. Schneider a kol., Krátky kurz vyššej matematiky, zväzok I, kapitola 2, §6, 7.

2. V.S. Ščipačov, Vyššia matematika, Ch. 10, § 1, 7.

ÚVOD

Prednáška rozoberá pojem matica, operácie s maticami, ako aj Gaussovu metódu riešenia sústav lineárnych rovníc. Pre špeciálny prípad, takzvané štvorcové matice, môžete vypočítať determinanty, ktorých koncept bol preberaný v predchádzajúcej prednáške. Gaussova metóda je všeobecnejšia ako predtým diskutovaná Cramerova metóda na riešenie lineárnych systémov. Otázky preberané v prednáške sa využívajú v rôznych odvetviach matematiky a v aplikovanej problematike.

1. študijná otázka AKCIE NA MATRIKÁCH

DEFINÍCIA 1. Obdĺžnikový stôl zm, nčísla obsahujúcem– linky an- stĺpce ako:

volal veľkostná matica m ´ n

Čísla, ktoré tvoria maticu, sa nazývajú prvky matice.

Poloha prvku Ai j v matici sú charakterizované dvojitým indexom:

najprv i- poradové číslo;

druhý j– číslo stĺpca, na ktorého priesečníku sa prvok nachádza.

Matrice sú skracované veľkými písmenami: A, B, C...

Stručne sa to dá napísať takto:

DEFINÍCIA 2.Matica, v ktorej sa počet riadkov rovná počtu stĺpcov, t.j.m = n, volal námestie.

Počet riadkov (stĺpcov) štvorcovej matice sa nazýva poradie matice.

PRÍKLAD.

POZNÁMKA 1. Budeme uvažovať matice, ktorých prvkami sú čísla. V matematike a jej aplikáciách existujú matice, ktorých prvkami sú iné objekty, napríklad funkcie, vektory.

POZNÁMKA 2. Matrix je špeciálny matematický koncept. Pomocou matíc je vhodné písať rôzne transformácie, lineárne systémy a pod., preto sa matice často nachádzajú v matematickej a technickej literatúre.

DEFINÍCIA 3.Veľkosť Matrix 1 n, pozostávajúci z jedného riadku, sa nazýva matica - riadok.

Matica veľkosti T 1 pozostávajúci z jedného stĺpca sa nazýva matica - stĺpec.

DEFINÍCIA 4. Nulová matica je matica, ktorej všetky prvky sú nulové.

Zvážte štvorcovú maticu poriadku n:

bočná uhlopriečka

hlavná uhlopriečka

Uhlopriečka štvorcovej matice prechádzajúca od ľavého horného prvku tabuľky k pravému dolnému sa nazýva hlavná uhlopriečka matice(na hlavnej diagonále sú prvky formulára Ai i).

Diagonála prechádzajúca od pravého horného prvku k ľavému spodnému prvku sa nazýva sekundárna uhlopriečka matice.

Pozrime sa na niektoré konkrétne typy štvorcových matíc.

1) Nazýva sa štvorcová matica uhlopriečka, ak sú všetky prvky mimo hlavnej uhlopriečky rovné nule.

2) Volá sa diagonálna matica, v ktorej sú všetky prvky hlavnej uhlopriečky rovné jednej slobodný. Označené:

3) Nazýva sa štvorcová matica trojuholníkový, ak sú všetky prvky umiestnené na jednej strane hlavnej uhlopriečky rovné nule:

hore dole

trojuholníková matica trojuholníková matica

Pre štvorcovú maticu sa zavádza nasledujúci koncept: maticový determinant. Toto je determinant tvorený maticovými prvkami. Označené:

Je jasné, že determinant matice identity je 1: ½ E½ = 1

KOMENTÁR. Neštvorcová matica nemá žiadny determinant.

Ak je determinant kvadratickej matice nenulový, potom sa matica nazýva nedegenerované, ak je determinant nula, potom sa volá matica degenerovať.

DEFINÍCIA 5.Zavolá sa matica získaná z danej matice nahradením jej riadkov stĺpcami s rovnakými číslami prenesené do daného.

Matica transponovaná do A, označovať A T.

PRÍKLAD.

3 3 2

DEFINÍCIA.Zavolajú sa dve matice rovnakej veľkosti rovný ak sú všetky ich zodpovedajúce prvky rovnaké .

Uvažujme operácie s maticami.

MATRIXOVÝ PRÍDAVOK.

Operácia sčítania je zavedená len pre matice rovnakej veľkosti.

DEFINÍCIA 7. Súčet dvoch matíc A = (a i j ) a B = ( b i j ) rovnaká veľkosť nazývaná matica C = (ci j)rovnakej veľkosti, ktorej prvky sa rovnajú súčtom zodpovedajúcich prvkov členov matíc, t.j. si j = a i j + b i j

Súčet matíc je označený A + B.

PRÍKLAD.

VYNÁSOBENIE MATICE REÁLNYM ČÍSLOM

DEFINÍCIA 8.Vynásobiť maticu číslomk, musíte vynásobiť každý prvok matice týmto číslom:

Ak A=(Ai j ), To k · A= (k · a i j )

PRÍKLAD.

VLASTNOSTI MATICOVÉHO PRIDÁVANIA A NÁSOBENÍ ČÍSLOM

1. Komutatívna vlastnosť: A + B = B + A

2. Kombinovaná vlastnosť: (A + B) + C = A + (B + C)

3. Distribučný majetok: k · (A + B) = k A + k B, Kde k – číslo

MATICOVÉ NÁSOBENIE

Matrix A nazvime to v súlade s maticou IN, ak počet stĺpcov matice A rovný počtu riadkov matice IN, t.j. pre maticu spárovaných matíc A má veľkosť m ´ n, matica IN má veľkosť n ´ k . Štvorcové matice sú konzistentné, ak sú rovnakého poriadku.

DEFINÍCIA 9.Súčin matice A veľkostim ´ nna veľkosť matice Bn ´ knazývaná matica veľkosti Cm ´ k, ktorého prvok ai j , ktorý sa nachádza vi-tý riadok aj– tý stĺpec, ktorý sa rovná súčtu súčinov prvkovi– tý riadok matice A do zodpovedajúcich prvkovj– stĺpec matice B, t.j.

c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j +……+ a i n b n j

Označme: C = A· IN.

To

Práca IN´ A nedáva zmysel, pretože matice

nebolo dohodnuté.

POZNÁMKA 1. Ak A´ IN potom to dáva zmysel IN´ A nemusí dávať zmysel.

POZNÁMKA 2. Ak to dáva zmysel A´ IN A IN´ A, teda všeobecne povedané

A´ IN ¹ IN´ A, t.j. Maticové násobenie nemá komutatívny zákon.

POZNÁMKA 3. Ak A je štvorcová matica a E je teda matica identity rovnakého rádu A´ E= E´ A = A.

Z toho vyplýva, že matica identity hrá pri vynásobení úlohu jednotky.

PRÍKLADY. Nájdite to, ak je to možné A´ IN A IN´ A.

Riešenie: Štvorcové matice rovnakého druhého rádu sú konzistentné v tomto inom poradí, takže A´ IN A IN´ A existujú.

Nech je daný systém lineárnych algebraických rovníc, ktorý je potrebné vyriešiť (nájdite také hodnoty neznámych xi, ktoré menia každú rovnicu systému na rovnosť).

Vieme, že systém lineárnych algebraických rovníc môže:

1) Nemať žiadne riešenia (buď nekĺbový).
2) Mať nekonečne veľa riešení.
3) Mať jediné riešenie.

Ako si pamätáme, Cramerovo pravidlo a maticová metóda nie sú vhodné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný. Gaussova metóda – najvýkonnejší a najuniverzálnejší nástroj na hľadanie riešení akéhokoľvek systému lineárnych rovníc, ktorý v každom prípade nás privedie k odpovedi! Samotný algoritmus metódy funguje vo všetkých troch prípadoch rovnako. Ak Cramerova a maticová metóda vyžadujú znalosť determinantov, potom na aplikáciu Gaussovej metódy potrebujete len znalosť aritmetických operácií, vďaka čomu je dostupná aj pre žiakov základných škôl.

Rozšírené maticové transformácie ( toto je matica systému - matica zložená iba z koeficientov neznámych plus stĺpec voľných členov) sústavy lineárnych algebraických rovníc v Gaussovej metóde:

1) s troki matice Môcť preusporiadať na niektorých miestach.

2) ak sa v matici objavia (alebo existujú) proporcionálne (ako špeciálny prípad – identické) riadky, mali by ste vymazať z matice všetky tieto riadky okrem jedného.

3) ak sa pri transformáciách objaví v matici nulový riadok, tak by mal byť tiež vymazať.

4) riadok matice môže byť násobiť (deliť) na akékoľvek číslo iné ako nula.

5) do riadku matice môžete pridajte ďalší reťazec vynásobený číslom, odlišný od nuly.

V Gaussovej metóde elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc.

Gaussova metóda pozostáva z dvoch fáz:

1. „Priamy pohyb“ - pomocou elementárnych transformácií priveďte rozšírenú maticu systému lineárnych algebraických rovníc do tvaru „trojuholníkového“ kroku: prvky rozšírenej matice umiestnené pod hlavnou uhlopriečkou sa rovnajú nule (pohyb zhora nadol). Napríklad k tomuto typu:

Ak to chcete urobiť, vykonajte nasledujúce kroky:

1) Uvažujme prvú rovnicu sústavy lineárnych algebraických rovníc a koeficient pre x 1 sa rovná K. Druhá, tretia atď. rovnice transformujeme takto: každú rovnicu (koeficienty neznámych vrátane voľných členov) vydelíme koeficientom neznámej x 1, ktorý je v každej rovnici, a vynásobíme K. Potom odčítame prvú od druhá rovnica (koeficienty neznámych a voľných členov). Pre x 1 v druhej rovnici získame koeficient 0. Od tretej transformovanej rovnice odčítame prvú rovnicu, kým všetky rovnice okrem prvej, pre neznáme x 1, nebudú mať koeficient 0.

2) Prejdime k ďalšej rovnici. Nech je to druhá rovnica a koeficient pre x 2 sa rovná M. So všetkými „nižšími“ rovnicami postupujeme tak, ako je popísané vyššie. Teda „pod“ neznámou x 2 budú vo všetkých rovniciach nuly.

3) Prejdite na ďalšiu rovnicu a tak ďalej, kým nezostane posledná neznáma a transformovaný voľný člen.

1. „Spätným pohybom“ Gaussovej metódy je získanie riešenia systému lineárnych algebraických rovníc (pohyb „zdola nahor“). Z poslednej „dolnej“ rovnice dostaneme prvé riešenie – neznámu x n. Riešime na to elementárnu rovnicu A * x n = B. Vo vyššie uvedenom príklade x 3 = 4. Nájdenú hodnotu dosadíme do „hornej“ nasledujúcej rovnice a riešime ju vzhľadom na ďalšiu neznámu. Napríklad x 2 – 4 = 1, t.j. x 2 = 5. A tak ďalej, kým nenájdeme všetky neznáme.

Príklad.

Poďme riešiť sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy, ako radia niektorí autori:

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Pozeráme sa na ľavý horný „krok“. Mali by sme tam jeden mať. Problém je, že v prvom stĺpci nie sú vôbec žiadne jednotky, takže preskupenie riadkov nič nevyrieši. V takýchto prípadoch musí byť jednotka organizovaná pomocou elementárnej transformácie. Zvyčajne sa to dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Poďme to spraviť:
1 krok . K prvému riadku pridáme druhý riadok, vynásobený –1. To znamená, že druhý riadok sme v duchu vynásobili –1 a pridali prvý a druhý riadok, pričom druhý riadok sa nezmenil.

Teraz vľavo hore je „mínus jedna“, čo nám celkom vyhovuje. Každý, kto chce získať +1, môže vykonať ďalšiu akciu: vynásobiť prvý riadok –1 (zmeniť jeho znamienko).

Krok 2 . Prvý riadok vynásobený číslom 5 bol pridaný k druhému riadku a prvý riadok vynásobený číslom 3 bol pridaný k tretiemu riadku.

Krok 3 . Prvý riadok bol vynásobený –1, v zásade ide o krásu. Zmenilo sa aj znamienko tretieho riadku a posunulo sa na druhé miesto, aby sme na druhom „kroku“ mali požadovanú jednotku.

Krok 4 . Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený 2.

Krok 5 . Tretí riadok bol rozdelený 3.

Znak, ktorý označuje chybu vo výpočtoch (zriedkavejšie preklep), je „zlý“ spodný riadok. To znamená, že ak dostaneme niečo ako (0 0 11 |23) nižšie, a teda 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, potom s vysokou pravdepodobnosťou môžeme povedať, že došlo k chybe počas základného transformácií.

Urobme to naopak; pri navrhovaní príkladov sa často neprepisuje samotný systém, ale rovnice sa „preberajú priamo z danej matice“. Pripomínam vám, že spätný pohyb funguje zdola nahor. V tomto príklade bol výsledkom darček:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, teda x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Odpoveď:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Vyriešme rovnaký systém pomocou navrhovaného algoritmu. Dostaneme

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Vydeľte druhú rovnicu 5 a tretiu 3. Dostaneme:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Vynásobením druhej a tretej rovnice číslom 4 dostaneme:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Odčítaním prvej rovnice od druhej a tretej rovnice máme:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Vydeľte tretiu rovnicu číslom 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Vynásobte tretiu rovnicu číslom 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Odčítaním druhej od tretej rovnice získame „odstupňovanú“ rozšírenú maticu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Keďže sa chyba nahromadila počas výpočtov, dostaneme x 3 = 0,96 alebo približne 1.

x 2 = 3 a x 1 = –1.

Takýmto riešením sa nikdy vo výpočtoch nezamotáte a aj napriek chybám vo výpočtoch dostanete výsledok.

Tento spôsob riešenia sústavy lineárnych algebraických rovníc je ľahko programovateľný a nezohľadňuje špecifické vlastnosti koeficientov pre neznáme, pretože v praxi (v ekonomických a technických výpočtoch) sa treba zaoberať neceločíselnými koeficientmi.

Prajem ti úspech! Uvidíme sa v triede! Tútor.

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

Od začiatku 16. – 18. storočia sa matematici intenzívne začali zaoberať funkciami, vďaka ktorým sa v našich životoch toľko zmenilo. Počítačová technika by bez týchto znalostí jednoducho neexistovala. Na riešenie zložitých problémov, lineárnych rovníc a funkcií boli vytvorené rôzne koncepty, vety a techniky riešenia. Jednou z takýchto univerzálnych a racionálnych metód a techník na riešenie lineárnych rovníc a ich sústav bola Gaussova metóda. Matice, ich poradie, determinant - všetko sa dá vypočítať bez použitia zložitých operácií.

Čo je SLAU

V matematike existuje pojem SLAE – systém lineárnych algebraických rovníc. Aká je? Ide o súbor m rovníc s požadovanými n neznámymi veličinami, ktoré sa zvyčajne označujú ako x, y, z alebo x 1, x 2 ... x n alebo iné symboly. Riešenie daného systému pomocou Gaussovej metódy znamená nájsť všetky neznáme. Ak má systém rovnaký počet neznámych a rovníc, potom sa nazýva systém n-tého rádu.

Najpopulárnejšie metódy riešenia SLAE

Vo vzdelávacích inštitúciách stredného vzdelávania sa študujú rôzne metódy riešenia takýchto systémov. Najčastejšie ide o jednoduché rovnice pozostávajúce z dvoch neznámych, takže akákoľvek existujúca metóda na nájdenie odpovede na ne nezaberie veľa času. Môže to byť ako substitučná metóda, keď je z jednej rovnice odvodená iná a dosadená do pôvodnej. Alebo metóda odčítania a sčítania po členoch. Ale Gaussova metóda je považovaná za najjednoduchšiu a najuniverzálnejšiu. Umožňuje riešiť rovnice s ľubovoľným počtom neznámych. Prečo sa táto konkrétna technika považuje za racionálnu? Je to jednoduché. Dobrá vec na maticovej metóde je, že nevyžaduje niekoľkokrát prepisovanie nepotrebných symbolov ako neznámych, stačí vykonať aritmetické operácie s koeficientmi - a dostanete spoľahlivý výsledok.

Kde sa SLAE používajú v praxi?

Riešením SLAE sú priesečníky čiar na grafoch funkcií. V našej high-tech počítačovej dobe ľudia, ktorí sú úzko spätí s vývojom hier a iných programov, potrebujú vedieť, ako takéto systémy riešiť, čo predstavujú a ako kontrolovať správnosť výsledného výsledku. Programátori najčastejšie vyvíjajú špeciálne programy na kalkulačky lineárnej algebry, ktoré obsahujú aj systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať všetky existujúce riešenia. Používajú sa aj iné zjednodušené vzorce a techniky.

Kritérium kompatibility SLAU

Takýto systém je možné vyriešiť len vtedy, ak je kompatibilný. Pre prehľadnosť uvádzame SLAE v tvare Ax=b. Má riešenie, ak sa rang(A) rovná rang(A,b). V tomto prípade (A,b) je matica rozšíreného tvaru, ktorú možno získať z matice A jej prepísaním voľnými členmi. Ukazuje sa, že riešenie lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.

Možno niektoré symboly nie sú úplne jasné, preto je potrebné všetko zvážiť na príklade. Povedzme, že existuje systém: x+y=1; 2x-3y=6. Pozostáva len z dvoch rovníc, v ktorých sú 2 neznáme. Systém bude mať riešenie iba vtedy, ak sa hodnosť jeho matice rovná hodnosti rozšírenej matice. čo je hodnosť? Toto je počet nezávislých riadkov systému. V našom prípade je poradie matice 2. Matica A bude pozostávať z koeficientov umiestnených v blízkosti neznámych a koeficienty umiestnené za znakom „=“ tiež zapadajú do rozšírenej matice.

Prečo môžu byť SLAE zastúpené v maticovej forme?

Na základe kritéria kompatibility podľa osvedčenej Kronecker-Capelliho vety je možné sústavu lineárnych algebraických rovníc reprezentovať v maticovej forme. Pomocou metódy Gaussovej kaskády môžete vyriešiť maticu a získať jedinú spoľahlivú odpoveď pre celý systém. Ak sa hodnosť bežnej matice rovná hodnote jej rozšírenej matice, ale je menšia ako počet neznámych, potom má systém nekonečný počet odpovedí.

Maticové transformácie

Predtým, ako pristúpite k riešeniu matíc, musíte vedieť, aké akcie je možné vykonať s ich prvkami. Existuje niekoľko základných transformácií:

• Prepísaním systému do maticového tvaru a jeho riešením môžete vynásobiť všetky prvky radu rovnakým koeficientom.
• Ak chcete transformovať maticu do kanonickej formy, môžete vymeniť dva paralelné riadky. Kanonická forma znamená, že všetky prvky matice, ktoré sa nachádzajú pozdĺž hlavnej uhlopriečky, sa stanú jednotkami a zvyšné sa stanú nulami.
• Zodpovedajúce prvky rovnobežných radov matice môžu byť navzájom sčítané.

Jordan-Gaussova metóda

Podstatou riešenia sústav lineárnych homogénnych a nehomogénnych rovníc Gaussovou metódou je postupné odstraňovanie neznámych. Povedzme, že máme systém dvoch rovníc, v ktorých sú dve neznáme. Ak ich chcete nájsť, musíte skontrolovať kompatibilitu systému. Rovnica je riešená veľmi jednoducho Gaussovou metódou. Koeficienty nachádzajúce sa pri každej neznámej je potrebné zapísať v maticovom tvare. Na vyriešenie systému budete musieť vypísať rozšírenú maticu. Ak jedna z rovníc obsahuje menší počet neznámych, potom sa namiesto chýbajúceho prvku musí vložiť „0“. Na maticu sa aplikujú všetky známe transformačné metódy: násobenie, delenie číslom, sčítanie zodpovedajúcich prvkov radu k sebe a iné. Ukazuje sa, že v každom riadku je potrebné ponechať jednu premennú s hodnotou „1“, zvyšok by sa mal znížiť na nulu. Pre presnejšie pochopenie je potrebné zvážiť Gaussovu metódu s príkladmi.

Jednoduchý príklad riešenia systému 2x2

Na začiatok si zoberme jednoduchú sústavu algebraických rovníc, v ktorej budú 2 neznáme.

Prepíšme to do rozšírenej matice.

Na vyriešenie tohto systému lineárnych rovníc sú potrebné iba dve operácie. Potrebujeme priviesť maticu do kanonickej formy, aby na hlavnej diagonále boli jedničky. Takže prenesením z maticového tvaru späť do systému dostaneme rovnice: 1x+0y=b1 a 0x+1y=b2, kde b1 a b2 sú výsledné odpovede v procese riešenia.

1. Prvá akcia pri riešení rozšírenej matice bude takáto: prvý riadok treba vynásobiť -7 a do druhého riadku pridať zodpovedajúce prvky, aby sme sa zbavili jednej neznámej v druhej rovnici.
2. Keďže riešenie rovníc pomocou Gaussovej metódy zahŕňa redukciu matice na kanonickú formu, potom je potrebné vykonať rovnaké operácie s prvou rovnicou a odstrániť druhú premennú. Aby sme to urobili, odpočítame druhý riadok od prvého a získame požadovanú odpoveď - riešenie SLAE. Alebo, ako je znázornené na obrázku, vynásobíme druhý riadok koeficientom -1 a pripočítame prvky druhého riadku k prvému riadku. To je to isté.

Ako vidíme, náš systém bol vyriešený Jordan-Gaussovou metódou. Prepíšeme ho do požadovaného tvaru: x=-5, y=7.

Príklad riešenia 3x3 SLAE

Predpokladajme, že máme zložitejší systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať odpoveď aj pre zdanlivo najprehľadnejší systém. Preto, aby ste sa hlbšie ponorili do metodiky výpočtu, môžete prejsť na zložitejší príklad s tromi neznámymi.

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade prepíšeme systém do podoby rozšírenej matice a začneme ho uvádzať do kanonickej podoby.

Na vyriešenie tohto systému budete musieť vykonať oveľa viac akcií ako v predchádzajúcom príklade.

1. Najprv musíte urobiť prvý stĺpec jedným jednotkovým prvkom a zvyšok nulami. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvú rovnicu -1 a pridajte k nej druhú rovnicu. Je dôležité si zapamätať, že prvý riadok prepisujeme do pôvodnej podoby a druhý do upravenej podoby.
2. Ďalej odstránime tú istú prvú neznámu z tretej rovnice. Za týmto účelom vynásobte prvky prvého riadku -2 a pridajte ich do tretieho riadku. Teraz sú prvý a druhý riadok prepísané do pôvodnej podoby a tretí - so zmenami. Ako vidíte z výsledku, prvú sme dostali na začiatok hlavnej uhlopriečky matice a zvyšné nuly. Ešte pár krokov a systém rovníc Gaussovou metódou bude spoľahlivo vyriešený.
3. Teraz musíte vykonať operácie na iných prvkoch riadkov. Tretiu a štvrtú akciu je možné spojiť do jednej. Druhý a tretí riadok musíme vydeliť -1, aby sme sa zbavili mínusových na uhlopriečke. Tretí riadok sme už priviedli do požadovanej podoby.
4. Ďalej uvedieme druhý riadok do kanonickej podoby. Aby sme to urobili, vynásobíme prvky tretieho riadku -3 a pridáme ich do druhého riadku matice. Z výsledku je zrejmé, že aj druhý riadok je zredukovaný do podoby, akú potrebujeme. Zostáva vykonať niekoľko ďalších operácií a odstrániť koeficienty neznámych z prvého riadku.
5. Ak chcete vytvoriť 0 z druhého prvku v rade, musíte vynásobiť tretí riadok -3 a pridať ho do prvého riadku.
6. Ďalším rozhodujúcim krokom bude pridanie potrebných prvkov druhého radu do prvého radu. Takto dostaneme kanonickú formu matice, a teda aj odpoveď.

Ako vidíte, riešenie rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.

Príklad riešenia sústavy rovníc 4x4

Niektoré zložitejšie sústavy rovníc je možné riešiť pomocou Gaussovej metódy pomocou počítačových programov. Koeficienty pre neznáme je potrebné zadať do existujúcich prázdnych buniek a program sám krok za krokom vypočíta požadovaný výsledok s podrobným popisom každej akcie.

Pokyny krok za krokom na riešenie takéhoto príkladu sú popísané nižšie.

V prvom kroku sa do prázdnych buniek zadajú voľné koeficienty a čísla pre neznáme. Dostaneme teda rovnakú rozšírenú maticu, ktorú napíšeme ručne.

A vykonajú sa všetky potrebné aritmetické operácie, aby sa rozšírená matica dostala do jej kanonickej formy. Je potrebné pochopiť, že odpoveďou na systém rovníc nie sú vždy celé čísla. Niekedy môže byť riešenie zo zlomkových čísel.

Kontrola správnosti riešenia

Jordan-Gaussova metóda umožňuje kontrolu správnosti výsledku. Aby ste zistili, či sú koeficienty vypočítané správne, stačí výsledok dosadiť do pôvodnej sústavy rovníc. Ľavá strana rovnice sa musí zhodovať s pravou stranou za znamienkom rovnosti. Ak sa odpovede nezhodujú, musíte systém prepočítať alebo naň skúsiť použiť inú metódu riešenia SLAE, ktorú poznáte, ako je substitúcia alebo odčítanie a sčítanie po členoch. Matematika je predsa veda, ktorá má obrovské množstvo rôznych metód riešenia. Ale pamätajte: výsledok by mal byť vždy rovnaký, bez ohľadu na to, aký spôsob riešenia ste použili.

Gaussova metóda: najčastejšie chyby pri riešení SLAE

Pri riešení lineárnych sústav rovníc najčastejšie dochádza k chybám ako je nesprávny prenos koeficientov do maticového tvaru. Existujú systémy, v ktorých niektoré neznáme chýbajú v jednej z rovníc; potom sa pri prenose údajov do rozšírenej matice môžu stratiť. Výsledkom je, že pri riešení tohto systému nemusí výsledok zodpovedať skutočnosti.

Ďalšou veľkou chybou môže byť nesprávne vypísanie konečného výsledku. Je potrebné jasne pochopiť, že prvý koeficient bude zodpovedať prvému neznámemu zo systému, druhému - druhému atď.

Gaussova metóda podrobne popisuje riešenie lineárnych rovníc. Vďaka nemu je ľahké vykonať potrebné operácie a nájsť správny výsledok. Navyše ide o univerzálny nástroj na nájdenie spoľahlivej odpovede na rovnice akejkoľvek zložitosti. Možno aj preto sa tak často používa pri riešení SLAE.

V našej kalkulačke nájdete zadarmo riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy online s podrobnými riešeniami a dokonca aj komplexnými číslami. S nami môžete riešiť ako obyčajnú určitú, tak aj neurčitú sústavu rovníc, ktorá má nekonečný počet riešení. V tomto prípade v odpovedi dostanete závislosť niektorých premenných cez iné - voľné. Môžete tiež skontrolovať konzistenciu systému pomocou rovnakej Gaussovej metódy.

Viac o tom, ako používať našu online kalkulačku, si môžete prečítať v návode.

O metóde

Pri riešení sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy sa vykonajú nasledujúce kroky.

1. Napíšeme rozšírenú maticu.
2. V skutočnosti je algoritmus rozdelený na dopredný a spätný. Priamy pohyb je redukcia matice na stupňovitú formu. Opačným pohybom je zmenšenie matice na špeciálnu stupňovitú formu. V praxi je však pohodlnejšie okamžite vynulovať to, čo sa nachádza nad aj pod príslušným prvkom. Naša kalkulačka používa presne tento prístup.
3. Je dôležité poznamenať, že pri riešení pomocou Gaussovej metódy prítomnosť aspoň jedného nulového riadku v matici s NEnulovou pravou stranou (stĺpec voľných členov) naznačuje nekonzistentnosť systému. V tomto prípade neexistuje žiadne riešenie.

Ak chcete čo najlepšie pochopiť, ako algoritmus funguje, zadajte ľubovoľný príklad, vyberte „veľmi podrobné riešenie“ a preštudujte si odpoveď.